Pendugaan Parameter
x = μ ....... ? 2 2 s x = σ x ....... ? s = σ ....... ?
Penduga Parameter `
Penduga g titik yyaitu pparameter ppopulasi p diduga g dengan g suatu besaran statistik, misal: rata-rata, proporsi, ragam, dll
`
Penduga Selang (Interval) yaitu parameter populasi diduga dengan menggunakan selang nilai tertentu dengan titik sebagai titik tengah selang. Lebar selang sangat tergantung tingkat g kepercayaan p y yyangg diinginkan g dan standar error dari penduga titik.
Proses Pendugaan Random Sampling p g Sampel: Rata-rata produksi 3000 liter
Produksinya 3000 liter
Pendugaan Titik
Saya yakin 95% produksinya antara 2750 sampai 3250 liter
Pendugaan Interval
Elemen dari Selang Kepercayaan Kemungkinan i parameter terletak dalam interval i
Selang Kepercayaan
Limit Bahan Kepercayaan
Statistik
Limit Atas Kepercayaan
Sifat Penduga : `
Penduga P d parameter yang diharapkan dih k adalah d l h bersifat b if BLUE ` Best (terbaik) yaitu penduga parameter memiliki ragam penduga terkecil Min Var( θˆ ) ` Linear yaitu penduga parameter merupakan kombinasi linier dari pengamatan θˆ =a1x1+a2x2+…+anxn ` Unbiased (tidak berbias) yaitu nilai harapan dari penduga parameter sama dengan d parameternya ` E(θˆ )= θ
Sifat Penduga 1. Tidak bias 2 Efisien 2. 3. Konsisten Tak Bias : Takbias berarti nilai harapan penduga sama dengan parameter yang diduga.
x=μ
Ef Efisien : Efisiensi penduga ditunjukkan oleh besarnya ragam penduga tersebut. Makin kecil ragam suatu penduga makin efisien makin efisien penduga tersebut. Konsisten : Makin besarnya ukuran sampel, ragam penduga makin kecil
Parameter yang Diduga
Populasi (Parameter)
Sampel (Statistik)
Rata-rata
μ
x
Proporsi
p
ps
Ragam Perbedaan
σ
2 x
σ
s x2 S
Batas kepercayaan dari Rata-rata Populasi
μ = X ± Se
Parameter = Statistik ± Standar Error (Se)
Se = X − μ atau μ − X Terdahulu : Z =
X −μ
σX
=
Se
σX
Se = Zσ x
μ = X ± Zσ X
Selang g Kepercayaan p y Wilayah Penolakan
Wilayah Penolakan
(α/2)
(α/2) (1 - α)) Wilayah Penerimaan
Dengan selang kepercayaan 95% atau 0,95, α= 1−0,95 = 0,05 Tiap sudut penolakan = α/2 = 0,05/2 = 0,025
Faktor yang mempengaruhi Interval
`
Variasi Data diukur oleh
σ
`
Ukuran Sampel
σX = σ X / n `
Selang Kepercayaan (1 - α)
X − zσ X sampai X + zσ X
Selang Kepercayaan σ diketahui •
Asumsi `
Standar Deviasi populasi diketahui
`
Populasi berdistribusi normal
`
Sampel banyak (biasanya sampel > 30)
X − Zα / 2 •
σ n
< μ < X + Zα / 2 •
σ n
Selang Kepercayaan σ tidak diketahui Asumsi ` ` `
Standar deviasi populasi tidak diketahui Populasi berdistribusi normal Menggunakan distribusi t
S S X −tα/2,n−1 • < μ < X +tα/2,n−1 • n n
Contoh Selang Kepercayaan σ diketahui `
`
Suatu perusahaan obat hewan menguji isi vaksin dalam kemasan botol. Diambil 50 sampel dan rata-ratanya 100 ml dengan simpangan baku 10 ml. ml Buat selang kepercayaan pada taraf 95%
μˆ = x = 100 ; σ = 10 ; n = 50 X − Zα
/2
•
σ n
< μ < X + Zα
/2
•
σ n
Selang kepercayaan 95 %; α = 5 % Æ 5%/2 = 2.5 %
z2.5% = z0.025 = 1.96 Se = Z α / 2 •
σ n
= 1,96 •
Lihat Tabel z
10 = 2,77 ml 50
Isi = 100 ± 2,77 ml 97, 23 ml < μ < 102,77 lm
Contoh Selang Kepercayaan σ tidak diketahui Dari sebuah sampel acak bobot badan100 ekor sapi umur 9 bulan yang diambil dari suatu propinsi. Rata-rata ( ) = 112 kg dan s = 10. Berapakah pendugaan rata-rata populasi pada taraf kepercayaan 95% Jawab : a. Pendugaan titik : bobot badan = 112 kg b. Selang kepercayaan 95% atau 0,95, α = 0,05
tα / 2 , n −1 = t 0 , 05 / 2 ;100 −1 = t 0 , 025 , 99 = 1,984 1,984
10 √100
1,984
atau
112 Atau
:
1,984
10 √100
112
1,984
110,02 < µ < 113,98
10 √100
Sampel Sedikit (< 30) Asumsi `
Standar deviasi populasi tidak diketahui Populasi berdistribusi normal
`
Menggunakan distribusi t
`
S S X − tα / 2,n−1 • < μ < X + tα / 2,n−1 • n n
contoh : Sampel Sedikit (< 30) Untuk mengetahui bobot badan ayam kampung umur 1 tahun, diambil 10 ekor sampel. p Beratnya y adalah ((kg) g) : 1.7, 1.2, 1.5, 1.9, 2.0, 1.1, 1.3, 1.4, 1.7, dan 1.5. Berapa berat ayam kampung tersebut pada taraf kepercayaan 95%.
S S X − tα / 2,n−1 • < μ < X + tα / 2,n−1 • n n
X = 1,53 kg n = 10
(x − x )
tα / 2,n −1 = t 0 , 05
2
s=
i
n −1
= 0,29
2 ;10 −1
= t0, 025;9 = 2,262
Sampel Sedikit (< 30) S 0,29 S = tα / 2,n −1 • Se = 2,262 • = 2,262 • 0,09 = 0,21 n 10
X = 1,53 ± 0,21 kg 1,32 kg < μ < 1,74 kg
Banyaknya y y Sampel p Terlalu banyak : Mahal Terlalu Sedikit : Bias
• •
•
Apa yang akan diduga? Berapa besar perbedaan yang masih mau diterima antara yang diduga dan penduga? Berapa derajat kepercayaan/koefisien kepercayaan yang diinginkan dalam suatu pendugaan?
Contoh Berapa sampel yang diperlukan untuk selang kepercayaan 90% kesalahan ± 5 dan disarankan standar deviasi 45 90%,
Z σ n= Se 2 2
Z = 10 % 2 =
0 , 01 2
2
2
= 0 , 05 ⇒ Z tabel = 1, 645 2
1,645 .45 n= = 219,2 ≅ 220 2 5
