TECBNISCBE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTBIT ELEKTROTBCBNIEK
VAKGROEP Theoretische Elektrotechniek
Theoretische aspecten van solitonen in het a1gemeen en in de niet-1ineaire optica in het bijzonder door M.H.A. Paquay ET-15-87
Verslag van een afstudeeronderzoek, verricht in de vakgroep ET, onder leiding van prof. dr. M.P.H. Weenink , in de periode april 1986 - mei 1987.
Eindhoven, 15 mei 1987.
De faculteit Elektrotechniek van de Technische Universiteit Eindhoven aanvaardt geen aansprakelijkheid voor de inhoud van stage- en afstudeerverslagen.
-i1-
0.1. Allereerst is een literatuurstudie verricht naar de eigenschappen van solitonen en de technieken die gebruikt worden bij het oplossen van niet-lineaire golfvergelijkingen. Eerst is de relatief eenvoudige Korteweg-de Vries vergelijking bekeken (hoofdstuk 2) en later de NietLineaire Schrodinger vergelijking (hoofdstuk 3). Van beide vergelijkingen is zowel een exacte I-soliton als 2-soliton oplossing berekend. Enkele eigenschappen zoals pulsgedaante, botsingsinvariantie en fasesprong zijn verduidelijkt m.b.v computerplots. Tot slot is geprobeerd om op analytische Wl~ze solitonen aan te tonen in een oneindig uitgestrekte glasplaat als model voor een glasvezel (hoofdstuk 4). Allereerst zijn de gebreken van een paar veel gebruikte methodes aangetoond 2n vervolgens is nog een nieuwe poging gedaan. Helaas heeft ook die poging niet het gewenste (analytisch exacte) resultaat opgeleverd. Slechts een beperkt geldige benadering (limietgeval) is het best bereikte resultaat).
-iii-
0.:'2.
begrip
notatie
nadert naar
-+ (getal)
Qaat over in
-+ (formule)
daaruit volQt
=+
evenrediQ met
N
identiek aan
-
definitie
vergelijking
au
II
partiele afQeleide
ax
complex Qecon- U* jungeerde Operatoren
T
Qeadjungeerd
T+
..
(2.25)
zelf-geadjungeerd
T+. T
(2.26)
anti-symmetrisch
T+. -T
(2.27)
Unitair
UU+. I
Unitair equivalent
U+ L:l U .. L.
commutator
..
CA,IB]
II
Schrodingeroperator laplaceoperator
L(t)
(ident.matr)
AB - BA
---at
vhc,It)iii
ax·
= div
Qrad a
(2.29) (2.30) (2.10) (2.33) (2.34)
-iv-
begrip
notatie
Korteweg de Vries vergelijking
KdV
Niet-Lineaire Schrodinger vergelijking
NLS
differentiaal vergelijking
DV
II
definitie
vergelijking
-v-
bIz 1. Inleiding
1
2. De Korteweg de Vries vergelijking (KdY)
4
2.1. Directe I-soliton oplossing door integratie 2.2. De KdY als integreerbaarheidsconditie
7
2.3. De KdV als voorwaarde voor tijdsinvariant spectrum
11
2.4. De behoudswetten voor oplossingen van de KdV
16
2.4.1. Inleiding
16
2.4.2. Afleiding van de behoudswetten
17
2.4.3. Interpretatie van de behoudswetten
20
2.5. Het beginwaarde probleem
22
2.5.1. Direct Scattering Problem
23
2.5.2. Inverse Scattering Problem
24
2.5.3. Yoorbeeld: beginvoorwaarde U(x,O) • N(N+l) sec hi (x)
32
" 2.6. Backlund-transformaties 2.6.1. Toepassing op de KdY 2.7. De methode van Hirota
39
42
44.
-vi-
" 3. De Niet-Lineaire Schrodinger vergelijking (NLS)
51
3.1. Directe I-soliton oplossing door integratie
52
3.2. De NLS als integreerbaarheidsconditie
56
3.3. De NLS als voorwaarde voor tijdsinvari.nt spectrum
60
" 3.4. De Backlund-transformatie voor de NLS
66
3.5. De methode van Hirota
69
4. Enkele methodes uit de niet-lineaire optica
85
4.1. Slowly varying amplitude approximation
87
4.2. Helmholtz-vergelijking en multiple-scalemethode voor het vlakke plaat probleem.
94
" 4.2.1. Lineaire coordinaten "stretching"
95
" 4.2.2. Niet-lineaire coordinaten stretching
101
4.3. Afsluitende opmerkingen m.b.t. solitonen in glasvezels
108
5. Conclusies
109
6. Referenties
110
Appendices A. Bewijs van de lemma·s uit de functionaal analyse
115
8. Afleiding van de Gelfand-levitan-"archenko integra.l vergelijking
117
C. Listing van de plotprogr.mma·s
123
-1-
1.
l:n1 . . i c : : l i n g
De meest bestudeerde (golf)verschijnselen worden mathematisch beschreven door lineaire differentia.l vergelijkingen. Het oplos.en van deze verQelijkingen kan o.a. gebeuren m.b.v. Fourier-transformatie. Deze technieken zijn er onder meer op gebaseerd dat lineaire superpositie van 2 oplossingen een nieuwe oplossing oplevert. Deze lineaire differentiaal-vergelijkingen zijn over het algemeen maar een eer.te benadering van het verschijnsel, alhoewel ze een geldigheid hebben in een groot gebied. Bij een betere benadering blijken er vaak niet lineaire termen bij te komen en daarmee zijn de meeste bekende technieken niet meer bruikbaar. Maar de oplossingen van deze niet-lineaire differentiaalvergelijkingen blijken echter ook vreemde, fascinerende eigenschappen te bezitten. Vreemd, zeker in de zin van onbekend in de lineaire theorie. Enkele voorbeelden: Voor een klasse van n1et-lineaire golfvergelijkingen blijken de snelheid en de amplitude samen te hangen. Een grote golf loopt sneller dan een kleine. In de niet-lineaire optica komen frequentie verschuivingen en golflengte veranderingen voor. Fascinerend zijn vooral de solitonen: stabiele, pulsachtige oplossingen. Eigenlijk zijn het speciale enkelvoudige golfje. ("solitary waves"), die in een aantal apzichten een deeltjes karakter bezitten (vandaar de uitgang II-on"). Deze stabiliteit wordt bereikt door het uitspreidende effect van de dispersie te campenseren door het apsteilende effect van de niet-line.iriteit.
-2-
" Een 044iciele de4initie van een soliton is er eigenlijk niet, maar vrij algemeen eist men de volgende eigenschappen: 1. Een soliton is een go14 met vaste vorm. 2. een soliton is gelocali.eerd, d.w.z. de amplitude nadert tot nul voor Ixl -. -, 04 nadert tot een con.tante. 3. Verschillende solitonen inter4ereren (niet lineair) met elkaar en weI zodanig dat na de interactie elk der solitonen weer zijn oorspronkelijke vorm hee4t. Vooral deze laatste eigenschap hee4t de belangstelling voor de solitonen doen opleven. Dit is pas ontdekt in 1965 door Zabusky and Kruskal [1] door numerieke experimenten. later is dit ook analytisch geveri4ieerd. Deze analytische weg wordt ook gevolgd in dit verslag. De eerste niet-lineaire di44erentiaal-vergelijking met soliton-oplossingen werd reeds ge40rmuleerd aan het einde van de vorige eeuw door Korteweg en de Vries (inderdaad twee Nederlanders). Ie beschrij4t lange watergolven in een kanaal. Voor deze eenvoudige vergelijking blijken ook de meest toegepaste technieken nog vrij eenvoudig te zijn. Het is dan ook een bijzonder geschikt oe4enobject. Sinds de genoemde opleving ZlJn er vele vergelijkingen gevonden met soliton-oplossingen. Het aantal fysische verschijnselen dat hierdoor beschreven wordt is nog groter en het aantal hi.rover gepublic.erde artikelen " stijgt exponentieel (momenteel .nkele duizenden per " jaer). Dit wordt g.illustre.rd door het bekend. overzichtsartikel van Scott et al. [2] (41 pagina·s en 267 referenties). Helaas is er nog geen echt standaardwerk, en er is ook nog geen tijdschrift dat toonaangevend is op dit gebied. Dit komt mede door het feit dat er raakvlakken zijn met de fysica (ba.isverschijn.elen,) wiskunde (oplossingsmethodes) en de toepassingsgebieden.
-3-
Zo vormde de direkte aanleiding voor dit afstudeerwerk .en artikel van Hasegawa [3], waarin e.n bitrate van 1012 bits/sec (Terabits) voor glasvezels wordt besproken. Dit is een factor 100 tot 1000 maal de rate van de huidige systemen. In deze niet-lineaire optica is de " Niet-Lineaire Schrodinger vergelijking van belang. Tot slot nog enkele algemene opmerkingen voor het hele verslag: 1. Deze materie is zo complex, dat het zoeken naar de eenvoudigste oplossing vaak al moeilijk genoeg is. de gevonden resultaten zijn dus in zekere zin allemaal speciale oplossingen. 2. Van afleidingen zijn vaak aileen enkele tussenresultaten gegeven. De rest van het rekenwerk is recht toe, recht aan en meestal vrij uitvoerig, doch niet direkt relevant.
-4-
(KdV) De Korteweg-de Vries vergelijking (verder aan te duiden als KdV) beschreef in eerste instantie lange watergolven in een kanaal. De geschiedenis van de ontdekking van deze "solitary waves" staat beschreven in vrijwel ieder overzichtsartikel en wordt daarom hier achterwege gelaten. De definitie van de KdV is ook niet in aIle artikelen gelijk • Door diverse substituties zijn diverse constanten weg te manouvreren. Het karakter van de oplossingen blijft weI gelijk. In dit verslag wordt uitgegaan van:
KdV.
au at
+
au ax
u- +
=0
(2.1)
Er kan opgemerkt worden dat de dimensies van de 3 termen niet gelijk lijken te zijn. Dit is het gevolg van het wegtransformeren van constantes, m.a.w. U, x, en t bezitten niet meer hun oorspronkelijke dimensies. (2.1) is dan ook de dimensieloze vorm van de KdV. De tweede term is de niet-lineaire term en de laatste term van (2.1) brengt de dispersie in rekening. In dit hoofdstuk is dankbaar gebruik gemaakt van een handgeschreven syllabus van prof. E.M. de Jager van de Vrije Universiteit te Amsterdam. Deze syllabus, behorende bij het college "De mathematische theorie van de Solitonen" is niet uitgegeven, voor zover de schrijver deze. bekend.
-5-
C)p1c)'!i5ssing
clC)C)r-
int.E!'gr-a.t.iE!'
Onder een I-soliton oplossing wordt verstaan een aplossing die slechts uit 1 "bult" bestaat. Randvaarwaardenl U(x,t) en aile afgeleiden worden nul vaor Ixl-+- (lakaal verschijnsel). Er wordt eerst avergegaan ap een bewegend frame: ~
=x
- vt
(v
= constant)
(2.2)
De KdV (2.1) gaat hierdaor over in:
Integratie naar ~ levert ap (integratie constante wordt nul door randvaarwaarden): (2.4)
Vermenigvuldiging met op:
U~
en wederam integreren levert
(2.5)
De aplassing van deze vergelijking is:
(2.6)
Oftewel in de aorspronkelijke variabelen: U(x,t)
= 3v
sech t
(~;(x t
- vt) )
Dit heet de I-soliton aplassing van de KdV.
(2.7)
-6-
Hier is al duidelijk te zien dat de amplitude en de voortplantingssnelheid aan elkaar gekoppeld zijn. Een groot soliton loopt sneller dan .en klein. Deze oplossing is grafisch weergegeven in fig 11.1.
Fig. 11.1.
De 1-soliton oplossing van de KdV.
De constante v wordt bepaald door de beginvoorwaarden. Indien de randvoorwaarden niet worden opgelegd komt er een algemenere oplossing uit, beschreven door zgn. elliptische functies. Dit is echter geen lokaal verschijnsel meer. De hier beschreven oplossing is dan een limiet geval van deze elliptische functies.
-7-
2_2_
KdV
_1~
~nt~gr~~r
b~~rh~~d~c~nd~t~~
De KdV blijkt ook op een geheel andere wijze naar voren te komen dan als de beschrijving van watergolven. De volgende 2 paragrafen handelen hierover. Tevens kan een veralgemenisering worden gemaakt, de N-de orde KdV genoemd. Veronderstel een stelsel van lineaire differentiaalvergelijkingen (DV·s) van de eerste orde: 1(x,t)
=
[Yl (x, t)] YI (x, t )
met a1 = A1 ax
en
< x < < t <
-00 -00
a1 at
00
(2.8a)
GO
(2.8b) II
II
A en S ZlJn 2x2 matrices met coefficienten aij(x,t) en bij(x,t). Het stelsel (2.8) heet dan en aIleen dan integreerbaar indien
a[a1]
at ax
=
d.w.z. aA f + As1 at
a[a1]
ax at
= as~ ax
+ SA1
(2.9)
Hieruit kan als voldoende voorwaarde voor de integreerbaarheid van het stelsel (2.8) afgeleid worden: aA at
: : =-[A,S] - -{AS - SA}
(2.10)
[A,S] heet de commutator van de matrices A en S. Een eigenschap van zo·n commutator is dat zijn spoor (som van de elementen op de hoofddiagonaal) gelijk aan nul is. Stelsel (2.10) levert dus een stelsel van
-8-
4 vergelijkingen ap met 8 anbekenden. Dit geeft valdaende vrijheid am het spoor van de matrices oak gelijk aan nul te kiezen: (2.11) Vaor de kenners betekent dit dat A en B nu tat de Lie algebra beharen. Er resulteert nu een stelsel van 3 vergelijkingen met 6 anbekenden: ab 11 -aall at ax aal1 at aall at
ab 11 ax ab 21 ax
= a21 b 12
-
(a)
all bll
= 2al1 b ll
2a ll b ll
= 2allb21
- 2a ll b 11
(b) (2.12) (c)
Dit geeft nag steeds valdaende vrijheid am bepaalde keuzes te maken. (Er wardt gezacht naar een speciale aplassing, niet een algemene). Kies: all = ~ = constant a21 = 1 all (x,t) = U(x,t)
(2.13)
Matrix A is nu valledig bepaald. StelBel (2.12) gaat aver in
= ~b21
(2.12c)
= Ubll
(2. 12a)
b12
(2.12b)
-at = -ax11 -
au
ab
=
1
ab ll ax
(a) (2.14)
+ -I
ab -axl1 -
= Ubll -
+ 2Ub l1 -
au -bll + 2(U + ax
ab l1 ~ax
I
1 I
a b l1 l ax
(b)
2~bll ~
I
ab a1 ax
)-
;,
!. a bll 2 ax;'
(c)
-9-
Substitueer in deze laatste vergelijking de volgende reeks voor de functie bill
r
N
b 21 (X,t) •
cn(x,t)~2(N-n)
(2.15)
n=O II
II
en bepaal de coefficienten cn zo, dat alle positieve I II machten van ~ geelimineerd worden. Aldus levert (2.15) condities op voor de integreerbaarheid van stelsel (2.8). De eliminatie van ~I levert de volgende recurrente betrekking Opt aCn+l
---= ax
1 au --cn2 ax
0:in:iN-1
(2.16)
Uit de co~ffici~nt van ~2N+2 voIgt: aco ax
=0
(2.17)
" De coefficient van
~o:
(2.18)
Met een voortzetting van (2.16) voor n=N is dit ook te schrijven als: (2.19)
Dit wordt de KdV van de orde N genoemd. De KdV van de orde 0 ziet er dan als volQt uitl Kies co· 1
..
au au = ax at
(2.20)
-10-
Voor N=l volgt uit (2.16)1
(2.21)
I
(2.22)
Dit wordt de I
Met de gemaakte keuze voor matrix A (2.13) blijkt dat de I
-11-
2.3
KdV
D~
~1~
~~~r~~~rd~
ti~d~in~~ri~nt
~~~r
~p~ctr~~
P. Lax ontwikkelde een theorie m.b.t. de tijdsinvariantie van spectra van bepaalde operatoren [4]. Oak hier komt de KdV weer tevoorschijn. Bovendien is deze theorie nag van belang bij het oplossen van het beginwaarde probl.em. Voor het begrijpen van deze theorie is .erst .en verdere verdieping in de operatoren rekening (of functionaal analyse) noodzakelijk. Het geneel speelt zicn af in de Hilbert-ruimte. Voor de functies in deze ruimte geldt:
(2.23) Het inwendig produkt en de vol gens
~
zijn gedefinieerd
GO
= IT(X).*(X)dX,
-.
(2.24)
" Een geadjungeerde operator T+ wordt gedefinieerd vol;ens
(2.25) Een operator heet bovendien zelf-geadjungeerd als geldt
T+.
T
(2.26)
Een operator wordt anti-symmetrisch genoemd als geldt
(2.27)
-12-
M.b.v. volledige inductie is snel aan te tonen dat
(2.28)
zoPn anti-symmetrische operator is. Een unitaire operator h.eft als eigen.chap (I - identiteitsmatrix)
(2.29)
Twee operatoren L1 en L2 het unitair equivalent indien (2.30)
Het spectrum van een operator L is gedefinieerd als de verzameling van aile waarden ~ waarvoor de operator L - ~I geen begrensde inverse (op de Hilbert ruimte) bezit. Vervolgens nog 2 lemma·s die bewezen worden in Appendix A. Lemma 1: Twee unitaire equivalente zelf-geadjungeerde operatoren bezitten hetzelfde spectrum.
" Lemma 21 Elk. differentieerbare unitaire operator U
- B(t)U(t)
met B
(2.31)
Uit lemma 1 is .en conditi. af te lei den voor de tijdsinvariantie van h.t spectrum van L
<2.32)
-13-
Differentiatie naar t, gebruik makend van (BU)'. U'B' en (2.31), levert op U'B'LU + U,dL U + U'LBU • 0 dt of weI dL -- • - [L,B] • - (LB - BL) dt ( [L,B] heet de commutator van L en B).
(2.33)
Het probleem is dus nu verschoven naar het bepalen van een operator B(t) die voldoet aan (2.31) en (2.33). Deze twee condities samen worden de Lax-conditie genoemd voor een tijdsinvariant spectrum. De KdV komt tevoorschijn als deze toegepast op de Schrodinger operator.
theorie
wordt
II
a2 L(x,t) • - V(x,t)· axl
(2.34)
(Met V· wordt een vermenigvuldigingsoperator bedoeld). Voorwaarde (2.33) wordt BL - LB
aL av = at at
=
(2.35)
Hieruit voigt dat BL - LB een vermenigvuldigingsoperator moet worden. Gebruik makend van (2.28) wordt een familie van antisymmetrische operator.n Bn(t) samengesteld volgen.
+
a2 i - I
n {
I
. 1 1=
b i he,t)
.
a X 11-1
(2.36)
-14-
'1
,.
Nu dienen enkel nog de coefficienten bi(x,t) bepaald te worden, zodanig dat (2.35) geldt voor Bn : (2.37)
Substitutie in (2.35) resulteert in
_.. _.
av
av
at
ax
of wei V(x,t) • '" vex + t)
(2.38)
(Vergelijk (2.20): nulde orde KdV). Dit resultaat is triviaal. Immers door de verschuiving van x (x'"
=x
+ t) is (2.34) gelijk te maken aan
a2
-
...V
(x)·
(2.39)
en het spectrum hiervan is tijdsinvariant.
Substitutie in (2.35) levert, na enig rekenwerk, op:
(2.41> Het rechter lid wordt ook een vermenigvuldigingsoperator als
(2.42)
-15-
Van (2.41) blijft dan aver: (2.43) Ook dit resultaat is met een kleine transformatie te schrijven als (2.1), de KdV van de orde 1. Hiermee is dus aangetoond dat indien V(x,t) voldoet aan " de KdV (l e orde), dan is het spectrum van de Schrodinger Z operator a - V(x,t)· onafhankelijk van t.
ax z
-16-
2.4.
D~
B~h~~d~~_tt~n
~p1~~~ing~n
~~n
~~~r
d~
KdV
2.4.1.
..
Een behoudswet met "dichtheid" A en "flux" B is gedefinieerd als
aA at
+
aB
ax
(2.44)
• 0
A en B mogen functies ZlJn van x, t, U(x,t), Ux ' Ut etc. Als A en At integreerbaar zijn over --<x<~ en B-+O voor Ixl-+~ dan volgt uit (2.44)
~J: dx =- BI~=
dt
0
-~
-~ ~
JA dx
ofwel
(2.43)
= constant
-~
Deze integraal is dus een behouden grootheid (onafhankelijk van t). De KdV is om te schrijven tot (2.46) en volgens (2.44) en (2.43) geldt dan:
J~(X,t) -~
..
(2.47)
dx • constant
.1.
Dit kan geinterpreteerd worden "behoud van m Eigenlijk moet men hiervoor terug naar het fysische probleem, maar het is ook zo wel plausibel.
.
-17-
2.4.2.
A~1~iding
~~n
d~
b~hC)ud!i55..,~tt~n
Van de KdV wordt beweerd dat deze oneindig veel behoudswetten heeft. Dit te bewijzen vereist natuurlijk een systematische aanpak. Er wordt uitgegaan van het integreerbare stelsel DVPs van paragraaf 2.2. Substitutie van de gevonden relaties levert op: (2.48)
a[Y1] YI
ax
=
[~ 1
U] [Yl] YI
(2.49)
-~
a[Yl] at Ya
~au + !.~U 2
!.~U +
2
X
!.u It X (2.50)
Neem als nieuwe functie
Y= Yt/Ya
(2.51>
Gebruik makend van (2.49) en (2.50) kan afgeleid worden:
Eliminatie van U uit (2.52) en (2.53) levert op
ofwel
(2.54)
-18-
Het blijkt nu handiQ om een substitutie toe te passen en wel w = >.y en B = 1/>. en vervolgens W te ontwikkelen nAar machten van vol gens
8
(2.55)
(Het is niet nOdiQ om te eisen dat deze machtreeks convergeert) • II •• Tot slot worden de coefficienten van gelijke machten van c aan elkaar gelijk gesteld. Dit levert enig schrijfwerk op, maar het is op zich vrij eenvoudig rekenwerk. Substitutie van deze stappen in (2.52) levert op voor
CO
0
=U
+ 2Wo
--.
W0 =
i --u 2
(2.56)
----+
Wi =
i --u II x
(2.57)
voor c 1 aw o ax
= 2Wi
voor c 2 (2.58)
Op dezelfde wl~ze kan de behoudswet (2.54) ontwikkeld worden in een oneindige reeks behoudswetten met bijbehorende behouden grootheden. Voor rP geldt dana 2 awo + ~_!.W2 a } • 0 _!.---W II 2 0 ax 2 0 at ax Voor c
(2.59)
1
aWl
at
+
~-3WOWl ax
2
a i - !.---W II ax2
}
= 0
(2.60)
-19-
Voor
,l I:
Substitutie van (2.56 - 2.58) in (2.59 - 2.61) levert dan op (2.62)
(2.59)
met als gevolg
J OOu
dx
= constant
(2.63)
-00
(2.60) is niet direkt interessant, want dit levert aileen op U(oo,t) - U(-oo,t) = constant, en daar reeds was verondersteld dat U~O voor Ixl~oo is dit niets nieuws.
a2
(2.61) samen met ---(KdV) levert uiteindelijk op:
ax 2
(au)
au- + ~U~ + !. It ax at ax 2
a u} -U-2
2
1
2 ax2
= 0
(2.64)
met als gevolg
J~2dX
• constant
(2.65)
-00
In analogie met de interpretatie van (2.47) endus II (2.63) wordt dit geinterpreteerd als "behoud van hoeveelheid bewegingsenergie". Voortgaande op deze wijze kan men oneindig veel behoudswetten genereren. Een zinvolle interpretatie zal echter voor de meeste relaties niet mogelijk zijn.
-20-
2.4.3.
Xnt~rpr~t~ti~
~~n
d~
b~hC:::;)L.lc:::l15"""'lettE!!'n
Naast de gegeven interpretaties voor (2.63) en (2.65) blijkt nag een interessante relatie af te leiden te zijn. Hiervoor dient wei de volgende veronderstelling gemaakt te worden: (2.66) Bekijk de algemene behoudswet (2.44) en neem voor A: A
= xU + 3tU2
(2.67)
Het blijkt nu mogelijk een bijbehorende B af te leiden met als resultaat: (2.68) Aldus geldt (2.45) en differentiatie naar t
~J=U dx
dt
+
+
-00
3t~J~2dX =0 dt
levert op:
(2.69)
-00
De laatste term is volgens (2.5) gelijk aan nul. Het blijkt mogelijk am de plaats van het zwaartepunt X(t) te definieren als
J=u
X(t)
=
dx
-00
J~ dx
-00
(2.70)
-21-
Differentiatie naar t levert de snelheid van het zwaartepunt. M.b.v. (2.63), (2.65) en (2.69) vol;t:
dX -
dt
-=-3 - - - - - •
constant
(2.71)
Dus het zwaartepunt van een willekeuri;e oplossin; van de KdV ver;elijkin; bewee;t met constante snelheid. Dit is no; vrij triviaal voor een 1-soliton oplossing zoals ;e;even in (2.7) of fi; 11.1. Het resultaat wordt minder triviaal zodra U(x,t) een multi-soliton oplossin; (meer interacterende bulten) voorstelt. Deze oplossin;en zullen in de vol;ende para;rafen behandeld worden maar hier is dus al een frappant aspect van die oplossingen af;eleid.
-22-
Tot nu toe is aileen het soliton op zich bekeken. Maar een belangrijk aspect is het beginwaarde probleem: Als de functie (die voldoet aan de KdV) op een zeker tijdstip gegeven of bekend is ais functie van de plaats, hoe zal deze functie zich dan in de tijd ontwikkelen? Als voorbeeld zal een functie behandeld worden die zich splits in 2 solitonen. Dit vormt dan tevens de inleiding op de volgende paragrafen waarin andere methoden voor multi-soliton oplossingen aan bod zullen komen. De interacties tussen deze solitonen leveren de meest frappante en fascinerende resultaten op. Het probleem is te splitsen in 2 delen: 1. Het direkte verstrooiingsprobleem (direct scattering) Gebaseerd op de theorie van Lax kunnen de spectrale gegevens bepaald worden uit de beginfunctie. 2. "Inverse scattering problem" Uit deze spectrale gegevens kan de functie weer bepaald worden, maar dan voor aile tijdstippen.
-23-
2.5.1.
Dir~ct
Sc~tt~ring prc::)b1~rn.
Er wordt weer uitgegaan van het stel.el integreerbare DV~s (2.48 - 2.50). (2.48)
a[Yl] Y2
ax
(2.49)
= !.U II
,.2 U + !."U 2
X
X
!."U + !.U 2 .. X (2.50) Daarnaast zijn de volgende randvoorwaarden nodig: lim U(x,t) x+±-
=0
en lim Ux(x,t) x+±-
=0
(2.72)
en Y2(X,t)-+0 voor Ixl-+-
en
Y2(X,t) begrensd voor aIle x en t
}
(2.73)
of
staat voor "evenredig met") Uit (2.49) voIgt • (N
of weI
•
• Yt ---- - U(x,t)Yt
ax·
= ,.• Y2
(2.75)
Uit (2.50), in combinatie met (2.49) valt .f te Ieiden:
-24-
(2.76) Eliminatie van ~I uit (2.75) en (2.76) levert op
a ax
:J
-U(x,t)-
•
(2.77)
Uit vergelijking van (2.48), (2.75) en (2.77) met respectievelijk (2.43), (2.34) en (2.40) v01gt dat het spectrum van dit eigenwaarde prob1eem onafhankelijk van tis. Dus dit spectrum is gelijk aan dat van het v01gende prob1eem (met natuur1ijk dezelfde randvoorwaarden (2.73 of 2.74» (2.78) Opmerking: It Van de Schrodinger operator is bekend [5a) dat deze o.a. een discreet spectrum ken hebben met .en eindig aantal eigenwaarden vol gen.:
~I
•
Pl'l
>0
(n • 1,2, ••••• ,N).
(2.79)
Bij dit probleem hoort randvoorwaarde (2.73). (Het discrete spectrum kan 1.eg zijn (N • 0) het;een geschiedt als U(x,t) > 0 voor aIle x en t. Een functie waarvan de tweede afgeleide hetze1fde teken heeft a1s de functie zelf, kan nooit naar nul naderen voor x ~ao en x ~-ao) • Als YI voldoet aan randvoorwaarde (2.74) dan behoort ~2 tot het continue spectrum: (k
>
0)
(2.80)
-25-
Het discrete spectrum De ei;enfunctie, beherende biJ de ei;enwaarde ~I- Pn >0, werdt ;eneemdl (2.81>
'n
II
Uit (2.78) en (2.72) velQt dat eKpenentieel naar nul nadert veer IKI-+-. De evelutie naar t wedt beschreven deer (2.76). De nerm van de functie (zie eek (2.24), met als ., II reeelwaardiQe functie) werdt Qedefinieerd a1s:
'n
I'.
(k,t)
I"·
J;:
--
(k,U
Differentiatie naar t,
dC
2C(t)- == dt
'n
dk
= c"
(m.b.v.
(2.82)
It)
(2,78»
I
2J; a'n n
at dK ==
-00
OO
-
J
-00
II
a'n
U ' n - dK + aK
&.J~ ,2n
I
aK
dK
(2.83)
-00
Uit partiel. inteQratie velQt dat de eerste inteQraal nul is ('n (K,t)-+O veer IKI-+-).
-26-
II
Partiele integratie naar de laatste term, en gebruik makend van (2.78) en (2.79), levert op:
dC C(t)dt
=-
OO a'fn U'fn- dx
J
ax
-00
-J __
'I n_ = roo~.ax.
-
] a'f
Pn'n _n = 0
ax
(2.84)
-00 II
(Daar Tn exponentieel naar nul nadert voor x-+oo doet aTn dit ook).
ax
Resultaat: de norm is onafhankelijk van de tijd! Uit (2.75) of (2.78) voigt (2.85) Uit (2.76) voigt vervolgens: dCn dt
voor x --++00
(2.86)
Dus (2.87) (Dit betekent aileen dat 'In in negatieve x-richting loopt) • Omdat de norm onafhankelijk is van t, is 'In ook te norl meren op 1 (I'nl • 1) en Cn (t) wordt dan de normalisatie •• II coefficient ;enoemd. Voor Cn(O) is de normalisatie II II coefficient te kiezen, behorende bij YI(X,O) • Tn(x,O). Het continue spectrum. De eigenfunctie, behorende bij eigenwaarde (2.80), wordt genoemd y.(x,t) - T(x,t,k)
(2.88)
-27-
De bijbehorende randvoorwaarde is (2.74), waar dus uit voIgt (2.89) De grootheid b(k,t) •
B(t) A(t)
(2.90) '1
II
wordt de reflectiecoefficient ;enoemd. Ook hiervoor is de tijdafhankelijkheid af te leiden. Toepassing van (2.76) op (2.89), en gelijkheid voor alle K eisend, levert op:
dA
(2.91)
en
dt Derhalve geldt:
(2.92)
en II
II
met als gevolg voor de reflectiecoefficient
b(k,t)
-2jk = B(O) e A(O)
3
t
=
(2.93)
II
I'
Berekening van de reflectie en normalisatie coefficient uit de beginwaardefunctie. Uitgangspunt Yormt de eendimensionale tijdonafhankelijke It Schrodinger-vergelijking (2.78) (2.78)
-28-
Randvaarwauarde " (2.72) wardt. aak nag st.eeds veranderst.eld. Dit. recht.vaardigt. de int.raduct.ie van zagenaamde Jast.-aplassingen • II
f+hc,k) .. e jkx f + (x, -k)
vaar X-++OD
e- jkx
N
vaar X-++OD (2.94)
f_(x,k) f_(x,k)
N
..
e -jkx
vaar x--+-oo
e jkx
vaar X-tl--OD
met. ).2. _k 2 (-00 (k(+oo) (Slecht.s 2 aplassingen van (2.94) zijn lineair anafhankelijk. Elke andere aplassing kan in deze 2 aplassingen uitgedrukt. worden). II
It
Analaog aan de reflect.iecaefficient. b(k) (2.90) i6 er .. II aok een t.ransmissiecoefficient. a(k) t.~ definieren. Dit. leidt. t.at. de volgende speciale oplassing:
..
voor x.......+oo (2.95)
en '<x,k)
N
a
voar x.......-oo
M.b.v. de Jost. aplossingen:
(2.96)
Different.iat.ie naar x van de Wranskiaan van 2 apla.singen ('1 en '2) van (2.78) levert. ap
(2.97)
-29-
Dus de Wrenskiaan zelf is censtant. Teepassing ep de Jest-functie:
(2.98)
II
II
Dus veer de transmissie ceefficient geldt: a(k) =
-2jk
(2.100)
Deze neemer is meeilijker te berekenen emdat f+(x,k) aileen bekend is veer x-++~ en f_(x,k) aileen veer X-+-M. Maar als deze eenmaal bekend is, dan kan de II II reflectie-ceefficient b(k) m.b.v. (2.96) berekent werden. Veer de eigenfuncties Tn, behorende bij eigenwaarden van het discrete spectrum (~I= -k l = Pn (n=1,2, ••• ,N» is reeds de relatie (2.83) afgeleid: x-++~
(2.83)
Veor X-+-M geldt natuurlijk analoeg K-+-M
(2.101)
•• •• Veer beide nermalisatie ceefficienten blijft gelden dat 1 ITn 1 = 1 (zie (2.82». M.b.v. de Jest-eplessingen is dit weer te schrijven als: (2.102)
-30-
Nu kan er weer een Wronskiaan berekent worden:
(2.103)
De noemer van a(k) wordt dus nul voor k • jJPn. Dus a(k) bezit een eindig aantal polen op de imaginaire as in de punten k = j~, n = 1,2, •••• ,N. Voor complexe integratie, die later aan de orde komt, blijkt dit voldoende te zijn.
2.5.2.
Xn~~r~~
s~~tt~ring pr~bl.~R1
Het "inverse scattering problem" komt erop neer dat uit de spectrale gegevens de functie weer kan worden berekend, maar dan voor aile tijdstippen. Deze afleiding is nogal gecompliceerd en lang. Deze is daarom opgenomen als appendix B. Hier worden slechts verkort de resultaten weergegeven. In deze afleidingen wordt er zonder nadere specificatie van uitgegaan dat aile betrokken functies zich "voldoende net" gedragen en voldoende begrensd zijn, zodat aile bewerkingen zijn toegestaan. II
Definieer de functie K(x,y) als de Fourier getransformeerde van f+(x,k) - .jkx als:
K(x.
yl
m
2:J:~JkY [f + (x. kl -DO
- .JkX] dk
(2.104)
-31-
De daarmee samenhangende teruggetransfarmeerde is dan: +OO
=
e jky K(x,y)dy
(2.105)
J
-00
De functie K(x,y) is hierdaar eigenlijk aIleen vaar t = 0 gedefinieerd, maar er blijkt later dat deze functie vaartgezet kan worden vaar aIle t en de relatie " tussen K(x,y,t) en de functie U(x,t) van de Schradinger operator blijkt te zijn:
U(x,t)
d = +2dx
K()(,x,t)
met K(x,x,t) = lim K(x,y,t:) yol-x
(2.106)
Resteert dus nu de berekening van K(x,y,t) uit de spectrale gegevens. Na een gecampliceerde afleiding blijkt deze relatie de de zagenaamde lineaire integraalvergelijking van Gelfand - Levitan - Marchenko te zijn:
K(x,y) + M(x+y) +
J~(X'Z)M(Z+Y) x
(y
dz
>
=0
(2.107)
x)
Via (2.87) en (2.93) ZlJn Cn en b(k) bekend, en hierdaar kamt de tijdafhankelijkheid terug. In (2.107) is t slechts een anafhankelijke parameter en daaram niet apgenamen als variabele.
-32-
2.5.3.
V~~rb~~1d=
~~~rd~
U<x,O>
=
b~gin~~~r
N~~CM2
<x>
" Als de beQinvoorwaarde voor de Schrodinger-verQelijkinQ luidt: (2.109) dan is het beginwaardeprobleem analytisch oplosbaar. Uit [Sa en b, 6a en bJ voIgt dat in het speciale geval U(x,O)
= -N(N+l)
sech I (x)
(2.110)
geldt voor de eigenwaarden uit het discrete spectrum: Pn
= ~~ = n 2 ,
n = 1,2, ••• ,N
(2.111)
'I I' en voor de reflectiecoefficient: b(k)
=°
(2.112)
" Substitutie van ~ = tanh(x) in de SchrodinQer vergelijking (2.78) met (2.109) Ievert de Legendre vergelijking op:
Hieruit voIgt ook .1 dat de voorwaarden (2.110) en (2.111) noodzakelijk zijn omdat (2.113) enders singuliere punten bezit voor ~-+±1 (x-+±.).
-33-
Het geval N • 1 (2.110).
U(x,O) • -2 sechl (x)
(2.114)
(2.111).
P1 • ).: • 1
(2.115)
De apla.sing van (2.113) luidt in dit geval: (2.116) " P11 is hier natuurlijk de geassocieerde Legendre functie. 1'1. b • v. (2. 85) :
'1 (x) • -C sech(x) Normering ap 1 (m.b.v. resulteert in
= 1I-C1 (0) (2.82»
sech(x)
(2.117)
en toepassing van (2.87)
(2.118) Substitutie in (2.108): M(x,t) • 2e- x - 2t
(2.119)
De Gelfand-Levitan-Marchenko integraalvergelijking (2.107) ziet er dan als volgt uit:
K(x.y.~)
+
2.-(x+y+2~)
+
J;K(x.z.~)e-(Z+y+2~)dZ x
(2.121)
Men kan vrij 5nel can.tateren dat K(x,y,t) van de valgende vorm maet zijn: (2.121) De berekening van W1(X,t) en dus K(x,y,t) levert verder geen prableem. Ook het nemen van de limiet en de
—34--
a4geleide van (2.106) levert geen probleem op. Daarom alleen het resu].taat: U(x,t)
—2 sech2(x
=
+
t)
(2.112)
N.B..: Dit lijkt niet in overeenstemming met (2.7) maar hierbij dient opgemerkt te worden dat U(x,t) ook niet voldoet aan (2.1) maar aan (2.48). Door de overgangen: t~~÷ —4t, x—+ x en U—+ —U/6 gaat (2.48) over in (2.1) en (2.122) gaat over in (2.7). Het geval N
2
=
Deze berekening is nogal analoog aan het geval N=1, maar het is alleen (enkele bladzijden) meer rekenwerk. Daarom alleen enkele belangrijke tussenresultaten: (2.110)
U(x,0)
(2.111)
p1 P2
= 2 ~‘2
De oplossing van
=
1
(a)
=
4
(b)
=
DP~(~)
Normering van P~. en C~ Ct) C2 Ct)
(2.123)
3~y~
.—*
3D(1—~2)
—.
~2
en
~-C~(0)sech(x)tanh(x) (a) (2.125) ~-C2(0)sech2(x) (b)
(2.87):
~ e~ S
(2.124)
(2.113)
CP~(~) =
—6 sech2(x)
=
‘/~~
(a) (b)
e 8
(2.126)
Na enig rekenwerk vo]gt dan als resultaat:
U(x,t)
—12
cosh(4x—64t) [3coshx+7t
+
4cosh(2x+2t) +
+
cosh(3x+9t)]
3
(2.127)
—35—
Via de overgangen zoals geschetst onder (2.122) kan de oplossing voor de vergelijking (2.1) verkregen warden. Deze luidt dan:
U(x,t)
72
cosh(4x—64t) [3coshx—28t
+
4 cosh(2x—8t) +
+
3
(2.128)
cash 3x—36tj
Het is nu interessant am enkele asymptotische gevallen van deze vergeliiking (2.128) te bekijken. Schematisch weergegeven ziet dit er dan als volgt uit: .,plaats x~4t
xZl6t
t ii d ~—oo
l2sech2 (x—4t—cx)
48sech22(x—16t+~-cô 2
(2. 129) t—~ +oo
l2sech2 (x—4t+a)
met tanh(~x)
=
48sech22(x—16t—~) 2
2
Het gehele tijdverloop van (2.12B) wordt gei’llustreerd in de computerplots fig. 11.2 t/m 11.4 Asymptotisch splitst het verschijnsel zich op in 2 aparte solitonen. Voor t~ —oo bevindt het kleinste soliton zich dus rechts van het grootste. Het grootste loopt echter sneller naar rechts dan het kleinste, dus een interactie is onvermijdelijk. Uit deze interactie (zie ~ +oo) komen de solitonen weer ongeschonden te voorschijn, waarbij ze van plaats verwisseld zi.jn. Opmerkelijk is we dat ze hierbij een faseverschuiving hebben ondergaan: het kleinste is hierbij 2a naar achteren verschoven en het grootste soliton is a naar voren (in de x—richting) verschoven. Dit is nag het
-36-
beste te zien in fig 11.4, de contour-lijnen. Nog een opmerkelijk feit is dat op t = 0 (beginconditie) geldt «2.123) na transformatie) U(x,O)
= 36
sech 2 (x)
(2.130)
De 2 "bulten" kruipen dus niet op elkaar waarbij de amplitudes optellen (zoals gevoelsmatig van watergolven wordt verwacht), maar er treedt een soort gemiddelde op. (z i e fig. I I • 2 en fig. I I • 3) Waren de behoudswetten uit paragraaf 2.4 (behoud van massa, behoud van kinetische energie, enz.) voor de 1-s01iton oplossing nog triviaal, voor de 2-soliton oplossing ligt dit niet meer zo voor de hand. Maar de behoudswetten gelden toch voor iedere oplossing van de KdV. Al deze frappante eigenschappen hebben al menigeen gefascineerd. M.b.v. de Lie algebra kan algemeen bewezen worden dat de beginconditie (2.110) asymptotisch N solitonen oplevert. Dit bewijs valt echter buiten de context van dit verslag. Er bestaan ook nog andere methodes om tot multi-soliton oplossingen te komen. Deze zullen in de volgende paragrafen aan de orde komen.
-37-
---; x
-8
Fig. 11.2
De 2-sclitcn cplcssing (2.128) cp 5 tijdstippen (t - -0.3, -0.1, 0, 0.1, 0.3) ( -8. <
)( <
8.)
8
.8
.6 .4
.2
.8
0
.6 .4
.2 0
< x < 10
Fig. 11.3
3D weergave van (2.128) voor -10 en -0.5 < t < 0.5
Fig. 11.4
Een contour-plot (ook weI hoogtelijnen genoemd) van 11.3. Aantal contouren: 4 (20X, 40X, 60X en 80X van maximum).
-39-
••
B~ck1~nd-tr~n~~~r~~ti~~
" De Backlundtransformatie wordt (voor deze toepassin;) " gedefinieerd als een paar partiele DV·. die de oorspronkelijk functie (of stelsel van functies) overvoert in een nieuwe functie (of stelsel). Dit ;ebeurt in de hoop dat de Aldus verkregen functie makkelijker oplosbaar is en waardoor dus door teru;transformatie oak oplossingen voor de oorspronkelijke functie worden gevonden. Schematisch:
P(U)
=0
~
YX {
= F(X,t'U'Ux'Ut'Y' ••• )}~ ~
Yt
Q(y)
=0
= G(x,t,U,Ux'Ut,y,···) (2.131)
Er wordt nu gezocht naar transformaties die de KdV in een eenvoudi;er vergelijking transformeren. Een eerste zodanige transformatie is al beschreven met (2.52) en (2.53). Eliminatie van U uit deze 2 vergelijkingen levert op: (2.132) Doch van deze ver;elijking ZlJn de oplossingen oak niet makkelijk te vinden. Voor een eenvoudige bruikbare transformatie dient overgegaan te worden op een nieuwe variabele:
wx
=-U
(2.133)
Substitutie in (2.48) en integratie naar x ;eeft: (2.134) (De inte;ratie constante kan worden ;eabsorbeerd in W).
-40-
Deze vergelijking wordt ook wei de KdV-potentiaal vergelijking genoemd. Transformatievergelijkingen die een stelsel peW) "overvoeran in een stelsel Q(W) kunnan ook door aen systemstische afleiding uit (2.~2), (2.~3) en (2.132) verkregen worden, maar deze aflaiding is niat relevant. Daarom wordt hat resultaat hier direkt gegeven:
_!.(W
(a)
I
(2.135) W~) (b) Eliminatie van W (door 2 maal differentieren van (a) naar x en optellen van (b» levert uiteindelijk op: (2.136)
" Stelsel (2.135) wordt dan ook een Auto-Backlund transformatie voor de KdV potentiaal vargelijking genoemd. """Bij W hoort natuurlijk de oplossing U -Wx • Dus als U -W x een oplossing is van de KdV (2.48) (en dat mag "de triviale nuloplossing zijn) en W en W voldoen aan "(2.13~), dan is U ook een oplossing van de KdV. Door "deze methode (van het bepalen van een niauwe oplossing W uit een bekende oplossing W) herhaald toe te passen kan in principe een hele ladder van oplossingen gemaakt "worden. Bovendien zijn meerdera oplossingen U te verkrijgen uit U door andere keuzes voor ~. Maar helaas wordt de ladder na de eerste trade moeilijk bestijgbaar. "Hat lijkt dan vrijwal ondoanlijk om oplossingen voor W te vinden.
=
=
Maar er is een oplossing. Deze steunt op het permutatie theorema van Bianchi [7]. Veronderstel hiartoe aen oplossing Wo en 2 nieuwe oplossingen Wi an WI.
-41-
II
Deze zijn via (2. 135a) gedefinieerd alsl
--
aWl awo + ax ax
aw o + aWl ax ax
_l.(W - WI ). + 2>.: I 0
= _l.(W I 0
w2 )2 + 2>.=
(2.137)
(2.138)
Uit W Nordt nu een nieuNe oplossing WI. geconstrueerd, gebruik makendvan >'•• Uit W2 Nordt nu W21 geconstrueerd m.b.v. >'1· In vergelijkingen Neergegeven: aWl + -ax
aWl. ax
I= _l.(W I
aW 2 aW 21 + ax ax
-
-
•
Wl2 ) 2 + 2>.~
(2.139)
_l. (W2 - W21 ) 2 + 2>.:
(2.140)
I
Schematisch:
II
BT staat voor Backlund transformatie. W11 en Wl1 bevatten nog integratie constanten Negens hun constructie door integratie uit stelsel (2.135). Het permutatie theorema zegt nu dat deze integratieconstanten zo te kiezen zijn dat altijd te realiseren is:
(2.141)
-42-
Substitutie van (2.141) in (2.139) en (2.140) levert m.b.v. (2.137) en (2.138) na een kleine berekening op:
(2.142)
Dit is een eenvoudige formule voor de constructie van een nieuwe oplossing op grond van 3 bekende oplossingen.
2.6.1. Allereerst dienen oplossingen WI en WIgeconstrueerd te worden. Begin daartoe met Wo = 0 (triviale nuloplossing). Stelsel (2.135) gaat hierdoor over in
...W
x
...W t
2+ = _!..W 2 1 ......
= --ww XX II
2>.2
(a)
(2.143) + 1"'2 -w 2 X
= WX >.2
(b)
Er zijn nu 2 oplossingen mogelijk: (2.144)
(2.14~)
Dus WI> >'2. De bijbehorende oplossingen U, en U. ziJnl U, (x, t )
(2.146) (2.147)
-43-
De parameters ~l en ~2 zlJn dus een saart karakteristieke waarden van de aplassing. Ze bepalen bIijkbaar de amplitude en vaartplantingssnelheid. Oplassing U2 bevat singuliere punten en is dus fysisch niet interessant, maar mathematisch weI. Neem, als vaarbeeld, vaar de canstructie van de aplassing Wl 2 de valgende waarden ~1=1, ~2=2 en xa=O. Hierdaar kamt (2.146) avereen met (2.122). Canstructie van de aplassing Ul2 door differentiatie naar x van Wit (die gecanstrueerd is m.b.v. (2.142» levert ap
U12
(x,t)
2 2 4casech C2x+8tJ + sech Cx+tJ
-= - 6 - - - - - - - - - - - - - - - (2catanhC2x+8tJ
(2.148)
tanhCx+t)t
Na enig gegoachel met hyperbolische functies blijkt dit in overeenstemming te zijn met (2.127), de twee-solitan aplossing. Door andere keuzes vaor ~l en ~t volgen andere oplossingen. Er gelden geen beperkingen vaor ~1 en ~2' maar het is raadzaam om ~ ~ 0 te kiezen (de aplassingen zijn symmetrisch t.o.v. ~). Door herhaaid toepassen van (2.137) kan nu weI ap eenvoudige wijze een "ladder van aplossingen" worden gecanstrueerd. Iedere verschillende I~I is asymptotisch met een apart soliton te identificeren.
-44-
Een andere methode voor afleiding van multi-soliton opIossingen is de methode, ont~ikkeld door R. Hirota. Zijn aanpak komt enigzins uit de lucht vallen en een be~ijs ~ordt noch door hem, noch door anderen gegeven. Opmerkelijk is ~el dat Hirota in korte tijd een serie artikelen heeft gepubliciteerd met oplossingen voor vrij~el aIle bekende niet-lineaire vergelijkingen met soliton oplossingen. De oplossing voor de KdV vergelijking is beschreven in C8]. Dit gaat als voIgt: Substitueer in de KdV (2.48):
U
a! ax!
= -2---ln[f(x,t)]
(2.149)
substitueer in de KdV potentiaalvergelijking (2.136):
of~el,
a ax
W = 2--ln(f)
=
(2.150)
Uit~erking (en vermenigvuldiging met 2f t ) levert op:
(2.151) Probeer nu een oplossing van de vorm: N
f(x,t) - 1 +
L ,nf(n)(x,t)
(2.152)
n-1 (De superscript (n) is een index of label, geen afgeleide of macht). De oplossing is exact bepaald als deze reeks afbreekt. De rest van de afleiding is voornamelijk een .oort boekhouden: zoek de termen met gelijke machten van' bij elkaar en los de resulterende vergelijkingen Ope
-45-
Dit is recht toe, recht aan rekenwerk, en wordt daarom hier weggelaten. Alleen de resulterende vergelijkingen en de daarbij Qekozen (speciale) oplossinQen worden hier weergeQeven:
aO: komt niet voor.
aI.
f (1)
KXXX
- 4f ( 1) • 0 xt
Ca) (2.153)
S2. Alle termen met f(l) vallen tegen elkaar weg en er blijft slechts over: (2) - 4f(2) = 0 f xxxx xt
(a)
(2.154) Kies: f(2)= 0
a;l : Idem: f (3) xxxx
(b) 4f(3) = 0 xt
(a) (2.155)
Kies f(3)= 0
(b)
Er is vrij snel in te zien dat alle fen) met n te kiezen zijn, zodat de reeks afbreekt. De oplossinQ wordt dan:
~
3 nul
C2.156) (De boekhoudkundiQe parameter a kan Qelijk aan 1 Qekozen worden of opQenomen worden in el). Via (2.149) volQt dan de oplossinQ voor (2.48). C2.157) Voor ~I= 2~ komt deze oplosssing overeen met (2.146). Om de oplossinQ voor de KdV (2.1) te verkrijQen moet weer de transformatie, beschreven onder (2.122) worden toegepast.
-46-
De 2-soliton oplossing Dit gaat op dezelfde manier, maar kost aileen meer rekenwerk. De resultaten: (a)
(2.158) (b)
(a)
(2.159) (b)
a3 :
Hier vallen weer veel termen tegen elkaar weg. Er blijft over: (3) - 4f~r)= 0 f xxxx
(a) (2.160)
a" :
Kies: f(3)= 0
(b)
idem: f(4)- 4f~~)= 0
(a) (2.161)
Kies f(4)= 0
(b)
Verder blijkt uit de afleiding vrij snel dat aile termen fen) met n > 4 nul te kiezen zijn. De reeks breekt dus weer af, waarmee weer een exacte oplossing is verkregen. De totale oplossing ziet er dan als voigt uit: (2.162)
-47-
De exacte 2-so1iton oplossing voor (2.48) wordt via (2.149) bepaald en wordt:
(2.163)
Keuze van ~1. 4 en ~2. 2 levert (2.127) Ope De (onbewezen) bewering van Hirota luidt nu dat de keuze N
f(1).
Lexp(e 1 n=1
)
(2.164)
in (2.158) een afbrekende reeks oplevert en daarmee een exacte uitdrukking voor een N-soliton oplossing. Evenmin is duidelijk waarom op dat eerste niveau een reeks van oplossingen moet worden ingevoerd. Immers (2. 154a) is identiek aan (2. 153a) en dus kan er in principe ook daar gekozen worden voor f(2). exp(e.). Dit is geprobeerd, maar levert niets bruikbaars Ope Deze methode van Hirota is een direkte methode om speciale oplossingen van klassen van niet-lineaire vergelijkingen te construeren. Alhoewel er nergens een bewijs voor deze werkwijze te vinden is, kan er weI geconstateerd worden dat de gevonden oplossingen in ieder geval geed zijn.
-48-
Tot nu toe is slechts 1 combinatie van ~1 en ~2 nader bestudeerd m.b.v computerplots. Dit waren de waarden die voortkwamen uit het beginwaardeprobleem (paragraaf 2.5.3.: ~1= 4 en ~2= 2). Formule (2.163) maakt het ook mogelijk om andere combinaties te bekijken. Een interessant verschijnsel treedt op als deze karakteristieke ~-waarden kort bij elkaar liggen. Er blijven dan 2 toppen zichtbaar, terwijl de 2 solitonen elkaar toch inhalen (asymptotisch gezien). In de " computerplots 11.5 - 11.7 wordt dit geillustreerd voor ~1= 4 en ~2= 3,5.
-49-
t I
-12
~x
12
t I
Fig 11.5
De 2-soliton oplossing (2.163) (met ~l= 4 en ~2= 3,5) op 5 equidistante tijdstippen (t= -0.5, -0.25, 0, 0.25, 0.5) (-12<x<12)
-50-
.s
.B
.G
.6
."
."
.2
.2 0 0
Fig 11.6
3D weergave van (2.i63) (met ~1= 4 en ~2= 3,5) voor -12 < x < 12 en -0.5 < t < 0.5 , r 1
,I
- -l
-.j
-!,!!<'-'=-::~"':L!I.L~-:'-~~ L .~_.~_.l-_~'
-1,1.
n
DllU;jll;
Fig. 11.7
l'
'9
12
qG
il
(
Contourplot van 11.6. (4 contouren; 207., 407., 607. en 807. van maximale waarde>.
-Sl-
3.
D~
••
Ni~t-Lin~_ir~ Schr~ding~r ~_rg_1i~king
(NLS)
De vergeliJking die in de niet-lineaire aptica (en dus oak bij de glasvezels) van belang blijkt te zijn heet de •• Niet-Lineaire Schradinger vergelijking (verder aan te duiden a1s NLS). Hier wardt uitgegaan van de valgende varm:
NLS:
a,
ai, ax
I
ja-t + - + TI'I , l
• 0
(3.1)
..
Behalve een lichte gelijkenis heeft deze vergelijking niets te maken met de Schradinger-aperatar uit haafdstuk 2
-52-
3.1
Dir~ct~
1-_o1it~n
~p1~~~ing
d~ar
int~gr~ti~
Er zal hier naar een oplossing van (3.1) van de volgende vorm worden gezocht: (3.2) De functie ,. wordt de "envelope" of omhullende genoemd en de functie • heeft de naam "carrier" of draaggolf II gekregen. Beide functies zijn reele functies. De randvoorwaarden, die met name aan de envelope functie worden opgelegd zijn: ,,(x,t) en aile afgeleiden worden nul voor Ixl-+-, zodat er weer sprake is van een gelokaliseerd verschijnsel. Substitutie van (3.2) in de NLS levert op: I' voor het reele deell (3.3a) en voor het imaginaire deel:
,.exx + 2'x·x+ ' t -= 0
(3.3b)
loek nu een oplossing van de vorm:
"" - Ue t) "(x,t) • ,(x
. ,(,) ""
(a)
(3.4) .(x,t) • cxx - cxuct + cxx o
(b)
II
'(x,t) is nu een amplitude-gemoduleerde sinusoidale golf, waarbij de envelope zich voortplant met een snelheid Ue en de carrier een voortplantingssnelheid Uc heeft. (Deze snelheden zijn constant). \
-53-
II
De partiele afgeleiden van e zijn nu direkt te berekenen: ae ax
=a
(.)
ale l - 0 ax
-
(b)
ae - -aUe at
(c)
(3.5)
II
De partiele afgeleiden van • gaan aver in. '\<
a. a, -+ a.1 ax a, t·ax
-
'\<
a. a., a, -at -+ a, x ·at
-., '\<
-
(a)
(3.6) '\<
-ue · ,
(b)
Substitutie van deze resultaten in (3.3b) levert ap:
ex e(x!llt)
= 2~Ue
(3.7) (3.8)
Substitutie van deze functie e in (3.3a) resulteert in:
(3.9)
"" , Nordt Door deze vergelijking te vermenigvuldigen met . zij integreerbaar en integratie naar , levert op. (3.10)
-54-
De integratie-constante wordt nul vanwege de randvoorwaarden. Noem het resulterende rechterlid van (3.7) P(.) vol gens:
(3.11)
Er geldt dan:
=1
(3.12)
Het gevolg hiervan is:
-= ,
(3.13)
Dit is een elliptische integraal. Tevens voigt hieruit dat P(.> positief moet zijn am tat een oplossing te komen. Immers als P negatief is, wordt de integrand I' imaginair terwijl de hele integraal een reeel getal , moet opleveren. Het geval T>O houdt dan tevens inl 1.1 < Dit maakt de volgende substitutie mogelijk:
.0.
(3.14)
Hierdoor gaat P(.) aver in (3.1~)
-55-
In het geval dat ~~O en ,~O gaat (3.13), met toepassing van (3.14) en (3.15) over in.
(3.16)
(3.17) Vergelijking (3.14) levert dan op (3.18)
(Andere gevallen voor ~ en , (niet beide positief) leveren soortgelijke resultaten op). Als (3.18) en (3.8) worden ingevuld in (3.2) en weer aile oorspronkelijke variabelen worden gebruikt, verschijnt de I-soliton oplossing van de NLS:
(3.19) I
De factor Ue - 2Ue Uc moet positief zijn omdat P(.) anders negatief wordt voor • in de buurt van nul, en dat was niet toegestaan. Het geval T
-56-
~x
Fig. 111.1
3.2.
D~
De I-soliton oplossing van de NLS.
NLS
~1~
int~Qr~~r
b~~rh~id~c~nditi~
Ablowitz, Kaup, Newel, Segur [9] beschrijven een systeem van differentiaal-vergelijkingen, dat een veralgemenisering is van (2.13). Dit wordt het gegeneraliseeerde Zakarov-Shabat systeem genoemd of het AKNS-systeem naar de uitvinders. Dit systeem ziet er als voIgt uit= a~
-=
ax
A~
-= [
>.
R(x,t)
U(x,t)]f
(3.20)
->.
(3.21)
~
is hierin . .n ca.plexe
cDns~.n~e. en
f • [::].
De integreerbaarheidsconditie blijft dezelfde al. (2.10)= 8A
-at
8B
-- • -[A,B] • BA - AB
ax
(3.22)
-57-
Van dit systeem is bekend dat het spectrum van de bijbehorende operator invariant is m.b.t. een aantal klassen: I.
II
R. 1
II. R • -U
III. R
= -U·
-+
Bij dit spectrum hoort de Schrodingeroperator en de integreerbaarheidsconditie resulteert in de KDV voor U (zie paragraaf 2.2 en 2.3).
-+
De integreerbaarheidsconditie levert de zogenaamde Sine-Gordon vergelijking op. Ook deze vergelijking heeft solitonoplossingen. Hierop wordt in dit verslag niet verder ingegaan.
-+ Bij deze klasse hoort de NLS en die
kla.se wordt hier nu verder besproken. Uitwerking van (3.22) voor deze laatste klasse levert op:
(a)
au
(b)
at
au· --at
(3.23>
(c)
Deze 3 vergelijkingen bezitten nog 5 onbekenden (U en zijn nog vrij te kiezen). Er is dus nog een zekere vrijheid om keuzes te maken, oftewel er kunnen nog beperkingen worden opgelegd •
•
bit- -bt2
~
(3.24)
-58-
Vergelijking (3.23a)
l.v~t
hiermee op:
Het rechterlid is zuiver imaginair, dus b li (M,t) moet oak zuiver imaginair zijn. Vergelijking (3.23c) gaat over in au· at
(3.26)
Door aftrekken van vergelijkingen (3.23b) en (3.26) komt de volgende vergelijking tevoorschijn: au _ au.) _ (abtl _ ab~l] • ( at at aM aM (3.27) Het linkerlid is zuiver imaginair. Het eerste stuk van het rechterlid is oak zuiver imaginair. Daar (b tl + bfl) II reeel is moet ~ dus oak zuiver i.aginair zijn. Deze constat.ringen hebben ook tot gevolg dat (3.26) (en dUB (3.23c» de compleM geconjungeerde is van (3.23b). (Immers ~.- -~, bft- -btl). Van stelsel (3.23) blijven slechts 2 onafhankelijke vergelijkingen over met 4 onbekenden (b ll , bil' U, ~). Wederom is er dus keuzevrijheid. au Kies: bile j-- + GU aM Vergelijking (3.25) gaat hierdoor over in:
8<W·)
j-~
aM
(3.28)
-59-
InteQratie naar x levert epl (3.29)
" Omdat baa zuiver imaginair is meet pet) reeel zijn. Substitutie van (3.29) in (3.23b) levert ep:
(3.30) Kies verderl
Q
en jB
= 2j~
(3.31)
(. constant)
= ~Q = 2j~1
(3.32)
constant)
(=
VerQelijkinQ (3.30) Qaat hiermee over in de NLS: (3.33) De constante 2 is makkelijk over te voeren in de T van de oorspronkelijke verge1ijkinQ (3.1). Conclusie: a1s U(x,t) vo1deet aan de NLS (3.33), dan is het volgende systeem integreerbaar: U(X,t)].
(3.34)
-~
• [j
I U II + 2j ).1
jU: - 2j).U·
jUx + 2j).U -j
IUI
1
-
]
2j).1 •
(3.35)
-60-
3.3.
De
NLS
~~~r
ti~d~in~_ri_nt
_1~
~~~r~~~rd~ sp_ctr~~
In deze paragraaf wardt weer (net als in 2.3) gazocht naar een operator met het bijbehorende eigenwaarde probleem, en een voorwaard. onder welke deza eiganwaarden tijdinvariant zijn. Er wordt weer uitgagaan van hat AKNS-systeem (3.20)1
= ).Yl -aYl aM
+ Uhc,t)YI
(a)
(3.36) aYa
-aM
•
R(M,t)Yl -
(b)
).YI
In vectorvorm ziet het eigenwaarde prob1eem er dan a1s vo1gt uitl met L •
[
a:
-Ua]
R
--
(3.37)
aM
De operator L is nu aen matriM-oparator geworden en in zekere zin kan dus nu gesproken warden van een " meerdimensionaal l ' operator prob1aem, in tegenstelling tat h.t prob1eem in paragraaf 2.3. "aar de daar geformuleerde LaM-conditie geldt oak vaar meer-dimensionale operatoren. Met probl ••m van ••n tijdinvariant spectrum kan dus oak nu weer geformuleerd warden aisl Bestaat er .en (matriM)oparator B die voldoet aanl
(2.33) .at (2.31)
(3.38)
au at
• BU
(3.39)
-61-
Er zal blijken dat deze voorwaarden ook bepaalde condities opleggen aan d. functies R en U. Net al. bij de integrserbaarheidsvoorwaarde dient sr dus ean matrix B bepaald t . wordsn. Het verschil bestaat arin dat B nu differentiaal-operatoren mag bevatten. Differentie van L naar t levert op:
(3.40)
Wl~ze
Om de
van oplossen aan te geven wordt eerst verondersteld dat B louter uit nulde orde DV·. bestaat, oftewel aileen vermenigvuldigingsoperatoren: btt B = [ bIt
met bnm = bnm(x,t) n,m E (1,2)
(3.41)
Substitutie van (3.37), (3.40) en (3.41) in (3.38) levert een matrix-vergelijking op oftewel 4 gewone DV·s: a b ll ax
a b llx - b ll + bllR + Ub ll ax
-bttU
a b ll ax
=0
(a)
a + Ub ll - -Ut b tlx - b ll ax
(b)
(3.42) a a + R(b l l + b lIX + b ll b ll ax ax -b1iU - Rb il - b ll II
II
...! ax
b ll ) • Rt
+ b llx + b ll
...! •
0
ax
De coefficientsn van de ver.chillende operatoren vermenigvuldiging) moeten per vergelijking geliJk ziJn in linker- en rechterlid.
(c)
(d)
-62-
Dit toepas.end op stelsel (3.42) levert op: (a)
(b)
(3.43) (c)
(d)
Deze laatste 2 vergelijkingen zijn aan elkaar gelijk te maken door bv.
R • U* . . (b•• - b tt )*· -(b 22 - btt) II oftewel b•• - b tt = jQ met Q reeel.
(3.44)
En als vergelijking voor U: (3.43) Een alternatief voor (3.44) is (3.46)
Uta R - ..
Beide mogelijkheden leveren niet de NLS op. Deze komt pas tevoorschiJn als verondersteld wordt dat de elementen van de matrix B uit tweede orde DV·s bestaan: n,m E <1,2)
(3.47)
Dit levert uiteindelijk ook vier vergelijkingen op, in II II analogie met (3.42). GeliJkstelling van de coefficienten voor de verschillende operatoren levert uiteindelijk een stelsel van 14 vergelijkingen op:
-63-
= bliR
(a)
•
bliR + 2b I IR)C- bll)C+ Ub ll = 0
(b)
bliR + b ll R)C+ bll R)Cx- b lIX + Ub ll - 0
(c)
- -
=
-2b ll = 0
(d)
-2b ll - b lIX + Ub ll - bilU
-
=0
-2b ll - b 1lx + Ub ll + 2b 11 UX- b 11 U
(e)
=0
(f)
= =
2b l1
(3.48)
=0
(h)
= b l1 + b:uR
= Rb 11 + b l1 + = b l1X = 0
b l1 + blzR
Rb 11 + b ll + b l1X + 2Rx b 1Z
•
-
bliR + bll Rx + b l ZRxx - Rb 11 + b l1X
=
(i)
=
=0
= Rt
=
-b Z1 U
Rb 11 + bll)C- 0
-biIU
2bz1 UX- Rb 1z + b lIX - 0 b 11UXX- Rb 11 + b lIX
(k)
(1)
•
-
(j)
(m)
=0
(n)
Door het combineren van deze vergeliJkingen is het volgende tussenresultaat te bereikenl (a)
(3.49) (b)
-64-
Deze 2 vergelijkingen zijn integreerbaar en tntegratie levert ap:
-= t b tt - --(b aa + 3b tt )RU + Ct (t) b aa -
.. --(3b ..:I. -
(a)
-
(3.50) (b)
bu. )RU + C. (t)
ll +
Gebruik makend van dit tussenresultaat, levert het stelsel (3.48) uitetndeliJk de 2 valgende vergeliJktngen Dp:
:I. -= = I Ut - I-(b•• - b:l. t ) (RU Rt
:I. - ,a = --(b
•
:I. :I. .U)()() + .U)( (b l l + bl:l. )
-
CI)U (3.51) (C.- C:I.)R
(CI
• 1:1. I b ll ) (UR - ;R)()() + .R)(b•• + bl:l. )
-
Deze vergelijkingen zijn aan elkaar gelijk te maken vaar
R
= -U·
(3.52)
(Dit kamt avereen met klasse I I I van paragraaf (3.2». Substitutie van (3.52) in (3~51) levert uiteindelijk de valgende vaorwaarden apl
.
= • = • (b•• - b tt ) - -(b. l
-
(b•• + btt) •
-
•
bit)
(b•• + btl)
... -
....
..
•
b•• - b tt - 2Jex, ex reeel II
b•• + b lt - B, B reeel
(C.- CI ) •• -(C.- Cs ) C.- Cs - Jcr, en s s ;:JacU)()(+ I-BU)( - Jcru Ut - - Jex I U I· U (b ss -
en
T -
(a)
b l l , Cs - CI
(b)
II
ff
reee!
(c)
(3.53) (d)
)
-2t/ac
dan gaat (3.53d) aver in de NLSI (3.54)
-65-
Als aile gevonden voorwaarden vaar bft 1ft warden ingevuld, resul~eer~ di~ in de volgende 8-..a~rixl I
I
--lUI I 8 • jcx
De
apera~or
-
L -
a
l
axl
• a !.u' I X + U ax L
ward~,
a]
[:.
a + uax
!.u 1 x 1
!.IUI + 1
a
l
(3.55)
-axl
na invulling van (3.52) in (3.37)
+U
-a:
CS.56)
Yoor deze L geldt dus het eigenwaardeprobleem vol gens (3.37) en dit geef~ dus een opening naar de inverse scattering methode. Wegens tijdgebrek kon dit niet meer bestudeerd worden, "' maar de hierin geinteresseerde lezer wordt verwezen naar [10J en [llJ. Hier komen overigens interessan~. resul~a~en ~.voorschijn, die ~e karakteriseren zijn als oscillerende soli~onenl .oli~onen die periadiek weer dezelfde vorm aannemen.
-66-
3.4.
••
•
B~ck1~nd-tr~n~~~r~~t1~ 'V~C3r
d~
NLS.
II
Alhoewel er ook een Backlundtransformatie bekend i . voor de NLS [12], resulteert dit niet in een even gemakkelijke procedure als voor de KdV. Voor de volledigheid wordt de transformatie hier weI genoemd, maar om bovenstaande reden heeft het weinig zin om hier diep op in te gaan. Zonder verlies van algemeenheid kan worden uitgegaan van de NLS in de volgende vorm: (3.57) Zoals reeds beschreven is in paragraaf 2.6. is de II Backlundtransformatie een methode om op grand van een of meer bekende oplossingen een nieuwe oplossing te construeren. Als tussenstap Nordt dan gebruik gemaakt een andere functie of stelsel. De transformatievergelijkingen van' naar y (zie ook (2.131» zijnl (a)
Yt- -j(,x+ 2~,)yl- 2j(I'II+ 2~I)y +
j('= - 2~'*)
(b)
(3.58)
(c)
(9
is de nieuwe oplo••ing) • .... Omdat de nieuNe oplossing , kan worden beschreven met (3.58c) is het niet nodig om een vergeliJking voor y te zoeken en op te los.en. (Q(y) in (2.131». De functie y
-67-
di.nt all ••n t . valdaen aan C3.58a .n b). Op deze wijze zau du• •tap vaar stap .en hele r.eks aplassingen te canstruer.n zijn. De .erste .tap, waarbij wardt uitgegaan van' - 0 Cde triviale nulaplassing), i . nag redelijk makkelijk uit te vaeren. De ~ mag camplex zijn en het is daaram raadzaam am deze II te splitsen in een reeel en imaginair deel valgen.: ~
- Ii: + jJ.l
Als de nulaplassing wardt ingevuld in (3.58) resulteert dit in: (a)
(3.60) Cb) De aplassing van dit stelsel is:
y . A eXP[-2(~ + jJ.l)(x - x a ) - 4j(~ + jJ.l)I Ct - t a )] (3.61) Omwill. van de e.nvaud warden d. valgende keuzes gemaakt:
Substituti. van (3.61) in C3.58c) levert na enig rekenwerk ap
i -
2
.ech [2~ (x - 4J.1t)]. • ex p [2j J.I (x - 2
li:1 )
(J.l1 -
J.I
t]
(3.62)
Daze aplas ing kamt avereen met de l-.alitan-aplassing van (3.19) (waarin natuurlijk T - 2 maet warden
-68-
genomen), indien de volgende substituties worden toeQepast:
u.-
(a)
4JJ I
2(JJ Uc -
(b)
(3.63)
JJ
!../u • • l
l;: •
rl)
-
2Ue Uc
(c)
De tweede stap, waarbij wordt uitgegaan van oplossing (3.62), is veel moeilijker. Substitutie in (3.~8), waarbij er rekening moet worden gehouden met het feit dat de nieuw te introduceren ~ een andere is dan die in oplossing (3.62), levert een stelsel vergelijkingen op. Maar het is vrijwel ondoenlijk om dit stelsel op te lossen.
-69-
3.5. Oak voor d [13J Maarn singen gev rekenMerk 2-so1iton Mant het i Morden daa Uitgangspu
NLS geeft Hirota Meer transformaties aan m.b.v. een reeksontMikkeling Meer de oplosnden kunnen Morden. Dit is aileen Mat meer an biJ de KdV (ca. 20 pagina-. voor de plossing). Op zich is dit rekenMerk eenvoudig aileen een kM••tie van "boekhouden". Hier om aIleen de tussenresultaten gegeven. vormt Meer de NLS volgens (3.1) (3.1)
Vervolgens Mordt hier Meer de zogenaamde Cole-Hopftransforma ie op toegepast: (3.64)
in combina ie met:
., -
ghc,t)
(3.65)
f he, t ) II
met f(x,t) als reeelMaardige functie. Substituti in de NLS en vermenigvuldiging met fl(x,t) levert op:
en (3.64)
(3.66)
evert op II.
Vervolgens MOrden deze functies f en g ontMikkeld naar de formele parameter S;
-70-
f • 1 +
g •
-
I
aDf(n)(x,t)
(a)
n=O
(3.67)
I aDg(n)(x,t) n-O
(b)
(De aanduiding (n) is sen labal af index, gaen .acht af afgeleide) • II II De ~e.t van de p~acadu~a i . nu am de caefficientan van aD bij elkaa~ te zaeken vaa~ (3.66 I an II).
r r
aa
II.
a
l
II.
g(O) + jg~O) - 0 xx g(O)g(O)* • 0
...
(3.68)
9 (1) + jg (1) = 0 xx t
(3.69) ~ (1) T xx
o =
De aplassing van deze laatste algemeen f
g(O). 0
(1).
ve~gelijking
is in het
ax + b
(3.70)
deze aplassing leve~t angewenste x-+- af vaa~ x-+--. Kies daa~aml maa~
f(1).O
p~ablemen
ap
vaa~
(3.71)
De aplassing van (3.691) is
(3.72)
met. -
~(x
+
j~t)
-71-
a
l
r
II.
g(2) + jgI 2 ). 0 )()( g (1)g(1) *= =:OJ.
...
Kies g(2). 0
(3.73)
2.f (2)
T )()(
I A II
f(2)= ::t 2
e)(p(e + e*)
(). + ).*)1
De keuze g(2)= 0 is een speciale keuze, maar zaals reeds in het inleidende haafdstuk werd vermeld, is iedere aplassing in wezen een speciale apla.sing.
(3.74) II.
o =T ~ (3) )()(
f(3).0
Uitwerken van (3.741), door invulling van de gevanden resultaten vaar gel) en f(2), levert ap
(3.75) Kies g(4)= 0
(3.76)
Substitutie van de gevanden aplassing vaar f(2) (3.7311) in deze laatste vergelijking levert eveneens ap:
o •
~ (4)
T )()(
...
f(4).0
(3.77)
Nu is vrij snel in te zien dat vear hager. machten van steeds zal optreden:
o-24(n) T )()(
.....
n >
a
(3.78)
4
fen). 0
-72-
f en 9 ziJn dus ~e an~wikkelen in eindige reeksen en zijn daarmee dus ex.c~ bepaald. De an~wikk.lingsparame~er a kan nu geliJk aan 1 warden genamen, of hij is ap ~. nemen als (niet relevante> phaaefactar in e (zi. (3.72». De
func~ies
Zander wezenlijk verltes van algemeenheid kunnen aan de valgende variabelen oak de valgende w.arden worden taegekendl
T - 2
en A-I Het uiteindelijke resultaat wardt dan de l-salitan aplossing
=
•• Q
f
I~rl
exp(je i )
cash(er -
In[21~rl])
(3.79)
met ~- Re(~), e r - Re(e) en e i - Im(e). Dit is weer in avereenstemming te brengen met (3.19) door de valgende transformaties:
(3.80) en de factor
In[21~rl]
wardt verdiscanteerd in MO.
De 2-saliton aplassing: De ca;fficienten van ~o en ~~ blijven gelijk. Het verschil met de I-soliton aplassing bestaat uit een andere keuze in (3.72) als aplassing voor g(I). Vergelijking (3.691) in lineair, dus vaor g(l) kan als algamene apla.sing genamen wardenl N
9
(1 ) .
I
Nn ex p (era )
(3.81)
n-l met era·
~ra (M
+
j~ra)
-73-
De bewering van Hirata luidt nu dat dit een N-salitan apla.sing apl.vert. Waaram de reeksen (3.67) in al deze gevallen afbrek.n in anduidelijk. Een bewij. wardt nergens gel.verd, maar in de anderzachte gevallen is dit echter wei za. Yaar de 2-salitan apla••ing (N-2) zijn de tus••nresultaten al. valgt. I.
(3.82)
).1
{
II.
De aplassing van deze laatste vergelijking is.
Yaar
,3
zien de vergelijkingen er dan als vaIgt uit: g~~)+ jg~3). 2f~2)g~1)- f~~)g(l)+ jf~2)g(1)
o _
(3.84) ~(3)
T
..
f(3).O
X)(
De apla.sing vaar g(3) wardt dana
(3.85)
-74-
•
Stug valhauden en daarg.an naar & resulteert in I.
&.
{
,,(4)+ j,,(4). 0
kies g(4). 0
lit
'1XX
II •
• et ala apla.sing vaar f(4).
•
(3.87) Met anverminderde maed is nu &5 bereikt: I.
_ f~~)g(l)- j(f(2)g~3)_ f~2)g(3)_ f~4)g(1~ (3.88) II.
O. ~f~~) . .
Kies f(S). 0
T
Uitwerken van (3.881) levert verrassend apl Kie. g(S). 0
(3.89)
Dit wanderlijke .aar welkame verschijnsel van elkaar eliminerend. termen bliJkt nu aak in de valgende .tappen ap te treden. Kie. 9(6). 0
I.
&6
(3.90) {
II.
Na uitwerken van II blijft averl
f(6).O
(3.91)
-75-
Het einde nadert reeds: g(7)+ jg~7)= _f(4)g(3)+ 2f(4)g(3) x x xx xx
I.
a7 II.
o •
2 f (7) T xx
..
f(4)g(3) + xx
_j(f(4)g~3)_ f~4)g(3»)
(3.92) f(7).O
En wederam blijkt de aplassing van I op te leveren: Kies g(7). 0
(3.93)
Als laatste stap:
...
I.
aB{
Kie. g(B). 0 (3.94)
II.
Het zal inmiddels weinig verwandering meer wekken dat uitwerking van (3.9411) oplevert:
o =
~(B)
T xx
..
Kies feB). 0
(3.95)
Hierna is vrij snel in te zien dat vaar hagere machten van a steeds zal aptreden:
..
I.
an
{
n
II.
o •
~(n)
T xx
Ki •• g(n). 0
>B ..
(3.96) Kie. fen). 0
De reek.en f en 9 braken dus weer af en f en 9 zijn daarmee weer exact bepaald.
-76-
Maak & nu weer gelijk aan 1; de oplossing luidt dan ,
g
I:
f
(3.97)
Dit is om te werken tot de volQende vorm: ,_
/y
0/ i
met G =
Ii
(3.98)
F
I~trlexp(j&ti)[cos
en F = cosh I
.t + j sin .ttanh &2rlsech &tr +
+ sinh I {tanh &tr tanh & Ir+
waarbij de gebruikte symbolen de volgende betekenis hebben:
I
I:
In
(I ~f + ~: IJ
.1- arQ (~l ~I
"1- arQ
>.tor- >.I >'Ir=
~2]
>.1 •
+
(>.~ -
~I)
>'1 + >'1 •
+ 2
>.f
>'1 + 2
>.:
• •
= In(l~:
~I]
+ ~:
-77-
e Sr
-
,..-
)
,..-
)
e 1 + e* I + I + In (n~2 4~sr
e. + e* • + I + In (n~ -e. r 2 4~.r e* S + j"l
e1
jesi -
2
e* • + j.,.
e.
je. i -
2
e1-
~1
(x +
j~1
t),
e.-
~.
(x +
j~.
t),
Net als bij de KdV zijn er nu oak weer een aantal asymptotische Qevallen te bekijken, waarbij 2 aparte solitonen zijn te onderscheiden. In de onderstaande Qevallen wordt uitQeQaan van:
~. i
>
~1 i
>
0
Dit resulteert in het volQende schema voor de functie 91
:s::
x
~
1ft'().I)'t
x
~
1m
'tijd
t-+ - .
).lr-XP j(e1i + .1) h )..r _xp j(e. i cosh(e1r + .) cosh(e. r - I) ,ff ,ff
't-+
).lr-XP j(e1i - "1) h )..r _xp j(e. i + cosh(e. r + I) cosh(e1r- I) ,ff ,ff
+Go
h h
.. ..
)
)
-78-
De faaesprongen in envelope en carrier t.g.v. de interaette komen in deze formules duideliJk naar voren. "aar er bliJkt oak dat deze faseprong niet altiJd hoeft op te treden. Immers I, en/of •• kunnen nul worden voor zekere "aarden van ~l en ~••
.1
Van formule (3.98) ziJn nag .en .antal eomputerplots gemaakt am de interaetie t . beatuderen. Deze ziJn op de volgende pagin.·. biJgevoegd.
-79-
t= -12.
T ------?
X
t=-6.
t=o.
t=6.
t=12.
FiQ. 111.2
I
farmule (3.98), twee salitanen met ver5chillende anelheden (-60(x(60, t- -12, -6, 0, 6, 12) ~~- 0,2 + j ~I- -0,4 + 2j anelheden: Ue1 = 2 Ue2= 4 Uc2= 1,92 Uc1 = 0,96 amplitude: A~= 0,2 AI = 0,4
60
-80-
.8 .6 .4
.2
o
Fig. 111.3: 3D plaatje van de envelope van 111.2 (-75<x<30, -15
-81-
-60
60
Fig. 111.4
I
farmule (3.98), twee salitanen met gelijke snelheden (-60(K(60, t- -10, -5, 0, 5, 10) ~~= 0,2 + j ~t= 0,15 + j snelheden: Ue1 = 2 Ue2= 2 Uc 2= 0,9725 Uc l= 0,96
-82-
-60
60
for.ule (3.98), twee solitonen met gelijke snelheden (-60(x(60, t- -10, -5, 0, 5, 10) ~t= 0,2 + j ~2= 0,19 + j Ue2= 2 snelheden: Ue1 = 2 Uc1 = 0,96 Uc 2= 0,964 De solitonen liggen verder uii: elkaar naarmate de ~·s korter bij elkaar liggen.
Fig. 111.5
I
-83-
Fig. 111.6 : formule (3.98), twee tegen elkaar in lopende solitonen (-40(x(40, t- -10, -5, 0, 5, 10) ~1= 0,2 + j ~I= -0,2 - j snelheden: Ue1 = 2 U.2= -2 Uc1 = 0,96 Uc2= -0,96
-84-
.8
.6 .8
.4
.6
.2
.4
0
.2 0
Fig. 111.7. : 3D weergave van de envelope van 111.6 (-SO<x<SO, -12
14.\
11 .2
• ·3
5.' ~
l.5
Fig. 111.8:
Contourplot van 111.7. (4 contouren: 20X, 40X, 60X en BOX van maximal. waarde)
-85-
4.
Enk~1~
~_th~d~~
~it
d_
ni_t-1in_~ir_ ~ptic~
Solitonen in glasvezels zijn verschijnselen uit de nietlineaire optica. In de volgende paragrafen wordt getracht de Nist-Lineaire Schr~dinger vergelijking af te leiden voor dit fysische gebied. Het niet-lineaire effect in d. optica wordt toegeschreven .an het Kerr-effect [14 - 16]. De volgende globale kla.sieke beschrijving dient slechts om een idee te krijgen van dit effect. Van een atoom is bekend dat een elektron een oscillerends beweging rondom de kern uitvoert. Als aIleen de aantrekkende kracht tussen het negatieve elektron en de positieve kern werkzaam is op dit systeem, dan zal de baan van de elektronbeweging in een bolvormige schil rondom de kern liggen. Als dit atoom zich echter in een uitwendig elektrisch veld bevindt, dan werken er extra krachten op het elektron. De beweging van het elektron " zal hierdoor worden beinvloed en de bolvormige schil zal vervormen. Hierdoor veranderen de materie-eigenschappen iets. Het moge duidelijk zijn dat dit effect klein is, maar ook dat dit effect groter is naarmate het elektrische veld sterker is. Dit Kerr-effect kan worden " b••chreven m.b.v. de relatieve dielaktrische constante vol gens: (4.1) waarin lEI de intensiteit van hat elektrischa veld voor.talt. Vaak treft .en echter ook de volgende H be.chrijving m.b.v. de breking.index .an (~r. 1 in de optica).
n •
~
•
• no + n. lEI + •••
(4.2)
-86-
Dit resultaat is vrij gemakkelijk af te leiden uit (4.1) door reeksontwikkeling. De subscript "0" in (4.1) en (4.2) duidt de lineaire benadering van de grootheden aan. Om een indruk te krijgen van de grootte orde van dit effect is wellicht een numeriek voorbeeld op zijn plaatsl
Tot slot kan nog worden opgemerkt dat dit zelfde Kerreffect ook wordt gebruikt ter verklaring van "Selffocusing of Optical Beams" [17], maar de vermogens voor dit laatste verschijnsel zijn nog steeds enkele ordes groter dan het hier noodzakelijke vermogen.
-87-
4.1.
S1~~1y
~_rying
~~p1itud~
cappr~Ki~... ti~n
De methode die, het meest beschreven wordt in de desbetreffende literatuur [16 - 21] is een heuristische benadering. Uitgangspunt vormt vergelijking (4.2) in de vorm:
c k • n • -2-. nO(k,w) + n.(k,w)IEI w
(4.3)
Hierin is k het golfgetal en Co is de lichtsnelheid in II _I vacuum (co- ~ioPo ). Uit deze vergelijking valt af te lezen dat keen functie I is van w en IEI • De invloed van IElloP de dispersierelatie is klein. Het ligt daarom voor de hand om het golfgetal k te ontwikkelen in een Taylorreeks naar deze grootheden:
(4.4)
waarin ko(w o ) de lineaire dispersie relatie is. Vervolgens wordt gezocht [3], [19] naar een E-veld van de vorm:
(4.5) waarbij R(r) de transversale veldverdeling in rekening brengt. HierbiJ wardt verandersteld dat I langzaam varieert t.o.v. het ascillerende deel. De volgende .tap is om in (4.4) (k - ko) te vervangen door -j8l/ax en (w - -0) door JaI/'8x.
-88-
Dit impliceert eigenliJk dat I(x,t) verandersteld wardt te zijn van de valgende varm: (4.6)
• waarbij de functie 9 een nag langzamer varierende envelape-functie vaarstelt, waarvan de x- en t-afhankelijkheden verwaarlaasd warden. Dit is natuurliJk een enigzins vage wiskundige benadering, maar deze is m.b.v. de meer-schalen methode (multiple scale analysis) te rechtvaardigen. Bavendien blijkt het handiger am de transversale afhankelijkheid op te nemen in de functie I. Farmeler ziet de afleiding er dan al. voigt uit (waarbij E complex wordt veronder.teld):
(4.7) (&«
1)
en
- 9(2 a ,T a ,f(r,.»exp j[(k - k a )2 t
-
(w - wa)T t ] (4.8)
M.b.v. daze farmule. zijn de valgende relatie. af te lei den:
•
(w - wa ) I
(w - wa ) •
.t 8 1
.4 89
Ji8T t
J
1
(a)
9aTI 1
n 89 81 + + L.._ + 91 aT;" iii 9 aT: I 8~
1 - 18 _
I 8 9
(b)
(k -
ka ) -
.1 81 -J- + I 82 1
.~
a9 ---9 82 1
J~
(c)
(4.9)
-89-
Deze relaties kunnen worden Qesubstitueerd in de Taylorreeks (4.4), waarbij dan ook nDQ de volgende notaties worden ingevoerd omwille van de overzichtelijkheid: k"'· -akl
a.. •...a
(4.10)
en
E-O
En zoals al eerder bij andere methodes nodig was dient oak nu weer een a-boekhouding te worden opgezet, d.w.z. aIle termen van gelijke a-orde bij elkaar zoeken (en de resulterende vergelijkingen oplossen). Aldus:
ak --2
aiEl
=_
a9 f ",+ .k" al } aT;\. k .J"I aT t
2
111 I
(a)
(b)
(4.11>
(c)
Vergelijking (4.11a) kan worden omgewerkt tot de NLS door enkele substituties toe te passen [22], te weten:
TJ = -J.[T t - k"'Zt] "['
,. -
(a)
I I kHI ---Zt I
(b)
I
(4.12)
"['
. _"['I
akI aiEl
I
--a
."Ii'kT.T
-I.
(c)
E-O
(M.b.v. "[' kan de pulsbreedte aan iedere gew.nste waarde aangepast worden) •
-90-
(4.11a) Qaat hierdaar aver in (4.13)
In het (frequentie)gebied waar geldt kll(O (negatieve Qraepssnelheid dispersie, anomalous dispersion [18]) gaat deze vergelijking aver in de NLS: (4.14)
Valgens (3.19) is de I-soliton aplassing van deze vergelijkinQ:
(4. H5>
Invullen van (4.12) levert de aplassing in de aarsprankelijke variabelen ape Deze luidt dan:
(4.16)
-91-
Door (4.16) naast (4.8) te leggen zijn de volgende verbanden te destilleren:
(a)
k -
k
o
==
~P
2-r
(4.17)
+
(b)
Vergelijking van dit laatste resultaat met de Taylorreeks (4.4) leert:
kit
(4.18)
==
M.b.v. deze relatie valt af te leiden voor de maximale amplitude van I: (4.19)
terwijl uit (4.7) en (4.16) volgt
lEI
=
III
= .maxsech{;vlI~
-
2UeUc[(~·+ ~::U)ZI_
:1]}
(4.20) De laatste 2 vergelijkingen ziJn niet met elkaar in overeenstemming te brengen. Bovendien blijkt uit vergelijking van (4.8) en (4.16) dat de functie 9(Z.,T.,f(r,.) te identificeren is met:
9(Z.,T•• f) ==
Imax.ech{~~
- 2Ue Uc [(k P + U;:"]ZI- T1 ] } (4.21)
-92-
Hieruit blijkt dat
(4.22)
Uit vergelijking (4.18) voigt dan weer: (4.23)
Dit is echter niet in overeenstemming met de &-boekhouding waarop (4.11) (en dus de rest van de afleiding) gebaseerd is. Door dit laatste resultaat, samen met de combinatie (4.19) (4.20), komt deze methode op losse schroeven te staan. Tot dusverre is de r-afhankelijkheid slechts als parameter-afhankelijkheid meegenomen in de berekeningen. In een paging die er op een verantwoorde manier in op te nemen moet van de volledige golfvergelijking worden uitgegaan. Deze voigt uit de Maxwell-vergelijkingen en leidt tot de Helmholtz-vergelijking. In het eenvoudigste geval van TM-golven, waarbij het + E-veld aIleen aen z-component bezit (E - Eztz ) (in de veronderstelling dat er in Met niet-lineaire geval oak dergelijke oplossingen mogelijk zijn), ziet deze Helmholtz-vergelijking in Met niet-lineaire geval er als voigt uit: (4.24)
-93-
Experimenteel blijkt dat de niet-lineaire term klein is:
&«1
(4.25)
waarbij ~r2lEzll van dezelfde grootte orde is als Bro. Als voor E z nu weer de uitdrukkingen (4.7) en (4.8) genomen worden en er weer een &-boekhouding wordt opgezet, resulteert dit in de volgende vergelijkingen:
al az
(met als afkortingl ~. ~r+ --l )
(4.26)
Zoals verwacht mocht worden is dit het lineaire probleem.
(4.27)
Deze vergelijking vertoont overeenkomsten met de Taylorontwikkeling (4.4), maar deze benadering is minder heuristisch. Toch loopt ook een verdere afleiding, gebaseerd op (4.27), weer vast op soortgelijke tegenstrijdigheden als de afleiding gebaseerd op de Taylorontwikkeling.
-94-
4.2.
H~1~h~1tz-~~rg~1ijking ~n
~~1tip1~-~c~1~~-~~th~d~~~~r
h~t
~1~kk~
p1~at
pr~b1~~~
In de aanpak van paragraaf 4.1. is naast de reeds genoemde bezwaren ook niet eeht rekening gehouden met de geometrisehe struetuur van het medium. Maar het nietlineaire probleem van de glasvezel (eventueel oak nag met een ronde daorsnede) is mathematiseh bijzonder geeomplieeerd. Daarom is hier als benadering voar de oneindig uitgestrekte plaat gekozen. Dit is soortgelijk fysiseh probleem en de resultaten kunnen een indruk geven van de optredende versehijnselen in de glasvezel. Definitie van het vlakke plaat prableem: lueht
eo
medium lueht
erea
y
r
)(
-= a e r .. ero· er2,E I It
liZ )(
• -a
eo Fig IV.l
Het vlakke plaat probleem.
Het assenstelsel wordt zo gekozen dat golfvoortplanting in de z-riehting plaats vindt. De plaat wordt oneindig uitgestrekt verondersteld in de y- en z-riehting. Dit implieeert dat het veld onafhankelijk is van y. In de omringende lueht luidt de Helmhaltz-vergelijking:
(4.28)
In het (niet-lineaire) medium zelfl
(4.29)
-95-
Om het probleem eenvoudig te houden wordt verondersteld dat het E-veld van de golf slechts een y-companent heeft (TE-golf).
(4.30) In het medium gaat (4.29) daardoor over in:
(4.31)
4.2.1.
L~n~_~~~
••
c~~~d~n_t~n
"1iiit~~1:::.c::h
~
n g ••
Een methode die vaak gebruikt wordt om dit .oort nietlineaire problemen aan te pakken i . de meer-schalen (multiple-scales) methode, waarbij gebruik wordt gemaakt II • • van zogenaamde "gestretchte" coordinaten [23J. Hl.rblj wordt een functie van x,z,t, zeg f(x,z,t), gerelateerd aan een functie van Xo' XI' XI, •••• ,Zo' ZI, ZI' •••• ' To, TI , TI ,··· •• , zeg F(X o ' XI' XI, •••• ,Zo' ZI, ZI' •••• ' To, T I , TI , waarbij
•••• ),
(a)
(b)
(4.32)
(c)
.et '«I, en n= 1, 2, 3, •••• (Zo wordt bijvoorb. .ld een functi. f(x) • .-'xsin x voorge.teld door F(Xo'X,) • .-X lsin Xo).
-96-
Dit heeft tat gevalg dat de afgel.id.n avergaan inl
a aX a
a
ax
-aza a at
-+
• a ax.
~" a La -
n-O -+
a aX I
+ & - - + & - - + •••
(b) (4.33)
az"
~" La - a
n-O
(a)
(c)
aT"
De niet-lineaire bijdrage wardt weer klein verandersteld. De methode, zaals die hier gebruikt wardt, is anders dan in de varige paragraaf. Het blijkt dan oak nadig am een andere a-afhankeliJkheid te v.randerstellen dan in de varige paragraaf C4.2~). CMi ••chien oak een reden waaram de varige methode niet werkte?). In dit gevaI: (4.34) De parameter a wardt za gekazen dat geldt: (4.3~)
In de praktijk [3] kamt dit erap neer dat
Tenslatte wardt vaar de veldsterkte E gesubstitueerd:
•
E - E CO )+ aE (1 )+ a·E(2)+••• _ ra"ECn) n-O
(4.36)
Dit betekent eigenlijk dat er bij de lin••ire ben.dering E CO ) een .antal carr.ctie-termen kamen. Zaals reeds kan warden verwacht, dient oak hier weer een a-baekhauding te warden apgezet.
-97-
Vergelijking (4.31) levert in de laagste arde (Sa) ap:
(4.37)
Dit uiteraard de lineaire benadering. Deze blijft natuurlijk als eerste benadering geldig, daar de nietlineaire effecten klein zijn verandersteld. Als aplassing van (4.37) Nardt een hamagene v1akke ga1f verandersteld, die zich vaartplant in de z-richting:
••
- A ( Xa , Xs. , Zs. , Ts. , ••• ) e.J
(4.38)
met • - PZ a - Ta Substitutie in (4.37) 1evert _en verge1ijking vaar A:
(4.39)
De algemene ap1assing hiervan 1uidt:
(4.40)
(transversale ga1fgetal).
De a1gem.ne aplassing vaar E(O) Nardt dan:
(4.41)
-98-
De vergelijkingen van de orde all
Om seculier gedrag van E(l)te vermijden dient (volgens het meerschalen-formalisme) het rechterlid van (4.42) gelijk aan nul te worden. Dit is te bereiken door: Al en AI onafhankelijk van Xl te kiezen en over te gaan op een bewegend frame:
...2 = 2 1
-
1
vT l
(4.43) met v
Bovendien dienen Alen AI niet meer afhankelijk te zijn van Tl in het bewegende frame:
...... Ai (Zl,X
Ai (X 1 ,Zl,Tl ,X I ,ZI,··) - .
I ,ZI, •• ) i
=
(4.44) 1, 2.
Dit betekent: aA· Baz : +
ClJBro • aA i
I Co
aT l
... ... aZ
....
aA· B_1
...
_.-
ro aA i I aT l Co
ClJB
+
l
i
=
1, 2.
(4.45)
Van (4.42) blijft dan over: al E U ) i
ax 0
a l E(1)
+
l
az 0
B
JO • I
Co
aIE U ) aT! 0
=0
(4.46)
-99-
Intermezzo: II II De coefficienten van nul te maken door: As (Zs ) met '" ls
c
O\p
-
D
:
en
All (ls ) met ls
met
ex • !:t
e~p(±jktXo+
I
Zs + exX s - ..:.9-«(1 + ktcx)Ts fltll ro C
D
j&) in (4.42) zijn ook
I
ls - exX s - --'L«(1 - ktcx)Ts fltll ro
B
De As-component stelt een golf voor die schuin omhoog loopt in de plaat en de AI-component loopt schuin omlaag (in figuur IV.!). Dit leidt tot het principe van multiple reflectie: De As-golf slaat na reflectie aan de rand om in een A,-golf en omgekeerd. Het probleem is echter dat deze 2 gevallen wei afzonderlijk oplosbaar zijn maar dat het niet mogelijk is om deze vervolgens te combineren tat een oplossing van het gehele probleem. Want in het principe van multiple reflectie zijn beide componenten in combinatie (tegelijkertijd) aanwezig. De oplossing zou dan al de vorm moeten krijgen van een gecompliceerde (meer-dimensionale) 2-soliton oplossing: De 2 golven (met soliton oplossing) lopen in verschillende richtingen en er zal een (niet-lineaire) interactie optreden waar deze golven elkaar kruisen. einde intermezzo. Er kan nu gekozen worden voor (4.47) De niet-lineaire storingsterm in (4.34) is van de orde al verondersteld. Het i . dan ook te verwachten dat de oplossing van de Helmholtz-vergelijking slechts even machten in a bevat. Bovendien is in de niet-lineaire
-100-
theorie een algemene oplossing toch niet mogelijk en de eenvoudigste oplossing is vaak al gecompliceerd genoeg. De vergelijkingen van de erda a2 • Van (4.31) blijft na uitwerking tenslotte over:
=
...
~~2IE(0)12A2] I
2
exp(-jktX 0 + je) (4.48)
Co
Om seculier gedrag te vermijden dient het rechterlid van (4.48) weer nul te worden. Ook nu blijkt weer dat het onmogelijk is om een algemene oplossing te vinden vanwege IE(0)1 2 • Er dient dus een transversale verdeling verondersteld te worden. Om Dngewenst gedrag voor Xo te vermijden is het raadzaam om te kiezen:
(4.49)
...
...
Bovendien blijkt dan uit (4.48) dat As en A 2 ook onafhankelijk moeten zijn van X2 • Tot slot dient er oak voor ZI en TI weer overgegaan te worden op een bewegend frame: (4.50)
-101-
Ai wardt nu echter niet anafhankelijk van TI verandersteld in het bewegende frame:
'" Ai (XI III ZI III T I
III • • )
-+
= Ai (1111I Till •• )
(4.51)
=
Om seculier gedrag van E(2) te vermijden maet Ai aldus aan de valgende vergelijking valdaenK
~I
1= raJa Ai (1 - v I -a"'zl 8
I
ca
i
=
+ jflU~ra. aA i aTI cI
+
a
'"
28 r2
I casI (k tXa ) I=A l II=Ai • 0
ca
(4.52)
~I
Met enige substituties is deze vergelijking eenvaudig am te werken tat de NLS (3.1)11I maar reeds aan (4.52) is te zien dat er iets mi. is. Daardat Ai anafhankelijk van Xa is verandersteld (zie (4.40» zijn de eerste 2 termen van (4.52) aak anafhankelijk van Xalll terwijl de derde term in de sommatie weI afhankelijk is van Xa. Tach dient (4.52) te gelden voar aile Xa • Dit is een tegenstrijdigheid, die aangeeft dat de gevalgde methade niet geheel correct is in dit geval.
=
4.2.2.
Ni~t-1in_~ir~
•• c~~rdin~t_n
~tr_tching
Speciale gevallen eisen speciale maatregelen. De resultaten uit de varige paragraaf gaven l l na enige betudering l l aanleiding tat de valgende caardinatenstretching:
x -+ x
(a)
(b)
(c)
(4.53)
-102-
Daar blijkt dat er aileen x-afhankelijkheid optreedt op het laagste niveau (X o )' heeft, het geen zin om deze coordinaat te stretch.n • • Voor de partiele afgeleiden naar z en t voigt het volgende:
.
a
l
-l +
,0.
az
al
-
(a)
azl
°
l
(4.54)
l
a a - - -+ I atl aT
(b)
l a cas(ktx) l -+2 azoaz! az
(a)
-°
a
l
-,1:
(4.55)
,l
--l
l
-+2 cos(ktx)
at a
,I.
l
--l az
a cnaaTI
l a -+2 cas (ktx) azoaz l I
(b)
l
a + cas (ktx)-az: I
(a) (4.56)
a
-
l I
a
l
I
a
l
l -+2 cos (ktx) STaaT! + cas (ktx)-aT,1 at II
(b)
De partiele afgeleide naar x vereist een aparte behandeling. Geheel correct luidt deze:
a
a • aZ n a • aTn a + + ax n-O ax aZ n n-O ax aTn
--+ ax
I - .- I - .- -
-103-
8
(4.57)
8x II
De sommatiereeks met partiele afgeleiden naar ZD en TD levert onoverkomelijk veel problemen Ope De enigste oplossing is om deze termen te verwaarlozen. Het uiteindelijke resultaat is dan ook een zeer grove benadering en aileen enigzins goed waar ktIDtan(ktx) en ktTDtan(ktx) zeer klein zijn (dus kt~O (afsnijfrequentie), x~o (zeer dunne plaat), z~O en t~O). Verder blijven (4.34 - 4.36) gelijk. De Helmholtz-vergelijking (4.31) levert nu in de laagste orde (So) op=
(4.58)
Als oplossing wordt nu direkt gekozen voor:
(4.59)
It
(Op deze oplossing is ook de coordinaten-stretching (4.53) gebaseerd). De vergelijking voor de orde S~ wordt=
8A- + = -2j cos• (ktx)e j& ~B 8l i
fI)
B ro
c.
o
8A ]
(4.60)
.-
8Ti
.
De rest van de procedure is identiek aan de vorige paragraaf:
-104-
Overgang op een bewegend frame (om secularitiet te vermijden) :
'"2 t
= 2t -
I
vT t
met v
=~
(4.61)
.sro
en A onafhankelijk van Ts in het bewegende frame.
'" (2'"s ,21 , T I , •• ) A (2 s , T s , 2 1 , T I , •• ) ........ A
(4.62) (4.63)
(speciale opla.sing) De vergelijking voar de arde Sl wardt tenslatte:
= -2j
...
cas 3
(ktx)
(aA B--a2 2
...
+ ~Br".aA ~ 2
Co
]
aT 2
+
(4.64)
Er wardt oak nu weer avergegaan ap een bewegend frame vaar 2. en TI : (4.6:5)
...
met als gevalg vaar A:
"'i A ( s, 2. , T. , •• )
~'" ........ A (Zs, i ., T. , •• )
(4.66)
Om seculariteit te vermijden maet nu gelden:
(4.67)
-105-
Dit is om te vormen tot de NLS in de vorm (4.68)
NLS: via de volgende substituties:
(a)
(b)
(4.69)
., = = A
(d)
De 1-soliton oplossing van (4.67) luidt dan (m.b.v. (3.19»:
(4.70)
Om even terug te komen op eerder gemaakte opmerkingen over de dimensies in de NLS; Via (4.69) kunnen de fysische dimensies van de variabelen bepaald worden, met als result.at:
-106-
['[]
2 = m
(a)
[~]
= m
(b)
[t]
=
[T] •
y
(4.71)
(c)
m y-2
(d)
-1 CUe] • CUe] • m
(e)
Hieruit blijkt dat de fysisehe betekenis van de graatheden anders is dan bv. in haafdstuk 3 werd gesuggereerd (tijd '[, plaats ~, snelheid Ue en Ue ). De aplassing vaar E(O), in de aarsprankelijke variabelen, luidt dan uiteindelijk:
U U k2 eC 2
2
e e t a s cos (k C 2 t 4(1) era
X)]
}
(4.72)
-107-
Bij deze vergelijking dienen een aantal opmerkingen gemaakt te worden: 1) Deze vergelijking is een benadering en eigenlijk aIleen geldig in een van de volgende limieten: K
--+ 0
of
kt
--+ 0
of
(z
--+ 0 en t --+ 0)
2) De parameter geeft de mate van niet-lineairiteit aan (zie (4.34) en (4.33» 3) Daar E(l) nul gekozen kan worden, is de eerste correctie-term hoogstens van de orde al. Yoor zover de benadering (4.72) goed is kan het volgende geconcludeerd worden: Met toenemende K (dus naar de rand van de rand van de plaat), neemt de snelheid van de envelope af neemt de golflengte toe neemt de frequentie af. Het gevolg van de niet-constante snelheid is, dat het soliton enigzins uit elkaar getrokken wordt en dit effect wordt sterker naarmate het soliton een grotere afstand aflegd. Tot slot nag een opmerking over de hele paragraaf 4.2. De stabiliteit van het soliton wordt toegeschreven aan een compensatie van het uitspreidende effect van de dispersie door het opsteilende effect van de nietlineairiteit. De dispersie in deze paragraaf is echter niet veroorzaakt door de frequentie-afhankelijkheid van II de dielektrische constante B. Hier is sprake van een zogenaamde geometrische dispersie als gevolg van het mechanisme van golfvoortplanting.
-108-
4.3.
A-Ft&1IUitEiitnc::lEi!' Rl.b.t. t&C31.i.tClnt&n
C3pRletr-ki..,getn 1. n g 1. . .t&"IeZ 1e11&.
De benaderingen in de vaarafgaande paragrafen geven geen uitsluitsel aver het al dan niet bestaan van salitonen in glasvezels. Er kan aIleen warden gezegd dat het waarschijnlijk is dat er "salitan-achtige Q verschijnsel.n kunnen optreden in dat medium. Gezien de campleKit.it van het prableem is het twijfelachtig of er een analytische beschrijving magelijk is. Misschien d.t een " avergang ap een kramlijnig caardinatenstelsel (dat de varm van het uitdijende soliton voIgt) mageliJkheden biedt, maar het is oak mogelijk dat de caardinatenstretching van de varm Q
= a Dz IEhc,z,t) I n maet warden. Het ziet er echter niet naar uit dat dit nag analytiuch aplasbaar is. Tach zijn er in de literatuur oak vaarbeelden bekend van experimenten [223 die gaed avereenkamen met numerieke resultaten [18]. Maar de vaarspelling van Hasegawa [3] aver bitrates tat Terabits/sec lijkt tach te aptimistisch. Hij gaat er hierbij van uit dat de pUlsbreedte tat 1 psec kan warden teruggebracht. Afgezien van het feit dat de amringende electranica (brannen, detectors) de daarvaar benadigde vermagens en anelheden nag niet kunnen leveren, wardt oak niet duidelijk hoe deze pulsbreedte gedefinieerd is. De sech-functie is immers in principe aneindig uitgebreid. En daarbij wardt er oak nag van uitgegaan dat de (tijds)afstand tussen 2 pulsen oak tat 1 psec kan warden teruggebracht. Dit lijkt echter ap een lineaire superpasitie van pulsen en dat mag nau net niet. Hiervaar zau (numeriek) anderzacht kunnen warden wanneer een lineaire superpasitie van 2 I-soliton pulsen wezenlijk begint af te wijken van de
-109-
oplossing, waarbij beide bul~en even snel lopen (zie bv. fig 111.4 en 5). Maar zelfs al zou hierui~ blijken da~ de Dnderlinge afs~and 10 maal de pulsbreed~e mDe~ zijn, dan nDg is de bi~ra~e van 0,1 Terabi~s/see (lOll bi~s/see), en da~ is nog al~ijd een fae~Dr 50 ~D~ 100 maal de huidige waarden. Maar de Dn~wikkelingen in de glasvezeleommuniea~ie zijn inmiddels ZDver gevorderd da~ he~ Dnwaarsehijnlijk is da~ deze soli~Dn-~eehnieken Dp kDr~e ~ermijn nDdig zullen zijn. eeh~e 2-soli~on
en nie~-lineaire golfversehijnselen ZlJn zeer boeiende en faseinerende DnderzDeksgebieden. Er zijn zowel mogelijkheden voor een analy~isehe benadering (zoals in di~ verslag) als DDk numerieke benaderingen. In he~ algemeen is he~ .eh~er noodzakelijk Dm zieh een groD~ aan~al nieuwe wiskundige ~eehnieken eigen ~e maken alvorens men zelf me~ sDli~onen kan gaan werken. Soli~Dnen
van soli~onen in glasvezels is nie~ aange~DDnd noeh weerlegd. He~ is zelfs ~wijfelaeh~ig Df di~ analy~iseh mDgelijk is. He~ is eeh~er wei aannemelijk da~ er soli~on-aeh~ige versehijnselen Dp ~reden in glasvezels. ODk experimen~en wijzen in die He~ bes~aan
rieh~ing.
Een bi~ra~e van Terabi~s/see (1012 bi~s/.ee)bij een pulsbreed~e van 1 psee, zoals besehreven dDDr Hasegawa [3] is een te Dptimistisehe vDDrstelling van zaken. Wegens tijdgebrek is er geen studie gedaan naar een realistisehere wa.rde. (Dit ZDU Dverigens dDDr cDmpu~er simulaties moeten gebeuren).
-110-
[ll
Zabusky N.J. and Kruskal M.D. INTERACTIONS OF "SOLITONS·· IN A COLLISIONLESS PLASMA AND THE RECURRENCE OF INITIAL STATES. Physical Review Letters, Vol.15 (1965) no.16, pp. 240-243.
[2l
Scott A.C. et ale THE SOLITON: A NEW CONCEPT IN APLLIED SCIENCE. Proc. of the IEEE, Vol.61 (1973) no.l0, pp 1443-1483.
[3l
Akira Hasegawa and Yugi Kodama SIGNAL TRANSMISSION BY OPTICAL SOLITONS IN MONOMODE FIBER. Proc. of the IEEE Vol.69 (1981) no.9, pp 1145-1150.
[4l
Lax P.D. INTEGRALS OF NONLINEAR EQUATIONS OF EVOLUTION AND SOLITARY WAVES. Comm. on Pure and Appl. Math. Vol.21 (1968), pp 467-490.
[5l
Morse P.M. and Feshbach H. METHODS OF THEORETICAL PHYSICS London: McGraw-Hill, 1953. [Sal part 1 pp 766-769 [5bl part 2 pp 1651-1657.
[6l
Landau L.D. and Lifshitz E.M. QUANTUM MECHANICS: NON-RELATIVISTIC THEORY London: Pergamon, 1958 (Reading Massachusetts: Addison-Wesley 1958) [6al problem 4, pp 69 [6bl problem 4, pp 77.
[7l
Eisenhart L.P. A TREATISE ON THE DIFFERENTIAL GEOMETRY OF CURVES AND SURFACES. New York; Dover Books, 1960, pp 284-288.
-111-
[8]
Ryoga Hirota EXACT SOLUTION OF THE KORTEWEG-DE VRIES EQUATION FOR MULTIPLE COLLISIONS OF SOLITONS. Phys.Rev.Letters, Vol.27 (1971) no. 18, pp 1192-1194.
[91
Ablowitz M.J. et aI, NONLINEAR-EVOLUTION EQUATIONS OF PHYSICAL SIGNIFICANCE. Phys.Rev.Letters, Vol.31 (1973) no.2, pp 125-127.
[101 Satsuma J. and Yajima N. INITIAL VALUE PROBLEMS OF ONE-DIMENSIONAL SELFMODULATION OF NONLINEAR WAVES IN DISPERSIVE MEDIA. Suppl. of the Progress of Theoretical Physics, no.55 (1974), pp 284-306. [11] Zakharov V.E. and Shabat A,B. EXACT THEORY OF TWO-DIMENSIONAL SELF-FOCUSING AND ONE-DIMENSIONAL SELF-MODULATION OF WAVES IN NONLINEAR MEDIA. Soviet Physics JETP, Vol,34 (1972) no.l, pp 62-69. Translation of: Zh.Eksp.Teor.Fiz. Vol 61 (1971), pp 118-134, [12] Estabrook F.B. and Wahlquist H.D. PROLONGATION STRUCTURES OF NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS. II Journ. of Math. Phys. Vol.17 (1976) no.7, pp 1293-1297. [131 Ryoga Hirota EXACT ENVELOPE-SOLITON SOLUTIONS OF A NONLINEAR WAVE EQUATION. Journ. of Math. Phys. Vol.14 (1973) no.7, pp 805-809. [141 Voigt W. MAGNETO- UND ELEKTRO-OPTIK. Leipzig: Teubner 1908 (par. 222: Elektronenschwingungen im isotropen quasi-elastischen Felde, pp 355)
-112-
[15] Baldwin G.C. AN INTRODUCTION TO NONLINEAR OPTICS. New York: Plenum, 1969. (par. 4.13: Self-focusing of optical beams, pp 104) [16] Chiao. R.Y. SELF-TRAPPING OF OPTICAL BEAMS Phys.Rev.Letters, Vol.13 (1964), no.15, pp 479-482. [17] Kelley P.L. SELF-FOCUSING OF OPTICAL BEAMS Phys.Rev.Letters, Vol.15 (1965) no. 26, pp 1005-1008. [18] Akira Hasegawa and Tappert F. TRANSMISSION OF STATIONARY NON-LINEAR OPTICAL " PULSES IN DISPERSIVE DIELECTRIC FIBERS. I: ANOMALOUS DISPERSION. Appl.Phys.Letters, Vol.23 (1973), pp 142-144. [19] Akira Hasegawa and Brinkman W.F. TUNABLE COHERENT IR AND FIR SOURCES UTILIZING MODULATIONAL INSTABILITY. IEEE Journ. of Quant. Electr. Vol.QE-16 (1980) no.7 pp 694-697. [20] Shen Y.R. THE PRINCIPLES OF NONLINEAR OPTICS New York: Wiley, 1984. (pp 518) [21] Dodd R.K. et al. SOLITONS AND NONLINEAR WAVE EQUATIONS London: Academic Press, 1982, (pp 495). [22] Mollenauer L.F. et al. EXPERIMENTAL OBSERVATION OF PICO-PULSE NARROWING AND SOLITONS IN OPTICAL FIBERS. Phys. Rev. Letters, Vol.45 (1980) no.13, pp 1095-1098 [23] Bender C.M. and Orszag S.A. ADVANCED MATHEMATICAL METHODS FOR SCIENTISTS AN ENGINEERS. New York: McGraw-Hill, 1978.
-113-
[24] Diverse auteurs Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde. Vol. A49(1), 1983 (speciaal nummer over Solitonen). [25] Eckhaus W. and van Harten A. THE INVERSE SCATTERING TRANSFORMATION AND THE THEORY OF SOLITONS, AN INTRODUCTION. Amsterdam: North-Holland, 1981. [26] Bloom D.M. et al DIRECT DEMONSTRATION OF DISTORTIONLESS PICOSECONDPULSE PROPAGATION IN KILOMETER-LENGTH OPTICAL FIBERS. Optics Letters, Vol.4 (1979) no.9, pp 297-299. [27] Scott-Russell J. EXPERIMENTAL RESEARCHES INTO THE LAWS OF CERTAIN HYDRODYNAMIC PHENOMENA THAT ACCOMPANY THE MOTION OF FLOATING BODIES, AND HAVE NOT PREVIOUSLY BEEN REDUCED INTO CONFORMITY WITH THE KNOWN LAWS OF THE RESISTANCE OF FLUIDS. EdinburQh Roy.Soc.Trans. Vol.14 (1840) pp 47-109 [28] Korteweg D.J. and de Vries G. ON THE CHANGE OF FORM OF LONG WAVES ADVANCING IN A RECTANGULAR CANAL, AND ON A NEW TYPE OF LONG STATIONARY WAVES. Phil.MaQ. Vol.39 (1895), pp 422-443.
-IH5-
Appeiu,c:I:I. ~_n
c:I~
K
A
1~~~_·~
~~n~t:l.~n
__ 1
~:l.t
~n_1y_~
Lemma I: Twee unitair equivalente zelf geadjungeerde operataren bezitten hetzelfde spectrum. Bewijs: Zij L t unitair equivalent met L., d.w.z. er bestaat een U met
Veranderstel dat ~ ~ behaart tat het spectrum van L t , dan is het valdaende am te bewijzen dat ~ aak niet behaart tat het spectrum van LI • Immers L t en LI magen in (A.l) verwisseld warden. Ter herinnering de definitie van het spectrum: Het spectrum van een aperatar L is gedefinieerd als de verzameling van aIle waarden ~ waarvaar de aperatar L - ~I geen begrensde inverse (ap de Hilbert ruimte) bezit. Laat f en g functies uit de (Hilbert) ruimte zijn, waarin de aperataren Lt en L. werkzaam zijn. Bekijk nu de vergelijking (LI
-
~)f •
g
(A.2)
".b.v. (A.l) gaat dit aver in (U*LtU - ~)f - g of"el (Ll - ~)Uf • Ug
(A.3)
Verandersteld is dat ~ nlet tat het spectrum van Ll behaart, dus (Ll - ~) is inverteerbaar. Dus
(A.4)
-116-
Een verQelijk met CA.2) levert cp dat blijkbaar Qeldt: CA.5) AanQezien (L~ - ~)-1 beQrensd is cp de hele ruimte moet (Lt - ~)-1 ook beQrensd zijn en daarmee is aanQetoond dat ~ niet behoort tot het spectrum van Lt. Hiermee is hat bewijs van Lemma 1 voltocid. Lemma 21 Elke differenti'erbare unitaire operator U(t) voldoet aan de DV van het type dU - Bct)U(t) dt
met BCt)· - -BCt)
(2.31>
Bewijs: Voor U Qeldt: UU* -
(2.29)
I
Differentiatie naar t
levert op:
(A.6) stel nu UtUct)·
= B(t),
dan Qeldt
dU -dt = B(t)U(t)
(A.7)
Verder Qeldt nOQ dU ). B + B· - UtU· + ( dtU· - UtU· + UUf • 0 waarmee bewezen is dat S(t) anti-symmetrisch is. Einde bewijs van Lemma 2.
(A.B)
-117-
Appetru:l i
K
B
A-F1etic:ling 'V4iian c:let Get1-F4iianc:l Let'Vit4iian M4iiarchetnk~ intetgr4iia4iia1 'Vetrget1i~king II
Uitgangspunt vormt Meer de Schrodinger-operator met ).1.
_k2.
(B.l )
(2.7:5)
Deze vergelijking is te transformeren in een Volterraintegraalvergelijking voor F+(x,k,t):
- e
Jkx
-
tFin
k(x-y)U(y,t)F+(y,k)dy
(B.2)
x
(Dit is af te leiden met behulp van Greense functies, maar het kan ook gemakkelijk geverifieerd Morden door (B.2) in te vullen in (B.l». Daarnaast is een Fourier (terug)getransformeerde te II definieren:
F+(x.k.~l -
.Jkx -
J=JkZK(X'Z.~1
dz
(B.3)
-OD
Substitutie in (B.2) levert uiteindelijk op:
I;(x'Z.~I.JkZdZ
k(x-y) U(y,t).jkYdy + k
-OD
k(x-y) k
U(y.~l
Y;(Y••• -OD
~leJkSdS dy
(B.4)
-118-
Noem de eerste integraal van het rechterlid J 1 (x,t) en de tweede J 2 (x,t). Vervolgens kan de volgende substitutie gemaakt worden:
(8.5)
Dit levert op voor J 1
1
(B.6)
J. - -i-FIV,t:1 x
z Verwisseling van de integratie grenzen (zie ook fig. B.l) levert op:
z -=
----------------------------------------------------------------------Uit fig. 8.1 voIgt ook dat voor
z
<
x
x
(8.8)
Y
fig. B.l integratie gebied voor J 1 •
Voor J 2 (x,t) is een soortgelijke operatie mogelijk, met als uiteindelijk resultaat:
00
+
x+z Y=T
z+y-x
JeJkzJUIV,t:IJKIV,.,t:1 ds dV dz z=x
y=x
s=z-y+x
(8.9)
-119-
Oak vaar Jz(x,t) Qeldt Jz(x,t) = 0
vaar z
<
(B.l0)
x
Substitutie van (B.7) en (B.9) in (B.4) levert ap x+z
Klx.z.~) - ~J~ly.~l
2
z+y-x
~JUly.~)JKlY'5'~)
dy +
x+z
y=x
ds dy +
S=Z+X-Y
2 00
+
z+y-x
~JUly.~)JKlY.S'~) x+z
Y=T
(B.l1>
dsdy
s=x
Het resultaat van (B.8) en (B.l0) is dat Qeldt: K(x,z,t)
=0
vaar
z
<
(B.12)
x
Een limiet Qeval van (B. 11):
lim
Klx.z.~) - Klx.x.~)
=
~J~IY'~)
dy
(B.13)
x
Differentiatie naar x leidt tat de Qezachte relatie (2.106) d
dx
K(x,x,t)
= !.U(x,t) I
(B.14)
Als vaar (B.l) de functie (2.78) wardt Qenamen (de tijdII anafhankelijke SchradinQer-aperatar), dan wardt F+(x,k,t) de Jast-functie f+(x,k) uit (2.94). Het resultaat (B.14) is dan echter aIleen QeldiQ vaar t = O.
-120-
Rest dus nog een relatie af te leiden tussen K(x,x,t) en de spectrale gegevens. Dit wordt de zogenaamde Gelfand-Levitan-Marchenko integraal vergelijking. De Fourier-getransformeerde van de funtie , is als voIgt te schrijven:
P(x,y)
I:
uit (2.96)
~J;(X' k)ejkYdk
211
(8.15a)
-ao
•
2~J[f.(X,-kl
• blklf.(x,kl].jk Ydk
(B.15bl
-00
•
2~J[a(klf_(X'kl].jkYdk
(8.15c)
-00
Substitutie van (2.100) in (B15.c) levert op:
P(x,y)
=
(8.16)
Voor Y > x en Im(k) > 0 mag de integratieweg gesloten worden door een halve cirkel in het bovenste complexe halfvlak. Zoals reeds opgemerkt in paragraaf 2.5.1. bezit de integrand polen in k • j~, n - 1,2, ••• ,N (eindig aantal). Vol gens de complexe functie theorie is de integraal de " " geldt som van de ingesloten residuen. Voor daze residuen
=
(8.17)
-121-
II
De berekening van deze residuen verloopt (verkort weergegeven) als voigt:
+
Jooa ax
W[f+h(,k), ..!,:_(X,k)]
ax
x
•
dl;;l
x =1;;
k=.J·-~
=
v~n
-2j~ r;+(~,j~f_(~,j~d~
•
(m.b.v.
(2.1001)
-00
(8.18)
Substitutie in (8.16) en nogmaals (2.102) gebruiken:
-r N
P(x,y) •
C:e-v'PRYf+(x,Jv'PR)
II
Y
>x
(8.19)
n=1
Vervolgens dient de Fourier (terug)transformatie (2.105) gebruikt te worden:
(2.105)
f+(H,kl • .JkH +
~kYK(H,Yl x
dy
(8.20)
-122-
Ook dient nog gebruik gemaakt te worden van de bekende formule
~J:jkX
2n
dk = ,(x)
(B.21)
-00
Combinatie van (B.15b) en (B.19) en toepassing van (B.20) en (B.21) hierop leidt tot:
-r C~[e-~(x+y)+ n=1
J:-~(Y+Z)K(X'Z)
dz ] =
x
= 8 (x-y) +
~J=(k)ejk(x+Y)dk
2n
+ K(x,y) +
-00
+
2~J=IX'ZI[J=lk).JkIX+Yldk] x
dz
(B.22)
-00
Hierin valt de gewenste relatie (2.108) te herkennen: N
• L C:.-~x
+
n=1
~J=(k)ejkXdk
2n
(B.23)
-00
Voor y > x gaat (B.22) over in de lntegraalvergelijking van de 6elfand-Levitan-Marchenko:
Klx,yl + "Ix+yl + !=IX,ZI"IZ+YI dz - 0
(B.24)
x
Substitutie van (2.87) en (2.93) in (8.23) en oplossing van (8.24) levert uiteindelijk via (8.14) de gezochte functie. Maar voor de meeste gevallen is dit eenvoudiger gezegd dan gedaan.
-123-
Appen~dix
C
Bijgevoegd zijn de programma~s die nodig waren om de computerplots te maken. Deze programma·s zijn geschreven in FORTRAN77. Er zijn steeds 2 stukken nodig: 1 hoofdprogramma dat voornamelijk de functiewaarden berekend en dat vervolgens de plotroutines aanroept uit PLOTLIB. Deze functies zijn gebaseerd op de formules, die zijn afgeleid via de methode van Hirota. Deze functieprogramma·s zijn: KDV1S0L, gebaseerd op (2.157) KDV2S0L, It It (2.163) NLS1S0L, It It (3.79) NLS2S0L, It It (3.98) Deze programma·s zijn interactief; ze vragen om een aantal invoervariabelen, te weten: -SDort plaatje: 5 curves voor 5 tijdstippen (zie I 1.2) (zie I I .4) - hoogtelijnenplaatje (zie 11.3) - 3D-plaatje onder- en bovengrens x-waarde onder- en bovengrens t-waarde (of 5 tijdstippen in het eerste geval) -De eigenwaarden van de solitonen: dit zijn de ~·s in de genoemde formules. Als de functie een te grillig verloopt heeft, kan het hoogtelijnen programma weI eens vastlopen. De procedure is dan niet meer in staat om de hoogtelijnen te verbinden. Voor de procedure-biblotheek is gebruik gemaakt van een in de vakgroep aanwezig programma PLOTLIB. Dit is aangevuld met de mogelijkheid om ook 5 afzonderlijke curves te tekenen. De genoemde programma·s zijn op magneetband gezet (TAPE 1195) en zullen daar nog engeveer tot einde 1988 beschikbaar zijn.
-124(ELETAP8)KDV1S0L ON USER2 DATE & TIME PRINTED: THURSDAY, MAY 14, 1987 @ 21:18:57. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4810 4820 4830 4840 4900 5000 5025 5050 5100 5200
BLOCK GLOBALS 5(KIND= lt REMOTE" , FILETYPE=3, MYUSE=" 10") LIBRARY LIB(TITLE="OBJECT!PLOTLIB ON USER2") $ INCLUDE "PLOTTER!F77!DECLARATION ON APPL" END $ INCLUDE "PLOTTER!F77!ALLSUBS ON APPL"
FILE
C
SUBROUTINE PLAAT(IOBJ,FUNARR,XARR,YARR,NX,NY,XDIM,YDIM,DIM, XSTR,YSTR,ZSTR,NAAM,VP) REAL FUNARR, XARR, YARR, LL, FMAX,XMAX, YMAX, FMIN,XMIN, YMIN,X, Y, * NORMF,NORMX,NORMY,VP INTEGER IOBJ, NX, NY,MX, DIM,XDIM, YDIM CHARACTER XSTR*12,YSTR*12,ZSTR*12,NAAM*12,LEG*15 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM) ,XARR(XDIM) ,YARR(YDIM) ,VP(3) IN LIB RARY LIB END *
C
SUBROUTINE CONTR2(IOBJ,FUNARR,XAR~,YARR,NX,Ny,XDIM,YDIM, *
J
AANTKR,XSTR,YSTR,NAA~)
REAL FUNARR, XAR~, YARR INTEGER IOBJ ,AA~TKR, NX, NY ,XDIM, YDIM CHARACTER XSTR*~2,YSTR*12,NAAM*12 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM),XARR(XDIM),YARR(YDIM) IN LIBRARY LIB END C
SUBROUTINE TEKE~(IOBJ,PLTR,SKPPR) INTEGER IOBJ, PLTR LOGICAL SKPPR IN LIBRARY LIB END
C C C********************~*********************************************** I
IMPLICIT LOGICAl(A-Z) REAL XMIN,XMAX,tMIN,TMAX,VP(3),XSTEP,TSTEP,XARR(197),TARR(49), * KDV(197,49),KDVS(99,49),KDVT(197,5),TCUR(5),XARRS(99),LAMB INTEGER XDIM ,xotMS, TDIM, I,J, IOBJ, 10BJ1, IOBJ2, DIM,HGTLN CHARACTER XSTR*l2,TSTR*12,ZSTR*12,NAAM1*12,NAAM2*12 C C
2
3 5
10 12 15
XSTR="PLAATS" TSTR="TIJD" ZSTR=" AMPLITUDE'~ NAAM1="KDV-1S0LlTON" XDlM=197 I I XDlMS=(XDlM+l)!2 TDlM=49 WRITE(5,2) FORMAT(lt VARIAB~LEN INVOEREN (WACHT MET INVOER TOT DE CURSOR") WRITE(5,3) FORMAT(" WEER AAN HET BEGIN VAN EEN NIEUWE REGEL STAAT)",/) WRITE(5,10) L FORMAT(lt GEEF DfMENSm PLAATJE (0= NIET GEWENST)lt) WRITE(5,12) I FORMAT(lt 0= 5 X-T CURVES)lt) WRITE(5,15) FORMAT(lt (2= HOOGTELIJNENPLAATJE)")
-12:5-
5300 5400 5500 5510 5520 5530 5540 5600 5810 5900 6000 6100 6200 6300 6400 6500 6600 6700 6800 6900 7000 7100 7200 7300 7400 7500 7600 7700 7800 7900 8000 8100 8200 8300 8400 8500 8600 8700 8800 8900 9000 9100 9200 9300 9400 9500 9600 9700 9800 9900 10000 10100 10200 10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100
WRITE(5,20) FORMAT(" (3= 3D PLAATJE)",/) READ(5,*)DIM IF (DIM.NE.O •AND. DIM.NE.1 •AND. DIM.NE.2 •AND. DIM.NE.3) THEN OOTO 5 END IF WR ITE ( 5, 25) 25 FORMAT(" GEEF EIGENWAARDE VOOR SOLITON",/) READ(5,*)LAMB IF (DIM.EQ.O) THEN C GEEN PLAATJE GEWENST, DAN NAAR END GOTO 1000 END IF WRITE(5,26) 26 FORMAT(" GEEF ONDERGRENS X-WAARDE",/) READ(5,*)XMIN WRITE(5,27) 27 FORMAT(" GEEF BOVENGRENS X-WAARDE",/) READ(5,*)XMAX XSTEP=(XMAX - XMIN) /(XDIMS - 1) DO 100 I=l,XDIMS XARRS(I)=XMIN + (I-1)*XSTEP 100 CONTINUE XSTEP=(XMAX - XMIN)/(XDIM - 1) DO 150 1=1, XDIM XARR(I)=XMIN + (I-1)*XSTEP 150 CONTINUE IF (DIM.EQ.1) THEN WRITE ( 5,30) 30 FORMAT(" GEEF 5 TIJDSTIPPEN VOOR DE 5 CURVES") WRITE(5,35) 35 FORMAT(" Tl =" , /) READ(5,*)TCUR(1) WRITE(5,40) 40 FORMAT(" T2=",/) READ(5,*)TCUR(2) WRITE(5,45) 45 FORMAT(" T3=" , /) READ(5, * )TCUR(3) WRITE(5,50) 50 FORMAT(" T4=",/) READ( 5,* )TCUR( 4) WRITE(5, 55) 55 FORMAT(" T5=",/) READ(5,*)TCUR(5) CALL FORMEL(KDVT, XARR, TCUR, XDIM, 5, LAMB) CALL NEWOBJ(IOBJ2) CALL PLAAT(IOBJ2,KDVT,XARR,TCUR,XDIM,5,XDIM,5,2, * XSTR,TSTR,ZSTR,NAAM1,VP) CALL TEKEN(IOBJ2, 90, •TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ2) GOTO 1000 END IF WRITE(5,60) 60 FORMAT(" GEEF ONDERGRENS T-WAARDE",/) READ(5,*)TMIN WRITE(5,65) 65 FORMAT(" GEEF BOVENGRENS T-WAARDE",/) READ(5,*)TMAX TSTEP=(TMAX - TMIN)/(TDIM - 1) DO 200 J=l,TDIM TARR(J)=TMIN + (J-1)*TSTEP 20
-126-
11200 11300 11400 11500 11600 11700 11800 11900 12000 12100 12200 12250 12300 12350 12400 12500 12600 12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900 15000 15100 15200 15300 15400 15500 15600 15700 15800 15900 16000 16100 16600 16700 16900 17000 17100 17200
200
CONTINUE
C
VP(l )=-0.6 VP(2)=-1.0 VP(3)=1.0 C C C
C FUNTIE BEREKENEN C
IF (HGTLN.EQ.2) THEN C HOOGTEPLAATJE GEWENST, DAN FUNTIE VOOR MEER WAARDEN BEREKENEN CALL FORMEL(KDV, XARR, TARR, XDIM, TDIM, LAMB) ELSE CALL FORMEL(KDVS,XARRS,TARR,XDIMS,TDIM,LAMB) END IF C C
C PLAATJES TEKENEN C
IF (DIM.EQ.2) THEN C 3D PLAATJE OVERSLAAN GaTO 501 END IF CALL NEWOBJ(IOBJ) CALL PLAAT(IOBJ,KDVS,XARRS,TARR,XDIMS,TDIM,XDIMS,TDIM,3, * XSTR,TSTR,ZSTR,NAAM1,VP) CALL TEKEN(IOBJ,90,.TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ) 501 IF (DIM.EQ.3) THEN C HOOGTELIJNEN PLAATJE OVERSLAAN roTO 1000 END IF CALL NEWOBJ(IOBJ1) CALL CONTR2(IOBJ1,KDV,XARR,TARR,XDIM,TDIM,XDIM,TDIM,4, * XSTR,TSTR,NAAM1) CALL TEKEN(IOBJ1,90,.TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ1) 1000 END C******************************************************************** SUBROUTINE FORMEL(FUNARR,XARR,TARR,XDIM,TDIM,LAMB) IMPLICIT LOGICAL (A-Z) REAL FUNARR, XARR, TARR, LAMB INTEGER XDIM, TDIM DIMENSION FUNARR(XDIM,TDIM),XARR(XDIM),TARR(TDIM) C
REAL ARG1,NOEMER INTEGER I, J C
200 100
DO 100 1=1, TDIM 00 200 J-1,XDIM ARG1-(XARR(J) - (LAMB**2)*TARR(I»*LAMB!2 NOEMER=COSH(ARGl)**2 FUNARR(J,I)=3*(LAMB**2)!NOEMER CONTINUE CONTINUE RETURN END
-127-
(ELETAP8)KDV2S0L ON USER2 DATE & TIME PRINTED: THURSDAY, MAY 14, 1987 @21:19:25. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900 5000 5100 5200 5300 5400 5500 5600 5700 5800
BLOCK GLOBALS 5(KIND="REMOTE", FILE TYPE =3 , MYUSE=" 10") LIBRARY LIB(TITLE="OBJECT/PLOTLIB ON USER2") $ INCLUDE "PLOTTER/F77 /DECLARATION ON APPL" END $ INCLUDE "PLOTTER/F77 /ALLSUBS ON APPL" C SUBROUTINE PLAAT(IOBJ,FUNARR,XARR,YARR,NX,NY,XDIM,YDIM,DIM, * XSTR,YSTR,ZSTR,NAAM,VP) REAL FUNARR,XARR,YARR,LL,FMAX,XMAX,YMAX,FMIN,XMIN,YMIN,X,Y, * NORMF,NORMX,NORMY,VP INTEGER IOBJ, NX, NY ,MX, DIM ,XDIM, YDIM CHARACTER XSTR*12,YSTR*12,ZSTR*12,NAAM*12,LEG*15 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM) ,XARR(XDIM) ,YARR(YDIM) ,VP(3) IN LIBRARY LIB END C SUBROUTINE CONTR2(IOBJ,FUNARR,XARR,YARR,NX,NY,XDIM,YDIM, * AANTKR,XSTR,YSTR,NAAM) REAL FUNARR,XARR,YARR INTEGER IOBJ,AANTKR,NX,NY,XDIM,YDIM CHARACTER XSTR*12,YSTR*12,NAAM*12 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM),XARR(XDIM),YARR(YDIM) IN LIBRARY LIB END C SUBROUTINE TEKEN(IOBJ,PLTR,SKPPR) INTEGER IOBJ, PLTR LOGICAL SKPPR IN LIBRARY LIB END C C C******************************************************************** IMPLICIT LOGICAL(A-Z) REAL XMIN,XMAX,TMIN,TMAX,VP(3),XSTEP,TSTEP,XARR(197),TARR(49), * KDV(197,49),KDVS(99,49),KDVT(197,5),TCUR(5),XARRS(99), LAMBl,LAMB2 * INTEGER XDIM,XDIMS,TDIM,I,J,IOBJ,IOBJI,IOBJ2,DIM,HGTLN CHARACTER XSTR*12,TSTR*12,ZSTR*12,NAAMl*12,NAAM2*12 C C XSTR="PLAATS" TSTR-"TIJD" ZSTR="AMPLITUDE" NAAM 1="KDV-2SOLITON" XDIM=197 XDIMS-(XDIM+1)!2 TDIM=49 WRITE(5,2) 2 FORMAT(" VARIABELEN INVOEREN (WACHT MET INVOER TOT DE CURSOR") WRITE(5,3) FORMAT(" WEER AAN HET BEGIN VAN EEN NIEUWE REGEL STAAT)",/) 3 5 WRITE(5,10) 10 FORMAT(" GEEF DIMENSIE PLAATJE (0= NIET GEWENST)") WRITE(5,12) 12 FORMAT(" 0= 5 X-T CURVES)") WRITE(5,15)
FILE
-128-
5900 6000 6100 6200 6300 6400 6500 6600 6700 6800 6900 7000 7100 7200 7300 7400 7500 7600 7700 7800 7900 8000 8100 8200 8300 8400 8500 8600 8700 8800 8900 9000 9100 9200 9300 9400 9500 9600 9700 9800 9900 10000 10100 10200 10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100 11200 11300 11400 11500 11600 11700 11800 11900 12000
15
FORMAT(" (2= HOOGTELIJNENPLAATJE)") WRITE(5,20) 20 FORMAT(" (3= 3D PLAATJE)",f) READ(5,*)DIM IF (DIM.NE.O .AND. DIM.NE.1 • AND. DIM.NE.2 •AND. DIM.NE.3) THEN GOTO 5 END IF WRITE(5,21) 21 FORMAT(" GEEF ElGENWAARDEN VOOR SOLITON'll) WRITE(5,22) 22 FORMAT(" EERSTE EIGENWAARDE",f) READ(5,*)LAMB1 WRITE(5,23) 23 FORMAT(" 'IWEEDE EIGENWAARDE",f) READ(5,*)LAMB2 IF (DIM .EQ. 0) THEN C G:EN PLAATJE GEWENST, DAN NAAR END GOTO 1000 END IF WRITE(5,26) 26 FORMAT(" GEEF ONDERGRENS X-WAARDE",f) READ(5,*)XMIN WRITE( 5,27) 27 FORMAT(" GEEF BOVENGRENS X-WAARDE",f) READ ( 5, * )XMAX XSTEP=(XMAX - XMIN)/(XDIMS - 1) DO 100 I=I,XDIMS XARRS(I)=XMIN + (I-1)*XSTEP 100 CONTINUE XSTEP=(XMAX - XMIN)/(XDIM - 1) DO 150 1=1, XDIM XARR(I)=XMIN + (I-1)*XSTEP 150 CONTINUE IF (DIM.EQ.1) THEN WRITE(S,30) 30 FORMAT(" GEEF 5 TIJDSTIPPEN VOOR DE 5 CURVES") WRITE(5,35) 35 FORMAT(" T1=",f) READ( 5, * )TCUR(l ) WRITE(5,40) 40 FORMAT(" T2=", f) READ(5,*)TCUR(2) WRITE(5,45) 45 FORMAT(" T3=",f) READ(5 , * )TCUR(3 ) WRITE(5,50) 50 FORMAT(" T4=",f) READ(5,*)TCUR(4) WRITE(5, 55) 55 FORMAT(It T5=It,f) READ(5,*)TCUR(5) CALL FORMEL(KDVT,XARR,TCUR,XDIM,5,LAMB1,LAMB2) CALL NEWOBJ(IOBJ2) CALL PLAAT(IOBJ2,KDVT,XARR,TCUR,XDIM,5,XDIM,5,2, * XSTR, TSTR, ZSTR,NAAM1,VP) CALL TEKEN(IOBJ2,90,.TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ2) GOTO 1000 END IF WRITE(5,60) 60 FORMAT(It GEEF ONDERGRENS T-WAARDEIt,f) READ(5,*)TMIN
-129-
12100 12200 12300 12400 12500 12600 12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900 15000 15100 15200 15300 15400 15500 15600 15700 15800 15900 16000 16100 16200 16300 16400 16500 16600 16700 16800 16900 17000 17100 17200 17300 17400 17500 17600 17700 17800 17900 18000 18100 18200
65
200
WRITE(5,65) FORMAT(" GEEF BOVENGRENS T-WAARDE",/) READ( 5, * )TMAX TSTEP=(TMAX - TMIN)/(TDIM - 1) DO 200 J=l, T01M TARR(J)=TMIN + (J-1)*TSTEP CONTINUE
C
VP(l )--0. 6 VP(2)=-1.0 VP(3 )=1. 0 C C C
C FUNTIE BEREKENEN C
IF (DIM.EQ.2) THEN C HOOGTEPLAATJE GEWENST, DAN FUNTIE VOOR MEER WAARDEN BEREKENEN CALL FORMEL(KDV ,XARR, TARR, XDIM, TDIM, lAMB 1, lAMB2) ELSE CALL FORMEL(KDVS,XARRS,TARR,XDIMS,TDIM,lAMB1,LAMB2) END IF C C
C PLAATJES TEKENEN C
IF (DIM.EQ.2) THEN C 3D PLAATJE OVERSLAAN GOTO 501 END IF CALL NEWOBJ(IOBJ) CALL PLAAT(IOBJ,KDVS,XARRS,TARR,XDIMS,TDIM,XDIMS,TDIM,3, * XSTR,TSTR,ZSTR,NAAM1,VP) CALL TEKEN(IOBJ,90,.TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ) GOTO 1000 501
CALL NEWOBJ(IOBJ1) WRITE(S, 300) 300 FORMAT(" GEWENST AANTAL HOOGrELIJNEN",/) READ(5, * )HGTLN CALL CONTR2(IOBJ1,KDV,XARR,TARR,XDIM,TDIM,XDIM,TDIM,HGTLN, * XSTR,TSTR,NAAM1) CALL TEKEN(IOBJ1,90,.TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ1) 1000 END
C******************************************************************* SUBROUTINE FORMEL(FUNARR,XARR,TARR,XDIM,TDIM,LAMB1,lAMB2) C IEZE SUBROUTIE BEREKENT DE FUNCTlEWAARDEN VANN DE KDV VERGELIJKING C
IMPLICIT LOGICAL (A-Z) REAL FUNARR, XARR, TARR, LAMB 1, LAMB2 INTEGER XDIM, TD1M DIMENSION FUNARR(XDIM,TDIM),XARR(XDIM),TARR(TDIM) REAL ARG1,ARG2,ARG3,ARG4,TELLER,NOEMER,A,LNA INTEGER I,J,K C C
DO 100 I=l,T01M DO 200 J=I,XDIM ARG1=LAMB2*XARR(J) - (LAMB2**3)*TARR(I)
-130-
18300 18400 18500 18600 18700 18800 18900 19000 19100 19200 19300 19400 19500 19600 19700 19800
200 100
ARG2=LAMB1*XARR(J) - (LAMB1**3)*TARR(I) ARG3=(LAMB1-LAMB2)*XARR(J) - (LAMB1**3-LAMB2**3)*TARR(I) ARG4=(LAMB1+LAMB2)*XARR(J) - (LAMB1**3+LAMB2**3)*TARR(I) A=(LAMB1+LAMB2)/(LAMB1-LAMB2) A=ABS(A) ARG3= 0.5*ARG3 ARG4= 0.5*ARG4 TELLER=(LAMBl**2)*COSH(ARG1) + (LAMB2**2)*COSH(ARG2) TELLER=TELLER + LAMB1**2 - LAMB2**2 NOEMER= A*COSH(ARG3) + COSH(ARG4) FUNARR(J,I)=A*TELLER/NOEMER FUNARR(J,I)=FUNARR(J,I)/NOEMER CONTINUE CONTINUE RETURN END
-131-
(ELETAPB)NLS1S0L ON USER2 DATE & TIME PRINTED: THURSDAY, MAY 14, 1987 @ 20:28:04. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900 5000 5100 5110 5120 5130 5140 5200 5300 5400
BLOCK GLOBALS 5(KIND="REMOTE" ,FILETYPE=3 ,MYUSE="IO") LIBRARY LIB(TITLE="OBJECT!PLOTLIB ON USER2") $ INCLUDE "PLOTTER!F77!DECLARATION ON APPL" END $ INCLUDE "PLOTTER! F77 ! ALLSUBS ON APPL" C SUBROUTINE PLAAT(IOBJ,FUNARR,XARR,YARR,NX,NY,XDIM,YDIM,DIM, * XSTR,YSTR,ZSTR,NAAM,VP) REAL FUNARR,XARR,YARR,LL,FMAX,XMAX,YMAX,FMIN,XMIN,YMIN,X,Y, * NORMF,NORMX,NORMY,VP INTEGER IOBJ,NX,NY,MX,DIM,XDIM,YDIM CHARACTER XSTR*12,YSTR*12,ZSTR*12,NAAM*12,LEG*15 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM),XARR(XDIM),YARR(YDIM),VP(3) IN LIBRARY LIB END C SUBROUTINE CONTR2(IOBJ,FUNARR,XARR,YARR,NX,NY,XDIM,YDIM, * AANTKR,XSTR,YSTR,NAAM) REAL FUNARR, XARR, YARR INTEGER IOBJ,AANTKR,NX,NY,XDIM,YDIM CHARACTER XSTR*12,YSTR*12,NAAM*12 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM),XARR(XDIM),YARR(YDIM) IN LIBRARY LIB END C SUBROUTINE TEKEN(IOBJ,PLTR,SKPPR) INTEGER IOBJ,PLTR LOGICAL SKPPR IN LIBRARY LIB END C C C******************************************************************** IMPLICIT LOGICAL(A-Z) REAL XMIN,XMAX,TMIN,TMAX,VP(3),XSTEP,TSTEP,XARR(198) ,TARR(49) , * NLSENV(198,50),NLSTOT(100,50),NLSTT(198,5),NLSTEN(198,5), * TCUR(5),XARRS(100),REIGEN,IEIGEN INTEGER XDIM,XDIMS, TDIM, I, J, IOBJ, IOBJl, IOBJ2, DIM ,HGTLN CHARACTER XSTR*12,TSTR*12,ZSTR*12,NAAM1*12,NAAM2*12 C C XSTR="PLAATS" TSTR=ItTIJD It ZSTR=ItAMPLITUDE" NAAM1="NLS-1S0LITON" XDIM=198 XDIMS=(XDIM)!2 + 1 C IE LAATSTE X-PLAATS IN DE FUNCTIE ARRAYS ZAL WORDEN GEBRUIKT VOOR C EEN REFERENTIEWAARDE TBV DE VERSCHILLENDE NORMALISATIES TDIM=49 WRITE(5,2) 2 FORMAT(1t VARlABELEN INVOEREN (WACHT MET INVOER TOT DE CURSOR") WRITE(5,3) 3 FORMAT(" WEER AAN HET BEGIN VAN EEN NIEUWE REGEL STAAT",/) WRITE(5,5) FORMAT(" GEEF EIGENWAARDE VOOR SOLITON") 5 WRITE(5,6) FILE
-1325500 5600 5700 5800 5900 6000 6100 6150 6175 6200 6300 6400 6500 6600 6710 6720 6730 7000 7100 7200 7300 7400 7500 7600 7700 7800 7900 8000 8100 8200 8300 8400 8500 8600 8700 8800 8900 9000 9100 9200 9300 9400 9500 9600 9700 9800 9900 10000 10100 10200 10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100 11200 11300 11400
6
FORMAT(" REELE DEEL",f) READ(S,*)REIGEN WRITE(S,7) 7 FORMAT(" IMAGINAIRE DEEL",/) READ(S,*)IEIGEN 9 WRITE(5, 10) 10 FORMAT(" GEEF DIMENSIE PLAATJE (0= PLAATJE NIET GEWENST)") WRITE(S,12) 12 FORMAT(" 0= 5 X-T CURVES)") WRITE(S,IS) 15 FORMAT(" (2= HOOGTELIJNENPLAATJE)") WRITE(S,20) 20 FORMAT(" (3= 3D PLAATJE) " ,/) READ(S,*)DlM IF (DIM.NE.O .AND. DIM.NE.1 • AND. DIM.NE.2 .AND. DIM.NE.3) THEN GOTO 9 END IF IF (DIM.EQ.O) THEN C GEEN PLAATJE GEWENST, DAN NAAR END GOTO 1000 END IF WRITE(S,26) 26 FORMAT(" GEEF ONDERGRENS X-WAARDE",/) READ(S,*)XMIN WRITE(5,27) 27 FORMAT(" GEEF BOVENGRENS X-WAARDE",f) READ(5,*)XMAX XSTEP=(XMAX - XMIN)/(XDIMS - 2) DO 100 1=1, XDIMS XARRS(I)=XMIN + (I-1)*XSTEP 100 CONTINUE XSTEP=(XMAX - XMIN)/(XDIM - 2) DO 150 1=1, XDIM XARR(I)=XMIN + (I-l)*XSTEP 150 CONTINUE IF (DIM.EQ.1) THEN WRITE( 5,30) 30 FORMAT(" GEEF 5 TIJDSTIPPEN VOOR DE 5 CURVES",f) WRITE(S,35) 35 FORMAT(" T1=",/) READ(5,*)TCUR(1) WRITE(S,40) 40 FORMAT(" T2=", /) READ(5,*)TCUR(2) WRITE(S, 45) 45 FORMAT(" T3=",/) READ(5,*)TCUR(3) WRITE(S,50) 50 FORMAT(" T4=",f) READ(5,*)TCUR(4) WRITE(5,55) 55 FORMAT(" T5=",f) READ(5,*)TCUR(5) C BEREKEN DE WERKELIJKE FUNCTIE WAARDE VOOR DE 5 TIJDSTIPPEN CALL FRMTOT(NLSTT, XARR, TCUR,XDIM,5,REIGEN, IE IGEN) C BEREKEN DE ENVELOPE WAARDE VOOR DE 5 TIJDSTIPPEN CALL FRMENV(NLSTEN,XARR, TCUR,XDIM,5,REIGEN, IEIGEN) CALL NEWOBJ(IOBJ2) CALL PLAAT(IOBJ2, NLSTT, XARR, TCUR, XDIM-1 ,5, XDIM, 5, 2, * XSTR,TSTR,ZSTR,NAAM1,VP) C NU DE ENVELOPE Cl1 lE FUNCTIE TEKENEN CALL ENVEL(IOBJ2,NLSTEN,XARR,XDIM-l,XDIM)
-133-
11500 11600 11700 11800 11900 12000 12100 12200 12300 12400 12500 12600 12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900 15000 , 15100 15200 15300 15400 15500 15600 15700 15800 15900 16000 16100 16200 16300 16400 16500 16600 16700 16800 16900 17000 17100 17200 17300 17400 17500 17600
60 65
200
CALL TEKEN(IOBJ2,90,.TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ2) GOTO 1000 END IF WRlTE( 5,60) FORMAT(" GEEF ONDERGRENS T-WAARDE" ,I) READ( 5, * )TMIN WRITE(5,65) FORMAT(" GEEF BOVENGRENS T-WAARDE" ,I) READ(5, *)TMAX TSTEP=(TMAX - TMIN)/(TDIM - 1) DO 200 J=I, TDIM TARR(J)=TMIN + (J-l)*TSTEP CONTINUE
C
VP(l )=0.0 VP(2)=-1.0 VP(3 )=1. 0 C C C
C PLAATJE S TEKE NE N C
IF (DIM.EQ.2) THEN C 3D PLAATJE OVERSLAAN GOTO 501 END IF C FUNTIEWAARDEN BEREKENEN CALL FRMTOT(NLSTOT,XARRS,TARR,XDIMS,TDIM,REIGEN,IEIGEN) CALL NEWOBJ(IOBJ) CALL PLAAT(IOBJ,NLSTOT,XARRS,TARR,XDIMS-1,TDIM,XDIMS,TDIM,3, * XSTR,TSTR,ZSTR,NAAM1,VP) CALL TEKEN(IOBJ, 90, •TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ) 501 IF (DIM.EQ.3) THEN C HOOGTELIJNEN PLAATJE OVERSLAAN GOTO 1000 END IF C FUNTIEWAARDEN BEREKENEN (ALLEEN ENVELOPE) CALL FRMENV(NLSENV,XARR, TARR,XDIM, TDIM,RElGEN, IEIGEN) CALL NEWOBJ(IOBJ1) CALL CONTR2(IOBJ1, NLSENV ,XARR, TARR, XDIM-1, TDIM, XDIM, TDIM, 4, * XSTR,TSTR,NAAM1) CALL TEKEN(IOBJ1,90,.TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ1) 1000 END 0****************************************************** ************** SUBROUTINE FRMTOT(FUNARR,XARR,TARR,XDIM,TDIM,RElGEN,IEIGEN) C IEZE SUBROUTINE BEREKENT DE WERKELIJKE FUNCTIE WAARDE C (ENVELOPE * CARRIER) VAN EEN 1 SOLITON OPLOSSING VAN DE C NON-LINEAR SCHRODINGER VERGELIJKING IMPLICIT LOGICAL (A-Z) REAL FUNARR,XARR, TARR, RElGEN, IElGEN INTEGER XDIM, TDIM DIMENSION FUNARR(XDIM, TDIM) ,XARR(XDIM), TARR(TDIM) C
REAL ARG1,ARG2,ARG3,ARG4,TELLER,NOEMER INTEGER I, J C
DO 100 1=1, TDIM DO 200 J=l,(XDIM - 1) ARG1=IEIGEN*XARR(J)
-134-
17700 17800 17900 18000 18100 18200 18300 18400 18500 18600 18700 18800 18900 19000 19100 19200 19300 19400 19500 19600 19700 19800 19900 20000 20100 20200 20300 20400 20500 20600 20700 20800 20900 21000 21100 21200 . 21300 21400 21500 21600 21700 21800 21900 22000 22100 22200 22300 22400 22500 22600 22650 22700 22800 22900 23000 23100 23200 23300 23400 23500 23600 23700
ARG2=«REIGEN**2) - (IEIGEN**2»*TARR(I) ARG3=REIGEN*XARR(J) ARG4=2*REIGEN*IEIGEN*TARR(I) FUNARR(J,I)=REIGEN*COS(ARG1 + ARG2) FUNARR(J,I)=FUNARR(J,I)/COSH(ARG3 - ARG4) 200 CONTINUE FUNARR(XDIM,I)=REIGEN C LAATSTE ARRAYPLAATS VULLEN MET MAX TBV NORMALISATIE C TOV VAN ENVELOPE 100 CONTINUE RETURN END C******************************************************************* SUBROUTINE FRMENV(FUNARR,XARR,TARR,XDIM,TDIM,REIGEN,IElGEN) C IEZE SUBROUTINE BEREKENT ALLEEN DE ENVELOPE VAN HET SOLITON IMPLICIT LOGICAL (A-Z) REAL FUNARR, XARR, TARR, REIGEN, IEIGEN INTEGER XDIM,TDIM DIMENSION FUNARR(XDIM, TDIM) ,XARR(XDIM) ,TARR(TDIM) REAL ARG3,ARG4 INTEGER I, J C
DO 100 I=l,TDIM DO 200 J=l, XDIM ARG3=RElGEN*XARR(J) ARG4=2*REIGEN*IEIGEN*TARR(I) FUNARR(J,I)=REIGEN/COSH(ARG3 - ARG4) 200 CONTINUE FUNARR(XDIM,I)=REIGEN C LAATSTE PLAATS VULLEN MET MAXIMUM TBV NORMALISATIE 100 CONT INUE RETURN END C C
C********************************************************************** SUBROUTINE ENVEL(IOBJ, FUNENV,XARR, NX, XDIM) C IEZE SUBROUTINE TEKENT DE ENVELOPE CM DE WERKELIJKE FUNTIE IMPLICIT LOGICAL(A-Z) REAL FUNENV ,XARR INTEGER IOBJ,NX,XDIM DIMENSION FUNENV(XDIM,5),XARR(XDIM) REAL NORMX,FAR(200) INTEGER I,J,IOBJH,MIDDEN C NORMEREN DO 100 1=1,5 DO 200 J=l,NX FUNENV(J,I)=FUNENV(J,I)/FUNENV(XDIM,I) 200 CONTINUE 100 CONTINUE MIDDEN=(NX+1 )/2 NORMX=AMAX1(ABS(XARR(1»,ABS(XARR(NX») DO 300 1=1, NX XARR(I)=XARR(I)/NORMX 300 CONTINUE 00 400 1=1,5 CALL NEWOBJ(IOBJH) DO 500 J=l,NX FAR(J)=FUNENV(J,I) 500 CONTINUE CALL CURV1(IOBJH,1,NX,XARR,FAR,2) C NU NOG DE ONDERZIJDE VAN DE ENVELOPE TEKENEN
-135-
23800 23900 24000 24100 24200 24300 24400 24500 24600 24700 24800
DO 600 J=l,NX FAR(J)=-FAR(J) CONTINUE 600 CALL CURV1(IOBJH,l,NX,XARR,FAR,2) CALL MAPOB1(IOBJ,IOBJH,XARR(1),0.,XARR(MIDDEN),1., XARR(MIDDEN),-1.,4.,27.5-I*4.,11.,29.-I*4., * 11. ,26.-1*4.) * CALL DISPOB(IOBJH) 400 CONTINUE RETURN END
-136-
(ELETAP8)NLS2S0L ON USER2 DATE & TIME PRINTED: THURSDAY, MAY 14, 1987 @ 21:20:00. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900 5000 5100 5200 5300 5400 5500 5600 5700 5800
BLOCK GLOBALS 5(KIND="REMOTE" ,FILETYPE=3, MYUSE=" 10") LIBRARY LIB(TlTLE="OBJECT/PLOTLIB ON USER2") INCLUDE "PLOTTER/F77 /DECLARATION ON APPL" INCLUDE "MISCELLANEA/FORTRAN/DECLARATION ON APPL" END INCLUDE "PLOTTER/F77 / ALLSUBS ON APPL" INCLUDE "MISCELLANEA/FORTRAN/ALLSUBS ON APPL"
FILE $ $ $ $
C SUBROUTINE PLAAT(IOBJ, FUNARR,XARR, YARR, NX, NY,XDIM, YDIM,DIM, XSTR,YSTR,ZSTR,NAAM,VP) REAL FUNARR,XARR,YARR,LL,FMAX,XMAX,YMAX,FMIN,XMIN,YMIN,X,Y, * NORMF,NORMX,NORMY,VP INTEGER IOBJ, NX, NY, MX, DIM,XDIM, YDIM CHARACTER XSTR*12,YSTR*12,ZSTR*12,NAAM*12,LEG*15 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM),XARR(XDIM),YARR(YDIM),VP(3) IN LIBRARY LIB END *
C *
SUBROUTINE CONTR2(IOBJ,FUNARR,XARR,YARR,NX,NY,XDIM,YDIM, AANTKR,XSTR,YSTR,NAAM) REAL FUNARR,XARR,YARR INTEGER IOBJ,AANTKR,NX,NY,XDIM,YDIM CHARACTER XSTR*12,YSTR*12,NAAM*12 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM),XARR(XDIM),YARR(YDIM) IN LIBRARY LIB END
C SUBROUTINE TEKEN(IOBJ,PLTR,SKPPR) INTEGER IOBJ, PLTR LOGICAL SKPPR IN LIBRARY LIB END C C C******************************************************************** IMPLICIT LOGICAL(A-Z) REAL XMIN,XMAX,TMIN,TMAX,VP(3),XSTEP,TSTEP,XARR(198),TARR(49), * NLSENV(198,49),NLSTOT(198,49),NLSTT(198,5),NLSTEN(198,5), * NLSENS(100,49), * NLSS(100,50),TCUR(5),XARRS(100),RLAMB1,ILAMB1,RLAMB2,ILAMB2 INTEGER XDIM,XDIMS,TDIM,I,J,IOBJ,IOBJ1,IOBJ2,DIM,HGTLN,AANTKR COMPLEX CLAMB1,CLAMB2 CHARACTER XSTR*12,TSTR*12,ZSTR*12,NAAM1*12,NAAM2*12 C C XSTR="PLAATS" TSTR="TIJD" ZSTR=" AMPLITUDE" NAAM1="NLS-2S0LITON" XDIM=198 XDIMS=(XDIM)/2 + 1 C IE LAATSTE X-PLAATS IN DE FUNCTIE ARRAYS ZAL WORDEN GEBRUIKT VOOR C EEN REFERENTIEWAARDE TBV DE VERSCHILLENDE NORMALISATIES TDIM=49 WRITE(5,2) 2 FORMAT(" VARIABELEN INVOEREN (WACHT MET INVOER TOT DE CURSOR") WRITE(5,3)
-1375900 6000 6100 6200 6300 6400 6500 6600 6700 6800 6900 7000 7100 7200 7300 7400 7500 7600 7700 7800 7900 8000 8100 8200 8300 8400 8500 8600 8700 8800 8900 9000 9100 9200 9300 9400 9500 9600 9700 9800 9900 10000 10100 10200 10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100 11200 11300 11400 11500 11600 11700 11800 11900 12000
3
FORMAT(n WEER AAN HET BEGIN VAN EEN NIEUWE REGEL STAAT",n WRITE(5,5) 5 FORMAT(n GEEF EERSTE EIGENWAARDE VOOR SOLITON") WRITE(5,6) 6 FORMAT(n REELE DEEL",n READ(5,*)RLAMB1 WRITE(5,7) 7 FORMAT(n IMAGINAIRE DEEL",n READ(5, *)ILAMB1 CLAMB1=CMPLX(RLAMB1,ILAMBl) WRITE(5,9) 9 FORMAT(n GEEF TWEEDE ElGENWAARDE VOOR SOLITON") WRITE(5,10) 10 FORMAT(n REELE DEEL",n READ(5,*)RLAMB2 WRITE(5,11) 11 FORMAT(" IMAGINAIRE DEELn ,/) READ(5,*)ILAMB2 CLAMB2=CMPLX(RLAMB2,ILAMB2) 12 WRITE(5, 13) 13 FORMAT(" GEEF DIMENSIE PLAATJE (0= PLAATJE NIET GEWENST)n) WRITE(5,14) 14 FORMAT(n 0= 5 X-T CURVES)") WRITE (5 ,15) 15 FORMAT(n (2= HOOGTELIJNENPLAATJE)n) WRITE(s,20) 20 FORMAT(" (3= 3D PLAATJE)",/) READ(S,*)DIM IF (DIM.NE.O • AND. DIM.NE.1 • AND. DIM.NE.2 • AND. DIM.NE.3) THEN GOTO 12 END IF IF (DIM.EQ.O) THEN C GEEN PLAATJE GEWENST, DAN NAAR END GOTO 1000 END IF WRITE(s,26) 26 FORMAT(n GEEF ONDERGRENS X-WAARDE",/) READ(S,*)XMIN WRITE(S,27) 27 FORMAT(n GEEF BOVENGRENS X-WAARDE",/) READ(S,*)XMAX XSTEP=(XMAX - XMIN)/(XDIMS - 2) DO 100 1=1, XDIMS XARRS(I)-XMIN + (I-1)*XSTEP 100 CONTINUE XSTEP=(XMAX - XMIN)/(XDIM - 2) DO 150 I-I, XDIM XARR(I)-XMIN + (I-1)*XSTEP 150 CONTINUE IF (DIM.EQ.l) THEN WRITE(S,30) 30 FORMAT(" GEEF 5 TIJDSTIPPEN VOOR DE 5 CURVES",f) WRITE(5,35) 35 FORMAT(" TI=n,/) READ(5,* )TCURO) WRITE(s,40) 40 FORMAT(n T2=n,/) READ(S,*)TCUR(2) WRITE(S,45) 45 FORMAT(" T3=n,/) READ(5,*)TCUR(3) WRITE(S,50)
-138-
12100 12200 12300 12400 12500 12600 12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900 15000 15100 15200 15300 15400 15500 15600 15700 15800 15900 16000 16100 16200 16300 16400 16500 16600 16700 16800 16900 17000 17100 17200 17300 17400 17500 17600 17700 17800 17900 17950 17975 18000
50 55
FORMAT(" T4=", /) READ(5,*)TCUR(4) WRITE(5,55) FORMAT(" T5=",n READ(5,*)TCUR(5)
C
C
C BEREKEN DE WERKELIJKE FUNCTIE WAARDE VOOR DE 5 TIJDSTIPPEN C EN BEREKEN DE ENVELOPE WAARDE VOOR DE 5 TIJDSTIPPEN CALL FORMEL(NLSTT,NLSTEN,XARR,TCUR,XDIM,5,CLAMBl,CLAMB2) CALL NEWOBJ(IOBJ2) CALL PLAAT(IOBJ2,NLSTT,XARR,TCUR,XDIM-l,5,XDIM,5,2, * XSTR,TSTR,ZSTR,NAAMl,VP) C NU DE ENVELOPE ()f DE FUNCTIE TEKENEN CALL ENVEL(IOBJ2, NLSTEN ,XARR, XDIM-l, XDIM) CALL TEKEN(IOBJ2,90,.TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ2) GOTO 1000 END IF
60 65
200
WRITE(5,60) FORMAT(" GEEF ONDERGRENS T-WAARDE",n READ(5,*)TMIN WRITE(5,65) FORMAT(" GEEF BOVENGRENS T-WAARDE",n READ(5,*)TMAX TSTEP=(TMAX - TMIN)/(TDIM - 1) DO 200 J=I,TDIM TARR(J)=TMIN + (J-l)*TSTEP CONTINUE
C
C FUNCTIEWAARDEN BEREKENEN IF (DIM.EQ.2) THEN WRITE(5,205) 205 FOlU1AT(" GEWENST AANTAL HOOGTELIJNEN't,n READ(5, * )AANTKR CALL FORMEL(NLSTOT,NLSENV,XARR,TARR,XDIM,TDIM,CLAMBI,CLAMB2) IF (DIM.EQ.3) THEN DO 300 J=I, TDIM DO 400 I=I,(XDIMS - 1) NLSS(I,J)=NLSTOT(2*I-l,J) 400 CONTINUE NLSS(XDIMS,J)=NLSTOT(XDIM,J) 300 CONTINUE END IF ELSE C GEEN HOOGTELIJNENPLAATJE GEWENST, DUS MAAR DE HELFT VAN C HET AANTAL WAARDEN CQ PUNTEN BEREKENEN CALL FORMEL(NLSTOT,NLSENS,XARRS,TARR,XDIMS,TDIM,CLAMBl,CLAMB2) END IF C C
C PLAATJES TEKENEN C
VP(l )=0. 55 VP(2)=1.0 VP(3 )=1. 0 C
IF (DIM.EQ.2) THEN C 3D PLAATJE OVERSLAAN GOTO 501 END IF CALL NEWOBJ(IOBJ)
-139-
18100 18200 18600 18700 18850 18875 18880 18885 18890 18900 19000 19100 19200 19300 19400 19500 19600 19700 19800 19900 20000 20100 20200 20300 20400 20500 20600 20700 20800 20900 21000 21100 21200 21300 21400 21500 , 21600 21700 21800 21900 22000 22100 22200 22300 22400 22500 22600 22700 22800 22900 23000 23100 23200 23300 23400 Z3500 Z3600 23700 23800 23900 24000 24100
*
CALL PLAAT(IOBJ.NLSENS.XARRS.TARR.XDIMS-1.TDIM,XDIMS,TDIM,3. XSTR.TSTR,ZSTR,NAAM1.VP) CALL TEKEN(IOBJ.90 •• TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ)
501 IF (DIM.EQ.3) THEN C HOOGTELIJNENPLAATJE OVERSLAAN GOTO 1000 END IF CALL NEWOBJ(IOBJ1) CALL CONTR2(IOBJ1,NLSENV.XARR,TARR,XDIM-1.TDIM.XDIM,TDIM. * AANTKR,XSTR.TSTR.NAAM1) CALL TEKEN(IOBJ1,90,.TRUE.) CALL DISPOB(IOBJ1) 1000 END C******************************************************************** SUBROUTINE FORMEL(FUNARR,FUNENV.XARR.TARR,XDIM,TDIM,CEIG1.CEIG2) C
C IEZE SUBROUTINE BEREKENT DE WERKELIJKE FUNCTIE WAARDE C (ENVELOPE * CARRIER) EN DE ENVELOPE VAN EEN 2 SOLITON OPLOSSING C VAN DE NON-LINEAR SCHRODINGER VERGELIJKING IMPLICIT LOGICAL (A-Z) COMPLEX CEIG1.CEIG2 REAL FUNARR, FUNENV , XARR. TARR INTEGER XDIM. TDIM DIMENSION FUNARR(XDIM,TDIM).FUNENV(XDIM,TDIM),XARR(XDIM). * TARR(TDIM) C
COMPLEX CJ,CHELP1.CHELP2,CHELP3,CHELP4,CTHET1,CTHET2,CTEL REAL TAU1.TAU2.LNCHI.LNCHT1.LNCHT2.MAX.RCHI,RCHl1,RCHI2.RNOEM. * RTHET1,ITHET1.RTHET2.ITHET2.RHELP1,RHELP2.RHELP3.RHELP4. * RTEL INTEGER I.J C
CJ=CMPLX(O. ,1.) C CJ IS HET ZUIVER IMAGINAIR GETAL J CHELP1=CEIG1 - CEIG2 CHELP2=CEIG1 + CONJG(CEIG2) CALL CPOLAR(CHELP1,RHELP1,RHELP2) CALL CPOLAR(CHELP2.RHELP3.RHELP4) RCHI=RHELPI/RHELP3 RCHl1=RHELP2 - RHELP4 RCHI2=RHELPZ + RHELP4 TAU1=O.5/ABS(REAL(CEIGl» TAUZ=0.5/ABS(REAL(CEIGZ» LNCHI=ALOG(RCHI) LNCHT1=LNCHI + ALOG(TAU1) LNCHTZ=LNCHI + ALOG(TAU2) MAX • O. DO 100 1=1, XDIM DO ZOO J-1. TDIM CTHETl- CEIGI*(XARR(I) + CJ*CEIG1*TARR(J» CTHETZ= CEIGZ*(XARR(I) + CJ*CEIGZ*TARR(J» ITHET1=AIMAG(CTHET1) + RCHII ITHET2=AIMAG(CTHET2) + RCHI2 RTHETI-REAL(CTHET1) + LNCHT1 RTHET2-REAL(CTHET2) + LNCHT2 C COMPLEXE COSH BEREKENEN CHELPl-COSH(RTHET2)*COS(RCHl1)+CJ*SINH(RTHETZ)*SIN(RCHI1) CHELPZ-COSH(RTHET1)*COS(RCHIZ)+CJ*SINH(RTHET1)*SIN(RCHI2) CTEL=ABS(REAL(CEIG1»*CEXP(CJ*ITHET1)*CHELP1 * + ABS(REAL(CEIGZ»*CEXP(CJ*ITHETZ)*CHELPZ
-140-
24200 24300 24400 24500 24600 24700 24800 24900 25000 25100 25200 25300 25400 25500 25600 25700 25800 25900 26000 26100 26200 26300 26400 26500 26600 26700 26800 26900 27000 27100 27200 27300 27400 27500 27600 27700 . 27800 27900 28000 28100 28200 28300 28400 28500 28600 28700 28800 28900 29000 29100 29200 29300 29400 29500 29600 29700 29800 29900 30000 30100 30200
C C C C
RTEL=ABS(REAL(CEIG1»*(COSH(RTHET2)*COS(RCHIl)*COS(ITHET1) - SINH(RTHET2)*SIN(RCHIl)*SIN(ITHET1» + ABS(REAL(CEIG2»*(COSH(RTHET1)*COS(RCHI2)*COS(ITHET2) - SINH(RTHET1)*SIN(RCHI2)*SIN(ITHET2» RNOEM=COSH(RTHET1)*COSH(RTHET2)*COSH(LNCHI) * + SINH(LNCHI)*(SINH(RTHET1)*SINH(RTHET2) * - COS(ITHET1 - ITHET2» FUNARR(I,J)=REAL(CTEL)/RNOEM FUNENV(I,J)=CABS(CTEL)/RNOEM IF (FUNENV(I,J) .GT. MAX) THEN MAX = FUNENV(I,J) END IF 200 CONTINUE 100 CONTINUE C lAATSTE PLAATSEN VULLEN MET MAXIMUM TBV NORMALISATIE DO 300 J=l, TDIM FUNARR(XDIM,J)=MAX FUNENV(XDIM,J)=MAX 300 CONTINUE RETURN END C ******************************************************************* * * *
C C
SUBROUTINE ENVEL(IOBJ, FUNENV ,XARR, NX, XDIM) C IEZE SUBROtITINE TEKENT DE ENVELOPE OM DE WERKELIJKE FUNTIE IMPLICIT LOGICAL(A-Z) REAL FUNENV, XARR INTEGER IOBJ,NX,XDIM DIMENSION FUNENV(XDIM,5),XARR(XDIM) REAL NORMX,FAR(200) INTEGER I,J,IOBJH,MIDDEN C NORMEREN DO 100 1=1,5 DO 200 J=l, NX FUNENV(J,I)=FUNENV(J,I)/FUNENV(XDIM,I) 200 CONTINUE 100 CONTINUE MIDDEN=(NX+1 )/2 NORMX=AMAX1(ABS(XARR(l»,ABS(XARR(NX») DO 300 I=l,NX XARR(I)-XARR(I)/NORMX 300 CONTINUE DO 400 1=1,5 CALL NEWOBJ(IOBJH) DO 500 J=l,NX FAR(J)=FUNENV(J,I) CONTINUE 500 CALL CURV1(IOBJH,1,NX,XARR,FAR,2) C NU NOG DE ONDERZIJDE VAN DE ENVELOPE TEKENEN DO 600 J-1, NX FAR(J)--FAR(J) 600 CONTINUE CALL CURV1(IOBJH,1,NX,XARR,FAR,2) CALL MAPOBl(IOBJ,IOBJH,XARR(l),O.,XARR(MIDDEN),l., * XARR(MIDDEN),-1.,4.,27.5-I*4.,11.,29.-I*4., * 11.,26.-1*4.) CALL DISPOB(IOBJH) 400 CONTINUE RETURN END
-141(ELETAP8)PLOTLIB ON USER2 DATE & TIME PRINTED: THURSDAY, MAY 14, 1987 @ 21:20:34. 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900 5000 5100 5200 5300 5400 5500 5600 5700 5800 5900 6000 6100 6200 6300 6400 6500 6600 6700
$ SHARING=SHAREDBYRUNUNIT
BLOCK GLOBALS FILE 6(KIND="PRINTER") $ INCLUDE "PLOTTER!F77!DECLARATION ON APPL" EXPORT (PLAAT,CONTR2,MAPDIM,MAPD1,TEKEN) END $ INCLUDE "PLOTTER!F77!ALLSUBS ON APPLtl C C SUBROUIINE EXTR(FUN,X, Y, MAX, XMAX, YMAX, MIN,XMIN, YMIN) C Hulproutine voor het bepalen van de extreme funktiewaarden C met bijbehorende coordinaten. IMPLICIT LOGICAL(A-Z) REAL FUN, X, Y, MAX, XMAX, YMAX, MIN, XMIN, YMIN IF (FUN.GT.MAX) THEN MAX=FUN XMAX=X YMAX=Y END IF IF (FUN.LT.MIN) THEN MIN-FUN XMIN=X YMIN-Y END IF RETURN END C C SUBROUTINE PLAAT(IOBJ,FUNARR,XARR, YARR, NX,NY,XDIM,YDIM,DIM, * XSTR,YSTR,ZSTR,NAAM,VP) C*********************************************************************** C Doel:Tekening aanmaken waarbij funktie netjes genormeerd wordt C en de legenda aangeeft wat er tegen wat uitstaat. Tevens worden C de extreme funktiewaarden bepaald. De tekening zelf staat op A4 C formaat. WC coordinaten. C Met de "DIM" parameter kan gekozen worden uit een 2D-plot waarC bij Y als parameter optreedt, (DIM=2), of een 3D-plot als funktie C van X en Y (DIM=3). C De dimensies van FUNARR moeten als XDIM*YDIM GEDEKLAREERD zij n. C*********************************************************************** REAL FUNARR, XARR, YARR, LL, FMAX, XMAX, YMAX, FMIN, XMIN, YMIN, X, Y, * NORMF, NORMX, NORMY, VP INTEGER IOBJ,NX,NY,MX,MY,DIM,XDIM,YDIM CHARACTER XSTR*12,YSTR*12,ZSTR*12,NAAM*12,LEG*15 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM),XARR(XDIM),YARR(YDIM),VP(3) C C XARR en YARR moeten monotoon stijgend zijn C C EXTREME WAARDEN BEPALEN C FMAX=FUNARR(I,l) XMAX=XARR(l) YMAX=YARR( 1) FMIN=FMAX XMIN=XMAX YMIN=YMAX DO 1000 MX=l,XDIM
-1426800 6900 7000 7100 7200 7300 7400 7500 7600 7700 7800 7900 8000 8100 8200 8300 8400 8500 8600 8700 8800 8900 9000 9100 9200 9300 9400 9500 9600 9700 9800 9900 10000 10100 10200 10210 10220 10230 10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100 11200 11300 11400 11500 11600 11610 11700 11800 11900 12000 12100 12200 12300 12400 12500
DO 1001 MY=l,YDIM X=XARR(MX) Y=YARR(MY) CALL EXTR(FUNARR(MX,MY),X,Y,FMAX,XMAX,YMAX,FMIN,XMIN,YMIN) 1001 CONTINUE 1000 CONTINUE C C C
10
EXTREME WAARDEN NAAR DE PRINTER STUREN WRITE(6,10)ZSTR,FMAX,XMAX,YMAX,ZSTR,FMIN,XMIN,YMIN FORMAT(X, "MAXIMUM IN FUNKTIE" ,X, A12, X," IS:" ,X, E10. 4, X, "( X, Y):" , * E8.2,X,E8.2,X,I,x,"MINIMUM IN FUNKTIE" ,X,A12,X,"IS:", * X,E10.4,X,"(X,Y):",E9.2,X,E9.2)
C
C
KADER PLAATSEN
C
CALL CALL CALL CALL
SLP(IOBJ,0.,0.,20.,0.,1) SLP(IOBJ,20.,0.,20.,28.,1) SLP(IOBJ,20.,28.,0.,28.,1) SLP(IOBJ,0.,28.,0.,0.,1)
C
C
LEGENDA PLAATSEN
C
C C C
I.v.m. een flexibele ontwikkeling van deze subroutine wordt voor de lettergrootte een variabele gebruikt zodat deze eenvoudig te veranderen is als een en ander niet mooi op het papier terecht komt.
C
C
LL= L(etter) L(ength) in centimeter
C
LL=0.4 C
C
YC= Y-coordinaat
C
LEG="X=" IlxSTR YC=8.2 IF (DIM.EQ.2) THEN YC=5.0 END IF CALL COTEXT(IOBJ,l.,YC,O.,LL,O.,LEG) CALL CONNUM(IOBJ, 1.+16*LL, YC, O. , LL, O. ,"E9. 2" , DBLE(XARR( 1») CALL COTEXT(IOBJ, 1.+26*LL, YC,O. ,LL,O. ,"<X<") CALL CONNUM( IOBJ, 1. +3 O*LL, YC, O. , LL, O. ," E9. 2" , DB LE (XARR(NX) ) ) C
LEG-"Y-" IIYSTR YC=YC-2*LL CALL COTEXT(IOBJ,l.,YC,O.,LL,O.,LEG) CALL CONNUM(IOBJ, 1. +16*LL, YC, O. , LL, O. ,"E9. 2", DBLE(YARR(l») CALL COTEXT(IOBJ, 1.+26*LL, YC,O. ,LL,O. ,"(Y(") CALL CONNUM(IOBJ, 1. +30*LL, YC, 0. , LL, O. ,"E9. 2" ,DBLE(YARR(NY») C
LEG=" Z=" II ZSTR YC-YC-2*LL IF (DIM.EQ.3) THEN CALL COTEXT(IOBJ,l.,YC,O.,LL,O.,LEG) C
C
MINIMA TEKENEN
C
YC-YC-2*LL CALL COTEXT(IOBJ, 1. ,YC,O. ,LL,O. ,"MIN.Z=") CALL CONNUM(IOBJ, 1.+6*LL, YC, O. , LL, O. ,"E9. 2" , DBLE(FMIN» CALL COTEXT(IOBJ, 1. +1 7*LL, YC, 0. , LL, 0. ,"X=") CALL CONNUM(IOBJ, 1.+19*LL, YC, O. , LL, 0. /'E9. 2" , DBLE(XMIN»
-143-
12600 12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13750 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900 15000 15100 15200 15300 15400 15500 15600 15700 15800 15900 16000 16100 16110 16120 16130 16150 16200 16300 16400 16500 16600 16700 16800 16900 17000 17100 17200 17300 17400 17500 17600 17700 17800 17900 18000 18100 18200
CALL COTEXT(IOBJ, 1.+29*LL, YC,O. ,LL,O. ,"Y=") CALL CONNUM(IOBJ, 1. +31*LL, YC, O. ,LL, O. ," E9. 2" ,DBLE(YMIN» C C C
MAXIMA TEKENEN YC=YC-2*LL CALL COTEXT (IOBJ, 1. , YC, O. ,LL, O. ," MAX. Z=") CALL CONNUM(IOBJ, 1. +6*LL, YC, O. ,LL, O. ," E9. 2" ,DBLE(FMAX» CALL COTEXT (IOBJ, 1. +1 7*LL, YC, O. ,LL, O. ,"X=") CALL CONNUM( IOBJ, 1. +19*LL, YC, O. ,LL, O. ,"E9. 2" ,DBLE(XMAX» CALL COTEXT(IOBJ, 1.+2 9*LL, YC, O. ,LL, O. ,"Y=") CALL CONNUM(IOBJ, 1.+31*LL, YC, O. ,LL, O. ,"E9. 2" ,DBLE(YMAX» END IF
C C C
NAAM VAN HET PLAATJE YC=YC-2*LL LEG="NAA.~:" /
/NAAM CALL COTEXT(IOBJ,I.,YC,O.,LL,O.,LEG)
C C C C
Legenda is klaar, nu het plaatje zelf. Eerst: NORMEREN OP HET MAXIMUM
NORMF=AMAX1(ABS(FMAX),ABS(FMIN» NORMX=AMAX1(ABS(XARR(l»,ABS(XARR(NX») NORMY=AMAX1(ABS(YARR(l»,ABS(YARR(NY») DO 11 00 MX=l, NX 00 1101 MY=l,NY FUNARR(MX,MY)=FUNARR(MX,MY)/NORMF 1101 CONTINUE 1100 CONTINUE DO 1200 MX=I,NX XARR(MX)=XARR( MX) /NORMX 1200 CONTINUE DO 1300 MY=I, NY YARR(MY)=YARR(MY)/NORMY 1300 CONTINUE IF (DIM.EQ.2) THEN C 2D-plaatje, 5 curves CALL CURVE5(IOBJ,NX,XDIM,YDIM,XARR,YARR,FUNARR) END IF IF (DIM.EQ.3) THEN C 3D-plaatj e CALL SURF4(IOBJ, 3. ,10. ,17. ,24. ,NX,NY,XDIM,YDlM, XARR,YARR,FUNARR,VP(I),VP(2),VP(3» * END IF C RETURN END C C SUBROUTINE SURF4(IOBJ,XMINAR, YMINAR, XMAXAR, YMAXAR, XL, YL, XDIM ,YDlM , XAR, YAR, ZAR,XVP,YVP, ZVP) * C Deze subroutine tekent een 3D-plaatje van de matrixwaarden van C ZAR. De 2-dimensionale matrix ZAR wordt bewerkt zodat hij C bruikbaar is voor de standaardprocedure SURF2. IMPLICIT LOGICAL (A-Z) INTEGER IOBJ, XL, YL, XDIM, YDIM REAL XMINAR, YMINAR, XMAXAR, YMAXAR, XVP, YVP' ZVP ,XAR, YAR, ZAR * DIMENSION XAR(XDIM) ,YAR(YDIM) ,ZAR(XDIM,YDIM) C BEGIN VAN DE SUBROUTINE
-14418300 18400 18500 18600 18700 18800 18900 19000 19100 19200 19300 19400 19500 19600 19700 19800 19900 20000 20100 20200 20300 20400 20500 20600 20700 20800 20900 21000 21100 21200 21300 21400 21500 21600 21700 21800 21900 22000 22100 22200 22300 22400 22500 22600 22700 22800 22900 23000 23100 23200 23300 23400 23500 23600 23700 23800 23900 24000 24100 24200 24300 24400
REAL ZHP DIMENSION ZHP(500000) INTEGER I,J,N/1/ DO 100 1=1, XL, 1 DO 200 J=l, YL, 1 ZHP(N)=ZAR(I, J) N=N+1 200 CONTINUE 100 CONTINUE CALL SURF2(IOBJ,XMINAR, YMINAR,XMAXAR, YMAXAR,XL, YL,XAR, YAR, *ZHP,XVP,YVP,ZVP) RETURN END C END OF SURF4 C C
SUBROUTINE CONTR2(IOBJ,FUNARR,XARR,YARR,NX,NY,XDIM,YDIM, AANTKR, XSTR, YSTR, NAAM) IMPLICIT LOGICAL(A-Z) REAL FUNARR, XARR, YARR INTEGER IOBJ, AANTKR, NX, NY, XDIM, YDIM CHARACTER XSTR*12,YSTR*12,NAAM*12 DIMENSION FUNARR(XDIM,YDIM),XARR(XDIM),YARR(YDIM) C Doel: het tekenen van een hoogtelijnenplaatje met AANTKR C hoogtelijnen. De betreffende 2-dimensionale funktie moet C worden meegeleverd in FUNARR die GEDEKLAREERD moet zijn C met de grenzen XDIM en YDIM. C De funktiewaarden van de krommen worden equidistant verdeeld Cover het bereik van de funktie. C Tenslotte word t er een legenda toegevoegd. C Begin CONTR2 REAL FMAX,FMIN,F,DF,FO,NORMF,NORMX,NORMY,XAR,YAR,FAR, * XISO,YISO,LL,YC INTEGER TX,TY,NROW,Ra~LEN,N,SEGM,ELEM,NPARTS,CON,CONTRl, * PART, POINT, PLACE, NPOINT,KPART, IOBJA DIMENSION FAR(10000),XAR(10000),YAR(10000),XISO(2000), * YISO(2000),NPOINT(20),KPART(20) CHARACTER LE G*2 *
°
C
C
EXTREME WAARDEN BEPALEN FMAX=FUNARR( 1, 1) FMIN=FMAX DO 100 TX=l, NX DO 101 TY=l,NY F=FUNARR(TX,TY) IF (F. Gr • FMAX) THEN FMAX-F
101 100
END IF IF (F. LT. FMIN) THEN FMIN=F END IF CONTINUE CONTINUE
C
C
AFSTAND KONTOUREN (IN FUNIcrIEWAARDE) DF= (FMAX-FMIN)/( AANTKR+l)
C
C
KADER PLAATSEN
C
CALL SLP(IOBJ,0.,0.,20.,0.,1) CALL SLP(IOBJ,20.,0.,20.,28.,1) CALL SLP(IOBJ,20.,28.,0.,28.,I)
-145-
24500 24600 24700 24800 24900 25000 25100 25200 25300 25400 25500 25600 25700 25800 25900 26000 26100 26200 26300 26400 26500 26600 26700 26800 26900 27000 271 00 27200 27300 27400 27500 27600 27700 27800 27900 28000 , 28100 28200 28300 28400 28500 28600 28700 28800 28900 29000 29100 29200 29300 29400 29500 29600 29700 29800 29900 30000 30100 30200 30300 30400 30500 30600
CALL SLP(IOBJ,0.,28.,0.,0.,I) C
C
LEGENDA PLAATSEN
C
C C C
I.v.m. een flexibele ontwikkeling van deze subroutine wordt voor de lettergrootte een variabele gebruikt zodat deze eenvoudig te veranderen is als een en ander niet mooi op het papier terecht komt.
C
C
LL- L(etter) L(ength) in centimeter
C
LL-O.4 C
C
YC- Y-coordinaat
C
LEG-"X=" / /XSTR YC=8.2 CALL COTEXT(IOBJ,I.,YC,O.,LL,O.,LEG) CALL CONNUM(IOBJ, 1.+16*LL, YC, 0., LL, 0.,"E9. 2" , DBLE(XARR(l ») CALL COTEXT(IOBJ, 1.+26*LL, YC,O. ,LL,O. ,"(X(") CALL CONNUM(IOBJ, 1.+30*LL, YC,O. ,LL,O. ,"E9.2" ,DBLE(XARR(NX») C
LEG="Y=" / /YSTR YC=YC-2*LL CALL COTEXT(IOBJ,I.,YC,O.,LL,O.,LEG) CALL CONNUM(IOBJ, 1. +16*LL, YC, 0., LL, 0. ,"E9. 2" ,DBLE(YARR( 1») CALL COTEXT(IOBJ, 1.+26*LL, YC,O. ,LL,O. ,"(Y(") CALL CONNUM(IOBJ, 1. +30*LL, YC, O. , LL, 0. ," E9. 2" ,DBLE(YARR(NY») C
LEG="AANTAL KONTOUREN=" YC=YC-2*LL CALL COTEXT(IOBJ,I.,YC,O.,LL,O.,LEG) CALL CONNUM(IOBJ, 1. +17*LL, YC, 0., LL, 0. ," 13" ,DBLE(AANTKR» C
YC=YC-2*LL CALL COTEXT (IOBJ, 1. , YC, 0. , LL, 0. ,"MAX. _") CALL CONNUM( IOBJ, 1+5.*LL, YC, 0. , LL, 0. ,"E9. 2" ,DBLE(FMAX-DF» C
YC-YC-2*LL CALL COTEXT (IOBJ, 1. , YC, O. , LL, 0. ,"MIN. _") CALL CONNUM(IOBJ, 1.+5*LL, YC, 0. ,LL,O. ,"E9. 2" ,DBLE(FMIN+DF» C
YC=YC-2*LL LEG="NAAM-"//NAAM CALL COTEXT(IOBJ,l.,YC,O.,LL,O.,LEG) C
C
ASSEN TEKENEN CALL AXISCO(IOBJ,18.,10.,3.,10.,20,1,XARR(NX),XARR(I), * •TRUE. , •FALSE. ,0.2, "PLAATS X") CALL AXISCO(IOBJ,3.,10.,3.,25.,10,I,YARR(I),YARR(NY), * .FALSE.,.TRUE.,0.2,"TIJD r')
C
C C
OPBOUW BENODIGDE EENDIMENSIONALE ARRAYS EERST: NORMEREN
C
201 200
NORMF=AMAXl(ABS(FMAX),ABS(FMIN» NORMX=AMAXl(ABS(XARR(I»,ABS(XARR(NX») NORMY=AMAXl(ABS(YARR(I»,ABS(YARR(NY») DO 200 TX-l, NX DO 201 TY=I,NY FUNARR(TX,TY).FUNARR(TX,TY)/NORMF CONTINUE CONTINUE
-146-
30700 30800 30900 31000 31100 31200 31300 31400 31500 31600 31700 31800 31900 32000 32100 32200 32300 32400 32500 32600 32700 32800 32900 33000 33100 33200 33300 33400 33500 33600 33700 33800 33900 34000 34100 34200 34300 34400 34500 34600 34700 34800 34900 35000 35100 35200 35300 35400 35500 35600 35700 35800 35900 36000 36100 36200 36300 36400 36500 36600 36700 36800
300 400
DO 300 TX=l,NX XARR(TX)=XARR(TX)/NORMX CONTINUE DO 400 TY=l,NY YARR(TY)=YARR(TY)/NORMY CONTINUE DF=DF INORMF FMIN=FMIN/NORMF FMAX=FMAX/NORMF
C C
XAR, YAR EN FAR OPBOUWEN UIT XARR, YARR EN FUNARR. N=l NROW=NX ROWLEN-NY DO 500 SEGM=l, NROW DO 501 ELEM=l, ROWLEN XAR(N)=XARR(SEGM) YAR(N)=YARR(ELEM) FAR(N)=FUNARR(SEGM,ELEM) N=N+1 501 CONTINUE 500 CONTINUE
C C
HULPOBJECT AANMAKEN CALL NEWOBJ(IOBJA)
C C
C
5
FUNKTIEWAARDE KIEZEN FO=FMIN+DF DO 600 N=l, AANTKR CONTOUR BEREKENEN CON=CONTR1(FO,NROW,ROWLEN,XAR,YAR,FAR.2,NPARTS.NPOINT, * KPART,XISO,YISO) IF (CON.EQ.1) THEN WRITE(6,5)NPOINT(1) FORMAT(X," BOVENGRENS XISO EN YISO TE KLEIN!",I, * "MOET ZIJN:",I4) STOP END IF
C
TEKENEN OP IOBJA PLACE=l DO 700 PART=l,NPARTS IF (KPART(PART) .NE. 3) THEN DO 800 POINT-PLACE,PLACE+NPOINT(PART)-2 CALL SLP(IOBJA,XISO(POINT),YISO(POINT),XISO(POINT+1), * YISO(POINT+1),1) 800 CONTINUE IF (KPART(PART) .EQ.1) THEN CALL SLP(IOBJA,XISO(PLACE),YISO(PLACE), * XISO(PLACE+NPOINT(PART)-l), * YISO(PLACE+NPOINT(PART)-l),l)
C
END IF
15 700 600 C C
ELSE WRITE(6,15) FORMAT("KIND OF PART = 3") END IF PLACE=PLACE+NPOINT(PART) CONTINUE FO=FO+DF CONTINUE HULPOBJECT OP DE JUISTE MANIER OP IOBJ PLAATSEN
-14736900 37000 37100 37200 37300 37400 37500 37600 37700 37800 37900 38000 38100 38200 38300 38400 38500 38600 38700 38800 38900 39000 39100 39200 39300 39400 39500 39600 39700 39800 39900 40000 40100 40200 40300 40400 40500 40600 40700 40800 40900 41000 41100 41200 41300 41400 41500 41600 41700 41800 41900 42000 42100 42200 42300 42400 42500 42600 42700 42800 42900 43000
*
CALL MAPOBl(IOBJ,IOBJA,XARR(1),YARR(I),XARR(I),YARR(NY), XARR(NX),YARR(I),3.,10.,3.,25.,18.,10.) CALL DISPOB(IOBJA)
C
RETURN END C
C
SUBROUTINE MAPDIM(IOBJ,SZ,ST,RS) REAL SZ,ST,RS INTEGER IOBJ Deze subroutine "Mapt" de dimensioneringskonstanten. REAL LL, YC INTEGER OBJI CALL NEWOBJ(IOBJ1) LL=0.3 YC=2.7 CALL COTEXT(IOBJl, 1. , YC, O. , LL, O. ," SZ=") CALL CONNUM(IOBJl, 1.+3*LL, YC, 0., LL, O. ,"E9. 2" ,DBLE(SZ» CALL COTEXT(IOBJl, 1.+14*LL, YC, 0. ;LL, 0.," ST=") CALL CONNUM(IOBJl, 1. +1 7*LL, YC, 0. , LL, 0. , "E9. 2" ,DBLE(ST» YC=YC-2*LL CALL COTEXT(IOBJl, 1., YC, 0., LL, 0. ,"RS=") CALL CONNUM(IOBJl, 1.+3*LL, YC, 0. , LL, 0. ,"E9. 2", DBLE(RS» CALL MAPOBl(IOBJ,IOBJl,0.,0.,0.,28.,20.,0.,0.,0.,0.,28.,20.,0.) CALL DISPOB(IOBJl) RETURN END
C C
C
SUBROUTINE MAPDl(IOBJ,SZB,STB,SZL,STL,RS,RB) REAL SZB,STB,SZL,STL,RS,RB INTEGER lOBJ Deze subroutine is een uitbreiding van MAPDIM. REAL LL,YC INTEGER OBJI CALL NEWOBJ(IOBJl) LL=0.3 YC=2.7 CALL COTEXT(IOBJ1, 1. , YC, 0., LL, 0. ," SZB=") CALL CONNUM( IOBJl, 1.+4*LL, YC, 0. , LL, 0. ," E9. 2" ,DBLE(SZB» CALL COTEXT(IOBJl, 1.+15*LL, YC,O. ,LL,O. ,"STB=") CALL CONNUM( IOBJl, 1. +19*LL, YC, 0. , LL, 0. , "E9. 2", DBLE(STB» CALL COTEXT(IOBJl, 1.+32*LL, YC,O. ,LL,O. ,"SZ1-") CALL CONNUM(IOBJl, 1. +36*LL, YC, 0. , LL, 0. ," E9. 2" ,DBLE(SZL» CALL COTEXT(IOBJl, 1.+4 7*LL, YC, 0., LL, 0. ," STL-") CALL CONNUM( IOBJl, 1.+51*LL, YC, 0. , LL, 0.,"E9. 2" ,DBLE(STL» YC-YC-2*LL CALL COTEXT(IOBJl, 1. , YC, 0. , LL, 0. , "RS=") CALL CONNUM(IOBJl, 1.+3*LL, YC, 0., LL, 0. , "E9. 2" ,DBLE(RS» CALL COTEXT(IOBJl, 1.+32*LL, YC,O. ,LL,O. ,"RB=") CALL CONNUM( IOBJl, 1.+35*LL, YC, 0., LL, 0., "E9. 2" ,DBLE(RB» CALL MAPOBl(IOBJ,IOBJl,0.,0.,0.,28.,20.,0.,0.,0.,0.,28.,20.,0.) CALL DISPOB(IOBJl) RETURN END
C C
SUBROUTINE TEKEN(IOBJ,PLTR,SKPPR)
-148-
43100 43200 43300 43400 43500 43600 43700 43800 43900 44000 44100 44200 44300 44400 44500 44600 44700 44800 44900 45000 45100 45200 45300 45400 45500 45600 45700 45720 45730 45740 45760 45780 45800 45900 45910 45920 45930 45940 46000 46100 46200 46300 46310 46320 46400 46500 46600 46700 46800 46900 47000 47100 47200 47300 47400 47500 47600 47700 47800 47900
INTEGER IOBJ, PLTR LOGICAL SKPPR C C
Deze subroutine tekent een plaatje van IOBJ op PLTR.
IF (SKPPR) THEN NIEUW PAPIER CALL SKIPP(PLTR) END IF CALL GKSWV(PLTR,.TRUE.) CALL NDCVP(PLTR,0.,0.,.2,.2799) CALL NDCWIN(PLTR,0.,0.,.2,.28) CALL DCVP(PLTR,.20,.28) CALL DRAWOB(PLTR,IOBJ,0.,0.,20.,28.) RETURN END
C C
C C
SUBROIJrINE CURVE5(IOBJ, NX, XDIM, YDIM,XAR, YAR, FUNAR) 0****************************************************************** C IEZE SUBROIJrINE TEKENT 5 X-Y PLAATJES ONDER ELKAAR. DIT ZIJN DE C EERSTE 5 RIJEN VAN HET ARRAY FUNAR. O1T ARRAY FUNGEERT TEVENS ALS C PARAMETER. HET ARRAY FUNAR MOET WEL GEDEKLAREERD ZIJN MET DE GRENZEN C XDIM*YDIM. 0********************************************************************* IMPLICIT LOGICAL(A-Z) REAL XAR, YAR, FUNAR, FAR INTEGER IOBJ, NX, XDIM, YDIM, IOBJH, MIDDEN, I, J DIMENSION XAR(XDIM) ,YAR(YDIM) ,FUNAR(XDIM, YDIM) ,FAR(500) DO 1400 1=1,5 CALL NEWOBJ(IOBJH) CALL FAXIS(IOBJH,XAR(1),0.,XAR(NX),0.,4,2,XAR(I),XAR(NX)t * TRUE,FALSE,.I) MIDDEN=(NX+l )/2 CALL BAXIS(IOBJH,XAR(MIDDEN),-I.,XAR(MIDDEN),I.,4,2,.I) DO 1500 J=I,NX FAR(J)=FUNAR(J,I) 1500 CONTINUE DO 1600 J=1,(NX-1) CALL SLP(IOBJH,XAR(J),FAR(J),XAR(J+l),FAR(J+l),I) 1600 CONTINUE CALL MAPOB1(IOBJ,IOBJH,XAR(I),0.,XAR(MIDDEN),I., * XAR(MIDDEN),-I.,4.,27.5-I*4.,II.,29.-I*4., * 11.,26.-1*4.) CALL DISPOB(IOBJH) CALL COTEXT(IOBJ, 4.,28.5-1*4. ,0., .2, O. ,"t_") CALL CONNUM( IOBJ, 4.4,28.5-1*4. , O. , .2,0. ," F5. 2", DBLE(YAR(I») 1400 CONTINUE RETURN END C C
CALL FREEZE("TEMPORARY") STOP END C C
