USUL PENELITIAN FUNDAMENTAL

Kode/Rumpun Ilmu: 121/Matematika

USUL PENELITIAN FUNDAMENTAL

DEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI KELAS GRAF YANG DIHASILKAN DARI OPERASI JOIN DAN GRAF 2-REGULER

TIM PENGUSUL Dr. Drs. Anak Agung Gede Ngurah, MSi (NIDN: 0725126702) Dr. Azrul Iswadi, SSi, MSi (NIDN: 0727127303)

UNIVERSITAS MERDEKA MALANG DESEMBER 2013

Substansi Usul Penelitian

DAFTAR ISI Halaman Pengesahan Daftar Isi Abstrak Bab I. Pendahuluan ............................................................................................................... 3 Bab II. Tinjauan Pustaka

................................................................................................... 6

II.1. Konsep Defisiensi dan Penelitian Terdaulu ............................................................. 6 II.2. Hasil-hasil Penelitian Tahun Pertama ...................................................................... 8 Bab III. Metode Penelitian

................................................................................................. 10

Bab IV. Biaya dan Jadwal Pelaksanaan Daftar Pustaka Lampiran

......................................................................... 13

............................................................................................................ 13

........................................................................................................................... 16

1

ABSTRAK Penelitian ini adalah mengembangkan metode untuk menenentukan nilai defisiensi sisi-ajaib super dari graf hasil operasi join dan graf 2-reguler. Pengetahuan mengenai nilai defisiensi sisi-ajaib super dari graf dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan pemberian alamat secara efisien pada jaringan komunikasi. Penelitian ini adalah penelitian kualitatif berjenis penelitian teoritik. Metode yang digunakan mengacu pada desain metode penelitian teoritik. Luaran penelitian diarahkan pada konstruksi teori yang mempunyai nilai terapan, seperti: algoritma menentukan batas atas maupun batas bawah dari nilai defisiensi sisi-ajaib super dari graf hasil operasi join dan graf 2-reguler; algoritma menentukan nilai eksak dari defisiensi sisi-ajaib super dari graf hasil operasi join dan graf 2reguler; artikel yang dipublikasikan pada jurnal nasional terakreditasi atau jurnal internasional; presentasi pada seminar Matematika Nasional atau Internasional Dalam Negeri dan laporan penelitian. Tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. Tahap inisiasi meliputi studi literatur dan identifikasi perumusan masalah. Tahapan berikutnya adalah tahap investigasi atau penelitian. Pada tahap ini akan dilakukan penelitian untuk menentukan nilai defisiensi sisi-ajaib super dari graf hasil operasi join dan graf 2reguler yang diawali dengan menentukan batas bawah dan batas atas defisiensi sisi-ajaib super dari graf tersebut, kemudian dilanjutkan dengan menentukan nilai eksaknya. Tahapan terakhir adalah tahapan verifikasi hasil dan penyusunan laporan. Pada tahap ini, hasil-hasil yang sudah diperoleh pada tahap sebelumnya akan diperiksa kebenarannya dengan menggunakan teori-teori maupun postulat-postulat yang sudah ada. Hasil-hasil yang sudah benar akan dituliskan dalam bentuk artikel yang siap untuk dipublikasikan dan sebagai bahan pembuatan laporan penelitian. Studi penentuan nilai defisiensi sisi-ajaib super dari graf merupakan permasalahan yang sangat sulit. Oleh karena itu, penelitiannya ini dalam jangka pendek bertujuan untuk menentukan batas bawah dan batas atas defisiensi sisi-ajaib super dari graf hasil operasi join dan graf 2-reguler secara umum dan menentukan nilai eksaknya untuk graf tersebut dengan ukuran tertentu. Tujuan jangka panjangnya adalah menentukan nilai eksak defisiensi sisi-ajaib super dari graf hasil operasi join dan graf 2-reguler secara umum. Indikator kunci keberhasilan penelitian diukur dari hasil 1 (satu) buah artikel yang akan dipublikasikan pada jurnal internasional dan 1 (satu) presentasi pada seminar internasional di negara Asia Tenggara.

2

BAB I PENDAHULUAN Konsep tentang defisiensi dari suatu graf pertama kali diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa pada tahun 1970 bersamaan dengan diperkenalkannya konsep pelabelan total sisi-ajaib pada suatu graf. Pada waktu itu, Kotzig dan Rosa menemukan fakta bahwa beberapa kelas graf tidak mempunyai pelabelan total sisi-ajaib. Fakta ini mendorong mereka untuk memperkenalkan konsep defisiensi sisi-ajaib dari suatu graf. Mereka dapat menunjukkan bahwa setiap graf mempunyai nilai defisiensi sisi-ajaib berhingga. Awalnya ke dua konsep ini kurang mendapat perhatian dari para peneliti di bidang pelabelan graf. Hal ini ditunjukkan dengan tidak banyaknya artikel yang dipublikasikan. Pada waktu itu, para peneliti lebih tertarik pada tipe pelabelan graf yang lain, misalnya pelabelan graceful dan pelabelan harmonis. Pelabelan total sisi-ajaib pada suatu graf mulai mendapat banyak perhatian setelah diperkenalkan istilah pelabelan total sisi-ajaib super oleh Enomoto dkk pada tahun 1998. Pelabelan total sisi-ajaib super pada suatu graf adalah pelabelan total sisi-ajaib yang mempunyai sifat tertentu. Sejak saat itu, Pelabelan total sisi-ajaib super mulai banyak mendapat perhatian. Pada thaun 2001, termotivasi oleh konsep defisiensi sisi-ajaibnya Kotzig dan Rosa, Figueroa-Centeno dkk memperkenalkan konsep defisiensi sisi-ajaib super dari suatu graf. Pada dasarnya konsep defisiensi sisi-ajaib super adalah bilangan yang menunjukkan seberapa dekat suatu graf ke graf yang mempunyai pelabelan total sisi-ajaib super. Tidak hanya memperkenalkan konsep baru yang berkaitan dengan pelabelan total sisiajaib super, para peneliti juga mulai mengkaji aplikasi dari pelabelan ini pada bidang-bidang lain. Salah satu aplikasi dari pelabelan total sisi-ajaib super adalah pada masalah pemberian alamat pada jaringan komunikasi (assigning addresses of communications network). Masalah ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1978 oleh G. S. Bloom dan S. W. Golomb. Jika diperlukan untuk memberikan alamat pada suatu jaringan komunikasi, maka persyaratan yang harus dipenuhi adalah semua alamat harus berbeda dan alamat dari suatu link ditentukan dari identitas dua node yang dihubungkan oleh link tersebut. Pada waktu itu solusi yang ditawarkan adalah sebagai berikut. Pertama, model graf (underlying graf) dari jaringan komunikasi dibentuk dengan node dinyatakan sebagai titik dan link diantara dua node dinyakan sebagai sisi. Misalkan model graf dari jaringan komunikasi tersebut mempunyai suatu pelabelan total sisi-ajaib super f dengan konstanta ajaib k. Node dan link diberi label (alamat) bersesuaian dengan label titik dan sisi. Maka alamat link dari node x ke node y langsung dapat ditentukan yaitu k – (f(x) + f(y)). Alamat link pasti berbeda semua, karena 3

sifat dari pelabelan total sisi-ajaib super f menjamin hal ini. Lantas apakah pentingnya menghitung nilai defisiensi-sisi ajaib super dari suatu graf? Hal ini akan terlihat, jika model graf dari suatu jaringan komunikasi tidak mempunyai suatu pelabelan total sisi-ajaib super. Jika model graf G dari suatu jaringan komunikasi tidak mempunyai suatu pelabelan total sisiajaib super, maka bilangan yang digunakan sebagai label (alamat) akan diperlus, tidak hanya berupa bilangan berurutan dari 1 sampai jumlah titik di G, tetapi berupa berurutan dari 1 sampai bilangan m, dengan m lebih besar dari jumlah titik di G. Semakin kecil nilai m akan semakin baik karena range dari himpunan alamat yang mungkin juga semakin kecil. Dalam hal ini, telah dibuktikan bahwa nilai terkecil dari m yang memenuhi adalah jumlah titik di G di tambah dengan nilai defisiensi sisi-ajaib supernya. Studi penentuan nilai defisiensi sisi-ajaib super dari suatu graf adalah persoalan yang sangat sulit. Oleh karena itu, hasil-hasil yang berkaitan dengan bidang ini masih sedikit yang dipublikasikan. Faktanya bahwa tidak ada metode yang dapat berlaku secara umum dalam penentuan nilai defisiensi-sisi ajaib super dari suatu graf. Tiap graf memerlukan teknik atau metode tersendiri. Hal ini menyebabkan para peneliti mengkaji nilai defisiensi-sisi ajaib super dari kelas-kelas graf tertentu. Salah satu kelas graf yang dikaji adalah graf-graf yang dibentuk dari hasil operasi dua graf, misalnya join dari dua graf. Join dari graf G1 dan G2, dinotasikan

dengan G = G1 + G2, adalah graf G dimana V(G) = V(G1) ∪ V(G2) dan E(G) = E(G1) ∪ E(G2) ∪ {uv|u ∈ V(G1), v ∈ V(G2)}. Pada tahun pertama, kami sudah mengkaji defisiensi-sisi ajaib

super dari join anatara graf lintasan Pn, graf bintang K1, n, dan graf siklus Cn dengan m buah titik terisolasi, yaitu Wn,m, Fn,m dan Sn,m. Hasil-hasil yang didapatkan, disajikan pada Subbab II.3. Di samping itu, hasil operasi dua graf yang dikaji adalah gabungan graf. Misalnya nilai defisiensi-sisi ajaib super gabungan siklus Cn, yang disebut graf 2-reguler, sudah diteliti oleh Figueroa-Centeno dkk [8] pada tahun 2005. Mereka mengkaji untuk graf 2-reguler yang berupa gabungan dua (atau tiga) graf siklus. Walaupun demikian, untuk graf 2-reguler masih banyak terdapat masalah terbuka, khususnya graf 2-reguler yang berupa gabungan lebih dari tiga graf siklus. Peneliti utama pun sudah pernah mengkaji nilai defisiensi-sisi ajaib super dari graf hasil operasi. Hasil-hasil dari penelitian yang sudah dilakukan, dipublikasikan pada jurnal internasional, yaitu On super edge-magic deficiency of graphs, Australas. J. Combin., 40, (2008), 3 -14 dan On super edge-magic strength and deficiency of graphs, Lecture Notes in Computer Science, 4535 (2008), 144 - 154. Pada penelitian ini, penelitian akan dilanjutkan dengan mengkaji open problem yang masih tersisa dari penelitian tahun

4

pertama serta mengkaji nilai defisiensi-sisi ajaib super dari graf 2-reguler, khususnya yang

berbentuk mC3 ∪ Cn, mC4 ∪ Cn.

Untuk menentukan nilai defisiensi sisi-ajaib super dari graf mC3 ∪ Cn, mC4 ∪ Cn,

langkah pertamanya adalah menentukan nilai parameter n dan m sehingga graf tersebut tidak mempunyai pelabelan total sisi-ajaib super. Hal ini dapat dilakukan dengan memakai counting argument dari pelabelan graf, sifat-sifat persamaan diophantine dan dengan memperhatikan struktur graf yang bersangkutan. Penelitian kemudian dilanjutkan untuk menentukan batas atas maupun batas bawah yang baik dari defisiensi sisi-ajaib super dari graf tersebut. Langkah terakhirnya adalah menentukan nilai eksak dari nilai defisiensi sisiajaib super dari graf tersebut, yang diawali dari nilai n dan m “kecil” kemudian dilanjutkan untuk n dan m secara umum. Berdasarkan uraian di atas, maka masalah penelitian dalam penelitian ini dapat dinyatakan dalam pertanyaan berikut. Pertama, misalakan G adalah salah satu dari graf mC3 ∪ Cn dan mC4 ∪ Cn.

1. Berapakah nilai parameter n dan m sehingga G tidak mempunyai pelabelan total sisiajaib super? 2. Berapakah batas atas dan batas bawah defisiensi sisi-ajaib super dari graf G? 3. Berapakah nilai eksak dari defisiensi sisi-ajaib super dari graf G? 4. Berapakah nilai eksak dari defisiensi sisi-ajaib super dari graf Wn,m, Fn,m dan Sn,m untuk n dan m tertentu? Berdasarkan rumusan masalah penelitian tersebut, maka tujuan khusus dari penelitian ini dapat dinyatakan sebagai berikut. 1. Menentukan nilai parameter n dan m sehingga G tidak mempunyai pelabelan total sisi-ajaib super. 2. Menentukan batas atas dan batas bawah defisiensi sisi-ajaib super dari graf G. 3. Menentukan nilai eksak dari defisiensi sisi-ajaib super dari graf G. 4. Menentukan defisiensi sisi-ajaib super dari graf Wn,m, Fn,m dan Sn,m untuk n dan m tertentu. Gagasan menentukan nilai defisiensi sisi-ajaib super pada kelas graf yang dihasilkan dari operasi join dan graf 2-reguler, adalah untuk mengetahui seberapa dekat jarak dari graf ini ke suatu graf yang mempunyai pelabelan total sisi-ajaib super. Keberhasilan gagasan ini, akan membantu upaya untuk menentukan nilai defisiensi sisi-ajaib super dari kelas graf yang lain.

5

Disamping itu, keberhasilan gagasan ini akan membantu penyelesaian masalah-masalah lain, misalnya pada penentuan alamat dalam suatu jaringan komunikasi.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA II.1 Konsep Defisiensi dan Penelitian Terdahulu Pelabelan total sisi-ajaib pada graf G dengan p titik dan q sisi adalah suatu pemetaan

bijektif f : V(G) ∪ E(G) → {1, 2, 3, …, p+q} sedemikian sehingga untuk suatu konstanta

positif k berlaku f(x) + f(xy) + f(y) = k, bila xy ∈ E(G). Disebut sisi-ajaib karena setiap sisi pada graf G, jumlah label sisi dan dua label titiknya konstan, yaitu k. Konstanta k disebut

konstanta ajaib dari G. Suatu graf disebut total sisi-ajaib (TSA) atau dikatakan mempunyai pelabelan total sisi-ajaib jika padanya dapat dikenakan pelabelan total sisi-ajaib. Konsep pelabelan total sisi-ajaib diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa [13, 14] pada tahun 1970 dengan nama magic-valuation. Wallis [24] menyebutnya sebagai pelabelan total sisi-ajaib, untuk membedakan dengan pelabelan ajaib yang lain. Pelabelan total sisi-ajaib f dikatakan pelabelan total sisi-ajaib super jika f(V(G)) = {1, 2, 3, …, p}, dimana p adalah banyaknya titik di G. Jadi, suatu graf G disebut total sisi-ajaib super (TSAS) jika G mempunyai suatu pelabelan total-sisi ajaib super. Istilah pelabelan total sisi-ajaib super diperkenalkan oleh Enomoto, Llado, Nakamigawa, dan Ringel [5] pada tahun 1998. Berdasarkan definisinya, jelas bahwa suatu graf TSAS pasti TSA, tetapi sebaliknya belum tentu berlaku. Contoh pelabelan total sisi ajaib dan pelabelan total sisi-ajaib super di berikan pada Gambar 3.

Gambar 3. (a) Pelabelan total sisi-ajaib dari C4 dengan konstanta ajaib 12. (b) Pelabelan total sisi-ajaib super dari C5 dengan konstanta ajaib 14, tampak bahwa semua label titik lebih kecil dari label sisi. Sejak istilah pelabelan total sisi-ajaib super diperkenalkan, banyak hasil yang berkaitan dengan pelabelan TSA maupun pelabelan TSAS dipublikasikan. Hasil-hasil tersebut antara lain dapat dilihat di [4, 6, 9, 10, 11, 15, 17, 18, 20, 22, 23]. Hasil-hasil lengkap dari pelabelan ini dan juga dari area pelabelan yang lain dapat di lihat di [12]. Pada tahun

6

1970, Kotzig dan Rosa [13] membuktikan bahwa untuk setiap graf G selalu ada bilang bulat

tak negatif n sehingga G ∪ nK1 adalah graf TSA. Fakta ini memotivasi Kotzig dan Rosa untuk memperkenalkan konsep defisiensi sisi-ajaib dari suatu graf. Defisiensi sisi-ajaib yang mengukur seberapa “dekat” suatu graf (yang tidak TSA) ke suatu graf yang TSA. Defisiensi sisi-ajaib (DSA) dari suatu graf G, μ(G), adalah minimal banyaknya titik terisolasi yang bila digabungkan dengan G dihasilkan suatu graf yang total sisi-ajaib. Konsep defisiensi juga dikembangkan untuk pelabelan total sisi-ajaib super oleh Figueroa-Centeno, Ichishima, dan Muntaner-Batle pada tahun 2002. Defisiensi sisi-ajaib super (DSAS) dari suatu graf G, μs(G), didefinisikan sebagai suatu bilangan bulat tak negatif

terkecil n sedemikian sehingga G ∪ nK1 merupakan suatu graf total sisi-ajaib super atau tak

berhingga jika bilangan bulat n tersebut tidak ada. Tentu saja jika G adalah graf TSA (S), maka μ(G) = 0 (μs(G) = 0). Sebagai konsekuensi dari dua definisi di atas didapatkan bahwa μ(G) ≤ μs(G). Sebagai contoh, berdasarkan Lemma 3, graf lengkap K4 bukan merupakan graf

TSA jadi juga bukan graf TSAS. Tetapi graf K4 ∪ K1 adalah graf TSAS seperti ditunjukkan

pada Gambar 5. Hal ini menunjukkan bahwa μ(K4) = μs(K4) = 1.

Gambar 5. μ(K4) = μs(K4) = 1. Perbedaan mendasar dari DSA dengan DSAS adalah DSA selalu bernilai berhingga sedangkan DSAS tidak selalu bernilai berhingga. Figueroa-Centeno dkk. [7] memberikan syarat cukup bagi graf dengan DSAS tak berhingga sebagai berikut. “Jika G suatu graf dengan q sisi, q ≡ 2 (mod 4) dan setiap titik di G berderajat genap, maka μs(G) = +∞”.

Berdasarkan hasil, graf siklus Cn untuk n ≡ 2 (mod 4), graf pertemanan Ct3 untuk t ≡ 2 (mod 4), dan graf kC3-lintasan untuk k ≡ 2 (mod 4) merupakan graf dengan DSAS tak berhingga.

Menghitung nilai DSA dan DSAS dari suatu graf merupakan permasalahan yang sangat sulit. Walaupun demikian Figueroa-Centeno dkk. [7] berhasil menentukan DSAS dari beberapa kelas graf misalnya graf lengkap Kn, graf nK2, graf siklus Cn, dan graf bipartit lengkap K2,n. Mereka telah membuktikan bahwa μs(Kn) = 0 jika n = 1, 2, 3, μs(K4) = 1, dan

μs(Kn) = ∞ jika n ≥ 5. Mereka juga membuktikan bahwa μs(nK2) = 0 jika n ganjil dan μs(nK2) = 1 jika n genap, serta membuktikan bahwa μs(Cn) = 0 jika n ganjil, μs(Cn) = 1 jika n kelipatan 4, dan μs(Cn) = ∞ jika n kelipatan 6.

7

Selanjutnnya Figueroa-Centeno dkk. [8] mengkaji DSAS beberapa kelas graf hutan

(forest) dengan 2 kompenen, yaitu Pm ∪ K1,n, K1,m ∪ K1,n, dan Pm ∪ Pn. Ngurah dkk. [19] pada tahun 2008 mengkaji DSAS dari graf rantai yang setiap bloknya berupa graf lengkap K3 dan K4, graf 3-partit dan dan graf 4-partit. Selanjutnya, Ngurah, Simanjuntak, Baskoro, dan Uttunggadewa [21] pada tahun 2008 mengkaji DSAS dari graf tak terhubung yang setiap

komponennya adalah graf bipartit lengkap serta membuktikan bahwa µs(Fn,2) = (n - 2)/2 jika

n genap. Mereka juga mengemukakan konjektur bahwa µs(Fn,2) = (n - 1)/2 jika n ganjil. Barubaru ini, Ahmad dkk. [1] mengkaji DSAS dari graf yang bekaitan dengan graf tangga, serta Ahmad dkk. [2] mengkaji DSAS dari graf yang bekaitan dengan graf siklus tunggal. Penelitian ini akan mengkaji open problem

yang tersisa pada tahun pertama,

khususnya menentuka DSAS dari draf Fn, m, Sn, m, dan Wn, m untuk n atau m tertentu, serta

mengkaji DSAS dua kelas graf 2-reguler yaitu mC3 ∪ Cn dan mC4 ∪ Cn. II. 2 Hasil-Hasil Penelitian Tahun Pertama

Seperti sudah disebutkan sebelumnya bahwa penelitian ini, pada tahun pertama, sudah dikaji DSAS kelas graf yang dihasilkan dari operasi yaitu graf m-kipas Fn,m = Pn + mK1, mbintang Sn,m = K1,n + mK1, dan graf m-roda Wn,m = Cn + mK1. Disamping itu, kami juga memberikan open problem yang dapat dijadikan bahan kajian pada penelitian selanjutnya. 1. Hasil – hasil untuk graf Hn = Wn – {e}. Perhatikan bahwa berdasarkan notasi yang digunakan sebelumnya graf Wn = Wn,1. Hasil pertama, seperti dinyatakan pada teorema berikut, memberikan syarat perlu dan syarat cukup bagi graf Hn sehingga Hn merupakan graf TSAS. Teorema 1. Misalkan n ≥ 3 adalah suatu bilangan bulat. Graf Hn TSAS jika dan hanya jika n ≤ 4.

Berdasarkan Teorma 1, µs(H3) = µs(H4) = 0 dan µs(Hn) ≥ 1 untuk n ≥ 5. Untuk n = 5, 6, dan 7, kami dapatkan bahwa µs(Hn) = 1. Sedangkan untuk n ≥ 8, kami hanya mendapatkan batas

atasnya seperti dinyatakan pada teorema berikut. Teorema 2. Untuk n ≥ 8, defisiensi sisi-ajaib super dari Hn dapat dinyatakan sebagai

berikut. µs(Hn) ≤ 2 (� − 3) untuk n ≡ 1 atau 3 (mod 4) dan µs(Hn) ≤ 2 � untuk n ≡ 0 (mod 4). 1

1

Dari Teorema 2, tampak bahwa batas atas dari µs(Hn) untuk n ≡ 2 (mod 4) belum dapat ditentukan. Hal ini, kami sajikan sebagai open problem berikut.

Open problem: Carilah batas atas dari µs(Hn) untuk n ≡ 2 (mod 4). Selanjutnya, carilah nilai eksak dari µs(Hn) untuk n ≥ 8 dan n ≡ 0, 1, 3 (mod 4). 8

2. Hasil – hasil untuk graf Fn,m, Sn,m, dan Wn,m. Pertama-tama, kami sajikan hasil-hasil yang berkaitan dengan graf Fn,m. Hasil pertama berikut menunjukkan bahwa graf Fn,m TSAS hanya untuk dua nilai n. Lemma 1. Misalkan n ≥ 1 dan m ≥ 3 adalah bilang bulat. Graf Fn,m TSAS jika dan hanya jika n ≤ 2. DSAS dari graf ini dapat dinyatakan sebagai berikut. Teorema 3. Untuk setiap bilangan bulat n, m ≥ 3, defisiensi sisi-ajaib super dari graf Fn,m terletak pada interval berikut.

 2 (� − 2)(� − 1) ≤ µs(Fn,m) ≤ (n – 1)(m – 1) – 1. 1

Batas bawah dari µs(Fn,m) yang diberikan dalam Teorema 3 merupakan batas bawah yang baik. Kami temukan bahwa nilai eksak DSAS graf F4,m dan F6,m sama dengan batas

bawahnya; µs(F4,m) = m – 1 dan µs(F6,m) = 2(m – 1). Open problem yang berkaitan dengan graf ini dinyatakan sebagai berikut.

Open problem: Carilah batas atas yang baik dari µs(Fn,m). Selanjutnya, carilah nilai eksak dari µs(Fn,m) untuk n ≠ 4 dan 6.

Berikut, kami sajikan hasil-hasil yang berkaitan dengan graf Sn,m. Hasil berikut menunjukkan bahwa graf Sn,m TSAS hanya untuk m = 1. Lemma 2. Misalkan n ≥ 2 dan m ≥ 1 adalah bilangan bulat. Graf Sn,m TSAS jika dan hanya jika m ≤ 1. DSAS dari graf Sn,m dapat dinyatakan sebagai berikut. Teorema 4. Untuk setiap bilangan bulat n, m ≥ 2, defisiensi sisi-ajaib super dari graf Sn,m terletak pada interval berikut.

 2 (� − 1)(� − 1) ≤ µs(Sn,m) ≤ n(m – 1). 1

Open problem untuk graf ini adalah sebagai berikut.

Open problem: Carilah batas atas dan batas bawah yang baik dari µs(Sn,m). Selanjutnya, carilah nilai eksak dari µs(Sn,m) untuk n atau m tertentu.

Terakhir kami sajikan hasil-hasil yang bekaitan dengan graf Wn,m. Graf ini tidak TSAS untuk semua bilangan bulat n ≥ 3 dan untuk semua bilangan bulat positif m. Lemma berikut

memberikan batas bawah dari µs(Wn,m).

Lemma 3. Untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3 dan m ≥ 2, µs(Wn,m) ≥  2 �(� + 1) + (m + n) 1

+ 2.

DSAS dari graf Wn,m untuk n ganjil diberikan pada teorema berikut.

9

Teorema 5. Misalka n ≥ 3 adalah bilangan bulat ganjil. Untuk setiap m ≥ 2, µs(Wn,m) ≤ mn – (m + n) + 1.

Open problem: Carilah batas atas dari µs(Wn,m ) untuk bilangan bulat genap n ≥ 4.

Selanjutnya, carilah batas atas yang baik dari µs(Wn,m) untuk setiap n ≥ 3 ganjil dan setiap m ≥ 2.

BAB III METODE PENELITIAN Penelitian ini bersifat pengembangan keilmuan dengan hasil kajiannya berupa konstruksi teori yang mempunyai nilai aplikasi dalam mempercepat pencapaian produk IPTEK. Oleh karena itu, metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada penelitian ini mengacu pada langka-langkah penelitian teoritik.

3.1. Jenis Penelitian Penelitian ini adalah penelitian kualitatif yaitu

penelitian berjenis teoritik. Walaupun

demikian fokus hasilnya diarahkan pada konstruksi teori yang bernilai aplikasi tinggi untuk membuat suatu produk IPTEK. 3.2. Subjek dan Objek Penelitian Subjek penelitian ini adalah penentuan batas atas dan batas bawah dari DSAS kelas graf yang dihasilkan dari operasi join dan graf 2-reguler. Adapun objek penelitian ini adalah penentuan nilai eksak DSAS dari graf Fn, m, Sn, m, dan Wn, m untuk n atau m tertentu serta graf 2-reguler mC3 ∪ Cn dan mC4 ∪ Cn untuk setiap n dan m. 3.3. Instrumen Pengumpulan Data Data dari penelitian ini adalah konstruksi teori penentuan nilai eksak dari defisiensi sisiajaib super kelas graf yang dihasilkan dari operasi join dan graf 2-reguler. Instrumen yang digunakan untuk mengumpulkan data adalah buku catatan harian penelitian (log book), yang akan digunakan untuk mencatat semua aktivitas penelitian mulai dari kegiatan yang dilaksanakan, hasil yang diperoleh, dan pengeluaran dana. 3.4. Teknik Analisis Data Analisa data dimulai dengan menelaah seluruh informasi teoritis dari kelas yang dihasilkan dari operasi join serta graf 2-reguler yang telah ada, kemudian berdasarkan fakta-fakta yang didapatkan selama penelitian akan dibangun suatu konstruksi teori baru berupa teorema (dalil) yang dilengkapi dengan bukti-bukti secara lengkap. Pada proses konstruksi teori baru ini digunakan prinsip-prinsip penalaran baik secara induktif maupun deduktif. 10

3.5 Tahapan Penelitian Penelitian ini akan dilakukan melalui tahapan-tahapan berikut. 3.5.1. Kajian Literatur Kegiatan yang dilakukan pada tahap ini adalah adalah kajian teori pelabelan graf dan kajian konstruksi pelabelan graf pada kelas graf yang sudah diketahui. Target pada tahap ini adalah dapat melakukan pemetaan terhadap hasil-hasil terdahulu dan masalah-masalah terbuka yang belum terpecahkan, serta mengetahui dan memahami teknik/metode pembuktian yang digunakan oleh peneliti terdahulu. 3.5.2. Tahapan Penelitian Secara umum, untuk menentukan nilai defisiensi sisi-ajaib super dari suatu graf diperlukan pengetahuan tentang counting argument dari pelabelan graf, sifat-sifat bilangan bulat, dan persamaan diopantine serta dengan memperhatikan struktur kelas graf yang akan dikaji. Seperti sudah dinyatakan sebelumnya, pada penelitian ini akan ditentukan DSAS dari

graf Fn,m, Wn,m, Sn,m untuk n atau m tertentu serta graf 2-reguler mC3 ∪ Cn, dan mC4 ∪ Cn.

Figueroa-Centeno, Ichishima, R., dan Muntaner-Batle [8] telah mengkaji DSAS dari

beberapa kelas graf 2-reguler. Mereka membuktikan bahwa µs(2Cn) = 1 jika n genap dan

µs(2Cn) = 0 jika n ganjil. Mereka juga menunjukkan bahwa µs(3Cn) = 0 jika n ganjil, µs(3Cn) = 1 jika n kelipatan 4, dan µs(3Cn) = ∞ jika n kelipatan 6. Selanjutnya, Figueroa-Centeno,

Ichishima, R., dan Muntaner-Batle dan Oshima [11] pada tahun 2011 telah membuktikan bahwa C3 ∪ Cn TSAS jika dan hanya jika n ≥ 6 genap, C4 ∪ Cn TSAS jika dan hanya jika n ≥

5 ganjil, dan C5 ∪ Cn TSAS jika dan hanya jika n ≥ 4 genap. Hal ini berati bahwa µs(C3 ∪ Cn)

= 0 untuk n ≥ 6 genap dan µs(C3 ∪ Cn) ≥ 1 untuk n ≥ 3 ganjil, µs(C4 ∪ Cn) = 0 untuk n ≥ 5

ganjil dan µs(C4 ∪ Cn) ≥ 1 untuk n ≥ 4 genap, dan µs(C5 ∪ Cn) = 0 untuk n ≥ 4 genap dan

µs(C5 ∪ Cn) ≥ 1 untuk n ≥ 3 ganjil. Pada penelitian ini, akan dikaji perumuman dari kelas graf yang dikaji oleh Figueroa-Centeno, Ichishima, R., dan Muntaner-Batle dan Oshima [11], khususnya perumuman dari µs(C3 ∪ Cn) dan µs(C4 ∪ Cn) yaitu µs(mC3 ∪ Cn) dan µs(mC4 ∪

Cn) dengan m ≥ 2.

Misalkan G menyatakan salah satu dari graf Fn,m, Wn,m, Sn,m mC3 ∪ Cn, dan mC4 ∪ Cn.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari nilai μs(G) adalah sebagai berikut. 1. Menentukan nilai parameter m dan n sehingga G mempunyai atau tidak mempunyai suatu pelabelan TSAS. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan Lemma 1, Lemma 2, atau dengan counting argument pelabelan graf. Jika G adalah graf TSAS

11

berati bahwa μs(G) = 0, sebaliknya, jika tidak TSAS berarti μs(G) ≥ 1 untuk nilai m dan n tersebut. 2. Berdasarkan

nilai m dan n yang diperoleh pada langkah 1, tetapkan dari nilai

parameter m dan n (biasanya mulai dari m dan n “kecil” ). Selanjutnya, tunjukkan

bahwa graf G ∪ t0 K1, dengan t0 ≥ 1, adalah graf TSAS atau tidak TSAS. Jika G ∪ t0 K1 merupakan graf TSAS maka 1 ≤ μs(G) ≤ t0, sedangkan jika G ∪ t0 K1 tidak TSAS

maka μs(G) ≥ t0 + 1.

3. Jika G ∪ t0 K1 pada langkah 2 adalah TSAS, lalu tunjukkan bahwa graf G ∪ t1 K1, dengan t1 ≤ t0, adalah graf TSAS atau bukan. Jika G ∪ t1K1 merupakan graf TSAS maka 1 ≤ μs(G) ≤ t1, sedangkan jika G ∪ t1K1 tidak TSAS maka μs(G) ≥ t0 + 1.

Jika G ∪ t0 K1 pada langkah 2 adalah tidak TSAS, lalu tunjukkan bahwa graf G ∪ t1 K1, dengan t0 ≤ t1, adalah graf TSAS atau bukan. Jika G ∪ t1K1 merupakan graf TSAS

maka t0 + 1 ≤ μs(G) ≤ t1, sedangkan jika G ∪ t1 K1 tidak TSAS maka μs(G) ≥ t1+ 1.

4. Langkah 3 diulangi sampai didapatkan bilangan tk sehingga G ∪ (tk – 1)K1 tidak TSAS tetapi G ∪ tkK1 adalah graf TSAS. Hal ini menunjukkan bahwa μs(G) = tk.

5. Langkah 2, 3, dan 4 diulangi untuk nilai n dan m yang lain. 6. Langkah 2, 3, dan 4 diulangi untuk nilai n dan m secara umum. Indikator keberhasilan dari penelitian tahun pertama ini adalah diperolehnya nilai eksak

dari µs(Wn,m), µs(Fn,m), dan µs(Sn,m) untuk n dan m tertentu serta nilai eksak dari µs(mC3 ∪ Cn)

dan µs(mC4 ∪ Cn). 4.

TahapanVerifikasi Hasil

Pada tahap ini dilakukan verifikasi semua hasil yang sudah didapatkan pada tahap sebelumnya. Verifikasi dilakukan dengan menyajikan semua hasil dalam bentuk teori atau teorema (dalil) yang dilengkapi dengan bukti secara matematis. Selanjutnya hasil-hasil tersebut ditulis dalam bentuk artikel yang siap untuk dipublikasikan pada jurnal nasional terakreditasi atau jurnal internasional. Artikel ditulis menggunakan pengolah kata LaTex 4.0 dengan editor Winedit 5.0. Target hasil pada tahap ini adalah artikel yang siap dipublikasikan jurnal internasional atau jurnal nasional terakreditasi.

12

BAB IV BIAYA DAN JADWAL PELAKSANAAN 4.1 Biaya Penelitian Berikut adalah rincian biaya penelitian secara garis besarnya yang disusun untuk 10 bulan kegiatan. Riancian biaya penelitian secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran 1. No.

Biaya yang diusulkan (Rp x 1000)

Jenis Pengeluaran

Tahun 1 1 2 3 4 5

Gaji dan Upah Peralatan dan Bahan Habis Pakai Perjalanan Lain-lain Administrasi (PPn) Jumlah Biaya

Tahun 2 20.350.000.,20.400.000,17.000.000,10.250.000,6.800.000,74.800.000,-

Rp. Rp. Rp. Rp. Rp. Rp.

4.2 Jadwal Kegiatan Penelitian (Tahun ke 2) No

Bulan ke-

Tahapan Kegiatan

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Penentuan nilai μs(mC3 ∪ Cn)

1

Kajian Literatur

2

Tahapan Penelitian

3

Verifikasi Hasil

4

Submit ke jurnal

5

Pembuatan Laporan

Penentuan nilai μs(mC4 ∪ Cn) Penentuan nilai µs(Wn,m),

µs(Fn,m), dan µs(Sn,m) untuk n dan m tertentu

LUARAN PENELITIAN

Luaran yang ditargetkan dari penelitian ini adalah nilai dari µs(Wn,m), µs(Fn,m), dan µs(Sn,m) untuk n dan m tertentu serta graf 2-reguler µs(mC3 ∪ Cn) dan µs(mC4 ∪ Cn). Sebagai indikator

dari penelitian ini adalah dihasilkanya 1 (satu) artikel yang dipublikasikan pada jurnal internasional yaitu Utilitas Mathematica, Far East Journal of Mathematical Sciences atau Bulletin of Institute Combinatorial and Its Applications.

DAFTAR PUSTAKA [1] Ahmad, A., Javaid, I., Nadeem, M.F., dan Hasni, R., (2011) On Super edge-magic deficiency of some families related to ladder graphs, Australas.J. Combin., 51, 201–208. [2] Ahmad, A., dan Muntaner-Batle, F.A., (2012), On Super Edge-Magic Deficiency of

13

Unicyclic Graphs, Utilitas Math., to appear. [3] Aranjo, G., Figueroa-Centeno, RM. Ichishima, R., dan Muntaner-Batle, F. A., (2008), How

many

graphs

are

super

edge-magic?

An

asymptotic

approach,

J.

Combin.Math.Combin.Comput.,65, 33 - 40. [4] Baskoro, E.T. dan Ngurah, A.A.G., (2003), On super edge-magic total labeling of nP3, Bull. Inst. Combin. Appl., 37, 82 – 87. [5] Enomoto, H., Llado, A., Nakamigawa, T., dan Ringel, G., (1998), Super edge magic graphs, SUT J. Math., 34, 105 – 109. [6] Figueroa-Centeno, RM.,Ichishima, R., dan Muntaner-Batle, F. A., (2001), The place of super edge-magic labelings among other classes of labelings, Discrete Math., 231, 153 – 168. [7] Figueroa-Centeno, R.M., Ichishima, R., dan Muntaner-Batle, F. A., (2002), On the super edge magic deficiency of graphs, NoteDiscrete Math., 11. [8] Figueroa-Centeno, R.M., Ichishima, R., dan Muntaner-Batle, F. A., (2005), Some new results

on

the

super

edge

magic

deficiency

of

graphs,

J.

Combin.

Math.Combin.Comput.,55, 17 -31. [9] Figueroa-Centeno, R.M., Ichishima, R., dan Muntaner-Batle, F. A., (2002), On super edge magic graphs, Ars Combin., 64, 81 – 95. [10] Figueroa-Centeno, R.M., Ichishima, R., dan Muntaner-Batle, F. A., (2005), On edgemagic labelings of certain disjoint union graphs, Australas. J. Combin.,32, 225 – 242. [11] Figueroa-Centeno, R.M., Ichishima, R., Muntaner-Batle, F. A., dan Oshima, A., (2011), A magical approach to some labeling conjectures, Graph Theory .,31, 79 – 113.. [12] Gallian , J., (2012), A dynamic survey of graph labeling, Electron. J. Combin. DS 6. [13] Kotzig, A. dan Rosa, A., (1970), Magic valuations of finite graphs, Canad. Math. Bull., 13, 451 – 461. [14] Kotzig, A. dan Rosa, A., (1972), Magic valuations of complete graphs, Publications du Centre de Recherces mathematiques Universitae de Montreal, 175. [15] Ngurah, A.A.G., dan Baskoro, E.T., (2003), On magic and antimagic total labeling ofgeneralized Petersen graph, Util. Math., 63, 97 – 107. [16] Ngurah, A.A. G., Baskoro, E.T., Simanjuntak, R. dan Utunggadewa, S. (2006), On edge-magic total labeling of kC4-snakes , Congr. Numer., 179, 97 - 107. [17] Ngurah, A.A. G., Simanjuntak, R. dan Baskoro, E.T. (2007), On (super) edge-magic total labeling of subdivision of K1,3, SUT J. Math., 43 no. 2, 127 – 136.

14

[18] Ngurah, A.A. G., Baskoro, E.T. dan Simanjuntak, R., (2007), On the new families of (super) edge-magic graphs, Util. Math., LXXIV, 111 - 120. [19] Ngurah, A.A. G., Baskoro, E.T. dan Simanjuntak, R. (2008), On super edge-magic deficiency of graphs, Australas. J. Combin., 40, 3 -14. [20] Ngurah, A.A. G., Baskoro, E.T. dan Tomescu, I., Magic graphs with pendan edges, Ars Combin., to appear. [21] Ngurah, A.A.G., Simanjuntak, R., Baskoro,E.T. and Uttunggadewa,S., (2008), On superedge-magic strength and deficiency of graphs, Lecture Notes in Computer Science, 4535, 144 - 154. [22] Salman, A.N.M, Ngurah, A.A.G., dan Izzati, N., (2010), On (super) edge-magic total labeling of subdivision of a star Sn, Utilitas Math. 81, 275 - 284 [23] Swaminathan, V. dan Jeyanthi, P. (2006), Super edge-magic strength of fire crackers, banana trees and unicyclic graphs, Discrete Math., 306, 1624 - 1636. [24] Wallis, W. D., Magic Graphs, Birkhauser, Boston, 2001.

15

LAMPIRAN Lampiran 1. Justifikasi Anggaran Penelitian Berikut adalah rincian dan rekapitulasi biaya yang disusun untuk 10 bulan kegiatan. 1. Honor Honor/Jam Waktu (Rp) (jam/minggu)

Honor Ketua Peneliti Anggota Peneliti Pengolah Data

16.000,11.500,11.000,-

20 10 2,5

Honor per Tahun (Rp) Minggu Th 2 Th Th 44 14.080.000,44 5.060.000,44 1.210.000,-

SUB TOTAL (Rp) 20.350.000,2. Peralatan penunjang Material

Justifikasi Pemakaian

Harga Satuan (Rp)

Kuantitas

Sewa Laptop

Harga Peralatan Penunjang (Rp) Th 2 Th 4.000.000,-

Th

Pengolahan dan 2 2.000.000,analisis data Sewa Software LaTex Pembuatan 1 Paket 6.000.000,- 6.000.000,artikel untuk publikasi Internasional Sewa Internet Pencarian 1 Paket 3.000.000,- 3.000.000,Pustaka (jurnal), Komunikasi SUB TOTAL (Rp) 13.000.000,3. Bahan Habis Pakai Material Peralatan ATK

Justifikasi Kuantitas Pemakaian Investigasi 1 paket penelitian, analisa data, pelaporan

Biaya per Tahun (Rp) Harga Satuan (Rp) Th 2 Th Th 7.400.000,- 7.400.000,-

SUB TOTAL (Rp)

7.400.000,-

4. Perjalanan Material Perjalanan Monev

Justifikasi Perjalanan Monitoring kemajuan Penelitian

Kuantitas 1

16

Biaya per Tahun (Rp) Harga Satuan (Rp) Th 2 Th Th 1.500.000,- 1.500.000,-

Malang-Bandung (PP)

Penelusuran Pustaka di ITB

1

2.000.000,-

2.000.000,-

Lumpsum di Bandung Penelusuran (3 hari) Pustaka di ITB

1

2.250.000,-

2.250.000,-

Malang-Malaysia (pp) Seminar Internasional regional Lumpsum di Malaysia Seminar (4 hari) Internasional regional Malang-Jakarta (pp) Seminar Nasional

1

3.250.000,-

3.250.000,-

1

4.750.000,-

4.750.000,-

1

1.500.000,-

1.500.000,-

Lumpsum di Jakarta (3 hari)

1

1.750.000,-

1.750.000,-

Seminar Nasional

SUB TOTAL (Rp) 17.000.000,5. Lain-lain Kegiatan

Justifikasi

Publikasi

Publikasi pada Jurnal Internasional Seminar Internasional Pendaftaran Seminar Internasional Seminar Nasional Pendaftaran Seminar Nasional Laporan

Pembuatan laporan dan penggandaan

1

Biaya per Tahun (Rp) Harga Satuan (Rp) Th 2 Th Th 5.000.000,- 5.000.000,-

1

3.000.000,- 3.000.000,-

Kuantitas

1

1 Paket

750.000,-

750.000,-

1.500.000,- 1.500.000,-

SUB TOTAL (Rp) 10.250.000, TOTAL ANGGARAN YANG DIPERLUKAN SETIAP TAHUN (Rp)

Th 2 Th 68.000.000,-

Th

Pajak biaya program PPn = 10 % X Rp. 68.000.000,- = Rp. 6.800.000,TOTAL ANGGARAN YANG DIPERLUKAN PER TAHUN (Rp)

17

74.800.000,-

Lampiran 2. Ketersediaan sarana dan prasarana penelitian Seperti yang sudah disebutkan sebelumnya bahwa penelitian ini adalah penilitian kualitatif berjenis penelitian teoritik. Bersesuaian dengan jenis penelitian ini, maka sarana dan prasarana utama yang diperlukan adalah ketersediaan sumber pustaka yang lengkap dan ruangan yang nyaman untuk melakukan penelitian. Karena di perguruan tinggi pengusul tidak mempunyai jurusan Matematika, maka adalah hal yang wajar jika ketersediaan sumber pustaka yang mendukung pelaksanaan penelitian ini sangat kurang. Keadaan ini bisa di atasi dengan cara sebagai berikut: 1). Menggunakan koleksi pribadi pengusul. Pengusul mempunyai cukup banyak sumber pustaka terbaru, umumnya berupa artikel yang diterbitkan pada jurnal Internasional, yang berguna untuk melaksanakan penelitian ini. Artikel-artikel ini pengusul peroleh dari kegiatan pengusul sebagai referee maupun reviewer untuk beberapa jurnal internasional. 2). Melalui browsing di internet. 3). Melakukan penelusuran pustaka di perguruan tinggi lain. Untuk melengkapi kebutuhan sumber pustaka pada penelitian ini, maka perlu dilakukan penulusuran pustaka ke perguruan lain yang koleksi pustakanya lengkap, yaitu perpustakaan ITB. Di samping perpustakaan ITB mempunyai koleksi yang lengkap, di ITB juga terdapat beberapa ahli yang dapat dijadikan teman diskusi mengenai masalah penelitian ini. Mengenai prasarana ruangan tidak menjadi masalah, karena kertersediaan ruangan yang nyaman di perguruan tinggi pengusul sangat memadai.

Lampiran 3. Susunan organisasi tim peneliti dan pembagian tugas No 1

Nama/NIDN Dr. Drs. Anak Agung Gede Ngurah (0725126702)

Instansi Asal Universitas Merdeka Malang

Bidang Ilmu Kombinatorika, Matematika Diskrit dan Graf

Alokasi waktu (jam/minggu) 20

Uraian Tugas Menentukan nilai eksak μs(Wn,m)

dan μs(Fn,m) untuk n atau m tertentu.

Menentukan batas atas, batas bawah, dan nilai eksak μs(mC3 ∪

Cn). 2

Dr. Hazrul Iswadi, S.Si., M.Si. (0727127301)

Universitas Surabaya

Kombinatorika, Matematika Diskrit dan Graf

15

Menentukan nilai

μs(Sn,m) untuk n atau m tertentu.

Menentukan batas atas, batas bawah, dan nilai eksak μs(mC4 ∪

Cn).

18

Lampiran 4. Biodata ketua dan Anggota Tim Peneliti Ketua Peneliti A. Identitas Diri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nama Jabatan Fungsional Jabatan Struktural NPK NIDN Tempat &Tanggal Lahir Alamat Rumah Nomor Telepon/Hp Alamat Kantor Nomor Telepon/Faks Alamat e-mail Lulusan yang telah di hasilkan

14

Mata Kuliah Yang di Ampu

Dr. Drs. Anak Agung Gede Ngurah, M.Si Lektor Kepala 673/FT 0725126702 Pejaeng, 25 Desember 1967 Jl. Bandara Juanda I AA No. 20A Malang 0341714176/081321310924 Jl. Raya Dieng 62 – 64 Malang

L

[email protected] S1= 6 orang (di Univ. Airlangga) 1. Matematika I 2. Matematika II 3. Matematika Terapan 4. Analisa Numerik 5. Statistika 6. Matematika Diskrit

B. Riwayat Pendidikan S-1

S-2

S-3

Nama Perguruan Tinggi

Universitas Airlangga

Bidang Ilmu Tahun Masuk - Lulus Judul Skripsi/Thesis/Disertasi

Matematika 1987 - 1992 Pergandaan langsung dari grup

Institut Teknologi Bandung Matematika 1999 - 2001 Pelabelan ajaib dan pelabelan anti ajaib

Nama Pembimbing/Promotor

Drs. Sisworo

Dr. Edy Tri Baskoro

Institut Teknologi Bandung Matematika 2004 - 2008 Ketotalsisiajaiban graf dan defisiensinya Prof. Dr. Edy Tri Baskoro

C. Pengalaman Penelitian Dalam 5 Tahun Terakhir No

Tahun

1

2008

Karakterisasi dan pengembangan perangkat lunak untuk graf Hajaib(super

Pendanaan Sumber Jmlh (Juta Rp.) Program Hibah 100 Kompetensi Dikti 2010, Batch I.

2

2009

Karakterisasi dan pengembangan perangkat lunak untuk graf Hajaib(super)

Program Hibah Kompetensi Dikti 2009, Batch II.

100

3

2010

Karakterisasi dan pengembangan perangkat lunak untuk graf Hajaib(super)

Program Hibah Kompetensi Dikti 2008, Batch III.

80

4

2012

Bilangan Dominasi Total dan Lokasi

Fundamental

Judul Penelitian

19

22

Metrik dari Graf Hasil Operasi

D. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir No

Tahun

Judul Penelitian kepada Masyarakat

-

-

-

Sumber -

Pendanaan Jmlh (Juta Rp.) -

E. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah Dalam Jurnal Dalam 5 Tahun Terakhir No

Judul Artike Ilmiah

1 2

Magic graphs with pendant edges On (super) edge-magic total labeling of subdivision of a star Sn On supermagic coverings of fans and ladders H-Supermagic graphs On super edge-magic deficiency of graphs On super edge-magic strength and deficiency of graphs

3 4 5 6

Volume/Nomor /Tahun 99/-/2011 81/-/2010 46/1/2010

Nama Jurnal Ars Combinatorica Utilitas Mathematica

310/8/2010 40 /-/ 2008

Science University of Tokyo Journal of Mathematics Discrete Mathematics Australasian Journal of Combinatorics

4535/-/2008

Lecture Notes in Computer Science

F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral Pada Pertemuan / Seminar Ilmiah Dalam 5 Tahun Terakhir No 1

2 3

4

5 6

7 8

Nama Pertemuan Ilmiah/Seminar The IndoMs International Conference on Mathemathics and Its Applications (IICMA 2013) The Asian Mathematical Conference (AMC 2013) th The 5 Intenational Conference on Research and Education In Mathematics – ICREM5 The 6th IMT-GT International Conference on Mathematics, Statistics and Its Applications-ICMSA 2010 Optimal Discrete Structure and algoritms 2010 (ODSA-2010) Seminar Nasional Matematika 2009

International Conference on Mathematics and Natural Sciences Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematika Indonesia

Judul Artikel Almiah On the super edge-magic deficiency of join of two graphs On the super edge-magic deficiency of graphs On the super edge-magic deficiency of join graphs

Waktu dan Tempat November 2013, UGM

On cycle and star-supermagic labelings of graphs

November 2010, Malaysia

On H-supermagic coverings of graphs The Super edge-magic deficiency of disconnected complete bipartite graphs H-supermagic graphs

September 2010, Germany Februari 2009, Univ. Jember

On the super edge-magic deficiencies of graphs

Mei 2008, UGM

Juli 2013, Korea Juli 2011, ITB

Oktober 2008, ITB

G. PENGALAMAN PENULISAN BUKU No.

Tahun

Judul Buku

Jumlah Halaman

20

Penerbit

H. PENGALAMAN PEROLEHAN HKI No.

I.

Tahun

Judul/Tema HKI

Jenis

Nomor Pendaftaran/ Sertifikat

PENGALAMAN RUMUSAN KEBIJAKAN PUBLIK/REKAYASA SOSIAL LAINNYA

No.

Tahun

Judul/Tema/Jenis Rekayasa Sosial Lainnya yang telah diterapkan

Tempat Penerapan

Respon Masyarakat

A. PENGHARGAAN YANG PERNAH DIRAIN DALAM 10 TAHUN TERAKHIR (dari pemerintah, asosiasi atau institusi lainnya) No 1

Institusi Pemberi Penghagaan Unmer Malang

Jenis Penghargaan Dosen berprestasi 2013

Tahun 2013

Semua data yang saya isikan dan tercantum dalam biodata ini adalah benar dan dapat dipertanggungjawabkan secara hukum. Apabila di kemudian hari ternyata dijumpai ketidak-sesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima risikonya. Demikian biodata ini saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam pengajuan Hibah Penelitian Fundamental 2012. Malang, 27 Februari 2012 Pengusul,

Dr. Drs. Anak Agung Gede Ngurah, M.Si

Anggota Peneliti A. Identitas Diri 1 2 3

Nama Lengkap (dengan gelar) Jabatan Fungsional Jabatan Struktural

Dr. Hazrul Iswadi, S.Si., M.Si Lektor Dosen

21

L

4 5 6 7 8 9

NPK NIDN Tempat dan Tanggal Lahir Alamat Rumah Nomor Telepon/Faks/HP Alamat Kantor

10 11 12

Nomor Telepon/Faks Alamat e-mail Lulusan yang Telah Dihasilkan

13

Mata Kuliah yang Diampu

200006 0727127303 Sawahlunto, 27 Desember 1973 Perumahan Wahyu Taman Sarirogo AG-33, Sidoarjo 081331966468 Departemen MIPA Universitas Surabaya Gedung TG Lantai VI Jalan Raya Kalirungkut Surabaya 031-2981398/031-2981387 [email protected] S1 = - orang; S2 = - orang; S3 = - orang 1. Kalkulus I (Fakultas Teknik) 2. Kalkulus II (Fakultas Teknik) 3. Matematika I (Fakultas Teknobiologi) 4. Matematika II (Fakultas Teknobiologi) 5. Matematika Ekonomi (Fakultas Bisnis dan Ekonomika)

B. Riwayat Pendidikan Nama Perguruan Tinggi Bidang Ilmu Tahun Masuk-Lulus Judul Skripsi/Tesis/Disertasi

Nama Pembimbing/Promotor

S1 Institut Teknologi Bandung Matematika 1991-1996 Penentuan Fungsi Analitik dari Fungsi Distribusinya Koko Martono, M.Si.

S2 Institut Teknologi Bandung Matematika 1996-1999 Studi tentang (4,2)digraf yang Memuat Suatu Lingkaran dengan Panjang 2 Prof. Dr. Edy Tri Baskoro

S3 Institut Teknologi Bandung Matematika 2006-2011 Dimensi Metrik Graf Hasil Operasi Korona dan Amalgamasi Prof. Dr. Edy Tri Baskoro

C. Pengalaman Penelitian Dalam 5 Tahun Terakhir (Bukan Skripsi, Tesis, maupun Disertasi) No

Tahun

1

2012

2

2010

3

2010

4

2009

5

2009

6

2008

7

2007

Judul Penelitian Bilangan Dominasi Total dan Lokasi Metrik dari Graf Hasil Operasi Karakterisasi Dimensi Metrik Hasil Kali Korona dari Suatu Graf Sembarang dengan Graf Pohon Optimasi Pendeteksi Ancaman pada Fasilitas Penting Graphs with ”Relatively Small” Metric Dimension Karakterisasi Graf yang berdimensi relatif kecil Menuju Karakterisasi Graf Berdimensi Tertentu Optimisasi Jaringan berdasarkan Orde, Derajat, dan Diameter

Sumber* Fundamental

Pendanaan Jumlah (Rp) 22.500.000

Disertasi Doktor

26.000.000

Riset KK ITB

50.000.000

Riset Internasional ITB Kompetensi Batch I

100.000.000

Riset KK ITB

50.000.000

Riset KK ITB

25.000.000

100.000.000

D. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir No

Tahun

Judul Pengabdian pada Masyarakat

1

22

Sumber*

Pendanaan Jumlah (Rp)

E. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah Dalam Jurnal Dalam 5 Tahun Terakhir No 1 2

Volume/Nomor/ Tahun 52/2 /2011

Judul Artikel Ilmiah The Metric Dimension of Corona Product of Graphs Batas Bilangan Dominasi Lokasi Metrik Graf Hasil Operasi Korona

-/-/2011

3

Locating and Total Dominating Sets of Direct Products of Complete Graphs

-/-/2011

4

-/-/2011

5 6

Bilangan Dominasi Lokasi Metrik Graf Hasil Operasi Korona The Resolving Graph of Amalgamation of Cycles Metric Dimension of Amalgamation of Cycles

7

Dimensi Metrik dari Perekatan Titik Graf Roda

-/-/2009

8

Dimensi Metrik dari Graf Kaktus C^n_m

-/-/2009

9

The metric Dimension of Graphs with Pendant Edges

65/-/2008

83/-/2010 41/1/2010

Nama Jurnal Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS) Prosiding Seminar Nasional Teknologi Informasi dan Multimedia 2011 (SNASTIA 2011) Proceeding of 3rd International Conferences and Workshops on Basic and Applied Sciences 2011 (ICOWOBAS 2011) Prosiding Seminar Nasional Matematika 2011 (SNM 2011) Utilitas Matematica Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS) Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Journal of Combinatorics Mathematics and Combinatorial Computing

F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral Pada Pertemuan / Seminar Ilmiah Dalam 5 Tahun Terakhir No 1

Nama Pertemuan Ilmiah/Seminar 3rd International Conferences and Workshops on Basic and Applied Sciences 2011 (ICOWOBAS 2011)

2

Seminar Nasional Matematika 2011 (SNM 2011)

3

Seminar Nasional Penelitian Disertasi Doktor tahun 2011

4

Seminar Nasional Teknologi Informasi dan Multimedia 2011 (SNASTIA 2011)

5

South East Asia Mathematics and Its Applications (SEACMA 2010)

6

Sixth Cracow Conference on Graph Theory (6CCGT)

7

Japan Conference on Computational Geometry and Graph 2009 (JCCGG2009)

8

International Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications - a joint

23

Judul Artikel Ilmiah Locating and Total Dominating Sets of Direct Products of Complete Graphs Bilangan Dominasi Lokasi Metrik Graf Hasil Operasi Korona On the Metric Dimension of Corona Product of Graphs Batas Atas Bilangan Dominasi Lokasi Metrik Graf Hasil Operasi Korona On the Metric Dimension of Composition Product of a Cycle and a Path On the Metric Dimension of Corona Product of Graphs Metric dimension of antipodal and pendantfree block-cactus graphs The metric dimension of antipodal-free cactus

Waktu dan Tempat 21-23 September 2011, Surabaya, Indonesia 21 Juli 2011, Universitas Andalas, Padang 19-21 Juli 2011, Hotel Jayakarta, Bandung 21 Mei 2011, Universitas Surabaya, Surabaya 6 November 2010, Surabaya, Indonesia

12-17 September 2010, Zgorzelisko, Poland 11-13 November 2009, Kanazawa-city, Ishikawa Prefecture, Japan 9 - 11 Juni 2009 di Hotel Hills,

9

scientific program organized by universities over Indonesia, Malaysia and Thailand th Growth Triangle - The 5 ICMSA – GT Lokakarya Pengelolaan Jurnal Matematika yang terselenggara atas kerjasama Dikti, IndoMS (Indonesian Mathematical Society) wilayah Jawa Timur, dan Jurusan Matematika ITS

10

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2009

11

Graph Theory and Application Workshop 2008 (GTA 2008)

12

Seminar Series of Mathematics Department of University of Melbourne

13

Konferensi Nasional Matematika XIV 2008 (KNM XIV 2008) Palembang

14

Seminar Mahasiswa S3 Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

15

International Conference on Mathematics and Its Applications SEAMS-GMU 2007

16

International Conference on Graph Theory and Information Security - ICGTIS 2007

17

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

18

Seminar Mahasiswa S3 Matematika dan Pendidikan Matematika 2007

graphs

Bukittinggi, Sumatera Barat, Indonesia

Pengenalan template MIHMI (Majalah Ilmiah Himpunan Matematikawan Indonesia) dengan menggunakan Latex dan Website MIHMI Metric Dimension of Corona Product of Graph G with δ-ary tree T The Metric Dimension of Corona Product of Graphs

21 November 2009, di Jurusan Matematika ITS, Surabaya.

On Metric Dimension of Corona Product of Graphs and Amalgamation of Cycles On Connected Resolvability of the Amalgamation of Cycles On Connected Resolvability of Amalgamation of Cycles The metric dimension and connected resolvability of flowers and n-cone The metric dimensions of graphs with pendant edges The Metric Dimension of Amalgamation and Edge Amalgamation of cycles Resolving set of cycle related graphs

8 Agustus 2009, Universitas Negeri Surabaya, Surabaya. 11 – 12 December 2008, School of Electrical Engineering and Build Environment, University of Newcastle, Newcastle, Australia University of Melbourne, 9 Desember 2008, Melbourne, Australia 26 Juli 2008, Universitas Sriwijaya, Palembang 31 Mei 2008, Universitas Gajah Mada, Yogjakarta 24-27 July 2007, Universitas Gajah Mada, Yogjakarta, Indonesia 10-13 February 2007, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia 8 – 9 Juni 2007, Universitas Negeri Surabaya, Surabaya 14 April 2007, Institut Teknologi Bandung, Bandung

G. Pengalaman Penulisan Buku dalam 5 Tahun Terakhir No 1

Judul Buku

Tahun

Jumlah Halaman

Penerbit

H. Pengalaman Perolehan HKI Dalam 5 – 10 Tahun Terakhir No

Judul/Tema HKI

Tahun

24

Jenis

Nomor P/ID