´ ´ MATEMATIKY ULOHY ZE STAROEGYPTSKE 1) Jeden ˇclovˇek vzal z pokladny jednu tˇrin´actinu. Druh´ y vzal jednu sedmn´actinu toho, co zb´ yvalo. V pokladnˇe ponechal 150. Kolik bylo v pokladnˇe na poˇc´atku? 2) Cel´a hromada, jej´ı dvˇe tˇretiny, jej´ı polovina a jej´ı sedmina dohromady tvoˇr´ı 37 kus˚ u. Kolik kus˚ u je v cel´e hromadˇe? 3) Deset mˇeˇric jeˇcmene se m´a rozdˇelit 10 lidem tak, aby druh´ y dostal o jednu osminu mˇeˇrice v´ıce neˇz prvn´ı, tˇret´ı o jednu osminu mˇeˇrice v´ıce neˇz druh´ y, ..., des´at´ y o jednu osminu mˇeˇrice v´ıce neˇz dev´at´ y. 4) V´ ymˇera pole je 100 ˇctvereˇcn´ ych lokt˚ u. Pole se m´a rozdˇelit na dva ˇctvercov´e pozemky tak, aby se d´elka strany jednoho pozemku rovnala tˇrem ˇctvrtin´am d´elky strany druh´eho pozemku. 5) Sedm lid´ı m´a po sedmi koˇck´ach, kaˇzd´a koˇcka seˇzere sedm myˇs´ı, kaˇzd´a myˇs seˇzere sedm klas˚ u, z kaˇzd´eho klasu m˚ uˇze vyr˚ ust sedm mˇeˇric jeˇcmene. Jak velk´e jsou jednotliv´e poˇcty a jejich celkov´ y souˇcet? 6) Obsah kruhu Egypt’an´e poˇc´ıtali jako obsah ˇctverce o stranˇe rovn´e osmi dev´ıtin´am pr˚ umˇeru kruhu. Jak byl tento v´ ypoˇcet pˇresn´ y? ´ ´ MEZOPOTAMIE ´ ULOHY ZE STARE 1) Souˇcet v´ ymˇer dvou pol´ı d´av´a 30 jednotek obsahu, z nich sklidili 1100 mˇeˇric zrna. Urˇcete v´ ymˇeru obou pol´ı, kdyˇz v´ıte, ˇze ze 30 jednotek obsahu prvn´ıho pole skl´ızej´ı 1200 mˇeˇric zrna a ze 30 jednotek obsahu druh´eho pole skl´ızej´ı 900 mˇeˇric zrna. 2) M´a se rozdˇelit (26;15,45) mˇer stˇr´ıbra pˇeti bratr˚ um tak, aby vˇzdy mladˇs´ı dostal o pˇetinu m´enˇe ve srovn´an´ı s mnoˇzstv´ım stˇr´ıbra, kter´e obdrˇz´ı jeho bezprostˇrednˇe starˇs´ı bratr. 3) Tr´am dlouh´ y p˚ ul gar (1 gar = 12 lokt˚ u) st´al svisle v poloze AB. Potom byl pˇrem´ıstˇen do ˇsikm´e polohy CD. Vzd´alenost BC je desetina gar. O kolik lokt˚ u se vzd´alil spodn´ı konec tr´amu z p˚ uvodn´ı polohy? 4) Pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık ABC (prav´ yu ´hel pˇri vrcholu C) je pˇr´ıˇckou DE rovnobˇeˇznou se stranou BC rozdˇelen na lichobˇeˇzn´ık BCED (jeho obsah oznaˇcme S1 ) a na troj´ uheln´ık ADE (jeho obsah oznaˇcme S2 ). Urˇcete y1 = |EC|, y2 = |AE|, x = |DE|, S1 a S2 , jestliˇze je d´ano |BC| = 30, S1 − S2 = 420, y2 − y1 = 20. 5) Kapit´al v hodnotˇe 1 gur byl p˚ ujˇcen na u ´rok rovn´ y jedn´e pˇetinˇe roˇcnˇe. Za jakou dobu se kapit´ al zdvojn´asob´ı? ´ ˇ ´ MATEMATIKY ULOHY Z RECK E Metrodoros 1) Pythagore vzneˇsen´ y, helik´onsk´ ych m´ uz potomku, na mou odpovˇez ot´azku, kolik vˇern´ ych ˇz´ak˚ u m´ aˇs ve sv´em domˇe, kde jako borci na z´avodiˇsti usiluj´ı o prvenstv´ı? R´ad pov´ım Polykrate. Vid´ıˇs, ˇze polovina ˇz´ak˚ u pˇestuje matematiku, a zat´ım ˇctvrtina na vˇeˇcnou pˇr´ırodu sv´e zkoum´an´ı obrac´ı. Sedmina nedˇel´a nic, jen mlˇcen´ı zachov´av´a, jen sv´e duˇse oˇciˇst’uje, v´ıˇs, opakov´an´ım uˇciva. A pˇridej k nim tˇri ˇzeny, kter´e nevst´avaj´ı tak brzy, mezi nimi nejv´ yznamnˇejˇs´ı je m´a milovan´a Teano. Hle, a to jsou vˇsichni, kter´e vedu cestou moudrosti a snad i m´ uz pierijsk´ ych jim zjedn´am l´asku boˇz´ı. 2) Kdyˇz Kyprida spatˇrila, ˇze Er´os pl´aˇce, zeptala se ho: Co tˇe tak roztesknilo, mohu to vˇedˇet? ˇ jsem z Helik´onu a nesl jsem mnoho jablek, ˇr´ık´a Er´os, ale potom mne n´ahle pˇrepadly M´ Sel uzy a zmocnily se sladk´e n˚ uˇse. Dvan´actinu v mˇziku popadla Euterp´e, Klei´o si oddˇelila pˇetinu, Thaleia osminu. Dvac´ at´ y d´ıl pro sebe zabrala Malpomen´e a ˇctvrtinu Terpsichor´e. Sedminu uchv´atila a jak pˇrelud zmizela Erat´ o. Tˇricet plod˚ u si vzala Polymnia. Sto dvacet se jich dostalo Ur´anii a tˇri sta Kalliop´e. A tak se vrac´ım dom˚ u s pr´azdn´ yma rukama, zbylo mi jen p˚ ul stovky jablek. 3) Ukovej mi korunu a sm´ıchej dohromady zlato s mˇed´ı, vezmi k tomu tak´e jeˇstˇe c´ın a nam´ ahavˇe pˇripraven´e ˇzelezo. At’ to v´aˇz´ı ˇsedes´at min. Zlato a mˇed’ at’ v´aˇz´ı dvˇe tˇretiny celku, zlata s c´ınem at’ jsou 1
naopak tˇri ˇctvrtiny, ale zlato a ˇzelezo dohromady at’ v´aˇz´ı tˇri pˇetiny. Nuˇze nyn´ı mi pˇresnˇe ˇrekni, kolik zlata mus´ıˇs vz´ıt a mˇedi, abys dos´ahl on´e smˇesi, jakou v´ahu c´ınu a jakou koneˇcnˇe ˇzeleza, abys ukoval korunu pˇresnˇe ze ˇsedes´ati min. 4) Vezmi si pˇetinu dˇedictv´ı, m˚ uj synu, ale tobˇe, ´o manˇzelko, bude dvan´actina pod´ılem. Pak synov´e zemˇrel´eho d´ıtˇete, ˇctyˇri do poˇctu, oba bratˇri, matka, kaˇzd´ y at’ si z m´ ych penˇez odebere jeden´actinu. Dvan´ act talent˚ u maj´ı mil´ı bratranci obdrˇzet a drah´ y pˇr´ıtel Eubolos at’ si vezme pˇet. Svobodu a n´ahradu at’ obdrˇz´ı vˇern´e sluˇzebnictvo, mzdu za vykonan´e sluˇzby; d´av´am jim toto: pˇet a dvacet min at’ dˇed´ı Onesimos, ty, m˚ uj Daosi, m˚ uˇzeˇs se potˇeˇsit z dvaceti, pades´at at’ obdrˇz´ı Syros, deset Synete, Tibios osm, Synetos, syn Syros˚ uv, bude m´ıt sedm jako pod´ıl. Tˇricet talent˚ u pak vezmˇete na ozdoben´ı hrobu a t´ım obˇetujte bohu podsvˇet´ı; dva at’ jsou na hranici, j´ıdlo a pl´atno, a dva at’ jsou na ozdoben´ı tˇela. (1 talent = 60 min) 5) Prach Diofant˚ uv v hrobˇe je skryt, pohled’, i k´amen moudr´ ym umˇen´ım prozrad´ı zemˇrel´eho vˇek: Z v˚ ule boh˚ u byl po ˇsestinu ˇzivota d´ıtˇetem a za dalˇs´ı polovinu ˇsestiny se doˇckal chm´ yˇr´ı na l´ıc´ıch. Jak minula sedmina, oˇzenil se s milovanou svoj´ı, pˇet let s n´ı proˇzil, neˇz syna doˇckal se mudrc. Jen do poloviny sv´eho vˇeku se otec se synem tˇeˇsil, brzy mohyla d´ıtˇe otci skryla. Dvakr´at dva roky otec oplak´aval syna, neˇz po tˇech letech doˇckal se sv´eho smutn´eho konce. ˇ Sestinu ˇzivota dopˇr´al mu b˚ uh b´ yt chlapcem. Za dvan´actinu ˇzivota pak narostly mu vousy. K tomu sedmina, kdyˇz uzavˇrel sˇ natek manˇzelsk´ y. Po pˇeti letech vzeˇsel z toho spojen´ı syn. Bˇeda, d´ıtˇe tak milovan´e doˇzilo se poloviny let otcov´ ych, kdyˇz ho Hades straˇsliv´ y povolal k sobˇe. Jeˇstˇe ˇctyˇri l´eta sn´aˇsel Diofantos bolest, vˇenuje se vˇedˇe... Zde tento n´ahrobek pˇrikr´ yv´a Diofanta - z´azrak na pohled! Aritmetick´ ym umˇen´ım sdˇeluje k´amen jeho ˇ vˇek. Sestinu ˇzivota popˇr´al mu B˚ uh b´ yt chlapcem, kdyˇz pak dvan´actina uplynula, nechal mu vyraˇsit vous; jeˇstˇe sedmina, tu rozˇzehl mu svatebn´ı pochodeˇ n, a pˇet let nato mu udˇelil syn´aˇcka. Bˇeda, neˇst’astn´e d´ıtˇe! Dos´ahlo teprve poloviny otcova vˇeku, kdyˇz pˇrijal ho H´ades, ten straˇsn´ y.Jeˇstˇe ˇctyˇri roky sn´aˇsel bolest, ˇzije vˇedˇe, a nyn´ı ˇrekni c´ıl, kter´eho on s´am dos´ahl. 6) Pohled’, jak stoj´ı tu bronzov´ y Kyklop Polyf´emos. Jak dovednˇe mu kov´aˇr zhotovil oko a u ´sta a ruku, ukryv mu do nich trubky. Vˇeru vypad´a ten obr u ´plnˇe jako by z nˇej lilo! Jeˇstˇe ted’ mu proud´ı z u ´st pramen. Trubky jsou takto uspoˇr´adan´e: n´adrˇz se napln´ı trubkou v ruce, kdyˇz tˇri dny teˇce, jeden staˇc´ı oku, dvˇe pˇetiny staˇc´ı u ´st˚ um. Kdo m˚ uˇze ˇr´ıci ˇcas, kter´ y potˇrebuj´ı ve tˇrech? 7) Vodu ke koupeli vyl´evaj´ıce stoj´ıme zde my tˇri Eroti, pos´ılaj´ıce sv´e vlny do p˚ uvabnˇe vyhl´ıˇzej´ıc´ı n´ adrˇze. J´ a zde vpravo napln´ım ze ˇsiroce rozepjat´ ych kˇr´ıdel tvou koupel uˇz za ˇsestinu dne. Onen vlevo ji napln´ı z ˇ urny za ˇctyˇri hodiny. Ten uprostˇred z luku potˇrebuje polovinu dne. Rekni, jak kr´atk´a je doba, ve kter´e ji napln´ıme vˇsichni, proud´ı-li voda z kˇr´ıdel, urny i luku. 8) Tˇeˇzce naloˇzena v´ınem ˇsla oslice s mezkem. A oslice st´enala velice silnˇe pod t´ıˇz´ı n´akladu. Jej´ı spoleˇcn´ık to vidˇel a ˇrekl vzdychaj´ıc´ımu zv´ıˇreti: Matko, proˇcpak naˇr´ık´aˇs jako plaˇc´ıc´ı holˇciˇcka? Kdybys mi dala jednu libru, nesl bych dvakr´at tolik, jako ty neseˇs; kdyˇz mi jednu vezmeˇs, poneseme oba stejnˇe. Vypoˇc´ıtej mi, ´ o matematiku, kolik kaˇzd´ y nesl. ´ ˇ´ ´ MATEMATIKY ULOHY ZC INSKE Nen´ı-li uvedeno jinak, jedn´a se o u ´lohy z Matematiky v dev´ıti knih´ ach. 1) Host ujede za den 300 li (jeden li se rovn´a 0,576 km). Host vyjel od hostitele, ale zapomnˇel jeden odˇev. Kdyˇz po tˇretinˇe dne hostitel objevil zapomenut´ y odˇev, vydal se na cestu, aby hosta dohonil. Kdyˇz pˇredal odˇev hostovi, ihned obr´atil konˇe na zp´ateˇcn´ı cestu a za tˇri ˇctvrti dne od odjezdu hosta byl opˇet doma. Kolik li by ujel hostitel na koni za den? 2) Vodn´ı n´adrˇz m´a pˇet pˇr´ıvodn´ıch struh. Jestliˇze otevˇreme jen prvn´ı z nich, n´adrˇz se napln´ı za tˇretinu dne, kdyˇz jen druhou, napln´ı se za den, kdyˇz jen tˇret´ı - za dva a p˚ ul dne, kdyˇz jen ˇctvrtou - za tˇri dny, kdyˇz jen p´atou - za pˇet dn´ı. Za kolik dn´ı se n´adrˇz napln´ı, kdyˇz otevˇreme vˇsechny pˇr´ıvodn´ı strouhy? 3) Ze tˇr´ı snop˚ u dobr´e u ´rody, dvou snop˚ u pr˚ umˇern´e u ´rody a jednoho snopu ˇspatn´e u ´rody z´ıskali 39 mˇer zrna. Ze dvou snop˚ u dobr´e u ´rody, tˇr´ı snop˚ u pr˚ umˇern´e u ´rody a jednoho snopu ˇspatn´e u ´rody dostali 34 mˇer
2
zrna. Z jednoho snopu dobr´e u ´rody, dvou snop˚ u pr˚ umˇern´e u ´rody a tˇr´ı snop˚ u ˇspatn´e u ´rody z´ıskali 26 mˇer zrna. Kolik mˇer zrna dostali z kaˇzd´eho snopu dobr´e, pr˚ umˇern´e a ˇspatn´e u ´rody? 4) Dvˇema snop˚ um z dobr´e u ´rody, tˇrem snop˚ um z pr˚ umˇern´e u ´rody a ˇctyˇrem snop˚ um ze ˇspatn´e u ´rody se do 1 tou (mˇeˇrice) nedost´av´a v uveden´em poˇrad´ı 1 snop z pr˚ umˇern´e u ´rody, 1 snop ze ˇspatn´e u ´rody a 1 snop z dobr´e u ´rody. Pt´ame se kolik (zrn´ı) z´ısk´ame z kaˇzd´eho snopu z dobr´e, pr˚ umˇern´e a ˇspatn´e u ´rody? 5) Pˇri prodeji 2 buvol˚ u, 5 ovc´ı a koupi 13 vepˇr˚ u z˚ ustalo 1000 ˇcchien, pˇri prodeji 3 buvol˚ u a 3 vepˇr˚ u staˇcily pen´ıze pˇresnˇe na koupi 9 ovc´ı a pˇri prodeji 6 ovc´ı a 8 vepˇr˚ u koupili 5 buvol˚ u a nedostalo se 600 ˇcchien. Urˇcete cenu buvola, ovce a vepˇre. ˇ ˇ 6) Hˇrebec a kobyla bˇeˇz´ı z Cenanu do kn´ıˇzectv´ı Cchi, jeˇz je vzd´aleno 3000 d´elkov´ ych mˇer. Za prvn´ı den hˇrebec ubˇehl 193 mˇer a v kaˇzd´em dalˇs´ım dni o 13 mˇer v´ıce. Kobyla ubˇehla v prvn´ım dni 97 mˇer a v kaˇzd´em ˇ dalˇs´ım dni o p˚ ul m´ıry m´enˇe. Hˇrebec dobˇehl do kn´ıˇzectv´ı Cchi jako prvn´ı, otoˇcil se a v nˇejak´em m´ıstˇe potkal kobylu. Po kolika dnech se potkali a kolik mˇer ubˇehl do okamˇziku setk´an´ı kaˇzd´ y k˚ un ˇ? 7) M´ame zkuˇsenou ˇsvadlenu, jej´ıˇz denn´ı v´ ykon se trvale rovnomˇernˇe zvyˇsuje. Zprvu utkala za den 5 ˇci. Za mˇes´ıc utkala 9 pi 3 ˇcangy. Pt´ame se, kolik ˇcin´ı denn´ı pˇr´ır˚ ustek (v cunech)? Poˇc´ıtejme s 30 dny v mˇes´ıci. 8) 78 bambusov´ ych tyˇc´ı vˇetˇs´ı ˇci menˇs´ı d´elky stoj´ı 576 ˇcchien. Rozd´ıl mezi cenou velk´e a mal´e tyˇce je 1 ˇcchien. Pt´ame se, kolik stoj´ı jedna tyˇc, pˇredpokl´ad´ame celoˇc´ıseln´e ceny. ˇ Luan, 3. stolet´ı 9) Cen Kolik je moˇzn´e za 100 minc´ı koupit kohout˚ u, slepic a kuˇrat, jestliˇze je jich dohromady 100 a jestliˇze kohout stoj´ı pˇet minc´ı, slepice ˇctyˇri mince a ˇctyˇri kuˇrata jednu minci? ˇ Luan, 3. stolet´ı 10) Cen Kolik je moˇzn´e za 100 minc´ı koupit kohout˚ u, slepic a kuˇrat, jestliˇze je jich dohromady 100 a jestliˇze kohout stoj´ı ˇctyˇri mince, slepice tˇri mince a tˇri kuˇrata jednu minci? ˇ ˇ 11) Matematick´ y trakt´at Cang Cchiou-tiena, 5.-6. stolet´ı Kohout stoj´ı pˇet pen´ız˚ u, slepice tˇri pen´ıze a tˇri kuˇrata jeden pen´ız. Celkem za 100 pen´ız˚ u koupili 100 pt´ ak˚ u. Kolik koupili kohout˚ u, slepic a kuˇrat? 12) Matematick´ y trakt´at od Sun-c’, 3.-4. stolet´ı Najdˇete ˇc´ıslo, kter´e pˇri dˇelen´ı tˇremi d´av´a zbytek dva, pˇri dˇelen´ı pˇeti d´av´a zbytek tˇri a pˇri dˇelen´ı sedmi d´ av´a zbytek dva. 13) Pˇet rodin m´a spoleˇcnou studnu. Aby bylo moˇzn´e se dostat k vodn´ı hladinˇe, mus´ı se nav´azat provazy patˇr´ıc´ı jednotliv´ ym rodin´am. Pˇredpokl´ad´a se, ˇze vˇsechny provazy t´eˇze rodiny jsou stejnˇe dlouh´e a provazy r˚ uzn´ ych rodin maj´ı r˚ uzn´e d´elky. Jsou tyto moˇznosti: dva provazy rodiny A a jeden provaz rodiny B, tˇri provazy rodiny B a jeden provaz rodiny C, ˇctyˇri provazy rodiny C a jeden provaz rodiny D, pˇet provaz˚ u rodiny D a jeden provaz rodiny E, ˇsest provaz˚ u rodiny E a jeden provaz rodiny A. Jak hlubok´a je studna a jakou d´elku m´a provaz kaˇzd´e rodiny? Hled´a se nejmenˇs´ı pˇrirozen´e ˇreˇsen´ı. 14) Uprostˇred kaˇzd´e strany mˇesta ˇctvercov´eho p˚ udorysu je br´ana. Ve vzd´alenosti 20 pu na sever od severn´ı br´any stoj´ı sloup. Jestliˇze se vzd´al´ıme od jiˇzn´ı br´any o 14 pu na jih a zaboˇc´ıme o 1775 pu na z´ apad, dostaneme se na m´ısto, z nˇehoˇz sloup zaˇc´ın´a b´ yt vidˇet. Jak´a je d´elka strany ˇctverce? 15) Trakt´at o moˇrsk´em ostrovˇe od Liou Chueje Na pahorku roste borovice nezn´am´e v´ yˇsky. Dole na rovinˇe jsou postaveny dvˇe tyˇce, obˇe o v´ yˇsce 20 ˇci, tak, ˇzestoj´ı se stromem v z´akrytu a jsou od sebe vzd´aleny 50 ˇcang. Na spojnici vrcholu stromu a ˇspice prvn´ı tyˇce leˇz´ı na zemi bod vzd´alen´ y od paty tyˇce 7 ˇcang 4 ˇci. Spojnice tohoto bodu a paty stromu prot´ın´ a prvn´ı tyˇc 2,8 ˇci od jej´ıho vrcholu. Vrcholek stromu, ˇspiˇcka zadn´ı tyˇce a bod na zemi vzd´alen´ y od paty t´eto tyˇce 8 ˇcang 5 ˇci tvoˇr´ı opˇet pˇr´ımku. Urˇcete v´ yˇsku borovice a vzd´alenost prvn´ı tyˇce od paty pahorku. ˇ ˇ 16) Matematick´ y trakt´at Cang Cchiou-tiena, 5. stolet´ı Na ˇrece m´ame pˇr´ıvoz, nezn´ame ˇs´ıˇrku ˇreky, v´ ychodn´ı bˇreh je vysok´ y 1 ˇcang. Vzd´al´ıme-li se od bˇrehu k v´ ychodu na 50 pu, pak horn´ı okraj bˇrehu a z´apadn´ı okraj vodn´ı hladiny se budou jevit z oka ˇclovˇeka na stejn´e u ´rovni. Oko ˇclovˇeka je od zemˇe vzd´aleno 2 ˇci 4 cuny. Jak´a je ˇs´ıˇrka ˇreky (v pu)? Uv´adˇen´e jednotky: 1 ˇci = 10 cun˚ u, 1 pu = 5 ˇci, 1 ˇcang = 10 ˇci, 1 pi = 40 ˇci, 1 li = 360 pu. 3
´ ´ MATEMATIKY ULOHY Z INDICKE 1) Bh´askara II. (1114 - 1185) ˇ St´ado opic bav´ıc´ıch se v h´aji se rozdˇelilo na dvˇe ˇc´asti. Ctverec osminy jejich poˇctu se bavil sk´ak´ an´ım ve vˇetv´ıch. Dvan´act opic v´ıtalo radostn´ ym kˇrikem tich´ y rozbˇresk dne. Kolik opic je celkem? 2) Bh´askara Jedna pˇetina st´ada opic bez tˇr´ı opic umocnˇen´a na druhou se schov´av´a v jeskyni a je vidˇet jednu zbylou opici, kter´a vylezla na strom. 3) Bh´askara Z roje vˇcel usedne pˇetina na kvˇetech kadambov´ ych, tˇretina na kvˇetech silindhy. Trojn´asobn´ y rozd´ıl obou tˇechto ˇc´ısel letˇel za kvˇety kutaje. Jedna vˇcela poletovala ve vzduchu, pˇritahov´ana l´ıbeznou v˚ un´ı pandamu a jasm´ınu. 4) Mah´av´ıra, 9. stolet´ı Bˇehem souboje kohout˚ u se jeden z div´ak˚ u dohodl s jejich majiteli. Prvn´ımu ˇrekl: ”Kdyˇz zv´ıtˇez´ı tv˚ uj kohout, d´aˇs mi svou v´ yhru, kdyˇz prohrajeˇs, zaplat´ım ti dvˇe tˇretiny moˇzn´e v´ yhry.” Druh´emu soupeˇri ˇrekl: ”Kdyˇz zv´ıtˇez´ı tv˚ uj kohout, d´aˇs mi svou v´ yhru, kdyˇz prohrajeˇs, zaplat´ım ti tˇri ˇctvrtiny moˇzn´e v´ yhry.” V obou pˇr´ıpadech z´ısk´a div´ak 12 pen´ız˚ u. Jakou v´ yhru hohl z´ıskat kaˇzd´ y majitel kohouta? 5) Mah´av´ıra, 9. stolet´ı Plody gran´atov´ ych jablek, manga a obyˇcejn´ ych jablek se prod´avaj´ı po ˇradˇe: 3 kusy za 2 pen´ıze, 5 kus˚ u za 3 pen´ıze, 7 kus˚ u za 5 pen´ız˚ u. Jak lze za 76 pen´ız˚ u koupit takov´ y poˇcet plod˚ u, ˇze je v nˇem tˇrikr´ at v´ıce plod˚ u manga neˇz obyˇcejn´ ych jablek a ˇsestkr´at v´ıce gran´atov´ ych jablek neˇz obyˇcejn´ ych jablek? 6) Mah´av´ıra, 9. stolet´ı V´ıme, ˇze ˇctvrtina st´ada velbloud˚ u se pase v kˇrov´ı, 15 jich je na bˇrehu ˇreky a zbytek, tj. dvojn´ asobek druh´e odmocniny z celkov´eho poˇctu velbloud˚ u, je na u ´pat´ı pahorku. Kolik velbloud˚ u je ve st´adu? 7) Mah´av´ıra, 9. stolet´ı Devˇet druh´ ych odmocnin z dvou tˇretin celkov´eho poˇctu slon˚ u spolu s ˇsesti odmocninami ze tˇr´ı pˇetin zbytku je v lese. Zb´ yv´a jeˇstˇe 24 slon˚ u. Kolik je vˇsech slon˚ u? 8) Bh´askara II. (1114 - 1185) ˇ St´ado opic bav´ıc´ıch se v h´aji se rozdˇelilo na dvˇe ˇc´asti. Ctverec osminy jejich poˇctu se bavil sk´ak´ an´ım ve vˇetv´ıch. Dvan´act opic v´ıtalo radostn´ ym kˇrikem tich´ y rozbˇresk dne. Kolik opic je celkem? ´ ´ MATEMATIKY ULOHY Z ARABSKE 1) Ab´ u K´amil ˇ ıslo 10 rozdˇelte na dvˇe ˇc´asti tak, aby souˇcet pomˇer˚ C´ u prvn´ı ˇc´asti k druh´e ˇc´asti a druh´e ˇc´asti k prvn´ı byl √ roven ˇc´ıslu 5. 2) Je ti d´ano sto drachem a m´aˇs za nˇe koupit sto pt´ak˚ u tˇr´ı druh˚ u: kachny, kuˇrata a vrabce, jedna kachna stoj´ı pˇet drachem, dvacet vrabc˚ u jednu drachmu, jedno kuˇre jednu drachmu. 4) Jak budeˇs poˇc´ıtat, kdyˇz dostaneˇs sto drachem a je ti ˇreˇceno: kup za to sto pt´ak˚ u ˇctyˇr druh˚ u, totiˇz kachny, vrabce, holuby a kuˇrata, kachnu za ˇctyˇri drachmy, deset vrabc˚ u za jednu drachmu, dva holuby za jednu drachmu a kuˇre za jednu drachmu? 5) Bylo ti d´ano sto drachem a bylo ti ˇreˇceno: kup za to sto pt´ak˚ u ˇctyˇr druh˚ u, kachny, holuby, skˇrivany, kuˇrata, kachnu za dvˇe drachmy, dva holuby za jednu drachmu, tˇri skˇrivany za jednu drachmu a kuˇre za jednu drachmu. 6) al-Karadˇz´ı
4
Naleznˇete nejmenˇs´ı pˇrirozen´e ˇreˇsen´ı soustavy line´arn´ıch rovnic 1 x + (y + z + u) 3 1 y + (z + u + x) 4 1 z + (u + x + y) 5 1 u + (x + y + z) 6
= s = s = s = s
7) al-K´aˇs´ı V sadu utrhl prvn´ı ze skupiny lid´ı jedno gran´atov´e jablko, druh´ y dvˇe a kaˇzd´ y n´asleduj´ıc´ı o jedno jablko v´ıce. Potom vˇsichni, kdo trhali jablka, si je mezi sebou rozdˇelili rovn´ ym d´ılem a kaˇzd´ y dostal ˇsest gran´ atov´ ych jablek. Kolik lid´ı trhalo jablka? 8) al-K´aˇs´ı Dva lid´e vyˇsli souˇcasnˇe z jednoho bodu v opaˇcn´ ych smˇerech po bˇrehu kruhov´eho jezera. Prvn´ı uˇsel dennˇe 10 mil, druh´ y uˇsel za prvn´ı den jednu m´ıli, ale v kaˇzd´em dalˇs´ım dni o jednu m´ıli v´ıce. Kdyˇz se setkali, zjistili, ˇze prvn´ı proˇsel ˇsestinu obvodu jezera a druh´ y pˇet ˇsestin obvodu. Jak dlouh´ y je obvod jezera a kolik dn´ı byli chodci na cestˇe? 9) al-K´aˇs´ı Oˇstˇep stoj´ı svisle ve vodˇe a nad jej´ı hladinou vyˇcn´ıv´a o tˇri lokty. V´ıtr ho nach´ ylil tak, ˇze jeho vrchol je na hladinˇe, ale spodn´ı hrot nezmˇenil svou polohu. Urˇcete d´elku oˇstˇepu, jestliˇze vzd´alenost nov´e polohy vrcholu od p˚ uvodn´ıho m´ısta vnoˇren´ı oˇstˇepu do vody se rovn´a pˇeti lokt˚ um. ´ ˇ ˇ E ´ EVROPY ULOHY ZE STREDOV EK ˇ Anania Sirakaci (7. stolet´ı) 1) Jeden kupec projel tˇremi mˇesty. V prvn´ım mˇestˇe utratil polovinu a tˇretinu majetku, ve druh´em polovinu a tˇretinu toho, co mu zbylo, ve tˇret´ım polovinu a tˇretinu toho, co jeˇstˇe mˇel. Kdyˇz se vr´atil dom˚ u, zb´ yvalo mu 11 groˇs˚ u. Kolik groˇs˚ u celkem mˇel na poˇc´atku? 2) V At´en´ach byl vodojem s tˇremi rourami. Prvn´ı mohla naplnit vodojem za hodinu, druh´ a za dvˇe hodiny, tˇret´ı za tˇri hodiny. Za jakou ˇc´ast hodiny mohly naplnit vodojem vˇsechny tˇri roury spoleˇcnˇe? Alcuin 3) Nˇejak´ y kupec ˇrekl: Chci za sto den´ar˚ u nakoupit sto prasat, pˇriˇcemˇz kanec stoj´ı deset den´ar˚ u, prasnice pˇet den´ar˚ u a dvˇe selata jeden den´ar. At’ ˇrekne, kdo rozum´ı, kolik je tˇreba koupit kanc˚ u, kolik prasnic a kolik selat, aby ˇz´adn´e z tˇechto dvou ˇc´ısel nebylo ani pˇrekroˇceno, ani zmenˇseno. 4) Nˇejak´ y otec rodiny mˇel dvacet ˇclen˚ u rodiny a naˇr´ıdil d´at jim dvacet mˇeˇric obil´ı: naˇr´ıdil, ˇze muˇzi ˇ dostanou tˇri mˇeˇrice a ˇzeny dvˇe a kaˇzd´e d´ıtˇe p˚ ul mˇeˇrice. Rekni, kdo m˚ uˇzeˇs, kolik mus´ı b´ yt muˇz˚ u, kolik ˇzen a kolik dˇet´ı. 5) Nˇejak´ y otec rodiny mˇel 30 ˇclen˚ u rodiny, kter´ ym naˇr´ıdil d´at 30 mˇeˇric obil´ı. A naˇr´ıdil, ˇze muˇzi dostanou tˇri mˇeˇrice a ˇzeny dvˇe a kaˇzd´e d´ıtˇe p˚ ul mˇeˇrice. At’ ˇreˇs´ı, kdo m˚ uˇze, kolik bylo muˇz˚ u a kolik ˇzen a kolik dˇet´ı. 6) Nˇejak´ y otec rodiny mˇel 90 ˇclen˚ u rodiny a naˇr´ıdil d´at jim 90 mˇeˇric obil´ı. A tak naˇr´ıdil, ˇze muˇzi dostanou tˇri mˇeˇrice a ˇzeny dvˇe a kaˇzd´e d´ıtˇe p˚ ul mˇeˇrice. At’ ˇrekne, kdo se domn´ıv´a, ˇze v´ı, kolik bylo muˇz˚ u, kolik ˇzen a kolik dˇet´ı. 7) Nˇejak´ y otec rodiny mˇel 100 ˇclen˚ u rodiny, kter´ ym naˇr´ıdil d´at 100 mˇeˇric obil´ı, takov´ yn zp˚ usobem, ˇze muˇzi dostanou tˇri mˇeˇrice a ˇzeny dvˇe a kaˇzd´e d´ıtˇe p˚ ul mˇeˇrice. At’ tedy ˇrekne, kdo m˚ uˇze, kolik bylo muˇz˚ ua kolik ˇzen a kolik dˇet´ı. 8) Nˇejak´ y muˇz chtˇel koupit sto zv´ıˇrat za sto zlat´ ych, pˇriˇcemˇz k˚ un ˇ se kupuje za tˇri zlat´e, kr´ava za jeden ˇ zlat´ y a 24 ovc´ı za jeden zlat´ y. Rekni, kdo jsi s to, kolik bylo kon´ı, kolik krav a kolik ovc´ı.
5
9) Nˇejak´ y biskup rozk´azal rozdˇelit klerik˚ um dvan´act chleb˚ u. Naˇr´ıdil, aby kaˇzd´ y knˇez dostal dva chleby, kaˇzd´ y j´ahen polovinu chleba a kaˇzd´ y lektor ˇctvrtinu chleba, pˇritom poˇcet klerik˚ u byl stejn´ y jako poˇcet ˇ chleb˚ u. Rekni, kdo jsi s to, kolik muselo b´ yt knˇeˇz´ı, kolik j´ahn˚ u a kolik lektor˚ u. 10) Jeden ˇzebˇr´ık mˇel sto pˇr´ıˇcl´ı. Na prvn´ım sedˇel jeden holub, na druh´em dva, na tˇret´ım tˇri, na ˇctvrt´em ˇ ˇctyˇri, na p´at´em pˇet, a tak na vˇsech pˇr´ıˇcl´ıch aˇz do st´eho. Rekni, kdo m˚ uˇzeˇs, kolik bylo celkem holub˚ u. 11) Nˇejak´ y muˇz proch´azej´ıc´ı se po cestˇe vidˇel jin´e lidi jdouc´ı proti nˇemu a ˇrekl jim: Chtˇel jsem, aby v´ as bylo b´ yvalo jeˇstˇe jednou tolik, kolik v´as je, a polovina z poloviny (onoho dvojn´asobku), a opˇet polovina poloviny (z poloviny onoho dvojn´asobku), pak by v´as bylo b´ yvalo i se mnou sto. At’ ˇrekne, kdo chce, kolik jich bylo, kter´e muˇz vidˇel. 12) Pes se ˇzene za kr´al´ıkem, kter´ y je 150 stop pˇred n´ım. Pes uraz´ı kaˇzd´ ym skokem devˇet stop, zat´ımco kr´ al´ık uraz´ı sedm stop. Kolik skok˚ u mus´ı udˇelat pes, aby dohonil kr´al´ıka? Leonardo Pis´ansk´ y 13) 20 lokt˚ u sukna stoj´ı 3 libry, 42 rotul´ı bavlny stoj´ı 5 liber. Kolik rotul´ı bavlny je moˇzn´e dostat z 50 lokt˚ u sukna? 14) 12 ˇr´ımsk´ ych minc´ı odpov´ıd´a 31 pis´ansk´ ym, 23 pis´ansk´ ych odpov´ıd´a 12 janovsk´ ym, 13 janovsk´ ych 12 tur´ınsk´ ym, 11 tur´ınsk´ ych 12 barcelonsk´ ym. Kolik barcelonsk´ ych minc´ı dostaneme za 15 ˇr´ımsk´ ych? ˇ ıma, kaˇzd´a m´a sedm mul˚ 15) Sedm staˇren m´ıˇr´ı do R´ u, na kaˇzd´em je sedm pytl˚ u, v kaˇzd´em pytli je sedm chleb˚ u, u kaˇzd´eho chleba sedm noˇz˚ u a kaˇzd´ y n˚ uˇz je v sedmi pochv´ach. Kolik je vˇseho dohromady? 16) Lev seˇzere ovci za ˇctyˇri hodiny, leopard za pˇet hodin a medvˇed za ˇsest hodin. Za jak dlouho ji seˇzerou spoleˇcnˇe? 17) D´a-li prvn´ı druh´emu den´ar, budou m´ıt stejnˇe. D´a-li druh´ y prvn´ımu den´ar, bude m´ıt prvn´ı desetkr´ at tolik. 18) Jestliˇze jeden ˇclovˇek dostane od druh´eho 7 den´ar˚ u, bude m´ıt pˇetkr´at v´ıce neˇz druh´ y. Jestliˇze druh´ y ˇclovˇek dostane od prvn´ıho 5 den´ar˚ u, bude m´ıt sedmkr´at v´ıce neˇz prvn´ı. Kolik maj´ı nyn´ı? 19) Naleznˇete nejmenˇs´ı pˇrirozen´e ˇreˇsen´ı soustavy line´arn´ıch rovnic 1 x+ y = s 3 1 y+ z = s 4 1 z+ x = s 5 20) 1 1 x + ( + )y 3 4 1 1 y + ( + )z 4 5 1 1 z + ( + )u 5 6 1 1 u + ( + )x 6 7
= s = s = s = s
21) 1 x + (y + z) = s 3 1 y + (z + x) = s 4 1 z + (x + y) = s 5 6
22) 1 x + (y + z) 2 1 y + (z + u) 3 1 z + (u + x) 4 1 u + (x + y) 5
= s = s = s = s
23) 2 1 x + ( + )(y + z + u + v) 3 5 2 1 1 y+( + + )(z + u + v + x) 3 6 480 2 1 1 z+( + + )(u + v + x + y) 3 6 638 1 2 1 u+( + + )(v + x + y + z) 3 7 420 2 1 1 1 v+( + + + )(x + y + z + u) 3 10 27 810 24) 1 x + y + (z + u + v) 2 1 y + z + (u + v + x) 3 1 z + u + (v + x + y) 4 1 u + v + (x + y + z) 5 1 v + x + (y + z + u) 6
= s = s = s = s = s
25) 1 x + (y + z) = s 3 1 y + (z + x) = s + 2 4 1 z + (x + y) = s + 4 5 26) 1 x+ y 3 1 y+ z 4 1 z+ u 5 1 u+ v 6 1 v+ x 7
= s = s+2 = s+5 = s + 10 = s + 17 7
= s = s = s = s = s
27) x + y + b = 2(z + u + v) y + z + b = 3(u + v + x) z + u + b = 4(v + x + y) u + v + b = 5(x + y + z) v + x + b = 6(y + z + u) 28) 1 x + y + z + (u + v + w + t) 2 1 y + z + u + (v + w + t + x) 3 1 z + u + v + (w + t + x + y) 4 1 u + v + w + (t + x + y + z) 5 1 v + w + t + (x + y + z + u) 6 1 w + t + x + (y + z + u + v) 7 1 t + x + y + (z + u + v + w) 8
= s = s = s = s = s = s = s
29) 1 x + (y + z + u) 3 1 y + (z + u + x) 4 1 z + (u + x + y) 5 1 u + (x + y + z) 6
= s = s+3 = s+7 = s + 12
30) Kdosi koupil 30 pt´ak˚ u za 30 pen´ız˚ u. Za tˇri vrabce platil jeden pen´ız, za dvˇe hrdliˇcky t´eˇz jeden pen´ız a za jednoho holuba dva pen´ıze. Kolik pt´ak˚ u kaˇzd´eho druhu koupil? 31) Dvˇe vˇeˇze stoj´ı ve vzd´alenosti 50 stop, jedna je vysok´a 40 stop a druh´a 30 stop. Ke kaˇsnˇe um´ıstˇen´e mezi nimi sl´et´avaj´ı souˇcasnˇe pt´aci, kteˇr´ı sedˇeli na vrcholc´ıch vˇeˇz´ı. Protoˇze let´ı stejnou rychlost´ı, dolet´ı na kaˇsnu souˇcasnˇe. Urˇcete vzd´alenosti kaˇsny od vˇeˇz´ı. ´ ULOHY Z OBDOB´ I RENESANCE 1) Obsah troj´ uheln´ıku se rovn´a 84 jednotk´am obsahu. Vypoˇctˇete d´elky jeho stran, kdyˇz je zn´ amo, ˇze jsou vyj´adˇreny tˇremi za sebou n´asleduj´ıc´ımi pˇrirozen´ ymi ˇc´ısly. 2) Kdosi m´a 24 liber vz´acn´eho oleje. M´a k dispozici n´adoby o objemu 13, 11 a 5 liber. Jak m˚ uˇzeme pomoc´ı tˇechto n´adob rozdˇelit olej na tˇri stejn´a mnoˇzstv´ı?
8
ˇ ˇ ˇ POZADAVKY KE ZKOUSCE Z DEJIN MATEMATIKY 1) Hlavn´ı obdob´ı v´ yvoje matematiky. 2) Poˇc´atky v´ yvoje matematiky. Matematika Indi´an˚ u. 3) Staroegyptsk´a matematika. 4) Mezopot´amsk´a matematika. ˇ 5) Hrdinsk´ y vˇek ˇreck´e matematiky - ˇc´ıseln´a soustava a poˇc´ıt´an´ı ve Star´em Recku, Thales, Pythagorejci. 6) Hrdinsk´ y vˇek ˇreck´e matematiky - ˇreck´a geometrick´a algebra, klasick´e probl´emy ˇreck´e matematiky, dalˇs´ı matematici tohoto obdob´ı. 7) Matematika v hel´ensk´em obdob´ı. 8) Archimedes. 9) Matematika ˇr´ımsk´ ych zem´ı. ˇ ınsk´a matematika. 10) C´ 11) Indick´a matematika. 12) Arabsk´a matematika. 13) Matematika ve stˇredovˇek´e Evropˇe. 14) V´ yvoj matematiky v 16. stolet´ı. 15) V´ yvoj matematiky v 17. stolet´ı. 16) Poˇc´atky a vznik infinitezim´aln´ıho poˇctu. 17) V´ yvoj matematiky v 18. stolet´ı. 18) V´ yvoj matematiky v 19. stolet´ı - francouzsk´a a nˇemeck´a matematika. 19) V´ yvoj matematiky v 19. stolet´ı - rozvoj geometrie, anglick´a matematika, konec stolet´ı. 20) V´ yvoj matematiky v ˇcesk´ ych zem´ıch do konce 18. stolet´ı. 21) V´ yvoj matematiky v ˇcesk´ ych zem´ıch v 19. stolet´ı. 22) Historick´e zp˚ usoby prov´adˇen´ı poˇcetn´ıch operac´ı s pˇrirozen´ ymi ˇc´ısly v des´ıtkov´e poziˇcn´ı soustavˇe
9
