Statistika 2 Topik Bahasan:
Pengujian Hipotesis Oleh : Edi M. Pribadi, SP., MSc. E-mail:
[email protected]
1. Pendahuluan • Hipotesis pernyataan yang merupakan pendugaan berkaitan dengan nilai suatu parameter populasi (satu atau lebih populasi) • Kebenaran suatu hipotesis diuji dengan menggunakan statistik sampel hipotesis diterima atau ditolak • Jenis Hipotesis : 1. Hipotesis Nol (H0) Merupakan hipotesis yang dirumuskan ingin diuji 2. Hipotesis Alternatif (H1) Pernyataan tentang parameter yang ‘benar’ jika H0 salah • Galat dalam pengujian hipotesis : 1. Galat tipe I (galat ) terjadi bila H0 benar tetapi ditolak = P(H0 ditolak | H0 benar) ; juga menunjukkan taraf uji 2. Galat tipe II (galat β) terjadi bila H0 salah tetapi diterima β = P(H0 diterima | H0 salah) ; Nilai (1- β) = peluang tidak terjadinya galat β
Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
2
1
2. Uji satu arah – Dua arah • Uji dua arah bila memiliki daerah ‘penolakan’ pada dua sisi kurva distribusi, yaitu sebelah kiri dan kanan kurva
H0 : µ = 3.16
Daerah Penerimaan H0
/2
H1 : µ ≠ 3.16
/2
µ= 3.16 Daerah z1 Penolakan Ho
z2 Nilai kritis
Daerah Penolakan H0
• Uji satu arah bila memiliki satu daerah ‘penolakan’ pada salah satu sisi kurva distribusi, yaitu sebelah kiri atau kanan kurva
H0 : µ = 12 gram
Daerah Penerimaan H0
H1 : µ < 12 gram µ= 12 Daerah z1 Penolakan H0
Nilai kritis
3
Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
• Uji satu arah vs dua arah Kriteria
Uji 2 Arah
Uji 1 Arah (Kiri)
Uji 1 Arah (Kanan)
Tanda pada H0
=
= atau ≥
= atau ≤
Tanda pada H1
≠
<
>
Daerah Penalakan
2 sisi kurva
Sisi kiri kurva
Sisi kanan kurva
• Tahapan dalam pengujian hipotesis : 1. Menentukan H0 dan H1 2. Menentukan taraf uji () yang digunakan 3. Menentukan uji statistik ~ Hipotesis rata-rata populasi diuji dengan rata-rata suatu random sampling ~ Distribusi sampling normal nilai rata-rata sampel ditransformasikan ke nilai z 4. Menentukan daerah penolakan dan penerimaan 5. Menentukan nilai uji statistik 6. Membuat keputusan Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
4
2
3. Uji Hipotesis Rata-rata • Nilai statistik yang biasa digunakan adalah sbb : H0
µ = µ0
Nilai Statistik Uji z=
x - μ0 σ
n
Jika known dan n ≥ 30
µ = µ0
x - μ0
t=
s
n
; v = n -1
Jika unknown dan n < 30
•
H1
Wilayah Kritis
µ < µ0 µ > µ0 µ ≠ µ0
z < -z z > z z <-z/2 & z > z/2
µ < µ0 µ > µ0 µ ≠ µ0
t < -t t > t t <-t/2 & t > t/2
Contoh: Seorang manager produksi menyatakan bahwa isi sebuah susu kaleng sekurang-kurangnya 32 ons. Ujilah hipotesis dengan tingkat signifikansi 1 persen jika sampel acak 60 kaleng susu diperoleh isi rata-rata 31.98 ons dan simpangan baku 0.10 ons !
5
Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
•
Jawab : 1. Tentukan hipotesis nol dan alternatif Anggapan bahwa isi rata-rata sekurang-kurangnya 32 ons merupakan H0 µ ≥ 32 H0 : µ = 32 2. 3. 4. 5.
H1 : µ < 32
taraf uji () = 0.01 = 0.01 n = 60 nilai z sebagai statistik uji Menentukan daerah kritis z0.01 < - 2.33 Hitung nilai statistik uji z x - μ0 31.98 - 32 z= = = - 1.55 s n 0.1 60
µ= 32
-2.33 Nilai kritis Z
karena nilai uji statistik z = -1.55 lebih besar dari nilai z0.01= -2.33 maka H0 diterima. Ini menunjukkan bahwa nilai rata-rata sampel berada di daerah penerimaan H0. Dengan demikian kita menerima hipotesis H0 bahwa isi susu kaleng sekurang-kurangnya 32 ons.
Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
6
3
•
Contoh: Setelah diadakan perbaikan, sebuah mesin produksi baut diameter 25 mm , dilakukan pengujian, apakah masih bagus atau tidak. Anggap ukuran diametrer baut tersebut terdistribusi normal. Diambil sampel acak 10 mesin produksi, diperoleh rata-rata sampel 25.02 mm dengan simpangan baku 0.024 mm. Lakukan pengujian dengan taraf nyata 5 persen !
•
Jawab : 1. Tentukan hipotesis nol dan alternatif Mesin masih bagus jika rata-rata diameter baut yg diproduksi = 25 mm, µ = 25 2. 3. 4. 5.
H0 : µ = 25 mm ; H1 : µ ≠ 25 mm Taraf uji () = 0.05 n = 10 nilai t sebagai statistik uji v = n – 1 = 9 Menentukan daerah kritis t 0.025 = 2.26 Hitung nilai statistik uji t
t=
/2
/2
µ= 25
-2.26
x - μ0 s
Daerah Penerimaan H0
25.02 - 25 = = - 2.64 n 0.024 10
2.26
Nilai kritis
Karena nilai uji statistik t = -2.64 jatuh pada daerah penolakan H0, sehingga H0 ditolak dan H1 diterima. 7
Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
4. Uji Hipotesis Beda 2 Nilai Rata-rata • Nilai statistik yang biasa digunakan adalah sbb : H0 µ1 - µ2 = d 0
Nilai Statistik Uji z=
(σ
2 1
(x 1 - x 2 ) - d 0 n 1 ) + (σ 22 n2 )
Jika 1 dan 2 known dan n ≥ 30 t= µ1 - µ2 = d 0
(x1 - x 2 ) - d0 s p ( 1 n1 ) + ( 1 n2 )
•
Wilayah Kritis
µ1 - µ2 < d 0 µ1 - µ2 > d 0 µ1 - µ2 ≠ d0
z < -z z > z z <-z/2 & z > z/2
µ1 - µ2 < d 0 µ1 - µ2 > d 0 µ1 - µ2 ≠ d0
t < -t t > t t <-t/2 & t > t/2
; v = n1 + n2 - 2
Jika 1 = 2 unknown
sp =
H1
(n1 -1)s12 +(n2 -1)s22 n1 + n2 - 2
Contoh:
Sebuah pelajaran A diberikan pd 12 siswa dgn metode biasa, nilai ujian rata-rata = 85 dan simpangan baku 4. Kelas lain 10 siswa dengan metode komputer, nilai ujian 81 dan simpangan baku 5. Uji hipotesis bahwa kedua metode adalah sama, dgn taraf nyata 10% jika diasumsikan kedua populasi menyebar normal dengan ragam sama ! Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
8
4
•
Jawab : µ1 dan µ2 = rata-rata nilai semua siswa
1. H0 : µ1 = µ2 ; H1 : µ1 ≠ µ2 2. 3. 4. 5.
Taraf uji () = 0.10 n1 = 12 ; n2 = 10 nilai t statistik uji v = 12+10 – 2 = 20 Menentukan daerah kritis t 0.05 = 1.725 /2 Hitung nilai statistik uji t
t=
Daerah Penerimaan H0
(x1 - x 2 ) - d0
µ= 25
s p ( 1 n1 ) + ( 1 n2 )
sp =
-1.725
(n1 -1)s12 +(n2 -1)s22 (11 . 16)+(9 . 25) = = 4.478 n1 + n2 - 2 20
Sehingga : t =
/2
(85 - 81) - 0 4.478 ( 112 ) + ( 110 )
1.725
Nilai kritis
= 2.07
Karena nilai uji statistik t = 2.07 jatuh pada daerah penolakan H0, sehingga H0 ditolak dan H1 diterima.
9
Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
5. Uji Hipotesis Proporsi : Sampel Besar • Sering dijumpai uji hipotesis tentang proporsi populasi • Pada populasi yang besar, digunanakan statistik uji z
z=
p-p σp
dimana
σp =
p .q n
• Contoh:
Suatu obat penenang ketegangan syaraf diduga hanya 60% efektif . Kemudian dicobakan obat baru terhadap 100 pasien yang diambil acak, dan menunjukkan bahwa obat baru tersebut 70% efektif. Apakah ini menunjukkan bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru tersebut lebih efektif daripada obat yang sekarang beredar? Gunakan taraf uji nyata 5% ! • Jawab : p-p 0.7 - 0.6 1. H0 : p = 0.6 ; H1 : p > 0.6 z= = = 2.04 σp (0.6 * 0.4) 2. Taraf uji () = 0.05 100 3. n = 100 nilai z statistik uji 6. Keputusan : Tolak H0 karena nilai z 4. Menentukan daerah kritis z 0.05 > 1.65 jatuh pada daerah kritis dan 5. Hitung nilai statistik uji z
Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
disimpulkan bahwa obat baru tsb memang lebih efektif
10
5
6. Pengujian Selisih Dua Proporsi • Pada sampel besar uji hipotesis selisih dua proporsi populasi, digunanakan statistik uji z
z=
p1 - p2 p .q [
1 n1
+
1 n2
]
; dimana
p=
x1 + x2 n1 + n2
• Contoh:
Suatu pemungutan suara hendak dilakukan diantara penduduk suatu kota dan sekitarnya thd rencana pembangunan GOR di pinggiran kota. Diambil contoh acak, diperoleh 120 diantara 200 penduduk kota dan 240 diantara 500 penduduk sekitar kota, setuju dgn rencana tersebut. Apakah dapat dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yg setuju dgn rencana tsb lebih tinggi dari proporsi penduduk sekitar kota yg menyetujui rencana tsb ? Gunakan taraf nyata 0.025 ! • Jawab : 1. H0 : p1 = p2; H1 : p1 > p2 2. Taraf uji () = 0.025 3. n1 dan n2 besar nilai z statistik uji 4. Menentukan daerah kritis z 0.025 > 1.96 11
Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
5. Hitung nilai statistik uji z
z=
p=
p1 - p2 p .q [
1 n1
+
120 + 240 200 + 500
Oleh karena itu z =
1 n2
]
; dimana
p=
x1 + x2 n1 + n2
x = 0.51 ; p 1 = n 11 = 120 200 = 0.60 0.60 - 0.48 1 1 0.51 * 0.49 [ 200 + 500 ]
;
x p 2 = n 22 = 240 500 = 0.48
= 2.90
6. Keputusan : karena nilai z hitung jatuh pada daerah kritis, maka tolak H0, dan kita setuju bahwa proporsi penduduk kota lebih tinggi dari proporsi penduduk sekitar kota
yg menyetujui rencana tsb
Pengujian Hipotesis ~ Statistika 2
12
6
