Teori dan Komputasi Numerik Diferensial dan Integral, oleh Julan Hernadi Hak Cipta © 2015 pada penulis GRAHA ILMU Ruko Jambusari 7A Yogyakarta 55283 Telp: 0274-889398; Fax: 0274-889057; E-mail:
[email protected] Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. ISBN: 978-602-262-419-6 Cetakan Pertama, tahun 2015
Semua informasi tentang buku ini, silahkan scan QR Code di cover belakang buku ini
Didedikasikan untuk: Alm. Ahmad Ismail (ayah) dan Hj Konaria (ibu) Sri Purnama Surya (isteri), Ahmad Zhafir HERNADI (anak) Herri Gusmedi, Aprillina, dan Yuniarni (adik-adik)
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, penulis bersyukur kepada Allah SWT karena hanya atas petunjuk dan kekuatan dari Nya buku ini dapat diselesaikan. Diferensial dan Integral adalah dua topik dalam matematika yang sangat akrab, bukan hanya bagi komunitas internal matematika tapi juga bagi pengguna matematika dari berbagai disiplin ilmu. Hal ini dikarenakan banyak sekali permasalahan dunia nyata yang dapat dikuantifikasi dan dianalisis dengan menggunakan diferensial dan integral. Banyak sekali laporan penelitian yang mengambil topik diferensial dan integral sebagai landasan teori. Sitasi teoritis kedua topik ini biasanya diambil dari buku kalkulus praktis tanpa mempertimbangkan syarat-syarat perlu yang harus dipenuhi oleh sebuah permasalahan penelitian yang terkait dengan integral atau diferensial. Asumsi dasar yang seharusnya dipenuhi sebelum menerapkan teori pada diferensial dan integral terkadang diabaikan begitu saja seperti asumsi kekontinuan, keterdiferensialan, keterbatasan, keterintegralan, kemonotonan, dan asumsi khusus lainnya. Metoda apapun yang digunakan membutuhkan kepastian bahwa asumsi dasar sudah terpenuhi dulu sebelum metoda diterapkan. Inilah substansi pendekatan ilmiah dalam kajian ilmu. Aspek lain yang tak kalah menariknya adalah implementasi numerik kalkulus diferensial dan integral. Banyak pengguna melakukan implementasi numerik terkait kedua topik ini langsung dari toolbox yang telah disediakan oleh program aplikasi tanpa mempertimbangkan landasan teoritis yang relevan. Bahkan lebih tragis lagi banyak pengguna yang tidak dapat membedakan nilai aproksimasi dan nilai eksak sebuah integral atau diferensial. Kalaupun tahu, pengguna umumnya lebih fokus pada nilai aproksimasi tanpa menghiraukan kemungkinan error yang terjadi. Karena umumnya nilai eksak tidak diketahui maka nilai aproksimasi yang digunakan tanpa diketahui estimasi error dapat berakibat fatal. Sebagai contoh menghitung aproksimasi derivatif terhadap data hasil pengukuran lapangan dengan menggunakan formula selisih atau beda hingga dapat menyesatkan. Hal ini dikarenakan formula ini sangat sensitif terhadap perubahan kecil atau gangguan data input, yaitu gangguan kecil pada data input dapat menyebabkan kesalahan sangat besar pada aproksimasi derivatifnya. Keadaan ini dapat terjadi pada data hasil pengukuran lapangan dikarenakan adanya kontribusi noise yang sulit dihindari baik dikarenakan faktor gangguan alam maupun kemampuan alat ukur yang digunakan. Buku ini memberikan pembahasan lengkap dari dua aspek berbeda pada topik diferensial dan integral, vii
integral atau diferensial. Kalaupun tahu, pengguna umumnya lebih fokus pada nilai aproksimasi tanpa menghiraukan kemungkinan error yang terjadi. Karena umumnya nilai eksak tidak diketahui maka nilai aproksimasi yang digunakan tanpa diketahui estimasi error dapat berakibat fatal. Sebagai contoh menghitung aproksimasi derivatif terhadap data hasil pengukuran lapangan dengan menggunakan formula selisih atau beda hingga dapat menyesatkan. Hal ini dikarenakan formula ini sangat sensitif terhadap perubahan kecil atau gangguan data input, yaitu gangguan kecil pada data input dapat menyebabkan kesalahan sangat besar pada aproksimasi derivatifnya. Keadaan ini dapat terjadi pada data hasil pengukuran lapangan 2 dan Komputasi Numerik Integral danalam Diferensial viii Kata Pengantar dikarenakan adanya kontribusi noise yang Teori sulit dihindari baik dikarenakan faktor gangguan maupun kemampuan alat ukur yang digunakan. Kata Pengantar y = f(x) y = f(x) senantiasa berada padapembahasan tempat yanglengkap layak di sisiNya. Buku ini memberikan dari dua aspek berbeda pada topik diferensial dan integral, f(x)-f(c) slope = x-c vii yaitu aspekpenulis teoritismenyadari dan komputasi numerik. Dari aspek teoritis, setiap konsep dimulai dari filosofi dan Akhirnya, bahwa(x,f(x)) naskah ini masih banyak kekurangannya. Oleh karena itu, segala formalisasi deduktif dalam bentuk definisi dan selanjutnya diuraikan teori-teori dalam bentuk teorema kritik dan saran untuk perbaikan pada penerbitan edisi berikutnya sangat diharapkan dari para pembaca dan bukti Saran serta contoh penerapannya. Banyak selama ini sering digunakan sehari-hariPenulis dalam f(x)-f(c) metoda sekalian. dan kritik dapat disampaikan melaluiyang email penulis
[email protected]. slope = f'(c) (c,f(c)) kalkulus diferensial dansekali integral dijustifikasi dalam bentuk teorema berikut buktinya dalam buku ini. sangat berterima kasih kepada (c,f(c)) penulis yang telah memberikan koreksi x-c asisten dan para mahasiswa terhadapmerujuk kesalahan yang ada selama menggunakan draft buku inidiharapkan dalam perkuliahan. Dengan langsung kepada teori penggunaan kedua topik ini xyang sesungguhnya maka x c c lebih tepat sasaran dan kesimpulan yang diambil dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah.April Dari 2014 aspek Yogyakarta, Gambar 1.1:dimulai Ilustrasi grafis derivatif komputasi numerik, pembahasan dalam buku dari analisis metoda yang akan digunakan.Penulis Syarat perlu agar sebuah metoda aproksimasi dapat diterapkan dan estimasi errornya diberikan dalam bentuk teorema berikut pembuktiannya. Implementasi numerik dilakukan dengan menggunakan MATLAB di 1.2 Pengertian Derivatif mana m-file (kode MATLAB) yang digunakan dirancang sendiri sehingga dapat dimodifikasi sesuai kebu-
tuhan. Untuk optimalnya penggunaan buku ini, pembaca diharapkan memiliki keterampilan MATLAB Sebuah garis lurus dikarakteristisasi oleh gradien atau slope. Gradien merupakan ukuran kemiringan garis, sehingga dapat memahami semua m-file yang ada dan dapat memodifikasinya sesuai kebutuhan masingsemakin besar gradien semakin tegaklah garis tersebut. Banyak bentuk dalam dunia nyata yang dapat masing. Pada bagian lampiran diberikan topik Pengenalan MATLAB sebagai materi latihan awal bagi direpresentasikan dengan garis lurus, misalnya kemiringan tebing, jalan raya menurun atau menanjak. pembaca yang belum menguasai MATLAB dengan baik. Bila garis dibayangkan sebagai seluncuran maka semakin tegak semakin cepat melucurnya sebuah benda. Buku hanya komputasi numerik pada diferensial dan nilai fungsi di integral, titik x0 , tetapi maka Bila yini = tidak `(x) = mx membahas + a adalahmasalah persamaan garis lurus dan standar `(x0 ) sebagai juga masalah-masalah kritis dan topik-topik relatif berubah baru. Masalah sensitivitas aproksislopemenyajikan m mengatakan kepada kita tentang seberapa cepat yang nilai fungsi di sebuah titik x0 tersebut. masi derivatif suatu numerik. Topik baru dengan dalam perhiSemakin besardiilustrasikan slope semakindengan cepat jelas fungsidalam berubah di eksperimen titik tersebut. Bila dihubungkan kurva (c) tungan derivatif algoritma automatisasi diferensial (AD) diperkenalkan ide dasar merupakan gradien tali lengkung seperti yaitu diberikan pada diferensial Gambar 1.1atau (panel kiri), maka slope f (x)−f x−c dan implementasi numeriknya. Metoda ekstrapolasi Richardson dalam derivatif. busur yang melalui titik (c, f (c)) dan (x, f (x)). Tali busur ini diterapkan disebut juga garisaproksimasi secant. Ketika titik
Pada implementasi numerik integral dibahas metoda standar seperti x digerakkan terus mendekati c makatidak pada hanya akhirnya diperoleh garis singgung kurvamidpoint, y = f (x)trapesium di titik c dan Simpson, juga berbagai powerful disebut seperti juga integral Gauss dan Jadi Romberg. seperti terlihattetapi pada diperkenalkan Gambar 1.1 (panel kanan). metoda Garis singgung garis tangen. slope Metoda adaptasi yaitu sebuah metoda formula mana gridnya didasarkanx gradien garis singgung kurva di titikkuadratur c. Inilah yang konsep dasarpengambilan derivatif. Kalau diasumsikan f 0 (c) adalah f (x)−f (c) pada kelakuan fungsi juga dibahas dalam ini. Metoda ini sangat digunakan dalam bidang dapat diinterpretasikan sebagai waktu tempuh sebuah benda dan buku f (x) jarak tempuhnya maka relevan x−c aplikasi. sebagai kecepatan rerata benda tersebut dalam rentang [c, x]. Jadi f 0 (c) merupakan kecepatan benda tersebut saat cocok c. Buku ini di sangat digunakan sebagai buku teks wajib untuk matakuliah analisis real, analisis/metoda numerik, dan kalkulus dapat pula dijadikan sebagaioleh referensi atau tugas Secara intuitif, derivatifpengayaan. merupakanBuku nilai ini atau informasi yang diberikan sebuahpenelitian fungsi tentang rataakhir yang melibatkan diferensial dan integral baik dari aspek teoritis maupun aspek komputasi numerik rata perubahan nilai fungsi di dalam sebuah interval. Semakin besar nilai derivatif maka semakin cepat dengan komputer. Mahasiswa program studi derivatif matematika MIPA sebagai dan pendidikan nilai fungsi berubah. Secara formal, definisi diberikan berikut.matematika FKIP sangat dianjurkan memiliki buku ini guna membuka cakrawala keilmuan matematika dan komputasi lebih luas.
Karena spektrumI integral dan interval, diferensial maka digunakan Definisiluasnya 1.1. Misalkan ⇢ R suatu dan f : buku I −→ini R,dapat c 2 R. Bilanganoleh real semua L 2 Rmahasiswa dikatakan bidang sains dan keteknikan, baik jenjang sarjana (S-1) maupun jenjang magister (S-2). derivatif f di titik c jika diberikan sebarang " > 0 maka terdapat δ > 0 sehingga berlaku Pada kesempatan ini penulis tidak lupa menyampaikan terima dan penghargaan kepada istri tercinta f (x)kasih − f (c) x 2 I dan 0 < |x − c| < δ −→ − L < ". (1.2.1) Sri Purnama Surya dan ananda tersayang Ahmad Zhafir Hernadi x − c atas dorongan semangat dan doa yang
diberikan selama ini. Kepada ibunda Hj Konaria dan adik-adik: Herri Gusmedi, Aprillina dan Yuniarni, Dalam kasus ini dikatakan f terdiferensial di c, ditulis f 0 (c) = L. penulis menyampaikan penghargaan dan terima kasih atas doa dan harapan kalian selama ini. Kepada ix ayahnda tercinta Ahmad Ismail yang telah kembali menghadap Sang Khalik, penulis selalu berdoa semoga viii
akhir yang melibatkan diferensial dan integral baik dari aspek teoritis maupun aspek komputasi numerik dengan komputer. Mahasiswa program studi matematika MIPA dan pendidikan matematika FKIP sangat dianjurkan memiliki buku ini guna membuka cakrawala keilmuan matematika dan komputasi lebih luas. Karena luasnya spektrum integral dan diferensial maka buku ini dapat digunakan oleh semua mahasiswa bidang sains dan keteknikan, baik jenjang sarjana (S-1) maupun jenjang magister (S-2). Pada kesempatan ini penulis tidak lupa menyampaikan terima kasih dan penghargaan kepada istri tercinta Sri Purnama Surya dan ananda tersayang Ahmad Zhafir Hernadi atas dorongan semangat dan doa yang ix Kata Pengantar Kata Pengantar diberikan selama ini. Kepada ibunda Hj Konaria dan adik-adik: Herri Gusmedi, Aprillina dan Yuniarni, Kata ini. Pengantar penulis menyampaikan penghargaan dan terima kasih atas doa dan harapan kalian selama Kepada senantiasa berada pada tempat yang layak di sisiNya. ayahnda tercinta Ahmad Ismail yang telah kembali menghadap Sang Khalik, penulis selalu berdoa semoga
viii banyak kekurangannya. Oleh karena itu, segala senantiasa berada pada tempat yang naskah layak diini sisiNya. penulis bahwa masih ngannya. OlehAkhirnya, karena itu, segalamenyadari dan saran untuk perbaikan padanaskah penerbitan edisi berikutnya sangat diharapkan paraitu, pembaca gat diharapkankritik dari para pembaca Akhirnya, penulis menyadari bahwa ini masih banyak kekurangannya. Olehdari karena segala
sekalian. dan kritik dapat pada disampaikan melalui penulis
[email protected]. Penulis
[email protected]. Penulis kritik danSaran saran untuk perbaikan penerbitan edisi email berikutnya sangat diharapkan dari para pembaca sangat berterima kasihkritik sekalidapat kepada asisten danmelalui para mahasiswa penulis yang telah memberikan koreksi ulis yang telah memberikan koreksi sekalian. Saran dan disampaikan email penulis
[email protected]. Penulis
kesalahan yangsekali ada selama draft buku ini penulis dalam perkuliahan. am perkuliahan.terhadap sangat berterima kasih kepada menggunakan asisten dan para mahasiswa yang telah memberikan koreksi Yogyakarta, April 2014 Yogyakarta, April 2014 yang ada selama menggunakan draft buku ini dalam perkuliahan. terhadap kesalahan Penulis Penulis Yogyakarta, April 2014 Penulis
ix ix
