Radboud Universiteit Nijmegen
Eindopdracht Historical Aspects of Classroom Mathematics
π project
A0
A
H0
B
H
B0
G0
O
C
G
C0
F0
D
F
D0
E
Auteurs: Lean Arts Mark Coumans Stefanie Romme 21 juni 2013
E0
1
Inhoudsopgave 1 Inleiding
4
2 Het lessenplan
7
3 Geschiedenis van π
9
3.1
Benaderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Constructies met passer en latje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4 Beschrijving van de lessen
12
4.1
Les 1: Herhaling algemene meetkundige kennis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.2
Les 2: Het construeren van een veelhoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.3
Les 3: Het benaderen van π met behulp van een touw . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.4
Les 4: Het maken van veelhoeken in en buiten cirkels . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.5
Les 5: Het opstellen van algemene formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.6
Les 6: Andere benaderingen van π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5 Bijlagen
24
5.1
Constructie vierkant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.2
Constructie bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.3
Werkblad les 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.4
Werkblad les 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.5
Huiswerk les 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.6
Werkblad les 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2
3
Hoofdstuk 1
Inleiding De angst voor π. Wanneer leerlingen op de middelbare school voor het eerst met π (uit te spreken als pi) in aanraking komen, schrikken zij hiervan. Het rekenen met π brengt soms grote kopzorgen met zich mee, terwijl dit volgens ons nergens voor nodig is. We willen leerlingen laten zien waar π vandaan komt. Hierbij leggen we het verband met de cirkel. Verder willen we dat leerlingen gaan inzien dat π niet gelijk is aan 3,14, maar echt een getal met hele speciale eigenschappen is. Doelstellingen: • Leerlingen koppelen het getal π aan de cirkel; • Leerlingen zien het getal π niet als 3,14. De doelgroep die we voor deze lessenreeks in gedachten hebben is vwo-4, zowel leerlingen van wiskunde A als wiskunde B. Deze leerlingen zijn bekend met π als onderdeel van formules die te maken hebben met cirkels. Daarnaast hebben de leerlingen de bagage die we als voorkennis veronderstellen en zouden ze in staat moeten zijn mee te gaan in de abstracte denkwijze die tijdens het project vereist is. Docent We zouden willen dat de docent, behalve door het lezen van Hoofdstuk 3 over de geschiedenis van π, zich meer in het onderwerp verdiept door bijvoorbeeld de genoemde literatuur te raadplegen. Dit omdat het belangrijk is dat de docent algemene kennis over het onderwerp heeft [5, p.206]. Deze kennis hoeft hij niet letterlijk met zijn leerlingen te delen, maar kan hij wel effectief gebruiken om de leerlingen van niet geheel onbelangrijke aanvullende (historische) informatie te voorzien. In het lesplan is per les aangegeven welke informatie volgens ons aan de leerling overgedragen moet worden. We vinden het belangrijk dat leerlingen zelf actief met het onderwerp bezig zijn en zelfstandig of in kleine groepjes ontdekkingen doen. De rol van de docent is om dit proces te sturen. Naast de inhoudelijke informatie over π willen we leerlingen met deze lessen laten kennismaken met het wetenschappelijk benaderen van een probleem. Dit onderwerp leek ons daarvoor bijzonder geschikt, omdat het ook laat zien hoe het bedrijven van wetenschap afhangt van de al 4
beschikbare kennis. Wij leven in een tijdperk waarin het gebruik van computers en rekenmachines heel normaal is, terwijl de wiskunde die we vandaag de dag gebruiken grotendeels gebaseerd is op de tijd dat de computer/rekenmachine nog buiten beeld was. Mede hierdoor zien wij wiskunde als een heel zuivere wetenschap, waarin geschiedenis een belangrijke rol speelt. Deze geschiedenis helpt de leerling om de huidige kennis in een groter perspectief te zien. Oude ontdekkingen en bewijzen lijken voor ons triviaal, maar gezien de tijd waarin ze ontstaan zijn, waren het grote stappen voor de wiskunde. Dit geldt natuurlijk niet alleen voor wiskunde, maar het is een manier van kijken naar wetenschap in het algemeen. Wij vinden dat het bij de taak van de docent hoort om deze kijk op de wereld aan alle leerlingen over te dragen, en in het bijzonder aan de leerlingen die mogelijk zullen doorstromen naar het wetenschappelijk onderwijs. De leerling gaat dus wetenschappelijk aan het werk met behulp van een methode uit de geschiedenis. Dit heeft wat weg van een onderzoek dat gebaseerd is op een historische tekst [5, p.215]. Leerling De leerling zal in zes lessen van ieder vijftig minuten een benaderingsmethode voor het getal π leren. Dit doet de leerling door de omtrek van de cirkel met de omtrek van veelhoeken te benaderen. Dit wordt gedaan door veelhoeken in de eenheidscirkel te tekenen, maar ook door veelhoeken om de eenheidscirkel heen te tekenen. Hierbij wordt ge¨eist dat de veelhoek de eenheidscirkel raakt. De omtrek van de cirkel ligt dan tussen de omtrekken van beide veelhoeken in. Hieronder is een voorbeeld te zien van een vierkant in een cirkel en een vierkant om een cirkel heen.
Figuur 1.1: Vierkant in en om een cirkel. Met behulp van dit soort constructies hopen we dat leerlingen de cirkel zullen koppelen aan π en daarmee een beter gevoel krijgen over de formules voor omtrek en oppervlakte van de cirkel. We vinden het niet per se noodzakelijk dat leerling formules uit hun hoofd leren, maar door de formules beter te bekijken verwachten we wel dat leerlingen beter begrijpen waar ze vandaan komen en als gevolg daarvan beter kunnen onthouden hoe de formule eruit ziet. In dit project zijn leerlingen een aantal aaneengesloten lessen bezig met opdrachten rondom de cirkel en de relatie met π waardoor we hopen dat het voor leerlingen duidelijk wordt dat deze aan elkaar verbonden zijn. Daarnaast is het een mooie combinatie van meerdere soorten wiskunde. Er wordt meetkunde gebruikt om π te benaderen met formules. Dit maakt dat leerlingen ook meer samenhang tussen verschillende aspecten van de wiskunde gaan zien [5, p.203]. We ervaren dat veel leerlingen, mogelijk vanwege de angst voor het onbekende, π als een soort Pavlov-reactie vervangen door het getal 3,14. In een groot deel van de situaties levert dit voor de leerling nauwelijks problemen op, omdat vaak met getallen met weinig decimalen vermenigvuldigd moet worden. Wij willen echter dat leerlingen zich ervan bewust zijn dat het niet erg nauwkeurig is om deze vervanging altijd klakkeloos toe te passen. Er zijn ontzettend veel decimalen van π bekend, de meesten daarvan zullen leerlingen in de praktijk niet nodig hebben, maar 5
we willen wel dat ze zich bewust zijn van het feit dat wanneer er nauwkeurigere getallen aan te pas komen en ook meerdere decimalen nodig zijn om een nauwkeurig resultaat te krijgen. Dit heeft weer te maken met de wetenschappelijke aanpak, waar leerlingen in de toekomst mogelijk meer mee te maken gaan krijgen. In dit project wordt ruimschoots aandacht besteed aan de decimale ontwikkeling van π, daarmee verwachten we de connectie tussen π en 3,14 iets losser te maken. Daarnaast is hier ook een mooie terugkoppeling mogelijk naar de geschiedenis. Vroeger waren er nog geen computers die vele decimalen van π konden berekenen en moest alles uit het hoofd gebeuren. Mede daardoor heeft het lang geduurd voordat er zoveel decimalen van π zijn als dat er nu bekend zijn [5, p.206]. Door leerlingen in deze lessenreeks intensief bezig te laten zijn met π verwachten we uiteindelijk dat ze π een minder eng getal zullen vinden. Daarnaast hopen we als auteurs dat de docent erin slaagt de schoonheid die wij zien in wiskunde, en in wetenschap in het algemeen, over te brengen aan de leerling. Gekozen aanpak In de hieropvolgende hoofdstukken is te vinden hoe de opzet en uitwerking van de lessenreeks eruitziet. Wij denken dat de docent veel winst kan halen uit de werkbladen, de bijgevoegde filmpjes en de lopende leerlijn in het project. Hetgeen wat de leerlingen moeten doen hebben zij allemaal ooit al in losse stukken gehad, maar door onze opbouw komen de leerlingen bij een resultaat wat ze anders niet zouden bereiken. Hier hebben wij gebruik gemaakt van historische handvaten, zoals de methode van Archimedes. De docent is hierin alleen van belang om het proces te begeleiden [5, p.216]. Daarnaast gaan de leerlingen veel aan het werk met een geodriehoek en passer, maar ook ´e´en les met een touwtje en stoepkrijt. Deze laatste methode lijkt op hoe ze vroeger ook een cirkel maakten [5, p.227]. Wij hebben er niet voor gekozen om leerlingen met de computer op het internet te laten zoeken. Wij zien hier geen meerwaarde in bij dit project.
6
Hoofdstuk 2
Het lessenplan We kiezen hier voor de opzet van een lessenreeks. Dit doen wij omdat de stof op deze manier gemakkelijk om te zetten is naar iedere andere gewenste lessoort. Het lijkt ons ook leuk om met leerlingen een project te doen over π, waar ook andere vakken bij betrokken kunnen worden. De hieronder beschreven leidraad kan dan ook aangehouden worden, waarbij de scheiding tussen de lessen meer zal wegvallen. De lessenreeks zal de volgende opzet hebben: Les 1) Herhaling algemene meetkundige kennis • Het construeren van een hoek van 90◦ ; • Het construeren van een gelijkzijdige driehoek, en dus van een hoek van 60◦ ; • Het construeren van een bissectrice. Doel: De leerling kan de bovenstaande drie constructies uitvoeren en weet waarom deze constructies kloppen. Les 2) Het construeren van een veelhoek • De aandacht zal gevestigd zijn op een 3 · 2n -hoek en een 4 · 2n -hoek, met n een natuurlijk getal groter dan 0. Doel: De leerling kan een 3 · 2n -hoek en een 4 · 2n -hoek construeren. In het bijzonder een zes- en achthoek. Les 3) Het benaderen van π met behulp van een touw • De leerlingen gaan naar buiten om in een groepje cirkels te tekenen met behulp van een stuk touw, een stuk krijt en een houten stokje. Zij zullen daarna proberen de omtrek en de diameter van de cirkel te meten met behulp van een stuk touw. Hieruit komt de eerste benadering van π. Doel: De leerling kan met behulp van de bovenstaande hulpmiddelen tekenen en meten.
7
Les 4) Het maken van veelhoeken in en buiten cirkels • De les zal begonnen worden met het introduceren van π als de verhouding tussen de omtrek van cirkel en de diameter. In deze les zullen de leerlingen π benaderen door verhouding te bekijken van de omtrek van veelhoeken ten opzichte van hun middellijn. Hiervoor gaan leerlingen deze les veelhoeken in en buiten cirkels construeren. Zo krijgen leerlingen uiteindelijk een onder- en bovengrens voor π. Doel: De leerling kan een in- en uitwendige achthoek construeren. Les 5) Het opstellen van algemene formules • Voor de veelhoeken die de vorige les geconstrueerd zijn wordt een formule bepaald die de lengte van de omtrek van de veelhoek geeft. De leerling gaat dit doen voor een 3 · 2n -hoek en 4 · 2n -hoek waar eerst n = 1 en n = 2 wordt bekeken en daarna n = 10. Net zo kijkt de leerling ook naar de lengte van de middellijn en uiteindelijk komt de leerling bij een benadering van π. Doel: De leerling weet de formule voor de omtrek van een in- en uitwendige n-hoek en de hieruit afgeleide benaderingsfunctie voor π. Les 6) Afsluiting • De laatste les zal er extra aandacht besteed worden aan andere benaderingen van π. Er worden verschillende formules behandeld en er wordt gekeken naar de convergentie van deze formules. Daarnaast komen de begrippen irrationaal en transcedent aan bod. Doel: De leerling weet dat er verschillende formules zijn die π benaderen en kan benoemen waarom de ene formule wenselijker is dan de andere. Het is van belang dat de leerlingen echt ge¨ınteresseerd raken in π. Hiervoor denken wij winst te kunnen halen uit de vele filmpjes en andere dingen dingen over π die op internet te vinden zijn. Zo zou iedere les gestart kunnen worden met een filmpje of een liedje. In de beschrijving van de lessen zijn enkele suggesties voor filmpjes en liedjes te vinden. De opdrachten voor de leerlingen inclusief uitwerkingen staat beschreven in Hoofdstuk 4. Voor de docent is het niet de bedoeling om dit simpelweg voor te kauwen. De docent moet proberen de leerlingen zelf te laten nadenken. Hierdoor kan het zijn dat leerlingen het anders aanpakken dan beschreven staat. Laat dit gebeuren als docent, want er is nooit ´e´en goede uitwerking. De bijgevoegde uitwerking is dus slechts een houvast voor de docent.
8
Hoofdstuk 3
Geschiedenis van π Dit hoofdstuk is bedoeld als achtergrondinformatie voor de docent. Bij de eerste ori¨entatie op de lessenreeks kan de docent dit hoofdstuk overslaan. We vinden dat de docent zich, voordat de lessenreeks van start gaat, meer moet verdiepen in het onderwerp om er voor te zorgen dat de docent boven de te behandelen lesstof staat [5, p.206]. Dit hoofdstuk is daarvoor een aanzet en samen met de genoemde literatuur verwachten we dat de docent een globaal overzicht zal krijgen. Tegenwoordig schrijft men π voor de halve omtrek van de eenheidscirkel, maar dit is lange tijd niet zo geweest. De eerste keer dat deze notatie in geschriften genoemd is was in 1706 in het boek A New Introduction to Mathematics van William Jones [1, p.108]. Pas toen de bekende wiskundige Leonard Euler dit van Jones overnam werd de notatie algemeen gebruikt.
3.1
Benaderingen
Zoals tot nu toe bekend is lijkt de eerste poging om het getal π te benaderen te vinden in de Rhind-papyrus. Dit is een Egyptisch geschrift dat zo’n 20 eeuwen voor Christus is geschreven. 2 Uit het document kunnen we opmaken dat de Eyptenaren werkten met π = 16 9 ≈ 3,1605 [4, p.1]. Op een Babylonisch kleitablet uit ongeveer dezelfde tijd werd het getal 22 8 = 3,125 genoemd als verhouding tussen de omtrek en straal van een cirkel [1, p.677]. Ook in de Bijbel [1 Koningen 7:23] komt de verhouding ter sprake: een bekken van gegoten brons, vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el. Dit geeft de benadering π = 3. Dit is dus minder nauwkeurig dan de eerder genoemde benadering, hoewel het later geschreven werd. De eerste wiskudige aanpak voor het benaderen van π werd gegeven door Archimedes (287-212 B.C.) [4, p.1]. Hij schreef Over het meten van een cirkel, een document dat bestaat uit drie proposities. Het is onduidelijk of het document dat gevonden is origineel en compleet is. Het vermoeden is dat het onderdeel was van een groter document [3, p.222]. De derde propositie zegt het volgende over de cirkel: 1 10 3+ · diameter < omtrek < 3 + · diameter. 71 7 De manier waarop Archimedes deze benadering heeft afgeleid is in feite hetzelfde als de constructie die leerlingen uitvoeren in les 4. Hij berekende de omtrek van de ingeschreven en omgeschreven 9
zeshoek en door bissectrices te nemen deed hij hetzelfde voor de 12, 24, 48 en 96-hoek. In [3] is in de eerste sectie van hoofdstuk 6 het bewijs van Archimedes gegeven. Echter, zoals in [4] op pagina 3 is opgemerkt is het voor ons mogelijk een eenvoudiger bewijs te geven. Dit komt omdat we gebruik kunnen maken van goniometrie, terwijl Archimedes het moest doen met elementaire Euclidische meetkunde. Wij raden de lezer aan om [4] pagina 3-4 te raadplegen voor het bewijs, maar we benadrukken dat het afwijkt van de stijl van het oorspronkelijke bewijs. Impliciet is duidelijk dat de methode van Archimedes herhaald kan worden om een betere benaderingen te vinden en dat het nemen van de limiet zal leiden tot de waarde van π. Toendertijd was het limietbegrip daarvoor echter nog niet voldoende ontwikkeld. Soortgelijke methodes maakten allen gebruik van het iteratief bepalen van π, bij iedere stap werd de benadering beter. Vi`ete was de eerste wiskundige die het getal π uitdrukte als een oneindig product: v s r s r u r u 2 1 1 1 1 t1 1 1 1 1 = · + · + + · ... π 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Dit gebeurde in 1593 en was het eerste oneindige product in de geschiedenis van de wiskunde ([4], p.44-45). In 1655 kwam Wallis met een oneindig product waarin slechts rationale getallen voorkwamen: 2 2 2 4 4 6 6 = · · · · · · ... π 1 3 3 5 5 7 Dit was een interessante ontwikkeling, aangezien het bepalen van wortels toendertijd een tijdrovende klus was [4, p.48]. Later werden oneindige reeksen gevonden, waarbij π werd geschreven als een som met oneindig veel termen. Meer hierover zal in de laatste les behandeld worden. Het is volgens ons van belang dat leerlingen zich realiseren dat de decimale ontwikkeling van π wel benaderd kan worden, maar dat het nooit helemaal kan worden uitgeschreven omdat deze oneindig lang is. Voor de lezer willen we hieraan toevoegen dat π een irrationaal getal is; het kan niet worden geschreven als eindige breuk. Dat betekent dat de cijfers achter de komma telkens verschillen en er geen patroon te herkennen is. Het bewijs dat π irrationaal is werd in 1761 gegeven door Lambert [1, p.141]. In 1882 bewees Lindemann als eerste dat π transcedent is [1, p.194]. Dat betekent dat er geen polynoom met gehele co¨effici¨enten bestaat waarvan π een nulpunt is. Een gevolg hiervan is dat het niet mogelijk is een recht lijnstuk van lengte π te construeren waarbij alleen passer en latje gebruikt worden. Er wordt aangenomen dat π een normaal getal is, dat betekent dat in de decimale ontwikkelingen de getallen 0 tot en met 9, en iedere combinatie daarvan, even vaak voorkomen. Daarvoor zijn statistische testen gedaan om de tot nu toe bepaalde decimale ontwikkeling na te gaan. Deze geven een positief resultaat, maar omdat de ontwikkeling oneindig lang doorloopt is het geen net bewijs.
3.2
Constructies met passer en latje
Van de oude Grieken tot aan de negentiende eeuw waren er drie wiskundige problemen die een grote rol hebben gespeeld:
10
1) Kwadratuur van de cirkel; 2) Verdubbeling van de kubus; 3) Driedeling van de hoek. De vraag was of er constructies waren die slechts gebruik maakten van passer en latje om deze problemen op te lossen. Voor de lezer die niet of nauwelijks bekend is met bovenstaande problemen raden we aan om hoofdstuk 4 van [4] te raadplegen. Het oplossen van deze probemen komt neer op het bepalen van getallen die toendertijd niet √ gebruikt werden. Voor de kwadratuur van de cirkel is het nodig om over π te beschikken, voor 1 het tweede probleem heeft men 2 3 nodig om de eenheidskubus te kunnen verdubbelen en bij de driedeling van de hoek moet een oplossing worden gevonden voor een polynoom van graad 3. Met onze kennis van de moderne wiskunde lijken de problemen makkelijk op te lossen, maar dit moet worden gezien in een historisch perspectief. De meetkunde zoals die door de Grieken werd bedreven was niet gekoppeld aan getallen en ook aan lengten in constructies werden geen getallen toegekend. Lijnstukken werden vergeleken met een lijnsegment dat √ als eenheid werd gekozen. Daardoor hadden Griekse meetkundigen moeite met getallen als 2, deze was niet te vergelijken √ met de eenheid en werd daarom onderling onmeetbaar genoemd. Men realiseerde zich wel dat 2 te construeren was als diagonaal van het eenheidsvierkant, daarom werden dit soort getallen construeerbaar genoemd. Doordat we nu weten dat het niet mogelijk is een cirkel met gegeven straal te verdubbelen kunnen we zeggen dat π niet construeerbaar is [4, p.131]. Het duurde tot 1837 voordat de onmogelijkheid van de laatste twee problemen werd bewezen, waarbij gebruik werd gemaakt van lineaire algebra. In 1882 werd de onmogelijkheid van de kwadratuur van de cirkel pas bewezen, waarbij meer geavanceerde wiskunde kwam kijken [4, p.129].
11
Hoofdstuk 4
Beschrijving van de lessen Zoals vermeld zal de lessenreeks bestaan uit zes lessen van 50 minuten. Er kan ook voor gekozen worden om hier een project van te maken. Per les zullen we beschrijven wat de bedoeling is.
4.1
Les 1: Herhaling algemene meetkundige kennis
De docent kan de les beginnen met het volgende filmpje: http://www.youtube.com/watch?v= mZ4CP0vTgEE. Wij raden aan om dit filmpje te laten zien tot 7:20 minuten. Het filmpje geeft een korte inleiding over de geschiedenis van π. Hiervan zullen enkele methodes de komende lessen aan bod komen. Leerlingen werken in het algemeen weinig met een passer en hebben moeite met het netjes tekenen van cirkels en rechte lijnen tussen punten. De eerste stap is dat leerlingen hun materiaal goed voor elkaar hebben. De docent zorgt dat alle leerlingen over een potlood, gum, geodriehoek of liniaal en een passer beschikken. Er zijn twee opties om dit te realiseren: De docent zorgt dat hij zelf genoeg materialen voor de leerlingen tot zijn beschikking heeft of hij vertelt de leerlingen de les voor deze lessenreeks dat ze deze spullen bij zich moeten hebben. Verder lijkt het misschien overbodig, maar de docent moet de leerlingen er meerdere malen op wijzen dat er altijd met potlood getekend moet worden en dat de leerlingen met een scherp potlood nauwkeuriger kunnen tekenen. Een aantal meetkundige constructies horen bij de onderbouwstof, maar deze kan bij leerlingen zijn weggezakt. Voor deze lessenreeks is het in elk geval van belang dat leerlingen een hoek van 60◦ en 90◦ kunnen construeren. Dit komt op hetzelfde neer als het construeren van een gelijkzijdige driehoek en een vierkant. De constructie van een gelijkzijdige driehoek, en dus een hoek van 60◦ is hieronder te vinden. Stap 1: Begin met een willekeurige lijnstuk AB dat de basis is van de driehoek; Stap 2: Teken met behulp van je passer twee cirkels met een straal r1 = |AB|, ´e´en met middelpunt A en de ander met middelpunt B. Noem het snijpunt van deze cirkels C; Stap 3: Verbind A en B beide met C.
12
C
A
A
B
B
Figuur 4.2: Stap 3
Figuur 4.1: Stap 1 en 2 Deze constructie klopt omdat geldt: |AB| = |AC| = |BC|.
Hieruit volgt dat de leerling een gelijkzijdige driehoek heeft geconstrueerd en in een gelijkzijdige driehoek is iedere hoek 60◦ . De constructie van een vierkant, en dus een hoek van 90◦ is te vinden in bijlage 5.1. De docent bespreekt deze twee constructies met de leerlingen en geeft ook het bewijs waarom deze constructies correct zijn. Om de volgende les uiteindelijk een zeshoek, achthoek enz. te construeren moet de leerling ook een bissectrice kunnen construeren. Na de uitleg over de constructie van een hoek van 60◦ en 90◦ mag de leerling hiermee zelf aan het werk gaan. Aan het eind van de les behandelt de docent de constructie van een bissectrice. Deze constructie is in bijlage 5.2 te vinden. Vervolgens kan er aan de leerlingen worden gevraagd om een hoek van 7,5◦ te construeren. Laat de leerlingen zelf bedenken dat dit gedaan kan worden door een bissectrice te maken in een hoek van 60◦ die te verkrijgen is uit de constructie van de gelijkzijdige driehoek, daarna een bissectrice te maken in een hoek van 30◦ en vervolgens een bissectrice te maken in de ontstane hoek van 15◦ . Dit is ook een mooi moment om de stap naar de geschiedenis te maken door uit te leggen dat de Grieken zich ook op deze manier hebben afgevraagd wat er allemaal geconstrueerd kan worden door alleen gebruik te maken van een passer en een latje (paragraaf 3.2). Benadruk dat er geen lengten of hoeken gemeten mogen worden. Wanneer er nog tijd over is in deze les, kan er nog gekeken worden naar de onmogelijkheid van driedeling van de hoek. Vertel over dit probleem vanuit de geschiedenis. Tevens kunnen leerlingen eens proberen na te gaan welke hoeken geconstueerd kunnen worden, bijvoorbeeld door te starten met een hoek van 360◦ . Daarna is het een interessante vraag om leerlingen hoeken te laten bedenken die niet geconstrueerd kunnen worden.
4.2
Les 2: Het construeren van een veelhoek
Wanneer gesproken wordt over een veelhoek wordt een regelmatige veelhoek bedoeld. De les begint met een stukje herhaling voor de leerling. Ten eerste controleer je als docent of iedereen het juiste tekengerei bij zich heeft. Verder zorgt de docent ervoor dat hij de constructie van een bissectrice aan de leerling kan laten zien. Deze kan hij voor het begin van de les al op het bord hebben staan. De docent geeft de leerling de volgende twee opdrachten: 13
1. Construeer een driehoek en een vierkant met zijden van lengte 3 cm; 2. Construeer een zeshoek en achthoek. Merk bij punt 1 op dat een lengte geconstrueerd moet worden uit een eenheid, omdat er niet gemeten mag worden. Hiervoor moet een lijn worden getrokken en met behulp van de passer het gewenste aantal eenheden worden uitgezet. Wij vinden het belangrijk dat de docent zich dit realiseert, maar laten het aan de docent over om dit al dan niet te bespreken met de leerlingen. Bij punt 2 kan na een tijdje de tip worden gegeven dat er gebruik gemaakt moet worden van de bissectrice. Voor de algemene uitleg laat de docent zien hoe er van een vierkant een achthoek gemaakt kan worden. Hieronder is uitgewerkt hoe uit een vierkant een regelmatige achthoek gemaakt kan worden. Stap 1: Construeer een vierkant ABCD en teken de beide diagonalen. Noem het snijpunt van de twee diagonalen punt O. Stap 2: Construeer de bissectrices van ∠AOB, ∠BOC. Dit deelt de overstaande hoek ook meteen in twee¨en. Stap 3: Teken een cirkel met middelpunt O en straal OA. Noem de snijpunten met de bissectrices die in stap 2 getekend zijn E,F,G en H. Stap 4: Verbind de punten in de volgende volgorde AF BGCHDE. Er ontstaat zo een regelmatige achthoek. D
C
D O
O A
C
B
A
B
Figuur 4.3: Stap 1 H
Figuur 4.4: Stap 2 H
D
D
C O
E A
G
O
E
B
C
A
F
G B
F
Figuur 4.5: Stap 3
Figuur 4.6: Stap 4
Om te bewijzen dat dit een goede constructie is kan je gebruiken dat alle acht de hoeken bij punt O even groot zijn en de lengten van OA, OB, OC, OD, OE, OF , OG en OH even lang zijn. Volgens ZHZ volgt nu dat het een regelmatige achthoek is.
14
De leerlingen kunnen nu zelf nog eens kijken of het hen lukt om een zeshoek te construeren. Deze constructie gaat op soortgelijke wijze. Als huiswerk wordt opgegeven dat de leerlingen een twaalfhoek construeren. Hierbij zou de hint gegeven kunnen worden dat het handig is om een bissectrice en zeshoek te gebruiken.
4.3
Les 3: Het benaderen van π met behulp van een touw
Start de les met het bespreken van de constructie van de twaalfhoek. Dit kan snel en overzichtelijk door gebruik te maken van Geogebra. De opdracht van deze les is om op het schoolplein cirkels te tekenen met een zekere diameter. Hiervan moeten de leerlingen de omtrek en de oppervlakte bepalen met behulp van een touw en door middel van het tellen van tegels. De docent verdeelt de klas voor deze opdracht in drietallen. Het lijkt ons handig als de docent de drietallen voor de les heeft bepaald en alleen wat hoeft te schuiven als er leerlingen afwezig zijn. Hij geeft elk groepje ´e´en touw van ongeveer 20 meter, een houten stokje, een schaar, een meetlint en stoepkrijt. Het is belangrijk dat de leerlingen zelf voor schrijfgerij en een rekenmachine zorgen. Op het werkblad in bijlage 5.3 is de opdracht voor de leerlingen uitgelegd. Het is de bedoeling dat de leerlingen de opdracht binnen doorlezen en er dan ruimte is tot vragen stellen. De leraar stuurt de leerlingen pas naar buiten als de opdracht duidelijk is. Met behulp van het werkblad moeten de leerlingen een verband ontdekken, wat gebeurt er met de oppervlakte en de omtrek bij verdubbelen van de diameter? De docent houdt in de gaten dat alles serieus gebeurt en of alle leerlingen de opdracht begrijpen. Het is van belang dat de docent zich realiseert dat met leerlingen naar buiten gaan tijd kost. Een goede instructie is in deze situatie dan ook van extra groot belang. Zodra de leerlingen door de docent zijn vrijgelaten zal de rest zich buiten afspelen. Bij slecht weer of als de docent niet naar buiten kan of wil, kan deze opdracht op papier worden uitgevoerd. Verander hiervoor de eenheid meter naar centimeter.
4.4
Les 4: Het maken van veelhoeken in en buiten cirkels
De les kan gestart worden met het liedje ”Mathematical pi”: http://www.youtube.com/watch? v$=$_BwKZEp2K_0. Dit zorgt er voor dat de leerlingen direct in het thema π zitten. Aangezien de leerlingen de vorige les π hebben benaderd, is dit een leuke mogelijkheid om dit liedje te draaien. De leerlingen hebben vorige les voor het eerst zelf π benaderd, misschien zonder zich hiervan bewust te zijn. De docent introduceert π als de verhouding tussen de omtrek en straal van de cirkel. De leerlingen kennen als het goed is de volgende twee formules: Omtrek cirkel = 2πr; Oppervlakte cirkel = πr2 . De leerlingen bekijken in het eerste deel van de les hun benadering van π uit de meetwaarden van de vorige les. Dit zijn waarschijnlijk allerlei verschillende uitkomsten en is dus niet erg 15
nauwkeurig. Het is belangrijk dat leerlingen dat ook inzien. Maar gelukkig kunnen we ook een nauwkeurige benadering geven. De docent vertelt aan de leerlingen dat het doel van de komende twee lessen is om π steeds exacter te benaderen. Doel deze les: Het maken van veelhoeken in en buiten cirkels. De docent zorgt ervoor dat leerlingen begrijpen wat ze moeten doen. Dit kan hij doen door het volgende voorbeeld op het bord te schetsen:
Figuur 4.7: Vierkant in en om een cirkel. Stap 1
:
Stap 2 Stap 3 Stap 4.1
: : :
Stap 4.2
:
Teken een willekeurig lijnstuk vanuit het middelpunt O van de cirkel naar de rand van de cirkel. Noem het snijpunt met de cirkel A; ◦ Construeer een hoek van 360 4 = 90 vanuit O en noem het snijpunt met de cirkel B. Herhaal stap 2 tweemaal en noem de snijpunten met de cirkel C en D; Verbind de punten in de volgende volgorde A, B, C, D, A. Hierdoor ontstaat de inwendige vierkant; Teken de raaklijn aan de cirkel in de punten A, B, C en D. Dit komt neer op het tekenen van de loodlijn die in bijlage 5.1 aan bod is gekomen. Construeer ook de bissectrices van ∠AOB, ∠BOC,. . . etc. Het snijpunt van de bissectrices met de raaklijnen noem je A0 ,B 0 ,C 0 en D0 . Hierdoor ontstaat het uitwendige vierkant.
De docent laat de leerlingen eerst dit voorbeeld na proberen te construeren. Een beschrijving daarvan staat hierboven. Daarna gaat de leerling aan de gang met het construeren van een achthoek. De leraar vraagt na een bepaalde tijd de aandacht om uit te leggen hoe de constructie gaat. Hij laat hierin eerst leerlingen aan het woord om uit te leggen wat zij hebben gedaan. Wanneer de docent door heeft dat een bepaalde leerling het heel goed heeft begrepen kan hij er ook voor kiezen om deze leerling de uitleg te laten geven. Anders zou de docent het volgende stappenplan bij zijn uitleg kunnen gebruiken, deze lijkt erg op de constructie van het in- en uitwendige vierkant: Stap 1
:
Stap 2
:
Stap 3 Stap 4.1
: :
Stap 4.2
:
Teken een willekeurig lijnstuk vanuit het middelpunt O van de cirkel naar de rand van de cirkel. Noem het snijpunt met de cirkel A; ◦ Construeer een hoek van 360 8 = 45 vanuit O en noem het snijpunt met de cirkel B. Dit kan door eerst een hoek van 90◦ te construeren en daarna de bissectrice; Herhaal stap 2 achtmaal en noem de snijpunten met de cirkel C, D, E, F , G en H; Verbind de punten in de volgende volgorde A, B, C, D, E, F , G, H, A. Hierdoor ontstaat de inwendige achthoek; Teken de raaklijn aan de cirkel in de punten A,B,C,D,E,F,G en H. Dit komt neer op het tekenen van de loodlijn die in bijlage 5.1 aan bod is gekomen. Construeer ook de bissectrices van ∠AOB, ∠BOC,. . . etc. Het snijpunt van de bissectrices met de raaklijnen noem je A0 , B 0 , C 0 , D0 , E 0 , F 0 , G0 en H 0 . Hierdoor ontstaat de uitwendige achthoek.
16
A
A B
O
O
Figuur 4.8: Stap 1
Figuur 4.9: Stap 2
A0
A B
H
A H0
B
H
B0 C
O
G
C
G0 G
O
C0 D
F
F0 D
F D0
E Figuur 4.10: Stap 3
E E0
Figuur 4.11: Stap 4.1 en 4.2
De docent moet de leerlingen vertellen dat in het geval van de inwendige achthoek 4OAB congruent is met 4OBC enzovoort. Dit volgt uit ZHZ, omdat: |OA| = |OB| = |OC| = |OD| = |OE| = |OF | = |OG| = |OH| ∠AOB = ∠BOC = · · · = ∠HOA per constructie. Voor de uitwendige achthoek volgt dat 4OA0 B 0 congruent is met 4OB 0 C 0 enzovoort. Dit volgt uit ZHZ, omdat: |OA| = |OB| = |OC| = |OD| = |OE| = |OF | = |OG| = |OH| |OA0 | = |OA0 | |OB 0 | = |OB 0 | . . . |OH 0 | = |OH 0 | ∠OAA0 = ∠OBA0 = ∠OBB 0 = . . . = ∠OHH 0 = ∠OAH 0 per constructie. Met deze vergelijkingen volgt dat er twee achthoeken zijn ontstaan en dat de ene een inwendige achthoek is en de andere een uitwendige achthoek. Tip: Kost het tekenen op het bord voor de docent veel tijd, dan kan de docent er voor kiezen op deze constructie met Geogebra voor te bereiden. 17
Wanneer er na deze uitleg nog tijd over is in de les kunnen de leerlingen beginnen om zelf een in- en uitwendige zeshoek in een cirkel te construeren. Dit is ook het huiswerk voor de volgende les.
4.5
Les 5: Het opstellen van algemene formules
De vorige les hebben leerlingen inwendige en uitwendige veelhoeken in cirkels gemaakt. De docent start de les met een kleine herhaling door een schets te geven hoe de constructie van de zeshoek in en buiten de cirkel gaat. Daarna vertelt hij het doel van deze les aan de leerlingen: Doel: Het benaderen van π. Dit doen de leerlingen op de volgende manier. Voordat de docent de werkbladen uitdeelt herhaalt hij het volgende met de leerlingen. Als het goed is kennen de leerlingen de volgende formule: Omtrek cirkel = 2πr
(4.1)
Omschrijven geeft: π=
Omtrek cirkel 2r
(4.2)
π is te benaderen door een formule voor de omtrek van een in- en uitwendige veelhoek en de lengte van het middelpunt naar een hoekpunt van de veelhoek (r) op te stellen. De leerlingen kunnen kijken naar: Omtrek veelhoek a := (4.3) 2r Hiermee kan π benaderd worden. Deze les werken leerlingen in tweetallen. In bijlage 5.4 is het werkblad voor deze les te vinden. Na de uitleg deelt de docent het werkblad uit en een blaadje waarop de leerlingen hun antwoorden moeten schrijven. Het idee is dat de leerlingen deze opdracht binnen het duo kunnen uitvoeren. De docent loopt wel rond om tweetallen die vast lopen van een tip te voorzien. Een mogelijke uitwerking voor het opstellen van een formule Wij laten zien hoe er een algemene formule kan worden opgesteld voor de omtrek van een inwendige achthoek. Daarna worden wel de algemene formules gegeven, maar deze zullen niet uitgebreid worden afgeleid. Bekijk figuur 5.9 op het werkblad. Teken een lijn van het punt O naar het midden van A1 A2 , noem dit punt M . Je krijgt: Nu geldt: OM = OM , A1 M = A2 M en OA1 = OA2 = 1 omdat we in een eenheidscirkel werken. Dan volgt dat 4OM A1 congruent is met 4OM A2 , dus ∠OM A1 = ∠OM A2 . Er geldt ∠OM A1 + ∠OM A2 = 180◦ , dus ∠OM A1 = ∠OM A2 = 90◦ . Merk op dat we op deze manier 16 driehoeken in de cirkel krijgen die allen congruent zijn aan 4OM A1 . We zien dat geldt: 360 |A1 M | = (4.4) sin 16 |OA1 |
18
A1
A2
M
O Figuur 4.12: Deel van de achthoek Dus:
|A1 M | = sin
360 16
(4.5)
En zo volgt: |A1 A2 | = 2 · |A1 M | = 2 sin
360 16
Nu hebben we alle gegevens om de volgende formule in te vullen: Omtrek inwendige achthoek 2r 8 · 2 sin 360 16 a := 2 Merk op dat r = 1 omdat we in de eenheidcirkel werken. Vereenvoudigen geeft: 360 a := 8 sin 16 a :=
(4.6) (4.7)
(4.8)
Dus de verhouding tussen de omtrek van de achthoek en tweemaal de lengte |OAi | van de achthoek is: a := 8 sin 360 16 ≈ 3,06 Dit kan veralgemeniseerd worden tot : a :=
Omtrek inwendige n-hoek 2r n · 2 sin 360 2n a := 2 360 a := n · sin 2n
(4.9) (4.10) (4.11)
Ook voor een uitwendige n-hoek is een formule op te stellen. Het verschil is dat OM = 1. Dit 1 maakt dat |Bi Bi+1 | = 2 tan( 360 2n ) en r = |OBi | = cos( 360 ) . Hieruit stellen we de formule op voor 2n
de verhouding van de omtrek van de uitwendige n-hoek ten opzichte van tweemaal de lengte van |OBi |, dit geeft: a :=
Omtrek uitwendige n-hoek 2r 19
(4.12)
a :=
(4.13)
2 cos(
a := n · tan
360 2n
n · 2 tan
360 2n
360 2n
)
· cos
360 2n
(4.14)
Met vergelijking 4.11 en 4.14 is de leerling in staat om al het rekenwerk te doen om π te benaderen. Zoals de lezer kan zien aan de rekenpartij zal dit voor de leerlingen een lastige les worden. De docent moet dit voor de les ook duidelijk maken, misschien komt de leerling er niet uit. Dit is niet erg, maar het is juist hier waar het onderzoekende aspect aan bod komt. Het is wel bedoeling dat de leerlingen aan het eind van de les deze formules hebben. Het huiswerk voor leerlingen voor de volgende les zijn de opdrachten die te vinden zijn in bijlage 5.5.
4.6
Les 6: Andere benaderingen van π
Deze les begint de docent met het bespreken van opdracht 1.1(c), 1.2 en opdracht 2. Wij hadden hier zelf het idee om het gedichtje op het bord te schrijven met de cijfers van π er boven. De leerling kan inzien dat de cijfers overeenkomen met de lengte van de woorden. Hier kan de docent even een opmerking van maken om de les te openen en daarna verder gaan met de onderdelen van opdracht 1. In les 5 is π benaderd met de methode van Archimedes. Deze les benaderen de leerlingen π met andere formules. Deze formules bestaan uit een oneindige som of een oneindig product. Hierbij komt het begrip limiet ter sprake. Leerlingen bekijken een eindig gedeelte van deze oneindige som om te zien hoe snel de oneidinge som naar π convergeert. Na het bespreken van het huiswerk start de docent met een korte introductie, gebaseerd op [2, p.23-27]. Hij vertelt dat het een stuk eenvoudiger zou zijn als we π kunnen benaderen met een formule. De methode van Archimedes, die in de vorige lessen is toegepast, is in verhouding erg omslachtig. Verder bezat Archimedes nog niet onze goniometrische kennis en hij was dus nog niet in staat om de formules die de leerlingen in les 5 hebben afgeleid te bepalen. Daarom zijn er andere formules gevonden. Vervolgens geeft de docent onderstaande informatie aan de leerlingen. Tijdens deze uitleg is het handig als de docent de formules direct op het bord schrijft of al op het bord heeft geschreven. Op die manier wordt het visueel voor de leerlingen en daarnaast hebben de leerlingen de formules nodig bij de opgaven. De eerste formule waarmee π werd benaderd is ontdekt door de Franse wiskundige Vi`ete (15401603). Deze formule is al in het hoofdstuk geschiedenis behandeld en is een oneindig product, namelijk: q p √ √ p √ 2+ 2+ 2 2 2 2+ 2 = · · · ... π 2 2 2 Het nadeel van deze formule is dat je steeds opnieuw moet worteltrekken, wat in die tijd erg veel werk was. 20
Enige tijd later kwam Wallis (1616-1703) met een formule waarin worteltrekken niet werd gebruikt. Om die reden wordt de formule van Wallis als beter gezien, echter heeft het ook een groot nadeel. Dit gaan de leerlingen straks zelf ontdekken. De formule van Wallis is: 2·2 4·4 6·6 π =2· · · · ... 1·3 3·5 5·7 Ook Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) kwam met een formule voor π. Hij gebruikt hierbij geen oneindig product, maar een oneindige som, welke ook geen worteltrekken bevat. De reeks van Leibniz is namelijk: π 1 1 1 1 1 = − + − + − ... 4 1 3 5 7 9 Het is van belang dat de leerlingen deze formules voor nu even als waar aannemen en er na het maken van het werkblad er over na kunnen gaan denken waarom deze reeksen naar π convergeren. Na deze informatie deelt de docent het werkblad uit, dat is ingevoegd in bijlage 6. Het is handig om bij deze opgaven een korte uitleg te geven, zodat iedere leerling de opdracht zelfstandig kan maken. Extra stof / verdiepingsstof: Als extra stof of verdiepingsstof kan de docent de volgende twee zaken met de leerling bespreken, namelijk dat π irrationaal en transcendent is [2, p.46-49]. Hiermee kan de docent laten zien dat hij zelf bekend is met de begrippen en boven de stof staat. Voor de slimme leerling is het een mooie uitdaging om meer over deze begrippen te weten. Daarnaast kan het ook dienen als extra stof voor de lessenreeks over π. Het verschil hierin is dat het voor ‘betere’ leerling leuk is om zich de stof zelf eigen te maken, terwijl de gemiddelde leerling uitleg van docent nodig zal hebben. Rationaal en irrationaal Rationale getallen zijn getallen die te schrijven zijn als een breuk. Bijvoorbeeld het getal 13 , maar uiteraard ook het getal 2 want 2 = 12 . 22 Kijkend naar het getal π geldt dat 22 7 een goede benadering is van π, want 7 = 3,1428 . . . en π = 3,14159 . . .. Ze zijn echter niet gelijk, we zien namelijk al een verschil bij het derde getal achter de komma. Is er dan een andere breuk die gelijk is aan π? Het is geen optie om voor het beantwoorden van deze vraag alle opties na te gaan, dit kost namelijk veel meer tijd dan een mensenleven. Lange tijd was het vermoeden dat π niet als een breuk te schrijven is, met andere woorden dat π irrationaal is. Pas in 1768 heeft de Zwitserse wiskundige Lambert (1728-1777) dit ook daadwerkelijk bewezen. Hieruit kunnen we concluderen dat π irrationaal is. Het bewijs voor het irrationaal zijn van π is echter erg ingewikkeld, √ daarom bekijken we alleen een eenvoudig voorbeeld van een irrationaal getal. Het getal 2 is ook irrationaal en dit is makkelijk te bewijzen. De docent laat de ‘betere’ dit zelf bewijzen. Een mogelijk bewijs gaat met behulp van √ leerling p tegenspraak. Stel dat 2 = q , dus rationaal. Kies p en q zodat de breuk pq zo ver mogelijk vereenvoudigd is. Er geldt dat p en q geen gemeenschappelijke delers hebben. Met deze kennis 2 in ons achterhoofd kwadrateren we beide kanten van de vergelijking, dit geeft 2 = pq2 . Dit kunnen we ook schrijven als 2q 2 = p2 . Hieruit is te concluderen dat p2 een even getal is. Merk op dat een oneven getal in het kwadraat altijd oneven is, dus moet p ook even zijn. Maar als p even is, dan is p2 een viervoud, want p2 = (2 · a)2 = 4 · a2 . Hieruit volgt dat 2q 2 ook een viervoud is, dus dat q 2 even is. Maar dan zijn p en q beide even, terwijl we hadden aangenomen dat p en q geen gemeenschappelijke delers hebben. Dit leidt tot een tegenspraak, waaruit te concluderen is dat √ 2 niet als breuk te schrijven is, dus irrationaal is. 21
Algebra ¨ısch en transcendent √ 2 en π zijn dan wel beide irrationaal, maar √ ze hebben ook een belangrijk verschil. Als we kijken naar de vergelijking x2 − 2 = 0, zien we dat √ 2 een oplossing is van deze vergelijking (de docent laat de leerlingen dit zelf nagaan). Omdat 2 een oplossing is van een vergelijking noemen we √ 2 algebra¨ısch. De vraag is nu, is π ook algebra¨ısch? Getallen die geen oplossing kunnen zijn van een willekeurige vergelijking noemen we transcendent. Het heeft tot 1840 geduurd voordat men kon aantonen dat er transcendente getallen bestaan. Hieruit blijkt al dat het erg moeilijk is om aan te tonen dat het vermoeden, dat π trancendent is, te bewijzen. Pas anderhalve eeuw geleden, in 1882, heeft de Duitse wiskundige Ferdinand von Lindemann (1852-1939) dit kunnen bewijzen. Vanwege de moeilijkheid van dit bewijs, zullen we dit niet bewijs niet bespreken. Belangrijk om te weten is dat er met dit bewijs ook een ander probleem, namelijk de kwadratuur van de cirkel, werd opgelost. Voor de ge¨ınteresseerde leerling is hier veel over te vinden in boeken en op internet. Ook ‘foute’ cirkelkwadraturen is een leuk en aansluitend onderwerp voor de ge¨ınteresseerde leerling. Eventueel als verdiepingsstof of als profielwerkstuk kunnen leerlingen hiermee aan de slag. Verdere uitwerking laten we hier achterwege, maar een voorbeeld hiervan is te vinden op: http://www.pandd.demon.nl/benpi3.htm.
22
Bibliografie [1] Lennart Berggren, Jonathan Borwein, and Peter Borwein. Pi: A Source Book. Springer, 1997. [2] Frits Beukers. Pi. Epsilon Uitgaven, 2000. [3] E.J. Dijksterhuis. Archimedes. Princeton University Press, 1987. [4] Pierre Eymard and Jean-Pierre Lafon. The number π. American Mathematical Society, 2004. [5] C. Tzanakis and A. Arcavi. Integrating history of mathematics in the classroom: an analytic survey. In John Fauvel and Jan van Maanen, editors, History in Mathematics Education: the ICMI study, chapter 7, pages 201–240, Kluwer, 2000.
23
Hoofdstuk 5
Bijlagen • Bijlage 1 : Constructie vierkant • Bijlage 2 : Constructie bissectrice • Bijlage 3 : Werkblad les 3 • Bijlage 4 : Werkblad les 5 • Bijlage 5 : Huiswerk les 5 • Bijlage 6 : Werkblad les 6
24
5.1
Constructie vierkant
Stap 1: Stap 2: Stap 3:
Stap 4: Stap 5:
Begin met een lijn en noem twee willekeurige punten op deze lijn A respectievelijk B; Construeer een cirkel met middelpunt B en straal r. Noem de snijpunten met de lijn E en F ; Construeer twee cirkels met straal |EF |, ´e´en met als middelpunt E en de ander met als middelpunt F . Deze twee cirkels snijden elkaar in twee punten, noem deze punten G en H. De lijn door de G en H is de loodlijn die door B gaat; Construeer de cirkel met middelpunt B en straal |AB|. Noem het snijpunt van de lijn door G en H met deze cirkel, C; Herhaal stap 2, 3 en 4 om punt D te construeren. Verbind daarna C en D. G
A A
E
B
F
F
B
E
H Figuur 5.2: Stap 3
Figuur 5.1: Stap 1 en 2
C G A
F
B
D
C
A
B
E
H
Figuur 5.4: Stap 5
Figuur 5.3: Stap 4
Om te bewijzen dat dit een vierkant is, laten we zien dat de hoeken 90◦ zijn. We weten dat 4F GE congruent is met 4F EH vanwege ZZZ, want |F H| = |EH| = |EG| = |F G| en |F E| = |F E|. Ook weten we dat 4F GE en 4F EH gelijkbenig is. Hieruit volgt dat ∠GF E = ∠GEF en ∠EF H = ∠HF E. Vanwege congruentie gelt nu dat ∠GF E = ∠GEF = ∠EF H = ∠HF E. Uit ZHZ volgt nu dat 4F BG congruent is met 4BGE, 4F BH en 4BEH. Hieruit volgt dat ∠ABC = 90◦ . Zo ook ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90◦ , hiermee volgt dat het een vierkant is.
25
5.2
Constructie bissectrice
Stap 1: Stap 2: Stap 3:
Stap 4:
Begin met een willekeurige hoek α tussen lijnen l en k, beginnend in O. Teken een cirkel met een willekeurige straal r1 en middelpunt O en noem de snijpunten met de lijnen l en k respectievelijk A en B. Teken twee cirkels met dezelfde straal r2 , ´e´en met middelpunt A en de andere met middelpunt B. Zorg dat r2 groot genoeg is dat de cirkels elkaar snijden. Noem ´e´en van de snijpunten van de twee cirkels C. Teken een lijn door O en C. Dit is de bissectrice van hoek α. k B
k α
O O
A l
α l Figuur 5.6: Stap 2
Figuur 5.5: Stap 1
k
k
B O
α
B C O
A l
Figuur 5.7: Stap 3
α
C A l
Figuur 5.8: Stap 4
Deze constructie klopt, omdat: |OA| = |OB| Liggen beide op de cirkel met straal r1 die in stap 2 is geconstrueerd; |AC| = |BC| Komt door stap 3. Snijpunt van de twee cirkels met straal r2 ; |OC| = |OC| Dit is triviaal. Volgens ZZZ volgt hieruit dat 4OAC congruent is met 4OBC en hiermee volgt direct dat ∠AOC = ∠BOC. Dus lijn OC is de bissectrice van hoek α.
26
5.3
Werkblad les 3
Naam leerling 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Naam leerling 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Naam leerling 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Van je docent heb je de volgende materialen ontvangen: * Een houten stokje; * Stoepkrijt; * Een schaar; * Een meetlint; * Een stuk touw van ongeveer 20 meter. Opdracht 1 a) Teken met behulp van de ontvangen materialen een cirkel met een straal van 2 meter op het schoolplein. b) Meet zo nauwkeurig mogelijk de omtrek van deze cirkel en zet deze waarde in twee decimalen nauwkeurig in onderstaande tabel. c) Bepaal zo nauwkeurig mogelijk de oppervlakte van ´e´en tegel op het schoolplein. Antwoord: De oppervlakte van ´e´en tegel is: . . . . . . , . . . . . . m2 . d) Tel zo nauwkeurig mogelijk de oppervlakte van de cirkel door het aantal tegels in de cirkel te tellen. Zet ook deze waarde in onderstaande tabel.
Opdracht 2 a) Teken nu een cirkel met een straal van 1 meter en bepaal de omtrek en oppervlakte van deze cirkel. Zet de gevonden waarden in twee decimalen nauwkeurig in onderstaande tabel. b) Doe hetzelfde voor een cirkel met een straal van 0,5 meter.
Opdracht 3 a) Bereken de diameter van de drie cirkels. Vul deze waarden in in onderstaande tabel. b) Bereken nu de verhouding tussen de gemeten omtrek en de diameter. Vul deze waarden in onderstaande tabel in, in twee decimalen nauwkeurig. c) Bereken nu ook de verhouding tussen de gemeten oppervlakte en de diameter. Vul deze waarden in de laatste kolom van onderstaande tabel in, in twee decimalen nauwkeurig. Straal 2m 1m 0,5 m
Diameter
Gemeten omtrek
Gemeten oppervlakte
27
Gemeten omtrek diameter
Gemeten oppervlakte straal·straal
5.4
Werkblad les 5
Belangrijk: Per tweetal lever je ´ e´ en blaadje met antwoorden in. Bij ieder onderdeel schrijven jullie niet alleen het antwoord op, maar ook de berekening. Succes! A1
B1
A2 A3
B8
A8 O
B2
A7
O
B3 A4
B7 B6
A6 A5
B4
Figuur 5.9: Inwendige achthoek
B5
Figuur 5.10: Uitwendige achthoek
Opdracht 1 In figuur 5.9 en figuur 5.10 zie je twee cirkels met straal 1. a) Neem de volgende tabellen over en vul in: OA1
A1 A2
omtrek achthoek
OB1
B1 B2
omtrek achthoek
lengte
lengte b)
Bereken voor de in- en uitwendige achthoek:
Omtrek veelhoek . 2r
Wat weet je nu over π?
Opdracht 2 In deze opgave ga je kijken naar een inwendige n-hoek A1 ,A2 , . . . ,An en een uitwendige n-hoek B1 ,B2 , . . . ,Bn . a) Maak opdracht 1 nogmaals, maar dan voor een n-hoek. b) Je hebt bij a) een formule gevonden voor een ondergrens voor π en een bovengrens voor π uitgedrukt in n. Vul voor deze n 10, 20 en 30 in. Wat weet je nu over π?
28
5.5
Huiswerk les 5
Schrijf niet alleen het antwoord op, maar ook de berekening. Succes! Opdracht 1 In deze opgave bekijken we de aardbol. We gaan er voor het gemak even van uit dat de aarde een perfecte bol is en dat het aardoppervlak vlak is. Volgens de IUGG (International Union of Geodesy and Geophysics) is de straal van de aarde 6.378.137 meter. 1. Stel dat we een touw strak om de aarde willen binden. We gaan berekenen hoelang het touw moet zijn. Daar heb je de volgende formule nodig: omtrek = 2 · π · r. Je kunt een benadering van π vinden onderaan deze opdracht. (a) Neem eerst voor π een benadering met twee cijfers achter de komma. Hoe lang moet dat touw dan zijn? Rond je antwoord af op hele meters. (b) Neem dan voor π een benadering met vier cijfers achter de komma. Hoe lang moet dat touw dan zijn? Rond je antwoord af op hele meters. (c) Neem nu voor π een benadering met tien cijfers achter de komma. Hoe lang moet dat touw dan zijn? Rond je antwoord af op hele meters. (d) Wat valt je op?
Figuur 5.11: Een touw om de aarde 2. Ga uit van de lengte die je bij onderdeel 1 (c) hebt gevonden. Stel je nu voor dat we het touw 1 meter langer maken. Het touw komt dan als het ware een stukje losser om de aarde te zitten. We zetten heel veel mensen op een rij naast dit touw en vragen ze het touw een stukje op te tillen. Hoe ver kan het touw opgetild worden? 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 Opdracht 2 Bekijk het onderstaande gedichtje. Snap je wat het met het getal π te maken heeft? Zie, ’k geef u thans, geleerden en leeken, ouden van dagen, frissche studenten, weinige regeltjes, die mij zijn gebleken, vaak nuttig te werken voor tal van docenten. Zie nu hoeveel decimalen. 29
5.6
Werkblad les 6
Opdracht 1 Schrijf de formules van Vi`ete, Wallis en Leibniz om, zodat π wordt uitgedrukt in een formule. Vi`ete: π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5.1)
Wallis: π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5.2)
Leibniz: π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5.3)
In formule 5.1, 5.2 en 5.3 komen punten voor. Dat betekent dat je hetzelfde patroon oneindig lang doorloopt. Dit kunnen we zien als een limiet. Ieder extra factor geeft een betere benadering voor π. Opdracht 2 a) Bereken van de formule 5.1 de eerste factor. Bereken vervolgens de eerste factor maal de twee factor. Ga zo door totdat je het product van de eerste tien factoren hebt berekend. Vul de gevonden waarden in onderstaande tabel in. b) Doe dit ook voor formule 5.2 en 5.3. Let op: bij de formule van Leibniz vermenigvuldig je niet, maar ga je optellen of aftrekken. n
Product van de eerste n factoren van de formule 5.1
Product van de eerste n factoren van de formule 5.2
Som van de eerste n factoren van de formule 5.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Opdracht 3 a) Bekijk bovenstaande tabel en maak de volgende zin volledig. Formule . . . . . . benadert π het best. We zeggen ook wel formule . . . . . . convergeert het snelst naar π. b) Welke formule convergeert het minst snel naar π? Formule . . . . . ..
30
