PRACOVNÍ SEŠIT ROVNICE A NEROVNICE. 3. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online  “

PRACOVNÍ SEŠIT 3. tematický okruh:

ROVNICE A NEROVNICE

vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky

školní rok 2014/2015

© RNDr. Věra Effenberger

www.zvladnimatiku.cz

3. ROVNICE A NEROVNICE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!

Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Rovnice a nerovnice. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Rovnice a nerovnice unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Rovnice a nerovnice musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!

Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Rovnice a nerovnice“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.



2


3.

ROVNICE A NEROVNICE

3.1 ALGEBRAICKÉ ROVNICE A NEROVNICE Rovnice Co je to rovnice? Máme-li dva ________ L(x) a P(x) s proměnnou x a musíme-li určit hodnoty proměnné x, pro které jsou si hodnoty obou výrazů ________, potom tuto úlohu zapíšeme ve tvaru:

Lx  Px , který se nazývá rovnice. Výrazu L(x) se říká ________ strana rovnice. Výrazu P(x) se říká ________ strana rovnice. Proměnná x v rovnici se nazývá: ________. Pomocí rovnic se snažíme vyjádřit, že něco se má rovnat něčemu. Rovnice může vypadat třeba takto:

2x  1  9

LEVÁ STRANA

PRAVÁ STRANA

Řešení rovnice Hodnoty neznámé x (tj. určitá konkrétní čísla), pro které je rovnice splněna, se nazývají kořeny (řešení) rovnice. Některé rovnice mohou mít více než jeden kořen ( x1 , x2 , , xn ). Množinu všech kořenů (řešení) rovnice budeme značit K  x1 , x2 ,  , xn  .

Číselný obor, ve kterém hledáme kořeny (řešení) rovnice, nazýváme oborem řešení rovnice. Pozn.: Pokud nebude uvedeno jinak, řešíme vždy nad oborem ________ čísel.



3


Nerovnice Co je to nerovnice? Máme-li dva výrazy L(x) a P(x) s proměnnou x a musíme-li určit hodnoty proměnné x, pro které je:

Lx  Px  ,

nebo Lx  Px  ,

nebo Lx  > Px ,

nebo Lx  Px  ,

pak jakýkoliv z těchto zápisů nazýváme nerovnice.

Stejně tak jako u rovnic používáme podobné názvosloví: L(x) - ________ ________ nerovnice P(x) - ________ ________ nerovnice x – neznámá

Pomocí nerovnic se snažíme vyjádřit, že něco je menší než něco jiného, popř. je to menší nebo rovno něčemu jinému, respektive větší, eventuálně větší nebo rovno. Nerovnice může vypadat například následovně:

3x  1  5

Řešení nerovnice Hodnoty neznámé x (tj. určitá konkrétní čísla), pro které je nerovnice splněna, se nazývají ________ ( ________ ) nerovnice. Množinu všech kořenů (řešení) nerovnice značíme K . Nejčastěji se bude jednat o nějaký ________ . Číselný obor, ve kterém hledáme kořeny (řešení) nerovnice, nazýváme ________ ________ nerovnice. Tím bude nejčastěji obor reálných čísel.



4


Algebraické rovnice a nerovnice Algebraická rovnice n-tého stupně, neboli ________ neznámé je rovnice, která se dá upravit na tvar:

rovnice n-tého stupně, o jedné

an x n  an1 x n1    a1 x  a0  0 , kde levou stranu rovnice tvoří polynom n-tého stupně, přičemž n  N , a0 ,  , an  R .

Algebraická nerovnice n-tého stupně, bude mít tedy jen místo rovnítka jeden ze znaků: __ , __ , __ nebo __.

Příklady: lineární rovnice

……………………..

lineární nerovnice

……………………..

kvadratické rovnice ……………………..

kvadratická nerovnice ……………………..

kubické rovnice

kubická nerovnice

……………………..

……………………..

Ekvivalentní úpravy rovnice a nerovnice Pro nalezení řešení rovnic/nerovnic používáme různé ________ rovnic/nerovnic, zvláště důležité jsou tzv. ekvivalentní úpravy. Jsou to úpravy, které danou rovnici/nerovnici převádějí na rovnici/nerovnici, jejíž množina všech kořenů je ________ množině všech kořenů dané rovnice/nerovnice.

Přehled ekvivalentních úprav rovnice:

Příklad:

5x  3  1  x

 Vzájemná VÝMĚNA STRAN rovnice.  PŘIČTENÍ nebo ODEČTENÍ ________ čísla či výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řešení rovnice, k oběma stranám rovnice.



5


 VYNÁSOBENÍ nebo VYDĚLENÍ obou stran rovnice stejným číslem různým od ________ , nebo stejným výrazem, který nabývá jen nenulových hodnot v celém oboru řešení rovnice.  UMOCNĚNÍ nebo ODMOCNĚNÍ obou stran rovnice týmž přirozeným mocnitelem, resp. přirozeným odmocnitelem, jestliže jsou obě dvě strany rovnice ________ v celém oboru řešení rovnice. Příklad:

Příklad:

x 2  49

Příklad:

 3x  4  x  2

x2 1   x  2   5  3 x  1 3 3

Přehled ekvivalentních úprav nerovnice:  Vzájemná VÝMĚNA STRAN nerovnice s tím, že se současně změní znak nerovnosti v ________ .  PŘIČTENÍ nebo ODEČTENÍ stejného čísla či výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řešení, k oběma stranám nerovnice.  VYNÁSOBENÍ nebo VYDĚLENÍ obou stran nerovnice ________ číslem, nebo výrazem s neznámou, který nabývá jen kladných hodnot v celém oboru řešení nerovnice.  VYNÁSOBENÍ nebo VYDĚLENÍ obou stran nerovnice ________ číslem, nebo výrazem s neznámou, který nabývá jen záporných hodnot v celém oboru řešení nerovnice, přitom znak nerovnosti se mění v ________ !!!



6


 UMOCNĚNÍ nebo ODMOCNĚNÍ obou stran nerovnice týmž přirozeným mocnitelem, resp. přirozeným odmocnitelem, jestliže jsou obě dvě strany nerovnice ________ v celém oboru řešení nerovnice. Příklad:

Příklad:

x 2  25

10  6  x  6  3  x  10

Zkouška Zkouška slouží k ověření, zda vypočítaná řešení jsou opravdu správná. Zkoušku u řešení rovnice provádíme tak, že: L(x)=

P(x)=

Zkoušku u řešení nerovnice provádíme tak, že: L(x)=

P(x)=

Zkouška je nutnou součástí řešení v případě, že všechny úpravy, které se v průběhu výpočtu používaly, ________ ekvivalentní!



7


Příklady: Vypočítejte a proveďte zkoušku. 5

11 :x 3

5  2x 

x5 2

3.2 LINEÁRNÍ ROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Lineární rovnice o jedné neznámé ax  b  0

Lineární rovnice s neznámou x je každá rovnice tvaru: kde a, b jsou libovolná ________ čísla.

Příklady lineárních rovnic:

3x  2  0

 4x  5  13

x  32  x  14  x   5  x 



1  3x x  2,5  5  12 3

Vyjádření neznámé ze vzorce Pokud máme jistý vzorec a máme z něj vyjádřit nějakou proměnnou, postupujeme následovně:



8


1. 2. 3. 4.

Uvědomíme si, že zadaný vzorec představuje vlastně ________ ! Tu proměnnou, kterou musíme vyjádřit, si představíme jako ________ v rovnici. Ostatní proměnné si představujeme jako ________ - „čísla“. Rovnici ________ tak, abychom získali tvar: „neznámá = …“

Příklad: Vyjádřete proměnnou v ze vzorce pro výpočet ________ ________ S  2 r  r  v 

v?

Příklad: Vyjádřete proměnnou a ze vzorce:

a  b  2c  3

a=?

Příklad: Vyjádřete proměnnou k ze vzorce:

m

2k  3 5

k=?

Řešení rovnic v součinovém a podílovém tvaru Rovnice v součinovém tvaru:

ax  b  cx  d   0

Při řešení si musíme zodpovědět otázku:

_______________________________

tedy řešíme dvě rovnice:


ax  b  0

cx  d  0


9


Příklad:

x  63  2x  0

Rovnice v podílovém tvaru:

ax  b 0 cx  d

Při řešení si musíme zodpovědět otázku:

_______________________________

tedy řešíme rovnici:

ax  b  0 ,

naopak: cx  d  0

Příklad: 4  7x 0 x5

Další příklady: x 5 x  1  0 3


x  2 x    1 3  0 3  x 


10


Početní řešení soustavy lineárních rovnic s více neznámými Při řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých můžeme využít jednu z následujících metod:

a) Sčítací ( ________ ) metoda -

rovnice soustavy vynásobíme zvolenými čísly tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic jedna neznámá ________.

Příklad:

7 x  3 y  36  5x  2 y  5

b) Dosazovací ( ________ ) metoda -

vyjádříme jednu neznámou z jedné zvolené ________ soustavy a pak ji ________ do druhé rovnice, tím se jedna neznámá s této rovnice vyloučí.

Příklad:


4 x  2 y  23 x  3 y  14,5


11


c) Srovnávací ( ________ ) metoda -

z obou rovnic vyjádříme jednu stejnou ________ , výsledky porovnáme a tím získáme novou ________ , ve které již tato neznámá není.

Příklad:

3 x  2 y  14  2 x  y  9

Počet řešení: Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých a) má právě jedno řešení:

K   x ; y  

b) nemá žádné řešení:

K  0

c) má nekonečně mnoho řešení:

K   x ; y  f  x   

Příklady: b)

2x  3y  3 6x  9 y  5


c)

9 x  6 y  4,5 6x  4 y  3


12


Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Je potřeba si uvědomit, že množinou všech bodů, jejichž ________ souřadnice splňují lineární rovnici se dvěma neznámými x, y  R , je ________ . Sestrojíme tedy dvě přímky, které odpovídají daným lineárním rovnicím soustavy. Řešení této soustavy pak představují body ________ obou přímek. Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: a) má právě jedno řešení, jestliže jsou přímky různoběžné. Řešením jsou souřadnice průsečíku. b) nemá žádné řešení, jestliže jsou přímky rovnoběžné různé. c) má nekonečně mnoho řešení, pokud obě přímky splývají.

Příklady: x  y  1

2x  y  1

x  2 y  4

4 x  2 y  2


x  y  1,5  2x  2 y  3


13


Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic a jejich soustav Příklady: Neznámé číslo nejprve zvětšíme o sedminu jeho hodnoty, potom zmenšíme o 27. Po vynásobení výsledku dvěma dostaneme původní neznámé číslo. Určete neznámé číslo.

Záhon má tvar obdélníku s obvodem 20,4 m. Kdyby byl záhon o 1 m delší a o 1 m užší, byla by jeho výměra menší o 2,2 m2. Určete rozměry záhonu.

3.3 ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI Řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli Protože neznámá se v těchto rovnicích objevuje ve ________ , musíme vždy určit ________ , za kterých se jmenovatel nebude rovnat ______. Určujeme v podstatě definiční obor rovnice. Po určení podmínek celou rovnici ________ nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, tak abychom se zlomků „zbavili“.



14


Příklady: 

3x  5 2 x 1

3

7  2x  x 2 2x x   2 x  2x  3 x  3 x  1

5 0 2x  2

Vyjádření neznámé ze vzorce Příklad: Vyjádřete proměnnou a ze vzorce:

a 1  5b  3

a=?

Příklad: Vyjádřete proměnnou k ze vzorce:

T

5m 1 k2

k=?

Slovní úloha Hranice zemědělského pole má tvar pravoúhelníku o rozloze 0,2 ha. Pole bylo rozděleno hranicí na dva obdélníky, které se liší pouze v délce jedné strany a to o 10 m. Obsahy obdélníků jsou v poměru 3:2. Jaké jsou rozměry většího obdélníku?



15


3.4 KVADRATICKÉ ROVNICE Kvadratické rovnice o jedné neznámé Kvadratická rovnice s neznámou x je každá rovnice tvaru:

ax 2  bx  c  0

kde a, b, c jsou libovolná ________ čísla, ovšem a  0 .

Příklady kvadratických rovnic: ……………………………………………………………………………………………………………………

Řešení kvadratických rovnic Při řešení každé kvadratické rovnice hraje důležitou roli číslo:

D  b 2  4ac , tzv. ________ kvadratické rovnice

Pro D > 0 , má kvadratická rovnice ………………………………………………………. x1, 2 

b D 2a

Příklad:

x 2  13x  40  0

Pro D  0 , má kvadratická rovnice ………………………………………………………. x1  x2 


b 2a


16


Příklad:

4 x 2  12 x  9  0

Pro D  0 , má kvadratická rovnice ………………………………………………………. Příklad:

3x 2  2 x  5  0

Další příklady:

4 x  32  3x  22

3 1 1   8 x4 x2

Řešení neúplných kvadratických rovnic Bez použití diskriminantu můžeme řešit tzv. neúplné kvadratické rovnice. Jedná se o rovnice, u kterých chybí buďto ________ člen, nebo člen ________.

Příklady:

2 x 2  50  0

9 x 2  12 x  0

 x 2  5x  0

3x 2  13  0



17


Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Mezi kořeny x1 , x 2 a koeficienty a, b, c ( ____ ) libovolné kvadratické rovnice ax 2  bx  c  0 , resp. příslušné ________ kvadratické rovnice x 2  px  q  0 platí tzv. Vietovy vztahy:

x1  x2   x1  x2 

b  p a

c q a

Příklady:

x 2  9 x  20  0

x 2  5x  14  0

Slovní úlohy Příklady: Na střední škole je zapsáno 780 studentů. Počet tříd je o 4 větší než průměrný počet studentů v každé třídě. Určete počet tříd na škole.

Pepíček pozoroval babiččin dvorek se zvířaty. Babička měla slepice, husy, kterých bylo o 4 více než slepic, dva kohouty a psa. Pepíček zjistil, že když vynásobí počet slepic počtem hus, dostane jako výsledek počet nohou všech zvířat, která na dvorku jsou. Kolik bylo zvířat na dvorku?



18


3.5 LINEÁRNÍ NEROVNICE S JEDNOU NEZNÁMOU A JEJICH SOUSTAVY Řešení lineárních nerovnic Připomínám  : Lineární nerovnice řešíme podobně jako lineární rovnice – provádíme ekvivalentní úpravy, akorát místo „=“ je zde jeden ze znaků nerovnosti: __, __, __ nebo __. Pozor musíme dát akorát při násobení nebo dělení nerovnice ________ číslem, protože v tomto případě musíme otočit znak nerovnosti!

Řešením nerovnice nad oborem reálných čísel je nejčastěji ________ . Příklady:

7  5x  1  3x  4

x

3x  1 x  1 2 2

Řešení soustav lineárních nerovnic o jedné neznámé Soustavy lineárních nerovnic řešíme tak, že řešíme nejprve každou nerovnici zvlášť. Výsledkem soustavy je pak ________ řešení, tedy nejčastěji ________ intervalů. Příklady: x  5 > 10  2 x

6  x  2   16  x


2   x  8  4   x  1  7 x  2 5


19


Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Nerovnice v součinovém tvaru:

Nerovnice v podílovém tvaru: ax  b 0 cx  d

ax  b  cx  d   0 Při řešení si musíme zodpovědět otázku:

_______________________________

řešíme pomocí diskuze:

buďto A) ax  b  0  cx  d > 0 nebo B) ax  b  0  cx  d  0

Příklad:

x  7  3x  5  0

Nerovnice v součinovém tvaru:

Nerovnice v podílovém tvaru: ax  b 0 cx  d

ax  b  cx  d   0 Při řešení si musíme zodpovědět otázku:

_______________________________



20


řešíme pomocí diskuze:

buďto A) ax  b  0  cx  d  0 nebo B) ax  b  0  cx  d > 0

Příklad: 4 x 0 8x  3

PERFEKTNÍ, TEORII K

ROVNICÍM A NEROVNICÍM MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ POKRAČOVAT DÁL … školní rok 2014/15


21

PRACOVNÍ SEŠIT ROVNICE A NEROVNICE. 3. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

Recommend Documents