PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online  “

PRACOVNÍ SEŠIT 1. tematický okruh:

ČÍSELNÉ OBORY

vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky

školní rok 2014/2015

© RNDr. Věra Effenberger

www.zvladnimatiku.cz

1. ČÍSELNÉ OBORY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!

Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Číselné obory. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Číselné obory unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Číselné obory musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!

Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Číselné obory“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.



1


1.

ČÍSELNÉ OBORY

Číselné obory Množina všech _______ určitého druhu, ve které jsou definovány bez omezení _______ sčítání a násobení se nazývá číselný obor (nebo obor čísel).

R Q Z

N

Pro uvedené číselné obory platí:



2


Aritmetické operace Základní početní operace jsou:

a b  c

 SČÍTÁNÍ

 NÁSOBENÍ

a  b  ab  c

 ODČÍTÁNÍ

a b  c

 DĚLENÍ

a :b 

a c b

Další dvě početní operace jsou:  UMOCŇOVÁNÍ

an  c

 ODMOCŇOVÁNÍ

n

a c

Jestliže v zápisu početních operací nejsou závorky, provádí se nejprve __________ a __________ , pak __________ a __________ a poté __________ a __________!!!

Jestliže v zápisu početních operací závorky jsou, provádí se nejprve operace v __________ . V případě, že je závorek více typů, provádíme nejprve operace v závorkách, které jsou uvnitř ostatních (v těch, které už další závorku neobsahují, protože jsou „__________“)!!! Příklad:

2 49  5  15  2 3 : 4 

33  25  11

33     2 49  5  15  2 3 :  4    2  5  11    



3


1.1 PŘIROZENÁ ČÍSLA Množina všech přirozených čísel (nebo také obor přirozených čísel) se značí:

Tato množina obsahuje čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, …

! neobsahuje tedy: __ ! N0 = Dělitelnost Číslo je a dělitelné číslem b ( a, b  N ), právě tehdy když ………………………………………………

Příklad: Číslo 18 má právě šest dělitelů v oboru N: __ , __ , __ , __ , __ a __ .

Znaky dělitelnosti: Přirozené číslo je dělitelné 2

právě tehdy, když má na místě jednotek číslice: __ , __ , __ , __ nebo __ . příklady čísel dělitelných 2: ………………………………………………………………………

3

právě tehdy, když jeho ciferný součet je dělitelný _______ . příklady čísel dělitelných 3: ………………………………………………………………………

4

právě tehdy, když má poslední _______ dělitelné _______. příklady čísel dělitelných 4: ………………………………………………………………………

5

právě tehdy, když má na místě jednotek číslici __ nebo __. příklady čísel dělitelných 5: ………………………………………………………………………



4


6

právě tehdy, když je dělitelné _______ a _______ zároveň. příklady čísel dělitelných 6: ………………………………………………………………………

8

právě tehdy, když má poslední _______ dělitelné _______. příklady čísel dělitelných 8: ………………………………………………………………………

9

právě tehdy, když jeho ciferný součet je dělitelný _______. příklady čísel dělitelných 9: ………………………………………………………………………

10

právě tehdy, když má na místě jednotek číslici __ . příklady čísel dělitelných 10: ………………………………………………………………………

11

právě tehdy, když součet cifer na _______ místech je roven součtu cifer na sudých místech nebo se tyto součty liší o násobek _______ . příklady čísel dělitelných 11: ………………………………………………………………………

Prvočíslo Prvočíslo je každé přirozené číslo větší než jedna, které je dělitelné pouze číslem __ a samo sebou. Příklady prvočísel: ………………………………………………………………………

Složené číslo Složené číslo je každé přirozené číslo větší než jedna, které není prvočíslem, tj. má alespoň _______ různé dělitele. Příklady složených čísel: ………………………………………………………………………

Rozklad přirozeného čísla na prvočinitele Vyjádření složeného čísla ve tvaru _______ jeho dělitelů větších než jedna se říká rozklad složeného čísla. Pokud složené číslo rozložíme na součin prvočísel, nazývá se toto vyjádření (tento součin) rozklad přirozeného čísla na prvočinitele. Kde prvočinitelé jsou _______ v rozkladu přirozeného čísla.



5


Příklady rozkladu přirozených čísel na prvočinitele: 8= 52 =

180 = 1155 =

Čísla soudělná Soudělná čísla jsou taková přirozená čísla n1 , n2 ,  , n k , která mají _______ jednoho společného dělitele _______ než jedna. Příklady soudělných čísel: ………………………………………………………………………

Čísla nesoudělná Nemají-li přirozená čísla n1 , n2 ,  , n k _______ společného dělitele většího než jedna, říká se jim nesoudělná čísla. Platí pro ně tedy: Dn1 , n2 ,  , n k   1 .

Příklady nesoudělných čísel: ………………………………………………………………………

Největší společný dělitel Společným dělitelem přirozených čísel n1 , n2 ,  , n k nazýváme každé přirozené číslo, které je _______ každého z nich. Ten ze společných dělitelů, který je _______ než všichni ostatní společní dělitelé, se nazývá největší společný dělitel čísel n1 , n2 ,  , n k . Značí se:

Nejmenší společný násobek Společným násobkem přirozených čísel n1 , n2 ,  , n k nazýváme každé přirozené číslo, které je nějakým _______ každého z nich. Ten ze společných násobků, který je _______ než kterýkoliv jiný společný násobek, se nazývá nejmenší společný násobek čísel n1 , n2 ,  , n k . Značí se:

Pro každou dvojici přirozených čísel n1 , n2 platí:



6


Příklad:

D65 ; 126   n65 ; 126   D495 ; 600   n495 ; 600  

1.2 CELÁ ČÍSLA Množina všech celých čísel (nebo také obor celých čísel) se značí:

Tato množina obsahuje čísla: … , -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

Aritmetické operace s celými čísly Platí:   a   a

 a   b  ab

  a   a

 a   b  ab

  a   a

 a   b  ab

a   a   0

  a   a

 a   b  ab

a0  0

Opačné číslo Ke každému celému číslu a existuje v oboru Z právě jedno opačné číslo –a takové, že

a   a   0 . Příklad:

opačné číslo k číslu 4 je číslo __, protože 4   4  0 opačné číslo k číslu -11 je číslo __, protože _______ opačné číslo k číslu 0 je číslo __, protože _______



7


1.3 RACIONÁLNÍ ČÍSLA Množina všech racionálních čísel (nebo také obor racionálních čísel) se značí:

Tato množina obsahuje: všechna čísla, která se dají zapsat ve tvaru _______ p , kde p  Z , q  N q

Tvary racionálních čísel  zlomky

příklady:

 smíšená čísla

příklady:

 desetinná čísla s ukončeným desetinným rozvojem

příklady:

 desetinná čísla s nekonečným periodickým desetinným rozvojem

příklady:

Převody mezi jednotlivými tvary racionálních čísel



8


Dekadický zápis čísla V praxi nejčastěji zapisujeme čísla v _______ (dekadické) číselné soustavě, neboli v tzv. číselné soustavě o základu _______ . Zápis čísla v desítkové číselné soustavě Každé číslo a lze zapsat právě _______ způsobem v desítkové soustavě ve zkráceném zápisu a   an an1  a1a0 , a1  am1am tvaru: , kde n, m  N ten odpovídá rozvinutému zápisu ve tvaru



a   an  10n  an1  10n1    a1  101  a0  100  a1  101    am1  10 m1  am  10 m

Příklady:



 456 ,023   4  102  5  101  6  100  0  101  2  102  3  103





7 002 ,35   34 ,000 005 

100  1

K připomenutí

1

 0,1

2

 0,01

základní jednotka desetina setina

10  10 102  100 103  1 000

desítka stovka

10

tisícovka

10 3  0,001

tisícina

106  1000 000

milion

10 6  0,000 001

miliontina

1

10  1000 000 000 9

10

miliarda

10

9

 0,000 000 001

miliardtina

Operace se zlomky  SČÍTÁNÍ ZLOMKŮ p r ps  rq   q s qs  NÁSOBENÍ ZLOMKŮ p r pr   q s qs


4 5   7 3

 ODČÍTÁNÍ ZLOMKŮ p r ps  rq   q s qs

5 1   11 4

7 2   6 3

 DĚLENÍ ZLOMKŮ p r p s ps :    q s q r qr

3 5 :  8 12


9


 UMOCŇOVÁNÍ ZLOMKŮ n

 p pn    n q q 9 25

Příklad:

 ODMOCŇOVÁNÍ ZLOMKŮ 3

3    5

n

p  q

n

p

n

q

36  121

2

1 2 3 7 1 :    2     4 9 2 5 2

Porovnávání zlomků Příklad: Určete, který ze zlomků je větší:

7 5 nebo . 12 8

1. Převedením zlomků na _______ čísla: 2. Převedením zlomků na společného _______: 3. Pomocí součinů „_______“:

Zaokrouhlování desetinných čísel podle řádů řád čísla = Při zaokrouhlování čísla na daný řád se řídíme číslicí, která je na pozici předcházejícího řádu (tedy při zaokrouhlování na desítky, koukáme na _______ ; při zaokrouhlování na setiny, se díváme na _______ , atd.).

zaokrouhlujeme NAHORU

Pokud je na této pozici jedna z číslic:  __ , __ , __ , __ nebo __

zaokrouhlujeme DOLŮ


 __ , __ , __ , __ nebo __ Příklady: zaokrouhlete dané číslo na tisíce:

32 506 ,1 

desetiny:

67,843 

jednotky:

1509,7 


10


TROJČLENKA Pomocí trojčlenky řešíme příklady na přímou a nepřímou úměrnost.

Přímá úměrnost „Kolikrát více …, tolikrát _______ …!“ nebo „Kolikrát méně …, tolikrát _______ …!“ Příklad: Řidič auta jel bez přestávky stejnou rychlostí 1,5 hodiny. Za tuto dobu ujel 171 km. Kolik kilometrů ujede (při stejné rychlosti a bez přestávky) za 4 hodiny? Řešení:

Nepřímá úměrnost „Kolikrát více …, tolikrát _______ …!“ nebo „Kolikrát méně …, tolikrát _______ …!“ Příklad: Řidič auta má dojet do města. Když pojede stálou rychlostí 91 km/h bude ve městě za 2 hodiny a 15 minut. Jakou rychlostí musí jet, aby byl ve městě o půl hodiny dříve? Řešení:



11


PROCENTA Procento je jiný název pro _______ a tedy:

1% 

1 100

Základní pojmy procentového počtu:  __ základ = daný základní číselný celek  __ počet procent = číslo udávající počet _______ základu  __ procentová část = část základu, která odpovídá příslušnému počtu procent základu

Základní vzorce: 1 % ze z je

, takže p % ze z je

Odtud plynou rovnosti:

č=

.

p=

z=

Příklady: Kolik je:

1 % z 212 Kč

Kolik % je:

600 aut z 3 000 aut

25 % z 12 000 obyv.

20 g z 12 kg

81,6 % z 5 €

405 litrů z 250 litrů

Jaký je základ, jestliže:

8 % odpovídá 96 hodinám 70 % odpovídá 3,5 litrů nafty 0,4 % odpovídá 16 kg jablek



12


1.4 REÁLNÁ ČÍSLA Množina všech reálných čísel (nebo také obor reálných čísel) se značí:

Tato množina obsahuje:  všechna racionální čísla (tedy i všechna čísla celá a tedy i všechna čísla _______)  a dále také tzv. čísla iracionální

Iracionální čísla Jsou to _______ čísla, která se nedají zapsat ve tvaru _______ . Jedná se tedy o desetinná

čísla s nekonečným neperiodickým _______ rozvojem. Příklady iracionálních čísel: ………………………………………………………………………

Příklad:

 5 3  2

Zařaďte níže uvedená čísla do (nejmenšího) oboru čísel, do kterého náleží. 0



506 

12  45 9,561 

3 

R Q Z

N

0,03 

Vlastnosti reálných čísel Pro každé a , b  R platí:

Sčítání a násobení reálných

ab ba

čísel je _____________ .

a b  ba

Pro každé a , b , c  R platí:

a  b  c  a  b  c


Sčítání a násobení reálných

a  b  c   a  b  c

čísel je _____________ .


13


Pro každé a , b , c  R platí:

Násobení reálných čísel je

a  b  c  ac  bc

_____________ vzhledem ke sčítání.

Pro každé a R platí:

a0a

a 1  a

a0  0

Pro každé a , b  R platí:

Je-li ab  0 , je aspoň jedno z čísel a, b rovno nule.

Opačné číslo a číslo převrácené Připomínám  : Ke každému reálnému číslu a existuje v oboru R právě jedno opačné číslo –a takové, že: a   a   0 . Ke každému reálnému číslu a  0 existuje v oboru R právě jedno převrácené (inverzní) číslo 1 1 a   1. takové, že: a a Příklad:

 1 převrácené číslo k číslu - 4 je číslo __ , protože  4      1  4 6 převrácené číslo k číslu je číslo __ , protože _______ 13 převrácené číslo k číslu 

2 5 je číslo __ , protože _______ 3

Zobrazení reálných čísel na číselné ose Grafické znázornění reálných čísel na číselné ose – (vzájemně jednoznačné) zobrazení oboru R na přímku.

Příklad:

Na číselné ose zobrazte následující čísla: 


1 ; 4,5 ; 2

2 ; 

7 ;  4, 3 5


14


Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnota reálného čísla a se značí a a je definována takto:  a , pro a  0 a   a , pro a  0

Příklad:

160 



3  4

0

 2



 5,34 

Absolutní hodnota každého reálného čísla představuje _______ (na číselné ose) daného čísla od počátku (bodu 0). Z toho vyplývá, že: 1. a  R : a  0 , protože vzdálenost je vždy _______ . 2. a  R : a   a , protože opačná čísla mají od počátku _______ vzdálenost.

 4   9   0,5 

Příklad:

15   8  5 

Příklad:

1 5  Na reálné ose znázorněte množiny: A  x  R : x  3, B   x  R :  x   2 2 

3 58 

Intervaly

Intervaly

Intervaly představují _______ reálných čísel, které se dají zobrazit na číselné ose úsečkou, polopřímkou nebo přímkou.

omezené

neomezené

uzavřený

Klasifikace intervalů

uzavřený

polouzavřený

zprava/zleva

polootevřený

otevřený

otevřený


zprava/zleva


oboustranně neomezený

15


Omezené intervaly Množina

Znázornění na čís. ose

xR : a  x  b xR : a  x  b xR : a  x  b xR : a  x  b

a

b

a

b

a

b

a

b

Interval

Název intervalu

a; b

uzavřený interval a, b

 a; b

polouzavřený/polootevřený interval a, b polouzavřený/polootevřený interval a, b

a ; b

 a; b 

otevřený interval a, b

Neomezené intervaly Množina

Znázornění na čís. ose

xR : x  a 

 a ;  

a

xR : x  a 

a

  ; a

xR : x  a 

a

  ; a 

x  R

Název intervalu zleva uzavřený od a do plus nekonečna zleva otevřený od a do plus nekonečna zprava uzavřený od minus nekonečna do a zprava otevřený od minus nekonečna do a oboustranně neomezený (množina R)

a ;  

a

xR : x > a 

Interval

  ;   

R

Příklady: Určete, která z následujících množin není a která je interval:

x  Z : x  5 x  R :   x  2,2  1; 0 

NENÍ

JE

NENÍ

JE

NENÍ

JE

x  R : x  4 x  Q : x  0,5

x  R : x

2



0

NENÍ

JE

NENÍ

JE

NENÍ

JE

Na číselné ose zobrazte dané množiny, pokud to bude možné, zapište je jako interval:

A  x  R :1,5  x  5, B  x  R : x  2, C  x  R : x  1  2, D  x  R : x  1 školní rok 2014/15


16


Sjednocení, průnik a rozdíl intervalů Protože každý interval je _______ , má smysl zabývat se sjednocením, průnikem nebo rozdílem intervalů. Ovšem POZOR výsledkem těchto operací nemusí být _______ ! Vše si ukážeme na intervalech  4 ; 2,5  a  1; 5 

 SJEDNOCENÍ INTERVALŮ  4 ; 2,5    1; 5   _______

 PRŮNIK INTERVALŮ  4 ; 2,5    1; 5   _______

 ROZDÍL INTERVALŮ  4 ; 2,5  \  1; 5   _______

 1; 5  \


 4 ; 2,5   _______


17


Příklady:

  ;  1,5  0; 4 

  3 ;     2 ;   

 2 ; 1   1; 4,5   5 ; 2  \  1; 3 

 2 ; 1   1; 4,5 

  ;   \

1; 3  

Mocniny a odmocniny Připomínám  : Pro každé reálné číslo a a každé přirozené číslo n je: a n  a  a  a .   n

Pro každé reálné číslo a  0 je: Dále platí:

a  R, n  N :

a0 

a1  a

0n  0

1a  1

a, b  R \ 0, m, n  R :

 NÁSOBENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM

a m  a n  a mn

Příklady: …………………………………………………….  DĚLENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM

am : an 

am  a mn n a

Příklady: …………………………………………………….  UMOCŇOVÁNÍ MOCNINY

a 

m n

 a mn

Příklady: …………………………………………………….



18


a  bn  a n  b n

 UMOCŇOVÁNÍ SOUČINU Příklady: …………………………………………………….

a : b 

 UMOCŇOVÁNÍ PODÍLU

n

n

a     an : bn b

Příklady: …………………………………………………….

Další důležitá pravidla! n

a

n

1 1    n a a

a   b

n

b   a

n

Příklady: …………………………………………………….

m n

a  n am

Příklady: …………………………………………………….

ab  a  b

a a  b b

a:b  a : b

mn

a  mn a

Příklady:

SUPER, TEORIE K

ČÍSELNÝM OBORŮM JE ZA TEBOU! A JDE SE DÁL … školní rok 2014/15


19

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

Recommend Documents