PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online  “

PRACOVNÍ SEŠIT 8. tematický okruh:

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky

školní rok 2014/2015

© RNDr. Věra Effenberger

www.zvladnimatiku.cz

8. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!

Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Analytická geometrie. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Analytická geometrie unaví, nebo tě přestane bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Analytická geometrie musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!

Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Analytická geometrie“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.



2


8.

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Analytická geometrie je geometrie, ve které skoro nepoužijeme pravítko, kružítko nebo jiné __________ pomůcky. Podstatou analytické geometrie je převádění ___________ úloh na __________. Tedy úlohy, které jsme dříve rýsovali, budeme zde počítat pomocí metody souřadnic, _______ a rovnic – pomocí __________ metod.

8.1 SOUŘADNICE BODU A VEKTORU NA PŘÍMCE Souřadnice na přímce S počítáním začneme nejprve v tom nejjednodušším ________, a to prostoru, který má pouze jednu dimenzi (________) – začneme na přímce. Abychom udali polohu jakéhokoliv bodu v jednodimenzionálním prostoru, tedy na přímce, potřebujeme znát jeho souřadnice – v tomto případě jen jednu souřadnici. Pro určení polohy – souřadnice budeme používat ________ osu x se zvoleným ________ – bodem O a danou ________ ( OI  1 ). Každému bodu X této přímky přiřadíme reálné číslo = souřadnici x:  x  OX , leží-li bod X na polopřímce OI,  x   OX , leží-li bod X na opačné polopřímce k polopřímce OI.


X  x

BOD a jeho souřadnice


3


Příklad:

 3 Zobrazte na přímce následující body: A  4,5, B   3, C    .  2

Vzdálenost dvou bodů Pomocí souřadnic bodů můžeme vypočítat jejich vzdálenost: Vzdálenost dvou bodů A  x A  a B  xB  na přímce:

AB 

Příklady: Vypočítejte vzdálenost bodů P  6 a Q   2,5.

 5 Určete velikost úsečky KL : K   7, L    .  4

Souřadnice středu úsečky Střed úsečky dělí úsečku na dvě stejné části. Pro střed S  xS  úsečky AB, kde A  x A  a B  xB  platí:


xS 

x A  xB 2


4


Příklady: Určete souřadnice středu úsečky EF : E  5, F   3 .

Jsou dány body C   9,6 , S   4,1 . Vypočítejte souřadnice bodu D tak, aby bod S byl středem úsečky CD.

Vektor na přímce Orientovaná úsečka Orientovanou úsečkou rozumíme úsečku, která má pevně zvolený ________ a ________ bod. Graficky znázorňujeme orientovanou úsečku jako úsečku se ________ u koncového bodu. Velikostí orientované úsečky je ________ počátečního a koncového bodu.

Příklad: Určete souřadnice vyznačených orientovaných úseček a určete jejich velikost.

Nenulový vektor je ________ všech orientovaných úseček, které mají stejnou (nenulovou) ________ a stejný ________. Vektory označujeme: ………………………. Nulový vektor je množina všech orientovaných úseček ________ délky. Nulový vektor označujeme: ……

  Každá orientovaná úsečka, která určuje nějaký vektor u se nazývá umístění vektoru u .



5


Souřadnice vektoru

 Je-li vektor u určen orientovanou úsečkou AB ( A  x A , B  xB  ), souřadnice vektoru   , tedy u  B  A . u   xu  je rovna: xu 

 Velikost vektoru u na přímce je rovna:

 u 

Příklady: Určete souřadnice vektorů a jejich velikost:  2 u  AB, A    , B  0 3

 w  XY , X   4, Y  12

 v  UV , U  8,3, V  5,2

 o  OP, O  6, P  6

Operace s vektory Vektory lze sčítat a také násobit konstantou – reálným číslem.

Součet vektorů      Součtem libovolných dvou vektorů: u  xu , v  xv  je _______ w  u  v , jehož souřadnici

xw  vypočítáme:


xw  xu  xv .


6


    u v  v u

sčítání vektorů je komutativní

u  v   w  u  v  w 

sčítání vektorů je asociativní

Dále platí:

   u o u

Opačný vektor

   Je-li u  B  A , nazývá se vektor A  B ________ vektor k vektoru u a značí se  u .

  u  xu    u   xu 

Platí:

   u   u   o

Násobení vektoru reálným číslem 

Pro každý vektor u   xu  na přímce a každé reálné číslo k platí:

 k  u  k  xu 

Násobení vektoru je tedy opět ________. Tuto operaci si můžeme představit jako zvětšování či zmenšování vektoru, eventuálně změny jeho směru na ________.



7


Lineární kombinace vektorů Pokud provádíme operace výše zmíněné a ________ je dohromady, říkáme, že utváříme lineární kombinace vektorů. Výsledkem lineární kombinace několika vektorů je opět ______       Např.: Vektor a  u  b  v  c  w , kde a, b, c  R , je lineární kombinací tří vektorů u , v a w .

Příklady: Vypočítejte lineární kombinaci:

    a) 2u  3v vektorů u  3,5 a v   1 .

   3a   10    1    6b  c vektorů a   , b    a c  1 . b)  5 3 2

  Určete číslo a a souřadnice vektorů m  2  a  a n   4a  2 tak, aby platilo:  1 5m  n   5 2



8


8.2 SOUŘADNICE BODU A VEKTORU V ROVINĚ Nyní se přesuneme z jednodimenzionálního prostoru (tedy přímky) do prostoru o jednu dimenzi složitějšího - budeme se zabývat analytickou geometrií v ________. 2D = dvě dimenze:

délka –

výška -

Abychom udali polohu jakéhokoliv bodu v rovině, budeme potřebovat znát jeho ________. Pro určení polohy – souřadnic bodů budeme používat _________ soustavu souřadnic v rovině Oxy, tj. dvojici na sebe _______ číselných os x a y se zvoleným společným počátkem, bodem O, který je ________ os, ten na obou osách odpovídá číslu 0. X   x; y



BOD v rovině a jeho souřadnice

Příklady: Určete souřadnice bodů na obrázku: A

B

C 

D

; ; ; ;

   

Zobrazte v Oxy následující body. K   2 ;  3

L   3,5 ;  2

M   0 ; 1,5  N  1; 0 



9


Vzdálenost dvou bodů Pomocí souřadnic bodů můžeme vypočítat jejich _________, neboli velikost úsečky, kterou určují.

Vzdálenost dvou bodů A   x A ; y A  a B   x B ; y B  v rovině:

AB 

Příklady: Vypočítejte vzdálenost bodů M   4,5 ; 1 a N   1,5;  3 .

Jsou dány body C   1; 4  a D   x ; 3  , určete číslo x, tak aby velikost úsečky CD byla rovna


5.


10


Souřadnice středu úsečky Střed úsečky je charakterizován tím, že dělí úsečku na dvě _________ části. Pro

střed

S   xS ; y S



úsečky

A   x A ; y A  a B   x B ; y B  platí: xS 

x A  xB , yS  2

AB, kde

2

Příklady: Určete souřadnice středu úsečky AB : A 





3 ;  5 , B   2 ; 1.

1  Jsou dány body C   ;  2, S   3;  1 . Vypočítejte souřadnice bodu D tak, aby 2  bod S byl středem úsečky CD.

Vektor v rovině Orientovaná úsečka Již jsme si v předchozí kapitolce řekli, co je to orientovaná úsečka, že má počáteční a ________ bod, jak ji graficky znázorňujeme a jak vypočítáme její ________.



11


Příklad: Určete souřadnice vyznačených orientovaných úseček a určete jejich velikost.

Připomínám  Nenulový vektor je množina všech ___________ úseček, které mají stejnou (nenulovou) ________ a stejný ________. Vektory označujeme: ……………………….

Nulový vektor je množina orientovaných úseček ________ Nulový vektor označujeme: ……

všech délky.

Každá orientovaná úsečka, která určuje  nějaký vektor u se nazývá umístění vektoru  u. Na obrázku vidíte několik orientovaných úseček, všechny ale určují jeden vektor, protože každá z těchto orientovaných úseček má stejnou ________ a stejný ________.

Pozn.: Orientované úsečky AB, CD určují ________ vektor právě tehdy, mají-li úsečky AD, BC společný ________.



12


Souřadnice vektoru v rovině

 Je-li vektor u určen orientovanou úsečkou AB ( A   x A ; y A , B   xB ; y B  ), souřadnice  vektoru u   xu ; yu  jsou rovny:

xu  x B  x A yu  y B  y A

 , tedy u  B  A .

Dá se říci, že rozdíl dvou bodů je vektor 

Velikost vektoru  Velikost vektoru u   xu ; yu  v rovině je rovna:

 u 

Příklady: Určete souřadnice vektorů a jejich velikost:  u  AB, A   5; 3 , B   9; 0 

 v  UV , U  12 ;  4 , V    7,5;  1 

Posunutí o vektor

 Zobrazení roviny, které každému bodu X v rovině přiřadí bod X  u , se nazývá ________ o  vektor u . Co z toho vyplývá?  Když k bodu přičtu vektor, znamená to, že daný bod ________ v daném směru o danou velikost a dostanu se tím do nového bodu 



13


Příklady:  V rovině je dán bod A   7 ;  6 a vektor u   3; 16  určete souřadnice bodu  B  Au.

  1  V rovině určete souřadnice bodu D  C  a , je-li a  B  A : C   5;   , 2  A   7 ;  11  a B  13;  4 .

Operace s vektory Stejně jako v 1D prostoru (na ________) lze i v 2D – v ________ vektory sčítat, násobit reálným číslem a navíc také počítat tzv. ________ součin vektorů.

Součet vektorů      Součtem libovolných dvou vektorů: u   xu ; yu , v   xv ; yv  je vektor w  u  v , jehož

souřadnice

 xw ; y w  vypočítáme:

x w  xu  x v y w  yu  y v

Sčítání dvou vektorů si můžeme představit jako ________ dvou sil ve fyzice.

  Součet vektorů u  B  A a v  C  B je vektor    w  u  v  C  A.



14


    u v  v u

Stále platí, že:

u  v   w  u  v  w 

sčítání vektorů je komutativní sčítání vektorů je asociativní

   u o u

Opačný vektor

   Je-li u  B  A , nazývá se vektor A  B opačný vektor k vektoru u a značí se  u .

  u   xu ; yu    u   xu ;  yu 

Platí:

   u   u   o

Násobení vektoru reálným číslem 

Pro každý vektor u   xu ; yu  v rovině a každé reálné číslo k platí:

 k  u   k  xu ; k  yu  .

Násobení vektoru je tedy opět ________. Tuto operaci si můžeme představit ________ vektoru v daném směru, který určuje, nebo eventuálně v opačném směru.

Lineární kombinace vektorů Pokud provádíme operace výše zmíněné a kombinujeme je dohromady, říkáme, že utváříme lineární kombinace vektorů. Výsledkem lineární kombinace několika ______ je opět vektor        Např.: Vektor a  u  b  v  c  w , kde a, b, c  R , je lineární kombinací tří vektorů u , v a w .



15


Příklady: Vypočítejte lineární kombinaci:     a) 4u  3v vektorů u   1,5;  2 a v   5 ; 0  .

  b    1 b) 2a   5c vektorů a   7 ;  3 2 

   , b   9 ; 0 a c   1; 2  . 

Skalární součin vektorů v rovině   Skalárním součinem dvou vektorů: u   xu ; yu , v   xv ; yv  je číslo:   u  v  xu  xv 

   Pro každé vektory u , v , w a každé reálné číslo k platí:

    u v  v u

ku   v  k  uv       w  u  v   wu  wv Příklady: Vypočítejte skalární součin vektorů:   1  a) u   8;  11 , v   ; 3  4    b) a   2 ; 7 , b    3; 0 





  c) n   5; 2 , p    2 ; 5 



16


Velikost úhlu dvou vektorů Jak je definován úhel dvou vektorů?   Jestliže mají dva ________ vektory u , v umístění OU, OV, nazývá se velikost ________ úhlu   UOV úhel vektorů u , v .

  Pro úhel  dvou libovolných (nenulových) vektorů u , v

platí:

cos     uv

Odtud vyplývá:   Skalární součin dvou vektorů u , v je roven _______ právě tehdy, jestliže aspoň jeden   z vektorů u , v je nulový vektor, nebo jsou oba dva vektory nenulové a navzájem ________.

  u v  0

    u ov o     u ov o

    u ov o

    u ov o

      u  o  v  o, u  v

    u ov o

Příklady: V rovině je dán trojúhelník KLM : K   0 ; 2 , L   3; 5 , M   2 ; 0  . Určete jeho obvod a velikosti vnitřních úhlů.



17


8.3 PŘÍMKA V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky Je jasné, že každé dva různé body A, B určují právě jednu _________ AB.

 Vektor u  B  A se nazývá ________ vektor přímky AB.

Pozn.: Každá přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, každý z nich je nenulovým násobkem jiného směrového vektoru.

Rovnice:

X 

,

kde t  R

 se nazývá parametrické vyjádření přímky určené bodem A a směrovým vektorem u . Proměnná t se nazývá ________.

 Pokud výše zmíněné vyjádříme v souřadnicích X   x ; y , A   x A ; y A , u   xu ; yu



bude

________ vyjádření přímky vypadat následovně: x  x A  t  xu y  y A  t  yu , t  R

Příklady: Určete parametrické vyjádření přímky procházející body: A   2 ; 5 , B  10 ; 3  . Dále zjistěte, zda bod C   4 ; 2  na této přímce leží či ne.



18


Doplňte x-ovou souřadnici bodu M   ? ; 16  tak, aby ležel na přímce m  KL , K   4,5; 7  , L    3;  2 .

Obecná rovnice přímky Vektor ________ na směrový vektor přímky se nazývá ________ vektor této přímky. Nejčastěji ho značíme: …..

Rovnice:

,

kde a, b, c  R a aspoň jedno z čísel a,b je nenulové, se nazývá obecná rovnice přímky.  n   a; b 

Příklady: Určete obecnou rovnici přímky procházející body: A   2 ; 5 , B  10 ; 3  . Dále zjistěte, zda bod C    8; 7  na této přímce leží či ne.



19


Přímka a prochází bodem A    1; 2  a je rovnoběžná s přímkou p : x  3 y  11  0 . Určete obecnou rovnici přímky a.

Směrnicový tvar přímky Pokud upravíme ________ rovnici přímky tak, že vyjádříme y, dostaneme následující tvar: a c ax  by  c  0  y    x  b b V podstatě získáme přímku jako graf lineární funkce. Takto můžeme vyjádřit každou přímku, která není ________ s osou y. , kde k , q  R

Rovnice:

se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo k se nazývá ________ přímky.

q … určuje, ve kterém bodě přímka protíná osu y

 0; q  k … určuje ________ úhlu, který přímka svírá s kladnou poloosou x

Platí:

k  tg


k

yu xu


20


Příklady: Napište rovnici přímky p (ve směrnicovém tvaru), která prochází bodem X   5; 2  a s kladnou poloosou x svírá úhel 120 .

Určete směrnicový tvar přímky p : x  5  2t , y  2  t , t  R .

Polohové vztahy bodů a přímek v rovině Pokud budeme určovat ________ vztahy bodů a přímek, budeme zjišťovat odpovědi na otázky typu: „Prochází přímka daným bodem?“ „Leží tento bod na přímce?“ „Jsou dané dvě přímky rovnoběžné?“ „Jsou dané přímky na sebe kolmé?“ atp.

Bod a přímka Vzájemná poloha bodu a přímky může být v rovině následující:  bod B leží na přímce p / přímka p prochází bodem B zapisujeme:  souřadnice bodu ________ rovnici přímky



21


 bod B neleží na přímce p / přímka p neprochází bodem B zapisujeme:  souřadnice bodu ________ rovnici přímky, neplatí pro ně předepsaná rovnost

Příklady: Určete, zda přímka prochází daným bodem: a) p : y  2 x  7,

1 2 A   ; 5  3 3

b) q : x  5t

B   4 ; 3,4 

y  3  0,5t , t  R

Dvě přímky Dvě přímky v rovině mohou mít následující vzájemnou polohu:    přímky a  A , u  , b B , v  jsou rovnoběžné splývající / totožné

zapisujeme:    směrový/normálový vektor u je _________ směrového/normálového vektoru v a bod B leží na přímce A    přímky a  A , u  , b B , v  jsou rovnoběžné různé

zapisujeme:    směrový/normálový vektor u je násobkem směrového/normálového vektoru v



22


   přímky a  A , u  , b B , v  jsou různoběžné

zapisujeme: nebo    mají společný právě jeden bod – ________; vektor u není násobkem vektoru v

Příklady: Určete vzájemnou polohu přímek: a) a  AB : A   3; 8 , B   2 ; 5  , b : 6 x  10 y  1  0

b) m : y 

c)

6 x  5,6 , n : x  2  3t , y  6  2t , t  R 5

p : x  2  2t y  4t

q : x  6  4s ,tR

y  6  2 s , s  R

Je dána přímka a : 2 x  y  2  0 a bod X   3; 1 . Napište rovnici přímky p : X  p, p || a a také rovnici přímky q : X  q, q  a .



23


Metrické vztahy bodů a přímek v rovině Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost bodu P   x P ; y P



od přímky

a : ax  by  c  0 vypočítáme:

d

ax P  by P  c

Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek Při počítání vzdálenosti dvou _________ přímek a, b, převedeme tuto úlohu na počítání vzdálenosti přímky a od bodu B b.



Odchylka dvou různoběžných přímek Odchylka přímek a, b se směrovými vektory    u , v je úhel   0 ; , pro který platí: 2   u v cos    uv



24


Příklady: Určete vzdálenost dvou rovnoběžek: m : 2 x  3 y  6  0 , n : 4 x  6 y  1  0 .

Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku, jehož strany leží na přímkách, které mají rovnice: 7 x  y  10  0 , 4 x  3 y  12  0 , x  7 y  3  0 .

Vypočítejte obsah rovnoběžníku ABCD, jestliže: C   2 ; 4  a určete souřadnice bodu D.

A   5;  3  ,

B   2;  5 ,

SKVĚLE, TEORII K

ANALYTICKÉ GEOMETRII MÁŠ ZA SEBOU! HURÁ …



25

PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

Recommend Documents