PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online  “

PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh:

PLANIMETRIE

vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky

školní rok 2014/2015

© RNDr. Věra Effenberger

www.zvladnimatiku.cz

6. PLANIMETRIE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!

Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Planimetrie. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Planimetrie unaví, nebo tě přestane bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Planimetrie musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!

Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Planimetrie“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.



2


6.

PLANIMETRIE

6.1 PLANIMETRICKÉ POJMY A POZNATKY Co je to planimetrie? Planimetrie je část geometrie, která se zabývá studiem geometrických útvarů v _________.

Pro tvorbu různých modelů geometrických útvarů si v planimetrii vystačíme s _________ (= rovina = 2D prostor) a tužkou, propiskou a popř. kružítkem.

PLÁŇ PLÁN PLANIMETRIE



Základní geometrické útvary Bod Bod je _________ geometrický útvar, je zadán svoji polohou a nedá se rozdělit na menší části. Pomocí něho vytváříme další _________ útvary (množiny bodů). Značí se:



3


Přímka Dvěma různými body prochází _________ přímka. Přímka je tedy spojnice dvou _________ bodů, nemá začátek ani konec, je prodloužena do nekonečna. Značí se:

Vzájemná poloha bodu a přímky a) bod B leží na přímce p / přímka p prochází bodem B / bod B je _________ s přímkou p zapisujeme: b) bod B neleží na přímce p / přímka p _________ bodem B / bod B není incidentní s přímkou p zapisujeme:

Vzdálenost bodu od přímky Pokud bod není s přímkou incidentní, můžeme určit jeho _________ od přímky. Vzdálenost měříme na _________.

Vzájemná poloha dvou přímek a) přímky jsou rovnoběžné splývající / totožné zapisujeme: b) přímky jsou rovnoběžné různé zapisujeme:



4


c) přímky jsou různoběžné zapisujeme: nebo

Vzdálenost dvou přímek Pokud jsou přímky navzájem _________, můžeme určit jejich vzdálenost. Tu naměříme na společné kolmici.

Množina všech bodů, které mají od dané přímky b danou vzdálenost d>0, je dvojice přímek a, á rovnoběžných s přímkou b, ležících v opačných polorovinách určených přímkou b ve vzdálenosti d od ní. X  ; Xb  d   a  a, kde : a || b || a

Osa pásu Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou daných různých rovnoběžek p, q, X  ; Xp  Xq   o je osa pásu. Konstrukce:



5


Odchylka dvou přímek Pokud jsou dvě přímky _________, můžeme určit jejich odchylku, neboli určit _________, který svírají. Odchylka je úhel z intervalu 0; 90 tedy 0;

 2

.

Jestliže dvě přímky mají odchylku rovnou 90 – svírají _________ úhel, říkáme, že jsou přímky navzájem kolmé. Příklady: Narýsujte přímku p, která prochází bodem A a je kolmá na přímku m. Dále narýsujte přímku q, která prochází bodem B a má od přímky m odchylku 45 . A nakonec sestrojte přímku r, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází průsečíkem přímky q a m. Určete vzdálenost těchto rovnoběžek.

Polopřímka Bod ležící na přímce dělí přímku na ____ části, navzájem opačné polopřímky. Ty se zadávají také pomocí dvou bodů, ale na rozdíl od přímky zde záleží na jejich _________. První z nich je krajní bod, tzv. počátek. Značí se:



6


Úsečka Přímá spojnice mezi _________ různými body je úsečka. Je ohraničena dvěma _________ body a proto můžeme určovat její velikost, měřit její délku (= vzdálenost krajních bodů), přestože má nekonečně mnoho bodů. Značí se:

Střed úsečky, osa úsečky Střed úsečky je bod, který dělí úsečku na dvě _________ části. Osa úsečky je přímka, která prochází středem úsečky a je na úsečku _________. Osa úsečky AB je množina všech bodů, které mají od bodů A, B stejnou vzdálenost: o  X   ; AX  BX  Konstrukce:

Rovina Rovina je _________ geometrický útvar. Můžeme si ji představit jako neomezenou dokonale rovnou plochu. Značí se: Rovina může být určena:

 ____ různými body  přímkou a bodem, který na přímce _________  dvojicí rovnoběžných _________ přímek  dvojicí _________ přímek.



7


Polorovina Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny. Daná přímka je jejich společnou _________ přímkou neboli hranicí. Každý bod, který neleží na hraniční přímce, je _________ bodem jedné z polorovin. (Hraniční přímka patří do obou polorovin.) Značí se:

Úhel Úhel je definován jako část roviny ohraničená dvěma _________ se stejným počátkem. Těmto polopřímkám říkáme _______ úhlu a společný počátek se nazývá _______ úhlu. Značí se: Ramena úhlu však dělí rovinu na dva úhly:  jeden z nich je konvexní (tj. úsečka AB mu celá náleží)  druhý je nekonvexní vnitřní bod úhlu –

Velikost úhlu můžeme měřit ve:  stupňové míře – ve stupních ……………………………………………..

 obloukové míře – v radiánech ……………………………………………..

Platí převod:


  ___ 


8


Příklady: převeďte na radiány:

převeďte na stupně:

360 

  2

45 

60  30 

2   3

3 

Druhy úhlů podle velikosti:  nulový úhel  ostrý úhel

 dutý úhel

 pravý úhel  tupý úhel

 plný úhel

 přímý úhel

Příklad: Určete velikost úhlů a určete, o jaké druhy úhlů se jedná:

Pozn.: Geometrický útvar se nazývá konvexní, právě tehdy když úsečka s krajními body v libovolných dvou bodech útvaru je částí tohoto útvaru. školní rok 2014/15


9


Osa úhlu Osa úhlu je _________, která prochází _________ úhlu a půlí jej na dva shodné úhly. Množina všech bodů daného konvexního úhlu AVB, které mají stejnou vzdálenost od přímek, v nichž leží jeho ramena, je osa tohoto úhlu.

X  AVB; X  VA 

X  VB   o

Konstrukce:

Thaletova kružnice Množina všech _________ úhlů, jejichž ramena procházejí danými různými body A, B je kružnice s průměrem AB kromě bodů A, B. = _________ kružnice.

X  ; AXB  90   AB



10


Dvojice úhlů:  vedlejší úhly – …………………………………. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel.

obrázek:

 vrcholové úhly – …………………………………. Vrcholové úhly jsou shodné.

obrázek:

 souhlasné úhly - ………………………………….

obrázek:

 střídavé úhly - ………………………………….

obrázek:

Množina všech bodů dané vlastnosti Množina M všech bodů roviny  , které mají danou vlastnost, je množina bodů, pro kterou současně platí: 1. Každý bod M má danou vlastnost 2. Každý bod roviny, který má danou vlastnost, patří do množiny M. Tyto skutečnosti využijeme při řešení konstrukčních úloh.

Příkladem množiny bodů daných vlastností: ………………………………………………………………………………………………………………………………..



11


6.2 TROJÚHELNÍKY Trojúhelník ABC je průnik tří polorovin ABC, CAB, BCA, při tom body A, B, C jsou různé a neleží na jedné _________.

Objekty v trojúhelníku vrcholy:

vnitřní úhly:

strany:

Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je ______ stupňů.

Trojúhelníková nerovnost: hranice (obvod): vnitřní body (vnitřek):

vnější úhly: Vnější úhel je roven součtu _________ úhlů při zbývajících vrcholech.

Rozdělení trojúhelníků  podle délek stran a) různostranné b) rovnoramenné c) rovnostranné



12


 podle velikosti vnitřních úhlů a) ostroúhlé b) pravoúhlé c) tupoúhlé

Střední příčky trojúhelníku

Těžnice trojúhelníku

 jsou úsečky, které spojují _________ protějších stran

 jsou úsečky, které spojují střed strany s _________ vrcholem

vlastnosti:

těžiště = průsečík těžnic vlastnosti:

Příklad: Narýsujte  ABC : b  7cm, c  10cm,

S AB S AC  2cm .


Příklad: Narýsujte  ABC : a  6cm, t a  9cm,

  35 .


13


Výšky trojúhelníku  výška je úsečka, jejímiž krajními body jsou _________ a pata kolmice protější strany ortocentrum = _________ výšek vlastnosti:

Příklad: Narýsujte  ABC : c  8,5cm, tc  7,5cm, vc  5cm .



14


Kružnice opsaná trojúhelníku Kružnice opsaná trojúhelníku prochází všemi třemi _________ trojúhelníku. Střed kružnice opsané:

Kružnice vepsaná trojúhelníku Kružnice vepsaná se dotýká všech tří _________ trojúhelníku. Strany tvoří ________ kružnice. Střed kružnice vepsané:



15


Shodnost trojúhelníků Co je to shodnost? ___________________________________________________________ Věty o shodnosti trojúhelníků:  Věta sss:

Dva Δ, které se shodují ve všech _________, jsou shodné.

 Věta sus:

Dva Δ, které se shodují ve dvou ______ a ______, který strany svírají, jsou shodné.

 Věta usu:

Dva Δ, které se shodují v jedné straně a úhlech k této straně __________, jsou shodné.

 Věta Ssu:

Dva Δ, které se shodují ve dvou ________ a úhlu proti větší z nich, jsou shodné

Podobnost trojúhelníků Co je to podobnost? ___________________________________________________________ číslo k nazýváme – ________ podobnosti. Věty o podobnosti trojúhelníků:  Věta sus:

Dva Δ, které se shodují v ________ délek dvou stran a úhlu, který svírají, jsou podobné

 Věta uu:

Dva Δ, které se shodují ve dvou ________, jsou podobné.

Příklad: Vypočítejte výšku stromu, který vrhá stín délky 22 metrů, víte-li, že ve stejném okamžiku 2 metry vysoký pilíř vrhá stín dlouhý 3 metry.



16


Pravoúhlý trojúhelník V pravoúhlém trojúhelníku platí několik báječných věcí, proto se na něj nyní zaměříme 

Pythagorova věta V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou c= AB platí:

Tedy:

*Eukleidovy věty  o výšce

v 2  ca  cb

 o odvěsně

a 2  c  ca b 2  c  cb

Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku PQR je odvěsna QR rozdělena bodem X na dva úseky, z nichž XQ má délku 10. Vypočítejte délku přepony r  PQ , jestliže PR  12 a

PX  15 .



17


Goniometrické funkce V pravoúhlém trojúhelníku jsou goniometrické funkce definovány jako __________ délek příslušných stran trojúhelníku.

Sinus úhlu: = je poměr __________ odvěsny

Kosinus úhlu: = je poměr __________ odvěsny

k __________

k __________

cos 

sin  

Tangens úhlu: = je poměr __________ odvěsny

Kotangens úhlu: = je poměr __________ odvěsny

k __________ odvěsně

k __________ odvěsně

cotg 

tg 

stupně

0

radiány

0

sinus

0

kosinus

1

tangens

0

kotangens

--


30 

45 

60 

90 

6

4

3

2

1 2

2 2 2 2

3 2 1 2

1

1

3 2 3 3 3

180



270 3 2

360 2

1

0

1

0

0

1

0

1

3

--

0

--

0

3 3

0

--

0

--


18


Příklady: Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c. Určete, která tvrzení by mohla být pravdivá a která nikoliv: a) a  1, c  4 ,   30

ANO NE

b) a  2 , b  4 ,   45

ANO NE

c) a  1, b  3 ,   30

ANO NE

d) a  8 , c  4 ,   45

ANO NE

Vypočítejte velikosti úhlů: , ,  v pravoúhlém trojúhelníku KLM, jestliže KL  6 ,

KM  MX  3 .

Obecný trojúhelník Při řešení obecného trojúhelníku se využívají trigonometrické věty. My si uvedeme ty nejvýznamnější.

Sinová věta Pro každý Δ ABC (viz obrázek), platí:

a  sin 



c  2r , sin 

kde r je poloměr kružnice ________ trojúhelníku.



19


Kosinová věta Pro každý Δ ABC (viz obrázek), platí:

a 2  b 2  c 2  2bc  cos  b 2  a 2  c 2  2ac  cos  c2 

Příklad: Čtvercový pozemek byl vyměřován pomocí přístrojů. Z výhledového bodu, z něhož byla jedna strana pozemku vidět pod úhlem 75 , byly určeny vzdálenosti ke krajním bodům pozemku (150 m a 135 m). Určete obsah tohoto pozemku.

Obvod a obsah trojúhelníku Obvod trojúhelníku:

o

Obsah trojúhelníku: základní vzorec:


S


20


další užitečné vzorce:  pomocí vnitřního úhlu:

S

1 1 1 ab sin   ac sin   bc sin  2 2 2

 pomocí délek všech stran: S  s  s  a   s  b    s  c  ,

kde s=

Příklady: Délka odvěsny AB v pravoúhlém trojúhelníku ABC je 26 cm. Na druhé odvěsně BC leží bod D. Obsah tupoúhlého trojúhelníku ADC je 56 cm2. Určete délku strany CD (v cm) v trojúhelníku ADC.

Vypočítejte délku plotu, kterým je potřeba ohraničit trojúhelníkový pozemek na plánku:



21


6.3 MNOHOÚHELNÍKY Mnohoúhelníky Konvexní mnohoúhelník

Nekonvexní mnohoúhelník

Pro každý mnohoúhelník platí:  n-úhelník má n vrcholů, n stran a

2

úhlopříček

 součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku je n 

 180

Ovšem ne všem lze opsat nebo vepsat kružnici. Konvexní mnohoúhelník, kterému lze sestrojit:  kružnici opsanou, se nazývá _________ mnohoúhelník.  kružnici vepsanou, se nazývá _________ mnohoúhelník.



22


Pravidelné mnohoúhelníky Pravidelný mnohoúhelník je každý mnohoúhelník, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní (tedy i vnější) úhly _________.

Obvod:

o

a o S  n   2 2

Obsah:

Příklad: Spočítejte obvod a obsah pravidelného devítiúhelníku se stranou délky 4,6 cm.

Čtyřúhelníky čtyřúhelníky

Základní druhy čtyřúhelníků

různoběžníky

lichoběžníky

rovnoběžníky

pravoúhlé

čtverce


obdélníky

kosoúhlé

kosočtverce

kosodélníky


23


Obsahy a obvody čtyřúhelníků

Čtverec

Kosočtverec

o  4a

o

S

1 S  u1  u 2 2

1 S  u 2 , kde u  a 2 2

S  a 2  sin 

Obdélník

Kosodélník = Rovnoběžník

o  2  a  b

o  2  a  b

S  ab

S  av S  ab  sin 

Lichoběžník o  abcd S

ac v  s v 2



24


Příklady: Rovnoběžník KLMN rozděluje úhlopříčka KM na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Vypočítejte obvod a obsah rovnoběžníku.

Určete součet ploch tří rovinných útvarů zakreslených ve čtvercové síti na obrázku (platí: 1 čtverec = 1 cm2).



25


6.4 KRUŽNICE A KRUH Základní pojmy a vzorce týkající se kružnice a kruhu Kružnice Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od pevně zvoleného bodu S danou vzdálenost r. Značí se: ………………..  střed kružnice  poloměr kružnice

 vnitřní oblast kružnice

 průměr kružnice

 vnější oblast kružnice

 tětiva kružnice

Obvod kružnice:

o

Příklad: Pan Novák chce vyvézt na trakaři balík slámy ze slamníku k výběhu koní. Kolikrát se kolo trakaře otočí, jestliže průměr kola je 39,6 cm a cesta má délku 450 m?



26


Kružnicový oblouk středový úhel nad obloukem AB obvodový úhel nad obloukem AB

Platí:

Délka kružnicového oblouku: 

AB 

2 r  360

Kruh Kruh je množina všech bodů v rovině, které mají od pevně zvoleného bodu S vzdálenost rovnu nebo menší než dané číslo r. Obsah kruhu:

S

Mezikruží Příklad: Vypočítejte

obsah

mezikruží

kružnic

k1 , k 2

s poloměry: r1  29 cm, r2  2,6 dm .



27


Kruhová výseč

Kruhová úseč Příklad: Vypočítejte obsah kruhové úseče   80 , kružnice, r=4.



AB 

 r2 360



Vzájemná poloha přímky a kružnice v rovině Přímka p a kružnice k mohou mít následující tři vzájemné polohy:

1. p je vnější přímka k počet společných bodů: ____ podmínka:

2. p je tečna k počet společných bodů: ____ podmínka:

3. p je sečna k počet společných bodů: ____ podmínka:



28


6.5 GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ Shodná zobrazení v rovině Shodné zobrazení neboli shodnost je zobrazení, které je prosté a pro každé dva body X, Y a jejich obrazy X , Y  platí:

X Y   XY . Shodná zobrazení tedy zachovávají _________. Jedná se o: identitu, _________ souměrnost, středovou souměrnost, _________ a otočení.

Osová souměrnost

Středová souměrnost



29


Posunutí

Otočení o 60 stupňů v kladném směru (proti směru hodinových ručiček)

SUPER,

PLANIMETRII MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ TÉMA … školní rok 2014/15


30

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

Recommend Documents