z matematiky na PedF UK v Praze

Sbı´rka u´loh k prˇ´ıjı´macı´m zkousˇka´m z matematiky na PedF UK v Praze Antonı´n Vrba, Jaroslav Zhouf

Univerzita Karlova v Praze

2003

Pedagogická fakulta

Autory u´loh jsou cˇlenove´ katedry matematiky a didaktiky matematiky na Pedagogicke´ fakulteˇ Univerzity Karlovy v Praze. Systémem LATEX 2ε zpracovala: Nad’a Stehlı´kova´ Obrázky nakreslil: Martin Adamec

Katedra matematiky a didaktiky matematiky, PedF UK, Praha, 2003 Vyda´nı´ podporˇil VZ J13/98:114100004. ISBN 80-7290-144-3

Předmluva Va´zˇenı´ za´jemci o studium ucˇitelstvı´ matematiky, prˇipravili jsme pro va´s sbı´rku u´loh vybrany´ch z pı´semny´ch prˇijı´macı´ch zkousˇek zadany´ch ´ lohy jsou rˇazeny do cˇtverˇic podobneˇ jako u zkousˇky, na nasˇ´ı fakulteˇ v poslednı´ch letech. U kde je na vyrˇesˇenı´ cˇtyrˇ u´loh 60 minut cˇiste´ho cˇasu. ´ lohy proveˇrˇujı´ znalosti strˇedosˇkolske´ matematiky, schopnost u´sudku, geometrickou U prˇedstavivost a vsˇeobecnou matematickou kulturu. Nevyzˇadujeme znalosti diferencia´lnı´ho a integra´lnı´ho pocˇtu ani matematicke´ statistiky. K rˇesˇenı´ u´loh nejsou zapotrˇebı´ tabulky ani kalkulacˇka, jejich uzˇ´ıva´nı´ je vsˇak u zkousˇky povoleno. K rˇesˇenı´ geometricky´ch u´loh mu˚zˇete potrˇebovat beˇzˇne´ ry´sovacı´ pomu˚cky, tak si je k pı´semne´ cˇa´sti prˇijı´macı´ zkousˇky nezapomenˇte prˇine´st. V na´sledujı´cı´ sbı´rce u´loh uva´dı´me nejprve texty u´loh (varianta A–T), pak jejich rˇesˇenı´, da´le na´sledujı´ obdobne´ u´lohy (varianta OA-OT) s rˇesˇenı´mi. Doporucˇujeme, abyste se nejprve pokusili kazˇdou u´lohu vyrˇesˇit samostatneˇ a teprve pak si prostudovali rˇesˇenı´ a porovnali je s vlastnı´m rˇesˇenı´m. Zvla´sˇteˇ, kdyzˇ jste nebyli u´speˇsˇnı´, bude vhodne´, kdyzˇ se pak jesˇteˇ zkusı´te pustit do prˇ´ıslusˇne´ obdobne´ u´lohy. Pouhe´ cˇtenı´ rˇesˇenı´ nenı´ prˇ´ılisˇ uzˇitecˇne´. Pı´semna´ prˇijı´macı´ zkousˇka z matematiky tvorˇ´ı sice jen cˇa´st cele´ prˇijı´macı´ zkousˇky na Pedagogickou fakultu UK v Praze, tvorˇ´ı vsˇak jejı´ podstatnou cˇa´st. Proto veˇnujte prˇ´ıpraveˇ na tuto zkousˇku patrˇicˇnou pozornost. Teˇsˇ´ıme se na shledanou u prˇijı´macı´ch zkousˇek a pak po pra´zdnina´ch na prˇedna´sˇka´ch. Pracovnı´ci katedry matematiky a didaktiky matematiky Pedagogicke´ fakulty Univerzity Karlovy v Praze

3

Obsah Zada´nı´ u´loh, varianta A–T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Zada´nı´ u´loh s rˇesˇenı´mi, varianta A–T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Zada´nı´ obdobny´ch u´loh, varianta A–T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Zada´nı´ obdobny´ch u´loh s rˇesˇenı´mi, varianta A–T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4

Varianta A A1. Najdeˇte vsˇechny hodnoty parametru p, pro neˇzˇ ma´ nerovnice x2 + 5x + 7 5 px + 3 (a) 0 rˇesˇenı´, (b) pra´veˇ l rˇesˇenı´, (c) pra´veˇ 2 rˇesˇenı´, (d) vı´ce nezˇ 2 rˇesˇenı´. A2. V pravou´hle´m troju´helnı´ku ABC oznacˇme E patu vy´sˇky na prˇeponu AB. Vyja´drˇete de´lku d u´secˇky AE pomocı´ de´lek odveˇsen a = |BC|, b = |AC|. Jaky´ch hodnot mu˚zˇe d naby´vat, je-li a = 1, b 5 a? A3. Nakreslete graf funkce y =

sin 4x v intervalu h0, πi. | cos 2x|

A4. V obra´zku krychle ABCDEF GH (standardnı´ znacˇenı´) vyznacˇte bod R spolecˇny´ trˇem rovina´m ACH, DEF , ABF .

5

Varianta B B1. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´ q q √ √ x + x + 4 = 2 x − x + 4. 1 − 2|. B2. Nakreslete graf funkce y = | 3x

B3. Uvazˇujme kva´dr se cˇtvercovou podstavou a s celocˇ´ıselny´mi velikostmi hran (v cm). Prodlouzˇ´ıme-li jednu hranu o polovinu jejı´ de´lky a jednu hranu o polovinu zkra´tı´me, zmensˇ´ı se jeho objem o 150 cm3 . Urcˇete pu˚vodnı´ rozmeˇry kva´dru. B4. Do dvou krychlı´ na obr. 1 doplnˇte pı´smena R tak, aby jejich poloha souhlasila se sı´tı´.

Obr. 1

6

Varianta C C1. Kruzˇnici obı´hajı´ rovnomeˇrneˇ a ve stejne´m smyslu body B a b. Bod B ji obeˇhne za T sekund, bod b za t sekund (T > t). Na pocˇa´tku jsou body B, b ve stejne´ poloze. Za jak dlouho se prˇ´ısˇteˇ opeˇt setkajı´? C2. Kolik peˇticiferny´ch cˇ´ısel, ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı peˇtkou, je deˇlitelny´ch patna´cti? C3. Urcˇete v za´vislosti na hodnoteˇ parametru a, kolik rˇesˇenı´ v oboru rea´lny´ch cˇ´ısel ma´ rovnice (a + 5)x2 − (a + 2)x + 1 = 0. C4. Uvazˇujme pravidelny´ sˇestiboky´ kolmy´ hranol ABCDEF A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 , |AB| = = |AA0 | = 1. Vypocˇteˇte povrch a objem trojboke´ho jehlanu BF D0 F 0 .

7

Varianta D D1. V obra´zku krychle ABCDEF GH (standardnı´ znacˇenı´) vyznacˇte pru˚secˇ´ık P u´hloprˇ´ıcˇky F D s rovinou ACH. D2. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, 0 5 x 5 2π, pro ktera´ platı´ 1 = 4 cos x. sin x D3. Oznacˇme S pru˚secˇ´ık u´hloprˇ´ıcˇek lichobeˇzˇnı´ku ABCD s obsahem 1. Vyja´drˇete obsah P troju´helnı´ku ABS pomocı´ de´lek za´kladen a = |AB|, b = |CD|. Jaky´ch hodnot mu˚zˇe obsah P naby´vat, je-li a > b? D4. Nakreslete graf funkce x2 + x − 6 y= . |x + 3|

8

Varianta E E1. Kolik peˇticiferny´ch cˇ´ısel deˇlitelny´ch 75, v nichzˇ se zˇa´dna´ cˇ´ıslice neopakuje, lze sestavit z cˇ´ıslic 2, 3, 4, 5, 6, 7? E2. Do obr. 2 dokreslete rˇez krychle rovinou P QR. Obdobneˇ, jako je tomu u bodu˚ P , Q, R, vyznacˇte i u ostatnı´ch pru˚secˇ´ıku˚ hran s rovinou rˇezu jejich vzda´lenost od vrcholu˚ krychle.

Obr. 2

E3. Pravidelne´mu sˇestiu´helnı´ku opisˇme a vepisˇme kruh. Urcˇete pomeˇr obsahu˚ teˇchto kruhu˚. E4. Je da´no rea´lne´ cˇ´ıslo p. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´ |x + p| = x. Urcˇete za´vislost rˇesˇenı´ na parametru p.

9

Varianta F F1. Uvnitrˇ troju´helnı´ku ABC zvolme bod X a sestrojme jeho obraz XA (XB , XC ) ve strˇedove´ soumeˇrnosti se strˇedem A (B, C). Urcˇete polohu bodu X tak, aby obsah troju´helnı´ku XA XB XC byl co nejveˇtsˇ´ı. F2. Petr a Pavel majı´ dnes narozeniny. Kdyzˇ bylo Petrovi tolik, kolik je dnes Pavlovi, byl soucˇin jejich veˇku˚ 21. Kolik je jim dnes let? F3. Kulove´ plosˇe opisˇme a vepisˇme krychli. Urcˇete pomeˇr objemu˚ teˇchto krychlı´. F4. Nakreslete graf funkce y = x2 − |5x − 6|.

10

Varianta G G1. Popisˇte, jak sestrojı´te (kruzˇ´ıtkem a pravı´tkem) cˇtverec, ktery´ ma´ stejny´ obsah jako dany´ rovnobeˇzˇnı´k ABCD. √ √ √ G2. Rˇesˇte rovnici ( p − 1)x2 + 2x p + 1 + p + 1 = 0. Proved’te diskusi vzhledem k parametru p. G3. Secˇteˇte vsˇechna peˇticiferna´ cˇ´ısla, ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı peˇtkou. G4. Odrˇ´ıznutı´m vrcholu B dostaneme z krychle ABCDA0 B 0 C 0 D0 teˇleso TB (obr. 3). Z neˇho stejny´m zpu˚sobem odrˇ´ızneme vrchol D0 a dostaneme tak teˇleso TBD0 . Vypocˇteˇte povrch a objem teˇlesa TBD0 , je-li |AB| = 1.

Obr. 3

11

Varianta H H1. Najdeˇte vsˇechna cela´ cˇ´ısla p, pro neˇzˇ ma´ rovnice px2 + 2px + 3p − 4x − 4 = 0 dveˇ ru˚zna´ rea´lna´ rˇesˇenı´. H2. V krychli ABCDEF GH je bod K strˇed hrany EF , bod L strˇed hrany CD, bod S str ˇed steˇny ADHE a bod T strˇed steˇny BCGF (obr. 4a). Cˇtyrˇu´helnı´k T KSL ma´ obsah √ 9 2 cm2 . Urcˇete objem krychle. H3. Kolik sˇesticiferny´ch cˇ´ısel nenı´ deˇlitelny´ch ani jednı´m z cˇ´ısel 28 a 98? H4. Pravou´hly´ troju´helnı´k ABC (s odveˇsnami a, b) rozdeˇlte prˇ´ıcˇkou XY , X ∈ AC, Y ∈ AB, rovnobeˇzˇnou s CB tak, aby troju´helnı´k AXY a lichobeˇzˇnı´k CBY X meˇly stejne´ obsahy (obr. 4b). Vypocˇteˇte de´lku x = |XY | pomocı´ de´lek odveˇsen a, b, graficky ji sestrojte a konstrukci popisˇte.

(a)

(b) Obr. 4

12

Varianta I I1. V krychli ABCDEF GH je bod P strˇed hrany AB, bod Q je strˇed hrany HG. Da´le K je strˇed P C, L je strˇed CQ, M je strˇed QE a N je strˇed EP (obr. 5). Urcˇete obsah cˇtyrˇu´helnı´ku KLM N , je-li de´lka hrany krychle 10 cm. I2. Je da´na rovnice x2 + 10x + s = 0. Urcˇete parametr s a druhe´ rˇesˇenı´ rovnice, jestlizˇe vı´te, zˇe jedno rˇesˇenı´ rovnice je rovno 7. I3. Prˇedstavte si, zˇe na cˇtverecˇkovane´m papı´ru je nakreslen obde´lnı´k o rozmeˇrech 56 × 32 cˇtverecˇku˚. Strany obde´lnı´ku lezˇ´ı v linka´ch cˇtverecˇkovane´ho papı´ru. Na kolik cˇa´stı´ je jeho u´hloprˇ´ıcˇka rozdeˇlena pru˚secˇ´ıky s linkami? I4. Na obr. 6 je troju´helnı´k ABC. Bod T je Obr. 5 0 jeho teˇzˇisˇteˇ, bod B strˇed AC, bod K strˇed B 0 A0 . Pro bod L platı´, zˇe 3|AL| = |AA0 |. Obsah troju´helnı´ku ALB 0 je roven 3. Urcˇete obsah troju´helnı´ku˚ ABC a CKA0 .

Obr. 6

13

Varianta J J1. Motocyklistovi trva´ cesta za bezveˇtrˇ´ı tb hodin, proti veˇtru tp hodin. Jak dlouho by mu trvala cesta s veˇtrem v za´dech? x2 − 7x + p J2. Rˇesˇte rovnici 10 3 − x − 1 = 0 s parametrem p. J3. Sestrojte cˇtyrˇu´helnı´k P RST , jsou-li da´ny de´lky vsˇech cˇtyrˇ stran a vı´te-li, zˇe u´hloprˇ´ıcˇka RT pu˚lı´ u´hel prˇi vrcholu T . J4. V uzavrˇene´ na´dobeˇ tvaru pravidelne´ho cˇtyrˇboke´ho jehlanu s vy´sˇkou 15 cm a podstavou tvaru cˇtverce o straneˇ 12 cm je nalita voda do dvou trˇetin vy´sˇky (obr. 7). Na´dobu prˇevra´tı´me podstavou dolu˚. Do jake´ vy´sˇky bude dosahovat voda?

Obr. 7

14

Varianta K K1. Dveˇ auta jedou po stejne´ silnici rychlostmi v1 km/h a v2 km/h. Kdyby jela proti sobeˇ, setkala by se za t hodin. Za jak dlouho se setkajı´, kdyzˇ jedou stejny´m smeˇrem? K2. Rˇesˇte nerovnici: log22 x + log2 x − 2 = 0 K3. Sestrojte troju´helnı´k ABC, je-li da´no c, γ, va . K4. Je da´na krychle s hranou a. Vypocˇ´ıtejte povrch a objem cˇtyrˇboke´ho jehlanu, jehozˇ podstavou je jedna steˇna krychle a vrchol lezˇ´ı ve strˇedu jedne´ hrany jejı´ protilehle´ steˇny.

15

Varianta L L1. Za kolik minut po 4. hodineˇ se hodinova´ a minutova´ rucˇicˇka poprve´ prˇekryjı´? x2 +3x−28 L2. Urcˇete pru˚secˇ´ıky grafu funkce f (x) = 2 − log2 x+7 s osami sourˇadnic. L3. Sestrojte lichobeˇzˇnı´k KLM N , jsou-li da´ny u´hly α, β prˇi za´kladneˇ KL, de´lka ramene LM (|LM | = l) a de´lka s strˇednı´ prˇ´ıcˇky lichobeˇzˇnı´ku KLM N . L4. Kulove´ plosˇe o polomeˇru r = 5 vepisˇme va´lec, jehozˇ obsah pla´sˇteˇ se rovna´ soucˇtu obsahu˚ obou podstav. Vypocˇteˇte povrch va´lce.

16

Varianta M M1. Nakreslete graf funkce f (x) = x(|x + 4| − |x − 4|). M2. Rˇesˇte rovnici cos 15◦ sin 3x − sin 165◦ cos 3x = −

√

2 2 .

M3. Soucˇin 9. a 16. cˇlenu geometricke´ posloupnosti je 2. Urcˇete soucˇin prvnı´ch 24 cˇlenu˚ te´to posloupnosti. M4. Cˇtyrˇu´helnı´k ABCD je vepsa´n do kruzˇnice. Urcˇete velikost u´secˇky AE, je-li (obr. 8) |CD| = 7,

|DE| = 3,

Obr. 8

17

|AB| = 11.

Varianta N N1. Nakreslete graf funkce y = sin 2|x + π4 | pro x ∈ h−2π, 2πi. N2. Uvazˇujme vsˇechny troju´helnı´ky, ktere´ majı´ vsˇechny vrcholy ve vrcholech dane´ho pravidelne´ho desetiu´helnı´ku. Kolik procent z teˇchto troju´helnı´ku˚ je tupou´hly´ch? N3. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru a, pro neˇzˇ funkce f (x) = (a + 1)x2 − 3ax + 4a nenaby´va´ hodnoty f (x) = 1 pro zˇa´dne´ x. N4. V kva´dru ABCDA0 B 0 C 0 D0 je prˇi obvykle´m znacˇenı´ |∠ABA0 | = 30◦ , |∠CBC 0 | = = 45◦ . Vypocˇteˇte cos |∠A0 BC 0 |.

18

Varianta O O1. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru a, pro neˇzˇ funkce f (x) = (1 − a2 )x2 + 2(1 + a)x naby´va´ hodnoty f (x) = 2 pra´veˇ pro jedno x. O2. V podniku pracuje 200 deˇlnı´ku˚. Vedenı´ podniku hodla´ zvy´sˇit vy´robu o 32%. Zavedenı´m nove´ technologie se zvy´sˇ´ı vy´konnost deˇlnı´ku˚ o 10%. Kolik deˇlnı´ku˚ bude trˇeba jesˇteˇ prˇijmout? O3. De´lky stran pravou´hle´ho troju´helnı´ku oznacˇme a, b, c tak, aby a < b < c, de´lku vy´sˇky na prˇeponu v. Dokazˇte, zˇe troju´helnı´k, jehozˇ strany majı´ de´lku b − a, v, c − v, je pravou´hly´. O4. Nakreslete graf funkce y = |3|4−x| − 9|.

19

Varianta P P1. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´: √ √ √ √ 1+x+ 1−x 1+x− 1−x √ √ √ +√ = 4x. 1+x− 1−x 1+x+ 1−x P2. Najdeˇte vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla n < 100, pro ktera´ je cˇ´ıslo n2 + 3n − 28 deˇlitelne´ 37. P3. Sestrojte graf funkce f : y = |||x| − 1| − 1| a pak rˇesˇte rovnici |||x| − 1| − 1| = 21 . P4. Je da´na krychle a na jejı´ch hrana´ch body P , Q, R. Na obr. 9 je sı´t’ te´to krychle. Vyznacˇte v sı´ti rˇez krychle rovinou P QR.

Obr. 9

20

Varianta Q Q1. V krychli ABCDEF GH (obvykle´ znacˇenı´) protneˇme u´hloprˇ´ıcˇku DF prˇ´ımkou vedenou k nı´ kolmo vrcholem B. Vyznacˇte v obra´zku krychle pru˚secˇ´ık P teˇchto prˇ´ımek. Q2. V mnozˇineˇ rea´lny´ch cˇ´ısel rˇesˇte rovnici 2 cotg 2 x + 4 sin2 x = 7. Q3. Najdeˇte vsˇechny dvojice rea´lny´ch cˇ´ısel x, y, pro ktere´ platı´ x(x + y) y(x + y)3 + 4 = 1. x2 + y 2 x − y4 Q4. Doplnˇte chybeˇjı´cı´ cˇ´ıslice X, Y tak, aby cˇ´ıslo 24X92Y 12 bylo deˇlitelne´ 72.

21

Varianta R R1. Je da´na funkce f : y = kx2 + (3k − 2) x + k − 2, kde k je rea´lny´ parametr. (a) Zvolte k = 1 a pro tuto hodnotu sestrojte graf funkce f . (b) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ platı´ f (0) · f (−2) < 0. (c) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ je x1 = 0 korˇenem rovnice f (x) = 0. Pro tyto hodnoty k urcˇete druhy´ korˇen rovnice f (x) = 0. R2. Urcˇete pocˇet vsˇech osmipı´smenny´ch slov, ktera´ lze vytvorˇit za´meˇnou pı´smen slova ARMATURA a ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı samohla´skou. Slova nemusı´ mı´t zˇa´dny´ skutecˇny´ vy´znam. R3. Je da´na krychle ABCDEFGH a platı´ |AB| = a. Urcˇete vsˇechny roviny, ktere´ majı´ tyto vlastnosti: obsahujı´ teˇlesovou u´hloprˇ´ıcˇku AG krychle a jejich pru˚nikem s krychlı´ je kosocˇtverec. Pru˚nik zna´zorneˇte na obra´zku (pro kazˇdou rovinu zvla´sˇt’). V kazˇde´m prˇ´ıpadeˇ vypocˇteˇte obsah tohoto kosocˇtverce. R4. Urcˇete vsˇechny hodnoty x, pro ktere´ platı´ cos 2x 5 sin x.

22

Varianta S S1. Je da´na funkce f : y = x2 + 2 (2k − 1) x − 3k + 1, kde k je rea´lny´ parametr. (a) Zvolte k = 1 a pro tuto hodnotu sestrojte graf funkce f . (b) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ ma´ rovnice f (x) = 0 dva ru˚zne´ rea´lne´ korˇeny. (c) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ se graf funkce f doty´ka´ osy x. S2. Rychlı´kova´ souprava bude tvorˇena ze dvou nerozlisˇitelny´ch zavazadlovy´ch vozu˚, jednoho jı´delnı´ho vozu, trˇ´ı nerozlisˇitelny´ch lu˚zˇkovy´ch vozu˚ a dvou nerozlisˇitelny´ch leha´tkovy´ch vozu˚. Kolik ru˚zny´ch typu˚ souprav lze sestavit, ma´-li by´t prvnı´ bud’ zavazadlovy´ vu˚z, nebo jı´delnı´ vu˚z? S3. Je da´na krychle ABCDEFGH a platı´ |AB| = a. Urcˇete vsˇechny roviny, ktere´ majı´ tyto vlastnosti: obsahujı´ u´secˇku KL, kde K je strˇed steˇny ABCD a L je strˇed steˇny BCGF krychle, a jejich pru˚nikem s krychlı´ je rovnostranny´ troju´helnı´k. Pru˚nik zna´zorneˇte na obra´zku (pro kazˇdou rovinu zvla´sˇt’). V kazˇde´m prˇ´ıpadeˇ vypocˇteˇte obsah tohoto rovnostranne´ho troju´helnı´ku. S4. Urcˇete vsˇechny hodnoty x, pro ktere´ platı´ √ 5 sin x + cos 2x + 2 cos x = 0.

23

Varianta T T1. Urcˇete nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı hodnotu funkce f na intervalu h−3, 4i, jestlizˇe f : y = | 1 − 2x| − |x + 2| + x. T2. Cˇ´ıslo 64 103 je peˇtimı´stne´, je slozˇene´ z ru˚zny´ch cˇ´ıslic, nezacˇ´ına´ nulou, ma´ cˇ´ıslici na mı´steˇ jednotek o trˇi veˇtsˇ´ı nezˇ cˇ´ıslici na mı´steˇ desı´tek a trˇikra´t veˇtsˇ´ı nezˇ cˇ´ıslici na mı´steˇ stovek. Kolik je takovy´ch cˇ´ısel? T3. V pravou´hle´m troju´helnı´ku ABC s pravy´m u´hlem prˇi vrcholu C je prˇi obvykle´m znacˇenı´ tg α = 34 a |S1 S2 | = 4 cm, kde S1 je strˇed strany AC a S2 je strˇed strany BC. (a) Vypocˇteˇte de´lku strany b. (b) Zapisˇte postup konstrukce troju´helnı´ku ABC a troju´helnı´k nary´sujte. T4. Je da´na kvadraticka´ rovnice s parametrem k: x2 − (k + 4)x − 6 = 0 Urcˇete hodnotu parametru k tak, aby pro jejı´ korˇeny x1 , x2 platilo 6 6 + = 5. x1 x2

24

Varianta A, zadání s řešeními A1. Najdeˇte vsˇechny hodnoty parametru p, pro neˇzˇ ma´ nerovnice x2 + 5x + 7 5 px + 3 (a) 0 rˇesˇenı´, (b) pra´veˇ l rˇesˇenı´, (c) pra´veˇ 2 rˇesˇenı´, (d) vı´ce nezˇ 2 rˇesˇenı´. Řešení: Dana´ nerovnice je ekvivalentnı´ s nerovnicı´ x2 + (5 − p)x + 4 5 0. Kvadraticky´ trojcˇlen na leve´ straneˇ ma´ diskriminant D = (5 − p)2 − 16 = p2 − 10p + 9 = (p − 1)(p − 9). Zname´nko diskriminantu rozhoduje o pocˇtu rˇesˇenı´ prˇ´ıslusˇne´ kvadraticke´ rovnice, tj. o poloze grafu kvadraticke´ funkce vzhledem k ose x, tedy i o pocˇtu rˇesˇenı´ nasˇ´ı nerovnice. Je-li D < 0, tj. p ∈ (1, 9), lezˇ´ı cely´ graf nad osou x a nerovnice nema´ rˇesˇenı´. Je-li D = 0, tj. p = 1 nebo p = 9, doty´ka´ se graf osy x v jedine´m bodeˇ, ktery´ je jediny´m rˇesˇenı´m nerovnice. Je-li D > 0, tj. p < 1 nebo p > 9, protı´na´ graf osu x ve dvou bodech a vsˇechna x z intervalu vymezene´ho teˇmito body vyhovujı´ nasˇ´ı nerovnici. V tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ tedy nerovnice nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´. Pra´veˇ dveˇ rˇesˇenı´ nema´ dana´ nerovnice nikdy. A2. V pravou´hle´m troju´helnı´ku ABC oznacˇme E patu vy´sˇky na prˇeponu AB. Vyja´drˇete de´lku d u´secˇky AE pomocı´ de´lek odveˇsen a = |BC|, b = |AC|. Jaky´ch hodnot mu˚zˇe d naby´vat, je-li a = 1, b 5 a? Řešení: Z podobnosti troju´helnı´ku˚ ABC a ACE a z Pythagorovy veˇty pro troju´helnı´k d b b ABC (obr. 10) ma´me = = √ a odtud b c a2 + b 2 b2 √ . d= a2 + b 2 Z obr. 11 je zrˇejme´, zˇe prˇi nemeˇnne´m a s rostoucı´m b roste d. (V obr. 11 je b = |AC| > > |A0 C| = b0 , u´hel AY E je tupy´ a d > |EY | > |A0 X| > d0 .) b2 Proto i funkce d(b) = √ pro b > 0 roste. 1 + b2  E √

Pro a = 1, b 5 a naby´va´ d vsˇech hodnot z intervalu 0,

25

2 2

.

Obr. 10

Obr. 11

A3. Nakreslete graf funkce y =

sin 4x v intervalu h0, πi. | cos 2x|

´ pravou cˇitatele podle vzorce pro sinus dvojna´sobne´ho u´hlu vyja´drˇ´ıme funkci Řešení: U ve tvaru 2 sin 2x cos 2x . | cos 2x|


 Pro ta x, pro neˇzˇ je cos 2x > 0, totizˇ pro x ∈ 0, π4 ∪ 3π , π , je | cos 2x| = cos 2x a 4 y = 2 sin 2x.
Pro ta x, pro neˇzˇ je cos 2x < 0, totizˇ pro x ∈ π4 , 3π 4 , je | cos 2x| = − cos 2x a y = −2 sin 2x. Pro ta x, pro neˇzˇ je cos 2x = 0, totizˇ pro x = π4 a pro x = 3π ´ funkce definova´na. 4 , nenı´ dana Graf dane´ funkce je na obr. 12. y=

26

Obr. 12 A4. V obra´zku krychle ABCDEF GH (standardnı´ znacˇenı´) vyznacˇte bod R spolecˇny´ trˇem rovina´m ACH, DEF , ABF . Řešení: (Obr. 13.) Bod C lezˇ´ı v rovineˇ ACH i v rovineˇ DEF . Pru˚secˇ´ık X prˇ´ımek AH, ED lezˇ´ı take´ v obou teˇchto rovina´ch. Prˇ´ımka CX je tedy jejich pru˚secˇnicı´. Body E, F lezˇ´ı v rovineˇ DEF i v rovineˇ ABF , takzˇe prˇ´ımka EF je jejich pru˚secˇnicı´. Prˇ´ımky CX, EF se protnou v hledane´m bodeˇ R. Protozˇe EX k F C, |EX| = |F2C| , je u´secˇka EX strˇednı´ prˇ´ıcˇka v troju´helnı´ku CF R. Je tedy |ER| = |EF |.

Obr. 13 27

Varianta B, zadání s řešeními B1. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´ q q √ √ x + x + 4 = 2 x − x + 4. Řešení: Dvojı´ umocneˇnı´ da´ kvadratickou rovnici 9x2 − 25x − 100 = 0 s diskriminantem ´ korˇen vsˇak nevyhovuje pu˚vodnı´ rovnici (za´porne´ 4 225 = 652 a korˇeny 5, − 20 9 . Druhy cˇ´ıslo pod odmocninou). Rovnice ma´ jedine´ rˇesˇenı´ x = 5. 1 − 2|. B2. Nakreslete graf funkce y = | 3x

Řešení: Graf se skla´da´ z teˇch cˇa´stı´ grafu˚ funkcı´ 1 1 −2 a y =2− , 3x 3x ktere´ jsou nad osou x. Grafy teˇchto funkcı´ jsou hyperboly. Prvnı´ ma´ zrˇejmeˇ strˇed v bodeˇ [0, 2], druha´ v bodeˇ [0, −2] a obeˇ majı´ asymptoty rovnobeˇzˇne´ s osami sourˇadnic. Graf dane´ funkce je na obr. 14. y=

Obr. 14 28

B3. Uvazˇujme kva´dr se cˇtvercovou podstavou a s celocˇ´ıselny´mi velikostmi hran (v cm). Prodlouzˇ´ıme-li jednu hranu o polovinu jejı´ de´lky a jednu hranu o polovinu zkra´tı´me, zmensˇ´ı se jeho objem o 150 cm3 . Urcˇete pu˚vodnı´ rozmeˇry kva´dru. Řešení: Objem zmeˇneˇne´ho kva´dru je roven 32 · 12 = 34 objemu pu˚vodnı´ho kva´dru. Pu˚vodnı´ ´ loha ma´ cˇtyrˇi rˇesˇenı´: kva´dr meˇl tedy objem 4 · 150 cm3 = 600 cm3 = 23 · 3 · 52 cm3 . U 1 × 1 × 600, 2 × 2 × 150, 5 × 5 × 24, 10 × 10 × 6 (vsˇechny rozmeˇry v cm) B4. Do dvou krychlı´ na obr. 15 doplnˇte pı´smena R tak, aby jejich poloha souhlasila se sı´tı´.

Obr. 15 Řešení je na obr. 16.

Obr. 16

29

Varianta C, zadání s řešeními C1. Kruzˇnici obı´hajı´ rovnomeˇrneˇ a ve stejne´m smyslu body B a b. Bod B ji obeˇhne za T sekund, bod b za t sekund (T > t). Na pocˇa´tku jsou body B, b ve stejne´ poloze. Za jak dlouho se prˇ´ısˇteˇ opeˇt setkajı´? Řešení: Za 1 sekundu se bod B otocˇ´ı kolem strˇedu S kruzˇnice o u´hel 2π ´ hel T , bod b o u 2π 1 1 ´ m smyslu a u´hel BSb vzroste o 2π( t − T ). Necht’ se body prˇ´ısˇteˇ setkajı´ za t ve stejne x sekund. Rovnice 1 1 x · 2π( − ) = 2π t T ma´ rˇesˇenı´ x=

1 t

1 −

1 T

=

Tt . T −t

C2. Kolik peˇticiferny´ch cˇ´ısel, ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı peˇtkou, je deˇlitelny´ch patna´cti? Řešení: Jsou to pra´veˇ ta z cˇ´ısel koncˇ´ıcı´ch i zacˇ´ınajı´cı´ch peˇtkou, ktera´ jsou deˇlitelna´ trˇemi. Ze souvislosti deˇlitelnosti cˇ´ısla a jeho ciferne´ho soucˇtu trˇemi plyne, zˇe vyhovujı´ pra´veˇ ta cˇ´ısla, jejichzˇ vnitrˇnı´ trojcˇ´ıslı´ da´va´ prˇi deˇlenı´ trˇemi zbytek 2, a teˇch je 333. Jiné řešení: Nejmensˇ´ı vyhovujı´cı´ cˇ´ıslo je 50 025, nejveˇtsˇ´ı 59 985 a mezi nimi vyhovuje kazˇde´ trˇica´te´. Je jich tedy 59 985 − 50 025 996 +1= + 1 = 333. 30 3 C3. Urcˇete v za´vislosti na hodnoteˇ parametru a, kolik rˇesˇenı´ v oboru rea´lny´ch cˇ´ısel ma´ rovnice (a + 5)x2 − (a + 2)x + 1 = 0. Řešení: Pro a = −5 ma´ rovnice tvar 3x + 1 = 0 a ma´ jedine´ rˇesˇenı´. Pro a 6= −5 jde o kvadratickou rovnici s diskriminantem D = (a + 2)2 − 4(a + 5) = = a2 − 16 = (a + 4)(a − 4). Pro a < −5, pro −5 < a < −4 a pro a > 4 je D > 0 a rovnice ma´ dveˇ ru˚zna´ rˇesˇenı´. Pro a = 4 a pro a = −4 je D = 0 a rovnice ma´ jedine´ rˇesˇenı´. Pro −4 < a < 4 je D < 0 a rovnice nema´ rˇesˇenı´ v oboru rea´lny´ch cˇ´ısel.

30

C4. Uvazˇujme pravidelny´ sˇestiboky´ kolmy´ hranol ABCDEF A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 , |AB| = = |AA0 | = 1. Vypocˇteˇte povrch a objem trojboke´ho jehlanu BF D0 F 0 . 0 0 0 Řešení: (Obr. jsou pravou´hle´ troju´helnı´ky s odveˇsnami √ 17.) Steˇny BF F √a3 F D F jehlanu rovnoramenne ´ troju´helnı´ky de´lek 1, 3 a majı´ tedy obsah 2 . Steˇny BF D0 a BD0 F 0 jsou√ √ √ 3 13 se za´kladnou de´lky 3 a rameny de´lky 2 a majı´ tedy obsah . Jehlan ma´ povrch 4 √ √ √ √ 3 3 13 √ 13 2· +2· = 3(1 + ). 2 4 2

Vy´sˇka spusˇteˇna´ z vrcholu D0 na steˇnu BF F 0 se shoduje s vy´sˇkou spusˇteˇnou z vrcholu D0 na stranu B 0 F 0 v rovnostranne´m troju´helnı´ku B 0 D0 F 0 a ma´ de´lku 32 . Jehlan ma´ objem √ √ 1 3 3 3 · · = . 3 2 2 4

E'

D'

F'

C' A'

B' E

D

F

C A

B Obr. 17

31

Varianta D, zadání s řešeními D1. V obra´zku krychle ABCDEF GH (standardnı´ znacˇenı´) vyznacˇte pru˚secˇ´ık P u´hloprˇ´ıcˇky F D s rovinou ACH. Řešení: (Obr. 18.) Oznacˇme X pru˚secˇ´ık prˇ´ımek AC, BD. Body H a X lezˇ´ı v rovina´ch ACH, BDF , takzˇe pru˚secˇnice teˇchto rovin je prˇ´ımka HX. Hledany´ bod P je pru˚secˇ´ık prˇ´ımek F D, HX.

Obr. 18

D2. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, 0 5 x 5 2π, pro ktera´ platı´ 1 = 4 cos x. sin x Řešení: Je-li sin x > 0, tj. x ∈ (0, π), je dana´ nerovnice ekvivalentnı´ s nerovnicı´ 1 = 4 cos x sin x, a protozˇe 2 cos x sin x = sin 2x, je ekvivalentnı´ s nerovnicı´ sin 2x 5 21 .  π E  5π  Te´to nerovnici vyhovujı´ x ∈ 0, ∪ ,π . 12 12 Je-li sin x < 0, tj. x ∈ (π, 2π), ekvivalentnı´ s nerovnicı´ sin 2x = 12 .  je dana´ nerovnice  13π 17π Te´to nerovnici vyhovujı´ x ∈ , . 12 12 32

Pro x = 0, x = π a x = 2π je sin x = 0 a dana´ nerovnice nema´ smysl. Vy´sledek je zna´zorneˇn na obr. 19.

Obr. 19

D3. Oznacˇme S pru˚secˇ´ık u´hloprˇ´ıcˇek lichobeˇzˇnı´ku ABCD s obsahem 1. Vyja´drˇete obsah P troju´helnı´ku ABS pomocı´ de´lek za´kladen a = |AB|, b = |CD|. Jaky´ch hodnot mu˚zˇe obsah P naby´vat, je-li a > b? v(a + b) Řešení: Oznacˇme v vy´sˇku lichobeˇzˇnı´ku ABCD. Jeho obsah je roven = 1a 2 2 odtud v = . Da´le oznacˇme va (resp. vb ) vy´sˇku troju´helnı´ku ABS (resp. CDS). a+b va a Z podobnosti teˇchto troju´helnı´ku˚ plyne, zˇe = a zrˇejmeˇ v = va + vb . Je tedy vb b va a ava 2a a2 = a odtud va = ,P = . Zvolme pevne´ a a nechme b = v − va b (a + b)2 2 (a + b)2 a2 probeˇhnout interval (0, a). Hodnoty funkce P (b) = pak budou klesat a probeˇh2 (a + b)
nou interval 14 , 1 . D4. Nakreslete graf funkce x2 + x − 6 y= . |x + 3| Řešení: Kvadraticka´ rovnice x2 + x − 6 = 0 ma´ korˇeny 2 a −3, takzˇe y=

x2 + x − 6 (x − 2)(x + 3) = . |x + 3| |x + 3| 33

Pro x > −3 je |x + 3| = x + 3 a y = x − 2. Pro x < −3 je |x + 3| = −(x + 3) a y = 2 − x. Pro x = −3 nenı´ funkce definova´na. Graf dane´ funkce je na obr. 20.

Obr. 20

34

Varianta E, zadání s řešeními E1. Kolik peˇticiferny´ch cˇ´ısel deˇlitelny´ch 75, v nichzˇ se zˇa´dna´ cˇ´ıslice neopakuje, lze sestavit z cˇ´ıslic 2, 3, 4, 5, 6, 7? Řešení: Uvazˇovana´ cˇ´ısla jsou deˇlitelna´ 3 a 25, tj. ciferny´ soucˇet majı´ deˇlitelny´ 3 a poslednı´ dvojcˇ´ıslı´ majı´ deˇlitelne´ 25. Soucˇet sˇesti dany´ch cˇ´ıslic je 27. Ciferny´ soucˇet deˇlitelny´ 3 budou mı´t cˇ´ısla slozˇena´ z peˇti cˇ´ıslic 2, 4, 5, 6, 7 a 2, 3, 4, 5, 7. Pro poslednı´ dvojcˇ´ıslı´ jsou v obou prˇ´ıpadech 2 mozˇnosti (25, 75) a vzˇdy 6 mozˇnostı´ je pro porˇadı´ zby´vajı´cı´ch trˇ´ı cˇ´ıslic na zacˇa´tku. Existuje tedy 2 · 2 · 6 = 24 cˇ´ısel s dany´mi vlastnostmi. E2. Do obr. 21a dokreslete rˇez krychle rovinou P QR. Obdobneˇ, jako je tomu u bodu˚ P , Q, R, vyznacˇte i u ostatnı´ch pru˚secˇ´ıku˚ hran s rovinou rˇezu jejich vzda´lenost od vrcholu˚ krychle.

(a)

(b) Obr. 21

ˇ ez zrˇejmeˇ obsahuje u´secˇky P Q a P R, da´le pak RS (RS k P Q), Řešení: (Obr. 21b.) R QT (QT k P R) a ST . Polohu bodu˚ S, T na hrana´ch zjistı´me z podobny´ch troju´helnı´ku˚ v proteˇjsˇ´ıch steˇna´ch. E3. Pravidelne´mu sˇestiu´helnı´ku opisˇme a vepisˇme kruh. Urcˇete pomeˇr obsahu˚ teˇchto kruhu˚. Řešení: Pravidelny´ sˇestiu´helnı´k se skla´da´ ze sˇesti rovnostranny´ch troju´helnı´ku˚. Oznacˇme R polomeˇr opsane´ kruzˇnice, r vepsane´ kruzˇnice (obr. 22). Pak je r vy´sˇkou v rovnostran35

ne´m troju´helnı´ku se stranou R a snadno zjistı´me, zˇe R : r = 2 : obsahu˚ pak bude R2 : r2 = 4 : 3.

√

3. Hledany´ pomeˇr

E4. Je da´no rea´lne´ cˇ´ıslo p. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´ |x + p| = x. Urcˇete za´vislost rˇesˇenı´ na parametru p. Řešení: Pro x = −p rˇesˇ´ıme rovnici x + p = = x. Ta pro p 6= 0 nema´ rˇesˇenı´ a pro p = 0 jı´ vyhovuje kazˇde´ x (prˇedpokla´dali jsme x = −p). Pro x < −p rˇesˇ´ıme rovnici −x − p = x. Ta ma´ rˇesˇenı´ x = − p2 (prˇedpoklad x < −p je splneˇn pro p < 0). Shrnutı´: Pro p = 0 je rˇesˇenı´m kazˇde´ x = 0, pro p < 0 ma´ rovnice jedine´ rˇesˇenı´ x = − p2 , pro p > 0 nema´ rovnice rˇesˇenı´. Jiné řešení: Graficke´ rˇesˇenı´ je na obr. 23 a 24.

Obr. 22

y y = |x + p| p

−p

y=x

x

p > 0 – grafy nemajı´ spolecˇny´ bod Obr. 23

36

y y = |x + 0| y=x

x

p = 0 – grafy majı´ spolecˇnou poloprˇ´ımku

p < 0 – grafy majı´ jeden spolecˇny´ bod Obr. 24

37

Varianta F, zadání s řešeními F1. Uvnitrˇ troju´helnı´ku ABC zvolme bod X a sestrojme jeho obraz XA (XB , XC ) ve strˇedove´ soumeˇrnosti se strˇedem A (B, C). Urcˇete polohu bodu X tak, aby obsah troju´helnı´ku XA XB XC byl co nejveˇtsˇ´ı. Řešení: (Obr. 25.) Obsah troju´helnı´ku XA XB XC neza´visı´ na poloze bodu X. Je vzˇdy cˇtyrˇna´sobkem obsahu troju´helnı´ku ABC, protozˇe AB, BC, CA jsou strˇednı´ prˇ´ıcˇky v troju´helnı´cı´ch XA XB X, XB XC X, XC XA X. F2. Petr a Pavel majı´ dnes narozeniny. Kdyzˇ bylo Petrovi tolik, kolik je dnes Pavlovi, byl soucˇin jejich veˇku˚ 21. Kolik je jim dnes let? Řešení: Petr je zrˇejmeˇ starsˇ´ı nezˇ Pavel. Tenkra´t bylo bud’Petrovi 7 a Pavlovi 3, nebo Petrovi 21 a Pavlovi 1. Dnes je tedy Petrovi 11 a Pavlovi 7,

Obr. 25 nebo Petrovi 41 a Pavlovi 21.

F3. Kulove´ plosˇe opisˇme a vepisˇme krychli. Urcˇete pomeˇr objemu˚ teˇchto krychlı´. Řešení: Pru˚meˇr koule oznacˇme p. Vepsana´ krychle bude mı´t hranu √p3 (pru˚meˇr koule je teˇlesova´ u´hloprˇ´ıcˇka vepsane´ krychle), opsana´ krychle bude mı´t hranu p. √ Pomeˇr objemu˚ opsane´ a vepsane´ krychle je p3 : ( √p3 )3 = 3 3 : 1. F4. Nakreslete graf funkce y = x2 − |5x − 6|. Řešení: Graf se skla´da´ z cˇa´stı´ grafu˚ funkcı´ y = x2 + 5x − 6 = (x + 6)(x − 1) = 6 5 2 1 2 = (x + 25 )2 − 49 4 (pro x 5 5 ) a y = x − 5x + 6 = (x − 2)(x −3) = (x − 2 ) − 4 (pro   5 49 5 6 x = 5 ). Jde o paraboly, prvnı´ ma´ zrˇejmeˇ vrchol v bodeˇ − 2 , − 4 a druha´ v bodeˇ 2 , − 41 (obr. 26).

38

Obr. 26

39

Varianta G, zadání s řešeními G1. Popisˇte, jak sestrojı´te (kruzˇ´ıtkem a pravı´tkem) cˇtverec, ktery´ ma´ stejny´ obsah jako dany´ rovnobeˇzˇnı´k ABCD. Řešení: Sestrojı´me vy´sˇku naprˇ. z vrcholu C na stranu AB, jejı´ patu oznacˇ´ıme P . S vyuz p ˇ itı´m Eukleidovy veˇty pak sestrojı´me stranu hledane´ho cˇtverce jako u´secˇku de´lky |AB| · |CP | (obr. 27).

Obr. 27

√ √ √ G2. Rˇesˇte rovnici ( p − 1)x2 + 2x p + 1 + p + 1 = 0. Proved’te diskusi vzhledem k parametru p. √ Řešení:√Rovnice ma´ smysl pro p = 0. Pro p = 1 ma´ tvar 2 2x + 2 = 0 a jedine´ rˇesˇenı´ x = − 22 . Pro p = 0, p 6= 1, √jde o kvadratickou rovnici s diskriminantem 8, ktera´ ma´ dveˇ √ − p+1± 2 rˇesˇenı´ x1,2 = . √ p−1 G3. Secˇteˇte vsˇechna peˇticiferna´ cˇ´ısla, ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı peˇtkou. Řešení: Scˇ´ıta´me cˇ´ısla 50 005, 50 015, 50 025, . . . , 59 995. Je jich 1 000 a tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost s diferencı´ 10. Hledany´ soucˇet je roven 1 000 2 (50 005 + 59 995) = = 500 · 110 000 = 55 000 000.

40

G4. Odrˇ´ıznutı´m vrcholu B dostaneme z krychle ABCDA0 B 0 C 0 D0 teˇleso TB (obr. 28a). Z neˇho stejny´m zpu˚sobem odrˇ´ızneme vrchol D0 a dostaneme tak teˇleso TBD0 . Vypocˇteˇte povrch a objem teˇlesa TBD0 , je-li |AB| = 1.

(a)

(b) Obr. 28

Řešení: Uvazˇovane´ teˇleso je osmisteˇn (obr. 28b). Sˇest jeho steˇn jsou pravou √´ hle´ troju´helnı´ky s odveˇsnami 1, dveˇ√steˇny jsou√rovnostranne´ troju´helnı´ky se stranami 2. Teˇleso ma´ tedy povrch 6 · 21 + 2 · 23 = 3 + 3. Odrˇ´ızli jsme dva trojboke´ jehlany. Kazˇdy´ ma´ jako podstavu pravou´hly´ rovnoramenny´ troju´helnı´k s odveˇsnami 1 a prˇ´ıslusˇnou vy´sˇku 1, tedy objem 16 . Teˇleso ma´ tedy objem 1 − 2 · 61 = 23 .

41

Varianta H, zadání s řešeními H1. Najdeˇte vsˇechna cela´ cˇ´ısla p, pro neˇzˇ ma´ rovnice px2 + 2px + 3p − 4x − 4 = 0 dveˇ ru˚zna´ rea´lna´ rˇesˇenı´. Řešení: Pro p = 0 ma´ rovnice jen jedno rˇesˇenı´. Pro p = 6 0 ma´ kvadraticka´ rovnice 2 2 diskriminant D = (2p − 4) − 4p(3p − 4) = 16 − 8p . Zrˇejmeˇ je D > 0, pra´veˇ kdyzˇ p2 < 2. Dveˇ rˇesˇenı´ jsou pro p = 1 a pro p = −1. H2. V krychli ABCDEF GH je bod K strˇed hrany EF , bod L strˇed hrany CD, bod S str ˇed steˇny ADHE a bod T strˇed steˇny BCGF (obr. 29). Cˇtyrˇu´helnı´k T KSL ma´ obsah √ 9 2 cm2 . Urcˇete objem krychle.

Obr. 29

Řešení: De´lku hrany krychle oznacˇme a. Cˇtyrˇu´helnı´k T KSL √ ma´ stejneˇ dlouhe´ strany. Je√to kosocˇtverec, jehozˇ u´hloprˇ´ıcˇky majı´ de´lky |KL| = a 2, |ST | = a. Ma´ obsah √ √ √ a2 2 2 3 = 9 2 cm , odtud a = 18 cm, objem krychle a = 54 2 cm3 . 2 H3. Kolik sˇesticiferny´ch cˇ´ısel nenı´ deˇlitelny´ch ani jednı´m z cˇ´ısel 28 a 98? Řešení: Urcˇ´ıme, kolik sˇesticiferny´ch cˇ´ısel je deˇlitelny´ch 28, kolik 98 a kolik obeˇma, tj. nejmensˇ´ım spolecˇny´m na´sobkem cˇ´ısel 28, 98, tj. cˇ´ıslem 196. 42

Z cˇ´ısel 1 azˇ 999 999 je jich 35 714 deˇlitelny´ch 28. (Cˇ´ıslem 28 je deˇlitelne´ kazˇde´ 28. z teˇchto cˇ´ısel, jejich pocˇet je tedy roven cele´ cˇa´sti z cˇ´ısla 99928999 = 35 714,. . . ) Podobneˇ z cˇ´ısel 1 azˇ 999 999 je jich 10 204 deˇlitelny´ch 98 a 5 102 deˇlitelny´ch 196. Z cˇ´ısel 1 azˇ 99 999 je jich 3 571 deˇlitelny´ch 28, 1 020 deˇlitelny´ch 98 a 510 deˇlitelny´ch 196. Z cˇ´ısel 100 000 azˇ 999 999 je jich 35 714−3 571 = 32 143 deˇlitelny´ch 28, 10 204−1 020 = = 9 184 deˇlitelny´ch 98 a 5 102 − 510 = 4 592 deˇlitelny´ch 196. Pocˇet sˇesticiferny´ch cˇ´ısel, ktera´ nejsou deˇlitelna´ zˇa´dny´m z cˇ´ısel 28, 98, je 900 000 − 32 143 − 9 184 + 4 592 = 863 265. H4. Pravou´hly´ troju´helnı´k ABC (s odveˇsnami a, b) rozdeˇlte prˇ´ıcˇkou XY , X ∈ AC, Y ∈ AB, rovnobeˇzˇnou s CB tak, aby troju´helnı´k AXY a lichobeˇzˇnı´k CBY X meˇly stejne´ obsahy (obr. 30). Vypocˇteˇte de´lku x = |XY | pomocı´ de´lek odveˇsen a, b, graficky ji sestrojte a konstrukci popisˇte. Řešení: Troju´helnı´ky ACB, AXY jsou podobne´ a jejich obsahy jsou v pomeˇru 2 : 1. De´√ lky odpovı´dajı´cı´ch si stran jsou tedy v pomeˇru 2 : 1, odkud x = √a2 . Tuto de´lku sestrojı´me jako stranu cˇtverce s danou u´hloprˇ´ıcˇkou a.

Obr. 30

43

Varianta I, zadání s řešeními I1. V krychli ABCDEF GH je bod P strˇed hrany AB, bod Q je strˇed hrany HG. Da´le K je strˇed P C, L je strˇed CQ, M je strˇed QE a N je strˇed EP (obr. 31). Urcˇete obsah cˇtyrˇu´helnı´ku KLM N , je-li de´lka hrany krychle 10 cm.

Obr. 31

Řešení: Cˇtyrˇu´helnı´k P √ CQE ma´ stejneˇ dlouhe ˇ u´hloprˇ´ıcˇky √ ´ strany. Je to kosocˇtverec, √ jehoz 2 ˇ majı´ de´lky |P Q| = 10 2 cm, |EC| 3 cm, takzˇe ma´ obsah 50 6 cm . Ctyrˇu´helnı´k √ = 10 2 KLM N ma´ polovicˇnı´ obsah 25 6 cm . I2. Je da´na rovnice x2 + 10x + s = 0. Urcˇete parametr s a druhe´ rˇesˇenı´ rovnice, jestlizˇe vı´te, zˇe jedno rˇesˇenı´ rovnice je rovno 7. Řešení: Pro parametr s platı´ 72 +10·7+s = 0, odtud s = −119. Rovnice x2 +10x−119 = = 0 ma´ rˇesˇenı´ x1 = 7, x2 = −17. Jiné řešení: Pro rˇesˇenı´ x1 = 7, x2 dane´ rovnice platı´ (x − 7)(x − x2 ) = x2 + 10x + s, odkud 7 + x2 = −10, 7x2 = s. Je tedy x2 = −17, s = −119. I3. Prˇedstavte si, zˇe na cˇtverecˇkovane´m papı´ru je nakreslen obde´lnı´k o rozmeˇrech 56 × 32 cˇtverecˇku˚. Strany obde´lnı´ku lezˇ´ı v linka´ch cˇtverecˇkovane´ho papı´ru. Na kolik cˇa´stı´ je jeho u´hloprˇ´ıcˇka rozdeˇlena pru˚secˇ´ıky s linkami? 44

Řešení: Ve vnitrˇnı´ch bodech u´hloprˇ´ıcˇku protı´na´ 55 svisly´ch a 31 vodorovny´ch linek. Urcˇ´ıme jesˇteˇ, v kolika z teˇchto pru˚secˇ´ıku˚ se na u´hloprˇ´ıcˇce protı´na´ vodorovna´ linka se svislou. Pomeˇr stran dane´ho obde´lnı´ku je 56 : 32 = 7 : 4, bude to tedy v 7 bodech (7, 4), (14, 8),. . . , (49, 28). Uvnitrˇ u´hloprˇ´ıcˇky lezˇ´ı tedy 55 + 31 − 7 = 79 navza´jem ru˚zny´ch pru˚secˇ´ıku˚ s linkami, ktere´ ji deˇlı´ na 80 cˇa´stı´. ´ lohu vyrˇesˇ´ıme pro obde´lnı´k 7 × 4 cˇtverecˇku˚ (10 cˇa´stı´, bez dvojity´ch pru˚seJiné řešení: U cˇ´ıku˚), jehozˇ u´hloprˇ´ıcˇka je osminou u´hloprˇ´ıcˇky dane´ho obde´lnı´ku. I4. Na obr. 32 je troju´helnı´k ABC. Bod T je jeho teˇzˇisˇteˇ, bod B 0 strˇed AC, bod K strˇed B 0 A0 . Pro bod L platı´, zˇe 3|AL| = |AA0 |. Obsah troju´helnı´ku ALB 0 je roven 3. Urcˇete obsah troju´helnı´ku˚ ABC a CKA0 .

Obr. 32 ´ secˇka AA0 je teˇzˇnice troju´helnı´ku ABC, takzˇe bod A0 je strˇed strany BC. Pro Řešení: U obsahy troju´helnı´ku˚ v obra´zku platı´ |ALB 0 | = |LT B 0 | = |T A0 B 0 |, |A0 B 0 C| = |A0 B 0 A|, |KA0 C| = |KB 0 C|, |AA0 B| = |AA0 C| a odtud |CKA0 | = 92 , |ABC| = 36.

45

Varianta J, zadání s řešeními J1. Motocyklistovi trva´ cesta za bezveˇtrˇ´ı tb hodin, proti veˇtru tp hodin. Jak dlouho by mu trvala cesta s veˇtrem v za´dech? Řešení: Necht’ vı´tr fouka´ rychlostı´ w km/h, motocyklistova cesta meˇrˇ´ı s km a s veˇtrem s v za´dech by mu trvala tz hodin. Rychlost prˇi jı´zdeˇ za bezveˇtrˇ´ı je pak km/h, rychlost tb s s prˇi jı´zdeˇ proti veˇtru km/h a rychlost prˇi jı´zdeˇ s veˇtrem v za´dech km/h. Pro rychlosti tp tz s s s s tb tp ´ loha ma´ rˇesˇenı´ pro platı´ = − w, = + w. Odtud dostaneme tz = .U tp tb tz tb 2tp − tb tp = tb . x2 − 7x + p J2. Rˇesˇte rovnici 10 3 − x − 1 = 0 s parametrem p. x2 − 7x + p Řešení: Dana´ rovnice je ekvivalentnı´ s rovnicı´ = 0. Kvadraticka´ rovnice 3−x x2 − 7x + p = 0 ma´ diskriminant 49 − 4p. Pro p > 49 ´ v rea´lne´m √ oboru rˇesˇenı´, pro 4 nema 7 ± 49 − 4p 7 49 p = 49 ma ´ jedine ´ ˇ r es ˇ enı ´ x = , pro p < ma ´ dve ˇ ˇ r es ˇ enı ´ x = . Tote´zˇ 1,2 4 2 4 2 platı´ i pro pu˚vodnı´ rovnici azˇ na to, zˇe jı´ nevyhovuje rˇesˇenı´ kvadraticke´ rovnice x = 3, kdy leva´ strana ztra´cı´ smysl. K tomu dojde pro p = 12; tedy v tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ rovnice jedine´ rˇesˇenı´ x = 4. J3. Sestrojte cˇtyrˇu´helnı´k P RST , jsou-li da´ny de´lky vsˇech cˇtyrˇ stran a vı´te-li, zˇe u´hloprˇ´ıcˇka RT pu˚lı´ u´hel prˇi vrcholu T . Řešení: (Obr. 33.) Prˇedpokla´dejme, zˇe je cˇtyrˇu´helnı´k sestrojen a zˇe t > s. Sestrojme obraz troju´helnı´ku T RS v soumeˇrnosti podle osy T R. Obraz S 0 bodu S padne na u´secˇku T P . V troju´helnı´ku P RS 0 zna´me velikosti vsˇech trˇ´ı stran: |P R| = p, |RS 0 | = r, |P S 0 | = t−s. Odtud konstrukce: Sestrojı´me troju´helnı´k P RS 0 , na poloprˇ´ımce P S 0 bod T tak, aby |P T | = t, a pak bod S jako obraz bodu S 0 v soumeˇrnosti podle osy RT . Je-li s > t, postupujeme obdobneˇ.

46

Obr. 33

Je-li s 6= t, ma´ u´loha rˇesˇenı´, pra´veˇ kdyzˇ trojice cˇ´ısel p, r, |s − t| splnˇuje troju´helnı´kovou nerovnost, a to jedine´. Je-li s = t, ma´ u´loha rˇesˇenı´, pra´veˇ kdyzˇ p = r. V tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´. J4. V uzavrˇene´ na´dobeˇ tvaru pravidelne´ho cˇtyrˇboke´ho jehlanu s vy´sˇkou 15 cm a podstavou tvaru cˇtverce o straneˇ 12 cm je nalita voda do dvou trˇetin vy´sˇky (obr. 34). Na´dobu prˇevra´tı´me podstavou dolu˚. Do jake´ vy´sˇky bude dosahovat voda?

Obr. 34

47

3 Řešení: Objem vody v na´dobeˇ je 13 · 82 · 10 = 640 ´ cenı´ na´doby necht’ 3 (cm ). Po prˇevra ma´ voda hloubku v cm a jejı´ cˇtvercova´ hladina stranu s cm. Z podobny´ch troju´helnı´ku˚ 12 (15 − v). Pro objem vody je (obr. 35) je s : (15 − v) = 12 : 15 a odtud s = 15 640 1 1 2 1 1 122 2 2 3 3 · 15 − s (15 − v) = · 12 · 15 − · ˇ teme 2 (15 − v) (cm ), odkud vypoc 3 = 3 · 12 3 3 3 15 √ . 3 v = 15 − 2 375 = 1, 66.

Obr. 35

48

Varianta K, zadání s řešeními K1. Dveˇ auta jedou po stejne´ silnici rychlostmi v1 km/h a v2 km/h. Kdyby jela proti sobeˇ, setkala by se za t hodin. Za jak dlouho se setkajı´, kdyzˇ jedou stejny´m smeˇrem? Řešení: Necht’ je pocˇa´tecˇnı´ vzda´lenost aut d km a necht’ se auta setkajı´ za T hodin. Prˇi jı´zdeˇ proti sobeˇ by platilo d = tv1 + tv2 , prˇi jı´zdeˇ stejny´m smeˇrem platı´ d = |T v1 − T v2 |. v1 + v2 . Odtud T = t · |v1 − v2 | K2. Rˇesˇte nerovnici:

log22 x + log2 x − 2 = 0

Řešení: Substituce y = log2 x prˇevede nerovnici na y 2 + y − 2 = 0. Kvadraticka´ rovnice y 2 + y − 2 = 0 ma´ korˇeny 1 a −2. Nerovnici mu˚zˇeme psa´t ve tvaru (y − 1)(y + 2) = 0 a jejı´m rˇesˇenı´m jsou vsˇechna y 5 −2 a vsˇechna y = 1. Rˇesˇenı´m pu˚vodnı´ nerovnice jsou tedy vsˇechna x, pro neˇzˇ log2 x 5 −2, a vsˇechna x, pro neˇzˇ log2 x = 1, tj. vsˇechna 0 < x 5 41 a vsˇechna x = 2. K3. Sestrojte troju´helnı´k ABC, je-li da´no c, γ, va . Řešení: Nejprve vyrˇesˇ´ıme dva jednoduche´ specia´lnı´ prˇ´ıpady: (1) Je-li va = c, je vy´sˇka va za´rovenˇ odveˇsnou AB pravou´hle´ho troju´helnı´ku ABC s pravy´m u´hlem prˇi vrcholu B, ktery´ snadno sestrojı´me. V tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ u´loha rˇesˇenı´, pra´veˇ kdyzˇ γ < π2 , a to jedine´. (2) Je-li γ = π2 , je vy´sˇka va za´rovenˇ odveˇsnou AC pravou´hle´ho troju´helnı´ku ABC s pravy´m u´hlem prˇi vrcholu C, ktery´ snadno sestrojı´me. V tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ u´loha rˇesˇenı´, pra´veˇ kdyzˇ c > va , a to jedine´. Jesˇteˇ si uveˇdomme, zˇe pokud va > c, u´loha nema´ rˇesˇenı´. Nada´le budeme prˇedpokla´dat, zˇe va < c a γ 6= π2 . Sestrojı´me u´hel XCY velikosti γ. S ramenem CX vedeme rovnobeˇzˇku ve vzda´lenosti va tak, aby protla rameno CY – pru˚secˇ´ık bude vrchol A. Vrchol B pak dostaneme jako pru˚secˇ´ık kruzˇnice (A, c) s ramenem CX (obr. 36). Rˇesˇitelnost u´lohy a pocˇet rˇesˇenı´ za´visı´ na vza´jemne´ poloze kruzˇnice (A, c) a poloprˇ´ımky CX. V prˇ´ıpadeˇ γ < π2 ma´ u´loha 2 rˇesˇenı´ pro va < c < |AC| (obr. 37a) a 1 rˇesˇenı´ pro c = |AC| (obr. 36). V prˇ´ıpadeˇ γ > π2 ma´ u´loha 1 rˇesˇenı´ pro c > |AC| a jinak rˇesˇenı´ nema´. va Pozna´mka: Vzhledem k tomu, zˇe |AC| = , mu˚zˇeme pro γ < π2 podmı´nky rˇesˇitelnosti sin γ vyja´drˇit pomocı´ dany´ch velicˇin takto: va va ma´ u´loha 2 rˇesˇenı´, pro c = ma´ u´loha 1 rˇesˇenı´. pro va < c < sin γ sin γ 49

Obr. 36

Pro γ >

π 2

ma´ u´loha jedine´ rˇesˇenı´ pro c >

va a jinak rˇesˇenı´ nema´. sin γ

(a)

(b) Obr. 37

Jiné řešení: Sestrojı´me u´secˇku AB velikosti c. Patu P vy´sˇky va zı´ska´me jako pru˚secˇ´ık Thaletovy kruzˇnice nad pru˚meˇrem AB s kruzˇnicı´ (A, va ). Da´le sestrojı´me dva oblouky 50

o1 , o2 , z nichzˇ je u´secˇka AB videˇt pod u´hlem γ. Vrchol C bude spolecˇny´m bodem prˇ´ımky BP s teˇmito oblouky (obr. 37b). ˇ esˇitelnost u´lohy a pocˇet rˇesˇenı´ za´visı´ na vza´jemne´ poloze prˇ´ımky BP s dvojicı´ oblouku˚ R o1 , o2 . K4. Je da´na krychle s hranou a. Vypocˇ´ıtejte povrch a objem cˇtyrˇboke´ho jehlanu, jehozˇ podstavou je jedna steˇna krychle a vrchol lezˇ´ı ve strˇedu jedne´ hrany jejı´ protilehle´ steˇny. 3

Řešení: Jehlan ma´ objem a3 . Jeho povrch se skla´da´ z peˇti steˇn (obr. 38): – cˇtvercove´ podstavy ABCD (obsah a2 ) – pravou´hle´ho troju´helnı´ku BCV s odveˇsnami a, – pravou´hle´ho troju´helnı´ku ADV (obsah a2 · – rovnoramenne´ho troju´helnı´ku DCV (obsah

√

5 4 ) a2 2)

p

a2

+

( a2 )2

√

=a·

√

5 2

(obsah a ·

– rovnoramenne´ho troju´helnı´ku ABV se za´kladnou a a vy´sˇkou a 2 (obsah √ √ 2 Povrch jehlanu je a2 (3 + 2 + 5).

Obr. 38

51

2

√ a2 2 2 )

√

5 4 )

Varianta L, zadání s řešeními L1. Za kolik minut po 4. hodineˇ se hodinova´ a minutova´ rucˇicˇka poprve´ prˇekryjı´? Řešení: Ve 4 hodiny svı´rajı´ rucˇicˇky u´hel 120◦ . Otocˇ´ı-li se hodinova´ rucˇicˇka o u´hel α, minutova´ se otocˇ´ı o u´hel 12α. Rucˇicˇky pak budou svı´rat u´hel (120◦ + α) − 12α = ◦ . Hodinova´ rucˇicˇka = 120◦ − 11α. Tato odchylka nabude poprve´ hodnoty 0◦ pro α = 120 11 360◦ 1◦ 120 ◦ ◦ se za 1 minutu otocˇ´ı o 12·60 = 2 , takzˇe o 1 se otocˇ´ı za 2 minuty a o 11 za 240 11 minuty. x2 +3x−28 L2. Urcˇete pru˚secˇ´ıky grafu funkce f (x) = 2 − log2 x+7 s osami sourˇadnic. x2 + 3x − 28 Řešení: Dana´ funkce je definova´na pro ta x, pro neˇzˇ x 6= −7 a 6= 0. x+7 Vzhledem k tomu, zˇe x2 + 3x − 28 = (x − 4)(x + 7), je definova´na pro x 6= 4 a x 6= −7 a je f (x) = 2 − log2 |x − 4|. Osu x protne jejı´ graf v bodech [x, 0], kde f (x) = 0, tj. log2 |x − 4| = 2, tj. |x − 4| = 22 , tj. x = 8 a x = 0. Osu x graf protı´na´ ve dvou bodech [8, 0] a [0, 0]. Osu y protne graf funkce f v bodech [0, y], kde y = f (0), tj. y = 2 − log2 | − 4| = 2 − log2 4 = 2 − 2 = 0. Osu y graf protı´na´ v jedine´m bodeˇ [0, 0]. L3. Sestrojte lichobeˇzˇnı´k KLM N , jsou-li da´ny u´hly α, β prˇi za´kladneˇ KL, de´lka ramene LM (|LM | = l) a de´lka s strˇednı´ prˇ´ıcˇky lichobeˇzˇnı´ku KLM N . Řešení: Nejprve sestrojı´me lichobeˇzˇnı´k ST M N , v neˇmzˇ je de´lka za´kladny |ST | = s, de´lka ramene |M T | = 2l a u´hly prˇi za´kladneˇ ST jsou α, β. Pak ho doplnı´me na lichobeˇzˇnı´k KLM N . ´ loha ma´ rˇesˇenı´, pra´veˇ kdyzˇ α+β 6= π (to bychom dostali rovnobeˇzˇnı´k) a |M T | < |V T |, U a to jedine´ (obr. 39). Pozna´mka: Prˇedpokla´dejme, zˇe α + β < π. Podle sinove´ veˇty je |V T | sin α sin α = = . |ST | sin(π − (α + β)) sin(α + β) Nutna´ a postacˇujı´cı´ podmı´nka rˇesˇitelnosti je v tomto prˇ´ıpadeˇ l · sin(α + β) <s 2 sin α V prˇ´ıpadeˇ α + β > π dostaneme podmı´nku 52

(obr. 40).

−

l · sin(α + β) < s. 2 sin α

Obr. 39

Obr. 40

L4. Kulove´ plosˇe o polomeˇru r = 5 vepisˇme va´lec, jehozˇ obsah pla´sˇteˇ se rovna´ soucˇtu obsahu˚ obou podstav. Vypocˇteˇte povrch va´lce. 53

Řešení: Uvazˇujme va´lec o polomeˇru podstavy ρ a vy´sˇce v. Rovnost obsahu jeho pla´sˇteˇ a soucˇtu obsahu˚ jeho podstav znamena´ 2πρv = 2πρ2 , odkud ρ = v. Je-li do koule o polomeˇru r vepsa´n va´lec o polomeˇru ρ a vy´sˇce v, je podle Pythagorovy veˇty (obr. 41) 4ρ2 + v 2 = 4r2 , v nasˇem prˇ´ıpadeˇ 5ρ2 = 4r2 , odkud ρ = v = √25 r. Va´lec ma´ povrch 4πρ2 =

16 2 5 πr .

Obr. 41

54

Varianta M, zadání s řešeními M1. Nakreslete graf funkce f (x) = x(|x + 4| − |x − 4|). Řešení: Pro x 5 −4 je f (x) = x((−x − 4) − (−x + 4)) = −8x, pro −4 5 x 5 4 je f (x) = x((x + 4) − (−x + 4)) = 2x2 , pro x = 4 je f (x) = x((x + 4) − (x − 4)) = 8x. Graf funkce f je tedy slozˇen z cˇa´stı´ grafu˚ teˇchto trˇ´ı funkcı´ (obr. 42).

Obr. 42 M2. Rˇesˇte rovnici cos 15◦ sin 3x − sin 165◦ cos 3x = −

√

2 2 .

Řešení: Podle zna´my´ch vzorcu˚ je sin 165◦ = sin(180◦ − 165◦ ) = sin 15◦ , cos 15◦ sin 3x−sin 165◦ cos 3x =√ cos 15◦ sin 3x−sin 15◦ cos 3x = sin(3x−15◦ ). Rˇesˇ´ıme tedy rovnici sin(3x − 15◦ ) = − 22 .

55

Postupneˇ dosta´va´me 3x − 15◦ = 225◦ + k · 360◦ nebo 3x − 15◦ = 315◦ + k · 360◦ , 3x = 240◦ + k · 360◦ nebo 3x = 330◦ + k · 360◦ , x = 80◦ + k · 120◦ nebo x = 110◦ + k · 120◦ , kde k je libovolne´ cele´ cˇ´ıslo. M3. Soucˇin 9. a 16. cˇlenu geometricke´ posloupnosti je 2. Urcˇete soucˇin prvnı´ch 24 cˇlenu˚ te´to posloupnosti. Řešení: Oznacˇme n-ty´ cˇlen posloupnosti an a jejı´ kvocient q. Je da´no, zˇe a9 · a16 = a1 q 8 · a1 q 15 = a21 q 23 = 2. Odtud dostaneme 1+2+···+23 a1 a2 a3 . . . a24 = a24 = a24 1 q 1 q

23·24 2

= (a21 q 23 )12 = 212 .

M4. Cˇtyrˇu´helnı´k ABCD je vepsa´n do kruzˇnice. Urcˇete velikost u´secˇky AE, je-li (obr. 43) |CD| = 7,

|DE| = 3,

|AB| = 11.

Obr. 43 Řešení: Troju´helnı´ky ABE, DCE jsou podobne´, nebot’|∠BAE| = |∠BAC| = |∠BDC| = |CD| = |∠EDC| (obvodove´ u´hly k teˇtiveˇ BC) a |∠AEB| = |∠DEC|. Je tedy |AB| |AE| = |DE| a odtud |AB| · |DE| 11 · 3 33 |AE| = = = . |CD| 7 7 56

Varianta N, zadání s řešeními N1. Nakreslete graf funkce y = sin 2|x + π4 | pro x ∈ h−2π, 2πi. Řešení: (Obr. 44.) Vyjdeme z grafu funkce y = sin x. Posunutı´m o π4 ve smeˇru osy x (doleva) zı´ska´me graf funkce y = sin(x + π4 ). S nı´m se pro x = − π4 shoduje graf funkce y = sin |x + π4 | a pro x < − π4 ho doplnı´me soumeˇrneˇ podle osy x = − π4 . Konecˇneˇ graf funkce y = sin 2|x + π4 | z neˇho vznikne „dvojna´sobny´m zahusˇteˇnı´m“.

Obr. 44 N2. Uvazˇujme vsˇechny troju´helnı´ky, ktere´ majı´ vsˇechny vrcholy ve vrcholech dane´ho pravidelne´ho desetiu´helnı´ku. Kolik procent z teˇchto troju´helnı´ku˚ je tupou´hly´ch? ´ hloprˇ´ıcˇka A1 Ak vymeŘešení: Dany´ pravidelny´ desetiu´helnı´k oznacˇme A1 A2 . . . A10 . U zuje dveˇ poloroviny: v jedne´ majı´ obvodove´ u´hly A1 Aj Ak stejnou velikost α, ve druhe´ stejnou velikost π − α. Nad u´hloprˇ´ıcˇkou A1 A6 jsou vsˇechny obvodove´ u´hly prave´, nad u´hloprˇ´ıcˇkami A1 A3 a A1 A9 jeden tupy´, nad A1 A4 a A1 A8 dva tupe´, nad A1 A5 a A1 A7 trˇi tupe´. Celkem tedy 12 tupou´hly´ch troju´helnı´ku˚ obsahuje (jako nejdelsˇ´ı stranu) neˇkterou z u´hloprˇ´ıcˇek A1 Ak . To platı´ pro kazˇdy´ z vrcholu˚ A1 , . . .
, A10 , takzˇe tupou´hly´ch troj= 60. Vsˇech troju´helnı´ku˚ je 10 = 120, tedy tupou´hly´ch je u´helnı´ku˚ je celkem 10·12 2 3 50%. N3. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru a, pro neˇzˇ funkce f (x) = (a + 1)x2 − 3ax + 4a nenaby´va´ hodnoty f (x) = 1 pro zˇa´dne´ x.

57

Řešení: Podmı´nka je splneˇna, pra´veˇ kdyzˇ kvadraticka´ rovnice (a + 1)x2 − 3ax + 4a − 1 = 0 nema´ rˇesˇenı´, tj. pra´veˇ kdyzˇ jejı´ diskriminant je za´porny´, tj. 2 9a2 − 4(a + 1)(4a − 1) = −7a2 − 12a + 4 = −7(a + 2)(a − ) < 0, 7 

2 tj. pro a 6∈ −2, 7 . Jesˇteˇ zby´va´ prozkoumat prˇ´ıpad a = −1, kdy rovnice nenı´ kvadraticka´. Jde o rovnici 3x − 5 = 0, ktera´ ma´ rˇesˇenı´ a f pro toto a hodnoty 1 naby´va´. Funkce f nenaby´va´ hodnoty 1 pro a < −2 a pro a > 27 . N4. V kva´dru ABCDA0 B 0 C 0 D0 je prˇi obvykle´m znacˇenı´ |∠ABA0 | = 30◦ , |∠CBC 0 | = = 45◦ . Vypocˇteˇte cos |∠A0 BC 0 |. Řešení: (Obr. 45.) Oznacˇme |AA0 | = a. V pravou´hle´m troju´helnı´ku ABA0 pak bude a |A0 B| = = 2a sin 30◦ √ a v pravou´hle´m troju´helnı´ku BCC 0 bude |BC 0 | = a 2. Steˇny ABB 0 A0 , A0 B 0 C 0 D0 jsou shodne´, takz ˇ e |A0 C 0 | = |A0 B| = 2a. Troju´helnı´k A0 BC 0 je rovnoramenny´ se za´kladnou √ |BC 0 | = a 2 a rameny |A0 B| = |A0 C 0 | = 2a, odtud √ √ a 2 2 cos ϕ = 2 = . 2a 4

Obr. 45 58

Varianta O, zadání s řešeními O1. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru a, pro neˇzˇ funkce f (x) = (1 − a2 )x2 + 2(1 + a)x naby´va´ hodnoty f (x) = 2 pra´veˇ pro jedno x. Řešení: Podmı´nka je splneˇna, pra´veˇ kdyzˇ rovnice (1 − a2 )x2 + 2(1 + a)x − 2 = 0 ma´ jediny´ korˇen. Pro a = −1 ma´ rovnice tvar −2 = 0 a nema´ rˇesˇenı´. Pro a = 1 ma´ rovnice tvar 4x − 2 = 0 a ma´ jediny´ korˇen. Pro a 6= 1, a 6= −1 jde o kvadratickou rovnici s diskriminantem 4(1 + a)2 + 8(1 − a2 ) = = 4(1 + a)(3 − a), ktery´ je roven 0 pro a = 3 (a = −1 nevyhovuje). Podmı´nka je splneˇna pro a = 1 a pro a = 3. O2. V podniku pracuje 200 deˇlnı´ku˚. Vedenı´ podniku hodla´ zvy´sˇit vy´robu o 32%. Zavedenı´m nove´ technologie se zvy´sˇ´ı vy´konnost deˇlnı´ku˚ o 10%. Kolik deˇlnı´ku˚ bude trˇeba jesˇteˇ prˇijmout? Řešení: Starou technologiı´ by zvy´sˇenou vy´robu zajistilo 200 · 1, 32 deˇlnı´ku˚, novou tech= 240 deˇlnı´ku˚. Je trˇeba prˇijmout dalsˇ´ıch 40 deˇlnı´ku˚. nologiı´ 200·1,32 1,1 O3. De´lky stran pravou´hle´ho troju´helnı´ku oznacˇme a, b, c tak, aby a < b < c, de´lku vy´sˇky na prˇeponu v. Dokazˇte, zˇe troju´helnı´k, jehozˇ strany majı´ de´lku b − a, v, c − v, je pravou´hly´. Řešení: Podle Pythagorovy veˇty je c2 = a2 +b2 . Da´le je ab = cv (z dvojna´sobne´ho obsahu nebo z podobny´ch troju´helnı´ku˚). Je tedy (b−a)2 +v 2 = b2 −2ab+a2 +v 2 = c2 −2cv+v 2 = = (c − v)2 . O4. Nakreslete graf funkce y = |3|4−x| − 9|. Řešení: (Obr. 46.) Vyjdeme z grafu funkce y = 3x . Posunutı´m o 4 ve smeˇru osy x doprava z neˇho dostaneme graf funkce y = 3x−4 . Graf funkce y = 3|4−x| se s nı´m pro x = 4 shoduje, pro x < 4 ho dostaneme prˇeklopenı´m podle prˇ´ımky x = 4. Graf funkce y = 3|4−x| − 9 dostaneme z grafu funkce y = 3|4−x| posunutı´m o 9 ve smeˇru osy y dolu˚. Konecˇneˇ graf funkce y = |3|4−x| − 9| vznikne prˇeklopenı´m te´ cˇa´sti grafu funkce y = 3|4−x| − 9, ktera´ je pod osou x, nad osu x.

59

Obr. 46

60

Varianta P, zadání s řešeními P1. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´: √ √ √ √ 1+x+ 1−x 1+x− 1−x √ √ √ +√ = 4x. 1+x− 1−x 1+x+ 1−x Řešení: Vy´raz na leve´ straneˇ ma´ smysl, pra´veˇ kdyzˇ soucˇasneˇ 1 + x = 0, 1 − x = 0, 1 + x 6= 1 − x, tj. pro x ∈ h−1, 0) ∪ (0, 1i. Upravme ho: √ √ √ √ 1+x+ 1−x 1+x− 1−x √ √ √ +√ = 1+x− 1−x 1+x+ 1−x √ √ √ √ ( 1 + x + 1 − x)2 + ( 1 + x − 1 − x)2 2 2(1 + x) + 2(1 − x) √ √ = = = (1 + x) − (1 − x) x ( 1 + x)2 − ( 1 − x)2 2 Rovnice = 4x ma´ rˇesˇenı´ x1 = √12 , x2 = − √12 a ta jsou rˇesˇenı´m zadane´ rovnice. x P2. Najdeˇte vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla n < 100, pro ktera´ je cˇ´ıslo n2 + 3n − 28 deˇlitelne´ 37. Řešení: Kvadraticka´ rovnice n2 + 3n − 28 = 0 ma´ korˇeny 4 a −7, je tedy n2 + 3n − 28 = = (n + 7)(n − 4). Protozˇe 37 je prvocˇ´ıslo, je soucˇin dvou cˇ´ısel deˇlitelny´ 37, pra´veˇ kdyzˇ je 37 deˇlitelny´ neˇktery´ z cˇinitelu˚. Pro n < 100 je n + 7 deˇlitelne´ 37 pro n = 30 a pro n = 67, n − 4 je deˇlitelne´ 37 pro n = 41 a pro n = 78. P3. Sestrojte graf funkce f : y = |||x| − 1| − 1| a pak rˇesˇte rovnici |||x| − 1| − 1| = 21 . Řešení: Postupneˇ odstranı´me absolutnı´ hodnoty. Pro x = 0 je |x| = x, takzˇe y = ||x − 1| − 1|. Pro x = 1 je |x − 1| = x − 1, takzˇe y = |x − 1 − 1| = |x − 2|. Pro x = 2 je |x − 2| = x − 2, takzˇe y = x − 2. Pro x < 2 je |x − 2| = 2 − x, takzˇe pro 1 5 x < 2 je y = 2 − x. Pro x < 1 je |x − 1| = 1 − x, takzˇe pro 0 5 x < 1 je y = |1 − x − 1| = | − x| = x. Tak jsme pro kazˇde´ x = 0 vyja´drˇili danou funkci bez absolutnı´ch hodnot a snadno sestrojı´me jejı´ graf, ktery´ je v oboru x = 0 slozˇen z cˇa´stı´ grafu˚ funkcı´ y = x, y = x − 2 a y = 2 − x (obr. 47). Podobneˇ bychom mohli odstranit absolutnı´ hodnoty pro x < 0, stacˇ´ı si vsˇak vsˇimnout, zˇe f (−x) = f (x), takzˇe graf je soumeˇrny´ podle osy y. ˇ esˇenı´ rovnice f (x) = 1 dostaneme jako x-ove´ sourˇadnice pru˚secˇ´ıku˚ grafu s prˇ´ımkou R 2 y = 12 . Jsou to − 52 , − 23 , − 12 , 12 , 32 , 25 . 61

Obr. 47

Jiné řešení: (Obr. 48 a 49.) Vyjdeme z grafu funkce y = |x| a postupneˇ sestrojujeme grafy funkcı´ y = |x| − 1, y = ||x| − 1|, y = ||x| − 1| − 1 a y = |||x| − 1| − 1|.

Obr. 48

62

Obr. 49

P4. Je da´na krychle a na jejı´ch hrana´ch body P , Q, R. Na obr. 50 je sı´t’ te´to krychle. Vyznacˇte v sı´ti rˇez krychle rovinou P QR.

Obr. 50 63

Řešení: Oznacˇme odpovı´dajı´cı´ si vrcholy na krychli a v sı´ti a vyznacˇme na krychli dane´ body P , Q, R (obr. 51a, b).

(a)

(b)

(c)

(d) Obr. 51

Bod R lezˇ´ı na hraneˇ, tedy ve dvou steˇna´ch, bod Q ve vrcholu, tedy ve trˇech steˇna´ch, proto se budou na sı´ti vyskytovat ve dvou, resp. trˇech cˇtvercı´ch. Na krychli sestrojı´me rˇez (obr. 51c) a prˇeneseme ho do sı´teˇ (obr. 51d).

64

Varianta Q, zadání s řešeními Q1. V krychli ABCDEF GH (obvykle´ znacˇenı´) protneˇme u´hloprˇ´ıcˇku DF prˇ´ımkou vedenou k nı´ kolmo vrcholem B. Vyznacˇte v obra´zku krychle pru˚secˇ´ık P teˇchto prˇ´ımek. √ Řešení: (Obr. 52.) V obde´lnı´ku DBF H je |DB| = 2. Z podobny´ch troju´helnı´ku˚ DP B, |BF | DBF , BP F ma´me

|DP | |P B|

=

|DB| |BF |

a

|P F | |P B|

=

|BF | |BD| ,

odkud

|DP | |P F |

=

|DB|2 |BF |2

= 2.

Obr. 52

Bod P tedy deˇlı´ u´hloprˇ´ıcˇku DF v pomeˇru 2 : 1 a snadno ho do obra´zku krychle doplnı´me. Q2. V mnozˇineˇ rea´lny´ch cˇ´ısel rˇesˇte rovnici 2 cotg 2 x + 4 sin2 x = 7. cos x a sin2 x + cos2 x = 1 a rovnici upravı´me na Řešení: Vyuzˇijeme vztahu˚ cotg x = sin x tvar 4 sin4 x − 9 sin2 x + 2 = 0. Substitucı´ y = sin2 x ji prˇevedeme na kvadratickou rovnici 4y 2 − 9y + 2 = 0, ktera´ ma´ korˇeny y1 = 2, y2 = 41 . Ke korˇenu y1 neexistuje zˇa´dne´ x, pro neˇzˇ by sin2 x = 2, nebot’ sin2 x 5 1 pro kazˇde´ x. Ke korˇenu y2 najdeme 7π v intervalu h0, 2π) cˇtyrˇi hodnoty x, pro neˇzˇ sin x = 21 nebo sin x = − 12 ; jsou to π6 , 5π 6 , 6 , 11π ˇ esˇenı´ dane´ rovnice jsou cˇ´ısla π , 5π a dalsˇ´ı ˇ´ı rˇesˇenı´ se od nich lisˇ´ı o na´sobky 2π. R 6 . Dals 6 6 cˇ´ısla lisˇ´ıcı´ se od nich o na´sobky π. Q3. Najdeˇte vsˇechny dvojice rea´lny´ch cˇ´ısel x, y, pro ktere´ platı´ x(x + y) y(x + y)3 + 4 = 1. x2 + y 2 x − y4

65

Řešení: Upravı´me levou stranu, ktera´ ma´ smysl, pokud x 6= y, x 6= −y: x(x + y) y(x + y)3 (x + y)(x3 + y 3 + xy 2 + x2 y) + = = x2 + y 2 x4 − y 4 x4 − y 4 (x + y)(x(x2 + y 2 ) + y(x2 + y 2 )) (x + y)2 (x2 + y 2 ) = = = x4 − y 4 x4 − y 4 (x + y)2 x+y = 2 = x − y2 x−y Poslednı´ zlomek je roven 1 pra´veˇ pro ty dvojice x, y, pro ktere´ y = 0, x 6= 0. Q4. Doplnˇte chybeˇjı´cı´ cˇ´ıslice X, Y tak, aby cˇ´ıslo 24X92Y 12 bylo deˇlitelne´ 72. Řešení: Cˇ´ıslo je deˇlitelne´ 72, pra´veˇ kdyzˇ je soucˇasneˇ deˇlitelne´ 8 a 9. Cˇ´ıslo je deˇlitelne´ 8, pra´veˇ kdyzˇ poslednı´ trojcˇ´ıslı´ je deˇlitelne´ 8, v nasˇem prˇ´ıpadeˇ kdyzˇ Y je licha´ cˇ´ıslice. Cˇ´ıslo je deˇlitelne´ 9, pra´veˇ kdyzˇ soucˇet jeho cˇ´ıslic je deˇlitelny´ 9, v nasˇem prˇ´ıpadeˇ kdyzˇ X + Y = 7 nebo X + Y = 16. Rˇesˇenı´m jsou na´sledujı´cı´ dvojice (Y, X): (1, 6), (3, 4), (5, 2), (7, 0), (7, 9), (9, 7).

66

Varianta R, zadání s řešeními R1. Je da´na funkce f : y = kx2 + (3k − 2) x + k − 2, kde k je rea´lny´ parametr. (a) Zvolte k = 1 a pro tuto hodnotu sestrojte graf funkce f . (b) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ platı´ f (0) · f (−2) < 0. (c) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ je x1 = 0 korˇenem rovnice f (x) = 0. Pro tyto hodnoty k urcˇete druhy´ korˇen rovnice f (x) = 0. Řešení: (a) Pro k = 1 pro prˇedpis funkce f platı´ y = x2 + x − 1 = (x + 12 )2 − 54 . Graf funkce f je parabola na obr. 53.

Obr. 53 (b) Je f (0) = k − 2, f (−2) = −k + 2, hleda´me tedy vsˇechna k, pro neˇzˇ je (k − 2)(−k + 2) < 0, (k − 2)2 > 0.

neboli

Rˇesˇenı´m te´to nerovnice jsou vsˇechna k 6= 2. (c) Rovnice f (0) = 0, tj. k − 2 = 0, ma´ rˇesˇenı´ k = 2. Pro k = 2 rˇesˇ´ıme rovnici 2x2 + 4x = 0, ktera´ ma´ kromeˇ rˇesˇenı´ x1 = 0 druhy´ korˇen x2 = −2. 67

R2. Urcˇete pocˇet vsˇech osmipı´smenny´ch slov, ktera´ lze vytvorˇit za´meˇnou pı´smen slova ARMATURA a ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı samohla´skou. Slova nemusı´ mı´t zˇa´dny´ skutecˇny´ vy´znam. Řešení: Hledana´ osmipı´smenna´ slova jsou trˇ´ı typu˚: prvnı´ typ je A. . . . . . A, kde je 6!2 6! 6! mozˇnostı´; druhy´ typ je A. . . . . . U, kde je 2·2 mozˇnostı´; trˇetı´ typ je U. . . . . . A, kde je 2·2 mozˇnostı´. 6! Celkem je 6!2 + 2 · 2·2 = 720 mozˇnostı´ jak vytvorˇit pozˇadovana´ slova. R3. Je da´na krychle ABCDEFGH a platı´ |AB| = a. Urcˇete vsˇechny roviny, ktere´ majı´ tyto vlastnosti: obsahujı´ teˇlesovou u´hloprˇ´ıcˇku AG krychle a jejich pru˚nikem s krychlı´ je kosocˇtverec. Pru˚nik zna´zorneˇte na obra´zku (pro kazˇdou rovinu zvla´sˇt’). V kazˇde´m prˇ´ıpadeˇ vypocˇteˇte obsah tohoto kosocˇtverce. ´ hloprˇ´ıcˇky kosocˇtverce jsou na sebe Řešení: Jedna u´hloprˇ´ıcˇka kosocˇtverce je u´secˇka AG. U kolme´, proto jeho vrcholy K, L lezˇ´ı v rovineˇ kolme´ k prˇ´ımce AG a procha´zejı´cı´ strˇedem krychle. Tato rovina procha´zı´ strˇedy sˇesti hran BC, CD, DH, HE, EF , F B. Existujı´ tedy trˇi dvojice bodu˚ K, L (obr. 54 a 55). Ve vsˇech trˇech prˇ´ıpadech je √ √ |AG| =a 3, |KL| = a 2, √ 6 2 1 |AKGL| = · |AG| · |KL| = a. 2 2

Obr. 54

68

E

L

H

G F

a

D a

A

B

K

C

G

H E

F a

L K D

C a

A

a

B

Obr. 55

Jiné řešení: Kazˇdy´ rˇez krychle rovinou obsahujı´cı´ u´hloprˇ´ıcˇku AG je zrˇejmeˇ rovnobeˇzˇnı´k. Dalsˇ´ı dva jeho vrcholy K, L prˇitom lezˇ´ı na neˇktere´ z dvojic rovnobeˇzˇny´ch hran CD a EF , BC a EH, nebo BF a DH. Kosocˇtverce budou mezi nimi ty, ktere´ majı´ stejneˇ dlouhe´ strany. To nastane, pra´veˇ kdyzˇ budou vrcholy K, L lezˇet ve strˇedech prˇ´ıslusˇny´ch hran. Da´le rˇesˇenı´ pokracˇuje stejneˇ, jako je uvedeno vy´sˇe.

69

R4. Urcˇete vsˇechny hodnoty x, pro ktere´ platı´ cos 2x 5 sin x. Řešení: Postupneˇ prova´dı´me ekvivalentnı´ u´pravy nerovnice: cos 2x 5 sin x cos x − sin2 x 5 sin x 2 sin2 x + sin x − 1 = 0 1 1 sin2 x + sin x − = 0 2 2 1 (sin x + 1)(sin x − ) = 0 2 2

Dane´ nerovnici vyhovujı ´ pra´veˇ ta x, pro ne ˇ zˇ sin x 5 −1, a ta x, pro neˇzˇ sin x = 12 , tj.

 x = 23 π + 2kπ a x ∈ π6 + 2kπ, 56 π + 2kπ , kde k je cele´ cˇ´ıslo. Grafické řešení pro interval h0, 2πi je patrne´ z obr. 56.

Obr. 56

70

Varianta S, zadání s řešeními S1. Je da´na funkce f : y = x2 + 2 (2k − 1) x − 3k + 1, kde k je rea´lny´ parametr. (a) Zvolte k = 1 a pro tuto hodnotu sestrojte graf funkce f . (b) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ ma´ rovnice f (x) = 0 dva ru˚zne´ rea´lne´ korˇeny. (c) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ se graf funkce f doty´ka´ osy x. Řešení: (a) Pro k = 1 pro prˇedpis funkce f platı´ y = x2 + 2x − 2 = (x + 1)2 − 3. Graf funkce f je parabola na obr. 57.

Obr. 57 (b) Kvadraticka´ rovnice x2 + 2(2k − 1)x − 3k + 1 = 0 ma´ dva ru˚zne´ rea´lne´ korˇeny, pra´veˇ kdyzˇ jejı´ diskriminant je kladny´, tj. kdyzˇ platı´ 4(2k − 1)2 − 4(−3k + 1) > 0, 4k 2 − k > 0, k(4k − 1) > 0.

neboli neboli

ˇ esˇenı´m te´to nerovnice jsou vsˇechna k < 0 a vsˇechna k > 1 . R 4 (c) Graf funkce f se doty´ka´ osy x, pra´veˇ kdyzˇ pro diskriminant rovnice x2 + 2(2k − 1)x − 3k + 1 = 0 platı´ 4(2k − 1)2 − 4(−3k + 1) = 0, neboli 4k 2 − k = 0. Korˇeny te´to rovnice jsou k = 0 a k = 41 . 71

S2. Rychlı´kova´ souprava bude tvorˇena ze dvou nerozlisˇitelny´ch zavazadlovy´ch vozu˚, jednoho jı´delnı´ho vozu, trˇ´ı nerozlisˇitelny´ch lu˚zˇkovy´ch vozu˚ a dvou nerozlisˇitelny´ch leha´tkovy´ch vozu˚. Kolik ru˚zny´ch typu˚ souprav lze sestavit, ma´-li by´t prvnı´ bud’ zavazadlovy´ vu˚z, nebo jı´delnı´ vu˚z? 7! mozˇnostı´. Je-li prvnı´ jı´delnı´ vu˚z, je Řešení: Je-li prvnı´ zavazadlovy´ vu˚z, je 3!·2 mozˇnostı´. 7! 7! Celkem je 3!·2 + 2·3!·2 = 630 mozˇnostı´ jak vytvorˇit rychlı´kovou soupravu.

7! 2·3!·2

S3. Je da´na krychle ABCDEFGH a platı´ |AB| = a. Urcˇete vsˇechny roviny, ktere´ majı´ tyto vlastnosti: obsahujı´ u´secˇku KL, kde K je strˇed steˇny ABCD a L je strˇed steˇny BCGF krychle, a jejich pru˚nikem s krychlı´ je rovnostranny´ troju´helnı´k. Pru˚nik zna´zorneˇte na obra´zku (pro kazˇdou rovinu zvla´sˇt’). V kazˇde´m prˇ´ıpadeˇ vypocˇteˇte obsah tohoto rovnostranne´ho troju´helnı´ku. Řešení: Body K, L jsou strˇedy stran rovnostranne´ho troju´helnı´ku, nebot’ to jsou strˇedy ´ secˇka KL je tedy strˇednı´ prˇ´ıcˇkou rovnostranne´ho troju´helnı´ku, proto jeho steˇn krychle. U strana ma´ de´lku rovnu de´lce steˇnove´ u´hloprˇ´ıcˇky krychle, takzˇe to je steˇnova´ u´hloprˇ´ıcˇka krychle. Existujı´ dveˇ steˇnove´ u´hloprˇ´ıcˇky krychle rovnobeˇzˇne´ s KL (obr. 58). V obou prˇ´ıpadech je √ |GD| = |AF | = a 2 √ √ 1 3 3 2 |BGD| = |ACF | = · |AC| · |AC| = a. 2 2 2

Obr. 58

72

S4. Urcˇete vsˇechny hodnoty x, pro ktere´ platı´ √ 5 sin x + cos 2x + 2 cos x = 0. Řešení: Rovnici postupneˇ upravujeme: √ 5 sin x + cos 2x + 2 cos x = 0 5 sin x + cos 2x = 4 cos2 x 5 sin x + cos2 x − sin2 x = 4 cos2 x 5 sin x − 3 cos2 x − sin2 x = 0 2 sin2 x + 5 sin x − 3 = 0

Odtud dostaneme (sin x)1,2 =

−5 ± 7 . 4

Rovnici sin x = −3 nevyhovuje zˇa´dne´ x, rovnici sin x = 12 vyhovujı´ vsˇechna x = π6 +2kπ a vsˇechna x = 56 π + 2kπ, kde k je cele´ cˇ´ıslo. Po provedenı´ zkousˇky vyjde, zˇe rˇesˇenı´m dane´ rovnice jsou pouze cˇ´ısla x = 65 π + 2kπ, kde k je cele´ cˇ´ıslo.

73

Varianta T, zadání s řešeními T1. Urcˇete nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı hodnotu funkce f na intervalu h−3, 4i, jestlizˇe f : y = | 1 − 2x| − |x + 2| + x. Řešení: Extre´my funkce f urcˇ´ıme z jejı´ho grafu. Interval h−3, 4i je deˇlı´cı´mi body rozdeˇlen na podintervaly, na nichzˇ ma´ funkce f tento prˇedpis:

x ∈ h−3, −2i :y = 1 − 2x + x + 2 + x = 3   1 x ∈ −2, :y = 1 − 2x − x − 2 + x = −2x − 1 2   1 , 4 :y = 2x − 1 − x − 2 + x = 2x − 3 x∈ 2 Graf funkce f je na obr. 59. Nejmensˇ´ı hodnota te´to funkce je f ( 12 ) = −2, nejveˇtsˇ´ı hodnota je f (4) = 5.

Obr. 59

74

T2. Cˇ´ıslo 64 103 je peˇtimı´stne´, je slozˇene´ z ru˚zny´ch cˇ´ıslic, nezacˇ´ına´ nulou, ma´ cˇ´ıslici na mı´steˇ jednotek o trˇi veˇtsˇ´ı nezˇ cˇ´ıslici na mı´steˇ desı´tek a trˇikra´t veˇtsˇ´ı nezˇ cˇ´ıslici na mı´steˇ stovek. Kolik je takovy´ch cˇ´ısel? Řešení: Pro poslednı´ trojcˇ´ıslı´ jsou trˇi mozˇnosti: 103, 236, 369 (i) Cˇ´ısla . . 103 mohou mı´t na mı´steˇ desetitisı´cu˚ jednu ze sedmi cˇ´ıslic, na mı´steˇ tisı´cu˚ jednu z sˇesti cˇ´ıslic. Teˇchto cˇ´ısel je tedy 7 · 6 = 42. (ii) Analogicky cˇ´ısel . . 236 je 6 · 6 = 36. (iii) A cˇ´ısel . . 369 je 6 · 6 = 36. Hledany´ch cˇ´ısel je celkem 42 + 36 + 36 = 114. T3. V pravou´hle´m troju´helnı´ku ABC s pravy´m u´hlem prˇi vrcholu C je prˇi obvykle´m znacˇenı´ tg α = 43 a |S1 S2 | = 4 cm, kde S1 je strˇed strany AC a S2 je strˇed strany BC. (a) Vypocˇteˇte de´lku strany b. (b) Zapisˇte postup konstrukce troju´helnı´ku ABC a troju´helnı´k nary´sujte. Řešení: (a) Pro strany a, b, c troju´helnı´ku ABC podle zada´nı´ platı´ ab = 43 a c = 8 cm. Pouzˇitı´m Pythagorovy veˇty dostaneme 82 cm2 = ( 34 b)2 + b2 , odkud b = 6, 4 cm.

Obr. 60

75

(b) Postup konstrukce: (i) S1 S2 , |S1 S2 | = 4 cm (ii) Thaletova kruzˇnice t nad pru˚meˇrem S1 S2 (iii) C, C ∈ t ∩ k(S1 ; 3.2 cm) (iv) A, A ∈ CS1 , |AS1 | = |CS1 |, A 6= C (v) B, B ∈ CS2 , |BS2 | = |CS2 |, B 6= C Konstrukce troju´helnı´ku je na obr. 60. T4. Je da´na kvadraticka´ rovnice s parametrem k: x2 − (k + 4)x − 6 = 0 Urcˇete hodnotu parametru k tak, aby pro jejı´ korˇeny x1 , x2 platilo 6 6 x1 + x2 = 5. Řešení: Korˇeny dane´ rovnice jsou x1,2 =

k+4±

p

(k + 4)2 + 24 2

pro kazˇde´ rea´lne´ cˇ´ıslo k. Hleda´me vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla k, pro neˇzˇ platı´ 6·2 6·2 p p + = 5. k + 4 + (k + 4)2 + 24 k + 4 − (k + 4)2 + 24 Ekvivalentnı´mi u´pravami dostaneme: 12 · 2 · (k + 4) =5 (k + 4)2 − (k + 4)2 − 24 k+4=−5 k =−9 Snadno se prˇesveˇdcˇ´ıme, zˇe korˇeny x1 = 1, x2 = −6, ktere´ odpovı´dajı´ tomuto parametru, danou podmı´nku skutecˇneˇ splnˇujı´. 2) Jiné řešení: Podmı´nku upravı´me na tvar x61 + x62 = 6(xx11+x = 5. Podle Vie´tovy´ch vzorcu˚ x2 vyjadrˇujı´cı´ch koeficienty kvadraticke´ rovnice pomocı´ korˇenu˚ je x1 + x2 = k + 4, x1 x2 = = −6. Po dosazenı´ dostane podmı´nka tvar 6(k+4) −6 = 5, odkud k = −9.

76

Varianta OA OAl. Najdeˇte vsˇechny hodnoty parametru p, pro neˇzˇ ma´ nerovnice x2 + px + 5 5 3x + 4 (a) 0 rˇesˇenı´, (b) pra´veˇ l rˇesˇenı´, (c) pra´veˇ 2 rˇesˇenı´, (d) vı´ce nezˇ 2 rˇesˇenı´. OA2. V pravou´hle´m troju´helnı´ku ABC oznacˇme E patu vy´sˇky na prˇeponu AB. Vyja´drˇete de´lku d u´secˇky BE pomocı´ de´lek odveˇsen a = |BC|, b = |AC|. Jaky´ch hodnot mu˚zˇe d naby´vat, je-li a = 1, b 5 a? OA3. Nakreslete graf funkce y =

| sin x| v intervalu h0, 4πi. cos x2

OA4. V obra´zku krychle ABCDEF GH (standardnı´ znacˇenı´) vyznacˇte bod R spolecˇny´ trˇem rovina´m ACH, BDF , ABE.

77

Varianta OB OB1. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´ q q √ √ 4x − 2 x + 1 = 2x + x + 1. OB2. Nakreslete graf funkce y =

1 . 3|x| − 2

OB3. Uvazˇujme kva´dr se cˇtvercovou podstavou a s celocˇ´ıselny´mi velikostmi hran (v cm). Prodlouzˇ´ıme-li jednu hranu o trˇetinu jejı´ de´lky a jednu hranu o trˇetinu zkra´tı´me, zmensˇ´ı se jeho objem o 150 cm3 . Urcˇete pu˚vodnı´ rozmeˇry kva´dru. OB4. Do dvou krychlı´ na obr. 61 doplnˇte pı´smena R tak, aby jejich poloha souhlasila se sı´tı´.

Obr. 61

78

Varianta OC OC1. Kruzˇnici obı´hajı´ rovnomeˇrneˇ a v opacˇne´m smyslu body B a b. Bod B ji obeˇhne za T sekund, bod b za t sekund (T > t). Na pocˇa´tku jsou body B, b ve stejne´ poloze. Za jak dlouho se prˇ´ısˇteˇ opeˇt setkajı´? OC2. Kolik peˇticiferny´ch cˇ´ısel, ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı cˇtyrˇkou, je deˇlitelny´ch sˇesti? OC3. Urcˇete v za´vislosti na hodnoteˇ parametru p, kolik rˇesˇenı´ v oboru rea´lny´ch cˇ´ısel ma´ rovnice (p + 2)x2 + (1 − p)x + 1 = 0. OC4. Uvazˇujme pravidelny´ sˇestiboky´ kolmy´ hranol ABCDEF A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 , |AB| = = |AA0 | = 1. Vypocˇteˇte povrch a objem trojboke´ho jehlanu ACC 0 E 0 .

79

Varianta OD OD1. V obra´zku krychle ABCDEF GH (standardnı´ znacˇenı´) vyznacˇte pru˚secˇ´ık P u´hloprˇ´ıcˇky EC s rovinou BDG. OD2. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, 0 5 x 5 2π, pro ktera´ platı´ √ 1 = 2 2 sin x. cos x OD3. Oznacˇme S pru˚secˇ´ık u´hloprˇ´ıcˇek lichobeˇzˇnı´ku ABCD s obsahem 1. Vyja´drˇete obsah P troju´helnı´ku CDS pomocı´ de´lek za´kladen a = |AB|, b = |CD|. Jaky´ch hodnot mu˚zˇe obsah P naby´vat, je-li a > b? OD4. Nakreslete graf funkce |x2 − x − 6| . y= x+2

80

Varianta OE OE1. Kolik peˇticiferny´ch cˇ´ısel deˇlitelny´ch 36, v nichzˇ se zˇa´dna´ cˇ´ıslice neopakuje, lze sestavit z cˇ´ıslic 1, 2, 3, 4, 5, 6? OE2. Do obr. 62 dokreslete rˇez krychle rovinou P QR. Obdobneˇ, jako je tomu u bodu˚ P , Q, R, vyznacˇte i u ostatnı´ch pru˚secˇ´ıku˚ hran s rovinou rˇezu jejich vzda´lenost od vrcholu˚ krychle.

Obr. 62

OE3. Kruzˇnici opisˇme a vepisˇme pravidelny´ sˇestiu´helnı´k. Urcˇete pomeˇr obsahu˚ teˇchto sˇestiu´helnı´ku˚. OE4. Je da´no rea´lne´ cˇ´ıslo p. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´ |x| − p = x. Urcˇete za´vislost rˇesˇenı´ na parametru p.

81

Varianta OF OF1. Uvnitrˇ troju´helnı´ku ABC zvolme bod X a sestrojme jeho obraz Xa (Xb , Xc ) v osove´ soumeˇrnosti s osou BC (AC, AB). Urcˇete polohu bodu X tak, aby obsah sˇestiu´helnı´ku AXc BXa CXb byl co nejveˇtsˇ´ı. OF2. Petr a Pavel majı´ dnes narozeniny. Dohromady je jim 24 let. Prˇed neˇkolika lety byl soucˇin jejich veˇku˚ 16. Kolik jim je dnes let? OF3. Dane´ krychli opisˇme a vepisˇme kouli. Urcˇete pomeˇr objemu˚ teˇchto koulı´. OF4. Nakreslete graf funkce y = |x2 − 4| + 3x.

82

Varianta OG OG1. Popisˇte, jak sestrojı´te (kruzˇ´ıtkem a pravı´tkem) cˇtverec, ktery´ ma´ stejny´ obsah jako dany´ troju´helnı´k ABC. √ √ √ OG2. Rˇesˇte rovnici ( a − 2)x2 − 2x a − 2 + a + 2 = 0. Proved’te diskusi vzhledem k parametru a. OG3. Secˇteˇte vsˇechna sˇesticiferna´ cˇ´ısla, ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı sˇestkou. OG4. Odrˇ´ıznutı´m vrcholu A0 dostaneme z krychle ABCDA0 B 0 C 0 D0 teˇleso TA0 (obr. 63). Z neˇho stejny´m zpu˚sobem odrˇ´ızneme vrchol C a dostaneme tak teˇleso TA0 C . Vypocˇteˇte povrch a objem teˇlesa TA0 C , je-li |AB| = 1.

Obr. 63

83

Varianta OH OH1. Najdeˇte vsˇechna cela´ cˇ´ısla p, pro neˇzˇ ma´ rovnice px2 + px + p + 6x + 3 = 0 dveˇ ru˚zna´ rea´lna´ rˇesˇenı´. OH2. V krychli ABCDEF GH je bod K strˇed hrany EH, bod L strˇed hrany BC, bod S strˇ√ ed steˇny ABF E a bod T strˇed steˇny DCGH (obr. 64a). Cˇtyrˇu´helnı´k T KSL ma´ obsah 10 2 cm2 . Urcˇete objem krychle. OH3. Kolik sˇesticiferny´ch cˇ´ısel nenı´ deˇlitelny´ch ani jednı´m z cˇ´ısel 63 a 42? OH4. Rovnoramenny´ troju´helnı´k ABC rozdeˇlte prˇ´ıcˇkou XY , X ∈ AC, Y ∈ BC, rovnobeˇzˇnou se za´kladnou AB tak, aby troju´helnı´k CXY a lichobeˇzˇnı´k ABY X meˇly stejne´ obsahy (obr. 64b). Vypocˇteˇte de´lku x = |XY | pomocı´ de´lek za´kladny c a vy´sˇky v, graficky ji sestrojte a konstrukci popisˇte.

(a)

(b) Obr. 64

84

Varianta OI OI1. V krychli ABCDEF GH je bod P strˇed hrany AE, bod Q je strˇed hrany CG. Da´le K je strˇed BQ, L je strˇed QH, M je strˇed HP a N je strˇed P B (obr. 65). Urcˇete obsah cˇtyrˇu´helnı´ku KLM N , je-li de´lka hrany krychle 8 cm. OI2. Je da´na rovnice x2 − 8x + s = 0. Urcˇete parametr s a druhe´ rˇesˇenı´ rovnice, jestlizˇe vı´te, zˇe jedno rˇesˇenı´ rovnice je rovno 15. OI3. Prˇedstavte si, zˇe na cˇtverecˇkovane´m papı´ru je nakreslen obde´lnı´k o rozmeˇrech 48 × 36 cˇtverecˇku˚. Strany obde´lnı´ku lezˇ´ı v linka´ch cˇtverecˇkovane´ho papı´ru. Na kolik cˇa´stı´ je jeho u´hloprˇ´ıcˇka rozdeˇlena pru˚secˇ´ıky s linkami? OI4. Na obr. 66 je troju´helnı´k ABC. Bod T Obr. 65 je jeho teˇzˇisˇteˇ, bod A0 strˇed BC, bod K strˇed C 0 A0 . Pro bod L platı´, zˇe 3|CL| = |CC 0 |. Obsah troju´helnı´ku A0 LC je roven 4. Urcˇete obsah troju´helnı´ku˚ ABC a BKC 0 .

Obr. 66

85

Varianta OJ OJ1. Motocyklistovi trva´ cesta za bezveˇtrˇ´ı tb hodin, s veˇtrem v za´dech tz hodin. Jak dlouho by mu trvala cesta proti veˇtru? x2 − px + 12 3−x OJ2. Rˇesˇte rovnici 10 = 1 s parametrem p. OJ3. Je da´na prˇ´ımka p a v jedne´ z polorovin, ktere´ urcˇuje, body A, B. Sestrojte na prˇ´ımce p bod C tak, aby prˇ´ımka AC byla osou u´hlu, jehozˇ jedno rameno je poloprˇ´ımka CB a druhe´ rameno lezˇ´ı v prˇ´ımce p. OJ4. V uzavrˇene´ na´dobeˇ tvaru rotacˇnı´ho kuzˇele s vy´sˇkou v a polomeˇrem r je nalita voda. Vy´sˇka hladiny nade dnem je a. Do jake´ vy´sˇky saha´ hladina, prˇevra´tı´me-li na´dobu dnem vzhu˚ru?

86

Varianta OK OK1. Dveˇ auta jedou po stejne´ silnici rychlostmi v1 km/h a v2 km/h. Kdyby jela stejny´m smeˇrem, setkala by se za t hodin. Za jak dlouho se setkajı´, kdyzˇ jedou proti sobeˇ? OK2. Rˇesˇte nerovnici: log22 x − 3 log2 x + 2 = 0 OK3. Sestrojte troju´helnı´k ABC, je-li da´no a, va , vb . OK4. Je da´na krychle s hranou de´lky a a sˇest shodny´ch pravidelny´ch cˇtyrˇboky´ch jehlanu˚ s podstavnou hranou de´lky a. Nalepenı´m podstav jehlanu˚ na steˇny krychle vznikne teˇleso, ktere´ ma´ dvakra´t veˇtsˇ´ı povrch nezˇ pu˚vodnı´ krychle. Urcˇete vy´sˇku jehlanu.

87

Varianta OL OL1. Za kolik minut po 4. hodineˇ budou hodinova´ a minutova´ rucˇicˇka poprve´ svı´rat pravy´ u´hel? x2 +3x−28 OL2. Urcˇete pru˚secˇ´ıky grafu funkce f (x) = 2 − log2 x+7 s osami sourˇadnic. OL3. Sestrojte lichobeˇzˇnı´k KLM N , jsou-li da´ny de´lky za´kladen KL a M N a de´lky u´hloprˇ´ıcˇek KM a LN . OL4. Vypocˇteˇte pomeˇr objemu˚ trˇ´ı rotacˇnı´ch va´lcu˚ opsany´ch kva´dru s rozmeˇry a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm (jeden ze zmı´neˇny´ch va´lcu˚ je zobrazen na obr. 67).

Obr. 67

88

Varianta OM OM1. Nakreslete graf funkce f (x) = |x2 − 3x| − |x2 + 3x|. OM2. Rˇesˇte rovnici tg (82◦ + x) + tg (8◦ − x) = 2. OM3. Soucˇet 9. a 16. cˇlenu aritmeticke´ posloupnosti je 2. Urcˇete soucˇet prvnı´ch 24 cˇlenu˚ te´to posloupnosti. OM4. Cˇtyrˇu´helnı´k ABCD je vepsa´n do kruzˇnice. Urcˇete velikost u´secˇky BC, je-li (obr. 68) |AD| = 7, |DE| = 3, |CE| = 5.

Obr. 68

89

Varianta ON ON1. Nakreslete graf funkce y = cos 2 |x| +

π 4




pro x ∈ h−2π, 2πi.

ON2. Uvazˇujme vsˇechny troju´helnı´ky, ktere´ majı´ vsˇechny vrcholy ve vrcholech dane´ho pravidelne´ho dvacetiu´helnı´ku. Kolik procent z teˇchto troju´helnı´ku˚ je pravou´hly´ch? ON3. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru a, pro neˇzˇ funkce f (x) = (1−2a)x2 +6ax−8a nenaby´va´ hodnoty f (x) = 1 pro zˇa´dne´ x. ON4. V kva´dru ABCDA0 B 0 C 0 D0 je prˇi obvykle´m znacˇenı´ |∠AB 0 B| = 60◦ , |∠BB 0 C| = = 45◦ . Vypocˇteˇte cos |∠AB 0 C|.

90

Varianta OO OO1. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru a, pro neˇzˇ funkce f (x) = (a2 −1)x2 +2(a−1)x naby´va´ hodnoty f (x) = 2 pra´veˇ pro jedno x. OO2. Obchodnı´k prˇed cˇasem zdrazˇil sala´m o 10%. O kolik procent ho nynı´ musı´ zlevnit, aby se cena vra´tila na pu˚vodnı´ u´rovenˇ? OO3. De´lky stran pravou´hle´ho troju´helnı´ku oznacˇme a, b, c tak, aby a 5 b < c, de´lku vy´sˇky na prˇeponu v. Dokazˇte, zˇe troju´helnı´k, jehozˇ strany majı´ de´lku v, a + b, c + v, je pravou´hly´. OO4. Nakreslete graf funkce y = |2|x+3| − 5|.

91

Varianta OP OP1. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´: √ √ √ √ √ 1+x+ 1−x 1+x− 1−x 2 √ √ √ −√ = . x 1+x− 1−x 1+x+ 1−x OP2. Najdeˇte vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla n < 100, pro ktera´ je cˇ´ıslo n2 −5n−14 deˇlitelne´ 43. OP3. Jsou da´na rea´lna´ cˇ´ısla a < b < c < d. Sestrojte graf funkce y = |x − a| + |x − b| + |x − c| + |x − d|. OP4. Je da´na krychle a na jejı´ch hrana´ch body P , Q, R. Na obr. 69 je sı´t’te´to krychle. Vyznacˇte v sı´ti rˇez krychle rovinou P QR.

Obr. 69

92

Varianta OQ OQ1. V krychli ABCDEF GH (obvykle´ znacˇenı´) protneˇme u´hloprˇ´ıcˇku BH prˇ´ımkou vedenou k nı´ kolmo vrcholem F . Vyznacˇte v obra´zku krychle pru˚secˇ´ık P teˇchto prˇ´ımek. OQ2. V mnozˇineˇ rea´lny´ch cˇ´ısel rˇesˇte rovnici 2tg2 x + cos2 x = 1. OQ3. Najdeˇte vsˇechny dvojice rea´lny´ch cˇ´ısel x, y, pro ktere´ platı´ x(x − y) y(x − y)3 − 4 = 1. x2 + y 2 x − y4 OQ4. Doplnˇte chybeˇjı´cı´ cˇ´ıslice X, Y tak, aby cˇ´ıslo 124X92Y 5 bylo deˇlitelne´ 75.

93

Varianta OR OR1. Je da´na funkce f : y = kx2 − (k + 2) x + k + 3, kde k je rea´lny´ parametr. (a) Zvolte k = −1 a pro tuto hodnotu sestrojte graf funkce f . (0) (b) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ platı´ ff(−2) > 0. (c) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ jsou x1 = −1, x2 = 1 korˇeny rovnice f (x) = 0. OR2. Urcˇete pocˇet vsˇech osmipı´smenny´ch slov, ktera´ lze vytvorˇit za´meˇnou pı´smen slova COCACOLA a ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı souhla´skou. Slova nemusı´ mı´t zˇa´dny´ skutecˇny´ vy´znam. OR3. Je da´na krychle ABCDEFGH a platı´ |AB| = a. Urcˇete vsˇechny roviny, ktere´ majı´ tyto vlastnosti: obsahujı´ u´secˇku KL, kde K je strˇed hrany AB a L je strˇed hrany GH krychle, a jejich pru˚nikem s krychlı´ je pravidelny´ sˇestiu´helnı´k. Pru˚nik zna´zorneˇte na obra´zku (pro kazˇdou rovinu zvla´sˇt’). V kazˇde´m prˇ´ıpadeˇ vypocˇteˇte obsah tohoto pravidelne´ho sˇestiu´helnı´ku. OR4. Urcˇete vsˇechny hodnoty x, pro ktere´ platı´ cos x = sin 2x.

94

Varianta OS OS1. Je da´na funkce f : y = (k + 1) x2 + (k + 3) x − 4, kde k je rea´lny´ parametr. (a) Zvolte k = 0 a pro tuto hodnotu sestrojte graf funkce f . (b) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k tak, aby pro vsˇechna rea´lna´ x platilo f (−x) = = f (x). (c) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ se graf funkce f doty´ka´ grafu funkce y = −4. OS2. Uchazecˇ o prˇijetı´ na VSˇ musı´ u´speˇsˇneˇ slozˇit vsˇechny cˇtyrˇi zkousˇky. Za kazˇdou u´speˇsˇneˇ vykonanou zkousˇku zı´ska´ bud’2, nebo 3, nebo 4 body. Pro prˇijetı´ stacˇ´ı dosa´hnout asponˇ 13 bodu˚. Kolik ru˚zny´ch „vysveˇdcˇenı´“ je mozˇne´ takto vytvorˇit, aby byl uchazecˇ prˇijat? OS3. Je da´na krychle ABCDEFGH a platı´ |AB| = a. Bod K je strˇed steˇny ABFE a L je strˇed steˇny EFGH krychle. Urcˇete na povrchu krychle mnozˇinu vrcholu˚ M vsˇech rovnoramenny´ch (nebo rovnostranny´ch) troju´helnı´ku˚ KLM se za´kladnou KL. Mnozˇinu vrcholu˚ M zna´zorneˇte na obra´zku. Urcˇete troju´helnı´k KLM s nejmensˇ´ım obsahem a tento obsah vypocˇteˇte. OS4. Urcˇete vsˇechny hodnoty x, pro ktere´ platı´ q √ 1 − 2 sin x + 2 cos x = 0.

95

Varianta OT OT1. Urcˇete nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı hodnotu funkce f na intervalu h−3, 1i, jestlizˇe f : y = ||1 − 2x| + 4x + 1| − x. OT2. Cˇ´ısla 45 030 a 78 329 jsou peˇtimı´stna´, nezacˇ´ınajı´ nulou, pravidelneˇ se v nich strˇ´ıdajı´ sude´ a liche´ cˇ´ıslice a cˇ´ıslice na mı´steˇ jednotek je v nich druhou mocninou cˇ´ıslice na mı´steˇ stovek. Kolik je takovy´ch cˇ´ısel? OT3. V rovnoramenne´m√ troju´helnı´ku ABC se za´kladnou AB je prˇi obvykle´m znacˇenı´ vb = 8, 8 cm a cos γ = 4133 . (a) Vypocˇteˇte de´lku strany b. (b) Zapisˇte postup konstrukce troju´helnı´ku ABC a troju´helnı´k nary´sujte. OT4. Je da´na kvadraticka´ rovnice s parametrem k: x2 − 2kx − k 2 − 1 = 0 Urcˇete hodnotu parametru k tak, aby pro jejı´ korˇeny x1 , x2 platilo x21 + x22 ≤ 26.

96

Varianta OA, zadání s řešeními OAl. Najdeˇte vsˇechny hodnoty parametru p, pro neˇzˇ ma´ nerovnice x2 + px + 5 5 3x + 4 (a) 0 rˇesˇenı´, (b) pra´veˇ l rˇesˇenı´, (c) pra´veˇ 2 rˇesˇenı´, (d) vı´ce nezˇ 2 rˇesˇenı´. Řešení: Dana´ nerovnice je ekvivalentnı´ s nerovnicı´ x2 + (p − 3)x + 1 5 0. Kvadraticky´ trojcˇlen na leve´ straneˇ ma´ diskriminant D = (p − 3)2 − 4 = p2 − 6p + 5 = (p − 1)(p − 5). Zname´nko diskriminantu rozhoduje o pocˇtu rˇesˇenı´ prˇ´ıslusˇne´ kvadraticke´ rovnice, tj. o poloze grafu kvadraticke´ funkce vzhledem k ose x, tedy i o pocˇtu rˇesˇenı´ nasˇ´ı nerovnice. Je-li D < 0, tj. p ∈ (1, 5), lezˇ´ı cely´ graf nad osou x a nerovnice nema´ rˇesˇenı´. Je-li D = 0, tj. p = 1 nebo p = 5, doty´ka´ se graf osy x v jedine´m bodeˇ, ktery´ je jediny´m rˇesˇenı´m nerovnice. Je-li D > 0, tj. p < 1 nebo p > 5, protı´na´ graf osu x ve dvou bodech a vsˇechna x z intervalu vymezene´ho teˇmito body vyhovujı´ nasˇ´ı nerovnici. V tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ tedy nerovnice nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´. Pra´veˇ dveˇ rˇesˇenı´ nema´ dana´ nerovnice nikdy. OA2. V pravou´hle´m troju´helnı´ku ABC oznacˇme E patu vy´sˇky na prˇeponu AB. Vyja´drˇete de´lku d u´secˇky BE pomocı´ de´lek odveˇsen a = |BC|, b = |AC|. Jaky´ch hodnot mu˚zˇe d naby´vat, je-li a = 1, b 5 a? Řešení: Z podobnosti troju´helnı´ku˚ ABC a CBE a z Pythagorovy veˇty pro troju´helnı´k d a a ABC (obr. 70) ma´me = = √ a odtud a c a2 + b 2 d=√

a2 . a2 + b 2

Z obr. 71 je zrˇejme´, zˇe prˇi nemeˇnne´m a s rostoucı´m b klesa´ d. (V obr. 71 je b = |AC| > |A0 C| = b0 a d < |BX| < d0 .) 1 Proto i funkce d(b) = √ pro b > 0 klesa´. 1 + b2 D  √

Pro a = 1, b 5 a naby´va´ d vsˇech hodnot z intervalu

97

2 2 ,1

.

Obr. 70

Obr. 71

OA3. Nakreslete graf funkce y =

| sin x| v intervalu h0, 4πi. cos x2

´ pravou cˇitatele podle vzorce pro sinus dvojna´sobne´ho u´hlu vyja´drˇ´ıme funkci Řešení: U ve tvaru 2| sin x2 cos x2 | . y= cos x2

98

Obr. 72 Pro ta x, pro neˇzˇ jsou hodnoty sin x2 a cos x2 obeˇ kladne´ nebo obeˇ za´porne´, totizˇ pro x ∈ (0, π) ∪ (2π, 3π), je | sin x2 cos x2 | = sin x2 cos x2 a y = 2 sin x2 . Pro ta x, pro neˇzˇ majı´ hodnoty sin x2 a cos x2 opacˇna´ zname´nka, totizˇ pro x ∈ (π, 2π) ∪ ∪ (3π, 4π), je | sin x2 cos x2 | = − sin x2 cos x2 a y = −2 sin x2 . Pro x = 0, pro x = 2π a pro x = 4π je y = 0. Pro ta x, pro neˇzˇ je cos x2 = 0, totizˇ pro x = π a pro x = 3π, nenı´ dana´ funkce definova´na. Graf dane´ funkce je na obr. 72. OA4. V obra´zku krychle ABCDEF GH (standardnı´ znacˇenı´) vyznacˇte bod R spolecˇny´ trˇem rovina´m ACH, BDF , ABE. Řešení: (Obr. 73.) Bod H lezˇ´ı v rovineˇ ACH i v rovineˇ BDF . Pru˚secˇ´ık X prˇ´ımek AC, BD lezˇ´ı take´ v obou teˇchto rovina´ch. Prˇ´ımka HX je tedy jejich pru˚secˇnicı´. Body B, F lezˇ´ı v rovineˇ BDF i v rovineˇ ABE, takzˇe prˇ´ımka BF je jejich pru˚secˇnicı´. Prˇ´ımky HX, BF se protnou v hledane´m bodeˇ R. Protozˇe BX k F H, |BX| = |F2H| , je u´secˇka BX strˇednı´ prˇ´ıcˇka v troju´helnı´ku F HR. Je tedy |BR| = |BF |.

99

Obr. 73

100

Varianta OB, zadání s řešeními OB1. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´ q q √ √ 4x − 2 x + 1 = 2x + x + 1. Řešení: Dvojı´ umocneˇnı´ da´ kvadratickou rovnici 4x2 − 9x − 9 = 0 s diskriminantem 225 = 152 a korˇeny 3, − 43 . Druhy´ korˇen vsˇak nevyhovuje pu˚vodnı´ rovnici (za´porne´ cˇ´ıslo pod odmocninou). Rovnice ma´ jedine´ rˇesˇenı´ x = 3. OB2. Nakreslete graf funkce y =

1 . 3|x| − 2

Řešení: Graf funkce y=

1 1 = 3x − 2 3(x − 23 )

je hyperbola se strˇedem v bodeˇ [ 23 , 0] a s asymptotami rovnobeˇzˇny´mi s osami sourˇadnic. Graf dane´ funkce se skla´da´ z cˇa´sti grafu te´to funkce lezˇ´ıcı´ vpravo od osy y a z jejı´ho obrazu v soumeˇrnosti podle osy y. Graf dane´ funkce je na obr. 74.

101

Obr. 74

OB3. Uvazˇujme kva´dr se cˇtvercovou podstavou a s celocˇ´ıselny´mi velikostmi hran (v cm). Prodlouzˇ´ıme-li jednu hranu o trˇetinu jejı´ de´lky a jednu hranu o trˇetinu zkra´tı´me, zmensˇ´ı se jeho objem o 150 cm3 . Urcˇete pu˚vodnı´ rozmeˇry kva´dru. Řešení: Objem zmeˇneˇne´ho kva´dru je roven 43 · 23 = 89 objemu pu˚vodnı´ho kva´dru. Pu˚vodnı´ ´ loha ma´ cˇtyrˇi rˇesˇenı´: kva´dr meˇl tedy objem 9 · 150 cm3 = 1 350 cm3 = 2 · 33 · 52 cm3 . U 1 × 1 × 1 350, 3 × 3 × 150, 5 × 5 × 54, 15 × 15 × 6 (vsˇechny rozmeˇry v cm)

102

OB4. Do dvou krychlı´ na obr. 75 doplnˇte pı´smena R tak, aby jejich poloha souhlasila se sı´tı´.

Obr. 75 Řešení je na obr. 76.

Obr. 76

103

Varianta OC, zadání s řešeními OC1. Kruzˇnici obı´hajı´ rovnomeˇrneˇ a v opacˇne´m smyslu body B a b. Bod B ji obeˇhne za T sekund, bod b za t sekund (T > t). Na pocˇa´tku jsou body B, b ve stejne´ poloze. Za jak dlouho se prˇ´ısˇteˇ opeˇt setkajı´? Řešení: Za 1 sekundu se bod B otocˇ´ı kolem strˇedu S kruzˇnice o u´hel 2π ´ hel T , bod b o u 2π 1 1 ˇ ne´m smyslu a u´hel BSb vzroste o 2π( t + T ). Necht’ se body prˇ´ısˇteˇ setkajı´ za t v opac x sekund. Rovnice 1 1 x · 2π( + ) = 2π t T ma´ rˇesˇenı´ x=

1 t

1 +

1 T

=

Tt . T +t

OC2. Kolik peˇticiferny´ch cˇ´ısel, ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı cˇtyrˇkou, je deˇlitelny´ch sˇesti? Řešení: Jsou to pra´veˇ ta z cˇ´ısel koncˇ´ıcı´ch i zacˇ´ınajı´cı´ch cˇtyrˇkou, ktera´ jsou deˇlitelna´ trˇemi. Ze souvislosti deˇlitelnosti cˇ´ısla a jeho ciferne´ho soucˇtu trˇemi plyne, zˇe vyhovujı´ pra´veˇ ta cˇ´ısla, jejichzˇ vnitrˇnı´ trojcˇ´ıslı´ da´va´ prˇi deˇlenı´ trˇemi zbytek 1, a teˇch je 333. Jiné řešení: Nejmensˇ´ı vyhovujı´cı´ cˇ´ıslo je 40 014, nejveˇtsˇ´ı 49 974 a mezi nimi vyhovuje kazˇde´ trˇica´te´. Je jich tedy 49 974 − 40 014 996 +1= + 1 = 333. 30 3 OC3. Urcˇete v za´vislosti na hodnoteˇ parametru p, kolik rˇesˇenı´ v oboru rea´lny´ch cˇ´ısel ma´ rovnice (p + 2)x2 + (1 − p)x + 1 = 0. Řešení: Pro p = −2 ma´ rovnice tvar 3x + 1 = 0 a ma´ jedine´ rˇesˇenı´. Pro p 6= −2 jde o kvadratickou rovnici s diskriminantem D = (1 − p)2 − 4(p + 2) = = p2 − 6p − 7 = (p + 1)(p − 7). Pro p < −2, pro −2 < p < −1 a pro p > 7 je D > 0 a rovnice ma´ dveˇ ru˚zna´ rˇesˇenı´. Pro p = −1 a pro p = 7 je D = 0 a rovnice ma´ jedine´ rˇesˇenı´. Pro −1 < p < 7 je D < 0 a rovnice nema´ rˇesˇenı´ v oboru rea´lny´ch cˇ´ısel.

104

OC4. Uvazˇujme pravidelny´ sˇestiboky´ kolmy´ hranol ABCDEF A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 , |AB| = = |AA0 | = 1. Vypocˇteˇte povrch a objem trojboke´ho jehlanu ACC 0 E 0 . 0 0 0 Řešení: (Obr. jsou pravou´hle´ troju´helnı´ky s odveˇsnami √ 77.) Steˇny ACC √a3CC E jehlanu rovnoramenne ´ troju´helnı´ky de´lek 1, 3 a majı´ tedy obsah 2 . Steˇny ACE 0 a AC 0 E 0 jsou√ √ √ 3 13 se za´kladnou de´lky 3 a rameny de´lky 2 a majı´ tedy obsah . Jehlan ma´ povrch 4 √ √ √ √ 3 3 13 √ 13 2· +2· = 3(1 + ). 2 4 2

Vy´sˇka spusˇteˇna´ z vrcholu E 0 na steˇnu ACC 0 se shoduje s vy´sˇkou spusˇteˇnou z vrcholu E 0 na stranu A0 C 0 v rovnostranne´m troju´helnı´ku A0 C 0 E 0 a ma´ de´lku 32 . Jehlan ma´ objem √ √ 1 3 3 3 · · = . 3 2 2 4

E'

D'

F'

C' A'

B' E

D

F

C A

B

Obr. 77

105

Varianta OD, zadání s řešeními OD1. V obra´zku krychle ABCDEF GH (standardnı´ znacˇenı´) vyznacˇte pru˚secˇ´ık P u´hloprˇ´ıcˇky EC s rovinou BDG. Řešení: (Obr. 78.) Oznacˇme X pru˚secˇ´ık prˇ´ımek AC, BD. Body G a X lezˇ´ı v rovina´ch BDG, ACE, takzˇe pru˚secˇnice teˇchto rovin je prˇ´ımka GX. Hledany´ bod P je pru˚secˇ´ık prˇ´ımek EC, GX.

Obr. 78

OD2. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, 0 5 x 5 2π, pro ktera´ platı´ √ 1 = 2 2 sin x. cos x

π
 3π Řešení: Je-li cos x > 0, tj. x ∈ 0, ∪ , 2π , je dana´ nerovnice ekvivalentnı´ s ne2 2 √ rovnicı´ 1 = 2 2 sin x cos x, a protozˇe 2 sin x cos x =sin 2x,je ekvivalentnı  ´ s nerovnicı´ D πE 3π π 3π sin 2x 5 √12 . Te´to nerovnici vyhovujı´ x ∈ 0, ∪ , ∪ , 2π . 8 8 2 2   π 3π Je-li cos x < 0, tj. x ∈ , , je dana´ nerovnice ekvivalentnı´ s nerovnicı´ 2 2 106

  1 9π 11π , . sin 2x = √ . Te´to nerovnici vyhovujı´ x ∈ 8 8 2 π 3π Pro x = a x = je cos x = 0 a dana´ nerovnice nema´ smysl. 2 2 Vy´sledek je zna´zorneˇn na obr. 79.

Obr. 79

OD3. Oznacˇme S pru˚secˇ´ık u´hloprˇ´ıcˇek lichobeˇzˇnı´ku ABCD s obsahem 1. Vyja´drˇete obsah P troju´helnı´ku CDS pomocı´ de´lek za´kladen a = |AB|, b = |CD|. Jaky´ch hodnot mu˚zˇe obsah P naby´vat, je-li a > b? v(a + b) Řešení: Oznacˇme v vy´sˇku lichobeˇzˇnı´ku ABCD. Jeho obsah je roven = 1a 2 2 odtud v = . Da´le oznacˇme va (resp. vb ) vy´sˇku troju´helnı´ku ABS (resp. CDS). a+b va a Z podobnosti teˇchto troju´helnı´ku˚ plyne, zˇe = a zrˇejmeˇ v = va + vb . Je tedy vb b v − vb a 2b bvb b2 = a odtud vb = ,P = = . Zvolme pevne´ b a nechme a vb b (a + b)2 2 (a + b)2 b2 probeˇhnout interval (b, +∞). Hodnoty funkce P (a) = pak budou klesat a 2 (a + b)
probeˇhnou interval 0, 41 .

107

OD4. Nakreslete graf funkce y=

|x2 − x − 6| . x+2

Řešení: Kvadraticka´ rovnice x2 − x − 6 = 0 ma´ korˇeny 3 a −2, takzˇe |x2 − x − 6| |x − 3| · |x + 2| y= = . x+2 x+2 Pro x > −2 je |x + 2| = x + 2 a y = |x − 3|. Pro x < −2 je |x + 2| = −(x + 2) a y = −|x − 3|. Pro x = −2 nenı´ funkce definova´na. Uva´zˇ´ıme-li jesˇteˇ, zˇe pro x = 3 je |x − 3| = x − 3 a pro x < 3 je |x − 3| = 3 − x, dojdeme k na´sledujicı´mu za´veˇru: Pro x < −2 a pro x = 3 je y = x − 3, pro −2 < x 5 3 je y = 3 − x. Graf dane´ funkce je na obr. 80.

Obr. 80

108

Varianta OE, zadání s řešeními OE1. Kolik peˇticiferny´ch cˇ´ısel deˇlitelny´ch 36, v nichzˇ se zˇa´dna´ cˇ´ıslice neopakuje, lze sestavit z cˇ´ıslic 1, 2, 3, 4, 5, 6? Řešení: Uvazˇovana´ cˇ´ısla jsou deˇlitelna´ 4 a 9, tj. ciferny´ soucˇet majı´ deˇlitelny´ 9 a poslednı´ dvojcˇ´ıslı´ majı´ deˇlitelne´ 4. Soucˇet sˇesti dany´ch cˇ´ıslic je 21. Ciferny´ soucˇet deˇlitelny´ 9 budou mı´t cˇ´ısla slozˇena´ z peˇti cˇ´ıslic 1, 2, 4, 5, 6. Pro poslednı´ dvojcˇ´ıslı´ je 6 mozˇnostı´ (12, 16, 24, 52, 56, 64) a vzˇdy 6 mozˇnostı´ je pro porˇadı´ zby´vajı´cı´ch trˇ´ı cˇ´ıslic na zacˇa´tku. Existuje tedy 6 · 6 = 36 cˇ´ısel s dany´mi vlastnostmi. OE2. Do obr. 81a dokreslete rˇez krychle rovinou P QR. Obdobneˇ, jako je tomu u bodu˚ P , Q, R, vyznacˇte i u ostatnı´ch pru˚secˇ´ıku˚ hran s rovinou rˇezu jejich vzda´lenost od vrcholu˚ krychle.

(a)

(b) Obr. 81

ˇ ez zrˇejmeˇ obsahuje u´secˇky P Q a QR, da´le pak P T (P T k QR), Řešení: (Obr. 81b.) R T S (T S k P Q) a SR. Polohu bodu˚ S, T na hrana´ch zjistı´me z podobny´ch troju´helnı´ku˚ v proteˇjsˇ´ıch steˇna´ch. OE3. Kruzˇnici opisˇme a vepisˇme pravidelny´ sˇestiu´helnı´k. Urcˇete pomeˇr obsahu˚ teˇchto sˇestiu´helnı´ku˚. Řešení: Pravidelny´ sˇestiu´helnı´k se skla´da´ ze sˇesti rovnostranny´ch troju´helnı´ku˚. Oznacˇme stranu opsane´ho sˇestiu´helnı´ku A, vepsane´ho sˇestiu´helnı´ku a (obr. 82a). Pak je a vy´sˇkou 109

v rovnostranne´m troju´helnı´ku se stranou A a snadno zjistı´me, zˇe A : a = 2 : pomeˇr obsahu˚ pak bude A2 : a2 = 4 : 3.

(a)

√

3. Hledany´

(b) Obr. 82

Jiné řešení: Vepsany´ sˇestiu´helnı´k je slozˇen z 18 a opsany´ z 24 shodny´ch troju´helnı´ku˚ (obr. 82b). OE4. Je da´no rea´lne´ cˇ´ıslo p. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´ |x| − p = x. Urcˇete za´vislost rˇesˇenı´ na parametru p. Řešení: Pro x = 0 rˇesˇ´ıme rovnici x − p = x. Ta pro p 6= 0 nema´ rˇesˇenı´ a pro p = 0 jı´ vyhovuje kazˇde´ x (prˇedpokla´dali jsme x = 0). Pro x < 0 rˇesˇ´ıme rovnici −x − p = x. Ta ma´ rˇesˇenı´ x = − p2 (prˇedpoklad x < 0 je splneˇn pro p > 0). Shrnutı´: Pro p = 0 je rˇesˇenı´m kazˇde´ x = 0, pro p > 0 ma´ rovnice jedine´ rˇesˇenı´ x = − p2 , pro p < 0 nema´ rovnice rˇesˇenı´. Jiné řešení: Graficke´ rˇesˇenı´ je na obr. 83 a 84.

110

p > 0 – grafy majı´ jeden spolecˇny´ bod

p = 0 – grafy majı´ spolecˇnou poloprˇ´ımku Obr. 83

111

y y = |x| − p −p

y=x

x

p < 0 – grafy nemajı´ spolecˇny´ bod Obr. 84

112

Varianta OF, zadání s řešeními OF1. Uvnitrˇ troju´helnı´ku ABC zvolme bod X a sestrojme jeho obraz Xa (Xb , Xc ) v osove´ soumeˇrnosti s osou BC (AC, AB). Urcˇete polohu bodu X tak, aby obsah sˇestiu´helnı´ku AXc BXa CXb byl co nejveˇtsˇ´ı. Řešení: (Obr. 85.) Obsah sˇestiu´helnı´ku AXc BXa CXb neza´visı´ na poloze bodu X. Je vzˇdy dvojna´sobkem obsahu troju´helnı´ku ABC, jak plyne ze shodnosti trˇ´ı dvojic osoveˇ soumeˇrny´ch troju´helnı´ku˚: ABX a ABXc , BCX a BCXa , ACX a ACXb .

Obr. 85

OF2. Petr a Pavel majı´ dnes narozeniny. Dohromady je jim 24 let. Prˇed neˇkolika lety byl soucˇin jejich veˇku˚ 16. Kolik jim je dnes let? Řešení: Prˇed neˇkolika lety jim bylo 16 a 1, nebo 8 a 2, nebo 4 a 4. Rozdı´l jejich veˇku˚ byl a sta´le je 15, nebo 6, nebo 0. Dnes je jim tedy 9 a 15, nebo 15 a 9, nebo 12 a 12. OF3. Dane´ krychli opisˇme a vepisˇme kouli. Urcˇete pomeˇr objemu˚ teˇchto koulı´. Řešení: Oznac √ ˇ me a velikost hrany krychle. Vepsana´ koule ma´ pru˚meˇr a, opsana´ koule pru√ ˚ meˇr a 3 (teˇlesova √ ´ u´hloprˇ´ıcˇka krychle). Pomeˇr objemu˚ opsane´ a vepsane´ koule je 3 3 (a 3) : a = 3 3 : 1. OF4. Nakreslete graf funkce y = |x2 − 4| + 3x. Řešení: Graf se skla´da´ z cˇa´stı´ grafu˚ funkcı´ y = x2 +3x−4 = (x+4)(x−1) = (x+ 32 )2 − 25 4 (pro x = 2 a pro x 5 −2) a y = −x2 + 3x + 4 = −(x + 1)(x − 4) = = −(x − 23 )2 + 25 4 113

  (pro −2 5 x 5 2). Jde o paraboly, prvnı´ ma´ zrˇejmeˇ vrchol v bodeˇ − 23 , − 25 ´ 4 a druha v bodeˇ 32 , 25 4 (obr. 86).

Obr. 86

114

Varianta OG, zadání s řešeními OG1. Popisˇte, jak sestrojı´te (kruzˇ´ıtkem a pravı´tkem) cˇtverec, ktery´ ma´ stejny´ obsah jako dany´ troju´helnı´k ABC. Řešení: Sestrojı´me vy´sˇku naprˇ. z vrcholu C na stranu AB, jejı´ patu oznacˇ´ıme P . S vyuz qˇ itı´m Eukleidovy veˇty pak sestrojı´me stranu hledane´ho cˇtverce jako u´secˇku de´lky |AB|·|CP | 2

(obr. 87).

Obr. 87

√ √ √ OG2. Rˇesˇte rovnici ( a − 2)x2 − 2x a − 2 + a + 2 = 0. Proved’te diskusi vzhledem k parametru a. √ Řešení: Rovnice ma ´ smysl pro a = 2. Pro a = 4 ma ´ tvar −2 2x + 4 = 0 a jedine´ rˇesˇenı´ √ x = 2. Pro a√= 2, a 6=√ 4, jde o kvadratickou rovnici s diskriminantem 8, ktera´ ma´ dveˇ a−2± 2 √ rˇesˇenı´ x1,2 = . a−2 OG3. Secˇteˇte vsˇechna sˇesticiferna´ cˇ´ısla, ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı sˇestkou. Řešení: Scˇ´ıta´me cˇ´ısla 600 006, 600 016, 600 026, . . . , 699 996. Je jich 10 000 a tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost s diferencı´ 10. Hledany´ soucˇet je roven 10 2000 (600 006+699 996) = = 5 000 · 1 300 002 = 6 500 010 000. OG4. Odrˇ´ıznutı´m vrcholu A0 dostaneme z krychle ABCDA0 B 0 C 0 D0 teˇleso TA0 (obr. 88). Z neˇho stejny´m zpu˚sobem odrˇ´ızneme vrchol C a dostaneme tak teˇleso TA0 C . Vypocˇteˇte povrch a objem teˇlesa TA0 C , je-li |AB| = 1. 115

Obr. 88

Řešení: Uvazˇovane´ teˇleso je osmisteˇn (obr. 89). Sˇest jeho steˇn jsou pravou √ ´ hle´ troju´helnı´ky s odveˇsnami 1, dve ˇ ny √ jsou rovnostranne´ troju´helnı´ky se stranami 2. Teˇleso ma´ tedy √ ˇ ste 3 1 povrch 6· 2 +2· 2 = 3+ 3. Odrˇ´ızli jsme dva trojboke´ jehlany. Kazˇdy´ ma´ jako podstavu pravou´hly´ rovnoramenny´ troju´helnı´k s odveˇsnami 1 a prˇ´ıslusˇnou vy´sˇku 1, tedy objem 61 . Teˇleso ma´ tedy objem 1 − 2 · 16 = 32 .

Obr. 89

116

Varianta OH, zadání s řešeními OH1. Najdeˇte vsˇechna cela´ cˇ´ısla p, pro neˇzˇ ma´ rovnice px2 + px + p + 6x + 3 = 0 dveˇ ru˚zna´ rea´lna´ rˇesˇenı´. Řešení: Pro p = 0 ma´ rovnice jen jedno rˇesˇenı´. Pro p 6= 0 ma´ kvadraticka´ rovnice diskriminant D = (p + 6)2 − 4p(p + 3) = 36 − 3p2 . Zrˇejmeˇ je D > 0, pra´veˇ kdyzˇ p2 < 12. Dveˇ rˇesˇenı´ jsou pro p ∈ {−3, −2, −1, 1, 2, 3}. OH2. V krychli ABCDEF GH je bod K strˇed hrany EH, bod L strˇed hrany BC, bod S strˇ√ ed steˇny ABF E a bod T strˇed steˇny DCGH (obr. 90). Cˇtyrˇu´helnı´k T KSL ma´ obsah 10 2 cm2 . Urcˇete objem krychle.

Obr. 90

Řešení: De´lku hrany krychle oznacˇme a. Cˇtyrˇu´helnı´k T KSL √ ma´ stejneˇ dlouhe´ strany. Je√to kosocˇtverec, jehozˇ u´hloprˇ´ıcˇky majı´ de´lky |KL| = a 2, |ST | = a. Ma´ obsah √ √ √ a2 2 2 3 = 10 2 cm , odtud a = 20 cm, objem krychle a = 40 5 cm3 . 2 OH3. Kolik sˇesticiferny´ch cˇ´ısel nenı´ deˇlitelny´ch ani jednı´m z cˇ´ısel 63 a 42? Řešení: Urcˇ´ıme, kolik sˇesticiferny´ch cˇ´ısel je deˇlitelny´ch 63, kolik 42 a kolik obeˇma, tj. nejmensˇ´ım spolecˇny´m na´sobkem cˇ´ısel 63, 42, tj. cˇ´ıslem 126. 117

Z cˇ´ısel 1 azˇ 999 999 je jich 15 873 deˇlitelny´ch 63, 23 809 deˇlitelny´ch 42 a 7 936 deˇlitelny´ch 126. Z cˇ´ısel 1 azˇ 99 999 je jich 1 587 deˇlitelny´ch 63, 2 380 deˇlitelny´ch 42 a 793 deˇlitelny´ch 126. Z cˇ´ısel 100 000 azˇ 999 999 je jich 15 873−1 587 = 14 286 deˇlitelny´ch 63, 23 809−2 380 = = 21 429 deˇlitelny´ch 42 a 7 936 − 793 = 7 143 deˇlitelny´ch 126. Pocˇet sˇesticiferny´ch cˇ´ısel, ktera´ nejsou deˇlitelna´ zˇa´dny´m z cˇ´ısel 63, 42, je 900 000 − 14 286 − 21 429 + 7 143 = 871 428. OH4. Rovnoramenny´ troju´helnı´k ABC rozdeˇlte prˇ´ıcˇkou XY , X ∈ AC, Y ∈ BC, rovnobeˇzˇnou se za´kladnou AB tak, aby troju´helnı´k CXY a lichobeˇzˇnı´k ABY X meˇly stejne´ obsahy (obr. 91). Vypocˇteˇte de´lku x = |XY | pomocı´ de´lek za´kladny c a vy´sˇky v, graficky ji sestrojte a konstrukci popisˇte.

Obr. 91

Řešení: Troju´helnı´ky ABC, XY C jsou podobne´ a √ jejich obsahy jsou v pomeˇru 2 : 1. De´lky odpovı´dajı´cı´ch si stran jsou tedy v pomeˇru 2 : 1, odkud x = √c2 . Tuto de´lku sestrojı´me jako stranu cˇtverce s danou u´hloprˇ´ıcˇkou c.

118

Varianta OI, zadání s řešeními OI1. V krychli ABCDEF GH je bod P strˇed hrany AE, bod Q je strˇed hrany CG. Da´le K je strˇed BQ, L je strˇed QH, M je strˇed HP a N je strˇed P B (obr. 92). Urcˇete obsah cˇtyrˇu´helnı´ku KLM N , je-li de´lka hrany krychle 8 cm.

Obr. 92

Řešení: Cˇtyrˇu´helnı´k P√BQH ma´ stejneˇ dlouhe ˇ u´hloprˇ´ıcˇky √ ´ strany. Je to kosocˇtverec, √ jehoz 2 ˇ majı´ de´lky |P Q| = 8 2 cm, |BH| √ = 82 3 cm, takzˇe ma´ obsah 32 6 cm . Ctyrˇu´helnı´k KLM N ma´ polovicˇnı´ obsah 16 6 cm . OI2. Je da´na rovnice x2 − 8x + s = 0. Urcˇete parametr s a druhe´ rˇesˇenı´ rovnice, jestlizˇe vı´te, zˇe jedno rˇesˇenı´ rovnice je rovno 15. Řešení: Pro parametr s platı´ 152 −8·15+s = 0, odtud s = −105. Rovnice x2 −8x−105 = = 0 ma´ rˇesˇenı´ x1 = 15, x2 = −7. Jiné řešení: Pro rˇesˇenı´ x1 = 15, x2 dane´ rovnice platı´ (x − 15)(x − x2 ) = x2 − 8x + s, odkud 15 + x2 = 8, 15x2 = s. Je tedy x2 = −7, s = −105. OI3. Prˇedstavte si, zˇe na cˇtverecˇkovane´m papı´ru je nakreslen obde´lnı´k o rozmeˇrech 48 × 36 cˇtverecˇku˚. Strany obde´lnı´ku lezˇ´ı v linka´ch cˇtverecˇkovane´ho papı´ru. Na kolik cˇa´stı´ je jeho u´hloprˇ´ıcˇka rozdeˇlena pru˚secˇ´ıky s linkami? 119

Řešení: Ve vnitrˇnı´ch bodech u´hloprˇ´ıcˇku protı´na´ 47 svisly´ch a 35 vodorovny´ch linek. Urcˇ´ıme jesˇteˇ, v kolika z teˇchto pru˚secˇ´ıku˚ se na u´hloprˇ´ıcˇce protı´na´ vodorovna´ linka se svislou. Pomeˇr stran dane´ho obde´lnı´ku je 48 : 36 = 4 : 3, bude to tedy v 11 bodech (4, 3), (8, 6),. . . , (44, 33). Uvnitrˇ u´hloprˇ´ıcˇky lezˇ´ı tedy 47 + 35 − 11 = 71 navza´jem ru˚zny´ch pru˚secˇ´ıku˚ s linkami, ktere´ ji deˇlı´ na 72 cˇa´stı´. ´ lohu vyrˇesˇ´ıme pro obde´lnı´k 4 × 3 cˇtverecˇku˚ (6 cˇa´stı´, bez dvojity´ch pru˚seJiné řešení: U cˇ´ıku˚), jehozˇ u´hloprˇ´ıcˇka je dvana´ctinou u´hloprˇ´ıcˇky dane´ho obde´lnı´ku. OI4. Na obr. 93 je troju´helnı´k ABC. Bod T je jeho teˇzˇisˇteˇ, bod A0 strˇed BC, bod K strˇed C 0 A0 . Pro bod L platı´, zˇe 3|CL| = |CC 0 |. Obsah troju´helnı´ku A0 LC je roven 4. Urcˇete obsah troju´helnı´ku˚ ABC a BKC 0 .

Obr. 93 ´ secˇka CC 0 je teˇzˇnice troju´helnı´ku ABC, takzˇe bod C 0 je strˇed strany AB. Pro Řešení: U obsahy troju´helnı´ku˚ v obra´zku platı´ |CLA0 | = |LT A0 | = |T C 0 A0 |, |C 0 A0 B| = |C 0 A0 C|, |KC 0 B| = |KA0 B|, |CC 0 A| = |CC 0 B| a odtud |BKC 0 | = 6, |ABC| = 48.

120

Varianta OJ, zadání s řešeními OJ1. Motocyklistovi trva´ cesta za bezveˇtrˇ´ı tb hodin, s veˇtrem v za´dech tz hodin. Jak dlouho by mu trvala cesta proti veˇtru? Řešení: Necht’vı´tr fouka´ rychlostı´ w km/h, motocyklistova cesta meˇrˇ´ı s km a proti veˇtru s by mu trvala tp hodin. Rychlost prˇi jı´zdeˇ za bezveˇtrˇ´ı je pak km/h, rychlost prˇi jı´zdeˇ t sb s km/h a rychlost prˇi jı´zdeˇ s veˇtrem v za´dech km/h. Pro rychlosti platı´ proti veˇtru tp tz s s s s tb tz ´ loha ma´ rˇesˇenı´ pro = − w, = + w. Odtud dostaneme tp = . U tp tb tz tb 2tz − tb 2tz > tb = tz . x2 − px + 12 3−x OJ2. Rˇesˇte rovnici 10 = 1 s parametrem p. x2 − px + 12 Řešení: Dana´ rovnice je ekvivalentnı´ s rovnicı´ = 0. Kvadraticka´ rovnice 3−x √ √ x2 − px + 12 = 0 √ ma´ diskriminant p2 − √ 48. Pro −4 3 < p < 4 3 nema √ ´ v rea´lne´m oboru √ rˇesˇenı´, pro p = 4 3, resp. pro p = −4 3 ma´ jedine´ rˇesˇenı´ p x = 2 3, resp. x = −2 3, √ √ p ± p2 − 48 pro p > 4 3 a pro p < −4 3 ma´ dveˇ rˇesˇenı´ x1,2 = . Tote´zˇ platı´ i pro 2 pu˚vodnı´ rovnici azˇ na to, zˇe jı´ nevyhovuje rˇesˇenı´ kvadraticke´ rovnice x = 3, kdy leva´ strana ztra´cı´ smysl. K tomu dojde pro p = 7; tedy v tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ rovnice jedine´ rˇesˇenı´ x = 4. OJ3. Je da´na prˇ´ımka p a v jedne´ z polorovin, ktere´ urcˇuje, body A, B. Sestrojte na prˇ´ımce p bod C tak, aby prˇ´ımka AC byla osou u´hlu, jehozˇ jedno rameno je poloprˇ´ımka CB a druhe´ rameno lezˇ´ı v prˇ´ımce p. Řešení: Prˇedpokla´dejme, zˇe je hledany´ bod C sestrojen (obr. 94). Obraz B 0 bodu B v soumeˇrnosti podle osy AC pak lezˇ´ı na prˇ´ımce p, |AB 0 | = |AB| a BB 0 ⊥AC.

121

Obr. 94 Bod B 0 sestrojı´me jako pru˚secˇ´ık kruzˇnice (A, |AB|) s prˇ´ımkou p, bod C jako pru˚secˇ´ık osy u´secˇky BB 0 s prˇ´ımkou p. ´ loha ma´ 2 rˇesˇenı´ v prˇ´ıpadeˇ |AB| > |Ap| = U 6 |Bp| ˇenı´ v prˇ´ıpadeˇ |AB| > |Ap| = |Bp| 2 , 1 rˇes 2 , 1 rˇesˇenı´ v prˇ´ıpadeˇ |AB| = |Ap| 6= |Bp| ˇenı´ nema´. (Symbolem |Ap| znacˇ´ıme 2 a jinak rˇes vzda´lenost bodu A od prˇ´ımky p.) OJ4. V uzavrˇene´ na´dobeˇ tvaru rotacˇnı´ho kuzˇele s vy´sˇkou v a polomeˇrem r je nalita voda. Vy´sˇka hladiny nade dnem je a. Do jake´ vy´sˇky saha´ hladina, prˇevra´tı´me-li na´dobu dnem vzhu˚ru? Řešení: Polomeˇr kruhove´ hladiny v pu˚vodnı´ poloze oznacˇme s. Z podobny´ch troju´helnı´ku˚ (obr. 95a) je s : r = (v − a) : v a odtud s = vr (v − a). Objem vody v na´dobeˇ je 1 1 1 r2 V = πr2 v − πs2 (v − a) = π 2 (v 3 − (v − a)3 ). 3 3 3 v Oznacˇme b hledanou vy´sˇku a t polomeˇr hladiny po prˇevra´cenı´. Z podobny´ch troju´helnı´ku˚ (obr. 95b) bude t : b = r : v a odtud t = brv . Objem vody v na´dobeˇ je 1 2 1 r2 3 V = πt b = π 2 b . 3 3 v Porovna ´ me-li obeˇ vyja´drˇenı´ te´hozˇ objemu, dostaneme b3 = v 3 − (v − a)3 , tudı´zˇ b = p = 3 v 3 − (v − a)3 .

122

(a)

(b) Obr. 95

123

Varianta OK, zadání s řešeními OK1. Dveˇ auta jedou po stejne´ silnici rychlostmi v1 km/h a v2 km/h. Kdyby jela stejny´m smeˇrem, setkala by se za t hodin. Za jak dlouho se setkajı´, kdyzˇ jedou proti sobeˇ? Řešení: Necht’ je pocˇa´tecˇnı´ vzda´lenost aut d km a necht’ se auta setkajı´ za T hodin. Prˇi jı´zdeˇ stejny´m smeˇrem by platilo d = |tv1 − tv2 |, prˇi jı´zdeˇ proti sobeˇ platı´ d = T v1 + T v2 . |v1 − v2 | Odtud T = t · . v1 + v2 OK2. Rˇesˇte nerovnici: log22 x − 3 log2 x + 2 = 0 Řešení: Substituce y = log2 x prˇevede nerovnici na y 2 − 3y + 2 = 0. Kvadraticka´ rovnice y 2 − 3y + 2 = 0 ma´ korˇeny 1 a 2. Nerovnici mu˚zˇeme psa´t ve tvaru (y − 1)(y − 2) = 0 a jejı´m rˇesˇenı´m jsou vsˇechna y = 2 a vsˇechna y 5 1. Rˇesˇenı´m pu˚vodnı´ nerovnice jsou tedy vsˇechna x, pro neˇzˇ log2 x = 2, a vsˇechna x, pro neˇzˇ log2 x 5 1, tj. vsˇechna x = 4 a vsˇechna 0 < x 5 2. OK3. Sestrojte troju´helnı´k ABC, je-li da´no a, va , vb . Řešení: Je-li a = vb , jde o pravou´hly´ troju´helnı´k s odveˇsnami |BC| = a, |AC| = va . Je-li a < vb , u´loha nema´ rˇesˇenı´. Nada´le prˇedpokla´dejme, zˇe a > vb . Patu P vy´sˇky vb dostaneme jako pru˚secˇ´ık Thaletovy kruzˇnice nad pru˚meˇrem BC s kruzˇnicı´ (B, vb ). Vrchol A je pak pru˚secˇ´ık prˇ´ımky CP s rovnobeˇzˇkou vedenou s prˇ´ımkou BC ve vzda´lenosti va . V tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ u´loha pra´veˇ dveˇ rˇesˇenı´ (obr. 96).

124

Obr. 96

OK4. Je da´na krychle s hranou de´lky a a sˇest shodny´ch pravidelny´ch cˇtyrˇboky´ch jehlanu˚ s podstavnou hranou de´lky a. Nalepenı´m podstav jehlanu˚ na steˇny krychle vznikne teˇleso, ktere´ ma´ dvakra´t veˇtsˇ´ı povrch nezˇ pu˚vodnı´ krychle. Urcˇete vy´sˇku jehlanu. Řešení: Povrch krychle je 6a2 , dvojna´sobny´ povrch krychle je 12a2 . Povrch nove´ho teˇlesa 2 a2 se skla´da´ z 24 steˇn, kazˇda´ ma´ obsah 12a = ˇ ny jsou tedy shodne´ rovnoramenne´ 24 2 . Ste troju´helnı´ky se za´kladnou a a vy´sˇkou a. √ p Jehlan ma´ vy´sˇku a2 − ( a2 )2 = a · 23 .

125

Varianta OL, zadání s řešeními OL1. Za kolik minut po 4. hodineˇ budou hodinova´ a minutova´ rucˇicˇka poprve´ svı´rat pravy´ u´hel? Řešení: Ve 4 hodiny svı´rajı´ rucˇicˇky u´hel 120◦ . Otocˇ´ı-li se hodinova´ rucˇicˇka o u´hel α, minutova´ se otocˇ´ı o u´hel 12α. Rucˇicˇky pak budou svı´rat u´hel (120◦ + α) − 12α = ◦ = 120◦ − 11α. Tato odchylka nabude poprve´ hodnoty 90◦ pro α = 30 . Hodinova´ rucˇicˇka 11 1◦ 30 ◦ 360◦ ◦ se za 1 minutu otocˇ´ı o 12·60 = 2 , takzˇe o 1 se otocˇ´ı za 2 minuty a o 11 za 60 11 minuty. x2 +3x−28 OL2. Urcˇete pru˚secˇ´ıky grafu funkce f (x) = 2 − log2 x+7 s osami sourˇadnic. x2 + 3x − 28 Řešení: Dana´ funkce je definova´na pro ta x, pro neˇzˇ x 6= −7 a > 0. x+7 Vzhledem k tomu, zˇe x2 + 3x − 28 = (x − 4)(x + 7), je definova´na pro x > 4 a je f (x) = 2 − | log2 (x − 4)|. Osu x protne jejı´ graf v bodech [x, 0], kde f (x) = 0, tj. tj. tj. tj.

| log2 (x − 4)| = 2, log2 (x − 4) = 2 a log2 (x − 4) = −2, x − 4 = 22 a x − 4 = 2−2 , 17 x=8 a x= . 4

Osu x graf protı´na´ ve dvou bodech [8, 0] a [ 17 4 , 0]. Osu y protne graf funkce f v bodech [0, y], kde y = f (0). Pro x = 0 nenı´ funkce f definova´na, takzˇe jejı´ graf osu y neprotı´na´. OL3. Sestrojte lichobeˇzˇnı´k KLM N , jsou-li da´ny de´lky za´kladen KL a M N a de´lky u´hloprˇ´ıcˇek KM a LN . Řešení: (Obr. 97.) Oznacˇme k = |KL|, m = |M N |, e = |KM |, f = |LN |. Pru˚secˇ´ık u´hloprˇ´ıcˇek oznacˇme S. Z podobnosti troju´helnı´ku˚ KSL, M SN je zrˇejme´, zˇe |KS| : |SM | = |LS| : |SN | = k : m. ´ secˇky de´lek e a f rozdeˇlı´me v pomeˇru U k : m (obr. 98), sestrojı´me troju´helnı´k KSL a doplnı´me na lichobeˇzˇnı´k KLM N .

126

Obr. 97

Obr. 98 ´ loha ma´ jedine´ rˇesˇenı´, pra´veˇ kdyzˇ velikosti trˇ´ı u´secˇek, z nichzˇ sestrojujeme troju´helnı´k U k k KLS, totizˇ e· k+m , f · k+m , k, splnˇujı´ troju´helnı´kovou nerovnost a prˇitom k 6= m (v prˇ´ıpadeˇ k = m bychom dostali rovnobeˇzˇnı´k). Nutna´ a postacˇujı´cı´ podmı´nka rˇesˇitelnosti je e + f > k + m > |e − f |,

k 6= m.

Jiné řešení: (Obr. 99) Sestrojı´me troju´helnı´k KOM se stranami |KO| = k + m, |KM | = = e, |M O| = f a pak rovnobeˇzˇnı´k LOM N se stranou |LO| = m.

127

Obr. 99

OL4. Vypocˇteˇte pomeˇr objemu˚ trˇ´ı rotacˇnı´ch va´lcu˚ opsany´ch kva´dru s rozmeˇry a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm (jeden ze zmı´neˇny´ch va´lcu˚ je zobrazen na obr. 100). Řešení: Va´lec opsany´ kva´dru s√podstavou o rozmeˇrech a, b ma´ pru˚meˇr a2 + b2 a 2 2 objem π · a +b ˇ r objemu˚ trˇ´ı va´lcu˚ 4 · c. Pome je c(a2 + b2 ) : b(a2 + c2 ) : a(b2 + c2 ), v nasˇem prˇ´ıpadeˇ 26 : 25 : 30. Obr. 100

128

Varianta OM, zadání s řešeními OM1. Nakreslete graf funkce f (x) = |x2 − 3x| − |x2 + 3x|. Řešení: Pro x 5 −3 je f (x) = x(x − 3) − x(x + 3) = −6x, pro −3 5 x 5 0 je f (x) = x(x − 3) + x(x + 3)) = 2x2 , pro 0 5 x 5 3 je f (x) = −x(x − 3) − x(x + 3)) = −2x2 , pro x = 3 je f (x) = x(x − 3) − x(x + 3) = −6x. Graf funkce f je tedy slozˇen z cˇa´stı´ grafu˚ teˇchto cˇtyrˇ funkcı´ (obr. 101).

Obr. 101

129

OM2. Rˇesˇte rovnici tg (82◦ + x) + tg (8◦ − x) = 2. Řešení: Podle zna´my´ch vzorcu˚ je (pro prˇ´ıpustne´ hodnoty) tg (8◦ − x) = cotg (90◦ − (8◦ − x)) = cotg (82◦ + x) =

1 . tg (82◦ + x)

ˇ esˇ´ıme tedy rovnici R tg (82◦ + x) +

1 = 2. tg (82◦ + x)

Substituce tg (82◦ + x) = t ji prˇevede na rovnici t + 1t = 2, ktera´ ma´ jedine´ rˇesˇenı´ t = 1. Je-li tg (82◦ + x) = 1, je 82◦ + x = 45◦ + k · 180◦ , neboli x = −37◦ + k · 180◦ , kde k je libovolne´ cele´ cˇ´ıslo. OM3. Soucˇet 9. a 16. cˇlenu aritmeticke´ posloupnosti je 2. Urcˇete soucˇet prvnı´ch 24 cˇlenu˚ te´to posloupnosti. Řešení: Oznacˇme n-ty´ cˇlen posloupnosti an a jejı´ diferenci d. Je da´no, zˇe a9 + a16 = a1 + 8d + a1 + 15d = 2a1 + 23d = 2. Odtud dostaneme a1 + a2 + a3 + · · · + a24 = 24a1 +

23 · 24 d = 12(2a1 + 23d) = 12 · 2 = 24. 2 OM4. Cˇtyrˇu´helnı´k ABCD je vepsa´n do kruzˇnice. Urcˇete velikost u´secˇky BC, je-li (obr. 102) |AD| = 7,

|DE| = 3,

|CE| = 5.

Řešení: Troju´helnı´ky ADE, BCE jsou podobne´, nebot’|∠ADE| = |∠ADB| = |∠ACB| = = |∠BCE| (obvodove´ u´hly k teˇtiveˇ AB) a |DE| |∠AED| = |∠BEC|. Je tedy |AD| |BC| = |CE| a odtud |BC| =

Obr. 102

130

|CE| · |AD| 5 · 7 35 = = . |DE| 3 3

Varianta ON, zadání s řešeními ON1. Nakreslete graf funkce y = cos 2 |x| +

π 4




pro x ∈ h−2π, 2πi.

Řešení: (Obr. 103.) Vyjdeme z grafu funkce y = cos x. Posunutı´m o π4 ve smeˇru osy x (doleva) zı´ska´me graf funkce y = cos(x + π4 ). S nı´m se pro x = 0 shoduje graf funkce y = cos(|x| + π4 ) a
pro x < 0 ho doplnı´me soumeˇrneˇ podle osy y. Konecˇneˇ graf funkce y = cos 2 |x| + π4 z neˇho vznikne „dvojna´sobny´m zahusˇteˇnı´m“.

Obr. 103

ON2. Uvazˇujme vsˇechny troju´helnı´ky, ktere´ majı´ vsˇechny vrcholy ve vrcholech dane´ho pravidelne´ho dvacetiu´helnı´ku. Kolik procent z teˇchto troju´helnı´ku˚ je pravou´hly´ch? Řešení: Nad kazˇdou u´hloprˇ´ıcˇkou, ktera´ je pru˚meˇrem mnohou´helnı
´ku, je 18 pravou´hly´ch 20 troju´helnı´ku˚, celkem 10 · 18 = 180. Vsˇech troju´helnı´ku˚ je 3 = 1 140 a mezi nimi je 15, 79% pravou´hly´ch. ON3. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru a, pro neˇzˇ funkce f (x) = (1−2a)x2 +6ax−8a nenaby´va´ hodnoty f (x) = 1 pro zˇa´dne´ x. Řešení: Podmı´nka je splneˇna, pra´veˇ kdyzˇ kvadraticka´ rovnice (1 − 2a)x2 + 6ax − 8a − 1 = 0 nema´ rˇesˇenı´, tj. pra´veˇ kdyzˇ jejı´ diskriminant je za´porny´, tj. 1 36a2 − 4(1 − 2a)(−8a − 1) = 4(−7a2 + 6a + 1) = −28(a − 1)(a + ) < 0, 7 131



 tj. pro a 6∈ − 71 , 1 . Jesˇteˇ zby´va´ prozkoumat prˇ´ıpad a = 12 , kdy rovnice nenı´ kvadraticka´. Jde o rovnici 3x − 5 = 0, ktera´ ma´ rˇesˇenı´ a f pro toto a hodnoty 1 naby´va´. Funkce f nenaby´va´ hodnoty 1 pro a < − 71 a pro a > 1. ON4. V kva´dru ABCDA0 B 0 C 0 D0 je prˇi obvykle´m znacˇenı´ |∠AB 0 B| = 60◦ , |∠BB 0 C| = = 45◦ . Vypocˇteˇte cos |∠AB 0 C|. Řešení: (Obr. 104). Oznacˇme |AA0 | = a. V pravou´hle´m troju´helnı´ku ABB 0 pak bude a = 2a cos 60◦ √ a v pravou´hle´m troju´helnı´ku BCB 0 bude |B 0 C| = a 2. Steˇny ABB 0 A0 , ABCD jsou shodne´, takz ˇ e |AC| = |AB 0 | = 2a. Troju´helnı´k B 0 CA je rovnoramenny´ se za´kladnou √ |B 0 C| = a 2 a rameny |AB 0 | = |AC| = 2a, odtud |AB 0 | =

cos ϕ =

√ a 2 2

2a

√ =

Obr. 104

132

2 . 4

Varianta OO, zadání s řešeními OO1. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru a, pro neˇzˇ funkce f (x) = (a2 −1)x2 +2(a−1)x naby´va´ hodnoty f (x) = 2 pra´veˇ pro jedno x. Řešení: Podmı´nka je splneˇna, pra´veˇ kdyzˇ rovnice (a2 − 1)x2 + 2(a − 1)x − 2 = 0 ma´ jediny´ korˇen. Pro a = 1 ma´ rovnice tvar −2 = 0 a nema´ rˇesˇenı´. Pro a = −1 ma´ rovnice tvar −4x − 2 = 0 a ma´ jediny´ korˇen. Pro a 6= 1, a 6= −1 jde o kvadratickou rovnici s diskriminantem 4(a − 1)2 + 8(a2 − 1) = = 4(a − 1)(3a + 1), ktery´ je roven 0 pro a = − 31 (a = 1 nevyhovuje). Podmı´nka je splneˇna pro a = − 13 a pro a = −1. OO2. Obchodnı´k prˇed cˇasem zdrazˇil sala´m o 10%. O kolik procent ho nynı´ musı´ zlevnit, aby se cena vra´tila na pu˚vodnı´ u´rovenˇ? Řešení: Pu˚vodnı´ cenu sala´mu oznacˇme c. Po zdrazˇenı´ o 10% sta´l 1, 1c. Kdyzˇ ho pak x x zlevnı´ o x%, bude sta´t (1 − 100 ) · 1, 1c. Hleda´me x tak, aby (1 − 100 ) · 1, 1c = c, odkud . x = 100 11 % = 9, 09 %. OO3. De´lky stran pravou´hle´ho troju´helnı´ku oznacˇme a, b, c tak, aby a 5 b < c, de´lku vy´sˇky na prˇeponu v. Dokazˇte, zˇe troju´helnı´k, jehozˇ strany majı´ de´lku v, a + b, c + v, je pravou´hly´. Řešení: Podle Pythagorovy veˇty je c2 = a2 +b2 . Da´le je ab = cv (z dvojna´sobne´ho obsahu nebo z podobny´ch troju´helnı´ku˚). Je tedy v 2 +(a+b)2 = v 2 +a2 +2ab+b2 = v 2 +c2 +2cv = = (c + v)2 . OO4. Nakreslete graf funkce y = |2|x+3| − 5|. Řešení: (Obr. 105.) Vyjdeme z grafu funkce y = 2x . Posunutı´m o 3 ve smeˇru osy x doleva z neˇho dostaneme graf funkce y = 2x+3 . Graf funkce y = 2|x+3| se s nı´m pro x = −3 shoduje, pro x < −3 ho dostaneme prˇeklopenı´m podle prˇ´ımky x = −3. Graf funkce y = 2|x+3| − 5 dostaneme z grafu funkce y = 2|x+3| posunutı´m o 5 ve smeˇru osy y dolu˚. Konecˇneˇ graf funkce y = |2|x+3| − 5| vznikne prˇeklopenı´m te´ cˇa´sti grafu funkce y = 2|x+3| − 5, ktera´ je pod osou x, nad osu x.

133

Obr. 105

134

Varianta OP, zadání s řešeními OP1. Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x, pro ktera´ platı´: √ √ √ √ √ 1+x+ 1−x 1+x− 1−x 2 √ √ √ −√ = . x 1+x− 1−x 1+x+ 1−x Řešení: Vy´raz na leve´ straneˇ ma´ smysl, pra´veˇ kdyzˇ soucˇasneˇ 1 + x = 0, 1 − x = 0, 1 + x 6= 1 − x, tj. pro x ∈ h−1, 0) ∪ (0, 1i. Upravme ho: √ √ √ √ 1+x+ 1−x 1+x− 1−x √ √ √ −√ = 1+x− 1−x 1+x+ 1−x √ √ √ √ √ √ √ ( 1 + x + 1 − x)2 − ( 1 + x − 1 − x)2 4 1 + x · 1 − x 2 1 − x2 √ √ = = = (1 + x) − (1 − x) x ( 1 + x)2 − ( 1 − x)2 √ √ 2 2 1 − x2 Rovnice = ma´ rˇesˇenı´ x1 = x x rovnice.

√1 , 2

x2 = − √12 a ta jsou rˇesˇenı´m zadane´

OP2. Najdeˇte vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla n < 100, pro ktera´ je cˇ´ıslo n2 −5n−14 deˇlitelne´ 43. Řešení: Kvadraticka´ rovnice n2 − 5n − 14 = 0 ma´ korˇeny 7 a −2, je tedy n2 − 5n − 14 = = (n − 7)(n + 2). Protozˇe 43 je prvocˇ´ıslo, je soucˇin dvou cˇ´ısel deˇlitelny´ 43, pra´veˇ kdyzˇ je 43 deˇlitelny´ neˇktery´ z cˇinitelu˚. Pro n < 100 je n − 7 deˇlitelne´ 43 pro n = 50 a pro n = 93, n + 2 je deˇlitelne´ 43 pro n = 41 a pro n = 84. OP3. Jsou da´na rea´lna´ cˇ´ısla a < b < c < d. Sestrojte graf funkce y = |x − a| + |x − b| + |x − c| + |x − d|. Řešení: Pro x < a je y = (a − x) + (b − x) + (c − x) + (d − x) = a + b + c + d − 4x, pro a 5 x < b je y = (x − a) + (b − x) + (c − x) + (d − x) = −a + b + c + d − 2x, pro b 5 x < c je y = (x − a) + (x − b) + (c − x) + (d − x) = −a − b + c + d, pro c 5 x < d je y = (x − a) + (x − b) + (x − c) + (d − x) = −a − b − c + d + 2x, pro x = d je y = (x − a) + (x − b) + (x − c) + (x − d) = −a − b − c − d + 4x. Graf funkce je na obr. 106.

135

Obr. 106

OP4. Je da´na krychle a na jejı´ch hrana´ch body P , Q, R. Na obr. 107 je sı´t’te´to krychle. Vyznacˇte v sı´ti rˇez krychle rovinou P QR. Řešení: Oznacˇme odpovı´dajı´cı´ si vrcholy na krychli a v sı´ti a vyznacˇme na krychli dane´ body P , Q, R (obr. 108a, b). Body P , Q, R lezˇ´ı ve vrcholu, tedy ve trˇech steˇna´ch, proto se budou v sı´ti vyskytovat ve trˇech cˇtvercı´ch. Na krychli sestrojı´me rˇez (obr. 108c) a prˇeneseme ho do sı´teˇ (obr. 108d).

Obr. 107

136

(a)

(b)

(c)

(d) Obr. 108

137

Varianta OQ, zadání s řešeními OQ1. V krychli ABCDEF GH (obvykle´ znacˇenı´) protneˇme u´hloprˇ´ıcˇku BH prˇ´ımkou vedenou k nı´ kolmo vrcholem F . Vyznacˇte v obra´zku krychle pru˚secˇ´ık P teˇchto prˇ´ımek. √ | Řešení: V obde´lnı´ku DBF H (obr. 109) je |HF = 2. Z podobny´ch troju´helnı´ku˚ F P B, |F B| 2

| |HF | |P B| |F B| |HP | |HF | HF B, HP F ma´me |HP |P F | = |F B| a |P F | = |F H| , odkud |P B| = |F B|2 = 2. Bod P tedy deˇlı´ u´hloprˇ´ıcˇku HB v pomeˇru 2 : 1 a snadno ho do obra´zku krychle doplnı´me.

Obr. 109

OQ2. V mnozˇineˇ rea´lny´ch cˇ´ısel rˇesˇte rovnici 2tg2 x + cos2 x = 1. 2 sin x 2 Řešení: Vyuzˇijeme vztahu˚ tg x = cos x a sin x + cos x = 1 a rovnici upravı´me na tvar cos4 x − 3 cos2 x + 2 = 0. Substitucı´ y = cos2 x ji prˇevedeme na kvadratickou rovnici y 2 − 3y + 2 = 0, ktera´ ma´ korˇeny y1 = 2, y2 = 1. Ke korˇenu y1 neexistuje zˇa´dne´ x, pro neˇzˇ by cos2 x = 2, nebot’cos2 x 5 1 pro kazˇde´ x. Ke korˇenu y2 najdeme v intervalu h0 , 2π) dveˇ hodnoty x, pro neˇzˇ cos x = 1 nebo cos x = −1; jsou to 0 a π. Obeˇ vyhovujı´ dane´ rovnici a dalsˇ´ı rˇesˇenı´ se od nich lisˇ´ı o na´sobky 2π. Rˇesˇenı´ dane´ rovnice jsou celocˇ´ıselne´ na´sobky π.

138

OQ3. Najdeˇte vsˇechny dvojice rea´lny´ch cˇ´ısel x, y, pro ktere´ platı´ x(x − y) y(x − y)3 − 4 = 1. x2 + y 2 x − y4 Řešení: Upravı´me levou stranu, ktera´ ma´ smysl, pokud x 6= y, x 6= −y: x(x − y) y(x − y)3 (x − y)(x3 − y 3 + xy 2 − x2 y) − 4 = = x2 + y 2 x − y4 x4 − y 4 (x − y)(x(x2 + y 2 ) − y(x2 + y 2 )) (x − y)2 (x2 + y 2 ) = = = x4 − y 4 x4 − y 4 (x − y)2 x−y = 2 = 2 x −y x+y Poslednı´ zlomek je roven 1 pra´veˇ pro ty dvojice x, y, pro ktere´ y = 0, x 6= 0. OQ4. Doplnˇte chybeˇjı´cı´ cˇ´ıslice X, Y tak, aby cˇ´ıslo 124X92Y 5 bylo deˇlitelne´ 75. Řešení: Cˇ´ıslo je deˇlitelne´ 75, pra´veˇ kdyzˇ je soucˇasneˇ deˇlitelne´ 25 a 3. Cˇ´ıslo je deˇlitelne´ 25, pra´veˇ kdyzˇ poslednı´ dvojcˇ´ıslı´ je deˇlitelne´ 25, v nasˇem prˇ´ıpadeˇ kdyzˇ Y = 2 nebo Y = 7. Cˇ´ıslo je deˇlitelne´ 3, pra´veˇ kdyzˇ soucˇet jeho cˇ´ıslic je deˇlitelny´ 3, v nasˇem prˇ´ıpadeˇ kdyzˇ X + Y = 1, X + Y = 4, X + Y = 7, X + Y = 10, X + Y = 13 nebo X + Y = 16. Rˇesˇenı´m jsou na´sledujı´cı´ dvojice (Y, X): (2, 2), (2, 5), (2, 8), (7, 0), (7, 3), (7, 6), (7, 9).

139

Varianta OR, zadání s řešeními OR1. Je da´na funkce f : y = kx2 − (k + 2) x + k + 3, kde k je rea´lny´ parametr. (a) Zvolte k = −1 a pro tuto hodnotu sestrojte graf funkce f . (0) (b) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ platı´ ff(−2) > 0. (c) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ jsou x1 = −1, x2 = 1 korˇeny rovnice f (x) = 0. Řešení: (a) Pro k = −1 pro prˇedpis funkce f platı´ y = −x2 − x + 2 = −(x + 2)(x − 1) = = −(x + 21 )2 + 49 . Graf funkce f je parabola na obr. 110.

Obr. 110

(b) Je f (0) = k + 3, f (−2) = 7k + 7, hleda´me tedy vsˇechna k, pro neˇzˇ je ˇ esˇenı´m te´to nerovnice jsou vsˇechna k < −3 a vsˇechna k > −1. R (c) Je-li f (−1) = 0, je 3k + 5 = 0, k = − 53 . Je-li f (1) = 0, je k + 1 = 0, k = −1. Tedy neexistuje zˇa´dne´ k, pro ktere´ je soucˇasneˇ f (−1) = 0 a f (1) = 0. 140

k+3 > 0. 7k + 7

OR2. Urcˇete pocˇet vsˇech osmipı´smenny´ch slov, ktera´ lze vytvorˇit za´meˇnou pı´smen slova COCACOLA a ktera´ zacˇ´ınajı´ i koncˇ´ı souhla´skou. Slova nemusı´ mı´t zˇa´dny´ skutecˇny´ vy´znam. 6! Řešení: Hledana´ osmipı´smenna´ slova jsou trˇ´ı typu˚: prvnı´ typ je C. . . . . . C, kde je 2·2 6! 6! mozˇnostı´; druhy´ typ je C. . . . . . L, kde je 2·2·2 mozˇnostı´; trˇetı´ typ je L. . . . . . C, kde je 2·2·2 mozˇnostı´. 6! 6! Celkem je 2·2 + 2 · 2·2·2 = 360 mozˇnostı´ jak vytvorˇit pozˇadovana´ slova.

OR3. Je da´na krychle ABCDEFGH a platı´ |AB| = a. Urcˇete vsˇechny roviny, ktere´ majı´ tyto vlastnosti: obsahujı´ u´secˇku KL, kde K je strˇed hrany AB a L je strˇed hrany GH krychle, a jejich pru˚nikem s krychlı´ je pravidelny´ sˇestiu´helnı´k. Pru˚nik zna´zorneˇte na obra´zku (pro kazˇdou rovinu zvla´sˇt’). V kazˇde´m prˇ´ıpadeˇ vypocˇteˇte obsah tohoto pravidelne´ho sˇestiu´helnı´ku. Řešení: Snadno uva´zˇ´ıme, zˇe body K, L jsou protilehle´ vrcholy hledane´ho pravidelne´ho sˇestiu´helnı´ku. Zrˇejmeˇ je KL k BG a |KL| = |BG|. Strany M N , OP rovnobeˇzˇne´ s KL budou mı´t polovicˇnı´ de´lku, a proto budou vrcholy M , N , O, P lezˇet ve strˇedech prˇ´ıslusˇny´ch hran krychle. Existujı´√tedy dveˇ dvojice u´secˇek M N , OP √ (obr. 111). V √obou prˇ´ıpadech je (obr. 112) |KM | = 22 a, |KM N LOP | = 6 · 21 · |KM | · 23 |KM | = 3 4 3 a2 .

Obr. 111

141

Obr. 112

OR4. Urcˇete vsˇechny hodnoty x, pro ktere´ platı´ cos x = sin 2x. Řešení: Postupneˇ prova´dı´me ekvivalentnı´ u´pravy nerovnice: cos x = sin 2x cos x = 2 sin x cos x cos x(2 sin x − 1) 5 0 1 cos x(sin x − ) 5 0 2 Dane´ nerovnici vyhovujı´ pra´veˇ ta x, pro ne ˇ zˇ cos x 5 0 a za´roven ˇ sin x = 12 , a ta x, pro

 1 π 5 neˇzˇ cos

πx = 0 a za´1rovenˇ sinx 5 2 , tj. x ∈ 2 + 2kπ, 6 π + 2kπ a x ∈ − 2 + 2kπ, 6 π + 2kπ , kde k je cele´ cˇ´ıslo. Grafické řešení pro interval h0, 2πi je patrne´ z obr. 113.

142

Obr. 113

143

Varianta OS, zadání s řešeními OS1. Je da´na funkce f : y = (k + 1) x2 + (k + 3) x − 4, kde k je rea´lny´ parametr. (a) Zvolte k = 0 a pro tuto hodnotu sestrojte graf funkce f . (b) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k tak, aby pro vsˇechna rea´lna´ x platilo f (−x) = = f (x). (c) Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru k, pro neˇzˇ se graf funkce f doty´ka´ grafu funkce y = −4. Řešení: (a) Pro k = 0 pro prˇedpis funkce f platı´ y = x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1) = = (x + 23 )2 − 25 4. Graf funkce f je parabola na obr. 114.

Obr. 114

144

(b) Je f (−x) = (k + 1)x2 − (k + 3)x − 4, hleda´me tedy vsˇechna k, pro neˇzˇ (k + 1)x2 − −(k + 3)x − 4 = (k + 1)x2 + (k + 3)x − 4, neboli (k + 3)x = 0 pro vsˇechna x. To platı´ pro k = −3. (c) Graf funkce f se doty´ka´ prˇ´ımky y = −4, pra´veˇ kdyzˇ diskriminant rovnice (k + 1)x2 + +(k + 3)x = 0 je roven nule, tj. pra´veˇ kdyzˇ (k + 3)2 = 0. Te´to podmı´nce vyhovuje jedineˇ k = −3. OS2. Uchazecˇ o prˇijetı´ na VSˇ musı´ u´speˇsˇneˇ slozˇit vsˇechny cˇtyrˇi zkousˇky. Za kazˇdou u´speˇsˇneˇ vykonanou zkousˇku zı´ska´ bud’2, nebo 3, nebo 4 body. Pro prˇijetı´ stacˇ´ı dosa´hnout asponˇ 13 bodu˚. Kolik ru˚zny´ch „vysveˇdcˇenı´“ je mozˇne´ takto vytvorˇit, aby byl uchazecˇ prˇijat? Řešení: Zı´skat 16 bodu˚ lze tak, zˇe kazˇdy´ prˇedmeˇt je po 4 bodech, cozˇ da´va´ 1 mozˇnost. Zı´skat 15 bodu˚ lze tak, zˇe 1 prˇedmeˇt je za 3 body, ostatnı´ za 4 body, cozˇ da´va´ 4 mozˇnosti. Zı´skat 14 bodu˚ lze tak, zˇe 2 prˇedmeˇty jsou za 4 body a
2 prˇ
edmeˇty za 3 body, nebo 3 prˇedmeˇty za 4 body a 1 prˇedmeˇt za 2 body, cozˇ da´va´ 42 + 41 mozˇnostı´. Zı´skat 13 bodu˚ lze tak, zˇe 2 prˇedmeˇty jsou za 4 body, jeden prˇedmeˇt za 3 body a jeden prˇ
edmeˇ
t za 2
body, nebo jeden prˇedmeˇt za 4 body a 3 prˇedmeˇty za 3 body, cozˇ da´va´ 4 2 4 ˇ nostı´. 2 · 1 + 1 moz Celkem je 1 + 4 + 6 + 4 + 6 · 2 + 4 = 31 mozˇnostı´ jak vytvorˇit „vysveˇdcˇenı´“ potrˇebne´ k prˇijetı´. OS3. Je da´na krychle ABCDEFGH a platı´ |AB| = a. Bod K je strˇed steˇny ABFE a L je strˇed steˇny EFGH krychle. Urcˇete na povrchu krychle mnozˇinu vrcholu˚ M vsˇech rovnoramenny´ch (nebo rovnostranny´ch) troju´helnı´ku˚ KLM se za´kladnou KL. Mnozˇinu vrcholu˚ M zna´zorneˇte na obra´zku. Urcˇete troju´helnı´k KLM s nejmensˇ´ım obsahem a tento obsah vypocˇteˇte. Řešení: Mnozˇinou vrcholu˚ vsˇech rovnoramenny´ch nebo rovnostranny´ch troju´helnı´ku˚ se za´kladnou KL je rovina soumeˇrnosti u´secˇky KL. Jejı´ pru˚nik s povrchem krychle je hranice obde´lnı´ku DCF E (obr. 115). Nejmensˇ´ı obsah troju´helnı´ku KLM je v prˇ´ıpadeˇ, kdyzˇ vy´sˇka na stranu KL je nejmensˇ´ı mozˇna´, tj. kdyzˇ M je strˇed EF . V tom prˇ´ıpadeˇ je
2 2 troju´helnı´k pravou´hly´ a jeho obsah je |KLM | = 12 · a2 = a8 .

145

H

G L

M

E

F

a K C

D

a a

A

B

Obr. 115 OS4. Urcˇete vsˇechny hodnoty x, pro ktere´ platı´ q √ 1 − 2 sin x + 2 cos x = 0. Řešení: Rovnici postupneˇ upravujeme: q √ 1 − 2 sin x + 2 cos x = 0 √ 1 − 2 sin x = 4 cos2 x √ 1 − 2 sin x − 4 + 4 sin2 x = 0 √ 4 sin2 x − 2 sin x − 3 = 0 Odtud dostaneme

√

√ √ √ 2 ± 50 2±5 2 (sin x)1,2 = = . 8 8 √ √ Rovnici sin x = 6 8 2 nevyhovuje zˇa´dne´ x, rovnici sin x = − 22 vyhovujı´ vsˇechna x = = 45 π + 2kπ a vsˇechna x = 74 π + 2kπ, kde k je cele´ cˇ´ıslo. Po provedenı´ zkousˇky vyjde, zˇe rˇesˇenı´m dane´ rovnice jsou pouze cˇ´ısla x = 45 π + 2kπ, kde k je cele´ cˇ´ıslo. 146

Varianta OT, zadání s řešeními OT1. Urcˇete nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı hodnotu funkce f na intervalu h−3, 1i, jestlizˇe f : y = ||1 − 2x| + 4x + 1| − x. Řešení: Extre´my funkce f urcˇ´ıme z jejı´ho grafu. Interval h−3, 1i je rozdeˇlen na podintervaly, na nichzˇ ma´ funkce f tento prˇedpis:  x∈

1 −3, 2

 :y = |1 − 2x + 4x + 1| − x = |2x + 2| − x x ∈ h−3, −1i : y = −2x − 2 − x = −3x − 2   1 x ∈ −1, : y = 2x + 2 − x = x + 2 2

 x∈

 1 , 1 :y = |2x − 1 + 4x + 1| − x = |6x| − x = 6x − x = 5x 2

Graf funkce f je na obr. 116. Nejmensˇ´ı hodnota te´to funkce je f (−1) = 1, nejveˇtsˇ´ı hodnota je f (−3) = 7.

Obr. 116 OT2. Cˇ´ısla 45 030 a 78 329 jsou peˇtimı´stna´, nezacˇ´ınajı´ nulou, pravidelneˇ se v nich strˇ´ıdajı´ sude´ a liche´ cˇ´ıslice a cˇ´ıslice na mı´steˇ jednotek je v nich druhou mocninou cˇ´ıslice na mı´steˇ stovek. Kolik je takovy´ch cˇ´ısel? Řešení: Mohou nastat cˇtyrˇi mozˇnosti: . . 0 . 0, . . 1 . 1, . . 2 . 4, . . 3 . 9 147

(i) Cˇ´ısla . . 0 . 0 mohou mı´t na mı´steˇ desetitisı´cu˚ jednu ze cˇtyrˇ nenulovy´ch sudy´ch cˇ´ıslic, na mı´steˇ tisı´cu˚ jednu z peˇti lichy´ch cˇ´ıslic a na mı´steˇ desı´tek jednu z peˇti lichy´ch cˇ´ıslic. Teˇchto cˇ´ısel je tedy 4 · 5 · 5 = 100. (ii) Analogicky cˇ´ısel . . 1 . 1 je 5 · 5 · 5 = 125. (iii) A cˇ´ısel . . 2 . 4 je 4 · 5 · 5 = 100. (iv) A konecˇneˇ cˇ´ısel . . 3 . 9 je 5 · 5 · 5 = 125. Hledany´ch cˇ´ısel je celkem 100 + 125 + 100 + 125 = 450. OT3. V rovnoramenne´m√ troju´helnı´ku ABC se za´kladnou AB je prˇi obvykle´m znacˇenı´ vb = 8, 8 cm a cos γ = 4133 . (a) Vypocˇteˇte de´lku strany b. (b) Zapisˇte postup konstrukce troju´helnı´ku ABC a troju´helnı´k nary´sujte. √

Řešení: (a) Oznacˇme P patu vy´sˇky vb . Podle zada´nı´ platı´ |PbC| = 4133 . Pouzˇitı´m Pythago√ rovy veˇty dostaneme b2 = 8, 82 cm2 + ( 4133 b)2 , odkud b = 10, 4 cm.

Obr. 117

148

(b) Postup konstrukce: (i) BC, |BC| = 10, 4 cm (ii) Thaletova kruzˇnice t nad pru˚meˇrem BC (iii) P, P ∈ t ∩ k(B; 8 cm) (iv) A, A ∈ CP , |AC| = b Konstrukce troju´helnı´ku je na obr. 117. OT4. Je da´na kvadraticka´ rovnice s parametrem k: x2 − 2kx − k 2 − 1 = 0 Urcˇete hodnotu parametru k tak, aby pro jejı´ korˇeny x1 , x2 platilo x21 + x22 ≤ 26.

Řešení: Korˇeny dane´ rovnice jsou √ p 2k ± 4k 2 + 4k 2 + 4 x1,2 = = k ± 2k 2 + 1 2 pro kazˇde´ rea´lne´ cˇ´ıslo k. Hleda´me vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla k, pro neˇzˇ platı´ (k +

p

2k 2

2

+ 1) + (k −

p

2k 2 + 1)2 ≤ 26.

Ekvivalentnı´mi u´pravami dostaneme: 2k 2 + 4k 2 + 2 ≤ 26 k2 ≤ 4 |k| ≤ 2 Jiné řešení: Podmı´nku upravı´me na tvar x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 ≤ 26. Podle Vie´tovy´ch vzorcu˚ vyjadrˇujı´cı´ch koeficienty kvadraticke´ rovnice pomocı´ korˇenu˚ je x1 + +x2 = 2k, x1 x2 = −k 2 − 1. Po dosazenı´ dostane podmı´nka tvar (2k)2 + 2(k 2 + 1) ≤ 26 neboli k 2 ≤ 4. Podmı´nce vyhovujı´ vsˇechna −2 ≤ k ≤ 2.

149