Kultura vyučování matematice a využití úloh Naďa Stehlíková, PedF UK v Praze V tomto článku popíši své porozumění tomu, co podle mého názoru tvoří kulturu vyučování matematice, prostřednictvím několika principů. Jeden z nich týkající se využití úloh ve vyučování matematice bude popsán podrobněji a ilustrován příklady z praxe. Kultura vyučování matematice Kulturou vyučování matematice rozumíme soubor charakteristik procesů, které se uskutečňují v matematickém vzdělávání ve školním prostředí. Jde o činnosti učitele a žáka/žáků ve vzájemné interakci a ve vztahu k určitým matematickým obsahům, o edukační procesy a vyučovací metody. Pojem kultura vyučování matematice je natolik komplexní a individuální záležitost, že ho v podstatě nelze žádným způsobem charakterizovat tak, aby tato charakteristika byla obecně přijímána. (Např. publikace, která je tomuto tématu věnována, se o to ani nepokouší (Seeger, Voigt & Waschescio, eds., 1998).) Každý učitel má své vlastní přesvědčení, jak by správně vedené vyučování mělo vypadat, dané jeho vzděláním, sociálním zázemím i zkušenostmi. V dalším textu popíši kulturu vyučování matematice prostřednictvím šesti principů. Principy jsou formulovány z hlediska učitele, který je klíčovým prvkem vyučování matematice. Jsem si vědoma zjednodušení, kterého se tím dopouštím. Komplexnost vyučovacího procesu lze jen stěží uchopit pomocí několika málo principů, které spolu navíc navzájem úzce souvisí. Čtenář jistě najde další charakteristiky, které v mém souboru chybí, nebo navrhne jejich jinou formulaci. Dopouštím se onoho zjednodušení zejména z toho důvodu, abychom neztratili cenný nadhled nad vyučovacím procesem a nezabředli do (zde nežádoucích) přílišných podrobností. Každý z principů stručně charakterizuji a jeden podrobněji popíši níže. 1. Učitel probouzí zájem dítěte o matematiku a její poznávání. Otázka motivace žáků je v podstatě nejdůležitější stránkou vyučování matematice, protože bez motivace nemůže dojít k žádnému poznávání. V současné době se zdůrazňuje zejména motivace praktickými aplikacemi matematiky, ovšem nejcennější je motivace radostí z úspěchu, z dosažení výsledku v matematickém bádání, jakkoli z našeho pohledu triviálního. Pokud učitel svým způsobem výuky vytváří (třeba nevědomky) dojem, že podstatou matematiky je pamatování si vzorečků, pak bude žák zřejmě jen stěží motivován k matematické práci. 2. Učitel předkládá žákům podnětná prostředí (úlohy a problémy) a vhodně s nimi pracuje. Tento princip bude podrobněji rozebrán v hlavní části článku. 3. Učiteli jde především o žákovu aktivní činnost. Zde nejde o ‚pseudoaktivitu‘, kdy žák ‚bezmyšlenkovitě‘ řeší sloupce úloh nebo odpovídá na dílčí otázky učitele, aniž by měl ponětí, k čemu ho učitel vede. Jde o aktivitu v tom smyslu, že žák skutečně přemýšlí o matematice a snaží se dopátrat podstaty problému. Matematika je činnost, a to činnost žáka. Je přínosné rozebrat hodinu matematiky někoho jiného (např. při náslechu nebo na videozáznamu) či svou vlastní (nejlépe na videozáznamu) s cílem soustředit se na to, jakou aktivitu vlastně žáci při hodině vyvíjejí. Nezřídka dojdeme k závěru, že přes veškeré úsilí učitele byla aktivita žáků menší, než by bylo žádoucí. 4. Učitel rozvíjí u žáků schopnost samostatného a kritického myšlení. Tento princip úzce souvisí s předchozími dvěma. Předpokladem toho, abychom u žáků rozvíjeli schopnost samostatného a kritického myšlení, je správná práce s úlohou a důraz na žákovu aktivní činnost. Učitel vede žáky ke kladení vlastních otázek, formulování hypotéz a jejich ověřování. Nepředává jen hotové poznatky, ale vede žáky k jejich samostatnému odhalování.
86
5. Učitel nahlíží na chybu jako na vývojové stádium žákova chápání matematiky a impulz pro další práci. Ve školní praxi často převládá negativní postoj k chybě (žák ani učitel se jí dopouštět nemá). Podnětné vyučování naopak nahlíží na chybu jako na přirozené vývojové stádium poznávání, které umožňuje jak žákovi, tak učiteli se z ní poučit (tedy přijít na to, v čem vlastně žák skutečně chybuje, odhalit příčinu a zjednat nápravu). Chyba by neměla být penalizována, ale využita jako odrazový můstek další práce. Děti by měly být vedeny k samostatnému odhalování chyby, k hledání podstaty věci. V praxi to bývá spíše tak, že se stále spoléhají na autoritu učitele. 6. Učitel podporuje diskuse mezi žáky o matematické podstatě problémů. Jednou z kompetencí, které mají být podle RVP rozvíjeny ve všech předmětech, je komunikativní kompetence. Tato kompetence může být rozvíjena i v hodině matematiky, avšak je nutné zdůraznit, že podkladem k diskusím mezi učitelem a žákem a zejména mezi žáky navzájem musí být nějaký matematický problém, o jehož matematické podstatě se diskutuje. Nelze diskutovat bez obsahu. 7. Učitel se u žáků orientuje na diagnostiku porozumění spíše než na reprodukci odpovědi. Školní vyučování matematice často vede žáky k tomu, aby rychle a pokud možno bezchybně reagovali na úkoly a otázky, které jim klade učitel. Často to jsou otázky s nuceným výběrem, otázky zjišťovací nebo je dokonce otázka učitelem formulována jako částečná odpověď, kterou má žák pouze doplnit podle očekávání učitele. Pokud ji nikdo z žáků pohotově nezodpoví, odpovídá si často učitel sám. Tímto způsobem však nelze diagnostikovat žákovo porozumění matematickému poznatku. To lze diagnostikovat např. zadáním nestandardně formulovaného problému. O každém principu zvlášť by se dalo hodně diskutovat. Míra jejich naplnění v reálné výuce je dána konkrétními podmínkami ve škole a ve třídě, momentální dispozicí žáků i učitele a mnoha dalšími faktory. Nicméně domnívám se, že by principy mohly sloužit jako jakýsi rámec, v němž se odehrává vyučování matematice a jemuž se učitel usiluje co nejvíce přiblížit. V další části se podíváme podrobněji na druhou tezi týkající se ‚vhodné práce‘ s matematickými úlohami. Role úloh v hodinách matematiky Není sporu o tom, že řešení úloh tvoří samotné jádro vyučování matematice, jehož cílem není jen zásobit žáka souborem vzorců a postupů k řešení typických úloh, ale které se soustředí na postupné vytváření světa matematiky v mysli žáka. Hejný a Kuřina (Hejný & Kuřina, 2001, Kuřina, 1990) zdůrazňují zvláště potřebu vytváření podnětného prostředí podporujícího samostatné intelektuální činnosti žáků, jejich zvídavost, tvořivost, nabývání a využívání zkušeností, konstrukce poznatků a jejich strukturování, objevování, pěstování různých reprezentací, rozvíjení sociálních interakcí a prostředků komunikace. Takové úlohy, které mají potenciál stát se podkladem pro vytvoření nebo upevnění nějakého matematického poznatku v mysli žáka, zde budeme nazývat podnětné. Zda bude jejich potenciál využit úplně, částečně nebo vůbec, záleží do jisté míry na konkrétní třídě, ale zejména na učiteli. Podívejme se nejprve na jednu ilustraci. Ilustrace 1: Součet úhlů v mnohoúhelníku Tato ilustrace je převzata z knihy Stigler & Hiebert (1999). Za domácí úkol měli žáci změřit úhly v konvexním šestiúhelníku a sečíst jejich velikosti (viz obrázek bez vyčárkovaných úseček).
87
Druhý den se učitel zeptal, zda všichni získali výsledek blízký 720 stupňům. Pak pokračoval: U1: „Kdybych vzal ten úhel D a přesunul ho sem dolů, změní se ten součet?“ S2: „Ne.“ U3: „Neměl by, že? Proč? Stále mám kolik úhlů?“ S4: „Stále máte šest.“ U5: „Stále mám šest úhlů. Existuje vzorec a budeme se ho učit po jarních prázdninách, ale dám vám teď aspoň nápovědu. Když vezmu počet stran a odečtu dva a vynásobím to číslo 180 stupni, tak dostanu, kolik je součet úhlů. Kolik stran má tento útvar?“ (Pauza.) „Šest. Ano? Počet stran mínus dva mi dá co?“ S6: „Čtyři.“ U7: „Čtyři. Kolik je čtyřikrát 180 stupňů?“ S8: „720.“ U9: „A mělo to být 720, že? Kolik stupňů by mělo být u pětiúhelníka?“ (Pauza.) „Vezměte si vzorec, počet stran je pět ... odečtěte dva a násobte 180 stupni.“ S10: „590?“ U11: „540 stupňů. Všechny pětiúhelníky obsahují 540 stupňů.“ Úloha, která ve své podstatě mohla být podnětná, tedy mohla vést k postupné konstrukci vztahu pro součet velikostí úhlů v mnohoúhelníku, byla využita čistě procedurálně. Už otázka U1 je značně návodná. Odpovědí je buď ano, nebo ne, přičemž student si většinou uvědomí, že pokud by se součet změnil, učitel by se neptal. Tedy jediná možná odpověď je ano. V U3 se učitel formálně ptá po důvodu, ovšem okamžitě sám odpovídá. Je nutné si uvědomit, že žáci ještě nevědí, že počet vnitřních úhlů v mnohoúhelníku je klíčovou informací. Učitel jim nedal žádnou možnost se k této informaci dopracovat. Promluva U5 pak již ani nepotřebuje komentáře. Co je v pozadí učitelova prozrazení hotového vzorce? Myslí si, že by ho studenti stejně nepochopili, takže stačí, aby se ho naučili zpaměti? Zamyslíme-li se nad tím, jakou roli hráli v ilustraci studenti, vidíme, že nemuseli vůbec přemýšlet, v podstatě ani dosadit do vzorce, protože stačilo odpovídat na otázky náročnosti prvního stupně základní školy. Nabízí se otázka, jakou představu o matematice žáci získají. Pokud učitel používá podobnou strategii v hodinách matematiky opakovaně, mohou si žáci odnést nesprávnou představu, že v matematice jde o zapamatování pravidel. Ti, kteří si je nedokáží zapamatovat, budou neúspěšní. Odstrašujícím příkladem je autentická výpověď jednoho žáka 8. ročníku: „V matematice si musíme pamatovat, v jiných předmětech můžeme taky přemýšlet.“ ‚Správné‘ použití této úlohy si dokážeme představit. Znají-li žáci součet úhlů v trojúhelníku, mohou pak rozdělit mnohoúhelníky pomocí úhlopříček na trojúhelníky a doplňovat následující tabulku: Mnohoúhelník čtyřúhelník pětiúhelník šestiúhelník sedmiúhelník ... n-úhelník
počet stran 4 5 6 7
počet trojúhelníků 2 3
n 88
součet vnitřních úhlů 2 ⋅ 180 = 360 3 ⋅ 180 = 540
Je pravděpodobné, že k zobecnění se samostatně propracují jen někteří. Nicméně i ti ostatní budou zřejmě schopni vyplnit konkrétní hodnoty tabulky a alespoň tak se podílet na celkovém řešení. Učitel může přistupovat k dětem individuálně v tom, že některým poradí např., jak si mají mnohoúhelník rozdělit na trojúhelníky, jiné upozorní na hledání souvislosti mezi číslem, kterým násobíme 180 stupňů, a počtem stran, jiné nechá zcela bez nápovědy. Rozhodně mají dostat dostatek času na začátku, aby se pokusily najít strategii řešení samy. Podnětné versus procedurální úlohy a jejich skutečné použití Uvedená ilustrace je příkladem toho, že podnětnost úlohy nespočívá jen v její formulaci, ale zejména v jejím skutečném použití ve třídě. I standardní, procedurální úloha typu rovnice 4 x + 5 = 19 může být použita problémově. Učitel může položit otázky typu „Co když rovnici napíšeme jako 19 = 4 x + 5, bude stejné řešení?“, „Můžeme dělit obě strany rovnice libovolným číslem?“, nebo dokonce začít diskusi o ekvivalentních úpravách rovnic. Naopak podnětná úloha může být použita procedurálně, když učitel např. dá dítěti řadu návodů, které ho vedou krůček po krůčku k výsledku; předčasně mu prozradí výsledek; upozorní ho na chybu, aniž by jej nechal nejdříve chybu samostatně odhalit; vede dítě k použití strategie, o níž se domnívá, že je nejvhodnější (zpravidla ta, která je nejrychlejší a nejekonomičtější), aniž by jej nechal rozvinout vlastní strategie, apod. Rozpor mezi charakterem úlohy a jejím použitím se stal také jedním ze sledovaných charakteristik v TIMSS Video Study 1999. Tato studie vyhodnocovala náhodně vybrané hodiny matematiky v 8. ročníku v několika zemích, mezi nimiž byla i Česká republika. V každé zemi bylo natočeno na video asi 100 hodin výuky, které potom analyzovaly týmy sestavené z pedagogů, psychologů, matematiků a didaktiků přesně stanovenou procedurou (podrobněji viz Hiebert aj., 2003). Dívaly se např. i na to, jaké procento tvoří ‚procedural tasks‘ (procedurální úlohy – úlohy, které se dají řešit použitím nějaké konkrétní předem známé procedury), ‚making connections tasks‘ (lze volně přeložit jako podnětné úlohy – úlohy vedoucí na konstrukci vztahů mezi matematickými pojmy a postupy; většinou zahrnují matematické uvažování typu tvorba hypotéz, ověřování, zevšeobecňování) a ‚stating concepts tasks‘ (např. úlohy vyžadující příklad nějakého matematického pojmu – „nakresli rovnostranný trojúhelník“). Rozložení těchto typů úloh ve výuce v jednotlivých zemích je v prvním grafu.
89
Všimněme si, že procento procedurálních a podnětných úloh je např. v České republice a v USA podobné. Ovšem ČR dopadla v TIMSSu lépe, proto samo použití podnětných úloh ve výuce nemohlo tyto lepší výsledky vysvětlovat. Odborníci (Hiebert aj., 2003) se tedy soustředili ještě na to, jakým způsobem jsou úlohy ve výuce skutečně použity. Další graf ukazuje skutečné použití podnětných úloh a poslední graf skutečné použití procedurálních úloh.
Zde jsou již změny patrné. V USA nebyly téměř žádné úlohy skutečně problémově použity. Potěšitelné je, že v České republice byly i některé procedurální úlohy použity problémově (srovnej ale např. s Japonskem) a asi polovina podnětných úloh byla skutečně problémově použita. Ilustrace 2: Obsah trojúhelníku Tato ilustrace pochází z jedné japonské hodiny z TIMSS Video Study 1999. Cílem hodiny je procvičit poznatek z minulé hodiny: trojúhelníky, které mají stejnou základnu a výšku, mají stejný obsah. Na začátku hodiny učitel s pomocí dynamického softwaru demonstruje větu na 90
obrazovce (posunuje vrchol trojúhelníka po rovnoběžce se základnou – viz obrázek vlevo), pak zadává novou úlohu. Na tabuli nakreslí obrázek vpravo a přitom říká: U: „Tak se do toho pustíme. Tohle je Bandovo území. Je to jasné? OK. Tohle je Bandovo území. OK? A tady je Chibovo území.“ S: [smích] U: „Je to v pořádku? Řekněme, že existuje takovéhle území. ... A... tady je Chibovo.“ S: „Ano.“ U: „A hranice mezi nimi je takhle ohnutá. Ale oni ji chtějí narovnat, OK? Bando...“ S: „Ano?“ U: „Bando, je to takhle v pořádku?“ S: „Ano.“ [smích] „Potom můžeme hodinu ukončit, ne?“ [smích] „Chibo, je to takhle v pořádku? S: „Hmm.“ U: „Ne?“ S: „Ne.“ U: „Jak by se to líbilo tobě?“ Učitel se ještě chvíli se studenty v uvolněné atmosféře dohaduje, jak by to bylo spravedlivé. Pak vyzve jednu studentku, aby ukázala svůj návrh řešení. Studentka ukazuje úsečku procházející v polovině lomených úseček. U: „Máme tady odhad, který říká, že to bude správně, když ta čára povede středem. Co si o tom myslí ostatní? ... OK? Tak potom si to překreslete do sešitů, podobný obrazec, a... a zkuste prosím chvilku přemýšlet, jak změnit tento tvar, aniž bychom změnili obsah.“ U: „Nejdříve o tom uvažujte každý sám tak dvě nebo tři minuty. Začněte.“ .... Po chvíli ještě dodá radu, že mohou použít to, co dělali minule. ... U: „Tak tři minuty uplynuly, takže... ehm... Ti, kdo mají nějaký nápad, přejděte za učitelem Ebinou a předveďte mu to, a kdo to chce probrat se svými přáteli, proberte to s nimi. Položil jsem sem několik kartiček s nápovědou, takže ten, kdo by se do nich chtěl podívat, může.“ Motivace, kterou zde učitel pro úlohu použil – pozemek dvou určitých žáků třídy –, je pro žáky skutečně motivující. Učitel je vede k hledání přesného matematického řešení, nejen přibližného odhadu (U: „Když to bude jen přibližné, určitě to bude důvodem sporů.“). Také vhodně využil diferenciaci – pokud už řešení žáci znají, mohou je zkonzultovat s pomocným učitelem, nebo mohou pracovat ve skupinách a případně se mohou podívat na kartičky s nápovědou. Učitel prochází třídou a sem tam odpoví na dotaz. Po patnácti minutách, během nichž je třída plně zaujata problémem, začíná opět společná práce. Dva z žáků prezentují své řešení u tabule a vše vysvětlují. Učitel obě řešení ještě zopakoval a poté zadal další úlohu: z čtyřúhelníku udělat trojúhelník o stejném obsahu. Volí stejný způsob práce jako předtím. Žáci nejprve několik minut uvažují samostatně a pak ve skupinách. Po společné prezentaci řešení je zadán domácí úkol: z pětiúhelníka udělat čtyřúhelník o stejném obsahu; další možnosti si mají studenti stanovit sami. Úlohy v této hodině matematiky jsou skutečně podnětné a jsou i vhodně učitelem využity. Tvoří vlastně gradovanou sérii a rozhodně nejsou triviální. Učitel nechce jen procvičit poznatek z minulé hodiny, ale žáci ho mají použít v odlišném kontextu. Učitel se nenechá strhnout a nechá žáky, aby na řešení a souvislost s poznatkem z minulé hodiny přišli sami. Chceme-li vést žáky k aktivitě a rozvíjet jejich matematický svět, nesmíme se bát dát jim problém, kde není řešení na první pohled patrné, a musíme mít i ‚odvahu‘ jim neporadit. 91
Obavy učitelů jsou pochopitelné, cítí zodpovědnost za to, co se děti naučí. Nicméně pochybnosti, tápání a frustrace patří do matematické práce, jen tak mohou alespoň některé děti zažít radost z objevu. Každý se musí se situací nejdříve ‚poprat‘, aby jí porozuměl (byť za pomoci ostatních nebo učitele). Zajímavé výsledky v tomto směru přinesla TIMSS Video Study 1995 (Stigler & Hiebert, 1999), v níž se zjistilo, že američtí učitelé téměř nikdy nedají dětem úlohu, aniž by jim předem nenaznačili nebo přímo neukázali metodu řešení. Japonští učitelé postupovali opačně. Učitelé obou zemí procházeli po zadání úlohy ve třídě, ovšem za jiným účelem. Američtí učitelé okamžitě spěchali studentům na pomoc, jakmile se objevily známky tápání. Jakoby brali tápání a frustraci jako znak toho, že nedělají svou práci dobře. Japonští učitelé dávali studentům nápovědy, ale současně sbírali informace k tomu, aby mohli organizovat následnou diskusi mezi dětmi. Téměř nikdy nereagovali na problémy žáků tím, že by prozradili řešení. Závěr Principy uvedené v tomto článku do určité míry popisují mé chápání ‚dobré praxe‘ v hodinách matematiky. Je zřejmé, že skutečná výuka jich dosáhne vždy jen do určité míry a ne stejně u každého žáka. Do hry vstupují další faktory, které musí učitel brát v úvahu: čas, který má k dispozici, okamžitý stav žáka a jeho ochota zabývat se matematikou, žákovy zvyky a očekávání apod. To, že jsou v podstatě nedosažitelné, však nesnižuje jejich důležitost. Tento článek vznikl za podpory grantu GA ČR 406/05/2444. Literatura Hejný, M. & Kuřina, F. (2001). Dítě, škola, matematika. Konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál. Hiebert, J. et al. (Eds.) (2003). Teaching mathematics in seven countries. Results from the TIMSS 1999 Video Study. National Center for Education Statistics. [http://nces.ed.gov/pubsearch] Kuřina, F. (1990). Vyučování matematice a matematická kultura. Matematické obzory, 35, 65-81. Stigler, J. W. & Hiebert, J. (1999). The Teaching Gap: Best Ideas from the World's Teachers for Improving Education in the Classroom. Free Press. Seeger, F., Voigt, J. & Waschescio, U. (Eds.) (1998). The culture of the mathematics classroom. Cambridge: Cambridge University Press. Stehlíková, N., Cachová, J. (2006). Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe. Studijní materiály pro kurzy ESF ‚Podíl učitele matematiky na přípravě ŠVP‘, JČMF, 31 stran.
92
