PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online  “

PRACOVNÍ SEŠIT 2. tematický okruh:

ALGEBRAICKÉ VÝRAZY

vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky

školní rok 2014/2015

© RNDr. Věra Effenberger

www.zvladnimatiku.cz

2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!

Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Algebraické výrazy. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Algebraické výrazy unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Algebraické výrazy musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!

Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Algebraické výrazy“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.



2


2.

ALGEBRAICKÉ VÝRAZY

2.1 ALGEBRAICKÝ VÝRAZ Algebraický výraz je matematický ________ , který se skládá z čísel (neboli ________ ) a z písmen označujících ________ , ty jsou spojeny znaky operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování, popř. obsahuje také ________ , které určují pořadí operací.

 5x  x  1  13

Příklady algebraických výrazů:

………………………………………………………………………………………………………………………………… Pozn.: Nealgebraické výrazy také existují, jedná se o takové výrazy, které obsahují např. logaritmus, goniometrické funkce, nebo operace výrokové logiky. Příklady nealgebraických výrazů:

…………………………………………………………………………………

ZAMYŠLENÝ VÝRAZ

Definiční obor výrazu Definiční obor výrazu je ________ všech čísel, pro která má daný výraz ________ (po dosazení těchto čísel za proměnné). Jinak řečeno, definiční obor řeší otázku: Co všechno můžu za proměnnou/proměnné dosadit, aby měl výraz smysl?



3


Příklady:

2x  3

 x  5x 2 

6x x

2a  3 5a

3

x

2y  3

x

3x  1 2 y 1

2 3

Hodnota výrazu Hodnotou výrazu se rozumí ________ , které získáme po dosazení zvolené hodnoty za jeho proměnné a následné provedení operací – vypočítání výrazu. Jinak řečeno, řešíme otázku: Čemu se rovná výraz, když do něj na místo proměnné/proměnných dosadím konkrétní číslo/čísla a vypočítám ho?

Příklad:

Určete hodnotu daného výrazu:

  3 x  2   3a 

x

b 1 b 2a  1

pro x  1 pro a  2 , b  7

Nulový bod výrazu Nulový bod výrazu je hodnota proměnné či proměnných, která dává výslednou hodnotu celého ________ rovnou nule. Jinak řečeno, řešíme otázku: Co musím dosadit za proměnnou, aby mi celý výraz vyšel roven nule?



4


Příklad:

Určete nulový bod výrazu: 11 3y

5x  2

3

a 5 2

2.2 MNOHOČLENY Mnohočlen nebo také ________ n-tého stupně je algebraický výrazy typu:

an x n  an1 x n1    a1 x  a0 , kde n  N 0 , a0 , a1 ,, an jsou reálná čísla - ________ a an  0 . Sčítanci ak x k se nazývají členy mnohočlenu, k je jejich stupeň. Pozn.: Mnohočlen s jedním členem se nazývá jednočlen, se dvěma členy ________ , se třemi členy ________ , atd. Příklady mnohočlenů:

x2  4x  2x   x  17 jedná se o mnohočlen (pětičlen) __ stupně 2 4

3

4x 2  1 5y2 

2 5 y  6  2 y  y7 3

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

Mnohočleny více proměnných také existují. Příklad mnohočlenu více proměnných:

25x3  3x 2 y  5xy 2  y

jedná se o mnohočlen (________) __ stupně vzhledem k proměnné x, __ stupně vzhledem k proměnné y

m 4  0,2m 2 n 2  2 školní rok 2014/15

………………………………………………………………………………… © RNDr. Věra Effenberger

5


Operace s mnohočleny  SČÍTÁNÍ (ODČÍTÁNÍ) MNOHOČLENŮ Součtem (rozdílem) mnohočlenů je mnohočlen, jehož členy mají koeficienty, které jsme získali sečtením (odečtením) koeficientů ________ si členů daných mnohočlenů. Sčítáme (odčítáme) tedy „jablka s jablkama, hrušky s hruškama“! Příklady:

2a  3b   6a  a  7b 



 



 3x3  2x 2  5  12 x3  x 2  5x  8 

4x

2

 



y  3xy 2  2x   7 x  x 2 y 2  4xy 2 

 NÁSOBENÍ MNOHOČLENU MNOHOČLENEM Mnohočleny násobíme tak, že každý člen jednoho ________ násobíme každým členem druhého mnohočlenu. Násobíme tedy metodou: „každý s každým“! Příklady:

4x

2

a

 3 4a  1 

2



y 2  3x 4 y 3  5xy 



 UMOCŇOVÁNÍ MNOHOČLENU Umocnit mnohočlen na n-tou znamená vynásobit mezi sebou n stejných mnohočlenů rovných danému mnohočlenu.



6


Zde nejčastěji používáme následující VZOREČKY pro borečky 

a  b 2  a 2  2ab  b 2 a  b 2  a 2  2ab  b 2 Příklady:

x  12  3x  22  2a  5b2 

Dále se může hodit:

Pascalův trojúhelník

a  b 3  a3  3a 2b  3ab 2  b3 a  b 3  a3  3a 2b  3ab 2  b3

Příklady:

2 x  y 3  x  y 5   DĚLENÍ MNOHOČLENU JEDNOČLENEM Mnohočlen dělíme jednočlenem tak, že jednočlenem dělíme v________ ________ mnohočlenu. Vždy musíme určit podmínky – nesmí se dělit nulou! Příklad:


10x

6





y 2  18x5 y 3  12 x 4 y 4  2x3 y 5 :  2x3 y 2 


7


 DĚLENÍ MNOHOČLENU MNOHOČLENEM Dělení mnohočlenu mnohočlenem provádíme následujícím algoritmem: o Dělení beze zbytku

x  4x

3x

3

3



 3  12 x 2 : 2 x  1 



 5x 4  20 x  12 : 3  5x 

o Dělení se zbytkem

 3x  4  4x

15x


3

3



 x 2 : x  1 



 2 x 2  17 x  1 : 3x  1 


8


Rozklad mnohočlenu na součin Rozložit daný mnohočlen na součin znamená upravit ho, tak aby poslední operací, kterou bychom prováděli, bylo ________. Při hledání rozkladu daného výrazu na součin používáme různé druhy úprav:  VYTÝKÁNÍ SPOLEČNÉHO ČINITELE

3x 2 y  21x  6x 2 y 2 

 4a  6a 2b   POSTUPNÉ VYTÝKÁNÍ xy  2 x  2 y  4  ax  5 y  ay  5 x 

 ROZKLAD POMOCÍ VZORCŮ VZOREČKY pro borečky 

a 2  2ab  b 2  a  b 

2

a 2  b2  a  b a  b 

a 2  2ab  b 2  a  b 

2

Příklady:

x2  4 

4 x 2  20 x  25 

9a 2 1 

9m2  6mn  n 2 

y 2  25 

x 2  2axy  a 2 y 2 

 VIETOVY VZORCE

x 2  ax  b  x 2   p  q x  pq  x  p x  q  Příklady:

x 2  7 x  12 

x 2  2 x  15 

x2  x  6 

x2  x  2 



9


Příklady:

a 2  b 2  9a  9b 

1  x4 

3a 2  12a  12 

p 2  q  r   2

2.3 LOMENÉ VÝRAZY Lomené výrazy jsou výrazy vyjádřené zlomky, jejichž čitatelem i jmenovatelem jsou ________.

Příklady lomených výrazů: …………………………………………………………………………………

Definiční obor lomeného výrazu Jelikož lomené výrazy představují ________ , je nutné vždy myslet na to, že jmenovatel se nesmí rovnat ________!!! Musíme vždy určit podmínky, za kterých má daný výraz smysl, neboli určujeme ________ ________ lomeného výrazu.

Příklady:

5x  3 2x2 y



a2  2 2a  b

6 y 4y2 1

7 x  3x 2

Operace s lomenými výrazy  KRÁCENÍ A ROZŠIŘOVÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ Výraz zkrátíme – zjednodušíme tak, že jeho čitatele i jmenovatele nejprve rozložíme na ________ a potom krátíme jejich společným ________.



10


Příklady: 8 xy 2  4x2

18m  30  12 m 2  20 m

5 x 2  5 xy  x2  y2

 5a  10  a 2  2a  8

Rozšiřování lomených výrazů je obrácený postup ke ________ lomených výrazů. Při rozšiřování lomených výrazů ________ čitatele i jmenovatele týmž výrazem různým od ________ .

Příklady: Rozšiř výraz

 5x  3 y číslem  1 : x y

Rozšiř výraz

3a výrazem a  b : ab

 SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ Sčítání (odčítání) lomených výrazů provádíme tak, že nejprve všechny dané lomené výrazy převedeme na společné ________ a potom sečteme (odečteme) jejich čitatele. Společný jmenovatel lomených výrazů je nejvhodnější společný ________ výrazů, které jsou ve jmenovatelích. Příklady: x2  1 x  1   x2  1 2x  2

a2 2a  2 a  3a  10 a  5 2



11


 NÁSOBENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ Při násobení lomených výrazů se snažíme vždy, pokud je to možné, nejprve ________. Dále pak násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Příklady: 

x2  y2 5x  5 y   2 2 x  2 xy  y 3 x  y

2a 2  2 a  b   3a  a 2  ab 1  a

 DĚLENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ Dělit lomeným výrazem je totéž jako násobit výrazem ________, tudíž úloha na dělení je tak převedena na úlohu ________. POZOR při určování podmínek! Příklady: x2  y2 x 2  2 xy  y 2 x y x y



5x  5 y ay  ax : 2  4ax  4ay 4 x  4 y 2

Příklady k opakování:  2  2 1  1     : x  1 x  1  x  1 



12


2

1 1 3 x2



2.4 VÝRAZY S MOCNINAMI A ODMOCNINAMI Připomínám  : Pro každé reálné číslo a a každé přirozené číslo n je: a n  a  a  a .   n

Pro každé reálné číslo a  0 je: Dále platí:

a  R, n  N :

a  0

a1  a

0n  0

1a  1

Operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny a, b  R \ 0, m, n  R :

 NÁSOBENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM

a m  a n  a mn

Příklady: …………………………………………………….  DĚLENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM

am a : a  n  a mn a m

n

Příklady: …………………………………………………….  UMOCŇOVÁNÍ MOCNINY

a 

m n

 a mn

Příklady: …………………………………………………….  UMOCŇOVÁNÍ SOUČINU

a  bn  a n  b n

Příklady: ……………………………………………………. školní rok 2014/15


13


a : b n   a 

 UMOCŇOVÁNÍ PODÍLU

b

n

 an : bn

Příklady: …………………………………………………….

Další důležitá pravidla! n

a

n

1 1    n a a

a   b

n

b   a

n

Příklady: …………………………………………………….

1 n

a n a

m n

a  n am

Příklady: …………………………………………………….

Příklady: …………………………………………………….

ab  a  b

a a  b b

a:b  a : b

mn

a  mn a

Příklady: …………………………………………………….

 USMĚRŇOVÁNÍ ZLOMKŮ Pokud je dán zlomek nebo lomený výraz takový, který má ve ________ odmocninu či odmocniny, usměrnit ho znamená, že se vhodným ________ lomeného výrazu odmocniny či odmocnin ve jmenovateli zbavíme.



14


Příklady: x 3

a2 2 a 3 1 x

x 2  16 x 2

SUPER, TEORII K

ALGEBRAICKÝM VÝRAZŮM MÁŠ ZA SEBOU! A JDE SE DÁL … školní rok 2014/15


15

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

Recommend Documents