„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online “
PRACOVNÍ SEŠIT 2. tematický okruh:
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky
školní rok 2014/2015
© RNDr. Věra Effenberger
www.zvladnimatiku.cz
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Algebraické výrazy. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Algebraické výrazy unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Algebraické výrazy musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!
Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Algebraické výrazy“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
2
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
2.
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
2.1 ALGEBRAICKÝ VÝRAZ Algebraický výraz je matematický ________ , který se skládá z čísel (neboli ________ ) a z písmen označujících ________ , ty jsou spojeny znaky operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování, popř. obsahuje také ________ , které určují pořadí operací.
5x x 1 13
Příklady algebraických výrazů:
………………………………………………………………………………………………………………………………… Pozn.: Nealgebraické výrazy také existují, jedná se o takové výrazy, které obsahují např. logaritmus, goniometrické funkce, nebo operace výrokové logiky. Příklady nealgebraických výrazů:
…………………………………………………………………………………
ZAMYŠLENÝ VÝRAZ
Definiční obor výrazu Definiční obor výrazu je ________ všech čísel, pro která má daný výraz ________ (po dosazení těchto čísel za proměnné). Jinak řečeno, definiční obor řeší otázku: Co všechno můžu za proměnnou/proměnné dosadit, aby měl výraz smysl?
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
3
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Příklady:
2x 3
x 5x 2
6x x
2a 3 5a
3
x
2y 3
x
3x 1 2 y 1
2 3
Hodnota výrazu Hodnotou výrazu se rozumí ________ , které získáme po dosazení zvolené hodnoty za jeho proměnné a následné provedení operací – vypočítání výrazu. Jinak řečeno, řešíme otázku: Čemu se rovná výraz, když do něj na místo proměnné/proměnných dosadím konkrétní číslo/čísla a vypočítám ho?
Příklad:
Určete hodnotu daného výrazu:
3 x 2 3a
x
b 1 b 2a 1
pro x 1 pro a 2 , b 7
Nulový bod výrazu Nulový bod výrazu je hodnota proměnné či proměnných, která dává výslednou hodnotu celého ________ rovnou nule. Jinak řečeno, řešíme otázku: Co musím dosadit za proměnnou, aby mi celý výraz vyšel roven nule?
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
4
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Příklad:
Určete nulový bod výrazu: 11 3y
5x 2
3
a 5 2
2.2 MNOHOČLENY Mnohočlen nebo také ________ n-tého stupně je algebraický výrazy typu:
an x n an1 x n1 a1 x a0 , kde n N 0 , a0 , a1 ,, an jsou reálná čísla - ________ a an 0 . Sčítanci ak x k se nazývají členy mnohočlenu, k je jejich stupeň. Pozn.: Mnohočlen s jedním členem se nazývá jednočlen, se dvěma členy ________ , se třemi členy ________ , atd. Příklady mnohočlenů:
x2 4x 2x x 17 jedná se o mnohočlen (pětičlen) __ stupně 2 4
3
4x 2 1 5y2
2 5 y 6 2 y y7 3
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
Mnohočleny více proměnných také existují. Příklad mnohočlenu více proměnných:
25x3 3x 2 y 5xy 2 y
jedná se o mnohočlen (________) __ stupně vzhledem k proměnné x, __ stupně vzhledem k proměnné y
m 4 0,2m 2 n 2 2 školní rok 2014/15
………………………………………………………………………………… © RNDr. Věra Effenberger
5
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Operace s mnohočleny SČÍTÁNÍ (ODČÍTÁNÍ) MNOHOČLENŮ Součtem (rozdílem) mnohočlenů je mnohočlen, jehož členy mají koeficienty, které jsme získali sečtením (odečtením) koeficientů ________ si členů daných mnohočlenů. Sčítáme (odčítáme) tedy „jablka s jablkama, hrušky s hruškama“! Příklady:
2a 3b 6a a 7b
3x3 2x 2 5 12 x3 x 2 5x 8
4x
2
y 3xy 2 2x 7 x x 2 y 2 4xy 2
NÁSOBENÍ MNOHOČLENU MNOHOČLENEM Mnohočleny násobíme tak, že každý člen jednoho ________ násobíme každým členem druhého mnohočlenu. Násobíme tedy metodou: „každý s každým“! Příklady:
4x
2
a
3 4a 1
2
y 2 3x 4 y 3 5xy
UMOCŇOVÁNÍ MNOHOČLENU Umocnit mnohočlen na n-tou znamená vynásobit mezi sebou n stejných mnohočlenů rovných danému mnohočlenu.
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
6
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Zde nejčastěji používáme následující VZOREČKY pro borečky
a b 2 a 2 2ab b 2 a b 2 a 2 2ab b 2 Příklady:
x 12 3x 22 2a 5b2
Dále se může hodit:
Pascalův trojúhelník
a b 3 a3 3a 2b 3ab 2 b3 a b 3 a3 3a 2b 3ab 2 b3
Příklady:
2 x y 3 x y 5 DĚLENÍ MNOHOČLENU JEDNOČLENEM Mnohočlen dělíme jednočlenem tak, že jednočlenem dělíme v________ ________ mnohočlenu. Vždy musíme určit podmínky – nesmí se dělit nulou! Příklad:
školní rok 2014/15
10x
6
y 2 18x5 y 3 12 x 4 y 4 2x3 y 5 : 2x3 y 2
© RNDr. Věra Effenberger
7
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
DĚLENÍ MNOHOČLENU MNOHOČLENEM Dělení mnohočlenu mnohočlenem provádíme následujícím algoritmem: o Dělení beze zbytku
x 4x
3x
3
3
3 12 x 2 : 2 x 1
5x 4 20 x 12 : 3 5x
o Dělení se zbytkem
3x 4 4x
15x
školní rok 2014/15
3
3
x 2 : x 1
2 x 2 17 x 1 : 3x 1
© RNDr. Věra Effenberger
8
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Rozklad mnohočlenu na součin Rozložit daný mnohočlen na součin znamená upravit ho, tak aby poslední operací, kterou bychom prováděli, bylo ________. Při hledání rozkladu daného výrazu na součin používáme různé druhy úprav: VYTÝKÁNÍ SPOLEČNÉHO ČINITELE
3x 2 y 21x 6x 2 y 2
4a 6a 2b POSTUPNÉ VYTÝKÁNÍ xy 2 x 2 y 4 ax 5 y ay 5 x
ROZKLAD POMOCÍ VZORCŮ VZOREČKY pro borečky
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2 b2 a b a b
a 2 2ab b 2 a b
2
Příklady:
x2 4
4 x 2 20 x 25
9a 2 1
9m2 6mn n 2
y 2 25
x 2 2axy a 2 y 2
VIETOVY VZORCE
x 2 ax b x 2 p q x pq x p x q Příklady:
x 2 7 x 12
x 2 2 x 15
x2 x 6
x2 x 2
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
9
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Příklady:
a 2 b 2 9a 9b
1 x4
3a 2 12a 12
p 2 q r 2
2.3 LOMENÉ VÝRAZY Lomené výrazy jsou výrazy vyjádřené zlomky, jejichž čitatelem i jmenovatelem jsou ________.
Příklady lomených výrazů: …………………………………………………………………………………
Definiční obor lomeného výrazu Jelikož lomené výrazy představují ________ , je nutné vždy myslet na to, že jmenovatel se nesmí rovnat ________!!! Musíme vždy určit podmínky, za kterých má daný výraz smysl, neboli určujeme ________ ________ lomeného výrazu.
Příklady:
5x 3 2x2 y
a2 2 2a b
6 y 4y2 1
7 x 3x 2
Operace s lomenými výrazy KRÁCENÍ A ROZŠIŘOVÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ Výraz zkrátíme – zjednodušíme tak, že jeho čitatele i jmenovatele nejprve rozložíme na ________ a potom krátíme jejich společným ________.
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
10
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Příklady: 8 xy 2 4x2
18m 30 12 m 2 20 m
5 x 2 5 xy x2 y2
5a 10 a 2 2a 8
Rozšiřování lomených výrazů je obrácený postup ke ________ lomených výrazů. Při rozšiřování lomených výrazů ________ čitatele i jmenovatele týmž výrazem různým od ________ .
Příklady: Rozšiř výraz
5x 3 y číslem 1 : x y
Rozšiř výraz
3a výrazem a b : ab
SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ Sčítání (odčítání) lomených výrazů provádíme tak, že nejprve všechny dané lomené výrazy převedeme na společné ________ a potom sečteme (odečteme) jejich čitatele. Společný jmenovatel lomených výrazů je nejvhodnější společný ________ výrazů, které jsou ve jmenovatelích. Příklady: x2 1 x 1 x2 1 2x 2
a2 2a 2 a 3a 10 a 5 2
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
11
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
NÁSOBENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ Při násobení lomených výrazů se snažíme vždy, pokud je to možné, nejprve ________. Dále pak násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Příklady:
x2 y2 5x 5 y 2 2 x 2 xy y 3 x y
2a 2 2 a b 3a a 2 ab 1 a
DĚLENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ Dělit lomeným výrazem je totéž jako násobit výrazem ________, tudíž úloha na dělení je tak převedena na úlohu ________. POZOR při určování podmínek! Příklady: x2 y2 x 2 2 xy y 2 x y x y
5x 5 y ay ax : 2 4ax 4ay 4 x 4 y 2
Příklady k opakování: 2 2 1 1 : x 1 x 1 x 1
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
12
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
2
1 1 3 x2
2.4 VÝRAZY S MOCNINAMI A ODMOCNINAMI Připomínám : Pro každé reálné číslo a a každé přirozené číslo n je: a n a a a . n
Pro každé reálné číslo a 0 je: Dále platí:
a R, n N :
a 0
a1 a
0n 0
1a 1
Operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny a, b R \ 0, m, n R :
NÁSOBENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM
a m a n a mn
Příklady: ……………………………………………………. DĚLENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM
am a : a n a mn a m
n
Příklady: ……………………………………………………. UMOCŇOVÁNÍ MOCNINY
a
m n
a mn
Příklady: ……………………………………………………. UMOCŇOVÁNÍ SOUČINU
a bn a n b n
Příklady: ……………………………………………………. školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
13
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
a : b n a
UMOCŇOVÁNÍ PODÍLU
b
n
an : bn
Příklady: …………………………………………………….
Další důležitá pravidla! n
a
n
1 1 n a a
a b
n
b a
n
Příklady: …………………………………………………….
1 n
a n a
m n
a n am
Příklady: …………………………………………………….
Příklady: …………………………………………………….
ab a b
a a b b
a:b a : b
mn
a mn a
Příklady: …………………………………………………….
USMĚRŇOVÁNÍ ZLOMKŮ Pokud je dán zlomek nebo lomený výraz takový, který má ve ________ odmocninu či odmocniny, usměrnit ho znamená, že se vhodným ________ lomeného výrazu odmocniny či odmocnin ve jmenovateli zbavíme.
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
14
2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Příklady: x 3
a2 2 a 3 1 x
x 2 16 x 2
SUPER, TEORII K
ALGEBRAICKÝM VÝRAZŮM MÁŠ ZA SEBOU! A JDE SE DÁL … školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
15