PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online  “

PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh:

FUNKCE

vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky

školní rok 2014/2015

© RNDr. Věra Effenberger

www.zvladnimatiku.cz

4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!

Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Funkce. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Funkce unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Funkce musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!

Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Funkce“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.



2


4.

FUNKCE

4.1 ZÁKLADNÍ POZNATKY O FUNKCÍCH Co je to funkce? Funkce f na množině D  R je předpis y  f x  , který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y.

Množina D se nazývá ________ ________ funkce.

Funkci si představme jako nějaký ________, do kterého se z jedné strany hodí nějaké reálné číslo x. Pak se zatočí kličkou a x se podle jistého mechanismu (________) promění v druhé číslo y, které ze strojku vypadne jako výsledek. Mechanismus strojku je jednoznačný – z každého vhozeného čísla vypadne právě jedno číslo výsledné.

Funkce:

f : y  5x  2

Příklady funkcí: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………



3


Definiční obor funkce & obor hodnot funkce Proměnná x se nazývá funkční proměnná nebo také ________ funkce. Množina D všech hodnot proměnné x se nazývá definiční obor funkce f a značí se D f  nebo D f . Číslo y přiřazené číslu x se nazývá funkční ________ nebo hodnota funkce f v bodě x a značí se též f x . Množina všech hodnot funkce f se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H  f  nebo H f . Příklady: Určete definiční obor, obor hodnot funkcí a vypočítejte hodnotu funkcí ve zvolených bodech:

f : y  2x  3

h: y  x4

f 5 

h4 

h 32  

 3 f     2 g:y

j:y

2

x 3

1 5 x

j  4 

g 0 

j 1 

g  1 

Graf funkce Názornou představu o vlastnostech funkce nám poskytuje její ________ znázornění v (kartézské) soustavě souřadnic, neboli ________ funkce. Graf funkce f je množina všech ________ v rovině, které mají souřadnice x; f x  . Příklad: Sestrojte graf funkce f : y 


x2 1 2


4


x y

Průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic Máme-li určit průsečík (nebo průsečíky) grafu funkce s x-ovou osou, hledáme bod či body, které mají hodnotu y rovnou ________. Máme-li určit průsečík (nebo průsečíky) grafu funkce s y-ovou osou, hledáme bod či body, které mají hodnotu x rovnou ________.

Příklad:

f :y

x2 1 2

Z grafu funkce lze ledacos vyčíst  Určete definiční obor a obor hodnot funkcí:



5


Způsoby zadání (určení) funkce K zadání funkce potřebujeme:

1. definiční obor 2. funkční předpis

Způsoby zadání: a) Analytické zadání b) Grafické zadání c) Zadání výčtem (tabulkou) -

Vlastnosti funkcí Některé funkce mají určité společné vlastnosti, které si nyní ukážeme: Funkce f x  se nazývá:  shora omezená, jestliže existuje takové číslo h  R , že ________ pro všechna x  D Příklad:

 zdola omezená, jestliže existuje takové číslo d  R , že ________ pro všechna x  D Příklad:

 omezená, jestliže je shora a zároveň i zdola omezená Příklad:



6


 rostoucí, právě když x1 , x2  D platí: x1  x2  f  x1 

f  x2 

Příklad:

 klesající, právě když x1 , x2  D platí: x1  x2  f x1 

f  x2 

Příklad:  nerostoucí, právě když x1 , x2  D platí: x1  x2  f  x1 

f  x2 

Příklad:

 neklesající, právě když x1 , x2  D platí: x1  x2  f  x1 

f  x2 

Příklad:

 sudá, právě když x  D f  je

f  x   f x  - graf funkce je osově souměrný podle osy y

Příklad:

 lichá, právě když x  D f  je f  x    f x  -

graf funkce je středově souměrný podle počátku


Příklad:


7


 periodická, právě když existuje takové číslo p  0

zvané perioda, že pro každé x  D f  je také

x  p  D f  a platí: f  p  x  f x ;

Příklad:

4.2 LINEÁRNÍ FUNKCE, NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST Lineární funkce Předpis obecné lineární funkce: kde: …………………………………………… Příklady lineárních funkcí: …………………………………………………………………………………………………………………………….. Definičním oborem lineární funkce je:

Oborem hodnot lineární funkce je:

Graf lineární funkce Grafem lineární funkce je ____________ !

Graf protíná osu x v bodě:

osu y v bodě:

Příklady: Zobrazte grafy funkcí f :y

x 1 2

g : y  3x  4



8


Zapište předpis daných funkcí a určete jejich definiční obor a obor hodnot.

Vlastnosti lineárních funkcí  Pro a>0 je lineární funkce ____________ . Příklad:  Pro a=0 je lineární funkce ____________ . Příklad:  Pro a<0 je lineární funkce ____________ . Příklad:

Speciální lineární funkce Konstantní funkce: Přímá úměrnost:

Funkce nepřímá úměrnost Nepřímá úměrnost je každá funkce tvaru: kde: …………………………………………… = vyjadřuje závislost: „Kolikrát se _________ x , tolikrát se _________ y .“ Příklady nepřímé úměrnosti: školní rok 2014/15

………………………………………………………………………………… © RNDr. Věra Effenberger

9


Definičním oborem je:

Oborem hodnot je:

Graf nepřímé úměrnosti Grafem nepřímé úměrnosti je _____________________ !

Vlastnosti nepřímé úměrnosti Pro k>0

Pro k<0

Příklad:

Příklad:

4.3 KVADRATICKÉ FUNKCE Předpis obecné kvadratické funkce: kde: …………………………………………… Příklady kvadratických funkcí: …………………………………………………………………………………………………………………………….. Definičním oborem kvadratické funkce je:



10


Graf kvadratické funkce Grafem kvadratické funkce je ____________ ! Pro jednodušší určení grafu kvadratické funkce budeme vždy:  hledat souřadnice vrcholu paraboly:

V   x0 ; y 0 

____________ , buďto minima, nebo maxima  určovat, zda je funkce

kon__exní

v něm funkce nabývá svého a také

konk__vní

nebo

a

a funkce je nejprve ___________ a pak ___________

funkce je nejprve ___________ a pak ___________

Příklady:

f1 : y  x 2


g1 : y  

x2 2

f2 : y  x2  4

g2 : y  x2  3


11


f 3 : y  x 2  6 x  11 -

g 3 : y  2 x 2  8x  7

v těchto případech hledáme souřadnice vrcholu V   x0 ; y0  tak, že kvadratický trojčlen doplníme na „úplný __________“

-

anebo využijeme vzorečků: f : y  a   x  x0   y 0 , 2


kde

x0  …….. , y0  ……..


12


4.4 EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE, JEDNODUCHÉ ROVNICE Exponenciální funkce Předpis obecné exponenciální funkce: kde: …………………………………………… Příklady exponenciálních funkcí: dekadická exp. f-ce:

přirozená exp. f-ce:

…………………………………………………………………………………………………………………………….. Definičním oborem exp. f-ce je:

Oborem hodnot exp. f-ce je:

Graf exponenciální funkce Grafem exponenciální funkce je ____________ , která vždy prochází bodem



;

!

Vlastnosti: Příklady:

f1 : y  2 x

Obecně pro exponenciální funkci o základu:

a  1;    platí:



13


Příklady: 1 f2 : y    2

x

Obecně pro exponenciální funkci o základu:

a  0 ; 1

platí:

Logaritmická funkce Předpis obecné logaritmické funkce: kde: …………………………………………… Příklady logaritmických funkcí: dekadická log. f-ce:

přirozená log. f-ce:

……………………………………………………………………………………………………………………………..

Logaritmická funkce o základu a je funkce __________ k exponenciální funkci o stejném základu!!!

f : y  ax




f 1 : y  log a x


14


Definičním oborem log. f-ce je:

Oborem hodnot log. f-ce je:

Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají __________! Příklady: log 3 9 

1  9 3

log 1

log 2 32 

log 1000 

log ___  2

log 1 4 

log 5 ___  2

2

ln ___  5

log 5 58 

Graf logaritmické funkce Grafem logaritmické funkce je ____________ , která vždy prochází bodem



;

!

Vlastnosti: Příklady: f1 : y  log 2 x

Obecně pro logaritmickou funkci o základu:

a  1;    platí:



15


f1 : y  log 1 x 2

Obecně pro logaritmickou funkci o základu:

a  0 ; 1

platí:

Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice Nejprve si osvětlíme, jaká pravidla platí pro exponenty při počítání s mocninami a také jaká pravidla platí pro počítání s logaritmy.

Vlastnosti: a  R \ 0, m, n  R :

 NÁSOBENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM

am  an 

Příklady: …………………………………………………….  DĚLENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM Příklady: …………………………………………………….  UMOCŇOVÁNÍ MOCNINY

am : an 

a 

m n



Příklady: …………………………………………………….



16


a  R  , x, y, n  R :  SOUČET LOGARITMŮ SE STEJNÝM ZÁKLADEM

log a x  log a y 

Příklady:

 ROZDÍL LOGARITMŮ SE STEJNÝM ZÁKLADEM

log a x  log a y 

Příklady:

 NÁSOBENÍ LOGARITMU REÁLNÝM ČÍSLEM

n  log a x 

Příklady:

 dále platí:

log a x 

Příklady:

Exponenciální rovnice: Snažíme se rovnici upravit tak, abychom měli na každé straně: ………………………………………..… Příklady:

2 x  16

3 

x 3

93

2x



1 3

1  5 x 3 25



17


Pokud to nelze, pomůžeme si tím, že celou rovnici zlogaritmujeme. Příklady:

3x  10

2  5 x1  7

Logaritmické rovnice: Snažíme se rovnici upravit tak, abychom měli na každé straně pouze: …………………………………… Potom můžeme rovnici odlogaritmovat a vypočítat. Musíme také určit _________ řešení! Příklady:

log 4  log x  2

2 log 3 x  log 3 2  log 3 32

log 2 7  log 2 ( x  1)  log 2 x  1

4.5 GONIOMETRICKÉ FUNKCE Úhel – stupňová míra vs. oblouková míra Velikost úhlu můžeme měřit ve:  stupňové míře – ve stupních

……………………………………………..



18


 obloukové míře – v radiánech ……………………………………………..

Platí převod:

  ___ 

Příklady: převeďte na radiány:

převeďte na stupně:

90 

2 

45 

  4

60 

2   3

30 

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku jsou goniometrické funkce definovány jako __________ délek příslušných stran trojúhelníku.

Sinus úhlu: = je poměr __________ odvěsny k __________ sin  

Kosinus úhlu: = je poměr __________ odvěsny k __________ cos 



19


Tangens úhlu: = je poměr __________ odvěsny k __________ odvěsně tg 

Kotangens úhlu: = je poměr __________ odvěsny k __________ odvěsně cotg 

stupně

0

radiány

0

sinus

0

kosinus

1

tangens

0

kotangens

--

30 

45 

60 

90 

6

4

3

2

1 2

2 2 2 2

3 2 1 2

1 1

3 2 3 3 3

180



270 3 2

360 2

1

0

1

0

0

1

0

1

3

--

0

--

0

3 3

0

--

0

--

Funkce sinus



20


Obecný předpis funkce sinus:

Definiční obore funkce sinus:

Obor hodnot funkce sinus:

Grafem funkce sinus je křivka ____________ . Vlastnosti funkce sinus:

Funkce kosinus

Obecný předpis funkce kosinus:

Definiční obore funkce kosinus:

Obor hodnot funkce kosinus:

Grafem funkce kosinus je křivka ____________ . Vlastnosti funkce kosinus:



21


Funkce tangens

Obecný předpis funkce tangens:

Definiční obore funkce tangens:

Obor hodnot funkce tangens:

Grafem funkce tangens je křivka ____________ . Vlastnosti funkce tangens:

Funkce kotangens



22


Obecný předpis funkce kotangens:

Definiční obore funkce kotangens:

Obor hodnot funkce kotangens:

Grafem funkce kotangens je křivka ____________ . Vlastnosti funkce kotangens:

SKVĚLE, TEORII K

FUNKCÍM MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ TÉMA …



23

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

Recommend Documents