„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online “
PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh:
FUNKCE
vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky
školní rok 2014/2015
© RNDr. Věra Effenberger
www.zvladnimatiku.cz
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Funkce. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Funkce unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Funkce musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!
Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Funkce“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
2
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
4.
FUNKCE
4.1 ZÁKLADNÍ POZNATKY O FUNKCÍCH Co je to funkce? Funkce f na množině D R je předpis y f x , který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y.
Množina D se nazývá ________ ________ funkce.
Funkci si představme jako nějaký ________, do kterého se z jedné strany hodí nějaké reálné číslo x. Pak se zatočí kličkou a x se podle jistého mechanismu (________) promění v druhé číslo y, které ze strojku vypadne jako výsledek. Mechanismus strojku je jednoznačný – z každého vhozeného čísla vypadne právě jedno číslo výsledné.
Funkce:
f : y 5x 2
Příklady funkcí: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
3
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Definiční obor funkce & obor hodnot funkce Proměnná x se nazývá funkční proměnná nebo také ________ funkce. Množina D všech hodnot proměnné x se nazývá definiční obor funkce f a značí se D f nebo D f . Číslo y přiřazené číslu x se nazývá funkční ________ nebo hodnota funkce f v bodě x a značí se též f x . Množina všech hodnot funkce f se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H f nebo H f . Příklady: Určete definiční obor, obor hodnot funkcí a vypočítejte hodnotu funkcí ve zvolených bodech:
f : y 2x 3
h: y x4
f 5
h4
h 32
3 f 2 g:y
j:y
2
x 3
1 5 x
j 4
g 0
j 1
g 1
Graf funkce Názornou představu o vlastnostech funkce nám poskytuje její ________ znázornění v (kartézské) soustavě souřadnic, neboli ________ funkce. Graf funkce f je množina všech ________ v rovině, které mají souřadnice x; f x . Příklad: Sestrojte graf funkce f : y
školní rok 2014/15
x2 1 2
© RNDr. Věra Effenberger
4
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
x y
Průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic Máme-li určit průsečík (nebo průsečíky) grafu funkce s x-ovou osou, hledáme bod či body, které mají hodnotu y rovnou ________. Máme-li určit průsečík (nebo průsečíky) grafu funkce s y-ovou osou, hledáme bod či body, které mají hodnotu x rovnou ________.
Příklad:
f :y
x2 1 2
Z grafu funkce lze ledacos vyčíst Určete definiční obor a obor hodnot funkcí:
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
5
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Způsoby zadání (určení) funkce K zadání funkce potřebujeme:
1. definiční obor 2. funkční předpis
Způsoby zadání: a) Analytické zadání b) Grafické zadání c) Zadání výčtem (tabulkou) -
Vlastnosti funkcí Některé funkce mají určité společné vlastnosti, které si nyní ukážeme: Funkce f x se nazývá: shora omezená, jestliže existuje takové číslo h R , že ________ pro všechna x D Příklad:
zdola omezená, jestliže existuje takové číslo d R , že ________ pro všechna x D Příklad:
omezená, jestliže je shora a zároveň i zdola omezená Příklad:
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
6
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
rostoucí, právě když x1 , x2 D platí: x1 x2 f x1
f x2
Příklad:
klesající, právě když x1 , x2 D platí: x1 x2 f x1
f x2
Příklad: nerostoucí, právě když x1 , x2 D platí: x1 x2 f x1
f x2
Příklad:
neklesající, právě když x1 , x2 D platí: x1 x2 f x1
f x2
Příklad:
sudá, právě když x D f je
f x f x - graf funkce je osově souměrný podle osy y
Příklad:
lichá, právě když x D f je f x f x -
graf funkce je středově souměrný podle počátku
školní rok 2014/15
Příklad:
© RNDr. Věra Effenberger
7
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
periodická, právě když existuje takové číslo p 0
zvané perioda, že pro každé x D f je také
x p D f a platí: f p x f x ;
Příklad:
4.2 LINEÁRNÍ FUNKCE, NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST Lineární funkce Předpis obecné lineární funkce: kde: …………………………………………… Příklady lineárních funkcí: …………………………………………………………………………………………………………………………….. Definičním oborem lineární funkce je:
Oborem hodnot lineární funkce je:
Graf lineární funkce Grafem lineární funkce je ____________ !
Graf protíná osu x v bodě:
osu y v bodě:
Příklady: Zobrazte grafy funkcí f :y
x 1 2
g : y 3x 4
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
8
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Zapište předpis daných funkcí a určete jejich definiční obor a obor hodnot.
Vlastnosti lineárních funkcí Pro a>0 je lineární funkce ____________ . Příklad: Pro a=0 je lineární funkce ____________ . Příklad: Pro a<0 je lineární funkce ____________ . Příklad:
Speciální lineární funkce Konstantní funkce: Přímá úměrnost:
Funkce nepřímá úměrnost Nepřímá úměrnost je každá funkce tvaru: kde: …………………………………………… = vyjadřuje závislost: „Kolikrát se _________ x , tolikrát se _________ y .“ Příklady nepřímé úměrnosti: školní rok 2014/15
………………………………………………………………………………… © RNDr. Věra Effenberger
9
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Definičním oborem je:
Oborem hodnot je:
Graf nepřímé úměrnosti Grafem nepřímé úměrnosti je _____________________ !
Vlastnosti nepřímé úměrnosti Pro k>0
Pro k<0
Příklad:
Příklad:
4.3 KVADRATICKÉ FUNKCE Předpis obecné kvadratické funkce: kde: …………………………………………… Příklady kvadratických funkcí: …………………………………………………………………………………………………………………………….. Definičním oborem kvadratické funkce je:
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
10
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Graf kvadratické funkce Grafem kvadratické funkce je ____________ ! Pro jednodušší určení grafu kvadratické funkce budeme vždy: hledat souřadnice vrcholu paraboly:
V x0 ; y 0
____________ , buďto minima, nebo maxima určovat, zda je funkce
kon__exní
v něm funkce nabývá svého a také
konk__vní
nebo
a
a funkce je nejprve ___________ a pak ___________
funkce je nejprve ___________ a pak ___________
Příklady:
f1 : y x 2
školní rok 2014/15
g1 : y
x2 2
f2 : y x2 4
g2 : y x2 3
© RNDr. Věra Effenberger
11
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
f 3 : y x 2 6 x 11 -
g 3 : y 2 x 2 8x 7
v těchto případech hledáme souřadnice vrcholu V x0 ; y0 tak, že kvadratický trojčlen doplníme na „úplný __________“
-
anebo využijeme vzorečků: f : y a x x0 y 0 , 2
školní rok 2014/15
kde
x0 …….. , y0 ……..
© RNDr. Věra Effenberger
12
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
4.4 EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE, JEDNODUCHÉ ROVNICE Exponenciální funkce Předpis obecné exponenciální funkce: kde: …………………………………………… Příklady exponenciálních funkcí: dekadická exp. f-ce:
přirozená exp. f-ce:
…………………………………………………………………………………………………………………………….. Definičním oborem exp. f-ce je:
Oborem hodnot exp. f-ce je:
Graf exponenciální funkce Grafem exponenciální funkce je ____________ , která vždy prochází bodem
;
!
Vlastnosti: Příklady:
f1 : y 2 x
Obecně pro exponenciální funkci o základu:
a 1; platí:
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
13
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Příklady: 1 f2 : y 2
x
Obecně pro exponenciální funkci o základu:
a 0 ; 1
platí:
Logaritmická funkce Předpis obecné logaritmické funkce: kde: …………………………………………… Příklady logaritmických funkcí: dekadická log. f-ce:
přirozená log. f-ce:
……………………………………………………………………………………………………………………………..
Logaritmická funkce o základu a je funkce __________ k exponenciální funkci o stejném základu!!!
f : y ax
školní rok 2014/15
f 1 : y log a x
© RNDr. Věra Effenberger
14
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Definičním oborem log. f-ce je:
Oborem hodnot log. f-ce je:
Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají __________! Příklady: log 3 9
1 9 3
log 1
log 2 32
log 1000
log ___ 2
log 1 4
log 5 ___ 2
2
ln ___ 5
log 5 58
Graf logaritmické funkce Grafem logaritmické funkce je ____________ , která vždy prochází bodem
;
!
Vlastnosti: Příklady: f1 : y log 2 x
Obecně pro logaritmickou funkci o základu:
a 1; platí:
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
15
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
f1 : y log 1 x 2
Obecně pro logaritmickou funkci o základu:
a 0 ; 1
platí:
Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice Nejprve si osvětlíme, jaká pravidla platí pro exponenty při počítání s mocninami a také jaká pravidla platí pro počítání s logaritmy.
Vlastnosti: a R \ 0, m, n R :
NÁSOBENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM
am an
Příklady: ……………………………………………………. DĚLENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM Příklady: ……………………………………………………. UMOCŇOVÁNÍ MOCNINY
am : an
a
m n
Příklady: …………………………………………………….
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
16
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
a R , x, y, n R : SOUČET LOGARITMŮ SE STEJNÝM ZÁKLADEM
log a x log a y
Příklady:
ROZDÍL LOGARITMŮ SE STEJNÝM ZÁKLADEM
log a x log a y
Příklady:
NÁSOBENÍ LOGARITMU REÁLNÝM ČÍSLEM
n log a x
Příklady:
dále platí:
log a x
Příklady:
Exponenciální rovnice: Snažíme se rovnici upravit tak, abychom měli na každé straně: ………………………………………..… Příklady:
2 x 16
3
x 3
93
2x
1 3
1 5 x 3 25
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
17
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Pokud to nelze, pomůžeme si tím, že celou rovnici zlogaritmujeme. Příklady:
3x 10
2 5 x1 7
Logaritmické rovnice: Snažíme se rovnici upravit tak, abychom měli na každé straně pouze: …………………………………… Potom můžeme rovnici odlogaritmovat a vypočítat. Musíme také určit _________ řešení! Příklady:
log 4 log x 2
2 log 3 x log 3 2 log 3 32
log 2 7 log 2 ( x 1) log 2 x 1
4.5 GONIOMETRICKÉ FUNKCE Úhel – stupňová míra vs. oblouková míra Velikost úhlu můžeme měřit ve: stupňové míře – ve stupních
……………………………………………..
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
18
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
obloukové míře – v radiánech ……………………………………………..
Platí převod:
___
Příklady: převeďte na radiány:
převeďte na stupně:
90
2
45
4
60
2 3
30
Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku jsou goniometrické funkce definovány jako __________ délek příslušných stran trojúhelníku.
Sinus úhlu: = je poměr __________ odvěsny k __________ sin
Kosinus úhlu: = je poměr __________ odvěsny k __________ cos
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
19
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Tangens úhlu: = je poměr __________ odvěsny k __________ odvěsně tg
Kotangens úhlu: = je poměr __________ odvěsny k __________ odvěsně cotg
stupně
0
radiány
0
sinus
0
kosinus
1
tangens
0
kotangens
--
30
45
60
90
6
4
3
2
1 2
2 2 2 2
3 2 1 2
1 1
3 2 3 3 3
180
270 3 2
360 2
1
0
1
0
0
1
0
1
3
--
0
--
0
3 3
0
--
0
--
Funkce sinus
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
20
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Obecný předpis funkce sinus:
Definiční obore funkce sinus:
Obor hodnot funkce sinus:
Grafem funkce sinus je křivka ____________ . Vlastnosti funkce sinus:
Funkce kosinus
Obecný předpis funkce kosinus:
Definiční obore funkce kosinus:
Obor hodnot funkce kosinus:
Grafem funkce kosinus je křivka ____________ . Vlastnosti funkce kosinus:
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
21
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Funkce tangens
Obecný předpis funkce tangens:
Definiční obore funkce tangens:
Obor hodnot funkce tangens:
Grafem funkce tangens je křivka ____________ . Vlastnosti funkce tangens:
Funkce kotangens
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
22
4. FUNKCE Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!
Obecný předpis funkce kotangens:
Definiční obore funkce kotangens:
Obor hodnot funkce kotangens:
Grafem funkce kotangens je křivka ____________ . Vlastnosti funkce kotangens:
SKVĚLE, TEORII K
FUNKCÍM MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ TÉMA …
školní rok 2014/15
© RNDr. Věra Effenberger
23