PEVNOST a ŽIVOTNOST STROJNÍCH DÍLŮ zejména tlakových nádob

DÓM TECHNIKY ČVTS PRAHA

PEVNOST a ŽIVOTNOST STROJNÍCH DÍLŮ zejména tlakových nádob

STAVBA STROJU XL

PRAHA 1976

ŕ?

p.-

DŮM TECHNIKY

CVTS PRAHA

PEVNOST a ŽIVOTNOST STROJNÍCH DÍLŮ zejména tlakových nádob

STAVBA STROJU XL

PRAHA )976

Předmluva

Při výpočtech tlakových nádob se v současné době převážně používají •

výpočty založené na předpokladu pružného chování materiálu. Aby se takto vypočtená napětí mohla hodnotit, bylo nutné zavést jejich

kategorizaci.

Na příkladech je ukázáno hodnocení pavnosti podle sovětské a americké normy pro komponenty jaderných elektráren ve srovnání s ČSN 69 0010. Pro výpočty rotačních skořepin, rovinných stěn a rotačních těles je uvedena jednoduchá aplikace metody konečných prvků s příklady u ž i t í na programovatelných kalkulátorech i velkých počítačích. Ukazuje se, že dosavadní metody pevnostního výpočtu, založené na statické analýze napětí, nevystihují

mezní stavy poruôování součástí. Tato

analýza musí být doplněna hodnocením dalších mezních stavů

(nízkocyklová

a vysoôcyklové únava, creep, křehký lom, interakce mezi únavou a creepem). Ve sborníku jsou proto vysvětleny novějSí používané principy hodnocení pevnosti a životnosti s+rojních dílů, zejména tlakových nádob.

Ing. Stanislav Vejvoda, CSc.

- 3 -

O b a ah Str.

KATEGORIZACE NAPĚTÍ V ASMS CODS A V SOVĚTSKÉ NORMĚ PRO ZASÍZENÍ V JADERNÉ ENERGETICE '

7

- I n g . S t a n i s l a v Ve.jvoda, C S c , Ústav a p l i k o v a n é mechaniky VŽKG p ř i VA AZ, Brno POROVNANÍ POUŽÍVANÝCH METOD VÝFOČTÔ NA NÍZKDCYKLOVOU ÚNAVU

29

- I n g . Miloš Vľc, C S c , Ústav a p l i k o v a n é mechaniky VŽKG p ř i VA AZ, Brno NOVĚJŠÍ POUŽÍVANÉ! PRINCIPY HODNOCENÍ PEVNOSTI A ŽIVOTNOSTI STROJNÍCH DÍLO, SEJMSNA TLAKOVÝCH NÁDOB - I n g . B o ř i v o j P o s p í ä i l , C S c , Výzkumný ú s t a v energetického strojírenství, Brno

závodů

JEDNODUCHÉ APLIKACE BtETODY KONEČNÝCH PRVXŮ PSO TLAKOViŽ NÁDOBY - I n g . J o s e f V y k u t i l , Ústav a p l i k o v a n é mechaniVy VŽKG p ř i VA AZ, Brno

- 5 -

43

73

i

KATEGORIZACE NAPĚTÍ V ASME COPE A V SOVĚTSKÉ NORMĚ PRO ZAŘÍZENÍ V JADERNÉ ENERGETICE -

Ing. S t a n i s l a v Vejvoda,

C S c , ífetav aplilcované mechaniky VŽKG p ř i

VA AZ,

Brno

1. fa od

Snahou konstruktéra je navrhnout konstrukci, ktsrá má požadovaný výkon a životnost. Přitom musí přihlížet k nákladům na výrobu a provoz zařízeni. Mezi náklady na výrobu náležejí i náklady na materiál. Šetření materiálem nesmí však být na závadu provozní bezpečnosti konstrukce. Aby mohl konstruktér rozhodnout, ve které části konstrukce je materiálu nadbytek nebo kde nestačí k zabezpečení bezpečné a spolehlivé funkce zařízení, musí znát napjatost v ní a Její deformace. K tomu potřebuje ověřené a dostatečně přesné metody výpočtu. Rozvoj 8amočinných počítačů umožnil sestavit programy pro výpočet napjatosti a deformací. Tyto programy byly do nedávné doby sestaveny převážně podle analyticVých metod. V současné době však nachází stále vetší uplatnění metoda konečných prvků (MKP). Z nauky o materiálech víme, že závislost mezi napětím a deformací není vždy a stále lineární. Materiál je schopen přenáSet zatížení, i když se dostane do oblasti nelineární závislosti mezi napětím a deformací. To musíme využít, pokud chceme konstrukci navrhnout ekonomicky. Přitom však musíme zvýšit své nároky na výpočet její spolehlivosti a životnosti a musíme co nejpodrobněji znát průběh a velikost zatížení. Rozsah využití schopnosti konstrukce přenést zatížení v pružně plastickém stavu záleží na její požadované životnosti. Čím delší provoz při opakovaném zatížení požadujeme, tím méně můžeme využít uvedenou schopnost materiálu. Většímu využití brání také nedostatek vhodných programů pro počítače.

2.

Využití únosnosti materiálu v pružné plastickém stavu

Bylo třeba stanovit podmínky, které by dovolovaly použít programy, předpokládající elastické chováni materiálu, k využití Únosnosti materiálu v pružně plastickém stavu. 1. Měřením se zjistí opravné součinitele, kterými se vynásobí vzorce pro návrh tloušťky. Takto postupuje naäe norma ČSN 69 0010. 2. Protože napětí vypočtená za předpokladu elastického chování materiálu přesahují mez kluzu 6^, , musel být definován pojem "fiktivní napětí" a "kategorie napětí". To umožnilo roztřídit napětí do jednotlivých kategorií - 7-

a posuzovat je podle Jejich podílu na poškození konstrukce. Tento přístup ae užívá v ASME Code /I/ a v sovětské normě z roku 1973 /2/. Oba uvedené přístupy mají své přednosti, ale také nevýhody.

2.1.

Přístup ČSN 69 0010 k danému problému

Ve vzorcích pro návrh tloušíky den, anuloidových přechodů, ostrých přechodů válce do kužele atd. jsou užity součinitele, zaručující využití schopností materiálu přenášet zatížení i při vzniku plastických deformací. Velkou výhodou těchto vzorců je, že jsou jednoduché a umožňují dimenzovat řešenou část nádoby během několika minut. Jejich nevýhodou je, ?e neobsahují a ani nemohou obsahovat výpočet životnosti. Norma pouze omezuje počet cyklů zatížení na 5000, což nemusí být vždy spolehlivé kritérium. V další části příspěvku porovnáváme na typickém příkladě, nakolik norma využívá únosnost materiálu re srovnání s druhým přístupem. Další komplikace mohou nastat při práci s ČSN 69 0010, což však není nedostatkem normy samé. Jsou způsobeny neznalosti principů, z nichž norma vychází. Je to např. domněnka, že dosazením dovoleného napětí 6^ menšího než mez kluzu (v. do vzorců pro návrh t.louátky zabezpečíme, aby napětí ve stěně byla vždy menší než 6j . Hozpory potom vznikají, posuzujeme-li takto navrženou konstrukci přesnějším výpočtem a vypočteme napětí větší než €>£. Mnohdy napětí vypočtená za předpokladu elastického chování materiálu překračují 2 (T^ a v místech koncentrací až ¥ ": , . Tt,to siti:iace se potom zachraňuje zvětšením tloušíky stěny, a to zbytečně, což by ukázalo posouzení napětí podle druhého přístupu (kategorizace).

2.2. Přistup podle kategorizace napětí Hodnocení napětí podle kategorií dovoluje použít metody výpočtu napětí z* předpokladu pružného chování materiálu. Je to výhodné, protože tyto metody jsou nejvíce rozpracovány. Znéme-li napětí v rozličných časových okamžicích, můžeme vypočítat životnost zařízení a posoudit možnost jejího porušení Vřehkým lomem. Tento přístup však předpokládá, ža jsme schopni vypočítat napětí v řešeném uzlu a že Je můžeme roztřídit do kategorii podle jejich podílu na poškození Iionstrukce, jak si dále ukážeme. Toto třídění činí potíž pri použití programu 1KP pro tluatostěnná tělesa, kdy vypočteme napětí včetně koncentrace. Tato lokální napětí se neomezují, ale posuzuji se pouze na \5navu. Potom činí potíž oddělit od vypočtené hodnoty napěti baz uvážení koncentrace, které u2 se omezuje velikosti. Nevýhodou tohoto přístupu je jeho značná pracnost a zdlouhavost. Mnohdy se dimenze navržené jednodušším postupem podle článku 2.1. příliš neliší, zejména při malém počtu cyklů zatížení. Ucazuje ae, že je vhodné třídit nejen napětí, ale i konstrukce a přihlédnutím k jejich důležitosti a průběhu zatížení. Podle toho se konstrukce - 8 -

sařadl do první skupiny, kde podle jednoduchých vzorců navrhneme tlouáíku stěn pláště a neposuzujeme životnost. Do druhé skupiny by náležely konstrukce, které Je treba posoudit na nlzkocyklovou únavu. Z hlediska historického se přístup podle kategorizace napětí jeví jako přechodný, ale zatím nutný. Až budou k dispozici různé programy předpokládající pružně plastické chování materiálu, pravděpodobně et, od kategorizace napětí upustí. Rozhodující bude, Je-li konstrukce v daném průřezu schopna přenést vnější zatížení, nenastávaji-li v oblastech diskontinuit tvaru nepřípustné změny jejího tvaru následkem vzniklých plastických deformací e má-li konstrukce požadovanou životnost. To však už bude vyžadovat novou filozofii, odlišnou od filozofie použité v současném ASMS Code nebo v sovgtské normě pro zařízení jaderných elektráren.

3.

Kategorizace napětí

ASME Code třídí napětí podle jejich podílu na poškození konstrukce nr prvotní, druhotná a špičková,, Tato napětí mohou být. vyvolána buá mechanickým (silovým) zatížením, nebo zatížením deformací. Posouzení napětí od zatížení deformací je věnována kapitola 4.

3.1.

Prvotní napětí

Prvotní napěti můžeme vypočítat z podmínek statické rovnováhy s vnějším silovým zatížením. Pokud konstrukce nebude schopna toto zatížení přenést, vzniknou v oblasti prvotního napětí již při statickém silovém zatížení nadměrné plastické deformace, porušení houževnatým lomem. Prvotní napětí jsou proto posuzována nejpřísněji. Příklady prvotních napětí &p a) u tlakových nádob je to membránové napětí vypočtené pomocí membránové teorie. Označujeme je proto Jako prosté membránové napětí 6^ . Tato napětí jsou po průřezu stěny konstantní, stejně tak i deformace, viz obr. la. Prosté membránové napětí 6^ je omezeno dovoleným napětím 61 , které se stanoví podle rovnic (1). Do výpočtu se dosazuje nižší hodnota 61

ASME Code bore kkt = 1,5, kpt = 3 a sovětská norma kkt = 1,5 a kpt = 2,6. Index t nahoře označuje, žo aez k3uzu a mez pavnosti platí pro výpočtovou teplotu t .

m M

A H jno 7*7

p

^rTTTTTTTTTnv

y

•

c)

obr. 1 b) K prvotním napětím náležejí také prosté ohybové napětí O0 u plochých den (obr. l c ) , která jsou ve statické rovnováze s vnějším zatížením, např. s tlakem. S tloušťkou stěny se mění lineárně. Dosáhne-li v krajním vlákně nejvíce namáhaného průřezu napětí meze kluzu Ofo , není v něm j e š t ě vyčerpána veškerá elastická únosnost (mezní únosnost). Za předpokladu s t a tické z á v i s l o s t i 6"- £ lze u materiálu bez zpevnění (Prandtlův diagram) teoreticky pro obdélníkový průřez dokázat, že teprve při 1,5násobném zatížení je dosaženo mezní únosnosti. Při použití cyklické z á v i s l o s t i 6"- i různé materiály v rozmezí 1,33 až 1,43*

se toto zvýšení pohybuje pro

Hodnotí-li se prostá ohybová napětí G"c a prostá membránové napěti 6"^ stejně vzhledem k mezní únosnosti průřezu, lze teoreticky připustit pro 6"0 dovolené napětí 1,5 fj . ASME Code pro 6~0 připouští 1,5 6"* a sovětaká norma 1,3 <J>í . Vzn&á otázka, j e - l i možno také pro součet napětí c pustit dovolené napěti 1,5 6> (nebo 1,3 v sovětské normě), VySerpá-li se kombinací napěti platí pro napětí vztah

mezní únosnost průřezu,

J

m

kde

6*c « 6*0 r

Tato závislost jo vynesena do grafu na obrátku 2.

- 10 -

při-

(2)

t>

Z obrázku je zřejmé, že pro jakoukoli kombinaci napětí So a S"m za předpokladu, že t 6ľKt a je bezpečnost vůči mezní únosnosti průřezu měr

6"c ž (T^ = 4,667. Pro součet napětí % ^fn J Q P r í - dovoleném napětí 1,5 ďp Lazpečnoat kkt. 2 4 5 vůči aezi kluzu (TL . a

c) P ř i vnějším z a t í ž e n í , k t e r é namáhá nádobu jako celek ohybem, vzniká v p l á š t i membránové napětí od ohybu 6'no s kosinovým průběhem po obvodě. Po celém průřezu A-A (obr. lb) není napětí Gno konstantní, po tlouäíce stěny ano. Mezní únosnosti řezu A - A (kruhové mezlkruží) se dosáhne p ř i z a t í ž e n í 1,21 větším než je t o , p ř i kterém dosáhne napětí v nplvice namáhaném vlákně meze kluzu ^ t . ASME Code pro nap ě t í ffJno připouští dovolenou hodnotu 1tS ffj, a sovětská norma 1,i ď^ . U napě-

ŕ

1.667

1.5 1A

v

\2 1.0 0.6 OA 02 0

o;

V

oje

0i8 1.0

obr. 2

f í

Vpio J e v porovnání se 6^, a
3.2.

Druhotná napětí

Druhotná napětí 6^, vznikají v místech změny tvaru (oblast velké diskontinuity, označená I na obr. la). Ve směru meridiánu 3o při vzdalo vání od místa vzniku zmenšují. Na vyjmutém elementu stěny tvoří rovnovážnou soustavu sil. Nelze je proto vypočítat z podmínek statické rovnováhy s vnějším zatížením. K Jejich výpočtu musíme použít deformační podmínky.

- 11 -

obr. 3 3.2.1.

Výpočet druhotných napěti

Lépe pochopíme podstatu druhotných s i l na příkladě uvedeném v obr. 3. Mějme dvě navzójem .spojené kuželové skořepiny zatížené vnitřním přetlakem p. Jejich vzájemný účinek nahradíme vnitřními silami V, fy , P. Sílu V můžeme vypočítat z podmínky statické rovnováhy s vnějším zatížením V~ pr/2} Jde o s í l u prvotní. Vnitřní s í l y tli, P mají v místě spojení obou skořepin zabezpečit spojitost deformací. Pro jejich výpočet musíme použít deformační podmínky

Ä

»- A

kde

(3)

<«*,

P. r) J

(4)

Sedením obdržíme neznámé M»; P. Normálové s i l y /V,, ^ v místě spoje jsou funkcí druhotných s i l f1u P a vnějšího zatížení p , obsahují proto prvotní aložku Nf ; N2 a druhotnou ^ d ; NieL . Obvodový ohybový moment H2 je v oblasti velké diskontinuity funkcí tí1

(5)

- ŕ- 12 -

PrůbSh napětí od a l l t1it ň2, obsahuje prvotní složku 6*

3.2.2.

N

N

8

1, z J P° tloušíce stěny lineární. Napětí a druhotnou G4 , (obr. la)

Podil druhotných napětí na porušení konstrukce

Ukážeme, že součet fiktivních prvotních a druhotných napětí (vypočtených za předpokladu elastického chování materiálu) maže překročit mez kluzu GKt , aniž to je na závadu spolehlivosti a bezpečnosti provozu konstrukce. Totéž platí pro vlastní druhotné napětí. Tím se odlläují od prvotních napět í , které byla hodnocena v odstavci 3.1. Ukážeme, že z fyzikálního hlediska je toto hodnocení druhotných napětí přípustné. Necht při zatěžování konstrukce vzniknou v jejím libovolném elementu plastické deformace. Plastické deformace, vznikající při opakovaném zatíženi, lze rozdělit do těchto t ř í skupins a) vznik plastických deformací proměnného znaménka, vedoucí k nízkocyklové tfnavě, b) postupné narůstání plastických deformací neměnného znaménka, vedoucí k porušení, c) přerušení vzniku plastických deformací po několika "prvních cyklech opakovaného zatížení následkem zbytkových napětí přitom vzniknuvších (shake-down efekt). V oblasti druhotných napětí přichází nejčastěji v úvahu vznik p l a s t i c kých deformací podle bodů a), c ) . Chceme-li zabezpečit v ě t š í životnost konstrukce, musíme omezit velikost plastických deformací proměnného znaménka. Přeruší-li se vznik plastických deformaci v místě druhotných napěti během několika prvních cyklů zatížení, říkáme, že konstrukce se přizpůsobila přetížení. Aby se konstrukce přizpůsobila, musí v ní vzniknout zbytkové napětí, což je možné pouze u vnitřně staticky neurčitých uzlů konstrukce. To je v oblastech, kde k výpočtu vnitřních s i l musíme použít deformační podmínky, tedy v místě spojení skořepin, oblast 1 na obr. l a . Po přizpůsobení se materiál v oblasti druhotných napětí při opakovaném zatížení chová pružně.

- 13 -

3.2.3.

Přizpůsobeni konstrukce přetíženi Nejnázornějším příkladem pro pochopení mechanismu přerušení vzniku plastických deformací a vytvořeni zbytkových napětí je přihradová konstrukce (obr. 4 ) , opakovaně zatížená silou P , Doporučujeme čtenáři, aby se tento příklad pokusil vyřeoit. Vznik zbytkových napětí po předchozím přetížení a odlehčení lze zjednodušeně ukázat na ideálním Prandtlově diagramu. Mohou na?tat dva případy, že 6j^ < Sz <J"Z > 2 &itt , kde S"z je napětí od zatížení.

r 2r

kt

n

B

/j -A./[r / /

P

ŕ

-«•«

b)

Q)

obr. 5 1.

G/ct * ff2 -

2

^Kt (obr. 5a)

V prvním cyklu zatížení Pf dosáhne napíti v nejvíce namáhaném vlákně meze kluzu 6"^. . Zvyšujeme-li zatížení na P , dosáhne fiktivní napěti hodnoty 6^ , bod B. Skutečné napětí za předpokladu ideálního Prandtlova diagramu se však rovné 6^t , bod C. Při odlehčovánl ze s í l y P na nulu se napětí změní lineárně o hodnotu 6"z , z bodu C klesne do bodu D, Vytvoří se tak zbytkové napětí & - GJ^- 6"z . Při opakovaném zatížení s i l o u P se v dalSích cyklech mění zatížení ze ff do ff^ . Konstrukce je namáhána pružně, přestože je 6"2 > 6Kt a v prvním cyklu vznikla plastická deformace zobrazená úsečkou AC.

- 14 -

2. (T2 > 2 ľKt

(obr. 5b)

Předpokládejme, že při zatížení P Je fiktivní napětí ^ > 2 6"Kt , bod B. Scutečné napětí se vSak rovná 6^t , bod C. Odlehčení z P na nulu probíhá pružně a napětí poklesne o hodnotu 6t . Fiktivní napětí bude dáno hodnotou | 6^ " S*z I * ^ t (bod E). To znamená, Že při odlehčení vznikne plastická deformace opačného znaménka než oři zatížení. Sfcutečné napětí (zde zbytkové) se po odlehčení rovné - 6*ť , bod P. Zvětoíme-li opět zatížení z nuly na P , vzroste fiktivní napětí z hodnoty - 6^ ŕ o hodnotu 6"z do bodu H. Scutečné napětí je väak 6 ^ , bod C. Vzniká opět plastická deformace, která znovu mění znaménko. Při opakovaném zatížení P se takto neustále mění znaménko plastické deformace. Při zatížení je plastická deformace dána úsečkou GC a při Odlehčení úsečkou IF, které jsou stejně velké, ale opačného znaménka. Nastává nízkocyklové únava. 3. Ideální případ nastane při P 3 2 P-, . Potom 6^- 26"Kt a 6 ' " ^ t - 2 6 ^ » = 6"^ - 2 &Kt "~^Kť Napětí při opakovaném zatížení se potom mění z hodnoty - 6V, na é>]u. , konstrukce se chová pružně. Toto zatížení P označujeme jako P2 . Aby nastalo přizpůsobení konstrukce do pružného stavu, musí být splněna podmínka p l a s t i c i t y , musí p l a t i t spojitost deformací a podmínky s t a t i c k é rovnováhy vnitřních s i l a zatížení. To znamená, že sama zbytková napětí
i,i

říkají, že jde o všechny složky tenzoru napětí.

Předpokládejme, že jsme n a l e z l i takové pole zbytkových napětí které tvoří rovnovážnou soustavu s i l .

Současně musí být v každém časovém okamžiku splněna podmínka p l a s t i c i ty, že intenzita napětí S"i & 6"Kt . Musí p l a t i t při zatížení P2 : při odlehčení s

(>i ' ^2#2 + f £ ^ j 6\ » §= £ 6"^

Odtud

ta\

Poměr

P

.H ,

. . ft..

ľ.

_ *

- 15 -

(9)

se nazývá s o u č i n i t e l přizpůsobení (shake-down faktor), který nabývá hodnot kj, ( < 4, 2 * •

Při zatížení

P1

dosáhne napětí v krajním vlákně poprvé meze kluzu,

Zatíženi Pz je nejvyôší možné z a t í ž e n í , jemuž je konstrukce schopna se přizpůsobit tak, aby v místě druhotných napětí byl materiál p ř i opakovaném zatížení namáhán elasticky. U reálných konstrukcí jsou podle druhu použitého materiálu podmínky přizpůsobení závislé na změně meze kluzu p ř i cyklickém namáhání a projevuje se v l i v Bausehingerova efektu. Na mechanické v l a s t n o s t i má taká v l i v z a t í žení teplotou. J e - l i cyklus zatížení teplotou dostatečně dlouhý, závisí p ř i způsobení na t e č e n í , k t e r é může ve značné míře změnit pole zbytkových napět í a tím s n í ž i t rozsah přizpůsobení. Zahrnutí všech těchto jevů znamená zv5t3it matematickou obtížnost řešené úlohy. V současné době se u nás v ÚM VŽřCG, Brno, zpracovává program MKP, který u tenkostenných skořepin umožní sledovat h i s t o r i i přizpůsobení za předpokladu pružně plastického chování materiálu a cyklické z á v i s l o s t i Čf - i .

3.2.4.

Výpočet zatíženi

P2 , zbytkových napětí

6"

a součinitele

přizpůsobeni kp 1. Předvedeme postup výpočtu grafickou metodou W. A. Macfarlana. Tato metoda používá Trescovu Dodmínku p l a s t i c i t y v grafickém stavu. Mohli bychom však použít i podmínku HÍÍH. Metoda vychází z Melanova teorému a předpokládá, že zbytková napětí jsou pouze lineárně závislá na druhotných napětích* Ve cvičení k semináři ukážeme postup výpočtu (obr. 7) na přechodu válce do kužele (obr. 6), zatíženého vnitřním tlakem f> ; f - 1000 mm, Sv = sk . = 10 mm, y> = 20 °, S'la = 360 MPa. 2. K rychlenu určení p2 , ^ , kp F. A. Leckiho, k t e r á je vysvětlena v /4/.

slouží také grafická metoda

3. Zatížení P2 , zbytková napětí 6^ a s o u č i n i t e l přizpůsobení lze vypočítat analyticky. Postup výpočtu bude ukázán ve cvičení k semináři. Pro uvedenou metodu byl sestaven program, kterým byl vypočten součinit e l přizpůsobení kp pro přechod válce do kužele, zatíženého vnitřním přetlakem. Poměr r/s - 50; 100; 200 (obr. 8 ) .

HMH = Huber-Mises-Hencky

- 16 -

r

a/MPo7

obr. 7

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 O 10 20 30 40 50 60 70

obr. 8 3.2.5.

Součinitel přizpůsobení v normách

AS?.!E Code bere při volbě dovolené hodnoty pro druhotné napětí 6J, a součet prvotního a druhotného napětí S"p + 6^ součinitel přizpůsobení kp = 2, sovětská norma pouze kp ~ 1,667. U skutečné konstrukce mohou být kp < 1 č i kp< ft66ř, viz obr. 8. Vzniká otázka, j e - l i postup obou norem bezpečný. Porovnejme proto vztah mezi součinitelem přizpůsobení kp a součinitelem diskontinuity k^ . Součinitel k^ , vynesený na obr. 8, udává poměr

- 17 -

největáího napětí v krajním vlákně (bez uvážení koncentrace) k největšímu prostému membránovému napětí om L

-

&*> + &<ť

(16)

•

Předpokládejme, že pro určení se, aby

rozhoduje mez kluzu

&^

Gjb *" °
=

6^

. Požaduje

(18)

V ^* '

Hodnota 61 *-6^ představuje rozkmit napětí během provozního cyklu z a t í ž e n í . Abychom mohli vzít. vždy kp = 2, musí v případech, kdy je kp < 2, rozhodovat podmínka (17) pro prostá membránová napěti. Musí být

k £

(19)

> (T + G^ '

Po dosazení z (16) do (19) dostaneme

^ ^t

?

U Bm - i kd 6 i

(20)

•

Odtud

k* > 4 - AEC** Při

i^ 2 J

P l a t í pro

4t < 3 .

(21)

rozhoduje podmínka (18).

U našeho příkladu - přechodu válce do kužele - js podmínka (21) splněna, viz obr. 8. P ř i jejím nesplnění by během opakovaného z a t í ž e n í vznikly plastické deformace proměnného znaménka, v místě druhotných napětí by nastala nízkocyklová únava. Na základě výpočtu ž i v o t n o s t i rozhodneme, zda lze j e j i c h vznik p ř i p u s t i t . Schopnost konstrukce přizpůsobit se p ř e t í ž e n í využívá také ČSN 69 0010. Na obr. 9 ja porovnání dovolených tlaků u přechodu válce do-kužele. Křivka 1 udává tlak p1 , p ř i němž poprvé v nejvíce namáhaném vlákně dosáhnu intenzita napětí Sp t-S^ meze kluzu 6^t . Křivka 2 udává tlak p 2 = kp pt • Křivka 3 tlak pm , p ř i němž prosté membránové napětí dosáhne SKt . Křivka 4 udává tlak, který pro danou tlouátku lze podle ČSN 69 0010 p ř i p u s t i t . Vidíme, že křivka * l e ž í nad křivkou 1 a b l i ž i se křivce 2. Z porovnání křivek 2 a 4 plyne, ŽČ ČSN 69 0010 u tohoto přechodu využívá kolem 90 % přizpůsobení. Z obr. 9 je patrno, že pro úhly tf c < y f , y>2> je pn
- 18 -

Rozhoduje 5L .

p/MPo/

70 60

40

M*i 20

0

2 0 1 40

60 70

obr.9 Je proto zbyta>íné vyztužovat přechody s těmito úhly < prstencem. U přechodů s f>
a f>f2 je

p z < p m.

Je vhodné vyztužit tyto přechody takovým prstencem, aby se s n í ž i l o napětí 6"p + G^ v krajním vlákně a rozhodovala podmínka (17) pro napětí S^. Protože ASME Code pro napětí v krajním vlákně 6J» ^fy připouští třikrát v ě t š í dovolené napětí než pro &n\ lze navrhnout bez vyztuženi prstencem přechody válce do kužele s ^ £ 3 . Z této podmínky byl pro ostrý přechod válce do kužele, zatíženého vnitřním tlakem,sestrojen graf na obr. 10.

50

kj > 3 - vyztužení prstencem vhodne

40 30 20 10

0

< 3 - vyztuženi prstencem není 'třeba

r/s

-10 -20 -30 •f

> 3 - vyztužení prstencem vhodné

obr. 10

3.2.6. Hodnoceni druhotných napěti V předchozí části jsme ukázali, že v oblasti velká diskontinuity lze vytvořit vhodná zbytková napětí ťř ke snížení podílu druhotných napěti na porušení konstrukce. Přesto jak ASME Code, tak sovětská norma r o z l i š u j i druhotná membránová napětí fi*m
3.i.7.

Príklady druhotných napěti od mechanického zatíženi

Za místní ohybové napětí

se považují

a) ohybová nnpětí vyvolaná účinkem vnitřního tlaku v místech spojeni dvou válcových plástů rozdílné tloušíky nebo válcového pláště s kuželovým nebo se dnem apod., b) ohybová napětí od utahovacích sil v místech připojení přírub k potrubí. 3.3-

Špičková napětí %

V místech vrubu, vnitřnícl zaoblení, osazení, svarových švů, v závitech, změn tvarů a tlouštěk, hrdel apod., t j . v místech koncentrace napětí, vznikají špičková napětí. Oblasti vzniku Špičkových napětí jsou nalé i ve srovnání s tlouštkou stěny. Nenarušují průběh prvotních a druhotných napětí po celé tloušíce st§ny, ale jen na j e j í Části, viz obr. la. Oblast špičkových napětí je označována jako oblast malé diskontinuity (oblasti II, obr. l a ) . Poměr složek špičkového napěti prvotního fĎ a druhotného napěti 6ÍÍ

6^ S^

k odpovídajícím složkám součtu představuje součinitel koncentrace (22)

Vznikne-li v místě špičkového napětí plastická deformace, je úzce lokální a nemůže způsobit nepřípustnou změnu tvaru konstrukce. Skutečný průběh napětí, obsahující špičková napětí (obr. 11, řez A-A), je možno nahradit napětím s lineárním průběhem. Je s ním ve statické rovnováze. Jde pouze o jiné rozložení napětí po průřezu ae stejnými statickými účinky. Při růatu zatížení se zvětšuje oblast plastických deformací a špičkové napětí se zmenšují. Při zvětšování statického zatíženi proto nemohou způsobit houževnaté porušení konstrukce. Neomezuje se tedy ani jejich velikost obr. 11 dovoleným napětím, jak je to u prvotních a druhotných napěti. Plastické deformace vzniklé v oblasti špičkových napěti mají při opakovaném zatížení vliv na nízkocyklovou únavu. Špičkové napětí je proto uvažováno pouze při výpočtu kumulace poškozeni konstrukce při nízkocyklové únavě.

V přizpůsobené konstrukci, třeba i ae součinitelem přizpůsobení kpm 2 vznikají plastické deformace proměnného znaménka a nízkocyklová únava, aváalc pouze v malé lokální oblasti špičkových napětí fy . Podíl středního napěti na nískocyklovou únavu se věak sníží. Tento efekt se více využívá v ASKE Code. Sovětská norma uvažuje podíl středního napěti ia nízkocyklovou únavu i v případě záporného tlakového předpětí. Sovětská norma uvažuje zvýšení koncentrace deformace při vzniku pružně plastických deformací v oblasti špičkových napětí. Činí tak proto, že dovolená amplituda fiktivního napětí je £ násobkem celkové deformace (elastické a plastické). Místo součinitele koncentrace JLO bere součinit e l fiktivních pružných napětí K§.

K
(23)

K& je součinitel koncentrace napětí v pružně plastické oblasti (při pružných deformacích /Cg- - £§• ),

3.4.

Přípustnost vzniku plastických deformaci v místě druhotných napěti

V místě druhotných napětí vzniknou plastické deformace proměnného znaménka při nedodržení podmínky u napětí 6^*-fi^, ( t j . 3 6^ nebo 2,5 6^ ) nebo j e - l i skutečný součinitel přizpůsobení kp < 2. místo v normě užitého kp = 2 • Součinitel kp < 2 je u složeného zatížení, kdy se v čase mění poměr a směr hlavních napětí. Jednoduché zatížení se vyznačuje tím, že u něho není poměr a směr hlavních napětí závislý na čase. Jak sovětská norma, tak ASME Code možnost vzniku plastických deformací (to je nedodržení dovolených napětí 2,5 6^ nebo .3 6j ) v oblasti druhotných napětí připouští. V této oblasti však nesmí nastat nepřípustné změna tvaru se zřetelem na funkci zařízení a vypočtená životnost musí být vyšší než požadované. Sovětské norma uvažuje stejný podíl plastických deformací v oblastech druhotných napětí i špičkových riapětí na nízkocyklovou únavu. ASME Code bere při r6j»+6"et)> 3 fy podíl plastických deformací v oblasti druhotných napěti na nízkocyklovou únavu až pětkrát větší, než podíl plastických deformaci v oblasti Špičkových napěti. Přihlíží přitom k poměru

4.

Daformační zatížení

Kromě silového zatíženi jsou tlakové nádoba a potrubí namáhány teplotním polem. Bránl-li se teplotním dilatacím, vzniká v konstrukci napětí. Není-li těleso rovnoměrně prohřáto, tzn. při spádu teploty po tlouStce stěny nebo ve smřru meridiánu nebo při rozdílném součiniteli teplotní roztažnosti spojených částí, vznikají v něm vnitřní síly, nutné k zabezpečení spojitosti deformací. Tato napětí mohou za předpokladu ideálního Prandtlova diagramu 6T- £ dosáhnout maximálně meze kluzu 6^ , velikost plastických deformací není omezena. ~ Při současnéia působení silového zatížení nepřispívá zatíženi teplotou ke statickému po-ušení pevnosti materiálu, přispívá pouze k jeho nízkocyklové únavě. Není proto nutné omezovat teplotní napětí dovolenou hodnotou, ale pouze je vzít v úvahu při vypočtu Životnosti. Toto tvrzení budeme demonstrovat na několika příkladech, u nichž předpokládáme platnost Prandtlova diagramu; protože jde pouze o vytvoření názoru na problematiku, neuvažujeme závislost ^ntiî^ n a teplotě. a) Kompenzační napětí

*

;__ ' -,

II _ p a

X

a) obr. 12 Mějme potrubí ukotvené na podporách (oboustranně vetknuté), obr. 12a. Při nulové síle P a růstu teploty dosáhne napětí meze kluzu 6w a a reakce R F ffw , kde F je plocha průřezu. S dalším růstem teploty se už napětí nezvětšuje, poroste pouze plastická deformace (bod B ) , obr. 12b. Po odlehčeni, které probíhá pružně, se vytvoří zbytková napětí F « - 6"Ät a plastická deformace opačného znaménka, zobrazená úsečkou CD. Při dalších cyklech zatížení s« napěti pohybuje v rozmezí < ~ ^ ř i ^ > a plastická deformace mění znaménko (úsečky BB, CD). V dalších cyklech se materiál chová elasticky jeátě při dvojnásobné teplotě než v prvním cyklu. Předpokládejme, že zvyšujeme teplotu, až napěti dosáhne meze kluzu 6^ a deformace hodnoty £^ . Nyní začneme potrubí v úseku I stlačovat silou P . Úsek II se začne postupně odlehčovat a v úseku I přebírá síla P

funkci reakce R zprava. Při síle P-2F (ľXi bude v úseku 1 napětí - 6\t a v úseku II napětí 6^t . Ke stejnému výsledku bychom dospěli, i kdyby potrubí net/ylo zatíženo teplotou. Potvrdilo se, že zatížení teplotou není nutno omezovat dovolenou hodnotou. Vznikly však plastické deformace, které mají vliv na nízkocyklovou únavu. Teplotní napětí diskutované v tomto příkladě řadí ASME Code i sovětská norma ke kompenzačním napětím. Kompenzační napětí se posuzují pouze u potrubí. ASME Code je posuzuje jako druhotné a sovětská norma dokonce jako prvotní s dovolenou hodnotou ^ Sj . Takto přísně jsou posuzována proto, Se vzniklé plastické deformace jsou při zamezení teplotních" dilatací konstantní po tloušťce stěny potrubí jak od osové síly, tak od ohyou a kroucení. Snaží se tím zabránit možné změně +varu, popřípadě vytvořeni příznivých podmínek pro ztrátu místní *či celkové stability. b) Teplotní napětí posuzovaná jako druhotná Jako druhotná posuzuje ASME Code i sovětská norma teplotní napětí: vyvolaná spádem teploty ve směru osy válcového pláště; napětí v oblasti velké diskontinuity tvaru; napětí ve spojích potrubí vyrobených z rozdílných materiálů a napětí způsobená gradientem teploty po tlouSíce plochého dna nebo víka.

rrr.

Plastické deformace od těchto teplotních napětí mají po tloušťce stěny lineární prů-

běh.

<ř 2 --
c) Teplotní napětí posuzovaná jako špičková Za špičková se považují teplotní napětí, která nemohou obr.-13 způsobit změnu tvaru nebo působí v malých lokálních oblaatech dostatečně od sebe vzdálených. Stejně jako obě předchozí kategorie není třeba je z fyzikálního hlediska omezovat dovolenou hodnotou. Ke špičkovým teplotním napětím náleží napětí způsobená gradientem teplot po tloušíce stěny válcové části tělesa, kulové části vík a den a napětí v malých oblastech přehřevu nebo ochlazeni.

- 23 -

5. Příklad Ke spodnímu eliptickému dnu tlakové nádoby je připojeno potrubí (obr. 14). Máme navrhnout tloušťku stěny hrdla. Výpočtový tlak je p = 14 0dn-32O MPa, výpočtová teplota 335 °C. Vnitřní průměr válcové části dna J) = 2400 mm, vnitřní průměr hrdla d = 320 mm, výSka klenutí dna h = 600 mm, vnější poloměr klenutí dna R = 2264,15 mm, tloušťka dna SN = 160 mm bez plátováni, přídavek c = 0, 2>'- 2 R = to JC = 4528,3 mm. Dno i hrdlo jaou z o c e l i 22 K. Při 110 «C je f w « = 430 MPa, CKi = 208 MPa, £ = 5 /; 1^5. ^n—= = 2,077 . 10 MPa, f = 48, při 0D-24OO 335 °C je G^ = 413 MPa, GKt u 5 = 183 MPa, E = 1,982 . 10 itPa, f = 43. Při teploto 2?.O ©c se obr nt = 320krát zkouška t ě s provádí

BtíPJL

mm*

•>

>

>

< >

nosti a pevnosti tlakem ps 20,5 MPa. Pracovní tlak Je 12,5 MPa, pracovní teplota 325 °C a počet pracovních cyklů n = 1000. Při zkoušce pevnosti a těsnosti je na vnitřním povrchu teplota o 3 až 5 °C vyšší než na vnějším povrchu. Pro zjednodušení zde přesné rozložení teplot neuvádíme. Při pracovním tlaku je spád teploty po tloušíce stěny zanedbatelný. Při teplotě 110 OQ je GJ, = 138,7 MPa, při teplotě 335 °C je § = 122 MPa.

5.1.

Kontrolní výpočet

Napětí jsou vypočtena programem RUP - RSU pro počítač DATA SAAB D-21. Vypracovala jej Laboratoř počítacích strojů VUT, Brno. Jde o výpočet rotačně symetrického t ě l e s a . Největší napětí byla vypočtena v řezu A-A, obr. 14. Jsou uspořádána do tabulky I. V časovém okamžiku £, je jb = 20,5 MPa a zatížení teplotním polem. V časovém okamžiku t je pouze p = 12,5 MPa.

Tabulka I . Řez A-A

V

MPa

MPa

Bod 1

420,0

334,5

0

2

191,6

270,2

3

76,2

4

202,3

159,9

58,3

. 94,9

135,3

24,6

209,4

34,0

44,3

11.9

46,2

161.9

-10,1

28,5

118,5 108,8

- 3,39

5

21,9

11.7

-42,5

14,4

100,2

-17,7

6

-2,69

40,7

- 2,05

-0,52

109,3

-12,5

0

(Tf (ľ (ľ jsou hlavní napětí; 6!, ve směru meridiánu, C v obvodovém směru a 6"3 ve směn1 tloušfky. Pro jednotlivé kategorie napětí vezmeme dovolené hodnoty podle sovětské normy /2/.

; —420.0 400

207,5

—3.46

obr. 15

- 25 -

r,-202.3

g- 3 ř s r -2.i8

-100

110,4

11

130,9

1,83 1,22

obr. 16 Na obr. 15 je vynesen průběh napětí v časovém okamžiku t7 a na obr. v časovém okamžiku T 2 , vypočtených programem RUP - RSU Jde o špičko16 vá napětí (včetně součinitele koncentrace &# ). Z nich jsme vypočítali a na obr. 15 a 16 čárkovaně vynesli linearizované napětí. Napětí budou posouzena've cvičení k semináři.

5.2.

Výpočet napětí za předpokladů tenkostenné skořepiny

Napětí ve dně a nátrubku jsme také vypočetli programem pro řešení tenkostenných skořepin MECP na kalkulátoru HEWLETT - PACKARD 9820 A. Abychom je mohli porovnat s napětími vypočtenými programem RUP - RSU pro řešení rotačních těles, vyneseme je na obr. 16 čercnovaně a označíme je indexem te . Dobrá shoda Je u napětí S^,e se 6Je . Obvodové napětí 6^. je však podstatně větší než linearizované napětí 6^ř vypočtené programem RUP - RSU. U řešeného přikladu je výpočet za předpokladů tenkostenné skořepiny na bezpečné straně. Otázkou zůstává, zda je to pravidlem.

6.

Závěr

Cílem příspěvku bylo seznámit konstruktéry a výpočtáře ze závodů s posouzením pevnosti zařízení podle ASME Code / I / a sovětské normy /
- 26 -

se jejich užitím dostatečného ekonomického přínosu proti méně pracnému návrhu tlouštěk, např. podle OSN 69 0010. Postupem podle ASME Code a sovětské normy však můžeme nejen posoudit vypočtené napětí, ale stanovit i životnost bezpečné a spolehlivé konstrukce.

7. . Literatura /I/

ASME Boiler and Pressure Vessel Code Section III. Rules for Construction of Nuclear Power Plant Components, 1974.

/ 2 / Normy rasčota na pročnosí elementov reaktorov, parogeneratorov, sosudov i truboprovodov atomnych elektrostancij, opytnych v issledovatélskich jaderných reaktorov i ustanovok, Moskva, Metallurgija, 1973* /3/ ČSN 69 0010 - Tlakové nádoby stabilní. /4/

KŘUPKA, V., VEJVODA, St.: Vypočet tlakových nádob přihlížející k jejich schopnosti přizpůsobit se přetížení. Strojírenství, 22, 1972, č. 2, s. 67 - 72.

/V

VEJVODA, St.: Praktické využiti teorie přizpůsobení při navrhování tlakových nádob. Strojírenství, 23, 1973, C. 7, s. 395 - 400.

- 27 -

POBOVNÁNÍ POUŽÍVANÝCH METOD VÝPOČTU NA NÍZKOCYKLOVOU ÚNAVU - Ing. Miloä Vlk, C S c , Ústav aplikované mechaniky VŽKO p ř i VA AZ, Brno

Přehled p o u ž i t é h o

označení

Ač

C

rozkmit a amplituda e l a s t i c k é

deformace

4 £

£

rozkmit a amplituda p l a s t i c k é deformace rozkmit a amplituda c e l k o v é deformace

6"a r i "ar

amplituda napětí rozkmit a amplituda fiktivního napětí

61

s o u S i n i t e l únavové pevnosti

£f

s o u S i n i t e l únavové t a ž n o s t i

(n j - — skutečná (logaritmická) tažnost y

kontrakce

S"F

lomové napětí

/V

poSet cyklu do lomu

W

tranzitní poSet cvklů

c

exponent únavové životnosti

b

exponent křivky životnosti

Hs

s o u S i n i t e l únavového zpevnění

JJ

teoretický souSinitel koncentrace napětí

o6g-

souSinitel,koncentrace napětí

jj

souSinitel koncentrace deformace

- 29 -

1.

Úvod

Opakovaná zatěžování (at Již silového nebo deformačního původu) vyvolávají v makroobjemu kovového materiálu jeho střídavou plastickou deformaci, která má za následek vznik lomu jako důsledek nlzkocyklové únavy. Toto nebe zpečí Je zřejmé nejen u klasických strojních součástí, ale též u tlakových nádob, potrubí a různých zařízení chemického a energetického průmyslu. Vzhledem k důležitosti, k ceně a k následkům možných havárií -těchto zařízení byly pro jejich konstrukci a posuzování vypracovány různé předpisy (např. /I/, /10/), které se od sebe poněkud liší. Porovnáme si proto stručně tyto směrnice nejen navzájem, ale též s některými jinými názory, přístupy a výsledky experimentálních zkoušek. Všimneme si především vyjádření 1. 2. 3. 4.

základní životnostní křivky, konstrukční únavové křivky, vlivu koncentrace napětí, vlivu stélé složky zatěžování.

2. Filozofie výpočtu Oba citované předpisy vycházejí z kategorizace napětí na primární, sekundární a špičková. Stejný je též postup výpočtu při určování intenzity napětí s použitím teorie maximálních smykových napětí a příslušné amplitudy napětí. Souhlasně též zavádějí pojem fiktivního napětí jako součinu celkové deformace a modulu pružnosti v tahu. Nerozlišují namáhání silového charakteru od namáhání deformačního charakteru.

3.

Základní křivka životnosti

Tímto pojmem budeme označovat křivku životnosti získanou zkouškami hladkých vzorků bez vrubů při souměrně střídavém cyklu zatěžování. Řídicím parametrem může být amplituda síly (tzv. měkké zatěžování) nebo amplituda deformace - celkové nebo její plastické složky (tvrdé zatěžování). Tento druhý případ je v oblasti nízkocyklové únavy daleko častější - nejen proto, že realizace tohoto režimu Je snadnější, ale též z toho důvodu, že amplituda plastické deformace je jedním z určujících parametrů únavového procesu. Celková deformace se skládá ze dvou složek - elastické a plastické (obr. 3.1); pro její amplitudy tedy platí 6

at

ř

' af +

e

ap.

(3.1)

Tyto složky deformace vyjadřují různé směrnice a různí autoři odlišným způsobem. Manaon / 8 / zjistil pro rozkmit plastické deformace

- 30 -

(3.2)

ů í. *P

kde H, z jsou materiálové konstanty. Obdobně pro rozkmit elastické deformace navrhli Smith, Hir8chber a Manson vyraz (-3.3)

E

kde <*, jf jsou materiálové konstanty. Tyto konstanty je možno určit experimentálně při zkouškách se dvěma úrovněmi rozkmitu deformace, při nichž se měří rozkmit napětí £ 4 £ e v závislosti na počtu cyklů. né výrazy: Coffin udává z - - ^2 předpokládá, že A íp = ír ; potom Je

Byly též navrženy přibližpřičemž pro N = '/f (tahové zkouška)

(3.4) Správnější by však bylo uvažovat pro N -tf'thodnotu A€p 'lit , neboli

(3.5)

A tř fW - íi .

log

0.9%

106

OBR. 3 . 2

- 31 -

log A Ep (SMĚRNICE = - 0 . 6 )

(SMĚRNICE =-0.12)

OBR. 3.3 Na základě rozboru experimentálních údajů byly též navrženy tvary ž i votnostních křivek, určených čtyřmi body (obr. 2.2) nebo na základě metody univerzálních směrnic (obr. 3.3) /7/, podle níž Je

-Ť

A £ -

(3.6)

Křivky životnosti můžeme též popsat (Morrow A / ) pomoci - závislosti amplitudy napěti na počtu cyklů do lomu (Wôhlerova křivka) (3.7) - závislosti mezi saturovanou amplitudou plastické deformace a počtem cyklů do lomu é

a P " j- U N)' .

(3.8)

Pro amplitudu celkové deformace pak dostaneme C* = —-f-

(3.9)

Se znalosti parametrů cvklické křivky napěti - deformace (3.10) pak můžeme navzájem převádět výsledky zkoušek při tvrdém a měkkém zatěžováni . Porovnáním dostáváme

b - n1 c .

- 32 -

(3.11)

Pro tranzitní počet cyklů

platí

tu nastane (3.12)

Tak pro ocel 11 523 je podle výsledků zäcoušsk /12/

Nt = 25 000 cyklů.

Langer /6/ zavedením pojmu fiktivního napětí (obr. 3.4)

= E £ at =* f fiy,

(3.13)

dále převzetím Coffinova vztahu (3.4) pro plastickou složku deformace a náhradou 6^ mezí ti na vy ^ dostává n

m-

(3.14)

Při vysokých počtech cyklů se tak prakticky nedopouští žádné chyby. Jinak je tonu při nízkých počtech, kde především při tranzitním počtu cyklů V É se dopouští větších chyb - vždy však na bezpečné straně.

OBR. 3-

Předpisy ASUS neuvádějí přímo analytický výraz pro únavovou křivku. Předkládají konstrukční křivky (s respektováním součinitelů bezpečnosti) pro různé typy ocelí. lyto křivky vycházejí z Langerova vztahu (3.13), přiléhají nejlépe experimentálně získaným bodům. Sovětské předpisy udávají dva výrazy pro určení amplitudy fiktivního napětí t a ) p r on i z k o u h l í k o v é n í z k o l e g o v a n é o c e l i s e

/<J^ £ 0 6

f>02

fU "a F

1-JL

b) pro uhlíkové nízkolegované oceli se

(3.15) i-r*

£ , /(T„ 1* /

rt

:

o,s (3.16)

- 33 -

Vysvětlení jednotlivých symbolů již bylo uvedeno v /li/. Je zřejmé, že výraz ad a) odpovídá pro r* =-1 Langerově rovnici. Porovnejme nyní životnostní křivky podle sovětských rovnic a ASMS s experimentálními výsledky získanými u čs. ocelí /12/. Pro tento účel si zvolíme ocel 11 523, jejíž základní charakteristiky jsou ~ 2 S* = 542 N ™mm"

«.~2 345 N mm'

§
hl_ejio»i

V = 68,6 %

1.16 -2

b

=

1132 N mm

tj = 0,871

-O,115

C = -0,579.

= "0,199 Příslušné křivky únavové životnosti jsou uvedeny na obr. 3.5. Zde znamená LA

- Langer (3.14)

£ = 0,35 £l it

MA

Mánson (3.6)

MO

Morrow (3.9)

SO

sovětská norma (3.16),

(oigj a -/

-1 10 ,M0 .MA

2

1Ď

N

OBR. 3.5

- 34 -

Číselné porovnání je v tabulce 3 . 1 . Je zřejmé, že přestože metoda univerzálních směrnic vychází ze závislostí získaných při statické tahové zkoušce, l z e j e j í výsledky použít s dostatečnou přesností pro inženýrskou praxi, nebot se podstatně necichylují od experimentálních výsledků a l e ž í přitom na bezpečné straně. Konzervativnější výsledky poskytuje Langerova rovnice. Bereme-li menší z hodnot sovětské normy (pro o c e l i se ó ^ / ô ^ ž Ofi dostáváme pro N < 10 000 výsledky Ještě konzervativnější než Langer. Tab. 3.1 Poměry

N LA/lfO

MA/UO

£at

<3.15>/UO

< 3.10/110

1

0,49

0,94

0,49

0,22

10

0,59

0,89

0,59

0,31

100

0,69

0,85

0,69

0,45

1 000

0,77

0,82

0,78

0,63

10 000

0,83

0,81

0,86

0,83

100 000

0,87

0,82

0,94

1.01

1 000 000

0,98

0,82

1,09

1,18

MA/UO

(3.15)/MO

(3.16)/MO

0,89 0,80 0,76 0,67 0,61

0,25 0,38 0,45 0,61 0,66

0,03 0,06 0,12 0,34 0,52

Poměry

£at 0,5 0,1 0,05 0,01 0,005

LA/UO

0,25 0,38 0,45 0,59 0,6C

N

4. Konstrukční únavová křivka Tuto křivku dostaneme ze základní křivky při uvažování součinitelů bezpečnosti pro amplitudu fiktivního napětí (resp. celkové deformace) % a pro počet cyklů nH Pro ocel 11 523 jsou tyto z á v i s l o s t i uvedeny na obr. 4.1. Součinitel bezpečnosti % je stejný pro obě normy ( = 2), zatímco riff volí sovětská norma menší ( nN = 10) než ASME ( nN = 20). Přesto jsou amplitudy deformace podle sovětské normy v ě t š í , a to především v oblasti nižších počtů cyklů. Pro oblast cyklů menší než kolem 10 000 je

- 35 -

rozhodující dovolená amplituda deformace určená pomocí počty pak pomocí součinitele «g- .

nN

, pro vyšší

Pro představu jsou tyto křivky doplněny konstrukční křivkou z experimentálních výsledků pro ocel 11 523 pro ng- = 2 a "v = 10.

EXPERIMENT • 3ÁÁ. (3-T5)

-145.(3.16)

ASME

Ipro 6^4552 N.mitf)

1Ô

3

1

-i

NT

10

5

10 6

OBR.

5.

Vliv koncentrace napěti

Obě porovnávané normy užívají hodnotu součinitele koncentrace napětí nezávislou na počtu cyklů. Výraznější je rozdíl T přístupu k otázce koncentrace napětí a deformace. Při výpočtu amplitudy fiktivního napatí uvažuje ASME vliv koncentrace zavedením teoretického součinitele koncentrace napěti (tvarového součinitele). Tento postup zdůvodňuje tím /3/, že koncentrace deformace je značně vyšší než koncentrace napěti pouze v případě, kdy nastává plné zplastizování okolí vrubu; tonuto nebezpečí je váak zabráněno omezujícími podmínkami pro přizpůsobení. U ostrých vrubů na ocelích nízké a střední pevnosti je déle tvarový součinitel výrazně vySSÍ než vrubový součinitel. Není proto třeba užívat vyěSÍ hodnoty tvarového součinitele než 5 pro konstrukční nespojitosti, popřípadě 4 pro koutové svary a závity. ASME tedy pokládá použití tvarového součinitele xa plně oprávněné a poskytující výsledky na bezpečné straně.

- 36 -

Pro analytické určení koncentrace napětí a deformace v elasto-plastické oblasti je možno užít. výraz, který odvodil Stowell a zobecnili Hardrath a Ohman /2/ A*

=

^

(5.D

nebo Neuber /9/

(5.2) Jejich porovnání je na obr. 5-1- Aplikujeme-li tyto teorie na cyklickou křivku napětí - deformace, dostaneme pro ocel 11 523 závislosti součinitele koncentrace deformace na nominálním napětí podle obr. 5.2.

STOWELL NEUBER

5-

i

10

1 f "r-í

OBR. 5 . 1

-I-

S výjickou malých koncentrací ( ětí bez uvažování kar.centrtee.

STOWELL — NEUBER

10

5

"

200

00

í N.mm2 ]

600

C.

OBR. 5 . 2 .

Pro oceli se S'tt/ff *0,6 vystupuje navic ještě ve výrazu (3.16) redukovaný součinitel koncentrace napětí U^)) r; na obr. 5.3 je naznačen jeho vliv na křivku životnosti pro ocel 11 523 (s uvážením % = 2 a »N « 10)

10*-

10

Lze tedy říci, že přistup ASME uvažuje menší amplitudy celkových deformací (a tedy i fiktivních napětí) než sovětský. Při hodnocení výsledného efektu je však ještě třeba brát zřetel na polohu užité konstrukční únavové křivky vzhledem k experimentálně zjištěným hodnotám. Velmi jednoduché je posouzení životnosti ns základ.5 Neuberoyy teorie, známe-li křivku životnosti hladkého vzorku a příslušnou cyklickou křivku. Lze snadno odvodit, že platí /14/ (5.3) Pro amplitudu nominálního napětí &atf určíme zákona, nebo z cyklické křivky napětí - deformace. Příslušná křivka pro ocel 11 523 Je na obr. 5.4.

- 38 -

bud* z Hook ova

10-

1-

OBR. 5. 'i. Vliv asymetrie cyklu Při vypočtu podle ASMS není třeba další korekce respektující vliv středního napětí cyklu. Tato okolnost je již zahrnuta v konstrukčních únavových křivkách, kde amplitudy fiktivního napětí jsou úmírně sníženy v oblasti vyšších počtů cyklů. Toto snížení je pro předpoklad maximálního možného přeápětí, jež se mlže vyskytnout. Lze tedy získané výsledky považovat za konzervativní. Sovětská norma redukuje u ocelí se S"Oí /6"*. - 0,6 oba členy rovnice pro fiktivní napětí (3.15) samostatně. V oblasti nízkého počtu cyklů je rozhodující první Sien a jeho redukce podle obr. 6.1 a, v oblasti vysokého počtu cy'
b)

OBR. 6.1 - 39 -

«0.6

102 10

10

OBR. 6.2 Uvažování asymetrie cyklu podle (3.16) pro o c e l i 3 vyšší mezí kluzu dává výsledky v rozporu s jinými zkušenostmi (obr. 6.3).

[N.mnň2] r = 0.8

10"

OBR. 6 . 3

- 40

Asymetria cyklu se zde objevuje nejen v násobné konstantě, ale též v exponentu

«i

.

Smith /13/ vychází z úvahy o rovnocenném vlivu cyklického napěti a cyklické deformace na únavový lom. Křivku životnosti pák popisuje jedinou funkcí ZY6"* + 6fl»] tat EJ* v 8 < N« J e m o ž n o J* P 8 ^ interpretovat různým způsobem - viz např. obr. 6.4 pro ocel 11 523.

10c

Literatura /I/

ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section I I I - Division 1, Rules for Construction of Nuclear Power Plant Components. 1974.

/2/

CREWS, J . H . , HARDRATH, H.F.: A Study of Cyclic P l a s t i c Stresses at a Notch Root.proceedings SESA, 23, 1966, 1, 313 - 320.

/3/

C r i t e r i a of the ASME Boiler anč Pressure Vessel Code for Design by Analysis in Sections I I I and VIII, Division 2. 1969.

/4/

FELTOER, C. E., LANDGRAF, R.tf.: Selecting Materials to Resist Low Cycle Fatigue. Trans. ASME, ser. D, Journal of Basic Engineering, 93, 1971, 4, 444 - 452.

/5/

KLESNU, M., LUKÁŠ, P. s Únava kovových materiálů při mechanickém namáhání. Academia, Praha, 1975-

- 41 -

/6/

LANGER, B.F.: DBsign of Preasure Vesaels for Low-Cycle F a t i g u e . Trans. ASME, s e r . D, Journal of Basic Engineering, 84, 1962, 389 - 402.

/!/

MANSON, S. S. • Fatigues A Complex Subject - Some Simple Approximations. Experimental Mechanics, 5, 1965, 193 - 226.

/8/

MANSON, S.S.:

/9/

NEUBER, H.: Ober die Berueksichtigung der Spannungskonzentration be i Featigkeitsberechnung. Konstruktion, 20, 1968, 7, 245 - 251.

Thermal Stresses and Low-Cycle F a t i g u e . New York, 1966.

/10/

Normy r a s í o t a na pročnost elementov reaktorov, parogeneratorov, sosudov i truboprovbdov atomnych reaktorov i ustanovok. Moskva, 1973.

/li/

POSPÍŠIL, B.:

/12/

SEMELA, F . , KLESNIL, M.: Cyklické p l a s t i c k é v l a s t n o s t i a nízkocyklová únava svaŕitelných ocelí za normálních t e p l o t . S t r o j í r e n s t v í 25, 1975, 6, 365 - 372.

/13/

SMITH, K.N.:A Mean Stress Function for Fatigue Crack propagation. Canadian Metallurgical Quarterly, 11, 1972, 2, 435 - 438.

/14/

TOPPER, T.H., WETZEL, B.M., MORROW, J . D . : Neuber 's Rule Applied to Fatigue of Notched Specimens. Journal of Materials 4, 1969, 1, 200 - 209.

Hodnocení pevnosti a životnosti s t r o j n í c h s o u č á s t í .

- 42 -

NOVĚJŠÍ POUŽÍVANÉ PRINCIPY HODNOCENÍ PEVNOSTI A ŽIVOTNOSTI STROJNÍCH DÍLO, ZEJMÉNA TLAKOVÝCH NÁDOB - I n g . B o ř i v o j P o s p í š i l , C S c . , Výzkumný ú s t a v závodů e n e r g e t i c k é h o strojírenství, Brno

1.

Úvod

Problém hodnocení pevnosti a životnosti je starý právě tak jako nauka o pružnosti. Bezprostředně s ní souvisí a je možné je považovat za dvě strany téže mince.

1.1.

Klasické hodnocení pevnosti Za dlouhá leta vývoje nauky o pružnosti se ustálil jednoduchý systém

hodnocení pevnosti strojních součástí, který v myslích většiny inženýru nabyl charakteru axiómatu, tj. pravdy, která je zcela nesporné a kterou není třeba vůbec dokazovat. Při vysvětlování filozofie klasického hodnocení pevnosti vyjdeme z diagramu tahové zkoušky {obr. 1.1).

<5

Obr. 1.1

Základní zákon, na němž je vybudována klasická nauka o pružnosti, je Hookeův zákon, který noino psát ve tvaru £ *

ĹL

.

(1.1)

U strojírenských materiálů je tento zákon splněn zpravidla v úseku mezi počátkem £ v závislosti 6" - t (obr. 1.1) a bodem A, který odpovídá napětí na mezi úměrnosti fi^fo, . S technickou přesností je možné platnost Hookeova zákona předpokládat až do meze kluzu 6^ (bod B ) . Klasický systém hodnocení pevnosti zavádí proto tzv. dovolené napětí, které nemá být ve strojních součástech přestoupeno. Dovolené napětí se odvozuje pomocí souSinitelů bezpečnosti od meze kluzu, popřípadě od meze pevnosti podle vztahů

Volba bezpečnosti /i* a (Upt má zaručit, aby materiál nebyl namáhán nad mez úměrnosti &4m * Bude-li tento požadavek splněn, dosáhne se těch' •• skutečností: a) výpočet podle Hookeova zákona odpovídá lineárnímu chování materJálu v úseku OA, b) v součásti nevznikají plastické deformace, o nichž bylo již dávno známo, že jsou příčinou rozrušování materiálu (řečeno moderními pojmy jsou příčinou nízkocyklové únavy materiálu), c) volba vhodné bezpečnosti vytváří rezervu pro zahrnutí odchylek předpokladů od skutečnosti (odchylný stav zatížení, odchylné rozměry součástí, odchylné materiálové vlastnosti od požadovaných). Klasický systém hodnocení pevnosti se udržel v mnoha aplikacích dodnes. Jeho výhodou je jednoduchost a značná spolehlivost. Jeho nevýhody je možno vyjádřit takto: a) materiál je zpravidla schopen snést určitou plastickou deformaci. Klasický systém hodnocení pevnosti vede proto k nižšímu využívání materiálu, b) bezpečnost

p.pt

nevyjadřuje bezpečnosti proti porušení,

c) klasický systém nedává návod pro hodnocení napětí ve vrubech a teplotních napětí, resp. aplikace klasického přístupu dává v těchto případech výsledky zřejmě nepřijatelně konzervativní.

1.2.

Hodnocení pevnosti a životnosti řešením mezních stavů

Všechny moderní ayatémy hodnocení pevnosti a životnosti vycházejí ze zásady, že součást musí vykazovat dostatečnou bezpečnost vůči všem mezním

a+avům porušení, do kterých se může při svém provozu dostat nekonečně mnoho mezních stavů porušení.

/I/. Je patrně

Ukázalo se však možné omezit se pouze na několik nejdůležitějších mezních stavů a jejich kombinací, které dostatečně vystihují možné mechanismy porušení součásti. Vezní stavy, které v dalším budeme uvažovat, jsou: a) mezní stav viskózního porušení, b) mezní stav porušení únavou, c) mezní stav porušení při creepu, d) mezní stav křehkého porušení, e) mezní stav ztráty funkční způsobilosti. Bylo by možno definovat další mezní stavy, které mohou být v některých případech důležité. Z mnoha dalších mezních stavů, kterými se nebudeme blíže zabývat, je možno jako přiklad uvést mezní stav porušení součásti korozí nebo jiným chemickým působením, mezní stav porušení součásti radioaktivním zářením 9pod. Vysvětlení fyzikálních principů jednotlivých mezních stavů porušení Je obsahem kapitol 2. až 7.

1.3.

Namáhání silového a deformačního původu

Jeden z důležitých poznatků, k nimž se dospělo asi před 20 lety, je poznání, že namáhání součásti se může dít dvěma způsoby, účinkem značně odlišnými. Pro vysvětlení namáhání silového původu uvažujeme tyč namáhanou tahem silou P (obr. 1.2). Průřez tyče budiž fc«*»

F .

lyč se poruší, dosáhne-li tahové napěti

£ "T

(1.3)

hodnoty meze pevnosti v tahu 6"-, It Deformace vypočtená podle Hookeova zákona by byla

T

^

P Obr. 1.2

(1.4)

Tato deformace neodpovídá deformaci při poruäení, kdy materiál je již mimo rozsah platnosti Hookeova zákona (obr. 1.3). Vypočtená deformace představuje pouze elastickou složku deformace £eg • Celková deformace bude podstatně větší. - 45 -

Obr. 1.3 U namáháni silového původu jsme při použiti Hookeova zákona sprévně vypočetli napětí při porušení, avšak vypočtená deformace je menší než skutečná deformace při porušení. Uvažujme nyní stejnou tyč o průřezu F , v níž vyvodíme tahové napětí tím, že ji upneme v zahřátém stavu do pevných čelistí na obou koncích a necháme vychladnout (obr. 1.4)• Deformace tyče bude

i

JL • ňľ

(1.5)

Ô napětí vypočtené podle Hookeova zákona 6" = £-«6Al

(1.6)

Hodnota součinu f 06 je pro určitý materiál dána. Volbou ůT lze dosáhnout toho, že vypočtené napětí 6" se bude rovnat mezi pevnosti materiálu 6^ . Na první pohled je stav namáhání tyče v obr. 1.2 a v obr. 1.4 totožný - obě tyče vykazují stejné napětí vypočtené podle Hookeova zákona. Rozdíl je však v ton, že v prvním případě ae tyč poruší, kdežto ve druhém případě nikoli. Obr. 1.4

V druhém případě jsme správně stanovili deformaci součásti, avšak napětí, vypočtené podle Hookeova zákona, bylo větší než skutečné. Vznikem plastické deformace se napětí omezilo (v nafiem případě přibližně na hodnotu meze kluzu). Toto omezení napití deformačního původu v důsledku plastické deformace ja důležitou charakteristikou napití deformačního původu.

- 46 -

Obr. 1.5 Uvažujme dále, že teplctní deformace b.v dosáhla hodnoty £/>t (obr. 1-5). Výpočtové napíti (podle Hookeova zákona) by několikanásobně přesáhlo maz pevnosti, avšak ani v tomto případě by se tyč neporušila. 2yč by se porušila teprve tehdy, kdyby teplotní deformace «6A7* dosáhla hodnoty tažnosti tyče ^ (obr. 1.5). = 20 % = 0.2, bylo by napětí Uvážíme-li, že tažnost oceli je napr. 0,2 = při porušení, vypočtené podle Hookeova zákona, 6" = £ £ * 20 000 = 40 000 MPa, což je o dva řády více než pevnost materiálu. Vidíme, Se při namáhání součáati deformačně vypočteme sice správnou hodnotu deformací, ale vypočtená napětí Jsou při použití Hookeova zákona mnohonásobně přehnána. Namáhání deformačního původu představují kategorii namáhání, která nelze posuzovat klasickou metodou hodnocení pevnosti. Hlavními představiteli namáhání deformačního původu jecu namáhání vzniklá teplotní deformací (teplotní napěti) a namáhání vzniklá vynucením kompatibility deformaci v místech tvarových diskontinuit (vrubová napětí). Poznámka'- Langer /2, 3/ zavedl pro napětí silového původu název primární napětí a pro napětí deformačního původu název sekundární napětí.

2.

Mezní stav vlakózniho porušeni. (Stav mezní plastické únosnosti)

Mezní atav viskózního poruäení je mezním stavem, který je nejbližší klasickému chápání hodnocení pevnosti. Do tohoto mezního stavu přejde součást, která je namáhána silově, nejsou-li vnitřní kohézni síly materiálu s to udržet rovnováhu s napětími, způsobenými vnějšími silami a reakcemi. Na rozdíl od klasického přístupu neuvažujeme rozložení napětí vzniklé v oboru platnosti Hookeova zákona, ale rozložení napětí v okamžiku porušení, které se v důsledku vzniku plastické deformace přerozdělilo. Jako nejběžnější případ uvažujme hodnocení ohybu nosníku podle klasického postupu a podle mezního stavu viskózního poruěení.

Obr. 2.1 Nosník o +louštce b namáhaný ohybem má v oblasti platnosti Hookeova zákona lineární průběh napěti po průřezu, Je-li v krajním vlákně napětí 61 bude ohybový moment dán známým vztahem (2.1)

t1n

Předpokládejme, že závislost C-£ materiálu nosníku je dána na obr. 2.2 (tzv. materiál bez zpevnění). Pak po překročení deformace na mezi kluzu se napětí omezí na hodnotu meze kluzu a v mezním případě se napětí rozloží po průřezu ohýbaného nosníku, jak je znázorněno na obr. 2.3.

Obr. 2.2

i m

'omttxm

Obr. 2.3

- 48 -

" mezní'

Pro ohybový moment, bude p l a t i t

ľl = Í.2vh i ÍZ i in

fr 0mezní

-í. 'O

. tdx

= 2 b O.mczni £ „,. 'I f J

'

n JO

(2.2)

*• ^ o,mezní I 1 o,tn&zni Z T 0lPiezni Rozdíl v dimenzování podle klasického postupu a podle mezního stavu viskóznlho porušení ukážeme na případu tažené tyče a ohýbaného nosníku. Bezpečnost proti porušení ft volme ft Pasiek ý způsob tyč, průř« F , sila

P ; napětí v tyči

r* P o = — F

<*Pt

nosník dovolené napětí

dovolený moment

4 %

•

*o • ífcr f ,,2 ~6~ *^

Hodnoceni : podle mezního stavu viskózniho porušení tyč únosnost

P

mo*

dovolená nosnost neboli

P ž

P

P £

t" pi*

ftMjf

PptF

nosník únosnost

ômai " If ®Pt ' "h

dovolená nosnost

Í1O *•

n

neboli ti o — " ^ Vidíme, že u tažené tyče dostaneme při volbě /I *ftpt stejnou dovolenou únosnost a oba postupy se liší pouze formálně. Proti tomu u ohybu nosníku pravouhlého průřezu dostaneme při hodnocení podle mezního stavu viskózního porušení únosnost o 50 % vyšší než podle klasického postupu.

- 49 -

Jak je patrno z hodnoceni podle mezního stavu viskozního porušení, bere toto v úvahu přerozdělení napětí, které předchází porušení a příznivěji hodnotí případy, kdy přerozdělení nastává.

2.1. Nejdůležitější výsledky teorie mezní plastické únosnosti Hodnocení pevnosti podle mezního stavu viekózního porušení přebírá v podstatě výsledky tzv. teorie mezní plastické únosnosti, která se používala běhea minulých 30 let. Ohyb nosníku, uvedený v předchozím odstavci, patří k základním poznatkům této teorie. Podle stejných zásad lze odvodit mezní únosnost různých profilů v ohybu,'"kruhu a další důležité případy. Charakteristickým prostředkem při odvozování mezní plastické únosnosti je používání zjednodušeného diagramu závislosti 6~-1 , jak byl uveden např. na obr. 2.2.

2.2. Mezní únosnoBt při skutečné závislosti &- I Jak bylo zdůrazněno v předcházejícím odstavci, pracovala teorie mezní plastické únosnosti zpravidla se zjednodušenou závislostí 6" - t . ?î použití reálnějších předpokladů (např. při použití ustálené cyklické závislosti 6'- £ ) lze ukázat, že zvýšení únosnosti v mezním stavu viskózního porušení je menší, než udává teorie mezní plastické únosnosti. /30/ ukazuje, že pro nosník obdélníkového průřezu se součinitel zvýšení mezní plastické únosnosti, který teoreticky má hodnotu 1,5, ve skutečnosti pohybuje pro různé materiály v mezích 1,33 až 1,43 a že jako bezpečnou hodnotu možno brát 1,3. Toto snížení nastane pochopitelně i při jiných průřezech a jiných způsobech namáhání.

3.

Mezní stav porušení únavou

Již koncem minulého století bylo známo, že součást opakovaně namáhaná napětím třeba i menším, než napětím běžně dovoleným, se může porušit. Po dlouhou dobu se řešení spatřovalo v tom, že součást vystavená opakovanému namáhání byla dimenzována na napětí s určitou bezpečností nižší, než tzv. mez únavy. Za mez únavy bylo považováno takové napětí, při němž materiál snese neomezený počet cyklů zatížení. U mnoha materiálů se později zjistilo, že u nich mez únavy vlastně neexistuje, a že závislost napětí na počtu cyklů (tzv, Wohlerova křivka) klesá i při počtu cvklů A/ > 70* . Nový pohled na únavu pochází od Coffina, který formuloval zákon poškozování únavou ve tvaru

(3.D

h ) - 50 -

kde

tp8 M C

amplituda plastické deformace počet cyklů do porušení funkce materiálu a teploty.

Tento Coffinův zákon má význam hlavně v oblasti tzv. nízkocyklové únatj. v oblasti počtu cyklů N = 1 až 10^. vy, 3.1. Langerův postup hodnocení únavy První inženýrsky použitelný postup hodnocení únavy materiálu podal Langer /2/, /3/. Langer vychází z těchto principů: a) Princip úměrnosti celkové deformace s výpočtovým napětím Langer konstatuje, že hodnota napěíí vypočtená na aákladě předpokladu platnosti Hookeova zákona neodpovídá v plastické oblasti skutečnému napětí, ale říká, že vypočtená hodnota napětí se rovné sjučinu celkové deformace í^ a modulu pružnosti v tahu £ . Tento součin čfc • £ (obr. 3.1) nazývá Langer fiktivním napětím. b) Použití srovnávacího napětí podle teorie maximálního smykového napětí Langer navedl ve svých výpočtech životnosti jako srovnávací napětí tzv. intenzitu napětí, která se rovná dvojnásobku maximálního smykového napětí. IntenObr. 3.1 zita napětí se při několikaosém stavu napjatosti vypočte jako největší absolutní hodnota rozdílu mezi třemi kombinacemi vždy dvou hlavních napětí. Např. jsou-li hlavní napětí

- 51 -

S, = 100 MPa,

<% = 300 MPa,

^ = -200 MPa,

pak rozdíly hlavních napätí Jsou =

| 100 -

=

1300 - (-200)|

6 - frj *

300 |

= |-200 |

= 200

= | 500 | = 500

I 100 - (-200)| = I 300 I = 300.

Intenzita napětí je v tomto případě 500 MPa. Použiti hypotézy maximálního smykového napěti zdůvodňuje Langer tím, že výpočet je jednodušší a konzervativnější než u Henekyho-Huberovy-Misesovy hypotézy, o níž však Langer uvádí, že je patrně přesnější. c) Langerova konstrukce únavové křivky Vzhledem ke svému postulátu (uvedenému ad a)), že vypočtené napětí je úměrné celkové deformaci, upravil Langer Coffinův vztah tak, aby na levé straně nebyle plastická deformace, ale fiktivní napětí, které je součinem celkové deformace a modulu pružnosti lt • B . Langer zkonstruoval vztah pro výpočet životnosti při únavě, který zní

Sa £ SI y

-

amplituda fiktivního napětí Bt. £ modul pružnosti počet cykia do porušení kontrakce při tahové zkoušce

S.i - Mez únavy.

První Člen na pravé straně značí plastickou deformaci násobenou modulem pružnosti, druhý člen vyjadřuje elastickou deformaci (konstantní v závislosti na poStu cyklů N ), opět násobenou modulem pružnosti, takže má charakter skutečného napětí. Člen vyjadřující plastickou deformaci ~in/Ťf & ~7T7T lze chápat jako Coffinův vztah C ~i= . Konstanta C je zvolena tak, aby pro N * -T— cyklu se amplituda plastické Jeforwace rovnala tzv. logaritmické tažnosti materiálu . J Logaritmická (neboli skutečná) tažnost je místní hodnota deformace v místě krčku na zkušební tyči v okamžiku porušení. Počítá se z kontrakce zkušební tyče po porušení. Langer předpokládá, že tahovou zkoušku materiálu možno považovat za zvláštní případ nízkocyklové únavy, kdy deformace je tak veliká, že porucha nastane na konci první čtvrtiny zatěžovacího cyklu. Kromě tohoto matematického vyjádřeni únavové křivky navrhl Langer také grafické vyjádření únavových křivek, které získal jako spodní obálku všech tehdy dostupných hodnot únavové životnosti. Byla publikována únavová křivka pro uhlíkové a nízkolegované ocali a křivka pro austenitická oceli.

Obě tyto křivky jsou ještě upraveny uvažováním bezpečnosti proti napětí fap - 2 a bezpečnosti proti počtu cyklu (U^= 20 a nazývají se v této úpravě konstrukčními únavovými křivkami= d) Uvažováni střední složky napěti Pro vyjádřeni současného působení konstantního (neboli středního) napětí, na něž je superponováno proměnné napětí, upravil Langer lineární Goodmánův diagram. (Diagram je nazýván buď modifikovaný Goodmanův diagram, nebo Langerův diagram -obr. 3-2).

Podle tohoto diagramu za přítomnosti střední složky napatí Sstf klesá dovolené střídavé napětí $a,doYz hodnoty Sa při nulové střední složce k bodu, který je v polovině mezi mezí kluzu a mezí pevnosti, až do bodu C. Odtud závislost klesá strměji pod úhlem 45 ° tak, že při střední složce rovnající se mezi kluzu není již dovoleno žádné střídavé napětí. e) Plastické přizpůsobení (shaka-do#n) Střední 3ložka napětí nesymetrického cyklu se zpravidla mění během cyklického procesu. Příčinou této změny je vznik plastických deformací. Větší vzniknou v té části c.vklu, v níž je větši absolutní hodnota součtu amplitudy a střední složky. Z teorie plastického přizpůsobení /!/ převzal Langer jednoduchou interpretaci, která rozlišuje tři případy: ea) mez kluzu je překročena pouze na jedné straně (rozkmit fiktivního napětí

- 53 -

Místo míjivého fiktivního napětí OA' nastane překročením meze kluzu omezení horního napětí na OB'. V dalších cyklech budou napětí a deformace probíhat po linii BC již čistě elasticky. Střední složka napětí poklesne z hodnoty OA 1 na (obr. 3.3) eb) aozkmit fiktivního napětí se rovná 2 SK V tomto mezním případě způsobí plastická deformace po překročení meze kluzu, Že cyklus bude symetrický a bude probíhat rovněž čistě elasticky (obr. 3.4) ec) Bozkmit fiktivního napětí > 16K (obr. 3.5) v

Obr. 3.3

tomto případě střední složka vymizí, cyklus bude probíhat symetricky, ale plastické deformace se bude opakovat v kladné i v aéporné části cyklu. Uv/.žování vlivu střední složky napětí podle bodu d) se děje s hodnotou střední složky, které byla stanovena po uvažování vlivu přizpůsobení. Z próvě uvedeného (z případu a) může být nejvýše -r*- .

také plyne, že velikost střední složky

f) Lineární pravidlo kumulace poäkozani Pro sečíténí účinků několika cyklických procesů s různými amplitudami a s různou četností použil Langer Jřinerovo lineární pravidlo kumulace poškození

t'J

- 54 -

kde

N - počet provozních cyklů

H, -

i -tého režimu počet cyklů do porušení v podmínkách i -tého režimu počet všech režimu zatěžování.

Langer ve svých publikacích /2/, / 3 / spojil hodnocení únavové pevnosti podle výše uvedených zásad s principem primárních a sekundárních napětí, vyloženým v kapitole 1. Jako jeden z prvních upozornil na to, že teplotní napětí a jiné napětí deformačního původu (tj. sekundární napětí podle jeho terminologie) není možno započítávat do napjatosti součásti při používání klasického postupu hodnocení pevnosti, a že sekundární napětí mohou způsobit poškozování materiálu pouze únavou.

Á

e

A

B'

/

0 /

/

C

C/ Obr.

1.4

3.2. K vybudování teorie poškozováni materiálu únavou přispěl podstatnou měrou Manson /4/. / 5 / Man8onova práce byla založena především na experimentech a jejich vyhodnocení. Mnoho úsilí věnoval hledání obecně platných matematických vztahů, které by mohly popaat únavové chování materiálu na základě malého počtu snadno dostupných údajů* - 55 -

Obr. 3.5

3.2.1.

Metoda univerzálních směrnic

•

Všeobecně známá a často používaná je jeho konstrukce únavové křivky, zvaná metoda univerzálních směrnic (obr. 3.6). Na obr. 3.6 jsou tři čáry, znázorňující závislost elastické, plastické a celVové" deformace na počtu cyklů do porušení. Závislost pro plastickou deformaci je podobná jako u Coffina

o,* N-V A Epg 2) /V

-

kde D = in -fa •

rozkmit (dvojitá amplituda) plastické deformace logaritmická tažnost počet cyklů.

- 56 -

(3.2)

Obr. 3.6 Místo Coffinovy konstanty C z j i s t i l Manson experimentálně hodnotu J)0'6, exponent u pofitu cyklů N , který u Coffins byl -0,5, upřesnil Kanson na ' 0 , 6 . Podstatným Mansonovým přínosem bylo experimentální zjištění závisl o s t i pro rozkmit elastické deformace ve tvaru -

3,5 fot N.-0,11

(3.4)

(Langer uvažoval elastickou deformaci konstantní, rovnající se mezi únavy). Závislosti pro elastickou a plastickou deformaci na počtu cyklů se v log - log souřadnicích jeví jako přímky. Součtem rozkmitů elastické a plastické deformace dostaneme rozkmit celkové deformace, který se již jeví jako křivka. A ti

(3.5)

Pro sestrojení diagramu čerpání životnosti únavou je třeba podle ří^nsona znát t ř i hodnoty: fr^ £ a y . Nevýhodou Mansonovy křivky j e , že nevykazuje mez únavy (na rozdíl od Langerovy).

3.2.2.

Cyklická kMvkr A & - A 6

Jsou-li z á v i s l o s t i elastické i plastické deformace na počtu cyklů reálným obrazem chování materiálu, pak vyloučením počtu cyklů N z těchto dvou rovnic získáme závislost á tci na tipl neboli po vynásobení &t*l modulem pružnosti 46* na A ipí , popř. AS" na AL^ z rovnic

N

-oji

<3.6)

(3.7) Vyloučením

^V dostaneme (3.8)

a po vynásobeni E

5,5 S

(3.9)

pt

Na obr. 3.7 je závislost nice.

na

A£t , sestrojená podle této rov-

A

4S«i /&£*

Obr. 3.7

Závislost vyjadřuje vztah mezi napětím a celkovou deformaci v průběhu cyklického namáhání materiálu. Na rozdíl od statické křivky & - it , zjištěné při tahové zkoušce, nejeví tato závislost žádnou prodlevu (mez kluzu) a probíhá zcela plynule. Pro výpočty v oblasti plastické deformace má tato křivka zásadní důležitost. Protože prakticky každá strojní součást je namáhána cyklicky, je tato křivka podstatně lepší a výstižnější charakteristikou materiálu, než statická křivka 6*"-£ , která mé opodstatnění pouze při jediném namáhání materiálu.

3.3. Morrowova formulace rovnice únavové křivky Přes množství vynaložené práce nepodařilo se Uansonovi prokázat dostatečnou přesnost své metody univerzálních směrnic. Urážalo se, že při větších požadavcích na přesnost je třeba součinitele a exponenty v rovnicích pro elastickou a plastickou deformaci určovat experimentálně pro každý materiál. Pro tento případ navrhl rovnice pro čerpání životnosti dnavou Morrow /6/ ve tvaru

$ ( )

e

b

tt - 4 (2N)

(3.10)

•

(3.11)

Tyto rovnice byly v poslední době všeobecně přijaty.

3.4.

Vliv plasticity na výpočet napěti a deformace

Přesnost všech dosud probraných metod vypočtu únavové životnosti je velmi podstatně ovlivněna přesností výpočtu skutečných napětí. Většinou je k dispozici pouze elastický výpočet napjatosti a s ním se používá Langerftv předpoklad, že lineárně (podle Hookeova zákona) vypočtené napětí odpovídá hodnotě celkové deformace, násobené modulem pružnosti 11 • E . Tento předpoklad ve skutečnosti neplatí příliš přesně. Východiskem k dosažení zvýšené přesnosti zdálo se být pouze použití výpočtu napjatosti, který bere v úvahu plastické chování materiálu. Takové metody výpočtu byly sice sestaveny a publikovány (např. na principu metody konečných prvků), ale jejich náročnost na strojový čas a velikost počítače brání jejich praktickému využívání. I když používáni takových metod je perspektivní vzhledem k rychle rostoucímu výkonu samočinných počítačů, ukážeme v dalším textu, že podstatného •presnení výpočtů životnosti při únavě lze dosáhnout i jednoduššími prostředky.

- 59 -

i

3.5.

Neuberův princip

Neuber v roce 1958 teoreticky odvodil /7/, /&/ za určitých zjednodušuj í c í c h předpokladů, ie v oblasti vrubu platí tento vztah mezi napětím (nebo elastickou deformací) a celkovou deformací: )

vrub

-

d.

(3.12)

Součin ($"• l^)w»b znamená hodnotu skutečného napětí a skutečné celkové deformace ve vrubu. Součin (Gtt)nevrub znamená obdobné veličiny, které by v součásti vznikly, kdyby nebylo účinku vrubu, á je teoretický vrubový součinitel. Tento princip byl experimentálně ověřen a jeho platnost potvrzena pro váechny typy vrubů. Je možno si všimnout, že při čistě elastickém napětí ve vrubu bude

h - Ut - -f

a Neuberův princip přejde v klasický vztah °vrub

"

*

"^ ' ^ntvrub'

Neuberův princip lze použít ke zpřesnění výpočtu životnosti součásti s vrubem /9/. Závislost (£«« - í t ) 1 lze totiž zakreslit jako další křivku do únavového diagramu Manaonova typu (obr. 3.8).

Obr. 3.8

- 60 -

Čárkovanou křivku, která v log souřadnicích půlí vzdálenost mezi křivkou elastické a celkové deformace, budeme nazývat křivkou směrodatné deformace ť$n (též Neuberovou křivkou). Podle Neuberova principu není deformace vypočtená v kořeni vrubu lineárním výpočtem (na základě platnosti Hookeova zákona) ani elastickou deformací i^t ani celkovou deformací £t Ja* předpokládá Langer, ale tato hodnota je směrodatnou deformací

Je patrné, že v oblasti vrubu Langerův předpoklad k podcenění účinku vrubu. 3.6.

([{„ • Et

vede

Smithovo pravidlo pro ocenění vlivu namáháni (střední) složky cyklu

Pro vyjádření vlivu střední složky cyklu bylo vypracováno (kromě již uvedeného Langerova - Ooodmanova diagramu) několik dalších rovnic. Z nich vykazuje dobrý souhlas s experimenty zejména Smithův vztah /1O/. Pospíšil /9/ ukázal, že tento vztah lze upravit do tvaru formálně velmi podobného Neuberově principu

1 6- J

(3.14)

je součinitel asymetrie cyklu Q'

- absolutně maximální napětí cyklu (skutečné, nikoli fiktivní)

£*

- amplituda napětí cyklu (opět skutečné napětí).

Pro symetrický cyklus tyj^ = » pro míjivý cyklus v tahu

;

y ™ v ~ 1,11

pro míjivý cyklus v tlaku tf> = 0* Součinitel asymetrie *9 lze takto formálně považovat za rovnocenný vrubovému součiniteli <6 .

3.7.

Zobecnění Neuberova principu pro výpočty životnosti při únavě

Pospíšil /9/, /li/ ukázal, že Nuberův princip lze užít i pro jiné situace, než je namáhání ve vrubu. Neuberův vztah pro směrodatnou deformaci

- 61 -

upravil do obecnějšího tvaru

t Pro

- lineárně (pomocí Hookeova zákona) vypočtená deformace. n--j- přejde rovnic* (3.16) do rovnice (3.15).

Propočtením různých případů namáhání metodami zahrnujícími velmi přesně vliv plasticity se zjistilo, že v místě maximálního výpočtového napětí platí vztah (3.16) s těmito hodnotami exponentu m : m *i

pro namáhání silového původu rovnoměrně rozložené po průřezu,

m - 0,5 pro namáhání silového původu nerovnoměrně rozložené po průřezu a pro namáhání ve vrubech, m - 0,1 pro namáhání deformačního původu (teplotní napětí). Hodnoty m jsou zaokrouhleny tak, aby výpočet byl na bezpečné straně. Použití zobecněného Neuberova principu dovoluje stanovit v nejvíce namáhaném místě součásti podstatně přesněji životnost (než při použití Langerova předpokladu) i bez pracného elastoplastického výpočtu napětí a deformací.

4.

Mezní stav porušení při creepu

Výpočty životnosti při creepu, které jsou zavedeny hlavně u parovodu, přehříváků a jiných potrubí pracujících za vyšších teplot, jsou dnes dobře zvládnuty. Jsou však omezeny na případy převážně rovnoměrného rozložení napětí po průřezu, které dává možnost přímé aplikace hodnot naměřených při creepových zkouškách. Výchozí experimentální hodnotou pro tyto výpočty je dlouhodobá pevnost při dané teplotě, která je definována jako nominální napětí ve zkušební tyči,při němž se za T hodin při dané teplotě tyč přetrhne. Hodnoty dlouhodobé pevnosti zateplá bývají udány zpravidla pro V = 10 4 a T = 10 5 hod. Tyto metody však nelze použít v případech, kdy napětí není po průřezu rovnoměrně rozloženo. Při těchto odolnostech lze za obecně použitelnou metodu považovat např. přírůstkovou metodu popsanou již v klasickém článku Mendelsově, Hirschfeldově a Mansonově /12/. Při řešení ohybu nosníku při creepu lze použít analyticko-numerickou metodu, kterou popsal Berlinger /13/. Oyto metody, a zejména první, vyžadují však řešení napětí a deformací v obořil plasticity a vedou proto buá k nutnosti omezit řešení na jednoduché případy, nebo u složitějších použít např. metodu konečných prvků s iteračnlm řešením plastických deformací, což je pracné, drahé a ne vždy schůdné.

- 62 -

4.1.

Výpočet creepové deformace

Pro vypočet creepové (plastické) deformace je možno použít Nortoncvu rovnici

ícr - B -S"

(4.1)

£

- rychlost creepové deformace

/"l/hodJ

S

- působící napětí

Rtn

- veličiny, které je možno považovat pouze za funkci teploty.

[liPa]

Z daných experimentálně určených hodnot napětí, vyvolávajících creepovou deformaci např. 1 % při dvou časech, např. ť = 10* a T = 10 5 h a při dané teplotě, stanovíme konstanty B a n takto:

(4.2)

0,01

B

105

to'

Po logaritmování vypočteme

„ . H *»

to*

(4.3)

loq,

"

/Ó*

i%t10*

(4.4)

.

Rovnice (4.1) popisuje s technicky postačující přesností tzv. sekundární stadium (ustálené stadium) creepu (viz obr. 4.1).

prirmr.

croon

i

j * *

sekundárni creep

Obr. 4.1

- 63 -

terciární craapi

Primární stadium (zrychleného) creepu lze zpravidla ve výpočtech zanedbat. Důležité však je, aby deformace C(r = 1 2 , kterou používáme ve výpočtu 3 a n , byla ještě v oblasti sekundárního creepu. Tento předpoklad bývá u ocelí splněn.

4.2.

Mezní creepové deformace

Je-11 součást poškozována creepem, bývá nutné stanovit nezní přípustnou creepovou deformaci. Manjoine /14/ uvádí celkem 21 různých ukazatelů tažnosti, jež by bylo možné použít k tomuto účelu. Patrně nejvhodnějšími ukazateli poškozování Jsou pro jednoosou napjatost: ve vrubech: deformace redukované na nulovou délku Z ol = — r *

(4.5)

7 - ymimo vruby: logaritmická tažnost

£ fc

- -7?T

•

(4.6)

Při několikaosé napjatosti nutno hodnotu přípustné deformace dělit součinitelem tříosoeti ST

(4.7) f Tažnost materiálu klesá a dobou expozice účinků creepu (klesá s klesající rychlostí deformace), co?, je nutné mít na zřeteli při přenášení výsledků měření tažnosti při tahové zkoušce na pomalé deformační účinky při creepu.

4.3.

Pravidla kumulace poškození při creepu

Při skládání účinků poškozování při creepu bylo navrženo nakolik pravidel kumulace poškození, z nichž mají význam hlavně tato dvě: Pravidlo pro skládání časových podílů

(time fractions rule)

k T

doba expozice účinků creepu při určité teplotě a napětí

£-. doba do lomu při +éže teplotě a napěti.

- 64 -

Pravidlo pro skládání deformaci

rychlost creepové deformace při určité teplotě a napětí doba expozice účinku dané teploty a napětí mezní deformace při poruäení.

4.4.

Zobecněný Neuberův princip při výpočtu creepové deformace a napgti

Ugorskij /15/, /16/ upozornil na použitelnost Neuberova principu pro výpočet creepové deformace v oblasti vrubu. Pospíšil /li/ ověřil, že Neuberův princip lze zobecnit obdobně jako při řešení únavového poškozování. Zde uvedeme hlavní výsledky bez odvozování. Základní vztah pro Neuberův princip při creepu zní fm T c-

a r ^f

Gífa

lineární vypočtené napětí v nejvíce namáhaném místě součásti

5"

napětí v čase V

3, n

s o u č i n i t e l a exponent Nortonovy rovnice

£

iaočlul pružnosti

So

počáteční napětí

n\

eyponent, p r o k t e r ý byly z j i š t ě n y

t y t o hodnoty:

m= 1

p r o namáhání s i l o v é h o původu rovnoměrně r o z l o ž e n é po průřezu

"J = 0;66

p r o namáhání s i l o v é h o původu nerovnoměrně r o z l o ž e n é po průřezu

m =0,5

P i < 0 namáhání ve vrubech

m = 0,1

Pro

namáhání deformačního původu ( t e p l o t n í n a p ě t í ) ,

odpovídá t z v . r e l a x a c i .

Vztah pro dobu poklesu napětí z 6~0 na 5" Je (4.11) Creepová deformace při přechodu z napětí 4

«--r

£ na

>'"' ~s • - 65 -

Napětí, na které poklesne z počáteční hodnoty iterační rovnicí /j-

Sr $

"r

-r

L

č£

za čas T , vypočteme

* BET (

odhadnutá hodnota napětí .

zlepšená hodnota napětí,

pro technickou přesnost stačí tři až pět iterací. U namáhání silového původu rovnoměrně rozloženého po průřezu vyjadřuje rovnice (4.10) při použití exponentu m = 1, že napětí zůstává konstantní - nemění se s časem. Deformaci vypočteme pomocí Nortonova zákona

lu - ícr -t - í f t

.

(4.14)

U namáhání sílového původu nerovnoměrná rozloženého po průřezu (např. ohyb nosníku) nastává přerozdělování napětí, které v krajním vlákně vypočteme podle vztahů (4.11) až (4.13) při použití exponentu m = 0,66. Přerozdělování skončí, poklesne-li napětí v krajním vlákno na hodnotu přerozděleného napětí

(4.15)

(L*

napětí v krajním vlákně po přerozdělení

fr0

počáteční napětí

k

součinitel mezní plastické

%

součinitel, který má hodnota asi 0,7.

únosnosti

Jakmile skončí přerozdělení, pokračuje creepová deformace podlý Nortonova zákona

Ée, -

^ -r -

B#

r

.

(4>16)

Ve vrubu nastává obdobně přerozdělení napětí v nejvíc3 namáhaném iri^í-í podle vztahů (4.11) až ( ( . 1 3 ) , přičemž exponent m = 0,5. Přerozdělen.! skončí, jakmile napětí poklesne na hodnotu

fy = [ 1 + Ýo (<•- O j
I

teoretický vrubový součinitel

(A

možno urát ľ o vně ž tí> = 0 ?•

(4.17)

Při napětí deformačního původu nastává přerozdělování teoi-etic1:-/ nekonečné dlouho. Pro výpočet napětí a deformace použijeme opět rovnice -.4.11) až (4.13) s exponentem m = 0,1.

5.

Mezní 8+av ľahkého poruSeni

Křehké porušení (porušení bez vzniku patrné plastické deformace) vzniká ve strojních součástech, které zejména a) b) c) d) e) f)

pracují při nízkých teplotách Jsou rozměrné mají vnitřní vady mají nízkou hodnotu lomové houževnatosti {nebo vrubové pevnosti) Jsou namáhány několikaose jsou zatěžovány velkou rychlostí.

Křehký lom vzniká a šiří se tehdy, je-li energie elastické deformace uvolněné v tělese při vzniku trhliny větái než práce potřebné k vytvoření trhliny. Metody posuzování křehkého lomu lze rozděii* a) na metody založené na přechodové teploté křehkosti, b) na metody založené na lomové mechanice.

5.1.

Přechodová taplota křehkosti (NDT = Nil ductility temperature)

Přechodová teplo+a křehkosti se zjišťuje zkouškami vzorkft rázovým namáháním při různé teplotě. Při teplotách nad t^. je porušení vzorku provázeno plastickou deformocí, pod t V ů r plastická deformace vymizí. Druhé

možnost stanovení É W ů r spočívá v měření tzv. součinitele lomové houževnatosti KIQ (rozměr ľ.TPa fm - v americké literatuře Ikůfiň' ~ 1,099 igPafřň který při dosažení tNDT prudce poklesne. Pro zabránění vzniku křehkého lomu nutno zabezpečit provoz součásti s jistou bezpečností nad t N O T . Pokud to není možné, je nutné podstatně snížit dovolená napětí. Pro posouzení dovolených napětí je v oblasti křehkého porušování směrodatné maximální hlavní napěti (tedy ne srovnávací napětí podle hypotézy HMH (Huber - Mises - Hencky) nebo podle hypotézy maximálních smykových napětí).

5.2.

Posuzování nebezpečí křehkého lomu zalomené na mechanice lomu

Mechanika lomu (lomová mechanika) představuje dnes velmi rozsáhlé vědní odvětví, Jehož výsledky se již zvolna dostávají do praxe /18/ až /21/. Pro řeSení nebezpečí křehkého poruáení prostředky lomové mechaniky je třeba znát nebo předpokládat velikost a tvar vady v tělese, z niž by se mohl křehký lom Sířit. Pro danou vadu a pro daný atav napjatosti v okolí vady se vypočte prostředky lomové mechaniky tzv. faktor intenzity napětí A"j. Ten se pak por-ovnává R hodnotou loi.iové houževnatosti ^M dune teplotě KJC . Tento postup lze použít i při posuzování nebezpečí větž.ích vad při teplotách na t

WPT

6.

Mezní stavy ztráty funkční způsobiloati

Sem zařazujeme zpravidla vznik tak velkých deformací, že součást nemůže plnit úkol, pro který byla zkonstruována. Např. creepová deformace lopatky turbíny, která by vedla ke ztrátě vůle mezi lopatkou a statorem, je takovým mezním stavem ztráty funkfiní způsobilosti. Dalěí příklady s deformace příruby, která zpisobí Její netěsnost, deformace šroubového spojení potrubí, které způsobí netěsnost, deformace turbínové lopatky, která způsobí změněné proudění a pokles účinnosti stroje. Součásti, jejichž tvar a rozměry jsou funkčně důležité, musejí mít de-' formace omezeny na nižší hodnoty," než odpovídá např. požadavkům životnosti při creepu.

7.

Interakce jednotlivých mezních stavů

Pokud je součást pod takovým účinkem zatížení a teploty, že poš'cozování nastává několika mechanismy současně, hovoříme o interakci mezních stavů. Zpravidla lze předpokládat, že každý mechanismus poškozování působí nezávisle na druhém. Pak by nebylo třeba věnovat jevu příliš pozornosti, neboí by stačilo zvléší provést kontrolu na jednotlivé mezní stavy a čerpání životnosti od jednotlivých mechanismů poškozování sečíst. Tak postupovali např. Berry a Johnson /22/, kteří jednoduše sečetli poškozování, vzniklá při spoluúčasti únavy a creepu (rotory parních turbín). Manson /5/, /23/ poukázal na skutečnost, že při spoluúčasti únavy a creepu probíhá poškozování rychleji, než by odpovídalo prostému sečíténí účinků od únavy a creepu. Výsledky svých experimentů shrnul do jednoduchého "10% pravidla", které říká, že životnost zjištěná při únavě se zkrátí na 10 %, pracuje-li součást při teplotě rozvinutého creepu. Oba tyto postupy jsou příliš zjednodušené. První postup (Berry a Johnson) míze dát v určitých případech přijatelný souhlas se skutečností, protože při hodnocení creepu používá ve vrubu elastické napětí - neuvažuje snížení napětí při přerozdělení - a poškozování creepem tedy přeceňuje, zatímco neuvažuje žádnou interakci mezi únavou a creepem, čímž celkový účinek podceňuje. Oba efekty se mohou navzájem vyvážit. "10% pravidlo", které formuloval Manson, platí přibližně pro cyklické rovnoměrné silové namáhání a pro teplotu trvale v oblasti creepu a představuje proto spíše určitý limitní případ. Hodnocení interakce mezi únavou a creepem se míze v současné době opřít o tyto skutečnosti: a) Campbellovo pravidlo o sumaci poškození při únavě a creepu, b) účinek přerušování na růst creepových deformací, c) účinek creepu na změnu střední složky cyklu.

- 68 -

7.1.

Campbellovo pravidlo o sumaci poškozeni při únavě a creepu

2 experimentálního materiálu formuloval Campbell /24/ pravidlo, že při použiti lineárního pravidla kumulace poškození v únavě a creepu mé pravá strana pouze při únavě nebo pouze při creepu hodnotu 1 , avšak při stejném čerpáni při únavě a při creepu dosáhne pravé strana hodnoty pouze 0,6.

7.2.

tŕčinek přeručíváni na růst creepových deformaci

Williams a Leckie /25/, opírajíce se o líitrovu a McLeanovu teorii, vysvětlují přerušovaný creep takto: při změně zatíženi součásti se také změní soustava vnitřních sil materiálu, avšak s určitým zpožděním, které u některých auateni+ických ocelí bylo stanoveno asi na 40 až 70 hodin. Uvedeme-li součást do podmínek pro vznik creepu, nejsou vnitřní síly zpočátku v rovnováze s vnějšími a creep probíhá rychle. Při odlehčení se zmenší vnitřní síly a při novém zatížení vzniká opět zrychlený creep. čas

Williams a Lackie odvodili, že při době cyklu kratší než uvedený poloí" Je možno výslednou hodnotu creepové deformace udat mezemi 2 L (itr • rc

ícr £ if I

rychlost creepové deformace podle Nortonova zákona doba působení účinku creepu celková doba (creep + přestávky) výsledná creepová deformace.

Je-li doba expozice účinků creepu menší než polovina celkové dobý procesu, pak výsledná creepová deformace je dvojnásobná než udává lineární pravidlo kumulace. To je v souhlase s pravidlem udaným v 7.1. (vyčerpá-li se 1/3 životnosti únavou a 2/3 creepem, pak při použití lineárního pravidla vychází 1/j únavou + 1/3 crwepem = 0,66).

7.3. Účinek creepu na změnu střední složky cyklu Při hodnocení interakce mezi creepem a únavou není možné opomenout vliv creepu na změnu střední složky napětí cyklu. Důležitost tohoto jevu osvětlíme .ímto příkladem: stěna nádoby je střídavě ohřátá na teplotu, při níž vzniká creep, a pak zvolna ochlazena. Ve stěně vzniká teplotní napětí míjivé v tlaku. Při použití Smit.hova vzorce pro hodnocení asymetrie cyklu vychází, že cyklické namáhání nezpůsobí poškození. Ve skutečnosti poškození vzniká (ocelářské kokily). Pftsobením creepu se postupně snižuje tlakové předpětí (lépe řečeno maximální tlakové napětí cyklu). Po určité době se cykl

- 69 -

synietrizuje a dokonce je možné, že ee stane asymetrickým do tahu. Touto změnou střední složky cyklu vzrůstá postupně čerpání životnosti za jeden cykl z nulové počáteční hodnoty až do určitého maxima, při němž nastane porušení.

Literatura /l/

ONDRÄČHC, E.,

A.: SNIL, 1973

/2/

LANGER, B. ?.'• Design Values for Thermal Stress in Ductile Materials. Weldig Journal - Welding Research Supplement, Sept. 1958, s t r . 411

/3/

LANGER, B. F . : Design of Pressure Vessels for Low-Cycle F a t i g u e . Trans. ASME Jour, of Basic Eng., Sept. 1962, s t r . 389

/4/

MANSON, S. S.: Thermal Stress and Low Cycle Fatigue, Me Graw H i l l Book Co, 1966

/5/

MANSON, S. S. s Interfaces between Fatigue, Creep and Fracture. Proc of Int. Conf. Fracture Sendai, Japonsko, 1965, Int. Jour. Fr. M«ch., Vol. II, No. 1, March 1966

/6/

MORROW, Jo Dean: Cyclic plastic S+rain Energy and Fatigue of Metals

FARLIK,

Mezní stavy v pevnostních výpočtech.

/!/ NEUBER, H.:

Theory of Stress Concentration for Shear - Strained Prismatical Bodies with Arbitrary Nonlinear Stress - Strain Law; Trans. ASME Jour, of Appl. Mech., Dec. 1961, str. 544

/&/ NEUBER, H.:

Uber die Berucksichtigung der Spannungskontraction bei Festig'ceitsberechnungen, Konstruktion, 1968, str. 245

/9/

Zobecnění Neuberova principu směrodatné deformace k výpočtům v oblasti střídavé plastické deformace. Strojírenství 2/1975, str. 74

POSPÍŠIL, B.:

/10/ SMITH, K. N.:

A Mean Stress Function for Fatigue Crack Propagation Canadian Metalurgical Quarterly, Vol. 11, No 2, 1972, str. 435

/H. / POSPÍŠIL, B.:

Využití Neuberova principu směrodatné deformace při výpočtech v oblasti plastických deformací. Výzkumná zpráva VUZES, říjen 1975

- 70 -

/12/ MENDBLSON, A., HIHSCHBEBG, M. H., MANSON, S. S. s A General Approach to the Practical Solution of Creep Problems, Beans. ASME, Jour, of Basic Eng., Dec. 1959, str. 585 /13/ BEGLINGER, V. s

Der Einfluss elastischer Spannungsspitzen auf die Lebensdauer biegebeanspruchter Balken im Kriechgebiet, Turboforum 3/1973, str. 155

/Í4/ MANJOINE, M. J.: Ductility Indices at Elevated Temperature. Trans ASME Jour, of Eng. Mat. and Technology, April 1975, str. 156 /15/ UGORSKU, A. E. •- Ocenica mayimalnych naprjaženij na kontuře vykružek T - obrazných chvostov lopatok turbin, Energomaáinostrojenije 1967, No 4, str. 13 /16/ UGORSKIJ, A. E.: Ocenka dlitelnoj statičeskoj pročnosti T - obrazných chvostov lopatok turbin; Energomašinostrojenije, 1968, No 1, str. 35 /17/ UGORSKIJ, A. E.i Koncentracija naprjaženij v uslovijach polzučesti pri ro8tjaženiji s izgibom plaskich dětalej, Energomaáinostrojenije 5/1974, str. 4 /18/ LOSS, F. J., HAWTHORNE, J. R., SERPAN, C. Z.: A Reassessment of Fracture - Safe Operating Criteria for Reactor Vessel Steels Based on Charpy - V Performance Trans. ASME, Jour, of Basic Eng., June 1971, str. 247 /19/ MAYER, T. R., YANICHKO, S. E.: Use of Fracture Mechanics in Reactor Vessel Surveillance Trans. ASME, Jour, of Basic Eng., June 1971, str. 259 /20/ MERKLE, J. G. '• Fracture Safety Analysis Concepts for Nuclear Pressure Vessels, Considering the Effects of Irradiation Trans. ASME, Jour, of Basic Eng., June 1971, str. 265 /21/ CLARK, W. G.:

Fracture Mechanics and Nondestructive Testing of Brittle Materials Trans. ASME, Jour, of Eng. for Industry, Feb. 1972, str. 291

/22/ BERRY, W. R., JOHNSON, I.s Prevention of Cyclic Stress in Steam Turbine Rotors, Trans. ASME, Jour, of Eng. for Power, 3/1964, str. 361 /23/

KANSON, S. S.:

A simple Procedure for Estimating High - temperature Low-Cycle Fatigue, Experiment. Mechanics, 8/1968, str. 349 - 71 -

/24/

CAMPBELL, B. D.:

Creep/Fatigue Interaction Correlation for 304 Stainless Steel Subjected to Strain - Controled Cycling With Hold - Times at Peak Strain, Trans. ASME, Jour, of Eng. for Industry, Ncv. 1971, s t r . 887

/25/

WILLIAMS, J. J . , LECKIB, F. A.: A Method for Quantifying Creep Strain Due to Cyclic Stress. Trans. ASME, Jour, of Appl. Mech., Dec. 1974, str. 953

/26/

ASMg, Boiler and Pressure Vessel Code, Nuclear Vessels - Section I I I ASME, N. York, 1963

/27/

Normy rasčeta na pročnost elementov reaktorov, parogeneratorov sosúdov i truboprovodov atomnych eiektrostancij opytnych i issledovatelskych jaderných reaktorov i ustanovok. Metalurgia, Moskva, 1973

/28/

ASME Boiler and Pressure Vessels Code, Nuclear Vessels, section I I I . ASME, N. York, 1974

/29/

Interpretations of ASME Boiler and Pressure Veaael Code - Case 1331 - 7, June 1972

/30/

POSPÍŠIL, B.:

Ocenka osnovnych princípov soprotivlenija materiálov. Sborník VI. konference Parní turbíny velkého vylconu, Plzeň 1975

- 72 -

JEDNODUCHÉ APLIKACE METODY KONEČNÝCH PBTgcfl PBO TLAKOVá NÁDOBY -

1.

Ing. J o s e f V y k u t i l , Ú s t a v a p l i k o v a n é mechaniky VŽKG p ř i VA AZ, Brno

Úvod

Metoda konečných prvků (MCP) je v současné době nejefektivnější metodou výpočtu kons+rufccí všeho druhu. MKP je Účinné pro řešení širokého pole inženýrských a fyzikálních problémů. Úvodní vgta je z obálky první české knihy o MCP /2/, druhá z obalu nejznámější knihy o MCP /I/. Rozvoj MCP začal koncem padesátých let a vedl k obecné metodě pro řešení problémů s okrajovými a počátečními podmínkami v inženýrských vědách a v aplikované matematice. MKP byla použita v projektu Apolla a tisících jiných projekte, např. raket, letadel, reaktorů, mostů, přehrad, lodí, budov, stroji a různých zařízení. Jednoduché aplikace MKP mají čtenáři ukázat snadnost programování i rozšiřování určitých publikovaných řešení. Pozornost je zaměřena na rotačně symetrické úlohy. Ve druhé kapitole jsou základní vztahy MKP. Čtenář je tak seznámen a terminologií a označováním. V dalších kapitolách je uvedený postup podrobně rozepisován. Ve třetí kapitole je řešení rotačních těles jednoduchými trojúhelníkovými prvky. Výpočtem rotačních skořepin Je věnována čtvrté a pátá kapitola. Jde o řešení lineárního stavu pro symetrické i nesymetrické zatížení a o nelineární chování při symetrickém zatížení. Čtenáře se znalostí MKP jrtže v předkládaném textu zaujmout např. vhodnost prstencového prvku pro nelinearitu rotačních skořepin, možnosti uvedených řešení a užití programovatelného kalkulátoru pro MKP. Práce je však psána hlavně pro čtenáře, kteří chtějí porozumět jednoduchým aplikacím MKP pro rotační problémy. Při studiu je třeba, aby si čtenář v každém okamžiku uvědomoval, pro kterou základní rovnici MKP (kap. 2) se právě vyjadřuje daná matice a jaký má rozměr. Je nutno předeslat, že uživatel deformační verze MKP volí pouze náhradní polynomy posuvů a určuje, co bude neznámými parametry prvku. Vztahy pro přetvoření a matice fyzikálních vlastností přebírá z teorie cružnosti a plasticity. Pro podmínky rovnováhy a spojitosti i uložení konstrukce uplatňuje znalost stavební mechaniky. Ačkoli MKP pracuje s maticemi, čtenáři stačí znalost násobení a transpozice matic. V tertu jsou cvičeni pro kontrolu i objasnění výkladu. Výrazy jako: lze získat, nůžeme vyjádřit, je zřejmé apod., by měly být čtenáři při studiu skutečně zřejmé.

- 73 -

Za upozornění na chyby a nedostatky budu vděčen. Nakonec děkuji Ing. Tomečkové z výpočetního odděleni KSB za pomoc při ladění programíS na IBM 370/145 a vedoucímu Ústavu aplikované mechaniky VŽKG prof. Ing. Křupkovi, DrSc., za podporu v práci s metodou konečných prvko.

2.

Podstata 1KP

Konstrukce se rozdělí na prvky. Základním krokem je jednoznačný popis neznámé funkce -f (při deformační verzi je to vektor posuvu) uvnitř každého prvku pomoci parametrů
kde matice N závisí na prostorových souřadnicích a nazývá se maticí tvarových funkcí. Máme-li vyjádřeny posuvy ve věech bodech prvku, můžeme napsat přetvoření (nebo zobecněná přetvoření) v každém bodě

kde matice 3 obsahuje obyčejně derivace tvarových funkcí. Je-li vektor staticky ekvivalentního zatíženi, diskretizovaného do vrcholových bodů, označen Fe , a napětí v kterémkoli bodě ff , pak podmínka rovnováhy prvku o objemu V je

f $6 dv - F ? - 0 . Jv

(3>

Před řešením je třeba znát konštituční vztahy pro napětí a přetvoření. Pro lineární pružné řešení bereme

kde D je matice pružnostních konstant, Oo a č0 jsou počáteční napětí, reap, přetvoření. Dosazením (4) do (3) dostaneme pro každý prvek

kde

"V

T

í B DB dv

(6)

v

je matice tuhosti prvku. Při zatížení silami na jednotku objemu p směrech souřadných oa je vektor zatíženi dán výrazem T

J N p dV .

- 74 -

ve

(7)

Použitím podmínek rovnováhy a spojitosti ve všech vrcholech konstrukce získáme výsledný vztah mezi zatížením a posuvy, jímž Je systém rovnic

(8)

K t\ = F , kde celková matice tuhosti konstrukce A je celkový počet vrcholových parametrů.

má rozměr

nxn

, přičemž fl

Při lineárních vztazích (4) řešíme, po zavedení okrajových podmínek, symetrický pásový systém lineárních rovnic. Při nelineárních stavech je řešení rovnice (3) složitější a v praxi se užívají přírůstkové metody. Po výpočtu neznámýeh

kde matice

Q

vypočteme napětí pomocí vztahů (4) a (2)

S - S <£ -Ľ t,* K ,

(9)

S - ĎB

se nazývá maticí napětí. Efektivnost použitého prvku závisí na tom, jak jsou tvarové funkce schopny reprezentovat skutečná pole přemístění. Výběr těchto funkcí není libovolný a existuji podmínky /I/, /2/t které musí být splněny, aby byla zabezpečena konvergence ke správnému řešení. Na doplnění ještě dodejme, že MKP je řešením variačního problému a ukažme si odvození rovnic (8) pomocí Lagrangeova principu minima potenciální energie. Energie vnitřních sil prvku je dána výrazem

energie vnějších sil vztahem

Pro celou konstrukci platí ar

»

£ř

J.

.

(13)

Použitím Lagrangeova variačního principu (8)

I ! " K Q 'F

- 0 .

- 75 -

$"-*• min získáme výsledný vztah

(14)

2.1. Označeni matic Matice (vektory) jsou v textu psány tučnými písmeny. Při explicitním vyjádření jsou matice v hranatých, vektory ve složených a řádkové matice v polohranatých závorkách:

0 0

h

o

o

U symetrických čtvercových matic se vypisuje pouze horní polovina s diagonálou.

3.

Výpočet rotačních těles

Cílem této kapitoly je rozšířit publikovaný program na výpočet stěn / I / o výpočet symetricky zatížených rotačních těles. Program pro tyto dva problémy (rovinný a rotační) vyžaduje v podstatě pouze dva rozdílné podprogramy, a to výpočet matice tuhosti prvku (6) a výpočet napětí (9). Užité statické lineární řešení stěn a rotačních těles je v lit. /I/, str. 48 až 89. Je zvolen nejjednodušší trojúhelníkový prvek (obr. 1) se šesti neznámými parametry (15)

Obr. 1

- 76 -

Posuvy

u V

jsou aproximovány lineárními polynomy (viz též /2/, str. 42

až 12) •

V

(16)

Při ro+ační symetrii jsou souřadnice ť nahrazeny rotačními poloměry r a souřadnice y vzdálenostmi z na oae rotace. Cvičení 1 Vyjádřete explicitně matici

3.1.

a

Vyjádření

N

ve vztahu (1).

užitých matic

Pro řešení užijeme prve^ (obr. 2a) se stejnými vztahy pro 1 (16) jalcc v rovinné úloze.

Oe

(15)

fa í^zr

£ e ((T B ) O)

Obr. 2 Přetvoření daná posuvy bodu prvícu (obr. 2b) jsou

f

3v

=

(17)

—

D o s a z e n í m ( 1 6 ) , r e s p . ( 1 ) d o ( 1 7 ) z í s k a m e v ý r a z ( 2 ) , v němž m a t i c e tvar 0 rmj 0 rim 0 im Zin, O 0 0 z,t>

o

24

'mi

0 7-tni

- 77 -

'* o

B

má

(18)

kde

Je plocha trojúhelníka

ň

a

Si -

mi " zm ~Lj> a P o d »

i}m\

r

ř 'V

z

r

"*

+ ^

f -Q**- ,

Sv ; Sm dostaneme cyklickou záměnou indexů.

přičemž Cvičeni 2

V čem Jsou podobné a film se liáí matice dlohu? Přetvoření definované pomocí napěti riál rr*

6

B

pro rovinnou a rotační

(obr. 2b) Jsou pro izotropní mate-

+

E

JLňT

Matice

ve výrazu (4) Je tedy

Ľ

AÁJ

1

o o o

Si/m.

(20)

Nejjednodušší matice tuhosti trojúhelníkového prvku pro rotačně symetrické těleso je BTĎ3

k = IK kde se do 3 prvku

ř A ,

(21)

vezmou pro souřadnice Z ( r

ž

konstantní hodnoty těžiště

Zm

- -* * y *

r =.

ri

na

ta'cže 3 rozdíl od (18) pak už není funkcí r,z a výraz (6) není proto třeba integrovat po prvku. Možnost a výhoda tohoto

zjednoduSení byla zdůvodněna i numericky /I/.

Zatížení je nutno diskretizovat do celkových obvodových sil ve vrcholech prvkfl. Pro lineárně proměnné zatíženi (přetlak) podél Jedné strany prvku (obr. 3)

- 78 -

Obr. 3 Platí

(Ji Vi '& •

(23)

0

o

Vrr,

Dodejme, že do programu /!/ je nutno tyto hodnoty (popřípadě součty ze souaedních prvků) pro každý vrchol zadat. Cvičení 3 Napište vektor zatížení pro případ tělesového prvku na obr. 4-

Vyjádření vektoru zatížení od počátečního teplotního přetvoření č0 daného konstantními přírůstky teplot áT po prvcích (vhodné pro cvičení) je

ft ř

m Obr. 4

(24)

'-rot r

im

Po sestavení a vyřeSení rovnic (8) (viz kapitola 3.2) vypočteme napětí konstantní po prvcích

6

e

- D B c? - 79 -

(25)

Napětí (25) se uvažují v těžištích prvků. Někdy se počítá nřpětí ve vrcholech jako příměr napätí stýkajících se prvku. V programu se počítají také hlavní napětí a jejich úhel.

3.2.

Výsledný systém rovnic

Sestavení výsledného systému rovnic (8) s uvážením podmínek rovnováhy a s p o j i t o s t i Je s t e j n é pro rovinnou i rotační t ě l e s o v o u úlohu. Ukážeme s i to na příkladě. Nejprve uděláme pomocnou operaci - zapíšeme matici t u h o s t i prvku (21) pomocí submatic rozměru 2x2

k =

(26)

k.

t-m.

ki

Pro příklad stěny (nebo řezu rotačním tělesem) zadané na obr. 5

Obr. 5 má výsledný systém deset rovnic: X

ti,

z

D LI

0

Q

k* m

}

syn ^

11

*

^\mĚ^

kM

u

0

o o o o 2

km - 80 -

o o

(27)

Předepsaná uložení (okrajové podmínky) v našem případe znamenají, že hodnoty u ,v2 vs nejsou neznámé, ale nulové. Mohli bychom tedy odpovídající řádky a sloupce zrušit, což by znamenalo přeskupovat celý systém (něni11 počet rovnic). Obvykle je úspornější řešit původní systém se zavedenými předepsanými hodnotami. To se dělá dvěma způsoby: 1. odpovídající řádek a sloupec se vynuluje, na diagonálu se dá jednotka a na pravou stranu předepsaná hodnota h . 2. vynásobí se pouze diagonální prvek člen na pravé straně

K[(

velkým číslem a změní se

fy

K n = Ku *~1°n;

h = Kuh-

(28)

Druhý způsob je rychlejší a vhodný zvláště pro případy, kdy není celý systém ve vnitřní paměti. Předepsané hodnoty vyjdou přibližně s chybou převrácené hodnoty použitého velkého čísla. Cvičení 4 Napište matici tuhosti konstrukce pro stejný příklad s číslováním vrcholů podle obr. 5 c. Na číslování vrcholů zévisí šířka pásu, přičemž čas na řešení rovnic roste s touto šířkou kvadraticky! Pro řešení pásového symetrického systému rovnic existují různé' programy /14/. Užíváme jednoduchý podprogram na Gaussovu eliminaci z lit. /!/, str. 463. Z výsledné čtvercové matice se ukládá jen půlka pásu s diagonálou, což podstatně šetří místo v paměti.

3.3.

Popis programu

Program pro výpočet stěn / I / a rotačně symetrických těles v jazyku FORTRAN IV na IBM 370/145 je příkladem velmi snadné aplikace VKV; neobsahuje ani 500 příkazů. Celý program je veden snahou po jednoduchosti a přehlednosti. Platí však tato zásada: gím jednodušší program, tím obtížnější jeho užití. V našem případě, při jednoduché lineární náhradě posuvů, vyžaduje řešení složitějších problémů velký počet malých ("nekonečných") prvků, což naráží na obtížné zadávání dat. Optimalizace vstupů i výstupů by však měla vždy odpovídat účelu a možnostem programu. U náročných úloh (koncentrace napětí, nelinearita), kdy je třeba přejít na vyšší polynomy (složitější programy), je tato optimalizace potřebnějáí a nezbytná. Dodejme však, že logika optimalizace dat může být stejná u různě rozsáhlých programů. Přeo uvedená omezení lze programem počítat, úlohy neřešitelné běžnými postupy, např. nepravidelné stěny s otvory nebo tlustostěnná rotační tělesa libovolného tvaru s různými úložnými podmínkami.

- 81 -

|

Program pro výpočet dvou problémů (rovinný a rotační) vyžaduje v zásadě pouas* tyto dva rozdílné podprogramy: výpočet matice tuhosti prvku a výpočet napětí. řfaše rozšíření o výpočet symetricky zatííaných rotačních těles spočívalo v napsání tří nových podprogramu na výpočet matice tuhosti (21) STIFT 1, výpočet vektoru teplotního zatížení (24) - TEMP a výpočet napětí (25) - STRESS. Dalším potřebným podprogramem by byla automatická diskretizace zatížení přetlakem do vektoru (23). Z lit. /I/, str. 436 až 471, jsou převzaty podprogramy LOAD, STIFT 2, FOBMK, SOLVE a STRESS, přejmenovaný na STREL. U těchto podprogramů jsou pouze jiné dimenze polí v příkazech COMMON. Hlavní program MAIN a-podprogram pro vstupní data GDATA jsou jen upraveny.

4. Lineární výpočet rotačních skořepin V dalších dvou kapitolách je ukázáno řešení často de vyskytujících rotačně symetrických skořepin. Jednoduchá aplikace a možnosti tohoto řešení by měly být nejpřesvědčivějším důkazem o přednostech a nezbytnosti takového výpočtu v praxi. Každou rotační skořepinu lze nahradit sérií tzv. prstencových prvků. Prvek (obr. ó) podle úhlu, poloměru rotace a zakřivení může být válcový, kuželový, deskový, kulový, anuloidový i obecně zakřivený s proměnnou tlouštkou.

vrchol i

Obr. 6

- 82 -

Vypočteme-li matici tuhosti (6) pro obecný prvek, nůžeme velmi jednoduSe sestavit matici tuhosti libovolné rotační skořepiny. K řešeni rovnic (8) je ještě nutné vypočítat pravou stranu rovnice (5)- Všechny tyto základní úkony si rozebereme pro případ nesymetrického zatížení, v němž je symetrické zatížení obsaženo.

4.1.

Nesymetrické zatížení

Při užití prstencových prvk^ (obr. 6) lze řešit nesymetricky zatíženou skořepina jen díky možnosti rozvoje všech veličin C (zatížení, posuvů, deformací, sil a napětí) do Fourierových řad

kde 5 je meridiální vzdálenost a B obvodový úhel. První sčítanec (řada A) reprezentuje hodnoty symetrické kolem meridiální roviny (9*0) , druhý s vlnovkou (řada B) antimetrické. V dalším textu se budeme zabývat jen zatížením rozloženým do řady A. Naznačeným postupem se vlastně řeší nesymetrické zatížení jako řada kvazisymetrických stavů

K(n) i{n) - F ™

(30)

a výsledné hodnoty se získávají jejich součtem. Výklad bude obdobný jako ve třetí kapitole. Nejprve se vša't mu3Íme podrobněji věnovat geometrii prvku.

4.1.1.

Prvek

Použitý prvek (obr. 6) byl poprvé publikován v l i t . /!/. Úhel prvku <j> Je nahrazen kvadratickým polynomem jako funkce meridiélní vzdálenosti S ) = kde hodnoty

°+

a &

i

+

a &1

í

(3D

>

a0 ; a,, az jsou určeny z podmínek

ts-o= ti j Přičemž

a

ľľ sin (f - ý j ds - 0)

fs*Sj= fi j

L je úhel přímky spojující body

Po vyřešení jaou konstanty pro válcový prvek

a

aQ = a, » az = 0

i

a

(32)

i .

ve výra2e (31) a rotační poloměr r

•

- 83 -

r

- konst.

(33)

pro kuželový (deskový) prvek a

o = ti

)

S = at =, 0 •

(34)

s íin

pro anuloidový (kulový) prvek (35) kde

je rotační poloměr středu křivosti o poloměru

Ri

Obecně pak p l a t í (36) Tlouštku prvku uvažujeme lineárně proměnnou (obr. 6) (37)

4.1.2.

Poauvy

Posuv bodu na střednicové ploše skořepiny je dán tečnými posuvy v meridiálním a obvodovém směru u. , resp. v a v normálovém směru (pr^hyb w ), Posuvy můžeme rozepsat do Fourierovy řady, kde pro každý člen závislý na proměnné S a 6 je zvolena tato aproximace v závislosti na s (32):

í

+ I™ s) cos n S

Hs, 9)

(n)

f .((a)

,(n)

.(»)

2

J

T

,(n)

i

D

COS

Uvažovaný prvek má osm stupňů volnosti (hledaných parametrů)

kde

f

~in\ —t„\

,i„-\

_(/,) _ ( „ )

(n)

^(n)

(n)

u , w jsou globální axiální, resp. radiální posuvy a

Cvičení 5 Vyjádřete parametry

e

" (38)

sin n d

\ 9

,e("y

n

~5ľ Oe

f

U

8s

•

pomocí Fourierova rozvoje.

- 84 -

(obr. 6) (39)

Mat i cové vyjádření ( 38) pomocí (39)

f *. Ty

Jede

f*> -

Q

cos

1 cos n

1

•a,g

(i-2ŕ*

T* I V

(40) •f

e

i

o

i- s'

N-

Je

o o

1-3sll +

0

5'

0

iŕ-2ŕ

0

0

f-s'

0

0

(41)

0

0 0 s1 (42)

s' - T4-) a transformační matice uvádějící do vztahu lokální a globální systém posuvů

r-

rt

i cos - i in

0

ti ti

si n ft

0

0

í cos ^

0

0 0

1 0

0 0

0 horní znamén'ca jsou pro případ

4.1.3.

(43)

1

Z^ a

Deformace

Vztahy pro přetvoření a křivosti na střednicové ploše tenké rotační slcořepiny jaou /5/

' la. _ w 1$-

îJdS"t

u

""t*™

cos

t)

0 - -If -If k

s6

- 85 -

(44)

Pro deformace, kde u vrcholu skořepiny odvodil Greenbaum /&/ vztahy

dut

- n

(n)

(r=0) nastává singularita,

ds (45)

a současně ukázal, že zde p l a t í

n=0

u

(46)

n-1

a +v

y =v =w = -|s. = o p'

Uvažovaná celková přetvoření jsou .W

Jn) (47)

'5 * í

kde Použitím

f

(40) pro vztahy (44), popřípadě (45) dostaneme (viz (2))

T™ 0 0 L (*)

n)

Tf

(n) (n)

{

= T b <£

(48)

Cvičení 6 Odvoäte matici

B

pro kuželový prvek.

Mezi vektorem vnitřních s U tí vztah / 5 / (základní rov. (4))

S

'

- 86 -

(obr. 6) a deformacemi

pla-

N (n)

0

0

0

0

,-Oň

0

0

0

0

žT

0 t2

0

0

N e N. stf

11

Ď

4.1.4.

0

12 1

(1-*)t2

je matice pružnostních konstant.

Matice tuhosti

Pro výpočet matice tuhosti prvku známe nyní vztahy pro C Dosazením do výrazu (6) nebo názorněji do (11) získáme mm (0) n) (0)

ť BB TT DTY T

kde

(49)

0

sym.

kde

t = Dein) ).

a o .

dA j

(50)

dh =rtdBds" je diferenciál plochy prvku (tloušíka je v matici Ď ) .

Diagonální matice T ve výrazu (48), závislé na 6 , m&žeme mezi sebou vynásobit a uvážit, že pro n = 1,2.. je 2ír

cosnd dS - / si** "Bad

(51)

Po+om můžeme napsat matici tuhosti prvku ve tvaru

T

rl f B'"' D ť" r kde pro 4.1.5-

n - O (symetrické zatížení) hodnotu

(52) nahradíme Zť .

Vektor zatížení

Vektor zatížení (7) vyjádříme pouze pro ploěné a liniové zatížení. Vektor povrchového plošného zatížení ve směrech posuvů u, w y v můžeme rozepsat jako

1

p - L T? p * Tl'O

- 87 -

(53)

kde

- ( řf , rS , /v" J

(54)

jsou amplitudnl hodnoty pro n -ty" Clen rozvoje (na jednotku plochy). Obdobně vyjádříme vektor liniových zatížení ve směrech parametrů *7e na jednotku délky (55) Po užití (7) a (51) můžeme vektor zatížení prvku napsat ve tvaru

í kde opět pro

4.1.6.

(56)

n = 0 se hodnota

nahradí

Systém rovnic

Pro každý člen rozvoje řeaíme soustavu rovnic (30). Rozložíme-li matici prvku na submatice rozměru 4 x 4, u nichž vynecháme pro zjednodušení index n r"»-

(57)

Ka

po+om při nevětvené skořepině, rozdělené na konstrukce

m

prvků, je výsledná matice

(58)

Celkový rozměr je tedy ¥(mt1)x lj.(m *• j J a poloviční šířka pásu BM = 8. Z těchto údajů vyplývá jednoduchost sestavování rovnic i jejich řeáení. cto) Vektor zatížení konstrukce se získá součtem vektorů F pro jednotlivé vrcholy. Zavádění okrajových podmínek je vysvětleno v kapitole 3.2.

- 88 -

Cvičení 7 Co získáme speciálním očíslováním vrcholů jednoduše větvené skořepiny podle obr. 7?

4.1.7.

Výpočet napětí

Výsledné napětí se obvykle počítají podle (9). Jejich výpočtu je věnován článek /10/. V našem případě jde o amplitudy vektoru vnitřních sil (49)

6- -

(59)

Obr. 7 Matice 3 je závislá na proměnné S napětí (10) se uchovávají z numericfccho výpočtu (Simpsonovjfa pravidlám) integrálu (52) buä ve vrcholových bodech, nebo uprostřed prvku. Aby při rovnoměrném zatížení nenastávaly skoky v silách N ve vrcholech (derivace tečných posuvů Jsou konstantní po prvku), je lepší počítat síly i momenty uprostřed prvkň. Při osamělých silách ve vrcholech nebo při diskontinuitě skořepiny je pak možné získat výsledky ve vrcholech extrapolací. Ze získaných sil (59) pak vypočteme oj( SQ , 6^Q ve zvolených bodech na vnějSím i vnitřním povrchu obvyklým způsobem

6 - N

4.1.8.

(60)

Vliv ortotropie a teploty

Při ortotropních vlastnostech materiálu (ve směrech napětí (viz (47))

s,0. ) platí pru

o (61)

o Jym.

G.

- 89 -

i0

kde

£$,£$ moduly pružnosti ve směrech s, 9 (USlMg Poiesonova čísla,

<^s,^$ součinitele teplotní roztažnosti

G$Q modul ve smyku, AT

změna teploty střednice.

Cvičení 8 Napište vektor teplotního zatížení

4.3.

Fo

obdobně jako vektor (56).

Fopi8 program?.

Autor použil lineární řešení pro symetrické zatížení v roce 1971 na počítači MINSK 22. Program v jazyku SLANG má dva segmenty a používá jednu pracovní pásku. Skořepina může mít maximálně 100 prvků a libovolný počet zatěžovacích stavů. Zatížení přetlakem po celé konstrukci se zadává jedinou hodnotou. Průměrná doba jednoho vypočtu (50 prvků) je asi 10 minut; každý daläl stav zatížení nebo uložení trvá s tiskem posuvů, sil a napětí asi 5 minut. Pro nesymetrické zatížení Je napsán program v jazyku F0BT3AN IV, nyní užívaný na počítači IBM 370/145. Obsahuje hlavní program a 18 podprogramů s celkovým počtem asi 1000 štítků. Pro 100 zakřivených prvků lineárně proměnné tloušťky z 10 druhů materiálů, při libovolném zatížení rozloženém do 26 členů řady, řeší posuvy a pootočení ve vrcholech, vnitřní síly a momenty a hlavní napětí na vnitřním a vnějoím povrchu ve vrcholech nebo uprostřed prvků. Maximální počet prvků i členů řady je možno zvětšit změnou deklaračních příkazů. Pro pomocné zápisy se užívá pracovní disk. Časy CPU jsou při středním rozsahu úlohy pro jeden člen řádově desítky vtôŕin. Další rozšíření: zatížení teplotou, ortotropní vlastnosti materiálů a vyztužení prstenci. Program pro symetrické zatížení, s více než 160 kuželovými prvky konstantní tlouštky, vypracoval Ihg. Moulis v postgraduálním kursu ÚAM VŽKG na programovatelný kalkulátor Hewlett-Packard Model 20 s 1453 registry vnitřní paměti, s magnetopáskovou jednotkou, psacím stroje? a snímačem děrné ásky. Programem je možno řešit i vliv lineární teploty po tloušťce a vyztužení prstenci. Celková doba výpočtu střední úlohy je jen asi 30 minut. Aby se uřetřil čas, tisknou se výsledky jen pro vybrané prvky konstrukce.

5. Nelineární řešení rotačních skořepin V posledních le+ech se rapidně zvýšila potřeba programů pro nelineární výpočty konstrukcí. Ukazuje se, že vypracování i užití velkých systémů programů je ve všech směrech náročnější než při lineárních úlohách. Uživatel - 90 -

však často řeší jen jistou kategorii konstrukcí, pro kterou raději užije jednodušší speciální program. Četné konstrukce v chemickém, hutním, leteckém a raketovém promyslu, aila a nádrže i nejdůležitější komponenty jaderných elektráren jsou rotačnô symetrické skořepiny. Bezpečný a ekonomický návrh těchto konstrukcí vyžaduje znalost chování konstrukce v extrémních provozních podmínkách. To umožní pouze výpočty respektující materiálovou i geometrickou nelinearitu a cyklické zatěžování. V dnešní situaci, kdy např. ČSN 69 0010 dimenzuje tlakové stabilní nádoby podle dovoleného napětí, přičemž návrhovými vzorci de facto připouští překročení meze kluzu, by nebylo možné navrhnout hospodárně nádobu použitím programů užívajících t>etodu konečných prvkl. Je zřejmé, že v budoucnu bude nutno -zařadit do norem nová kritéria - např. dovolená přetvoření akumulovaná běhsra očekávané doby životnosti. Základním předpokladem pro změnu normy je zvládnutí nových výpočtových metod. Ukážeme si pružně plastické řešení s vlivem velkých pootočení pro tenké rotační skořepiny, rotačně symetricky zatížené, deformační verzí metody konečných prvků. Použijeme přírůstkovou metodu s proměnnou maticí tuhosti. Přehled a zhodnocení významných zahraničních programů pro výpočty rotačních skořepin různými metodami je v lit. /13/.

5.1.

SeŠení

Pro výpočet rotačně symetrických skořepin, v praxi nejrozšířenějších, je metoda konečných prvků velmi výhodná. S úspěchem jsme ji použili ve čtvrté kapitole pro pružné řešení i nesymetricky zatížených rotačně symetrických skořepin. Také pro ne1ineární řešení symetricky zatížených skořepin využijeme stejný prvek (obr. 6), u něhož odpadne obvodový posuv a smykové síly.

5.1.1.

Deformace

Vztahy použité pro tenicou rotační skořepinu s uvážením poměrně velkého pootočení jaou _

. 1

AÍ

— (u sin ý * w cos

c

e

kde

4*- ds ds

- 91 -

(62)

Celková přetvoření v meridiálním a obvodovém směru jsou $

S

J

a

*

(63)

kde

_-f < j <-f .

Užitím vztahů (62) a redukovaného (40) ( /V ja dána vztahem (42) bez třetího řádku a čtvrtého a osmého sloupce) dostaneme (2)

£ - B* T c£ = B c£ .

(64)

5.1.2.. Rovnováha Pro rovnici rovnováhy (3)

/ Ô7> dv - re,

(65)

kde V - objem nedeformovaného prvku, í* - Cauchyho vektor napětí a f e - vektor zobecněných vrcholových sil, užíváme Lagrangeův postup, který má tu výhodu, že všechny veličiny jsou vztahovány k nedeformovanému tělesu. Rovnice (65), při uvažování pouze povrchového zatížení, je pro daný prvek

BTS d/\ - íNTp dk}

(66)

kde A - střednicové plocha nedeformovaného prvku, B* \NS/ NQ H HQ\- vektor vnitřních sil prvku (obr. 6) a p-[ pu ( f>w J - vektor tečného a normálového tlaku. I

ÍI

K řešení problémů závislých na dráze se užívá přírůstková metoda s linearizací po krocích. Rovnice (66) v přírůstkové formě je

í

.

( 6 7 )

Po Úpravě levé strany této rovnice dostaneme

kde /? - reziduálni vek+or daný existencí jakékoli nerovnováhy (viz rov. (67)), k0 kiikl Jsou postupně obvyklé matice tuhosti prvku, matice počátečního napětí a matice tuhosti počátečního přetvoření.

- 92 -

Cvičeni 9 Vyjádřete uvedené matice k0 , k1 , k2 • Použitím podmínek rovnováhy a spojitosti ve všech vrcholech konstrukce rozdělené na prvky získáme výsledný systém lineárních rovnic K A% '

ÁF

(69)

ľ R,

kde celková matice tuhosti K mé rozměr (3m + 3) x (3m + 3), přičemž m je počet prvku. ?o zavedení okrajových podmínek řešíme symetrický pásový ay3tém rovnic (69) opět Gaussovou eliminací (kap. 3.2).

5.1.3.

Plasticita

Pro pružně plastické řešení je užita von Misesova podmínka plasticity a zá'con asociovaného plastického tečení při izotropním zpevnění materiálu. Přírůstkový vztah mezi silami a přetvořeními je

- Def) cti . Matici

Z) ea

(70)

počítáme ze vztahu

K

f}

(71)

kde matice EQ* je funkcí napětí a zpevnění podle /12/. Prvky jsou po tloušíce rozděleny na vrstvy a výraz se integruje Simpsonovým pravidlem. U prvků v pružném stavu nebo při odlehčování" je matice Def> nahrazena • maticí pružnostních konstant P . Přírůstek zatížení je počítán tak, aby způsobil plastizaci pouze jedné vrstvy (bodu). Pro zvolený přírůstek &. i je u vrstev, v nichž ekvivalentní napětí je větší než mez kluzu, spočítána hodnota b z kvadratické rovnice

)($

fyfafy-

Skutečný přírůstek jé pak &F

-

b

min

AF>

-

(72) (73)

Podobně se pak přenásobí všechny vypočtené přírůstkové hodnoty a vypočtou sa ekvivalentní napétí ve všech vrstvách. Vrstvy, v nichž je toto napití blízké mezi kluzu a chybou ťiáO,O5 2

O" r'-*K» ,

(74)

se považují v dalším kroku za plastické. To urychluje výpočet na straně bezpečnosti.

- 93 -

5.2.

Program

Uvedené řeSení bylo programováno na počítač EMB 6070 (11 platných míst). Verze na IBM 370/145 v jazyku Fortran IV vyžaduje dvojnásobnou přesnost, Probraní se skládá z hlavního programu a 27 podprogramů, C6lkem asi 1400 štítků. Dimenze polí jsou deklarovány pro 100 prvků z 10 druhů materiálu. Prvky jsou rozděleny na 10 vrstev. Plastizace se tak sleduje v 11 bodech uprostřed prvku. Podle aadání lze řešit tyto čtyři úlohy: v případě pružného řešení s malými deformacemi řeSíme soustavu rovnic (75) při pružně plastickém stavu a malých deformacích

Ko

(76)

při pružném stavu a velkých deformacích řešíme problém

(77)

K ůí - Af + R Newton-Raphsonovým postupem 8 konstantním přírůstkem zatížení, přičemž se nemění; při pružně plastickém s+avu za velkých deformací řeSíme

K A J - Ar jako případ (76), ale s vlivem

\

(78) Af

a

^2 •

Pro ukládání výsledků se užívá disk. Tisk výsledků závisí na uživateli. Je možné tiknout určité hodnoty ve vybraných místech konstrukce po každém kroku. Skořepina se zadává pomocí tzv. makroprvků. Vstupní data jsou velmi zjednodušena, neboí není třeba popis vrcholů. Lineárně proměnné zatížení po meridiánu se zadává tabelárně jako funkce axiální nebo meridiální vzdálenosti. Za předpokladu ideálně pružně plastického materiálu stačí k popisu fyzikálních vlastností tři konstanty.

5.3.

Příklady

Program byl testován mnoha publikovanými příklady. Geometricky vysoce nelineární, ale pružná úloha vetknutého kulového vrchlíku, zatíženého silou ve vrcholu, je uvedena v literatuře /6A Příklad cyklického pružně plastického výpočtu klenutého dna je z první práca o této problematice /li/. Na obr. 8 je vynesena závislost pr^hybu vrcholu na přetlaku - 80 p3i. Pro stejné ideálno pružni plastické vlastnosti materiálu v tahu i tlaku a při neuvažování velkých deformací jsou vypočtené hodnoty pro tlak -80 psi stejné pro cyklicky i monotónně zatíženou konstrukci. To potvrzuje závěry získané jiným způsobem v literatuře /li/.

- 94 -

Vliv velkých poo+očení při vypočtu klenutých den ukázal Karcal /9/. Tento příklad je na obr. 9, W e je opět závislost pr^hybu vrcholu na vnitřním i vnějším přetlaku (obr. 9a) pro pružně plastický výpočet a malými i velkými deformacemi.

w ••M

t =0,04

T k r 3 . l r f p5i 7

0.3 ; E - 3 • 1O psi

J

-2

+

-8

w*1(r /in/

zatížení cykl. mono _ d =0.05 — lit.

--80

36 prvků Obr. 8

a)

d-0.05 — lit. nu prulní-plast, d - 0,05 d =0,1

0,2

/r=0 6 D = 1 0 in

Na obr. 9b je mavimální přetvoření na vnitřní straně anuloidového přechodu, v místě 0 = 4? °. Poznamenejme, že hodnoty získané programem pro vnější pře+lak nejsou jinak ovlřeny a signalizují nutnost posouzení na stabilitu. U tenkých den evistuje navíc, i při vni+řním přetlaku, možnost pružného boulení vlivem obvodových tlakových sil.

—

•v,

H*P

0,4

-400

1-400 0 = L — 24 ŕn

4,0197 t

r - 2 in

E - 3.0;-i0 7 psi 0.31

t -=0,25 m Obr.

9

- 95 -

psí

plastizace «•§ konst. t — oslab, t p-3,9 MPQ 7 přír8stkO M prvky

D - 4 2 2 5 mm L - 3862 mm r = 702 mm
celk. Čas EMR 12'

5

E - 1,73- 1Q MPa / U - 0,3

Obr.

10

Program byl v praxi použit např. pro posouzení oslabené atěny konvertoru v míetô anuloidového přechodu. Vypočtené nelineární deformace i přetvoření byly mnohem menší než dovolují americké předpisy. Ani boulení pro daný" tlak a poměr -I- = 0,02 nepřichází v úvahu. Oslabení bylo nakonec posouzeno podle sovětské normy pro komponenty Jaderných elektráren, která vychází z pružného řešení, ale kategorizuje napětí: pro místní ohybové napěti povoluje 2,5násobek dovoleného.

Pro názornost byl předložen obr. 10, z kterého Je vidět, že plaatizace nastane i pro konstantní tloušfku navrženou podle ČSN 69 OOIO.

6.

Závěr

Přednosti výpočtů MKP vyniknou zvláště tehdy, máme-li k dispozici vhodný program. Vhodnost apočíffá nejen v možnostech programu, ale také v pracnost4 zadáni vstupů a aípkéni potřebných hodnot, z výstupů (viz kap. 3.3). Dalším důležitým faktorem Je cena výpočtu. Z uvedených hledisek jsou programy pro rotační skořepiny (kap. 4.2) velmi výhodné a uživatelé je oceňují. Častý případ symetrického zatížení se řeší na příručním kalkulátoru pohotově a prakticky zadarmo. Díky malému systému rovnic (kap. 4.1.6) jsou ekonomické i výpočty nesymetrického zatížení rozvinutého do řady, a dokonce i nelineární řešení. Pomocí těchto programů byly spočteny desítky tlakových nádob a nádrží a v poslední době komponenty jaderných elektráren. Ukázalo se, že zvolený prvek je vhodný a dostačující, i když se objevily /li/ vyšší náhradní polynomy pro tečné posuvy. Poměrné jednoduchost zavedení vlivu ortotropie, teploty a vyztužení prstenci je pak pro MKP typická. Uživatel vypracovaných programu by měl být'schopen kriticky interpretovat výsledky, protože MKP je metoda přibližná, jejíž přesnost závisí na tjpu a počtu prvků. Je-li např. na začátku skořepiny nulový moment, není důvod "věřit" vypočtené hodnotě, která by vša'f měla - s jemnějším dělením - k nule konvergovat. Předložený text se snaží odstranit jisté obavy z MKP a pomoci při aplikaci MKP ve výpočtářské praxi. - 96 -

Literatura /I/

ZIEKKIEWICZ, O. C.:

The F.E.M. in Engineering Science, McGraw H i l l , 1971

/2/

KOLÁŘ, V., KRATOCHVÍL, J . , LEITNER, F . , ŽENÍŠ3C, A.: Výpočet plošných a prostorových konBtrukcí MKP, SNTL, 1972

/3/

VALENTA, J . , NEMEC, J . , ULBYCH, E. a k o l . : Novodobé metody výpočtů t u h o s t i a pevnosti ve s t r o j í r e n s t v í , SNIL, 1975

/4/

KŘUHCA, V.:

/5/

GORBATOV, N., VALENTA, J . : Statika skořepin a skořepinových konstrukc í , SNTL, 1972

/6/

NABIL, S., VKUTIL, J . : Nonlinear analysis of axisymmetric s h e l l s by F.E.M., Zborník sympózia Teoretické problémy ocelových konštrukcií, ĽBTARCH, Bratislava, 1975

/!/

STRTCKLIN, J . A., NAVARATNA, D. H., PIAN, T. H. H.: Improvements on the Analysis of Shells of .Revolution by the Matrix Displacement Method, AIAA J . , Vol. 4, No. 11, 1966

/&/

GREENBAUM, G. A.:

Comment on Nua-u'ical Analysis of Unsymmetrical Bending of Sheila of Revolution, AIAA J., Vol. 2, No. 3, 1964

/9/

MARCAL, P. V.:

Large Deflection Analysis of Elasto-Plastic Shells of Revolution, AIAA J. , Vol. 8, No. 9, 197C

Skořepiny tlakových nádob a nádrží, VUT Brno, SNTL, 1976

skriptum

/10/

STEIN, E., AHMAD, R.:

On the Stress Computation in F.E. Models Based Upon Displacement Approximation, Comp. Math, Appl. Mech. Sngng., No. 4, 1974

/ll/

LEVINE, H. S., ARMEN, H. , WINTER, R., PIPKO, A.: Nonlinear Behavoir of Shells of Revolution Under Cyclic Loading, Conip. & Struct., Vol. 3, No. 3, 1973

- 97 -

J

/12/

YAMADA, Y., YOSHIMURA, N., SAKUIiA, T.: P l a s t i c S t r e s s - S t r a i n Matri* and I t s Application for Solution of E l a s t i c - P l a s t i c Problems by F. E. M., I n t . J . Mech. S c i . , Vol. 10, No. 5, 1968

/13/

3VALR0NAS, V.:

/14/

MONDKAP, D. P., POWELL, G. H. •• Large Caj, i i t y Equation Solver for S t r u c t u r a l Analysis, I n t . . Num. Meth. Sngng., pp. 699 - 728, 1974

Transient Dynamic and I n e l a s t i c Analysis of Shells of Revolution - A Survey of Programs, 3rd I n t . Conf. SMiRT, Paper M 4/7, London, 1975

Druh publikace:

Sborník

Název publikace :

PEVNOST A ŽIVOTNOST STROJNÍCH DÍLŮ, ZEJMÉNA TLAKOVÝCH NÁDOB

Zpracovali

Kolektiv autorů

Počet s t r a n :

98

Náklad •-

200

Fornét publikace;

A4

Číslo publikace:

60 - 6S5 - 7b (1158)

Vydal a v y t i s k l :

Dům techniky ČVTS Praha Praha 1, Gorkého nám. 23

Datum vydání:

1976

- 98 -

PEVNOST a ŽIVOTNOST STROJNÍCH DÍLŮ zejména tlakových nádob

Recommend Documents