PERTEMUAN 1 Sensus vs Survei Alasan Penggunaan Sampling Konsep-konsep dalam Sampling Kerangka sampel Keuntungan dan kelemahan Sampling Probability

PERTEMUAN 1

 Sensus vs Survei  Alasan Penggunaan Sampling  Konsep-konsep dalam Sampling  Kerangka sampel  Keuntungan dan kelemahan Sampling  Probability dan Nonprobability Sampling

LOGO Oleh: Adhi Kurniawan

Metode Pegumpulan Data Pengumpulan data

Sensus

Catatan administrasi (registrasi)

Mengumpulkan data dari seluruh elemen dalam populasi Probability sampling

 Menggunakan kaidah peluang (probability) dalam pemilihan sampel  Hasil surveinya dapat digunakan untuk melakukan pendugaan (estimasi) terhadap karakteristik populasi

Survei (sampling)

Mengumpulkan data dari sebagian elemen populasi Nonprobability Sampling

 Tidak menggunakan kaidah peluang dalam pemilihan sampel  Hasil surveinya tidak dapat digunakan untuk melakukan pendugaan (estimasi) terhadap karakteristik populasi LOGO

Sensus Pengumpulan data untuk mendapatkan informasi dari semua elemen dalam populasi Undang-undang No.16 Tahun 1997, tentang Statistik:   

Sensus Penduduk Sensus Pertanian Sensus Ekonomi

(tahun berakhiran-0) (tahun berakhiran-3) (tahun berakhiran-6)

Dalam sensus biasanya dikumpulkan data dasar / pokok Karakteristik yang dicakup terbatas Penyajian sampai wilayah satuan unit kecil seperti kecamatan, desa bahkan kecil lagi LOGO MPC1

Keuntungan dan Kelemahan Sensus Keuntungan 1. Dapat menyajikan data wilayah kecil 2. Dapat dijadikan kerangka sampel (frame) Kelemahan 1. Cakupan variabel terbatas 2. Waktu lama 3. Biaya besar 4. Ketelitian kurang

LOGO MPC1

Mengapa Sampling? 1. Sumber daya terbatas 2. Waktu yang tersedia terbatas 3. Pengamatan kadang bersifat merusak 4. Mustahil mengamati seluruh anggota populasi

bagaimana caranya dengan mengambil dan menggunakan data sampel kita dapat mengambil kesimpulan terhadap populasi? INI YANG KITA PELAJARI PADA MATA KULIAH INI

LOGO MPC1

Prinsip-Prinsip Sampling Theory 1. Prinsip validitas Design sampling harus menjamin adanya estimasi yang valid dari parameter-parameter populasi. 2. Prinsip “Statistical Regularity” Jumlah sampel yang diambil secara random dari populasi secara rata-rata akan mempunyai karakteristik yang sama/menyerupai karakteristik populasi. 3. Prinsip optimisasi. Desain sampling (metode penarikan sampel dan estimasi): a. Dengan tingkat ketelitian tertentu, diperlukan sumber daya yang minimum, atau b. Dengan biaya tertentu, memberikan ketelitian yang optimum LOGO MPC1

Ilustrasi Populasi dan Sampel

LOGO MPC1

Konsep dan Definisi  Populasi Populasi merupakan agregasi dari seluruh elemen yang perlu ditentukan berikut isi, unit, cakupan, dan waktu. Contoh populasi: semua penduduk yang bertempat tinggal dalam rumahtangga biasa di Kecamatan Polobangkang Selatan, Kabupaten Takalar, pada bulan September tahun 2012  Populasi dibedakan menjadi finite populaton dan infinite population, tergantung dari jumlah unitnya terbatas atau tidak terbatas  Continous population: populasi yang terdiri dari zat/benda (mass of matter) yang tidak bisa diidentifikasi/dibedakan dengan mudah dan unit atau kumpulan unitnya terbentuk secara alami. Contoh: Populasi air di danau. Dalam praktiknya, kita akan memfokuskan hanya pada finite population saja LOGO MPC1

Konsep dan Definisi Populasi Target Target populasi merupakan sub populasi dari elemen yang ada pada populasi yang berbagai indikatornya akan dicari, seperti penduduk usia 7-12 tahun. Karakteristik Ciri, sifat atau hal-hal yang dimiliki elemen, seperti penghasilan, pengeluaran, biaya, jumlah anggota rumahtangga. Nilai karakteristik yang dihitung (diestimasi) dapat berupa rata-rata, total, rasio, proporsi, persentase, dan sebagainya LOGO MPC1

Konsep dan Definisi  Elemen (elementary unit)  Elemen adalah unit yang digunakan untuk mendapatkan informasi, misalnya individu, rumah tangga, perusahaan, dsb.  Unit observasi  Unit observasi adalah unit dimana informasinya diperoleh baik secara langsung maupun melalui responden tertentu.  Elemen sangat erat kaitannya dengan unit observasi.  Elemen bisa sama dengan unit observasi, sebagai contoh rumahtangga adalah selain sebagai elemen juga dapat sebagai unit observasi, misal pengumpulan data keadaan tempat tinggal.  Unit observasi bisa individu dari elemen yang mewakili sekumpulan elemen, misalnya kepala rumah tangga yang memberikan informasi mengenai anggota rumah tangganya. LOGO MPC1

Konsep dan Definisi  Unit sampling (sampling unit)  Unit sampling adalah unit yang dijadikan dasar penarikan sampel baik berupa elemen maupun kumpulan elemen (klaster).  Contoh: 1. Unit sampling elemen: rumah tangga 2. Unit sampling klaster: kumpulan rumahtangga pada wilayah tertentu seperti blok sensus, RT/RW, bahkan desa.  Selain rumahtangga, cukup banyak unit yang bisa dijadikan unit sampling sesuai dengan tujuan survei seperti sekolah, kelas, perusahaan, dsb.  Unit analisis  Unit yang digunakan pada tahap tabulasi data, bisa berupa elemen atau kumpulan elemen.  Unit analisis tidak selalu sama dengan unit observasi  Misal: unit observasi adalah rumah tangga (atau lebih spesifik kepala rumah tangga). Unit analisisnya bisa rumah tangga itu sendiri atau anggota rumah tangga LOGO MPC1

Konsep dan Definisi  Kerangka Sampel Kerangka sampel adalah daftar semua unit yang akan dijadikan sampling unit (sebagai dasar penarikan sampel) dan harus memenuhi persyaratan kerangka sampel yang dibentuk dari master file.

 Survey period: the time period during which the required data are collected.  Reference period: the time period to which the data information should refer. It depends on the objective of the survey

LOGO MPC1

Konsep dan Definisi Prasyarat yang harus diperhatikan:  Desain probability sampling baru dapat diaplikasikan bila tersedia kerangka sampel sesuai metode sampling yang ditetapkan.  Metode sampling yang dipilih harus dapat diaplikasikan di lapangan ditinjau dari segi unit sampling dan biaya.  Metode yang telah ditentukan harus benar-benar diikuti dan tidak boleh diubah.

LOGO MPC1

Contoh Kasus 1: Suatu survei dilakukan dengan tujuan untuk mengetahui rata-rata pengeluaran sebulan mahasiswa STIS tahun 2012. Definisikan apa yang menjadi populasi, populasi target, kerangka sampel, unit sampling, unit observasi, karakteristik yang diteliti, nilai karakteristik yang diestimasi, dan unit analisnya!  Populasi: semua mahasiswa STIS tahun 2012  Populasi target: semua mahasiswa STIS tahun 2012  Kerangka sampel: daftar mahasiswa STIS tahun 2012  Unit sampling: mahasiswa STIS

 Unit observasi: mahasiswa STIS  Karakteristik yang diteliti: pengeluaran sebulan  Nilai karakteristik yang diestimasi: rata-rata  Unit analisis: mahasiswa STIS LOGO MPC1

Contoh Kasus 2:  Suatu survei bertujuan untuk memperkirakan total biaya produksi dari rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura di Desa Kayuwangi Mei 2012.  Populasi: semua rumah tangga di Desa Kayuwangi Mei 2012  Populasi target: semua rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura Mei 2012  Kerangka sampel: Daftar rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura di Desa Kayuwangi Mei 2012  Unit sampling: rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura  Unit observasi: rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura (kepala rumah tangga)  Karakteristik yang diteliti: biaya produksi  Nilai karakteristik yang diestimasi: total  Unit analisis: rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura LOGO MPC1

Contoh Kasus 3:  Suatu survei bertujuan untuk memperkirakan rasio muridguru Sekolah Dasar di Provinsi DIY bulan September 2012.  Populasi: semua Sekolah Dasar di Provinsi DIY September 2012  Populasi target: semua Sekolah Dasar di Provinsi DIY September 2012  Kerangka sampel: Daftar Sekolah Dasar di Provinsi DIY September 2012  Unit sampling: Sekolah Dasar  Unit observasi: Sekolah Dasar  Karakteristik yang diteliti: jumlah murid, jumlah guru  Nilai karakteristik yang diestimasi: rasio  Unit analisis: murid, guru LOGO MPC1

Contoh Kasus 4:  Suatu survei bertujuan di Kelurahan Rawajati Mei 2012 bertujuan untuk: 1. Memperkirakan proporsi balita dengan gizi buruk. 2. Memperkirakan rata-rata pengeluaran rumah tangga yang mempunyai balita dengan status gizi buruk  Populasi: semua rumah tangga di Kelurahan Rawajati Mei 2012  Populasi target: semua rumah tangga yang mempunyai balita di Kelurahan Rawajati Mei 2012  Kerangka sampel: Daftar rumah tangga yang mempunyai balita di Kelurahan Rawajati Mei 2012  Unit sampling: rumah tangga yang mempunyai balita  Unit observasi: rumah tangga yang mempunyai balita Karakteristik yang diteliti

Nilai karakteristik yang diestimasi

Unit analisis

1. Gizi buruk

Proporsi

Balita

2. Pengeluaran

Rata-rata

Rumah tangga yang memiliki balita dengan LOGO status gizi buruk MPC1

Kerangka Sampel  Kerangka sampel harus memenuhi persyaratan: 1. Tersedia sampai dengan unit sampling 2. Batas jelas 3. Tidak tumpang tindih atau terlewat 4. Ada korelasi dengan data yang diteliti 5. Mutakhir  Persyaratan tsb diperlukan agar tidak terjadi: 1. Unit sampling yang tidak dijumpai 2. Unit sampling yang duplikasi 3. Unit sampling yang terpecah 4. Unit sampling yang tergabung 5. Unit sampling baru yang belum tercakup LOGO MPC1

Kerangka Sampel Bentuk Kerangka Sampel  Dalam bentuk daftar sampling unit/list frame (seperti daftar rumah tangga, daftar perusahaan industri besar/sedang, diretori perusahaan pertanian dsb)  Dalam bentuk peta/area frame/map frame (peta blok sensus, peta desa,dsb)  menunjukkan batas geografis dari sampling unit atau kumpulan sampling unit. Konsep dan Definisi Blok Sensus: Blok sensus biasa (B) adalah blok sensus yang sebagian besar muatannya antara 80 sampai 120 rumahtangga atau bangunan tempat tinggal atau bangunan bukan tempat tinggal atau gabungan keduanya. Blok sensus khusus (K) adalah blok sensus yang tertutup untuk umum. Tempat-tempat yang biasa dijadikan blok sensus khusus antara lain asrama/barak militer, asrama perawat, panti asuhan dengan 100 penghuni atau lebih dan lembaga pemasyarakatan (tidak ada batasan jumlah penghuni). Blok sensus persiapan (P) adalah blok sensus yang kosong seperti sawah, kebun, tegal, rawa, hutan, daerah yang dikosongkan (digusur) atau bekas permukiman yang LOGO

Keuntungan Survei Sampel

1. Menghemat biaya 2. Mempercepat penyajian hasil survei 3. Cakupan materi lebih luas 4. Akurasi data lebih tinggi

LOGO MPC1

Kelemahan Survei Sampel Penyajian sampai wilayah kecil (seperti kecamatan atau desa) dengan sampel yang terbatas tidak akan dapat dipenuhi Penyajian variabel langka/jarang terjadi/proporsi kecil tidak dapat dipenuhi Bila diperlukan trend data untuk mengukur perubahan yang sangat kecil, survei sampel dari satu periode ke periode berikutnya kemungkinan tidak dapat digunakan, kecuali bila digunakan panel (sampel sama untuk beberapa periode) Apabila tidak tersedia kerangka sampel maka probability sampling tidak akan bisa diterapkan. LOGO MPC1

Probability Sampling  Metode pemilihan sampelnya berdasarkan teori peluang  Setiap unit dari populasi memiliki peluang untuk terpilih sebagai sampel (besarnya peluang tidak boleh sama dengan nol)  Besarnya peluang dapat sama (equal probability) atau tidak sama (unequal probability) tergantung dari metode sampling yang digunakan  Untuk keperluan penarikan sampel diperlukan kerangka sampel  Oleh karena setiap unit dalam populasi mempunyai peluang untuk terpilih dalam sampel dan besarnya juga telah diperhitungkan, maka dimungkinkan untuk menghasilkan estimasi parameter dari populasi seperti total, rata-rata, proporsi, dan sebagainya. LOGO MPC1

Probability Sampling Probability Sampling harus memenuhi 4 kriteria 1. Kita bisa mendefinisikan “the set of distinct samples” yang bisa dipilih 2. Setiap sampel mempunyai probability untuk dipilih, dan besarnya probability diketahui 3. Terpilihnya sampel dengan proses automatic randomization, konsisten dengan probability-nya 4. Metode untuk menghitung estimasinya harus menggunakan sampling weight dan menghasilkan nilai estimasi yang unik. LOGO MPC1

Probability Sampling Simple Random Sampling (SRS) Systematic sampling Sampling Elemen

Dipelajari di MPC 1

PPS Sampling Probability Sampling

Stratified Sampling Single Stage Cluster Sampling Sampling Klaster

Multistage Sampling

Dipelajari di MPC 2

LOGO MPC1

Nonprobability Sampling Sampel dipilih dengan sebuah metode non-random Dalam memilih sampel sangat tergantung pada kebijaksanaan atau pertimbangan dari peneliti Dapat digunakan tanpa menggunakan kerangka sampel Kelemahan: 1. Tidak dapat melakukan generalisasi populasi berdasarkan data sampel 2. Tidak mungkin untuk mengukur tingkat ketelitian (presisi) data dari sampelnya 3. Kesalahan frame atau nonrespon tidak dapat dikenali LOGO MPC1

Nonprobability Sampling Convenience sampling  Prosedur untuk mendapatkan unit sampel menurut keinginan peneliti dengan menggunakan sampel yang paling sederhana dan ekonomis  Tidak memerlukan daftar populasi yang panjang  Seringkali menghasilkan output penelitian dengan tingkat objektivitas yang rendah  Variabilitas dan bias tidak dapat diukur atau dikontrol LOGO MPC1

Nonprobability Sampling  Judgement (purposive) sampling  Peneliti memilih sampel berdasarkan penilaian terhadap beberapa karakteristik anggota sampel yang disesuaikan dengan tujuan penelitian  Peneliti ahli memilih sampel untuk memenuhi tujuannya, seperti meyakinkan bahwa semua populasi mempunyai karakteristik tertentu  Biasanya dilakuakn bila unit yang dipilih sedikit, misalnya melakukan studi kasus di daerah kecil  Biaya moderat, namun hasilnya bias karena sampel tidak representatif

LOGO MPC1

Nonprobability Sampling Contoh Judgement (Purposive) Sampling: Sebuah penelitian mengenai pengaruh pengumuman merger dan akuisisi terhadap return saham perusahaan target di Bursa Efek Jakarta. Sampel penelitiannya adalah semua perusahaan yang dijadikan target merger dan akuisisi pada tahun 1991-1997, dengan alasan pada akhir 1997 Indonesia dilanda krisis ekonomi yang mengakibatkan kesulitan likuiditas. Dari kriteria tsb, diperoleh 36 perusahaan yang dijadikan sampel penelitian. LOGO MPC1

Nonprobability Sampling  Quota sampling  Peneliti mengklasifikasikan populasi menurut kriteria tertentu (partinent properties), menentukan proporsi sampel yang dikehendaki untuk tiap kelas, menetapkan kuota untuk setiap pewawancara  Tidak memerlukan daftar populasi lagi  Memberikan hasil klasifikasi yang bias  Penyimpangan hasil populasi tidak dapat diperkirakan karena penggunaan seleksi yang nonrandom

LOGO MPC1

Nonprobability Sampling  Haphazard sampling  Peneliti memilih sampel tanpa prosedur khusus atau tanpa mengontrol dalam pemilihan sampel  Misal: menanyakan sukarelawan untuk berpartisipasi dalam pendidikan  Cara ini mudah, murah, dan berguna hanya untuk bentuk yang kesannya umum atau secara garis besar saja  Hasilnya bias dan tidak dapat menduga nilai populasi

LOGO MPC1

Nonprobability Sampling  Snowball sampling  Peneliti memilih sampel di mana responden awal (pertama) dipilih dengan metode probabilitas, kemudian responden selanjutnya diperoleh dari informasi yang diberikan oleh responden yang pertama  Keuntungan: memungkinkan ditekannya ukuran sampel dan biaya, bermanfaat untuk pengalokasian anggota populasi yang jumlahnya sedikit  Kelemahan: hasilnya bias karena jumlah sampel tidak independen (orang yang direkomendasikan oleh responden terdahulu untuk diwawancarai memiliki kemungkinan kemiripan) LOGO MPC1

Nonprobability Sampling Identifikasi Responden Snowball

LOGO MPC1

PERTEMUAN 2

 Sampling Error dan Nonsampling Error  Parameter dan Statistik  All Possible Sample  Expected Value dan Bias  Mean Square Error  Distribusi sampling

LOGO Oleh: Adhi Kurniawan

Kesalahan (Error) dalam Pengumpulan Data  Setiap pengukuran tidak akan terlepas dari kemungkinan adanya kesalahan (error)  Kesalahan dalam pengumpulan data ada 2, yaitu sampling error dan nonsampling error

Error

Sampling error Kesalahan karena faktor sampling

Non-sampling error Kesalahan bukan karena faktor sampling LOGO MPC1

Total Error Besar kesalahan (error)

Non sampling error

A

B

C

Sampling error Ukuran sampel (n) A, B, dan C menunjukkan total error/kesalahan LOGO MPC1

Sampling Error  Kesalahan (error) timbul berkenaan dengan penarikan kesimpulan tentang populasi berdasarkan observasi terhadap sebagian unit populasi (sampel)  Error ini tidak akan muncul pada pencacahan lengkap/complete enumeration/sensus  Sampel dengan sampling error terkecil selalu dipertimbangkan sebagai representasi yang baik dari populasi  Nilai sampling error akan menurun dengan peningkatan ukuran sampel (sample size)  Penurunan nilai sampling error akan berbanding terbalik terhadap akar kuadrat dari sample size LOGO MPC1

Cara Mengurangi Sampling Error Memperbesar ukuran sampel (sample size) Tetapi cara ini bisa meningkatkan nonsampling error Sampling design yang tepat Misalnya tanpa menambah jumlah sampel, sampling error bisa ditekan dengan menggunakan stratified random sampling

LOGO MPC1

Nonsampling Error Kesalahan (error) yang timbul terutama pada tahap pengumpulan dan pengolahan data. Error ini muncul di dalam pencacahan lengkap (sensus) dan survei sampel Error ini akan meningkat seiring dengan peningkatan ukuran sampel Error ini akan lebih besar pada pencacahan lengkap (sensus) daripada survei

LOGO MPC1

Nonsampling Error 1. Conceptual Error a. Error dalam penggunaan konsep, definisi , dan klasifikasi. b. Error dalam perencanaan (kuesioner desain, frame, pelatihan petugas, instruksi dalam manual) 2. Error karena penggantian sampel a. Kesalahan identifikasi unit sampling b. Unit sampling tidak ditemukan c. Unit sampling sulit dijangkau (bencana alam, faktor keamanan, faktor alam, dsb) LOGO MPC1

Nonsampling Error 4. Kesalahan Petugas a. Tidak dipahaminya konsep dan definisi b. Under/over coverage c. Petugas kurang gigih menggali informasi responden

Daripada capek cari responden, aku berburu saja. Nanti kuesioner aku isi sendiri Dishonest Interviewer

LOGO MPC1

Nonsampling Error 5. Error karena responden a. Kurangnya penjelasan petugas kepada responden tentang tujuan/maksud dari survei dan maksud dari item-item pertanyaan b. Responden tidak bisa menjawab atau menolak c. Responden terlalu reaktif dan menghubungkan dengan hal-hal lain yang tak terkait dengan survei Pergi!!! saya tidak mau diganggu

Non-Response

LOGO MPC1

Nonsampling Error 6. Error Pengolahan Data a. Error Receiving dan batching b. Error Editing dan coding c. Error Entry data d. Error Validasi data e. Error Cross-check table

LOGO MPC1

Cara Mengurangi Nonsampling Error Callback Rewards and incentive Trained interviewers Data check (monitoring) Questionnaire construction

LOGO MPC1

Parameter vs Statistik data populasi data sampel

pengolahan/analisis pengolahan/analisis

parameter

statistik

Parameter : sebuah fungsi nilai frekuensi dari seluruh N unit (populasi) Contoh: Total: 𝑌1 + 𝑌2 + ⋯ + 𝑌𝑁 = 𝑁 𝑖=1 𝑌𝑖 = 𝑌 1 𝑁 𝑌 Rata-rata: total dibagi jumlah unit, 𝑌 = 𝑌 = 𝑖=1 𝑖 𝑁

𝑁

Statistik merupakan nilai yg dihitung dari hasil survei sample mengenai karakteristik, biasanya untuk tujuan membuat estimasi populasi.  Jika digunakan untuk membuat estimasi nilai karakteristik populasi akan disebut sebagai penduga (estimator).

LOGO MPC1

Estimator vs Estimate  Estimator is a statistics obtained by specified procedure for estimating a population parameter. The estimator is a random variable as its value differs from sample to sample and the samples are selected with specified probability. The particular value, which the estimator takes for a given sample, is known as an estimate

LOGO MPC1

Notasi Pada metode sampling telah disepakati adanya notasi dengan “huruf besar” menyatakan data populasi dan “huruf kecil” menyatakan nilai sampel No

Rincian

Populasi

Sampel

𝑦𝑖

1 2

Nilai karakteristik unit ke-i Rata-rata nilai karakteristik

𝑌𝑖 𝑌

𝑦=𝑌

3

Total nilai karakteristik

𝑌

𝑌

4

Banyaknya unit sampling

𝑁

𝑛

5 6

Varians Proporsi

𝑆2 𝑃

𝑠2 𝑝=𝑃

7

Rasio

𝑅

𝑟=𝑅 LOGO MPC1

Varians dan Varians Sampling  Varians (𝑠 2 ) menunjukkan bagaimana tingkat homegenitas/heterogenitas nilai karakteristik unit dalam populasi.  Akar dari varians (𝑠 2 ) disebut standar deviasi.  Varians sampling 𝑣(𝜃 ) , varians ini berbeda dengan varians yang dinyatakan dengan 𝑠 2 . Varians sampling menunjukkan tingkat keragaman dari nilai-nilai estimasi  Akar dari varians sampling disebut standard error atau sampling error  𝑠𝑒(𝜃).  Standar error dibagi nilai estimasi karakteristik disebut relative standar error (rse), biasanya dinyatakan dalam persen.

LOGO MPC1

All Possible Samples  Misalkan, kita ingin memilih sebanyak 𝑛 sampel dari populasi sebanyak 𝑁 unit .  Dalam pemilihan sampel, terdapat 2 cara yaitu dengan pengembalian (with replacement/wr) dan tanpa pengembalian (without replacement/wor).  All posible sample:  With replacement (wr)--- > terdapat 𝑁 𝑛 possible sample 𝑁! 𝑁  Without replacement (wor)--- > terdapat = 𝑛! 𝑁−𝑛 ! 𝑛 possible sample

LOGO MPC1

All Posible Sample  Misal, kita akan memilih 2 orang sampel dari populasi 3 orang yaitu A, B, C.  Jika pemilihan dilakukan dengan with replacement (wr) akan terdapat 32 = 9 kemungkinan sampel yaitu: 1. AA

2. AB

3. AC

4. BA

5. BB

6. BC

7. CA

8. CB

9. CC

 Jika pemilihan dilakukan dengan without replacement 3! 3 (wor) akan terdapat = = 3 kemungkinan 2!(3−2)! 2 sampel yaitu: 1. AB 2. AC 3. BC LOGO MPC1

Expected Value dan Bias  Misalkan, peluang terpilihnya gugus sampel ke-i adalah 𝑃𝑖 dan 𝜃𝑖 adalah estimasi dari gugus sampel ke-i, yang merupakan penduga 𝜃 dari parameter 𝜃 (i=1,2,…,M), M adalah total dari gugus sampel yang mungkin.  Nilai harapan (expected value) atau rata-rata dari penduga 𝜃 adalah 𝑀

𝐸 𝜃 =

𝑃𝑖 𝜃𝑖 𝑖=1

 Jika peluang terpilihnya tiap gugus sampel sama 𝑃𝑖 = maka 1 𝐸 𝜃 = 𝑀

1 𝑀

,

𝑀

𝜃𝑖 𝑖=1 LOGO MPC1

Expected Value, Bias, dan Consistent Estimator Penduga 𝜃 dikatakan unbiased estimator (penduga yang tidak bias) dari parameter 𝜃 jika expected value-nya sama dengan 𝜃. 𝐸 𝜃 =𝜃 Jika 𝐸 𝜃 ≠ 𝜃 , maka penduga 𝜃 dikatakan biased estimator (penduga yang bias) dari 𝜃.

Bias dari 𝜃 adalah 𝐵 𝜃 =𝐸 𝜃 −𝜃 Penduga 𝜃 dikatakan consistent estimator dari parameter 𝜃 jika nilai 𝜃 akan mendekati 𝜃 seiring dengan peningkatan jumlah sampel LOGO MPC1

Ilustrasi Gugus Sampel Suatu penduga (estimator) adalah random variabel yang juga memiliki sebaran tertentu. Sampel yang berbeda dari populasi yang sama bisa memiliki nilai estimator yang berbeda.

populasi

ambil sampel berukuran n

ambil sampel berukuran n

ambil sampel berukuran n

ambil sampel berukuran n

Gugus Sampel 1

Gugus Sampel 2

Gugus Sampel 3

𝜃1

𝜃2

𝜃3

Gugus Sampel k

𝜃𝑘

LOGO MPC1

Mean Square Error (MSE)  Nilai estimasi berdasarkan pada observasi terhadap suatu gugus sampel akan berbeda dengan nilai estimasi dari gugus sampel lainnya  Perbedaan antara estimasi 𝜃𝑖 berdasarkan gugus sampel ke-i dengan parameter 𝜃 disebut kesalahan estimasi 𝜃𝑖 − 𝜃  Kesalahan estimasi bervariasi antara gugus sampel yang satu dengan gugus sampel yang lainnya.  Rata-rata ukuran perbedaan dari estimasi-estimasi yang berbeda dari nilai parameternya disebut Mean Square Error (MSE) yang dihitung berdasarkan nilai harapan (expected value) dari kuadrat kesalahan estimasi, yaitu 𝑀𝑆𝐸 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃

2

𝑀

=

𝑃𝑖 𝜃𝑖 − 𝜃

2

𝑖=1

 MSE mengukur keakuratan dari estimator

LOGO MPC1

Varians Sampling Varians sampling dihitung berdasarkan nilai harapan (expected value) dari deviasi nilai estimasi dengan nilai harapannya 𝑉 𝜃 =𝐸 𝜃−𝐸 𝜃

2

=𝐸

𝜃2

− 𝐸 𝜃

2

Varians sampling mengukur keragaman atau ketepatan dari penduga (estimator)

LOGO MPC1

Hubungan Antara MSE dan Varians Sampling MSE adalah jumlah dari varians sampling dan bias kuadrat, hal ini bisa dibuktikan: 𝑀𝑆𝐸 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃

2

=𝐸 𝜃−𝐸 𝜃 +𝐸 𝜃 −𝜃 =𝐸 𝜃−𝐸 𝜃

2

=𝑉 𝜃 + 𝐵 𝜃

2

+𝐸 𝐸 𝜃 −𝜃

2

2

Untuk unbiased estimator, MSE sama dengan varians sampling

LOGO MPC1

All Posible Sample Berikut ini adalah data jumlah populasi siswa lakilaki dan perempuan di suatu kelas No 1 2

Kelas A B

Laki-laki (X) 5 10

Perempuan (Y) 2 5

3 4 5

C D E

15 5 10

3 2 4

LOGO MPC1

All Possible Sample Nilai Parameter Populasi No

Kelas

(Xi)

(Yi)

1

A

5

2

2

B

10

5

3

C

15

3

4

D

5

2

5

E

10

4

𝑋=

Total Rata-rata Rasio

𝑋=

1 𝑁

𝑋𝑖 = 45 𝑋𝑖 =

1 × 45 = 9 5

𝑌= 𝑌=

1 𝑁

𝑌𝑖 = 16 𝑌𝑖 =

1 × 16 = 3.2 5

𝑋 9 𝑅= = = 2.8125 3.2 𝑌 LOGO MPC1

All Possible Sample

Jika dari 5 kelas tersebut, diambil 2 kelas sebagai 5 sampel secara wor, maka akan terdapat =10 2 kemungkinan sampel.

LOGO MPC1

All Possible Sample 𝑥𝑖1

𝑥𝑖2

𝑥𝑖

𝑦𝑖1

𝑦𝑖2

𝑦𝑖

A,B

5

10

7.5

2

5

3.5

Rasio 𝒙𝒊 𝑹𝒊 = 𝒚𝒊 2.1

2

A,C

5

15

10

2

3

2.5

4

3

A,D

5

5

5

2

2

2

2.5

4

A,E

5

10

7.5

2

4

3

2.5

5

B,C

10

15

12.5

5

3

4

3.1

6

B,D

10

5

7.5

5

2

3.5

2.1

7

B,E

10

10

10

5

4

4.5

2.2

8

C,D

15

5

10

3

2

2.5

4

9

C,E

15

10

12.5

3

4

3.5

3.6

10

D,E 5 Jumlah

10

7.5 90

2

4

3

2.5

32

28.7

3.2

2.87MPC1 LOGO

Laki-laki (x)

No

Sampel

1

Expected Value

9

Perempuan (y)

All Possible Sample  Expected value dari estimator vs parameter 𝐸 𝑥 =

1 𝑀

𝑀 𝑖=1 𝑥𝑖

=

1 10

× 90 = 9 , 𝑋 = 9

(unbiased)

𝐸 𝑦 =

1 𝑀

𝑀 𝑖=1 𝑦𝑖

=

1 10

× 32 = 3.2 , 𝑌 = 3.2

(unbiased)

𝐸 𝑅 =

1 𝑀

𝑀 𝑖=1 𝑅𝑖

=

1 10

× 28.7 = 2.87 , 𝑅 = 2.8125

(biased)

Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa estimator rata-rata adalah estimator yang unbiased, sedangkan estimator rasio adalah estimator yang biased. Besarnya bias untuk estimator rasio adalah B 𝑅 = 2.87 − 2.8125 = 0.0575 LOGO MPC1

All Possible Sample  Jika diketahui populasi berukuran N=6 yaitu A, B, C, D, E, dan F dengan nilai variabel X berturut-turut adalah 6,2,8,4,2, dan 4. Sampel berukuran n=4 dipilih secara acak tanpa pengembalian (wor) dari populasi tsb. a. Hitunglah nilai 𝐸 𝑥 , 𝐸 𝑋 dan 𝐸 𝑠 2 b. Bandingkan hasil pada point (a) dengan nilai parameternya. Kesimpulan apa yang bisa diambil ? Petunjuk: Untuk gugus sampel ke-i: 𝑋𝑖 = 𝑁𝑥𝑖 𝑠𝑖2

=

1 𝑛−1

𝑛 𝑗=1

𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖

2

, j=1,2,…, n LOGO MPC1

Koefisien Korelasi Mengukur keeratan/kekuatan hubungan antara dua variabel Korelasi bisa bernilai positif atau negatif Semakin besar nilai koefisien korelasi menandakan bahwa hubungan dua variabel tersebut semakin kuat Rumus: 𝑐𝑜𝑣 𝜃1 , 𝜃2 𝐸 𝜃1 − 𝜃1 𝜃2 − 𝜃2 𝜌= = 2 𝑣 𝜃1 × 𝑣 𝜃2 𝐸 𝜃1 − 𝜃1 × 𝐸 𝜃2 − 𝜃2

2

LOGO MPC1

Distribusi Sampling  Dari hasil estimasi yang didapat dari satu gugus sampel akan menghasilkan suatu estimasi titik (point estimate).  Sebenarnya setiap gugus sampel dari seluruh kemungkinan gugus sampel mempunyai nilai estimasi yang kemungkinan akan berbeda dengan nilai sebenarnya (true value).  Seluruh nilai point estimate dari setiap gugus sampel dapat diperkirakan dengan menggunakan estimasi selang (interval estimate) atau confidence interval (1-𝛼)%, dengan rumus: 𝜃 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝜃 < 𝜃 < 𝜃 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝜃  Interpretasi confidence interval (1-𝛼)%: jika kita melakukan pemilihan n sampel secara berulang sebayak 100 kali maka kita akan terdapat 100 selang kepercayaan dan harapannya sebanyak (1-𝛼) selang kepercayaan akan memuat nilai parameter, sedangkan sebanyak 𝛼 selang kepercayaan tidak memuat nilai parameter. LOGO MPC1

Distribusi Sampling Peluang

-2se(𝑦) Keterangan: SE: sampling error SB: sampling bias NSB: nonsampling bias TB: total bias

-se(𝑦)

𝑦

+se(𝑦) 𝐸(𝑦)

SE

𝑌

+2se(𝑦)

𝑌𝑡𝑟𝑢𝑒 NSB

SB TB

Total Error

LOGO MPC1

Akurasi, Efisiensi, dan Presisi Akurasi diukur dari nilai total error, yaitu perbedaan antara nilai estimasi dengan nilai sebenarnya (true value). Semakin kecil nilai total error, suatu estimator dikatakan semakin akurat. Efisiensi diukur dari besarnya mean square error (MSE). Semakin kecil nilai MSE, suatu estimator akan semakin efisien. Presisi diukur dari besarnya varians sampling. Semakin kecil nilai varians sampling, suatu estimator akan semakin precise. LOGO MPC1

Relative Efficiency Estimator 𝜃1 dikatakan lebih efisien daripada estimator 𝜃2 jika 𝑀𝑆𝐸 𝜃1 < 𝑀𝑆𝐸 𝜃2 , besarnya Relative Efficiency (RE) dirumuskan: 𝑀𝑆𝐸 𝜃1 𝑅𝐸𝑠 𝜃1 |𝜃2 = 𝑀𝑆𝐸 𝜃2 Estimator 𝜃1 dikatakan lebih precise daripada estimator 𝜃2 jika V 𝜃1 < 𝑉 𝜃2

Efficiency

Sampling efficiency Cost efficiency

𝑅𝐸𝑐 𝜃1 |𝜃2 =

𝑀𝑆𝐸 𝜃1 × 𝐶 𝜃1 𝑀𝑆𝐸 𝜃2 × 𝐶 𝜃2

LOGO MPC1

PERTEMUAN 3

 Pengertian  Keuntungan dan Kelemahan  SRS WR dan SRS WOR  All Possible Sample  Estimasi Rata-rata, Total  Estimasi Varians

LOGO Oleh: Adhi Kurniawan

Pengertian  Simple Random Sampling/SRS (Penarikan Sampel Acak Sederhana/PSAS) adalah suatu metode memilih sampel dengan peluang setiap unit populasi untuk terpilih di dalam sampel adalah sama.  Keuntungan: cara pengambilan sampel dan teknik estimasi parameternya sederhana  Kelemahan:  hanya cocok untuk populasi yang relatif homogen,  hanya cocok untuk cakupan survei yang tidak terlalu luas, karena membutuhkan kerangka sampel sampai elemen,  biaya tinggi untuk populasi yang besar

LOGO MPC1

SRS WR dan SRS WOR Ada 2 tipe penarikan sampel secara SRS:  SRS WR Setiap unit yang sudah terpilih sebagai sampel, dikembalikan lagi ke dalam populasi, sehingga terjadi kemungkinan terpilih kembali pada pengambilan sampel berikutnya  SRS WOR Suatu unit hanya terpilih satu kali sebagai sampel, unit yang sudah terpilih tidak dikembalikan ke dalam populasi.

LOGO MPC1

All Possible Samples  Misalkan, kita ingin memilih sebanyak 𝑛 sampel dari populasi sebanyak 𝑁 unit .  All posible sample:  SRS with replacement (wr)--- > terdapat 𝑁 𝑛 possible sample  SRS without replacement (wor)--- > terdapat 𝑁! 𝑁 = possible sample 𝑛! 𝑁−𝑛 ! 𝑛

LOGO MPC1

All Posible Sample  Misal, kita akan memilih 2 orang sampel dari populasi 3 orang yaitu A, B, C.  Jika pemilihan dilakukan dengan with replacement (wr) akan terdapat 32 = 9 kemungkinan sampel yaitu: 1. AA

2. AB

3. AC

4. BA

5. BB

6. BC

7. CA

8. CB

9. CC

 Jika pemilihan dilakukan dengan without replacement 3! 3 (wor) akan terdapat = = 3 kemungkinan 2!(3−2)! 2 sampel yaitu: 1. AB

2. AC 3. BC LOGO MPC1

Inclusion Probability 𝝅𝒊  Ketika mengambil satu unit sebagai sampel, peluang unit ke-i 1 untuk terpilih sebagai sampel adalah 𝑝𝑖 = 𝑁

 Misalkan kita mengambil sampel sebanyak n kali, maka peluang unit ke-i untuk terpilih dalam sampel (inclusion probability) adalah penjumlahan dari peluang terpilihnya unit tersebut pada pengambilan yang pertama, kedua, ketiga, dst sampai dengan pengambilan ke-n.  Pada SRS WR 𝑛 1 1 1 1 𝑛 𝜋𝑖 = + + ⋯ + = = 𝑁 𝑁 𝑁 𝑁 𝑁 𝑖=1

 Pada SRS WOR 1 𝑁−1 1 𝑁−𝑛 1 𝑛 𝜋𝑖 = + ∙ + ⋯+ ∙ = 𝑁 𝑁 𝑁−1 𝑁 𝑁−𝑛 𝑁 LOGO MPC1

Prosedur Pemilihan Sampel Lottery Method Menggunakan tabel angka random 1. Independent Choice Of Digits 2. Pendekatan Sisa (Remainder Approach) 3. Pendekatan hasil bagi (Quotient Approach) Menggunakan angka random yang di-generate dari program komputer

LOGO MPC1

Independent Choice Of Digits  Tentukan baris, kolom, dan halaman Tabel Angka Random (TAR) yang digunakan untuk memulai penelusuran angka random  Jika jumlah populasi sebanyak N unit dan jumlah digits dari N adalah sebanyak 𝑟 digit, maka telusuri 𝑟 digit angka dari baris dan kolom permulaan.  Jika angka random (AR)≤ N, maka unit yang nomor urutnya sama dengan AR tsb terpilih sebagai sampel.  Jika angka random (AR)=0, maka unit ke-N (terakhir) terpilih sampel  Jika angka random (AR)>N, maka lanjutkan penelusuran ke angka random di baris selanjutnya pada kolom yang sama.  Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi  Jika sudah sampai pada kolom terakhir dan belum mendapatkan angka random sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama

LOGO MPC1

Independent Choice Of Digits  Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS n=6 dari populasi N=60. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 1. N=60, 𝑟=2 (jumlah digit populasi)  Sampel terpilih: SRS WR: 57, 57, 26, 48, 22,19 SRS WOR: 57, 26, 48, 22,19, 46

Baris

Kolom (1-5)

Baris

Kolom (1-5)

1

88347

1

88347

2

57140

2

57140

3

74686

3

74686

4

68013

4

68013

5

57477

5

57477

6

89127

6

89127

7

26519

7

26519

8

48045

8

48045

9

22531

9

22531

10

84887

10

84887

11

72047

11

72047

12

19645

12

19645

13

46884

13

46884

14

92289

14

92289

SRS WR

SRS WOR LOGO MPC1

Remainder Approach  Dari N unit populasi dan jumlah digits dari N adalah sebanyak 𝑟 digit, maka tentukan nilai 𝑁 ′ yaitu kelipatan terbesar dari N dengan jumlah digit yang sama. 𝑁 ′ adalah batas atas dari angka random yang akan dipilih. Misal: N=32, 𝑟=2, 𝑁 ′ =96  Jika AR≤ N, maka unit yang nomor urutnya sama dengan AR tsb terpilih sebagai sampel.  Jika AR=0, maka unit ke-N (terakhir) terpilih sampel  Jika N
= 𝑘 (𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑠)

Unit dengan nomor urut=s terpilih sebagai sampel. Jika s=0, unit ke-N (terakhir) terpilih sampel  Jika AR > 𝑁 ′ , maka lanjutkan penelusuran ke angka random di baris selanjutnya pada kolom yang sama.  Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi  Jika sudah sampai kolom terakhir dan belum mendapatkan AR sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama LOGO MPC1

Remainder Approach  Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS WOR n=3 dari populasi N=36 dengan remainder approach. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 2. N=36, 𝑟=2, 𝑁 ′ = 72  Angka random: • 83 tolak, karena lebih dari 𝑁 ′ • 71 

= 1, 𝑠𝑖𝑠𝑎 35 (unit ke-35 terpilih sampel)

• 46

71 36 46  36

= 1, 𝑠𝑖𝑠𝑎 10 (unit ke-10 terpilih sampel)

65 36

= 1, 𝑠𝑖𝑠𝑎 29 (unit ke-29 terpilih sampel)

• 80 tolak, karena lebih dari 𝑁 ′ • 74 tolak, karena lebih dari 𝑁 ′ • 91 tolak, karena lebih dari 𝑁 ′

• 65 

 Sampel terpilih: 35, 10, 29

Baris 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Kolom (1-5) 88347 57140 74686 68013 57477 89127 26519 48045 22531 84887 72047 19645 46884 92289 LOGO MPC1

Quotient Approach  Dari N unit populasi dan jumlah digits dari N adalah sebanyak 𝑟 digit, maka tentukan nilai 𝑁 ′ yaitu kelipatan terbesar dari N dengan jumlah digit yang sama. Misal: N=32, 𝑟=2, 𝑁 ′ =96  Hitung nilai 𝑞 =

𝑁′ 𝑁

 Angka random (AR) yang diambil adalah mulai dari 0 sampai (𝑁 ′ − 1)  Hitung 𝑡 =

𝐴𝑅 𝑞

(pembulatan ke bawah)

 Sampel terpilih=unit dengan nomor urut (t-1)  Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi  Jika sudah sampai kolom terakhir dan belum mendapatkan AR sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama

LOGO MPC1

Quotient Approach  Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS WOR n=3 dari populasi N=36 dengan quotient approach. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 2. N=36,

𝑟=2, 𝑁 ′ = 72, (𝑁 ′ −1) = 71, 𝑞 =

72 36

=2

 Angka random: • 83 tolak, karena lebih dari 𝑁 ′ − 1 • 71 t =

71 𝑞

=

71 2

= 35 (unit ke-34 terpilih sampel)

• 46 t =

46 𝑞

=

46 2

= 23 (unit ke-22 terpilih sampel)

• 80 tolak, karena lebih dari 𝑁 ′ − 1 • 74 tolak, karena lebih dari 𝑁 ′ − 1 • 91 tolak, karena lebih dari 𝑁 ′ − 1 • 65 t =

65 𝑞

=

65 2

= 32 (unit ke-31 terpilih sampel)

 Sampel terpilih: 34, 22, 31

Baris 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Kolom (1-5) 88347 57140 74686 68013 57477 89127 26519 48045 22531 84887 72047 19645 46884 92289 LOGO MPC1

Estimasi Nilai yang diestimasi

SRS WR

WOR 1 𝑦= 𝑛

Rata-rata Varians rata-rata

Total

Varians Total

𝑛

𝑦𝑖 𝑖=1

𝑠2 𝑣 𝑦 = 𝑛

𝑁 − 𝑛 𝑠2 𝑣 𝑦 = ∙ 𝑁 𝑛 𝑁 𝑌= 𝑛

2 𝑠 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ 𝑛 2 =𝑁 ∙𝑣 𝑦

𝑛

𝑦𝑖 = 𝑁𝑦 𝑖=1 2 𝑁 − 𝑛 𝑠 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ ∙ 𝑁 𝑛 2 =𝑁 ∙𝑣 𝑦

LOGO MPC1

Estimasi Rata-rata  Estimasi rata-rata 𝑦 adalah estimasi yang unbiased dari parameter 𝑌. Bukti: 𝑛 𝑛 1 1 𝐸 𝑦 =𝐸 𝑦𝑖 = 𝐸 𝑦𝑖 𝑛 𝑛 1 = 𝑛 1 = 𝑛 =𝑌

𝑖=1 𝑛 𝑁

𝑖=1

𝑝𝑖 𝑌𝑖 𝑖=1 𝑛

𝑖=1

𝑖=1

1 = 𝑛

𝑛

𝑁

𝑖=1

𝑖=1

𝑌𝑖 𝑁

1 𝑌 = 𝑛𝑌 𝑛

LOGO MPC1

Varians Rata-rata (1)  Varians rata-rata adalah:

𝑉 𝑦 =

𝑁−𝑛 𝑆 2 ∙ 𝑁 𝑛

Bukti: 𝑉 𝑦 =𝐸 𝑦−𝑌

1 = 2𝐸 𝑛 1 = 2𝐸 𝑛

2

1 =𝐸 𝑛

𝑛

2

𝑛

𝑦𝑖 − 𝑌 𝑖=1 2

𝑦𝑖 − 𝑌 𝑖=1 𝑛

𝑛

𝑦𝑖 − 𝑌 𝑖=1

2

+

𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌 𝑖≠𝑗 LOGO MPC1

Varians Rata-rata (2) 1 𝑉 𝑦 = 2 𝑛 =

1 𝑛2

1 = 2 𝑛

𝑛

𝑖=1 𝑛

1 2 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 + 2 𝑛 𝑁

𝑖=1 𝑖=1 𝑛

𝑖=1

1 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑁

2

𝑛

𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌 𝑖≠𝑗

+

1 𝑛2

1 1 1 2 𝜎 + 2∙ ∙ ∙ 𝑛 𝑁 𝑁−1

1 1 1 1 2 = 2 𝑛𝜎 + 2 ∙ ∙ ∙ 𝑛 𝑛 𝑁 𝑁−1 𝜎2 1 1 1 = − ∙ ∙ ∙ 𝑛 𝑛2 𝑁 𝑁 − 1

𝑛

𝑖≠𝑗

𝑛

1 1 ∙ ∙ 𝑁 𝑁−1 𝑁

𝑁

𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌 𝑖≠𝑗 2

𝑦𝑖 − 𝑌 𝑖≠𝑗

𝑖=1

𝑛

𝑁

− 𝑖≠𝑗

𝑁

−

𝑦𝑖 − 𝑌

2

𝑖=1`

𝑦𝑖 − 𝑌

2

𝑖=1

𝑛

𝜎2 𝑖≠𝑗

2 𝜎2 1 1 1 𝑁 − 𝑛 𝜎 = − 2∙ ∙ ∙ 𝑛 𝑛 − 1 𝜎2 = ∙ 𝑛 𝑛 𝑁 𝑁−1 𝑁−1 𝑛 𝑵 − 𝒏 𝑺𝟐 𝑽 𝒚 = ∙ (𝒓𝒖𝒎𝒖𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒔 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝑺𝑹𝑺 𝑾𝑶𝑹) 𝑵 𝒏

LOGO MPC1

Varians Rata-rata (3) Rumus Varians Untuk SRS WOR 𝑁 − 𝑛 𝑆2 𝑉 𝑦 = ∙ 𝑁 𝑛 𝑛 𝑆2 = 1− ∙ 𝑁 𝑛 𝑆2 = 1−𝑓 ∙ 𝑛 Keterangan: 

𝑁−𝑛 𝑁

 𝑓=

𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 (𝑓𝑝𝑐) 𝑛 𝑁

𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

Jika sampel diambil dengan SRS WR, 𝑦𝑖 dan 𝑦𝑗 saling statistically independent, sehingga 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌 = 0 dan 1 𝑉 𝑦 = 2 ∙ 𝑛𝜎 2 𝑛 𝜎2 = (𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑆𝑅𝑆 𝑊𝑅) LOGO MPC1 𝑛

Sample Varians 𝒔𝟐 𝑠 2 adalah unbiased estimator dari parameter 𝑆 2 dan 𝜎 2 . 𝐸 𝑠 2 = 𝜎 2 jika sampel diambil secara SRS WR 𝐸 𝑠 2 = 𝑆 2 jika sampel diambil secara SRS WOR Bukti: 𝑠2

1 = 𝑛−1 1 = 𝑛−1

𝐸

𝑠2

𝑛

𝑦𝑖 − 𝑦

2

𝑖=1 𝑛

𝑦𝑖 − 𝑌 𝑖=1

1 = 𝐸 𝑛−1

2

−𝑛 𝑦−𝑌

2

𝑛

𝑦𝑖 − 𝑌

2

−𝐸 𝑛 𝑦−𝑌

2

𝑖=1

LOGO MPC1

Sample Varians 𝒔𝟐 𝐸 𝑠

1 = 𝐸 𝑛−1

2

𝒏

𝑬

𝑛

𝑦𝑖 − 𝑌

𝒚𝒊 − 𝒀 𝒊=𝟏

=

𝒏

𝑬 𝒚𝒊 − 𝒀 𝒊=𝟏

−𝑬 𝒏 𝒚−𝒀

𝟐

𝑵

= 𝒊=𝟏 𝒊=𝟏

𝟏 𝒚 −𝒀 𝑵 𝒊

𝟏 = ∙ 𝒏 ∙ 𝑵 − 𝟏 ∙ 𝑺𝟐 … (𝟏) 𝑵

𝑺𝑹𝑺 𝑾𝑹: 𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀

𝑬 𝒏 𝒚−𝒀

𝟐

𝑖=1

𝒏 𝟐

2

𝟐

𝝈𝟐 =𝒏∙ = 𝝈𝟐 … (𝟐𝒂) 𝒏

𝟐

𝟐

𝑺𝑹𝑺 𝑾𝑶𝑹: 𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀

𝟐

𝑵 − 𝒏 𝑺𝟐 =𝒏∙ ∙ 𝑵 𝒏 𝑵−𝒏 𝟐 = ∙ 𝑺 … (𝟐𝒃) 𝒏 LOGO MPC1

Sample Varians 𝒔𝟐  SRS WR Dari persamaan (1) dan (2a) diperoleh: 𝐸

𝑠2

=

1 𝑛(𝑁−1) 2 𝑆 𝑛−1 𝑁

− 𝜎 2 = 𝜎 2 (terbukti)

SRS WOR Dari persamaan (1) dan (2b) diperoleh: 𝐸

𝑠2

=

1 𝑛(𝑁−1) 2 𝑆 𝑛−1 𝑁

−

𝑁−𝑛 2 𝑆 𝑁

= 𝑆 2 (terbukti)

LOGO MPC1

Varians Sampling Untuk penduga Rata-rata 𝒗 𝒚 Dengan men-substitusikan 𝑠 2 untuk 𝜎 2 (SRS WR) dan 𝑆 2 (SRS WOR), kita akan memperoleh unbiased estimasi varians sampling untuk penduga rata-rata, yaitu: 𝑣 𝑦 =

𝑠2 𝑛

𝑣 𝑦 =

𝑁−𝑛 𝑠2 ∙ 𝑁 𝑛

(SRS WR)

(SRS WOR)

LOGO MPC1

Estimasi Total Karakteristik (𝒀)  Estimasi total karakteristik 𝑌 = 𝑁𝑦 Penduga total di atas adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑌, dapat dibuktikan: 𝐸 𝑌 = 𝐸 𝑁𝑦 = 𝑁 ∙ 𝐸 𝑦 = 𝑁𝑌 = 𝑌 Estimasi varians dari penduga total karakteristik: 𝑣 𝑌 = 𝑣 𝑁𝑦 = 𝑁 2 ∙ 𝑦 SRS WR: 𝑣( 𝑌 =

𝑠2 2 𝑁 ∙ 𝑛

SRS WOR: 𝑣( 𝑌 =

𝑁2

∙

𝑁−𝑛 𝑠2 ∙ 𝑁 𝑛

LOGO MPC1

Estimasi Rata-rata SRS

Nilai yang diestimasi

WR

WOR

1 𝑦= 𝑛

Rata-rata

𝑁 − 𝑛 𝑠2 𝑣 𝑦 = ∙ 𝑁 𝑛

1−𝛼 % Confidence Interval 𝑛

𝑦𝑖 − 𝑦

𝑣 𝑦

𝑠𝑒(𝑦) 𝑟𝑠𝑒 𝑦 = × 100% 𝑦 𝑦 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 < 𝑌 < 𝑦 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦

Relative standar error (RSE)

𝑖=1

𝑖=1

𝑠𝑒 𝑦 =

Standar error

1 2 𝑠 = 𝑛−1

𝑦𝑖

𝑠2 𝑣 𝑦 = 𝑛

Varians rata-rata

Catatan:

𝑛

2



𝑁−𝑛 𝑁

 𝑓=

𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 (𝑓𝑝𝑐) 𝑛 𝑁

𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

LOGO MPC1

Estimasi Total Nilai yang diestimasi Total Varians total Standar error Relative standar error (RSE) 1−𝛼 % Confidence Interval

SRS WR

WOR 𝑁 𝑌= 𝑛

2 𝑠 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ 𝑛 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦

𝑛

𝑦𝑖 = 𝑁𝑦 𝑖=1 2 𝑁 − 𝑛 𝑠 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ ∙ 𝑁 𝑛 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦

𝑠𝑒 𝑌 =

𝑣 𝑌

𝑠𝑒(𝑌) 𝑟𝑠𝑒 𝑌 = × 100% 𝑌 𝑌 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 < 𝑌 < 𝑌 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 LOGO MPC1

Contoh 1  Sebuah sampel acak sederhana yang terdiri dari 20 rumah tangga dipilih dari blok sensus X yang mempunyai muatan sebanyak 150 rumah tangga. Jumlah ART dari rumah tangga sampel sebagai berikut: No ruta sampel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Jumlah ART

4

2

3

5

4

6

3

4

5

7

No ruta sampel

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Jumlah ART

3

4

6

2

1

2

3

4

6

4

a. Perkirakan rata-rata jumlah ART dan total penduduk di blok sensus tersebut beserta standar error dan rse-nya ! b. Dengan tingkat kepercayaan 95%, buatlah selang kepercayaan untuk estimasi rata-rata jumlah ART dan total penduduk ! c. Interpretasikan hasil penghitungan di atas !

LOGO MPC1

Penyelesaian (1) Diketahui: 𝑁 = 150, 𝑛 = 20 Estimasi rata-rata: 𝑛 1 1 1 𝑦= 𝑦𝑖 = 4 + 2 + 3 + ⋯+ 6 + 4 = ∙ 78 = 3,9 𝑛 20 20 𝑖=1

Varians dari estimasi rata-rata: 𝑁 − 𝑛 𝑠 2 150 − 20 2,515 𝑣 𝑦 = ∙ = ∙ = 0,109 𝑁 𝑛 150 20 Standar error dari estimasi rata-rata: 𝑠𝑒 𝑦 = 𝑣 𝑦 = 0,109 = 0,330 Relative standar error (RSE): 𝑠𝑒(𝑦) 0,330 𝑟𝑠𝑒 𝑦 = ∙ 100% = ∙ 100% = 8,46% 𝑦 3,9 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95%: 𝑦 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 < 𝑌 < 𝑦 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 3,9 − 1,96 ∙ 0,330 < 𝑌 < 3,9 + 1,96 ∙ 0,330 3,253 < 𝑌 < 4,547

LOGO MPC1

Penyelesaian (2) Interpretasi: Estimasi rata-rata anggota rumah tangga di blok sensus X adalah 3,9 orang per rumah tangga dengan perkiraan rata-rata penyimpangan (standar error) sebesar 0,33 dan relative standar error sebesar 8,46%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dinyatakan bahwa nilai populasi rata-rata anggota rumah tangga akan berada pada interval antara 3,253 sampai 4,547 orang per rumah tangga.

LOGO MPC1

Penyelesaian (3) Estimasi total: 𝑌 = 𝑁𝑦 = 150 ∙ 3,9 = 585 Varians dari estimasi rata-rata: 𝑣 𝑌 = 𝑁 2 ∙ 𝑣 𝑦 = 1502 ∙ 0,109 = 2452,895

Standar error dari estimasi rata-rata: 𝑠𝑒 𝑌 =

𝑣 𝑌 =

2452,895 = 49,526

Relative standar error (RSE): 𝑠𝑒(𝑌) 49,526 𝑟𝑠𝑒 𝑌 = ∙ 100% = ∙ 100% = 8,46% 585 𝑌 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95%: 𝑌 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 < 𝑌 < 𝑌 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 585 − 1,96 ∙ 49,526 < 𝑌 < 585 + 1,96 ∙ 49,526 487,92 < 𝑌 < 682,07

LOGO MPC1

Penyelesaian (4) Interpretasi: Estimasi total penduduk di blok sensus X adalah 585 orang dengan perkiraan rata-rata penyimpangan (standar error) sebesar 49,526 orang dan relative standar error sebesar 8,46%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dinyatakan bahwa nilai populasi total penduduk akan berada pada interval antara 487,92 sampai 682,07 orang.

LOGO MPC1

PERTEMUAN 4

 Proporsi  Presisi  Penentuan Ukuran Sampel  All Possible Sample

LOGO Oleh: Adhi Kurniawan

Proporsi Populasi 𝑷  Proporsi adalah special case dari rata-rata ketika variabel/karakteristik yang diteliti 𝑌𝑖 hanya bernilai 0 dan 1.  Misalkan, kita ingin mengetahui proporsi mahasiswa yang suka terhadap mata kuliah MPC di kelas 2KS1, maka 𝑌𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC 𝑌𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC Maka proporsi populasi mahasiswa yang suka MPC di 2KS1:

1 𝑃= 𝑁

𝑁

𝑌𝑖 𝑖=1

LOGO MPC1

Estimasi Proporsi (𝒑)  Jika 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 adalah random sampel dengan ukuran 𝑛 yang diambil dari populasi sebanyak N, maka estimasi proporsi: 𝑛 1 𝑝= 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1

Keterangan: 𝑦𝑖 harus bernilai 0 atau 1 Estimasi proporsi 𝑝 adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑃, hal ini dibuktikan: 𝑛 𝑛 𝑛 1 1 1 𝑌𝑖 𝐸 𝑝 =𝐸 𝑦𝑖 = 𝐸 𝑦𝑖 = ∙ 𝑛 ∙ =𝑃 𝑛 𝑛 𝑛 𝑁 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

LOGO MPC1

Varians Populasi dari 𝒀𝒊 (𝒀𝒊 =0 atau 1)  Misalkan dari sebanyak N populasi mahasiswa, terdapat A mahasiswa yang suka mata kuliah MPC, sehingga: 𝑌𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC 𝑌𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC  Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan: 𝑁

𝑖=1

𝐴 𝑌𝑖 = 𝐴 dan 𝑃 = , 𝑄 = 1 − 𝑃 𝑁

 Varians dari 𝑌𝑖 dapat dirumuskan: 𝑆2

1 = 𝑁−1

𝑁

𝑌𝑖 − 𝑌 𝑖=1

2

1 = 𝑁−1

𝑁

𝑌𝑖2 − 𝑁𝑌 2 𝑖=1

Karena 𝑌𝑖 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1, maka: 𝑁

𝑌𝑖2 = 𝐴 = 𝑁𝑃 𝑑𝑎𝑛 𝑌 2 = 𝑃2 𝑖=1

𝑆2

1 𝑁 2 = 𝑁𝑃 − 𝑁𝑃 = 𝑃𝑄 𝑁−1 𝑁−1

LOGO MPC1

Varians Sampel dari 𝒚𝒊 (𝒚𝒊 =0 atau 1)  Misalkan dari sebanyak n sampel mahasiswa, terdapat a mahasiswa yang suka mata kuliah MPC, sehingga: 𝑦𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC 𝑦𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC  Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan: 𝑛 𝑎 𝑦𝑖 = 𝑎 dan 𝑝 = , 𝑞 = 1 − 𝑝 𝑛 𝑖=1

 Varians dari 𝑦𝑖 dapat dirumuskan: 𝑛 1 1 2 2 𝑠 = 𝑦𝑖 − 𝑦 = 𝑛−1 𝑛−1 𝑖=1

𝑛

𝑦𝑖2 − 𝑛𝑦 2 𝑖=1

Karena 𝑦𝑖 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1, maka: 𝑛

𝑦𝑖2 = 𝑎 = 𝑛𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑦 2 = 𝑝2 𝑖=1

𝑠2

1 𝑛 2 = 𝑛𝑝 − 𝑛𝑝 = 𝑝𝑞 𝑛−1 𝑛−1

LOGO MPC1

Varians Sampling dari Estimasi Proporsi Untuk SRS WR

𝑠2 1 𝑛 𝑣 𝑝 = = ∙ 𝑝𝑞 𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑝𝑞 = 𝑛−1

Untuk SRS WOR 𝑁 − 𝑛 𝑠2 𝑁 − 𝑛 1 𝑛 𝑣 𝑝 = ∙ = ∙ ∙ 𝑝𝑞 𝑁 𝑛 𝑁 𝑛 𝑛−1 𝑁 − 𝑛 𝑝𝑞 = ∙ 𝑁 𝑛−1 LOGO MPC1

Estimasi Total dari Proporsi  Misalkan dari populasi sebanyak N mahasiswa diambil sampel sebanyak n mahasiswa. Dari sampel tersebut, terdapat sebanyak 𝒂 mahasiswa yang suka MPC. 𝑦𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC 𝑦𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC  Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan: 𝑛

𝑦𝑖 = 𝒂 𝑖=1

 Estimasi proporsi mahasiswa yang suka MPC: 𝒂 𝑝= 𝑛  Estimasi total mahasiswa yang suka MPC: 𝐴 = 𝑁𝑝  Estimasi varians total: 𝑣 𝐴 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑝

LOGO MPC1

Estimasi Proporsi Nilai yang diestimasi

SRS

WR

WOR

1 𝑝= 𝑛

Rata-rata Varians rata-rata

𝑝𝑞 𝑣 𝑝 = 𝑛−1

1−𝛼 % Confidence Interval Catatan: 𝑦𝑖 = 0 atau 1 𝑞 = 1−𝑝

𝑦𝑖 𝑖=1

𝑁 − 𝑛 𝑝𝑞 𝑣 𝑝 = ∙ 𝑁 𝑛−1 𝑠𝑒 𝑝 =

Standar error Relative standar error (RSE)

𝑛

𝑣 𝑝

𝑠𝑒(𝑝) 𝑟𝑠𝑒 𝑝 = × 100% 𝑝 𝑝 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 

𝑁−𝑛 𝑁

 𝑓=

𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 (𝑓𝑝𝑐) 𝑛 𝑁

𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

LOGO MPC1

Estimasi Total Nilai yang diestimasi

SRS WR

WOR 𝐴 = 𝑁𝑝

Total Varians total Standar error Relative standar error (RSE) 1−𝛼 % Confidence Interval

𝑣 𝐴 =

𝑁2

𝑝𝑞 ∙ 𝑛−1

𝑁 − 𝑛 𝑝𝑞 𝑣 𝐴 =𝑁 ∙ ∙ 𝑁 𝑛−1

𝑠𝑒 𝐴 =

2

𝑣 𝐴

𝑠𝑒(𝐴) 𝑟𝑠𝑒 𝐴 = × 100% 𝐴 𝐴 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝐴 < 𝐴 < 𝐴 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝐴

LOGO MPC1

Contoh 1:  Dari populasi sebanyak 50 pegawai di perusahaan X, dipilih 10 orang sebagai sampel secara SRS WOR. Data yang diperoleh sebagai berikut: No Umur

Pendidikan terakhir

No

Umur

Pendidikan terakhir

1

24

S1

6

50

D3

2

35

D3

7

27

SMA

3

42

SMA

8

52

SMA

4

31

S1

9

46

S2

5

29

S1

10

39

S1

Tentukan: a. Estimasi proporsi pegawai yang berumur kurang dari 30 tahun b. Estimasi total/jumlah pegawai yang berumur kurang dari 30 tahun c. Estimasi proporsi pegawai yang pendidikan terakhir S1 d. Estimasi jumlah pegawai yang pendidikan terakhir S1 LOGO MPC1

Penyelesaian: No

Umur

Pendidikan terakhir

Kode Umur (<30=1, 30 ke atas=0)

Kode Pendidikan Terakhir (S1=1, bukan S1=0)

1

24

S1

1

1

2

35

D3

0

0

3

42

SMA

0

0

4

31

S1

0

1

5

29

S1

1

1

6

50

D3

0

0

7

27

SMA

1

0

8

52

SMA

0

0

9

46

S2

0

0

10

39

S1

0

1

Jumlah dari sampel (𝑎)

3

4

Estimasi proporsi (𝑝)

3/10=0,3

4/10=0,4 LOGO MPC1

Penyelesaian: Estimasi Proporsi Statistik

Rumus

Proporsi

𝑎 𝑛 𝑁−𝑛 𝑣 𝑝 = 𝑁 𝑝𝑞 ∙ 𝑛−1

Varians proporsi

Standar Error proporsi

Kode Umur (<30=1, 30 ke atas=0)

𝑝=

𝑠𝑒 𝑝 =

𝑣(𝑝)

RSE

𝑟𝑠𝑒 𝑝 𝑠𝑒(𝑝) = × 100% 𝑝

95%CI

[𝑝 − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 ; 2

3 = 0,3 10 50 − 10 0,3 ∙ 0,7 = ∙ 50 9 = 0,0186

𝑝1 = 𝑣 𝑝1

𝑠𝑒 𝑝1 =

𝑟𝑠𝑒 𝑝1

0,0186 = 0,136 0,136 = × 100% 0,3 = 45,33%

[0,033; 0,567]

Kode Pendidikan Terakhir (S1=1, bukan S1=0) 4 𝑝2 = = 0,4 10 50 − 10 0,4 ∙ 0,6 𝑣 𝑝2 = ∙ 50 9 = 0,0213 𝑠𝑒 𝑝2 =

𝑟𝑠𝑒 𝑝2

0,0213 = 0,145

0,145 = × 100% 0,4 = 36,25%

[0,116; 0,684]

𝑝 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 ] LOGO MPC1

Penyelesaian: Estimasi Total Statistik

Rumus

Kode Umur (<30=1, 30 ke atas=0)

Kode Pendidikan Terakhir (S1=1, bukan S1=0)

Total

𝐴 = 𝑁𝑝

𝐴1 = 50 ∙ 0,3 = 15

𝐴2 = 50 ∙ 0,4 = 20

𝑣 𝐴1 = 502 ∙ 0,0186 = 46,5

𝑣 𝐴2 = 502 ∙ 0,0213 = 53,25

Varians 𝑣 𝐴 = 𝑁 2 ∙ 𝑣(𝑝) proporsi Standar Error proporsi

𝑠𝑒 𝐴 =

𝑣(𝐴)

RSE

𝑟𝑠𝑒 𝐴 𝑠𝑒(𝐴) = × 100% 𝐴

95%CI

[𝑝 − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 ; 2

𝑠𝑒 𝐴1 =

46,5 = 6,819

6,819 × 100% 15 = 45,33%

𝑟𝑠𝑒 𝐴1 =

[1,635; 28,365]

𝑠𝑒 𝐴2 =

53,25 = 7,297

7,297 × 100% 20 = 36,25%

𝑟𝑠𝑒 𝐴2 =

[5,698; 34,302]

𝑝 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 ]

LOGO MPC1

Presisi (d)  Presisi (margin of error) menunjukkan besarnya toleransi kesalahan (error) dari suatu penduga (estimator).  Semakin kecil nilai margin of error maka suatu penduga/estimator akan semakin precise/reliable.  Rumus: 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 = 𝑦−𝑌 1 = ∙ 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 2 Keterangan: 𝑍𝛼/2 : koefisien reliability 𝑠𝑒 𝑦 : standar error LOGO MPC1

Presisi dan Confidence Interval

𝒚 − 𝒁𝜶 ∙ 𝒔𝒆 𝒚 < 𝒀 < 𝒚 + 𝒁𝜶 ∙ 𝒔𝒆 𝒚 𝟐

Koefisien reliability

𝟐

× Standar error

Presisi 𝒅 Lower bound (lb)

Koefisien reliability

× Standar error

Presisi 𝒅 Upper bound (up)

𝑷𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍 = 𝒖𝒑 − 𝒍𝒃 = 𝟐 × 𝒅 LOGO MPC1

Penentuan Ukuran Sampel (Sample Size)  Jika diketahui nilai sample varians dari penelitian terdahulu: SRS WR 𝒏𝟎 =

𝒁𝜶/𝟐

𝑵 𝒁𝜶/𝟐 𝑵𝒅𝟐

∙ 𝒔𝟐

𝒅𝟐

SRS WOR 𝒏=

𝟐

𝟐

+ 𝒁𝜶/𝟐

∙ 𝒔𝟐 𝟐

𝒏𝟎 𝒏= 𝒏𝟎 𝟏+ 𝑵

∙ 𝒔𝟐

Keterangan:

𝑠 2 : sample varians dari dari penelitian terdahulu 𝑑 : presisi/margin of error yang ditetapkan LOGO MPC1

Bukti: SRS WR 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 𝑠2 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑛0 2 𝑠 𝑑2 = 𝑍𝛼/2 2 ∙ 𝑛0

𝒏𝟎 =

𝒁𝜶/𝟐

𝟐

𝒅𝟐

∙ 𝒔𝟐

SRS WOR 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 𝑁 − 𝑛 𝑠2 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ ∙ 𝑁 𝑛 2 𝑁 − 𝑛 𝑠 𝑑 2 = 𝑍𝛼/2 2 ∙ ∙ 𝑁 𝑛 𝑛𝑁𝑑2 = 𝑍𝛼/2 2 𝑁𝑠 2 − 𝑍𝛼/2 2 𝑛𝑠 2 𝑛𝑁𝑑 2 + 𝑍𝛼/2 2 𝑛𝑠 2 = 𝑍𝛼/2 2 𝑁𝑠 2 𝑛 𝑁𝑑2 + 𝑍𝛼/2 2 𝑠 2 = 𝑍𝛼/2 2 𝑁𝑠 2 𝒏=

𝑵 𝒁𝜶/𝟐 𝑵𝒅𝟐

𝟐

+ 𝒁𝜶/𝟐

∙ 𝒔𝟐 𝟐

∙ 𝒔𝟐 LOGO MPC1

Bukti: Hubungan 𝒏𝟎 dan 𝒏 SRS WR 𝒏𝟎 =

𝒁𝜶/𝟐

𝟐

SRS WOR ∙ 𝒔𝟐

↔ 𝑠2 =

𝒅𝟐

𝑛=

𝑛0 ∙ 𝑑

𝑁 𝑍𝛼/2 𝑁𝑑 2

2

+ 𝑍𝛼/2

∙

𝑍𝛼/2

∙

𝒏=

2

𝑁 𝑍𝛼/2

𝑠2 2

2

𝑠2

𝑵 𝒁𝜶/𝟐 𝑵𝒅𝟐 2

↔𝑛= 𝑁𝑑 2

+ 𝑍𝛼/2

∙

𝟐

+ 𝒁𝜶/𝟐

∙ 𝒔𝟐 𝟐

∙ 𝒔𝟐

𝑛0 ∙ 𝑑 2 𝑍𝛼/2 2

∙

𝑁 ∙ 𝑛0 ∙ 𝑑 2 𝑑 2 (𝑁 ∙ 𝑛0 ) 𝑛= ↔𝑛= 2 𝑁𝑑 2 + 𝑛0 ∙ 𝑑 2 𝑑 (𝑁 + 𝑛0 ) 𝑁 ∙ 𝑛0 1 𝑁 𝑛= ∙ 𝑁 + 𝑛0 1 𝑁 𝒏𝟎 𝒏= 𝒏 𝟏 + 𝑵𝟎

2

𝑛0 ∙ 𝑑 2 𝑍𝛼/2

2

LOGO MPC1

Penentuan Ukuran Sampel (Sample Size)  Jika diketahui nilai presisi relative (persentase margin of error) dan koefisien variasi dari penelitian terdahulu: SRS WR

𝒏𝟎 =

𝒁𝜶/𝟐 𝒅′

SRS WOR

𝒏=

𝑵 𝒁𝜶/𝟐 𝑵

𝒅′ 𝟐

𝟐

∙ 𝑪𝟐

𝟐 𝟐

𝒏𝟎 𝒏= 𝒏 𝟏+ 𝟎 𝑵

∙ 𝑪𝟐

+ 𝒁𝜶/𝟐

𝟐

∙ 𝑪𝟐

Keterangan:

𝐶 : koefisien variasi dari dari penelitian terdahulu 𝑑′ : presisi relatif/persentase margin of error yang ditetapkan LOGO MPC1

Bukti: 𝑑 = ↔ 𝑑 = 𝑑′ ∙ 𝑥 𝑥 𝑠 𝐶 = ↔𝑠 =𝐶∙𝑥 𝑥

𝑑′

SRS WR 𝑛0 = 𝑛0 =

𝒏𝟎 =

𝑍𝛼/2

𝑍𝛼/2

2

SRS WOR ∙𝑠

2

𝑑2 2

∙ 𝐶𝑥

𝑑′ 𝑥

𝒁𝜶/𝟐 𝒅′

2

𝟐

∙

𝟐

𝑛= 2

𝑛=

𝑪𝟐

𝑁 𝑍𝛼/2 𝑁𝑑 2

𝑁

𝒏=

2

2

𝒅′ 𝟐

∙ 𝑠2

∙ 𝐶𝑥

+ 𝑍𝛼/2

𝑵 𝒁𝜶/𝟐 𝑵

∙ 𝑠2

+ 𝑍𝛼/2

𝑁 𝑍𝛼/2 𝑑′ 𝑥 2

2

𝟐

2

2

∙ 𝐶𝑥

2

∙ 𝑪𝟐

+ 𝒁𝜶/𝟐

𝟐

∙ 𝑪𝟐 LOGO MPC1

Bukti: Hubungan 𝒏𝟎 dan 𝒏 SRS WR 𝒏𝟎 =

𝒁𝜶/𝟐

𝟐

SRS WOR ∙ 𝒔𝟐

↔ 𝑠2 =

𝒅𝟐

𝑛=

𝑛0 ∙ 𝑑

𝑁 𝑍𝛼/2 𝑁𝑑 2

2

+ 𝑍𝛼/2

∙

𝑍𝛼/2

∙

𝒏=

2

𝑁 𝑍𝛼/2

𝑠2 2

2

𝑠2

𝑵 𝒁𝜶/𝟐 𝑵𝒅𝟐 2

↔𝑛= 𝑁𝑑 2

+ 𝑍𝛼/2

∙

𝟐

+ 𝒁𝜶/𝟐

∙ 𝒔𝟐 𝟐

∙ 𝒔𝟐

𝑛0 ∙ 𝑑 2 𝑍𝛼/2 2

∙

𝑁 ∙ 𝑛0 ∙ 𝑑 2 𝑑 2 (𝑁 ∙ 𝑛0 ) 𝑛= ↔𝑛= 2 𝑁𝑑 2 + 𝑛0 ∙ 𝑑 2 𝑑 (𝑁 + 𝑛0 ) 𝑁 ∙ 𝑛0 1 𝑁 𝑛= ∙ 𝑁 + 𝑛0 1 𝑁 𝒏𝟎 𝒏= 𝒏 𝟏 + 𝑵𝟎

2

𝑛0 ∙ 𝑑 2 𝑍𝛼/2

2

LOGO MPC1

Penentuan Ukuran Sampel (Sample Size)  Jika dari penelitian terdahulu, diketahui nilai proporsi kejadian dari indikator tertentu. SRS WR 𝒏𝟎 =

𝒁𝜶/𝟐

𝑵 𝒁𝜶/𝟐 𝑵𝒅𝟐

∙ 𝒑𝒒

𝒅𝟐

SRS WOR 𝒏=

𝟐

𝟐

+ 𝒁𝜶/𝟐

∙ 𝒑𝒒 𝟐

𝒏𝟎 𝒏= 𝒏 𝟏+ 𝟎 𝑵

∙ 𝒑𝒒

Keterangan:

𝑝 : proporsi variabel/indikator tertentu 𝑑 : presisi/margin of error yang ditetapkan LOGO MPC1

Bukti: SRS WR 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 𝑝𝑞 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑛0 − 1

Untuk tujuan praktis, 𝑛0 − 1 ≈ 𝑛0 𝑑2

= 𝑍𝛼/2

𝒏𝟎 =

𝒁𝜶/𝟐

2

𝑝𝑞 ∙ 𝑛0

𝟐

𝒅𝟐

∙ 𝒑𝒒

SRS WOR 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 𝑁 − 𝑛 𝑝𝑞 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ ∙ 𝑁 𝑛−1

Untuk tujuan praktis, 𝑛 − 1 ≈ 𝑛

𝑁 − 𝑛 𝑝𝑞 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ ∙ 𝑁 𝑛 𝑛𝑁𝑑2 = 𝑍𝛼/2 2 𝑁𝑝𝑞 − 𝑍𝛼/2 2 𝑛𝑝𝑞 𝑛𝑁𝑑2 + 𝑍𝛼/2 2 𝑛𝑝𝑞 = 𝑍𝛼/2 2 𝑁𝑝𝑞 𝑛 𝑁𝑑 2 + 𝑍𝛼/2 2 𝑝𝑞 = 𝑍𝛼/2 2 𝑁𝑝𝑞 2

2

𝒏=

𝑵 𝒁𝜶/𝟐 𝑵𝒅𝟐

𝟐

+ 𝒁𝜶/𝟐

∙ 𝒑𝒒 𝟐

∙ 𝒑𝒒 LOGO MPC1

Contoh 2 Suatu survei akan memilih beberapa rumah tangga sebagai sampel untuk meneliti pengeluaran makanan sebulan. Margin of error (presisi) yang diinginkan sebesar ±𝑅𝑝 40.000,00. Jika dari survei pendahuluan diperoleh standar deviasi sebesar Rp 120.000,00, dengan tingkat kepercayaan 95% tentukan: a. Jumlah sampel minimum yang diperlukan jika pengambilan secara SRS WR ? b. Jika jumlah populasi N=2000 rumah tangga dan pengambilan secara SRS WOR, berapa jumlah minimum sampel yang dibutuhkan ? LOGO MPC1

Penyelesaian  Diketahui : 𝑑 = 40.000, 𝑠 = 120.000, 𝑍𝛼/2 = 1,96 a. SRS WR

𝑛0 =

𝑍𝛼/2

2

∙ 𝑠2

𝑑2

1,962 ∙ 1200002 = = 34,57 ≈ 35 2 40000

b. SRS WOR (N=2000) 𝑛=

𝑁 𝑍𝛼/2 𝑁𝑑2

2

∙ 𝑠2 2

+ 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠 2 2000 ∙ 1,962 ∙ 1200002 = = 33,98 ≈ 34 2 2 2 2000 ∙ 40000 + 1,96 ∙ 120000 LOGO MPC1

Contoh 3 Suatu survei dilaksanakan di suatu sekolah untuk meneliti rata-rata berat badan siswa. Persentase margin of error (presisi relative) yang diinginkan sebesar ±5% dari rata-ratanya. Jika dari survei pendahuluan diperoleh koefisien variasi sebesar 0,1, maka dengan tingkat kepercayaan 95% tentukan: a. Jumlah sampel minimum yang diperlukan jika pengambilan secara SRS WR ? b. Jika jumlah populasi N=100 siswa dan pengambilan secara SRS WOR, berapa jumlah minimum sampel yang dibutuhkan ? LOGO MPC1

Penyelesaian  Diketahui : Presisi relative: 𝑑′ Koefisien variasi:

𝑑 = = 5% = 0,05 𝑥 𝑠 𝐶 = = 0,1 𝑥

Reliability=95% 𝑍𝛼/2 = 1,96 a. SRS WR

𝑛0 = =

𝑍𝛼/2

2

∙ 𝑠2

𝑑2 1,962 ∙ 0,12 0,052

=

𝑍𝛼/2

2

∙ 𝐶𝑥

𝑑′ 𝑥 2

2

=

𝑍𝛼/2 𝑑′

2

∙ 𝐶2

2

= 15,36 ≈ 16 LOGO MPC1

Penyelesaian a. SRS WOR (N=100) 𝑛= =

𝑁 𝑍𝛼/2 𝑁𝑑2

+ 𝑍𝛼/2

𝑁 𝑍𝛼/2

2

∙𝑠

2

2

∙ 𝑠2

=

𝑁 𝑍𝛼/2 𝑁

𝑑′ 𝑥 2

2

∙ 𝐶𝑥

+ 𝑍𝛼/2

2

2

∙ 𝐶𝑥

2

∙ 𝐶2 2

+ 𝑍𝛼/2 ∙ 𝐶 2 100 ∙ 1,962 ∙ 0,12 = = 13,31 ≈ 14 2 2 2 100 ∙ 0,05 + 1,96 ∙ 0,1

𝑁

𝑑′ 2

2

LOGO MPC1

Contoh 4 Dari penelitian terdahulu diperoleh informasi bahwa persentase siswa laki-laki yang merokok sebesar 60%. Dengan tingkat kepercayaan 95% dan presisi 5%, tentukan: a. Jumlah sampel minimum yang diperlukan jika pengambilan secara SRS WR ? b. Jika jumlah populasi N=4000 siswa laki-laki dan pengambilan secara SRS WOR, berapa jumlah minimum sampel yang dibutuhkan ?

LOGO MPC1

Penyelesaian  Diketahui : 𝑝 = 60% = 0,6 ; 𝑑 = 5% = 0,05 ; 𝑍𝛼/2 = 1,96 a. SRS WR

𝑛0 =

𝑍𝛼/2

2

∙ 𝑝𝑞

𝑑2

1,962 ∙ 0,6 ∙ 0,4 = = 368,79 ≈ 369 2 0,05

b. SRS WOR (N=4000) 𝑛=

𝑁 𝑍𝛼/2 𝑁𝑑2

2

∙ 𝑝𝑞 2

+ 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑝𝑞 4000 ∙ 1,962 ∙ 0,6 ∙ 0,4 = = 337,66 ≈ 338 2 2 4000 ∙ 0,05 + 1,96 ∙ 0,6 ∙ 0,4 LOGO MPC1

Contoh 5 Misalkan, dari N=100, ingin diambil sejumlah sampel dengan tingkat kepercayaan 95% (𝑍𝛼/2 = 1,96). Beberapa kemungkinan besar sampel (n) untuk nilai proporsi dan presisi tertentu sebagai berikut: Presisi

No Proporsi

0.01 0.02

0.05

0.07

0.1

1

0.1

97

90

58

41

26

2

0.2

98

94

71

56

38

3

0.3

99

95

76

62

45

4

0.4

99

96

79

65

48

5

0.5

99

96

79

66

49

6

0.6

99

96

79

65

48

7

0.7

99

95

76

62

45

8

0.8

98

94

71

56

38

9

0.9

97

90

58

41

26

Kesimpulan: Semakin precise suatu penelitian, jumlah sampel yang dibutuhkan akan semakin besar

LOGO MPC1

Grafik

LOGO MPC1

PERTEMUAN 5

 Pengertian  Skema Pembentukan Strata  Estimasi Rata-rata, Total  Estimasi Varians

LOGO Oleh: Adhi Kurniawan

Pengertian  Populasi sebanyak 𝑁 unit dikelompokkan menjadi 𝐿 subpopulasi, masing-masing subpopulasi terdiri dari 𝑁1 , 𝑁2 , …, 𝑁𝐿 unit  Subpopulasi yang terbentuk tidak boleh saling tumpang tindih (overlapping).  Jumlah unit dari semua subpopulasi sama dengan jumlah populasi, sehingga: 𝑁1 + 𝑁2 + ⋯ + 𝑁𝐿 = 𝑁  Subpopulasi ini disebut strata.  Penarikan sampel dilakukan untuk setiap strata, dan bersifat independent antara strata satu dengan strata lainnya. 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝐿 = 𝑛  Jika penarikan sampel di setiap strata dilakukan secara SRS, prosedur ini disebut stratified random sampling. LOGO MPC1

Keuntungan  Meningkatkan efisiensi desain/presisi estimasi karakteristik populasi. Prinsip: 1. Unit/elemen yang karakteristiknya hampir sama dikelompokkan dalam satu strata. Unit-unit dalam strata (within stratum) -- > homogen 2. Perbedaan rata-ratakarakteristik antarstrata dibuat sebesar mungkin. Unit-unit antar strata (between stratum) -- > heterogen  Masing-masing strata bisa dianggap sebagai populasi tersendiri sehingga bisa diterapkan desain sampling yang berbeda.  Estimasi bisa dilakukan untuk penyajian sampai level strata.  Untuk kemudahan administratif. LOGO MPC1

Skema Pembentukan Strata POPULASI

STRATIFIKASI POPULASI

♦ ♠ ♣ ♥

♠ ♦ ♥ ♥ ♠ ♥ ♣ ♦ ♦ ♠ ♣ ♠ ♥ ♠ ♦ ♠ ♥ ♣ ♦ ♣ ♦ ♣♥♣ ♣ ♥ ♠ ♥♣ ♥ ♥ ♠

♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦ ♦♦ Strata 1

♠ ♦ ♣ ♠ ♣ ♠ ♣ ♥ ♦ ♦ ♥ ♥

♠♠♠ ♠♠♠ ♠♠♠ ♠♠♠

♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣

♥♥♥ ♥♥♥ ♥ ♥ ♥♥ ♥ ♥ ♥♥

Strata 2

Strata 3

Strata 4 LOGO MPC1

Pembentukan Strata Untuk Meningkatkan Presisi  Untuk membentuk strata diperlukan variabel pendukung untuk mengelompokkan unit sampling sehingga varians dari nilai variabel di dalam strata menjadi lebih homogen.  Bila memungkinkan lebih baik lagi bila dapat diusahakan agar perbedaan rata-rata nilai karakteristik antar strata dibuat sebesar mungkin.  Untuk meningkatkan presisi maka perlu dipilih suatu variabel yang diperkirakan mempunyai korelasi dengan data yang akan dikumpulkan.  Contoh: variabel yang baik untuk dasar stratifikasi survei sosial ekonomi nasional antara lain pengelompokan wilayah elit dan non elit, atau daerah perkotaan dan daerah pedesaan. LOGO MPC1

Dasar-dasar Pembentukan Strata Dasar pembentukan strata tergantung dari tujuan pembentukan strata dan sifat-sifat variabel yang akan dijadikan dasar pembentukan strata, contohnya: a. Unit sampling itu sendiri, misalkan mahasiswa laki-laki dan mahasiswa perempuan b. Variabel wilayah administrasi,misalnya desa perkotaan dan desa pedesaan. c. Variabel letak geografis, misalnya desa pantai dan desa bukan pantai. d. Variabel lainnya misalnya kepadatan penduduk, jenis lapangan usaha (daerah pertanian dan non pertanian). e. Perusahaan/usaha bisa dibedakan usaha skala besar, sedang, dan kecil, misalnya berdasarkan omzet atau jumlah tenaga kerja. LOGO MPC1 f. Sekolah, bisa sekolah negeri dan sekolah swasta.

Skema Penarikan Sampel (1) TAR halaman 1, baris 1, kolom 1, remainder approach POPULASI

STRATA 1 1.♦ 2.♦ 3.♦ 4.♦

5.♦ 9.♦ 6.♦ 10.♦ 7.♦ 8.♦

SAMPEL 𝑁1 = 10, 𝑁1′ = 90 • 88/10 sisa 8 • 57/10 sisa 7

1. ♠ 2. ♠ 3. ♠ 4. ♠

5. ♠ 9.♠ 6. ♠ 10.♠ 7. ♠ 11.♠ 8. ♠ 12.♠

1.♦ 2.♦ 3.♦ 4.♦

𝑵𝟐 = 𝟏𝟐

𝑁2 = 12, 𝑁2′ = 96

• 74/12 sisa 2 • 68/12 sisa 8 • 57/12 sisa 9

Kolom (1-5)

1

88347

5.♦ 9.♦ 6.♦ 10.♦ 7.♦ 8.♦

2

57140

3

74686

4

68013

5

57477

6

89127

𝒏𝟏 = 𝟐

7

26519

8

48045

9

22531

10

84887

11

72047

12

19645

13

46884

14

92289

STRATA 1

𝑵𝟏 = 𝟏𝟎

STRATA 2

Baris

STRATA 2

1. ♠ 2. ♠ 3. ♠ 4. ♠

5. ♠ 9.♠ 6. ♠ 10.♠ 7. ♠ 11.♠ 8. ♠ 12.♠ 𝒏𝟒 = 𝟑

LOGO MPC1

Skema Penarikan Sampel (2) POPULASI

STRATA 3 1.♣ 2.♣ 3.♣ 4.♣

5.♣ 9.♣ 6.♣ 10.♣ 7.♣ 11.♣ 8.♣ 12.♣

SAMPEL 𝑁3 = 12, 𝑁3′ = 96 • 89/12 sisa 5 • 26/12 sisa 2 • 48/12 sisa 0

1.♥ 2.♥ 3.♥ 4.♥

5.♥ 6.♥ 7.♥ 8.♥

9.♥ 10.♥ 11.♥ 13.♥ 12.♥ 14.♥

1.♣ 2.♣ 3.♣ 4.♣

𝑵𝟒 = 𝟏𝟒

𝑁4 = 14, 𝑁4′ = 98

• 22/14 sisa 8 • 84/14 sisa 0 • 72/14 sisa 2 • 19/14 sisa 5

Kolom (1-5)

1

88347

2

57140

3

74686

4

68013

5

57477

6

89127

𝒏𝟑 = 𝟑

7

26519

8

48045

STRATA 4

9

22531

10

84887

11

72047

12

19645

13

46884

14

92289

STRATA 3

𝑵𝟑 = 𝟏𝟐

STRATA 4

Baris

1.♥ 2.♥ 3.♥ 4.♥

5.♣ 9.♣ 6.♣ 10.♣ 7.♣ 11.♣ 8.♣ 12.♣

5.♥ 6.♥ 7.♥ 8.♥

9.♥ 10.♥ 11.♥ 13.♥ 12.♥ 14.♥

𝒏𝟒 = 𝟒

LOGO MPC1

Notasi 𝑦ℎ𝑖 𝑁 𝑁ℎ

: nilai karakteristik unit ke-i strata ke-h : jumlah populasi : jumlah populasi di strata ke-h 𝐿

𝑁ℎ = 𝑁 ℎ=1

𝑊ℎ 𝑛 𝑛ℎ

: penimbang strata ke-h (stratum weight) 𝑁ℎ 𝑊ℎ = 𝑁 : jumlah sampel : jumlah sampel di strata ke-h 𝐿

𝑛ℎ = 𝑛 ℎ=1

𝑓ℎ

: fraksi sampling strata ke-h 𝑛ℎ 𝑓ℎ = 𝑁ℎ

LOGO MPC1

Rata-rata Populasi Rata-rata karakteristik populasi di strata ke-h

1 𝑌ℎ = 𝑁ℎ

𝑁ℎ

𝑌ℎ𝑖 𝑖=1

Rata-rata karakteristik populasi 1 𝑌= 𝑁

𝐿

𝑁ℎ

ℎ=1 𝑖=1

1 𝑌ℎ𝑖 = 𝑁

𝐿

𝐿

𝑁ℎ ∙ 𝑌ℎ = ℎ=1

𝑊ℎ ∙ 𝑌ℎ ℎ=1

LOGO MPC1

Varians Populasi Varians karakteristik populasi di strata ke-h

𝜎ℎ 𝑆ℎ

2

2

1 = 𝑁ℎ

𝑁ℎ

𝑌ℎ𝑖 − 𝑌ℎ

2

𝑖=1 𝑁ℎ

1 = 𝑁ℎ − 1

𝑌ℎ𝑖 − 𝑌ℎ

2

𝑖=1

Varians karakteristik populasi

1 𝜎 = 𝑁

𝑁

2

𝑌𝑖 − 𝑌

2

𝑖=1

LOGO MPC1

Estimasi Rata-rata  Estimasi rata-rata karakteristik di strata ke-h 𝑛ℎ 1 𝑦ℎ = 𝑦ℎ𝑖 𝑛ℎ 𝑖=1

 Estimasi rata-rata karakteristik populasi: 1 𝑦𝑠𝑡 = 𝑁

𝐿

𝐿

𝑁ℎ ∙ 𝑦ℎ = ℎ=1

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ ℎ=1

Estimator rata-rata di atas merupakan unbiased estimator, dibuktikan: 𝐸 𝑦𝑠𝑡

1 =𝐸 𝑁 1 = 𝑁

𝐿

𝑁ℎ ∙ 𝑦ℎ ℎ=1

𝐿

𝑁ℎ ∙ 𝐸 𝑦ℎ ℎ=1

1 = 𝑁

𝐿

𝐿

𝑁ℎ ∙ 𝑌ℎ = ℎ=1

𝑊ℎ ∙ 𝑌ℎ = 𝑌 ℎ=1

LOGO MPC1

Sampling Varians 𝐿

𝐿

𝑉 𝑦𝑠𝑡 = 𝑉

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ ℎ=1

𝑊ℎ 2 ∙ 𝑉(𝑦ℎ )

= ℎ=1

Jika masing-masing strata dilakukan penarikan sampel secara SRS WOR, maka: 𝑆ℎ 2 𝑉 𝑦ℎ = 1 − 𝑓ℎ ∙ 𝑛ℎ 𝐿

𝑉 𝑦𝑠𝑡 =

2 𝑆 ℎ 2 𝑊ℎ ∙ 1 − 𝑓ℎ ∙ 𝑛ℎ

ℎ=1 dari 𝑆ℎ 2 adalah

Unbiased estimator 𝑠ℎ 2 sehingga unbiased estimator dari sampling varians adalah 𝐿

𝑣 𝑦𝑠𝑡 = ℎ=1

2 𝑠 ℎ 𝑊ℎ 2 ∙ 1 − 𝑓ℎ ∙ 𝑛ℎ

LOGO MPC1

Estimasi Total  Estimasi total karakteristik di strata ke-h 𝑛ℎ 𝑁ℎ 𝑌ℎ = 𝑦ℎ𝑖 = 𝑁ℎ ∙ 𝑦ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1

 Varians estimasi total karakteristik di strata ke-h 𝑣 𝑌ℎ = 𝑁ℎ 2 ∙ 𝑣 𝑦ℎ  Estimasi total karakteristik populasi: 𝐿

𝑌𝑠𝑡 = 𝑁𝑦𝑠𝑡 =

𝑁ℎ ∙ 𝑦ℎ ℎ=1

 Varians estimasi total karakteristik: 𝑣 𝑌𝑠𝑡 = 𝑁 2 ∙ 𝑣 𝑦𝑠𝑡

LOGO MPC1

Estimasi Rata-rata Domain

Estimasi Rata-rata Varians ratarata Standar Error RSE 1−𝛼 % Confidence interval

Strata ke-h 𝑦ℎ =

1 𝑛ℎ

𝑛ℎ

𝐿

𝑦ℎ𝑖

𝑅𝑆𝐸 𝑦ℎ

𝑦𝑠𝑡 =

𝑖=1

𝑣 𝑦ℎ = 1 − 𝑓ℎ

𝑠𝑒 𝑦ℎ =

Populasi

ℎ=1

𝑠ℎ2 𝑛ℎ

𝑣 𝑦ℎ

𝑠𝑒 𝑦ℎ = × 100% 𝑦ℎ

𝑁ℎ ∙𝑦 = 𝑁 ℎ

𝐿

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ ℎ=1

𝐿

𝑊ℎ 2 ∙ 𝑣(𝑦ℎ )

𝑣 𝑦𝑠𝑡 = ℎ=1

𝑠𝑒 𝑦𝑠𝑡 =

𝑅𝑆𝐸 𝑦𝑠𝑡

𝑣 𝑦𝑠𝑡

𝑠𝑒 𝑦𝑠𝑡 = × 100% 𝑦𝑠𝑡

𝑦ℎ − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑦ℎ ;

𝑦𝑠𝑡 − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑦𝑠𝑡 ;

𝑦ℎ +

𝑦𝑠𝑡 +

2 𝑍𝛼 2

∙ 𝑠𝑒 𝑦ℎ

2 𝑍𝛼 2

∙ 𝑠𝑒 𝑦𝑠𝑡 LOGO MPC1

Estimasi Total Domain

Estimasi

Strata ke-h

Populasi 𝐿

Total

𝑌ℎ = 𝑁ℎ ∙ 𝑦ℎ

𝑌𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑦𝑠𝑡 =

𝑌ℎ ℎ=1

Varians Total Standar Error

RSE 1−𝛼 % Confidence interval

𝐿

𝑣 𝑌ℎ = 𝑁ℎ 2 ∙ 𝑣 𝑦ℎ

𝑣 𝑌𝑠𝑡 = 𝑁 2 ∙ 𝑣 𝑦𝑠𝑡 =

𝑣(𝑌ℎ ) ℎ=1

𝑠𝑒 𝑌ℎ =

𝑅𝑆𝐸 𝑌ℎ

𝑣 𝑌ℎ

𝑠𝑒 𝑌ℎ = × 100% 𝑌ℎ

𝑠𝑒 𝑌𝑠𝑡 =

𝑅𝑆𝐸 𝑌𝑠𝑡

𝑣 𝑌𝑠𝑡

𝑠𝑒 𝑌𝑠𝑡 = × 100% 𝑌𝑠𝑡

𝑌ℎ − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑌ℎ ;

𝑌𝑠𝑡 − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑌𝑠𝑡 ;

𝑌ℎ + 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑌ℎ

𝑌𝑠𝑡 + 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑌𝑠𝑡

2

2

2

2

LOGO MPC1

Latihan 1. Buktikan bahwa: a. 𝑌ℎ = 𝑁ℎ ∙ 𝑦ℎ adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑌ℎ b. 𝑌 = 𝑁 ∙ 𝑦𝑠𝑡 adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑌

c. 𝑣 𝑌𝑠𝑡 = 𝑁 2 ∙ 𝑣 𝑦𝑠𝑡 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝐿

𝑣 𝑌𝑠𝑡 =

𝑁ℎ 𝑁ℎ − 𝑛ℎ ℎ=1

𝑠ℎ 2 𝑛ℎ

d. 𝑣 𝑌𝑠𝑡 = 𝑁 2 ∙ 𝑣 𝑦𝑠𝑡 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝐿

𝑣 𝑌𝑠𝑡 =

𝑣(𝑌ℎ ) ℎ=1

1

𝑁 𝑖=1

2. Buktikan bahwa 𝜎 2 = 𝑁

Keterangan: 𝜎𝑤 2 = 𝜎𝑏 2 =

1 𝑁

1 𝑁 𝐿

𝑌𝑖 − 𝑌 2 bisa dinyatakan dalam: 𝜎 2 = 𝜎𝑤 2 + 𝜎𝑏 2

𝐿

𝑁ℎ ∙ 𝜎ℎ 2 ℎ=1

𝑁ℎ ∙ 𝑌ℎ − 𝑌 ℎ=1

(𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑤𝑖𝑡ℎ𝑖𝑛) 2

(𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛) LOGO MPC1

PERTEMUAN 6

 Estimasi Proporsi  Alokasi Sampel

LOGO Oleh: Adhi Kurniawan

Proporsi Populasi  Misalkan, populasi sebanyak N unit dibagi menjadi L strata sehingga sehingga banyaknya unit untuk strata ke-h adalah 𝑁ℎ .  𝑌ℎ𝑖 adalah nilai karakteristik dari variabel kategorik (bernilai 0 atau 1) untuk unit ke-i strata ke-h, sehingga jumlah kejadian untuk variabel tsb di strata ke-h adalah: 𝑁ℎ

𝐴ℎ =

𝑌ℎ𝑖 𝑖=1

 Proporsi populasi di strata ke-h: 1 𝑃ℎ = 𝑁ℎ  Proporsi populasi:

𝐿

𝑃= ℎ=1

𝑁ℎ

𝑖=1

𝐴ℎ 𝑌ℎ𝑖 = 𝑁ℎ

𝑁ℎ ∙ 𝑃ℎ = 𝑁

𝐿

𝑊ℎ ∙ 𝑃ℎ ℎ=1 LOGO MPC1

Estimasi Proporsi  Jika 𝑦ℎ1 , 𝑦ℎ2 , … , 𝑦ℎ𝑛ℎ adalah random sampel dengan ukuran 𝑛ℎ yang diambil dari populasi sebanyak 𝑁ℎ , maka estimasi proporsi di strata ke-h: 𝑛ℎ 1 𝑎ℎ 𝑝ℎ = 𝑦ℎ𝑖 = 𝑛ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1

Keterangan: 𝑦ℎ𝑖 harus bernilai 0 atau 1

𝑛ℎ

𝑦ℎ𝑖 = 𝑎ℎ 𝑖=1

Estimasi proporsi populasi:

𝐿

𝑝𝑠𝑡 =

𝑊ℎ ∙ 𝑝ℎ ℎ=1 LOGO MPC1

Varians Estimasi Proporsi  Sampling varians dari estimasi proporsi: 𝐿

𝑉 𝑝𝑠𝑡 = ℎ=1

𝐿

𝑉 𝑝𝑠𝑡 =

𝑊ℎ

2

𝑊ℎ

2

ℎ=1

𝑃ℎ ∙ 𝑄ℎ ∙ 𝑛ℎ

(𝑤𝑟)

𝑃ℎ ∙ 𝑄ℎ ∙ 1 − 𝑓ℎ ∙ 𝑛ℎ

(𝑤𝑜𝑟)

 Unbiased estimator dari sampling varians di atas: 𝐿

𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 𝐿

𝑣 𝑝𝑠𝑡 =

𝑊ℎ ℎ=1

𝑊ℎ ℎ=1

2

2

𝑝ℎ ∙ 𝑞ℎ ∙ (𝑤𝑟) 𝑛ℎ − 1

𝑝ℎ ∙ 𝑞ℎ ∙ 1 − 𝑓ℎ ∙ (𝑤𝑜𝑟) 𝑛ℎ − 1 LOGO MPC1

Proporsi Misalkan, kita ingin menghitung proporsi unit yang bewarna merah POPULASI SAMPEL

♦♦♦ ♦♦♦ ♦♦ ♦♦

♠♠♠ ♠♠♠ ♠♠♠ ♠♠♠

♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣

♥♥♥ ♥♥♥ ♥♥♥♥ ♥♥♥♥

Strata 1 Strata 2

Strata 3 Strata 4

𝑁1 = 10

𝑁2 = 12

𝑁3 = 12

𝑁4 = 14

𝐴1 = 4

𝐴2 = 4

𝐴3 = 5

𝑃1 = 4/10

𝑃2 = 4/12

𝑃3 = 5/12

𝑃=

10 ∙

♦♦ ♦♦ ♦

♠♠ ♣♣ ♠♠ ♣♣ ♠♠ ♣♣ Strata 2

Strata 3

Strata 4

𝑛1 = 5

𝑛2 = 6

𝑛3 = 6

𝑛4 = 8

𝐴4 = 7

𝑎1 = 2

𝑎2 = 2

𝑎3 = 2

𝑎4 = 4

𝑃4 = 7/14

𝑝1 = 2/5

𝑝2 = 2/6

4 4 5 7 + 12 ∙ + 12 ∙ + 14 ∙ 10 12 12 14 = 23 10 + 12 + 12 + 14 48

Strata 1

♥♥♥ ♥♥♥ ♥♥

𝑝𝑠𝑡 =

10 ∙

𝑝3 = 2/6

𝑝4 = 4/8

2 2 2 4 + 12 ∙ + 12 ∙ + 14 ∙ 6 6 8 = 19 5 (10 + 12 + 12 + 14) 48 LOGO MPC1

Estimasi Proporsi Domain

Estimasi Proporsi Varians proporsi Standar Error RSE 1−𝛼 % Confidence interval

Strata ke-h

1 𝑝ℎ = 𝑛ℎ 𝑣 𝑝ℎ

𝑛ℎ

𝑦ℎ𝑖 𝑖=1

𝑎ℎ = 𝑛ℎ

𝐿

𝑝𝑠𝑡 = ℎ=1

𝑁ℎ ∙𝑝 = 𝑁 ℎ

𝑊ℎ ∙ 𝑝ℎ ℎ=1

𝑊ℎ 2 ∙ 𝑣(𝑝ℎ )

𝑣 𝑝𝑠𝑡 = ℎ=1

𝑣 𝑝ℎ

𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 =

𝑠𝑒 𝑝ℎ = × 100% 𝑝ℎ

𝐿

𝐿

𝑝ℎ 𝑞ℎ = 1 − 𝑓ℎ 𝑛ℎ − 1

𝑠𝑒 𝑝ℎ = 𝑅𝑆𝐸 𝑝ℎ

Populasi

𝑅𝑆𝐸 𝑝𝑠𝑡

𝑣 𝑝𝑠𝑡

𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 = × 100% 𝑝𝑠𝑡

𝑝ℎ − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑝ℎ ;

𝑝𝑠𝑡 − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 ;

𝑝ℎ +

𝑝𝑠𝑡 +

2 𝑍𝛼 2

∙ 𝑠𝑒 𝑝ℎ

2 𝑍𝛼 2

∙ 𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡

𝑛ℎ

𝑦ℎ𝑖 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1

𝑎ℎ =

𝑦ℎ𝑖 𝑖=1

𝑞ℎ = 1 − 𝑝ℎ LOGO MPC1

Estimasi Total (jika diketahui proporsi) Estimasi

Domain Strata ke-h

Populasi 𝐿

Total

𝐴ℎ = 𝑁ℎ ∙ 𝑝ℎ

𝐴𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑝𝑠𝑡 =

𝐴ℎ ℎ=1

Varians Total Standar Error RSE 1−𝛼 % Confidence interval

𝐿

𝑣 𝐴ℎ = 𝑁ℎ 2 ∙ 𝑣 𝑝ℎ

𝑣 𝐴𝑠𝑡 = 𝑁 2 ∙ 𝑣 𝑝𝑠𝑡 =

𝑣(𝐴ℎ ) ℎ=1

𝑠𝑒 𝐴ℎ =

𝑅𝑆𝐸 𝐴ℎ =

𝑣 𝐴ℎ

𝑠𝑒 𝐴ℎ 𝐴ℎ

× 100%

𝑠𝑒 𝐴𝑠𝑡 =

𝑅𝑆𝐸 𝑌𝑠𝑡 =

𝑣 𝐴𝑠𝑡

𝑠𝑒 𝐴𝑠𝑡 𝐴𝑠𝑡

× 100%

𝐴ℎ − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝐴ℎ ;

𝐴𝑠𝑡 − 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝐴𝑠𝑡 ;

𝐴ℎ + 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝐴ℎ

𝐴𝑠𝑡 + 𝑍𝛼 ∙ 𝑠𝑒 𝐴𝑠𝑡

2

2

2

2

LOGO MPC1

Alokasi Sampel Alokasi sembarang --> jarang digunakan Alokasi sama (equal) Alokasi sebanding (proportional) Alokasi Neyman Alokasi optimum

LOGO MPC1

Alokasi Sama (Equal)  Alokasi ini sering digunakan jika varians strata 𝑆ℎ 2 hampir sama.  Jumlah sampel untuk setiap strata sama.  Ukuran sampel untuk strata ke-h 𝑛 𝑛ℎ = 𝐿 𝑛 : jumlah sampel 𝑛ℎ : jumlah sampel di strata ke-h 𝐿 : jumlah strata  Ukuran sampel keseluruhan: 𝐿 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ 2 ∙ 𝑆ℎ 2 𝑛= 2 2 𝑁 𝐷 + 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ 2 Keterangan: 𝑑 𝐷= 𝑍𝛼/2 LOGO MPC1

Contoh 1  Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.: No

Strata

Populasi rumah tangga 𝑵𝒉

Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga 𝒚𝒉

Standar deviasi 𝒔𝒉

1

Desa A

1200

1.5

0.5

2

Desa B

800

1.25

0.4

3

Desa C

600

1.2

0.32

4

Desa D

400

0.8

0.18

 Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara equal alocation, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛ℎ ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya. LOGO MPC1

Contoh 1 𝑍𝛼/2 = 1,96 , 𝑑 ′ = 5% = 0,05 No

Strata

𝑵𝒉

𝒚𝒉

𝒔𝒉

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ

𝑁ℎ 𝑠ℎ 2

𝑁ℎ 2 𝑠ℎ 2

1

Desa A

1200

1.5

0.5

0,600

300

360000

2

Desa B

800

1.25

0.4

0,333

128

102400

3

Desa C

600

1.2

0.32

0,240

61,44

36864

4

Desa D

400

0.8

0.18

0,107

12,96

5184

1,28

502,4

504448

Jumlah

3000

𝑑 𝑑 ′ ∙ 𝑦 0,05 ∙ 𝑦 0,05 ∙ 1,28 𝐷= = = = = 0,03265 1,96 1,96 1,96 1,96

𝑛=

2 2 𝐿 𝑁 ∙ 𝑆 ℎ ℎ=1 ℎ 𝑁 2 𝐷 2 + 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ 2

𝐿

=

4 ∙ 504448 = 199,813 ≈ 200 2 2 3000 ∙ 0,03265 + 502,4

𝑛 200 𝑛ℎ = = = 50 𝐿 4 LOGO MPC1

Alokasi Sebanding (Proportional)  Alokasi ini sering digunakan jika varians strata 𝑆ℎ 2 tidak berbeda signifikan antara strata yang satu dengan strata yang lainnya.  Jumlah sampel untuk setiap strata sebanding dengan ukuran populasi di strata tsb.  Ukuran sampel strata ke-h 𝑁ℎ 𝑛ℎ = ∙𝑛 𝑁 𝑛 : jumlah sampel 𝑛ℎ : jumlah sampel di strata ke-h 𝑁 : jumlah populasi 𝑁ℎ : jumlah populasi di strata ke-h  Ukuran sampel keseluruhan: 𝑁 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ 2 𝑛= 2 2 𝑁 𝐷 + 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ 2

LOGO MPC1

Alokasi Sebanding (Proportional)  Fraksi sampling sama untuk setiap strata 𝑛ℎ 𝑛 𝑓ℎ = = =𝑓 𝑁ℎ 𝑁  Dengan menggunakan alokasi proportional, akan membentuk selfweighting design (desain yang tertimbang otomatis), hal ini dibuktikan: 𝐿

𝑦𝑠𝑡 =

𝐿

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ = ℎ=1

ℎ=1

𝐿

𝑣 𝑦𝑠𝑡 =

𝑊ℎ ℎ=1 𝐿

= ℎ=1

2

2

𝑁ℎ 1 ∙ 𝑁 𝑛ℎ

𝑛ℎ

𝑦ℎ𝑖 𝑖=1

1 = 𝑛

𝐿

𝑛ℎ

𝑦ℎ𝑖 ℎ=1 𝑖=1

1 − 𝑓ℎ ∙ ∙ 𝑠ℎ 2 𝑛ℎ

𝑁ℎ 1 − 𝑓 1−𝑓 2 ∙ ∙ 𝑠ℎ = 2 𝑁 𝑛ℎ 𝑛

𝐿

𝑊ℎ ∙ 𝑠ℎ 2 ℎ=1 LOGO MPC1

Contoh 2  Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.: No

Strata

Populasi rumah tangga 𝑵𝒉

Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga 𝒚𝒉

Standar deviasi 𝒔𝒉

1

Desa A

1200

1.5

0.5

2

Desa B

800

1.25

0.4

3

Desa C

600

1.2

0.32

4

Desa D

400

0.8

0.18

 Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara proportional alocation, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛ℎ ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya. LOGO MPC1

Contoh 2 𝑍𝛼/2 = 1,96 , 𝑑 ′ = 5% = 0,05 No

Strata

𝑵𝒉

𝒚𝒉

𝒔𝒉

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ

𝑁ℎ 𝑠ℎ 2

1

Desa A

1200

1.5

0.5

0,600

300

2

Desa B

800

1.25

0.4

0,333

128

3

Desa C

600

1.2

0.32

0,240

61,44

4

Desa D

400

0.8

0.18

0,107

12,96

1,28

502,4

Jumlah

3000

𝑑 𝑑 ′ ∙ 𝑦 0,05 ∙ 𝑦 0,05 ∙ 1,28 𝐷= = = = = 0,03265 1,96 1,96 1,96 1,96 𝑛=

2 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ 𝑁 2 𝐷 2 + 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ 2

𝑁

=

3000 ∙ 502,4 30002 ∙ 0,032652 + 502,4

𝑁1 1200 𝑛1 = ∙𝑛 = ∙ 150 = 60, 𝑁 3000 𝑁2 800 𝑛2 = ∙𝑛 = ∙ 150 = 30, 𝑁 3000

= 149,2513 ≈ 150

𝑁3 600 𝑛3 = ∙𝑛 = ∙ 150 = 40 𝑁 3000 𝑁4 400 𝑛4 = ∙𝑛 = ∙ 150 = 20 𝑁 3000 LOGO MPC1

Alokasi Neyman  Jika ada variabel pendukung yang bisa digunakan untuk mengetahui nilai varians strata 𝑆ℎ 2 atau 𝑠ℎ 2 , maka alokasi Neyman akan meningkatkan presisi dari metode sampling.  Biaya setiap strata diasumsikan sama.  Dalam metode ini sampel dialokasikan ke dalam setiap strata agar diperoleh standar error sekecil mungkin dan dengan memperhatikan besarnya varians.  Makin besar varians strata, maka jumlah sampel yang dialokasikan ke dalam strata tsb akan semakin besar.  Ukuran sampel strata ke-h: 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ 𝑛ℎ = 𝐿 ∙𝑛 ℎ=1 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ  Ukuran sampel keseluruhan: 𝑛=

2 𝐿 𝑁 ∙ 𝑆 ℎ ℎ=1 ℎ 𝑁 2 𝐷2 + 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ 2

LOGO MPC1

Contoh 3  Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.: No

Strata

Populasi rumah tangga 𝑵𝒉

Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga 𝒚𝒉

Standar deviasi 𝒔𝒉

1

Desa A

1200

1.5

0.5

2

Desa B

800

1.25

0.4

3

Desa C

600

1.2

0.32

4

Desa D

400

0.8

0.18

 Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara Neyman alocation, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛ℎ ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya. LOGO MPC1

Contoh 3 𝑍𝛼/2 = 1,96 , 𝑑 ′ = 5% = 0,05 No

Strata

𝑵𝒉

𝒚𝒉

𝒔𝒉

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ

𝑁ℎ 𝑠ℎ

𝑁ℎ 𝑠ℎ 2

1

Desa A

1200

1.5

0.5

0,600

600

300

2

Desa B

800

1.25

0.4

0,333

320

128

3

Desa C

600

1.2

0.32

0,240

192

61,44

4

Desa D

400

0.8

0.18

0,107

72

12,96

1,28

1184

502,4

Jumlah

𝑛=

3000

𝑑 𝑑 ′ ∙ 𝑦 0,05 ∙ 𝑦 0,05 ∙ 1,28 𝐷= = = = = 0,03265 1,96 1,96 1,96 1,96 2 𝐿 𝑁 ∙ 𝑆 11842 ℎ ℎ=1 ℎ 𝑁 2 𝐷2

+

𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ

∙ 𝑆ℎ

2

=

30002 ∙ 0,032652 + 502,4

= 138,8196 ≈ 139

𝑛1 =

𝑁1 𝑆1 600 𝑛 = ∙ 139 = 70 4 1184 𝑁 𝑆 ℎ=1 ℎ ℎ

𝑛3 =

𝑁3 𝑆3 192 𝑛 = ∙ 139 = 23 4 1184 𝑁 𝑆 ℎ=1 ℎ ℎ

𝑛2 =

𝑁2 𝑆2 320 𝑛 = ∙ 139 = 38 4 1184 𝑁 𝑆 ℎ=1 ℎ ℎ

𝑛4 =

𝑁4 𝑆4 72 𝑛 = ∙ 139 = 8 4 1184 𝑁 𝑆 ℎ=1 ℎ ℎ LOGO MPC1

Alokasi Optimum  Sampel yang berukuran n dialokasikan ke dalam setiap strata sedemikian rupa sehingga diperoleh varians sekecil mungkin dengan biaya yang tersedia atau meminimumkan biaya dengan varians tertentu.  Fungsi biaya: 𝐿

𝐶 = 𝐶0 +

𝑐ℎ 𝑛ℎ ℎ=1

 Ukuran sampel strata ke-h: 𝑛ℎ =

𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ

𝐿 ℎ=1

𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ

∙𝑛

Keterangan: 𝐶 : total biaya 𝐶0 : biaya tidak dipengaruhi desain dan metode sampling 𝑐ℎ : biaya per elemen untuk strata ke-h LOGO MPC1

Alokasi Optimum  Bukti: Untuk menentukan nilai optimum 𝑛ℎ maka kita definisikan terlebih dahulu sebuah fungsi: ψ = 𝑉 𝑦𝑠𝑡 + λ𝐶 λ : konstanta Dengan menggunakan Lagrange multipliers, kita bisa menentukan nilai 𝑛ℎ dan λ yang meminimumkan ψ. 𝑑ψ =0 𝑑𝑛ℎ 𝑊ℎ 2 𝑆ℎ 2 − + λ𝑐ℎ = 0 𝑛ℎ 2 𝑊ℎ 𝑆ℎ 𝑛ℎ = λ𝑐ℎ 𝑵𝒉 𝑺𝒉 / 𝒄𝒉 𝐿

𝑛= ℎ=1

𝑊ℎ 𝑆ℎ λ𝑐ℎ

𝒏𝒉 =

𝑳 𝒉=𝟏 𝑵𝒉 𝑺𝒉 /

𝒄𝒉

𝒏

LOGO MPC1

Alokasi Optimum  Ukuran sampel keseluruhan: 1. Meminimumkan biaya dengan varians tertentu 𝐿 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ 𝑐ℎ ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ 𝑛= 𝑁 2 𝐷2 + 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ 2 2. Meminimumkan varians dengan biaya tertentu 𝐶 − 𝐶0 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ 𝑛= 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ 𝑐ℎ

LOGO MPC1

Contoh 4  Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.: No

Strata

Populasi rumah tangga 𝑵𝒉

Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga 𝒚𝒉

Standar deviasi 𝒔𝒉

Biaya pencacahan per rumah tangga 𝒄𝒉

1

Desa A

1200

1.5

0.5

Rp 40.000,00

2

Desa B

800

1.25

0.4

Rp 22.500,00

3

Desa C

600

1.2

0.32

Rp 22.500,00

4

Desa D

400

0.8

0.18

Rp 62.500,00

 Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara Optimum alocation, dengan tingkat kepercayaan 95%, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛ℎ ) jika a. Persentase margin of error yang diinginkan adalah 5% (dari nilai rataratanya). b. Biaya yang disediakan 20 juta, biaya tetapnya 4 juta. LOGO MPC1

Contoh 4 a. Varians ditentukan, meminimumkan biaya No

Strata

𝑵𝒉

𝒚𝒉

𝑺𝒉

𝑐ℎ

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ

𝑁ℎ 𝑆ℎ

𝑁ℎ 𝑆ℎ 2

𝑁ℎ 𝑆ℎ 𝑐ℎ

𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ

1

Desa A

1200

1.5

0.5

40000

0,600

600

300

120000

3,000

2

Desa B

800

1.25

0.4

22500

0,333

320

128

48000

2,133

3

Desa C

600

1.2

0.32

22500

0,240

192

61,44

28800

1,280

4

Desa D

400

0.8

0.18

62500

0,107

72

12,96

18000

0,288

1,28

1184

502,4

214800

6,701

Jumlah

𝑛=

3000

𝑑 𝑑 ′ ∙ 𝑦 0,05 ∙ 𝑦 0,05 ∙ 1,28 𝐷= = = = = 0,03265 1,96 1,96 1,96 1,96 𝐿 𝐿 214800 ∙ 6,701 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ 𝑐ℎ ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ = = 143 2 2 ∙ 0,032652 + 502,4 𝐿 2 2 3000 𝑁 𝐷 + ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ

𝑛1 =

𝑁1 𝑆1 / 𝑐1 3,000 𝑛 = ∙ 143 = 64 4 6,701 𝑁 𝑆 / 𝑐 ℎ ℎ=1 ℎ ℎ

𝑛3 =

𝑁3 𝑆3 / 𝑐3 1,280 𝑛 = ∙ 143 = 27 4 6,701 𝑁 𝑆 / 𝑐 ℎ ℎ=1 ℎ ℎ

𝑛2 =

𝑁2 𝑆2 / 𝑐2 2,133 𝑛 = ∙ 143 = 46 4 6,701 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ

𝑛4 =

𝑁4 𝑆4 / 𝑐4 0,288 𝑛 = ∙ 143 = 6 4 6,701 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ LOGO MPC1

Contoh 4 b. Biaya ditentukan, meminimumkan varians No

Strata

𝑵𝒉

𝒚𝒉

𝑺𝒉

𝑐ℎ

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ

𝑁ℎ 𝑆ℎ

𝑁ℎ 𝑆ℎ 2

𝑁ℎ 𝑆ℎ 𝑐ℎ

𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ

1

Desa A

1200

1.5

0.5

40000

0,600

600

300

120000

3,000

2

Desa B

800

1.25

0.4

22500

0,333

320

128

48000

2,133

3

Desa C

600

1.2

0.32

22500

0,240

192

61,44

28800

1,280

4

Desa D

400

0.8

0.18

62500

0,107

72

12,96

18000

0,288

1,28

1184

502,4

214800

6,701

Jumlah

3000

𝑑 𝑑 ′ ∙ 𝑦 0,05 ∙ 𝑦 0,05 ∙ 1,28 𝐷= = = = = 0,03265 1,96 1,96 1,96 1,96 𝐶 − 𝐶0 𝐿ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ (20000000 − 4000000) ∙ 6,701 𝑛=𝑛= = = 500 𝐿 214800 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ 𝑐ℎ 𝑛1 =

𝑁1 𝑆1 / 𝑐1 3,000 𝑛 = ∙ 500 = 224 4 6,701 𝑁 𝑆 / 𝑐 ℎ ℎ=1 ℎ ℎ

𝑛3 =

𝑁3 𝑆3 / 𝑐3 1,280 𝑛 = ∙ 500 = 96 4 6,701 𝑁 𝑆 / 𝑐 ℎ ℎ=1 ℎ ℎ

𝑛2 =

𝑁2 𝑆2 / 𝑐2 2,133 𝑛 = ∙ 500 = 159 4 6,701 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ

𝑛4 =

𝑁4 𝑆4 / 𝑐4 0,288 𝑛 = ∙ 500 = 21 4 6,701 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑆ℎ / 𝑐ℎ LOGO MPC1

Kesimpulan  Ukuran sampel pada suatu strata akan lebih besar dari strata lainnya jika: 1. Jumlah populasi di strata tsb lebih besar 2. Varians strata lebih besar 3. Biaya lebih murah pada strata yang bersangkutan

LOGO MPC1

Latihan  Untuk meneliti perilaku kenakalan remaja, dilakukan suatu survei di suatu SMA. Siswa di SMA tersebut dibagi menjadi 2 strata berdasarkan jenis kelamin. Setiap strata dilakukan penarikan sampel secara SRS WOR. Indikator yang digunakan untuk menentukan besar sampel adalah proporsi siswa yang pernah membolos yang diperoleh dari penelitian terdahulu.

a.

b.

c. d.

Jenis Kelamin

Jumlah

Proporsi siswa yang pernah membolos

Laki-laki

400

0,64

Perempuan

600

0,18

Diketahui biaya untuk tiap siswa laki-laki adalah Rp 16.900,00 dan siswa perempuan sebesar Rp.28.900,00, sedangkan biaya tetapnya sebesar Rp 200.000,00, berapakah jumlah sampel optimum jika biaya survei yang tersedia sebesar Rp 2.200.000,00. Alokasikan sampel tersebut ke setiap strata dan hitunglah perkiraan variansnya untuk proporsi siswa yang pernah membolos. Dengan jumlah sampel yang sama dengan point (a), alokasikan sampel tsb ke dalam tiap strata dengan metode alokasi neyman, proportional, dan equal. Perkirakan nilai variansnya dan bandingkan dengan hasil pada point (a) dan varians SRS (unstratified). Hitung biaya survei untuk masing-masing alokasi. LOGO MPC1 Interpretasikan hasil di atas !

PERTEMUAN 7

 Penjabaran Rumus Varians Untuk berbagai Tipe Alokasi  Relative Efisiensi

LOGO Oleh: Adhi Kurniawan

Varians Untuk Alokasi Equal  Alokasi sama (equal) 𝑛 𝑛ℎ = 𝐿 𝐿

𝑣 𝑦𝑠𝑡 =

𝑊ℎ 2

𝑠ℎ 2 1 − 𝑓ℎ 𝑛ℎ

𝑊ℎ 2

𝑠ℎ 2 𝐿 1 − 𝑓ℎ 𝑛

ℎ=1 𝐿

= ℎ=1 𝐿

𝐿 = 𝑛

𝑣 𝑦𝑠𝑡

𝑊ℎ 2 1 − 𝑓ℎ 𝑠ℎ 2

(𝑤𝑜𝑟)

ℎ=1 𝐿

𝐿 = 𝑛

𝑊ℎ 2 𝑠ℎ 2 ℎ=1

(𝑤𝑟) LOGO MPC1

Varians Untuk Alokasi Proporsional Alokasi proporsional 𝑛ℎ 𝑛

=

𝑁ℎ 𝑁 𝐿

𝑊ℎ 2

𝑣 𝑦𝑠𝑡 = ℎ=1 𝐿

= ℎ=1

𝑣 𝑦𝑠𝑡

2

𝑠ℎ 1 − 𝑓ℎ = 𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

𝑁ℎ 𝑁

2

𝑁ℎ 𝑁ℎ 1 𝑛 1−𝑓 2 1− 𝑠ℎ = 𝑁 𝑁 𝑛ℎ 𝑁 𝑁𝑛

1 = 𝑁𝑛

𝐿

𝑁ℎ 𝑠ℎ 2

𝑛ℎ 𝑠ℎ 2 1− 𝑁ℎ 𝑛ℎ 𝐿

𝑁ℎ 𝑠ℎ 2

(𝑤𝑜𝑟)

ℎ=1

(𝑤𝑟)

ℎ=1

LOGO MPC1

Varians Untuk Alokasi Neyman Alokasi Neyman

𝐿

𝑣 𝑦𝑠𝑡 =

𝑊ℎ

2

ℎ=1

1 = 2 𝑁 𝑛 𝑣 𝑦𝑠𝑡 =

1 𝑁2𝑛

𝑁ℎ ∙ 𝑠ℎ 𝑛ℎ = 𝐿 ∙𝑛 ℎ=1 𝑁ℎ ∙ 𝑠ℎ 2

𝑠ℎ 1 − 𝑓ℎ = 𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

𝐿

𝑁ℎ 𝑁

2

2

𝑠ℎ 1 − 𝑓ℎ ∙ 𝑛𝑁ℎ 𝑠ℎ

𝐿

𝑁ℎ 𝑠ℎ ℎ=1

𝐿

1 − 𝑓ℎ 𝑁ℎ 𝑠ℎ ∙ ℎ=1

𝑁ℎ 𝑠ℎ

(𝑤𝑜𝑟)

ℎ=1 2

𝐿

𝑁ℎ 𝑠ℎ

(𝑤𝑟)

ℎ=1

LOGO MPC1

Varians Untuk Alokasi Optimum Alokasi Optimum

𝑁ℎ 𝑠ℎ / 𝑐ℎ 𝑛ℎ = 𝐿 ∙𝑛 𝑁 𝑠 / 𝑐 ℎ ℎ=1 ℎ ℎ

𝐿

𝑣 𝑦𝑠𝑡 =

𝑊ℎ ℎ=1 𝐿

= ℎ=1

1 = 2 𝑁 𝑛 𝑣 𝑦𝑠𝑡

1 = 2 𝑁 𝑛

2

𝑠ℎ 2 1 − 𝑓ℎ 𝑛ℎ

𝑁ℎ 𝑁

2

𝐿

2

1 − 𝑓ℎ

𝑠ℎ ∙ 𝑛𝑁ℎ 𝑠ℎ / 𝑐ℎ

𝐿

𝑁ℎ 𝑠ℎ / 𝑐ℎ ℎ=1 𝐿

1 − 𝑓ℎ 𝑁ℎ 𝑠ℎ / 𝑐ℎ ∙ ℎ=1

𝑁ℎ 𝑠ℎ / 𝑐ℎ

(𝑤𝑜𝑟)

ℎ=1 2

𝐿

𝑁ℎ 𝑠ℎ / 𝑐ℎ

(𝑤𝑟)

ℎ=1 LOGO MPC1

Relative Efisiensi  Jika finite population correction (fpc) diabaikan, maka: 𝑉𝑜𝑝𝑡 ≤ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 ≤ 𝑉𝑠𝑟𝑠 Bukti:

𝑆2 𝑉𝑠𝑟𝑠 = 1 − 𝑓 𝑛 𝐿 (1 − 𝑓) 1 2 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 = 𝑊ℎ 𝑆ℎ = 𝑛 𝑛 𝑉𝑜𝑝𝑡

1 = 2 𝑁 𝑛

1 = 𝑛

𝐿

ℎ=1

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ ℎ=1

𝑊ℎ 𝑆ℎ ℎ=1

𝑊ℎ 𝑆ℎ 2 ℎ=1

𝑁ℎ 𝑠ℎ ℎ=1

2

𝐿

1 − 𝑁

𝐿

1 − 𝑓ℎ 𝑁ℎ 𝑠ℎ ∙ ℎ=1

2

𝐿

1 − 𝑁

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ 2 ℎ=1 LOGO MPC1

Relative Efisiensi Analisis Varians untuk Stratified Sampling 𝐿

𝑁ℎ

𝑁 − 1 𝑆2 =

2

𝑦ℎ𝑖 − 𝑌 ℎ=1 𝑖=1 𝐿 𝑁ℎ

=

𝐿 2

𝑦ℎ𝑖 − 𝑌ℎ ℎ=1 𝑖=1 𝐿

𝐿

ℎ=1 𝐿

ℎ=1

ℎ=1

𝑁ℎ 𝑌ℎ − 𝑌

𝑊ℎ 𝑌ℎ − 𝑌

2

2

ℎ=1

Sehingga: (1 − 𝑓) 2 1−𝑓 = 𝑆 = 𝑛 𝑛 (1 − 𝑓) = 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 + 𝑛

2

ℎ=1

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ 2 +

𝑆2 =

𝑉𝑠𝑟𝑠

𝑁ℎ 𝑌ℎ − 𝑌

𝑁ℎ − 1 𝑆ℎ 2 +

=

𝑉𝑠𝑟𝑠

+

𝐿

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ ℎ=1

𝑊ℎ 𝑌ℎ − 𝑌 ℎ=1

2

1−𝑓 + 𝑛

2

𝐿

𝑊ℎ 𝑌ℎ − 𝑌

2

ℎ=1

→ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 ≤ 𝑉𝑠𝑟𝑠 … (1) LOGO MPC1

Relative Efisiensi 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 = 𝑉𝑜𝑝𝑡 =

1 𝑛

1 𝑛

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ 2 − ℎ=1 𝐿

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝

2

𝑊ℎ 𝑆ℎ

−

ℎ=1

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑝𝑡

1 𝑁

1 = 𝑛

1 = 𝑉𝑜𝑝𝑡 + 𝑛

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ 2 ℎ=1

1 𝑁

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ ℎ=1 𝐿

2

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ 2 ℎ=1

1 − 𝑛

𝑊ℎ 𝑆ℎ − 𝑆

2

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ ℎ=1 2

1 = 𝑛

𝐿

𝑊ℎ 𝑆ℎ − 𝑆

2

ℎ=1

→ 𝑉𝑜𝑝𝑡 ≤ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 … (2)

ℎ=1

Keterangan: 𝐿

𝑆=

𝑊ℎ 𝑆ℎ ℎ=1

Dari (1) dan (2) diperoleh 𝑉𝑜𝑝𝑡 ≤ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 ≤ 𝑉𝑠𝑟𝑠 LOGO MPC1

Contoh  Dari 36 mahasiswa kelas 2KS1, dikelompokkan menjadi 2 strata berdasarkan jenis kelamin. Jumlah mahasiswa laki-laki adalah 19 orang, perempuan 17 orang. Dari masing-masing strata diambil sejumlah sampel secara SRS WOR untuk meneliti jam belajar per minggu dan keikutsertaan dalam kegiatan UKM. Data yang diperoleh sbb:

Laki-laki

Perempuan

No

Jam belajar

UKM

No

Jam belajar

UKM

1

7

Ya

1

14

Tidak

2

10

Tidak

2

18

Ya

3

3

Ya

3

21

Tidak

4

6

Ya

4

10

Tidak

5

14

Tidak

5

16

Ya

6

5

Ya

a. Perkirakan rata-rata dan total jam belajar mahasiswa kelas 2KS1 b. Perkirakan proporsi dan total mahasiswa 2KS1 yang mengikuti kegiatan UKM. Lengkapi dengan nilai standar error, RSE, 95%CI dan relatif efisiensi (RE)nya terhadap SRS ! LOGO MPC1

Estimasi Rata-rata dan Total Jam Belajar (1) Rata-rata 𝒉

𝑁ℎ

1

19

𝑛ℎ

6

2

17

5

Jumlah

36

11

N

𝑓ℎ

0,316

0,294

𝑊ℎ

𝑦ℎ𝑖

𝑠ℎ2

𝑦ℎ

𝑊ℎ 𝑦ℎ

0,528

7, 10, 3, 6, 14, 5

15,5 7,5

3,96

1,767

0,472

14, 18, 21, 10, 16

17,2 15,8

7,46

2,429

𝑛

𝑣(𝑦ℎ ) 𝑊ℎ2 ∙ 𝑣 𝑦ℎ

11,42

1

𝑦𝑠𝑡

𝑣(𝑦𝑠𝑡 )

Total

𝑌𝑠𝑡

𝑌ℎ

𝑣 𝑌ℎ

0,493

142,5

637,89

0,541

268,6

701,98

1,034

411,1 1339,87

𝑣(𝑌𝑠𝑡 )

LOGO MPC1

Estimasi Rata-rata Jam Belajar 𝐿

𝑦𝑠𝑡 =

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ = 3,96 + 7,46 = 11,42

ℎ=1 𝐿

𝑊ℎ 2 ∙ 𝑣(𝑦ℎ ) = 0,493 + 0,541 = 1,033

𝑣 𝑦𝑠𝑡 = ℎ=1

𝑠𝑒 𝑦𝑠𝑡 =

𝑣(𝑦𝑠𝑡 ) =

1,033 = 1,0163

𝑠𝑒(𝑦𝑠𝑡 ) 1,0163 𝑟𝑠𝑒 𝑦𝑠𝑡 = × 100 = × 100% = 8,9% 𝑦𝑠𝑡 11,42 Confidence Interval 95%: 𝑦𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑦𝑠𝑡 < 𝑌 < 𝑦𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑦𝑠𝑡 11,42 − 1,96 ∙ 1,0163 < 𝑌 < 11,42 + 1,96 ∙ 1,0163 9,4 < 𝑌 < 13,41 LOGO MPC1

Estimasi Total Jam Belajar 𝑌𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑦𝑠𝑡 = 36 ∙ 11,42 = 411,12 𝑣 𝑌𝑠𝑡 = 𝑁 2 ∙ 𝑣 𝑦𝑠𝑡 = 362 ∙ 1,034 = 1339,87 𝑠𝑒 𝑌𝑠𝑡 =

𝑣(𝑌𝑠𝑡 ) =

1339,87 = 36,604

𝑠𝑒(𝑌𝑠𝑡 ) 36,604 𝑟𝑠𝑒 𝑌𝑠𝑡 = × 100 = × 100% = 8,9% 411,12 𝑌𝑠𝑡 Confidence Interval 95%: 𝑌𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑌𝑠𝑡 < 𝑌 < 𝑌𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑌𝑠𝑡 411,12 − 1,96 ∙ 36,604 < 𝑌 < 411,12 + 1,96 ∙ 36,604 339,38 < 𝑌 < 482,86

LOGO MPC1

Estimasi Rata-Rata Jam belajar(Menghitung RE) Rata-rata 𝒉

𝑁ℎ

𝑛ℎ

𝑓ℎ

𝑊ℎ

𝑦ℎ𝑖

𝑠ℎ2

1

19

6

0,316

0,528

7, 10, 3, 6, 14, 5

15,5

2

17

5

0,294

0,472

14, 18, 21, 10, 16

17,2

Jumlah

36

11

𝑦ℎ

𝑊ℎ 𝑦ℎ

7,5

3,96

8,184

8,113

7,46

8,118

9,055

11,42

16,302

17,168

15,8

1

𝑛

N

𝑦𝑠𝑡

𝑣 𝑦𝑠𝑡 = 1,033

𝑣(𝑦𝑠𝑡 )𝑠𝑟𝑠 =

1 1 − 𝑛 𝑁

1 1 = − 11 36

𝑛ℎ

𝑅𝐸 =

𝑛ℎ

𝑊ℎ ∙ 𝑠ℎ 2 + ℎ=1

𝑾𝒉 ∙ 𝒔𝟐𝒉 𝑾𝒉 ∙ 𝒚𝒉 − 𝒚𝒔𝒕

𝑊ℎ ∙ 𝑦ℎ − 𝑦𝑠𝑡 ℎ=1

16,302 + 17,168 = 2,113

2

𝑣(𝑦𝑠𝑡 ) × 100% 𝑣(𝑦𝑠𝑡 )𝑠𝑟𝑠

1,033 = × 100% 2,113 LOGO MPC1 = 48,89%

𝟐

Estimasi Proporsi Mahasiswa Yang Ikut UKM Rata-rata 𝒉

𝑁ℎ

𝑛ℎ

𝑓ℎ

𝑊ℎ

𝒂ℎ

1

19

6

0,316

0,528

4

2

17

5

0,294

0,472

2

Jumlah

36

11

N

𝑠ℎ2

𝑣(𝑝ℎ ) 𝑊ℎ2 ∙ 𝑣 𝑝ℎ

𝐴ℎ

0,221 0,67 0,353

0.025 0.00705

12,73

9.148

0,240 0,40 0,188

0.034 0.00756

6,8

9.792

0,541

0.01461

19.46

18.940

1

𝑛

Total

𝑝𝑠𝑡

𝑝ℎ

𝑊ℎ 𝑝ℎ

𝑣(𝑝𝑠𝑡 )

𝐴𝑠𝑡

𝑣 𝐴ℎ

𝑣(𝐴𝑠𝑡 ) LOGO MPC1

Estimasi Proporsi 𝐿

𝑝𝑠𝑡 =

𝑊ℎ ∙ 𝑝ℎ = 0,353 + 0,188 = 0,541

ℎ=1 2 𝐿 𝑊 ℎ=1 ℎ ∙ 𝑣(𝑝ℎ )

𝑣 𝑝𝑠𝑡 =

𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 = 𝑟𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡

= 0,00705 + 0,00756 = 0,01461

𝑣(𝑝𝑠𝑡 ) =

0,01461 = 0,1208

𝑠𝑒(𝑝𝑠𝑡 ) 0,1208 = × 100 = × 100% = 22,35% 𝑝𝑠𝑡 0,541

Confidence Interval 95%: 𝑝𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 < 𝑃 < 𝑝𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 0,541 − 1,96 ∙ 0,1208 < 𝑃 < 0,541 + 1,96 ∙ 0,1208 0,304 < 𝑃 < 0,777

LOGO MPC1

Estimasi Total 𝐴𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑝𝑠𝑡 = 36 ∙ 0,541 = 19,46 𝑣 𝐴𝑠𝑡 = 𝑁 2 ∙ 𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 362 ∙ 0,01461 = 18,94 𝑠𝑒 𝐴𝑠𝑡 =

𝑣(𝐴𝑠𝑡 ) =

18,94 = 4,325

𝑠𝑒(𝐴𝑠𝑡 )

4,325 𝑟𝑠𝑒 𝐴𝑠𝑡 = × 100 = × 100% = 22,35% 19,46 𝐴𝑠𝑡 Confidence Interval 95%: 𝐴𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝐴𝑠𝑡 < 𝐴 < 𝐴𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝐴𝑠𝑡 19,46 − 1,96 ∙ 4,325 < 𝐴 < 19,46 + 1,96 ∙ 4,325 10,936 < 𝐴 < 27,997

LOGO MPC1

Penyelesaian (Menghitung RE) Rata-rata 𝒉

𝑁ℎ

𝑛ℎ

𝑓ℎ

𝑊ℎ

𝒂ℎ

1

19

6

0,316

0,528

2

17

5

0,294

0,472

Jumlah

36

11

N

𝑠ℎ2

𝑝ℎ

𝑊ℎ 𝑝ℎ

4

0,221 0,67

0,353

0,1167

0,0086

2

0,240 0,40

0,188

0,1133

0,0096

0,541 0,2300

0,0182

1

𝑛

𝑝𝑠𝑡

𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 0,01461 𝑣(𝑝𝑠𝑡 )𝑠𝑟𝑠 =

1 1 = − 𝑛 𝑁 1 1 − 11 36

𝑛ℎ

𝑅𝐸 =

𝑛ℎ

𝑊ℎ ∙ 𝑠ℎ 2 + ℎ=1

𝑾𝒉 ∙ 𝒔𝟐𝒉 𝑾𝒉 ∙ 𝒑𝒉 − 𝒑𝒔𝒕

𝑊ℎ ∙ 𝑝ℎ − 𝑝𝑠𝑡 ℎ=1

0,2300 + 0,0182 = 0,0156

2

𝑣(𝑝𝑠𝑡 ) × 100% 𝑣(𝑝𝑠𝑡 )𝑠𝑟𝑠

0,01461 = × 100% 0,0156 LOGO MPC1 = 93,68%

𝟐

Latihan  Dari Data 1, misalkan dari populasi 100 rumah tangga di desa X dikelompokkan menjadi 3 strata berdasarkan blok tempat tinggal, yaitu blok A, blok B, dan blok C.

a.

b.

Blok

Populasi

Sampel

A

30

8

B

48

12

C

22

5

Jumlah

100

25

Dengan menggunakan TAR halaman 2 baris 1 kolom 1, lakukan penarikan sampel secara SRS WOR independen untuk setiap strata. Pengambilan angka random dengan pendekatan independent choice of digits. Perkirakan rata-rata ART, jumlah penduduk, proporsi dan total rumah tangga yang lantai terluasnya bukan tanah. Lengkapi dengan nilai standar error, RSE, 95%CI, dan relatif efisiensinya jika dibandingkan dengan SRS ! Interpretasikan hasil yang diperoleh !

LOGO MPC1

Have a nice sampling

LOGO MPC1