Over “Transfer of Learning” en andere artikelen…
Roorda, G. (2012). Ontwikkeling in verandering. Ontwikkeling van wiskundige bekwaamheid van leerlingen met betrekking tot het concept afgeleide. Doctorale dissertatie, Rijksuniversiteit Groningen. •
Natuurkunde wiskunde conferentie (NWC, 1975). Syllabus ter voorbereiding op de natuurkunde-wiskunde conferentie in Noordwijkerhout.
Doel: wiskunde- en natuurkundeleraren meer tot samenwerken stimuleren om er zo voor te zorgen dat bij leerlingen “geen aparte geheugencellen gevuld moeten worden met gelijke of zeer goed vergelijkbare begrippen”. •
Giessen, C. van de, Hengeveld, T., Kooij, H. van der, Rijke, K., & Sonneveld, W. (2007). Eindverslag van Werkgroep Afstemming Wiskunde-Natuurkunde aan vernieuwingscommissies wiskunde (cTWO) en natuurkunde (NiNa). Utrecht: WAWN.
In het eindverslag van de werkgroep blijkt dat het toepassen van kennis uit wiskunde in natuurkunde of andersom nog steeds problematisch is. • •
Heertje, A. (1971). Wiskunde en economie. Euclides, 47, 87-89. Hove, J.R. ten (1984). Economie zonder wiskunde en wiskunde zonder economie? Nieuwe Wiskrant, 4(2), 41-47.
Soortgelijke problemen worden ook gerapporteerd bij het toepassen van wiskundige kennis en vaardigheden in het schoolvak economie. •
Kneppers, L. (2010). Rekenen bij economie. Nieuwe Wiskrant, 30(2), 8-11.
Leerlingen herkennen procentberekeningen met verhoudingstabellen die ze in de wiskundeles geleerd hebben niet in economische opdrachten. •
Mantel, A., & Klerks, J. (2003). Economie en wiskundige vaardigheden; een probleemsignalering. Tijdschrift voor het Economisch Onderwijs, 3, 187-192.
Zij beschrijven hun ervaringen in vwo 6 waar een deel van de leerlingen bij de uitleg van het Keynesiaanse model de meest elementaire wiskundige basisbegrippen niet herkent. •
Stuurgroep Profiel Tweede Fase Voortgezet Onderwijs (SPTFVO) (1996). Tweede Fase in vraag en antwoord. Den Haag.
Een doelstelling van de tweede fase was onder andere het vergroten van de samenhang tussen schoolvakken. In de inhoudelijk samenhangende profielen was de gedachte dat
kennis opgedaan in het ene vak toegepast kan worden in een ander vak, zeker als het ‘ aangrenzende vakken’ betreft zoals bij de exacte vakken. •
Tweede fase Adviespunt - ministerie Van Onderwijs Cultuur en Wetenschap. (2005). Zeven jaar Tweede Fase, een balans. Den Haag. Conclusie is dat echter dat samenhang tussen schoolvakken maar in zeer beperkte mate is gerealiseerd en dat wiskunde een apart vak is gebleven. •
Commissie Toekomst Wiskundeonderwijs (cTWO) (2007). Rijk aan betekenis. Visie op vernieuwd wiskundeonderwijs. Utrecht: cTWO.
•
Commissie Vernieuwing Natuurkundeonderwijs havo/vwo (Nina). (2006). Natuurkunde leeft. Amsterdam: Nederlandse Natuurkundige Vereniging. Toch blijven beleidsintenties erop gericht vakken binnen de profielen op elkaar af te stemmen. •
Sinnema, S., & Streun, A. van (1984). Samen beginnen met de differentiaalrekening en de mechanica? NVON-Faraday, 53, 17-19.
Zij ontwikkelen lesmaterialen waarin natuurkunde en wiskunde op elkaar afgestemd werden aangeboden. Zij rapporteren een significante verbetering van het cijfer op de afsluitende natuurkundetoets. Deze materialen worden echter niet meer in scholen gebruikt. Ze vereisen een nauwkeurige samenwerking en planning van wiskunde- en natuurkundedocenten. •
Doorman, L.M. (2005). Modelling motion: from trace graphs to instantaneous change.(Doctoral dissertation, Universiteit Utrecht). Utrecht: CD-β press.
Doorman ontwikkelde een lessenserie waarin leerlingen de beginselen van kinematica en differentiaalrekening leren via een proces van geleid heruitvinden. Het lesmateriaal kenmerkt zich door een geïntegreerde aanpak, maar niet door afstemming van twee schoolvakken. Deze werkwijze is niet gangbaar omdat scholen beide schoolvakken meestal separaat aanbieden. De genoemde afstemmingspogingen hebben vooralsnog geen structurele invloed gehad op het onderwijs van wiskunde en natuurkunde. •
Bransford, J.D., Brown, A.L., & Cocking, R.C. (Eds.) (2000). How People Learn. Washington D.C: National Academy Press.
“the ability to extend what has been learned in one context to new contexts.” •
Alexander, P.A., & Murphy, P.K. (1999). Nurturing the seeds of transfer: a domainspecific perspective. International journal of educational research, 31, 561-576.
Op basis van een literatuurreview concluderen Alexander en Murphy dat transfer van kennis en procedures die op school worden geleerd veel minder vaak optreedt dan opleiders en onderzoekers Hopen. •
Anderson, J.R., Reder, L.M., & Simon H.A. (1996). Situated Learning and Education. Educational Researcher, 25(4), 5-11. • Anderson, J.R., Reder, L.M., & Simon H.A. (1997). Situative versus cognitive perspectives: Form versus substance. Educational Researcher, 26(1), 18-21. • Greeno, J.G. (1997). On claim that answer the wrong questions. Educational Researcher, 26(1), 5-17. Het begrip transfer is omstreden zoals blijkt uit de discussie tussen Anderson, Reder en Simon (1996,1997) en Greeno (1997). •
Lobato, J. (2006). Alternative perspectives on the transfer of learning: History, issues, and challenges for future research. The Journal of the Learning of Sciences, 15, 431-449.
Er zijn verschillende modellen voor transfer ontwikkeld. •
Gentner, D. (1983). Structure-mapping: A theoretical framework for analogy. Cognitive Science 7, 155-170.
Genter beschrijft ‘analogie’ al seen afbeelding van termen van een (beter bekend) basisdoemein naar een doeldomein. •
Gentner, D., Loewenstein, J., & Thompson, L. (2003). Learning and transfer: a general role for analogical encoding. Journal of Educational Psychology, 95, 393-408.
Hierin wordt verwezen naar diverse onderzoeken waaruit wordt geconcludeerd dat mensen vaak niet in staat zijn zich relevante voorbeelden in herinnering te roepen die ze eerder hebben gezien. Dat is vooral problematisch als twee situaties oppervlakkig gezien verschillen. In veel van Genter e.a. genoemde onderzoeken is van te voren vastgesteld welke analogie proefpersonen zouden kunnen zien en wordt gescoord in hoeverre deze herkenning ook daadwerkelijk optreedt. Zie ook: -Gick, M.L., & Holyoak, K.J. (1980). Analogical problem solving. Cognitive Psychology, 15, 138.
-Bassok, M., & Holyoak, K.J. (1989). Interdomain transfer between isomorphic topics in algebra and physics. Journal of Experimental Psychology: Memory, Learning, and Cognition, 15, 153-166. •
Dreyfus, T., & Eisenberg T. (1996). On different facets of mathematical thinking. In R. Sternberg, & T. Ben-Zeev (Eds.), The Nature of Mathematical Thinking (pp.253-284). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
In plaats van het analyseren van de herkenning van vooraf geconstrueerde analogieën noemen Dreyfus en Eisenberg dat het zien van analogieën uniek is voor ieder individu. Deze uitspraak sluit aan bij theorieën over leren waarin de eigen constructie van kennis centraal staat. De twee aspecten van analogieën die hierin naar voren komen zijn: het herkennen van door onderzoekers opgestelde analogieën en de eigen constructie van analogieën door lerenden. •
Greer, B., & Harel, G. (1998). The role of isomorphisms in mathematical cognition. Journal of Mathematical Behaviour, 17, 5-24.
De aspecten “herkennen van door onderzoekers opgestelde analogieën en de eigen constructie van analogieën door lerenden” komen ook voor in de definitie van het begrip ‘isomorfisme’ tussen situaties. Indertijd betrof de ontologische (leer van de eigenschappen der dingen; zijnsleer) definitie van isomorfisme het zien van overeenkomsten tussen situaties die geanalyseerd worden op basis van normatieve criteria die door de onderzoeker vooraf zijn vastgesteld. Greer en Harel stellen hier hun opvatting van isomorfismen tegenover. Het zijn: “components of mental representations constructed by individuals in the course of assimilating and dealing with given situations”. •
Bransford, J.D., Brown, A.L., & Cocking, R.C. (Eds.) (2000). How People Learn. Washington D.C: National Academy Press.
Het zien van analogieën is nauw verbonden met het begrip transfer. Transfer wordt vaak gedefinieerd als de bekwaamheid iets dat in de ene context is geleerd uit te breiden naar nieuwe contexten. •
Anderson, J.R., Reder, L.M., & Simon H.A. (1996). Situated Learning and Education. Educational Researcher, 25(4), 5-11. • Anderson, J.R., Reder, L.M., & Simon H.A. (1997). Situative versus cognitive perspectives: Form versus substance. Educational Researcher, 26(1), 18-21. • Greeno, J.G. (1997). On claim that answer the wrong questions. Educational Researcher, 26(1), 5-17. Het begrip transfer is omstreden zoals blijkt uit de discussie tussen Greeno enerzijds en Anderson, Reder en Simon anderzijds. Anderson e.a. benaderen transfer vanuit een
cognitivistisch perspectief en tonen op basis van onderzoeken aan dat transfer tussen taken mogelijk is. Greeno plaatst hier tegenover het gesitueerde perspectief, waarin niet gesproken wordt over transfer tussen taken, maar over succesvolle participatie van een persoon in verschillende situaties. Het perspectief verschuift hier vanuit ‘taak’ naar ‘lerende’. Greeno beargumenteert dat in het gesitueerde perspectief de uitdrukking ‘generality of knowing’ meer accuraat is dan ‘transfer of knowledge’. •
Lobato J., & Siebert, D. (2002). Quantitative reasoning in a reconceived view of transfer. Journal of Mathematical Behavior, 21, 87-116.
•
Lobato, J. (2006). Alternative perspectives on the transfer of learning: History, issues, and challenges for future research. The Journal of the Learning of Sciences, 15, 431449.
•
Carraher, D., & Schliemann. A.D. (2002). The transfer dilemma. The Journal of the Learning Sciences, 11, 1-24.
Carraher en Schliemann bepleiten af te stappen van transfer als ‘research construct’ vanwege de associatie van transfer met de ‘transportmetafoor’ ‒het passief overbrengen van kennis van de ene situatie naar de andere wanneer een persoon de overeenkomst tussen situaties herkent (geciteerd in Lobato, 2006). Lobato en Siebert daarentegen pleiten voor een alternatieve benadering van het transferbegrip, door hen actor oriented transfer genoemd. Bij actor georiënteerde transfer gaat het om de persoonlijke constructie van relaties tussen verschillende activiteiten en kijkt de onderzoeker naar de invloed van voorgaande activiteiten op huidige activiteiten en naar de manier waarop de leerling verschillende situaties als overeenkomstig ziet of als overeenkomstig construeert. •
Roorda, G. (2012). Ontwikkeling in verandering: ontwikkeling van wiskundige bekwaamheid van leerlingen met betrekking tot het concept afgeleide. (Doctoral dissertation, Rijksuniversiteit Groningen). Groningen: Rijksuniversiteit Groningen.
Het zien van overeenkomsten tussen –oppervlakkig gezien– verschillende situaties beschouwt Roorda vanuit AOT. Vanuit het perspectief van de lerende analyseert hij de persoonlijke constructie van relaties tussen verschillende situaties. Dit wordt zichtbaar als een leerling relaties tussen verschillende situaties benoemt en gebruikt tijdens het uitvoeren van een taak. Met situatie wordt hier “een beschrijving in een opdracht die voor leerlingen voorstelbaar is in de werkelijkheid” bedoeld. •
Wilhelm, J.A., & Confrey J. (2003). Projecting rate of change in the context of motion onto the context of money. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34, 887-904.
Wilhelm en Confrey rapporteren een studie waarin wordt geanalyseerd in hoeverre leerlingen overeenkomsten tussen tussen twee verschillende ‘rate-of-change’-situaties kunnen hanteren. De ene situatie gaat over de toename van geld op een bank. De andere situatie gaat over de toename van afstand in de tijd. Ze beschrijven vier casussen. Twee van de vier leerlingen, die in de ene situatie wel vaardig zijn in het schakelen tussen de grafiek van een hoeveelheid en de grafiek van toenames, gebruiken deze vaardigheid niet in de andere situatie. Wilhelm en Confrey bevelen aan het concept ‘rate of change’ aan te bieden in meerdere contexten, zodat leerlingen de overeenkomsten tussen oppervlakkig gezien verschillende situaties kunnen zien.. •
Bassok, M., & Holyoak, K.J. (1989). Interdomain transfer between isomorphic topics in algebra and physics. Journal of Experimental Psychology: Memory, Learning, and Cognition, 15, 153-166.
Bassok en Holyoak onderzoeken in hoeverre leerlingen in staat zijn in de ene situatie geleerde procedures toe te passen in een andere situatie. In alle situaties moeten achtereenvolgens toenames worden opgeteld. Eerst krijgen de leerlingen een training in het oplossen van opdrachten in een bepaalde situatie. Later wordt getest of leerlingen de geleerde strategieën in een andere situatie toepassen. Bassok en Holyoak concluderen dat leerlingen die bepaalde formules en vergelijkingen hadden geleerd in een natuurkundige situatie over het begrip fysische ‘versnelling’ deze formules niet gebruikten bij economische problemen die op hetzelfde principe gebaseerd waren. Daartegenover stonden leerlingen die deze wiskundige formules en vergelijkingen in de wiskundeles hadden bestudeerd in verschillende, maar niet-economische, contexten. Zij konden die kennis wel gebruiken voor het oplossen van economische problemen. Deze studie maakt duidelijk dat de situatie waarin bepaalde kennis is geleerd van invloed is op het construeren van overeenkomsten in een nieuwe situatie. •
Zandieh, M. (1997). The evolution of students understanding of the concept of derivative. (Doctoral dissertation, Oregon State University). Corvallis: Oregon State University.
•
Marrongelle, K.A. (2004). How students use physics to reason about calculus tasks. School Science and Mathematics, 104, 258-272.
In verschillende studies wordt ingegaan op de rol van kinematica bij het leren van het concept afgeleide. Zandieh (1997) en Marrongelle (2004) analyseren beiden in hoeverre het ‘snelheidsbegrip’ onderdeel is van het ‘concept image’ van leerlingen van het concept afgeleide. Zandieh gebruikt de representatie (of context) ‘paradigmatic physical’ om het werk van leerlingen te analyseren. De term ‘paradigmatic’ geeft aan dat een specifieke context of representatie als model voor het hele concept wordt gebruikt. Ze interviewde in haar casestudie negen ‘grade-12’-leerlingen. In de
loop van een cursusjaar interviewde ze elke leerling vijf keer. Drie leerlingen blijken in het eerste interview de snelheidscontext vaak te gebruiken om betekenis te geven aan het concept afgeleide. In het laatste interview, aan het eind van de cursus, is de voorkeur van deze drie leerlingen verschoven naar betekenissen van afgeleiden in termen van ‘slope’ en ‘rate of change’. In de studie van Marrongelle (2004) worden verschillen geanalyseerd tussen de manier waarop enkele leerlingen het begrip ‘snelheid’ gebruiken bij het redeneren over het concept afgeleide. Zij onderscheidt leerlingen die geen fysische begrippen gebruiken, leerlingen die wiskundige en fysische begrippen in hun spreken combineren en leerlingen die in alle redeneringen het concept afgeleide betekenis geven louter in termen van ‘snelheid’. In beide genoemde onderzoeken ligt de nadruk op het oplossen van wiskundige problemen. Daarbij worden de interviews geanalyseerd op het gebruik van natuurkundige begrippen. Het natuurkundige begrip snelheid wordt gezien als representatie of interpretatie van het concept afgeleide. In beide studies worden leerlingen beschreven voor wie het begrip ‘snelheid’ een centrale rol speelt in het betekenis geven aan het concept afgeleide. In de studie van Zandieh speelt in de loop van het studiejaar het begrip snelheid een minder belangrijke rol. •
Doorman, L.M. (2005). Modelling motion: from trace graphs to instantaneous change.(Doctoral dissertation, Universiteit Utrecht). Utrecht: CD-β press.
Doorman (2005) onderzocht de wijze waarop leerlingen de beginselen van differentiaalrekening en kinematica leren volgens het principe van ‘geleid heruitvinden’. Het modelleren van bewegingen voor het doen van voorspellingen vormt de kern van zijn onderwijsexperiment. Doorman concludeert dat de leerlingen door de gekozen werkwijze kennis ontwikkelen over snelheid als samengestelde grootheid, de samenhang tussen verplaatsingen en afgelegde weg en het differentie quotiënt als maat voor verandering. Deze benadering is er vooral op gericht dat fysische begrippen kunnen wortelen in redeneringen over beweging en voorspellingen bij veranderingsprocessen. De stap naar onderliggende wiskundige structuren van het concept afgeleide blijft voor leerlingen lastig volgens Doorman. Verder zal volgens hem het experiment gevolgd moeten worden door lessenseries waarin de differentiaalrekening naar voren komt als generaliserend principe voor de diverse toepassingen en zal daarnaast de wiskundige structuur van het concept afgeleide behandeld moeten worden. •
Berry, J.S., & Nyman, M.A. (2003). Promoting students’ graphical understanding of the calculus. Journal of Mathematical Behavior, 22, 481-497.
•
Schorr, R.Y. (2003). Motion, speed, and other ideas that “should be put in books”. Journal of Mathematical Behavior, 22, 467-479.
•
Wright, T. (2001). Karen in motion: the role of physical enactment in developing an understanding of distance, time and speed. Journal of Mathematical Behavior, 20, 145-162.
In deze artikelen wordt beargumenteerd dat het construeren van een verbinding tussen wiskundige begrippen en persoonlijke ervaringen over kinematica bij leerlingen het begrip van het concept afgeleide ondersteunt. Berry en Nyman beschrijven een experiment waarin universitaire studenten de opdracht kregen de grafiek van een functie te construeren op basis van de grafiek van de afgeleide functie. Ze vatten daartoe de grafiek op als een snelheid-tijd-grafiek. Studenten moesten in een ‘loop-activiteit’ de snelheid-tijd-grafiek construeren. Met behulp van een datalogger werd de afgelegde weg van een lopende student gemeten en tegelijkertijd werd grafisch de afgelegde weg en de snelheid van de beweging van de student weergegeven. De resultaten van dit experiment tonen aan dat de studenten die aan het begin van deze activiteit het concept afgeleide vooral symbolisch interpreteerden door de ‘loopactiviteit’ hun begrip van calculus verbreedden naar de grafische representatie. Roorda hierover: dergelijke onderwijsbenaderingen van kinematica en differentiaalrekening staan ver af van de praktijk van het Nederlandse onderwijs. Het onderwerp kinematica wordt momenteel in de schoolboeken van natuurkunde ingeleid met behulp van de grafische representatie. Snel daarna worden formules geintroduceerd om daarmee opdrachten over snelheid en versnelling te kunnen oplossen. Ook in het wiskundeonderwijs wordt na een introductie met grafieken, tabellen en •
Zandieh, M. (1997). The evolution of students understanding of the concept of derivative. (Doctoral dissertation, Oregon State University). Corvallis: Oregon State University.
•
Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. In E. Dubinsky, A.H. Schoenfeld, & J.J. Kaput (Eds.), Research in collegiate mathematics education IV (pp. 103-127). Providence, RI: American Mathematical Society.
In tegenstelling tot de bovengenoemde studies beschrijft de studie van Zandieh (1997, 2000) de ontwikkeling van de wiskundige bekwaamheid van het concept afgeleide zonder specifieke interventie in het gegeven onderwijs. Zij rapporteert over de ontwikkeling van grade-12-leerlingen gedurende een calculuscursus in een schooljaar (Zandieh, 1997, 2000). Ze vindt verschillen in de ontwikkeling van voorkeurinterpretaties van het concept afgeleide en vindt dat er geen hierarchie zit in de volgorde waarin aspecten van het concept door leerlingen geleerd worden. As a student's understanding evolves the student may learn one interpretation first and use it to connect to another interpretation. The choice of first interpretation does not seem to be set for all learners but depends on the preferences of the individual student. […] In summary, any one aspect of the derivative concept may be learned without prior knowledge of the other aspects. (Zandieh, 1997, p.187)
Naast de verschillen die er zijn tussen leerlingen constateert Zandieh ook dat het begrip van verschillende leerlingen steeds meer overeenkomsten gaat vertonen. Ze verwoordt: As each student develops a more complete understanding, their understanding becomes more similar. In this way, a student’s understanding of derivative develops from a partial understanding, each student with a different collection of pieces of the puzzle, to a more complete understanding with perhaps only a few pieces remaining unplaced. (Zandieh, 2000, p.124) Zandieh beschrijft de ontwikkeling in relatie tot de gevolgde calculuscursus. Hoewel leerlingen tegelijkertijd ook natuurkundelessen volgen is de inhoud en invloed van deze natuurkundelessen op het begrijpen van het concept afgeleide niet apart onderzocht. Mogelijkerwijs is die invloed wel aanwezig. •
Roorda, G. (2012). Ontwikkeling in verandering: ontwikkeling van wiskundige bekwaamheid van leerlingen met betrekking tot het concept afgeleide. (Doctoral dissertation, Rijksuniversiteit Groningen). Groningen: Rijksuniversiteit Groningen.
•
Lobato, J. (2003). How design experiments can inform a rethinking of transfer and vice versa. Educational Researcher, 32(1), 17-20.
•
Greeno, J.G. (1997). On claim that answer the wrong questions. Educational Researcher, 26(1), 5-17. • Lobato J., & Siebert, D. (2002). Quantitative reasoning in a reconceived view of transfer. Journal of Mathematical Behavior, 21, 87-116. • Lobato, J. (2006). Alternative perspectives on the transfer of learning: History, issues, and challenges for future research. The Journal of the Learning of Sciences, 15, 431449. • Warner, L.B. (2008). How do students’ behaviors relate to the growth of their mathematical ideas? Journal of Mathematical Behavior, 27, 206-227. In publicaties over differentiaalrekening wordt soms opgemerkt dat er bij leerlingen geen transfer optreedt tussen schoolvakken. Daarmee wordt bedoeld dat leerlingen de kennis die verworven is bij het ene schoolvak niet toepassen bij een ander schoolvak. Het woord ‘transfer’ in bovenstaande uitspraak is gebaseerd op de traditionele definitie van transfer als ‘kennis geleerd in de ene situatie toepassen in een nieuwe situatie. Deze benadering van transfer wordt in de literatuur aangeduid als een cognitivistisch perspectief (Greeno, 1997) of traditionele transfer (Lobato, 2003). Dit perspectief heeft echter diverse bezwaren. Lobato en Siebert (2003) noemen als bezwaar dat deze vorm van transfer is gebaseerd op de kennis van experts in plaats van de persoon die in een situatie handelt. Zij verwoorden dit als: “traditional transfer is the subject’s reapplication of overt actions in situations that the researcher deems similar” (Lobato & Siebert, 2002, p.89). Greeno (1997) noemt als bezwaar dat in dit transferperspectief de
nadruk wordt gelegd op de kennis gerelateerd aan taken, maar dat de brede sociale context waarin kennis wordt verworven buiten beschouwing wordt gelaten. In het onderzoek van Gerrit Roorda is gekozen voor een actor georiënteerd transferperspectief (Lobato, 2002, 2003, 2006). Lobato definieert deze vorm van transfer als: “The personal construction of relations of similarity across activities (i.e., seeing situations as the same)” (Lobato, 2002, p.20). Kenmerken van dit perspectief zijn: 1- Het gaat om de persoonlijke constructies van relaties vanuit het perspectief van de handelende persoon (actor) en niet die van de expert. 2- Er wordt onderzocht welke invloed eerdere activiteiten hebben op de huidige activiteiten, en hoe actoren verschillende situaties als gelijksoortig interpreteren en niet of er verbetering optreedt in vooraf opgestelde transfertaken. 3- Er wordt geanalyseerd welke relaties door leerlingen worden geconstrueerd en hoe deze worden ondersteund door de omgeving en niet onder welke condities transfer optreedt. In Roorda’s onderzoek is dit perspectief is op twee manieren uitgewerkt. In de eerste plaats is geanalyseerd in hoeverre leerlingen binnen een interview relaties construeren tussen opdrachten die in verschillende situaties beschreven zijn. In de tweede plaats is geanalyseerd in hoeverre leerlingen relaties noemen of gebruiken tussen procedures en aspecten die behandeld worden bij verschillende schoolvakken. Hieronder beschrijft Roorda in de volgende worden eerst patronen in het construeren van relaties tussen situaties beschreven en niveaus die hierin zichtbaar zijn. Daarna wordt ingegaan op de bruikbaarheid van het actor georiënteerde transferperspectief. Patronen in het construeren van relaties tussen situaties Een situatie in Roorda’s onderzoek is opgevat als een beschrijving in een opdracht die voor leerlingen voorstelbaar is in de werkelijkheid. In zijn onderzoek wordt een aantal manieren zichtbaar waarop leerlingen relaties tussen situaties construeren. 1- Leerlingen relateren verschillende aspecten aan elkaar. Leerlingen die bijvoorbeeld de aspecten ‘momentane snelheid’ en ‘steilheid’ aan elkaar relateren, gebruiken dit om relaties tussen situaties te construeren. Daardoor lossen deze leerlingen met dezelfde procedure twee verschillende opdrachten op, namelijk een waarin de steilheid in een punt berekend moet worden en een waarin gevraagd wordt naar de momentane snelheid. 2- Leerlingen relateren verschillende procedures aan elkaar. Enkele leerlingen gebruiken de raaklijnmethode en het symbolisch differentiëren als twee aan elkaar gerelateerde procedures om een momentane verandering te berekenen. Ze gebruiken deze relatie ook om overeenkomsten tussen opdrachten te construeren. Het zien van samenhang tussen aspecten en tussen procedures lijkt daarmee een belangrijke voorwaarde voor het construeren van overeenkomsten.
Leerlingen construeren vaker relaties tussen situaties als ze meerdere aspecten of meerdere procedures aan elkaar kunnen relateren. Zowel gerelateerde aspecten als procedures kunnen een brugfunctie vervullen tussen verschillende situaties. Deze constatering sluit aan bij Warners conclusie dat leerlingen een beter begrip tonen als zij in staat zijn ‘hetzelfde idee’ in verschillende situaties te gebruiken (Warner, 2008). Niveaus van construeren van relaties tussen opdrachten In Roorda’s onderzoek blijken aspecten van het concept afgeleide soms een brugfunctie te vervullen tussen de verschillende situaties. Er zijn verschillende niveaus in het construeren van relaties tussen opdrachten waargenomen: enkele leerlingen weten veel situaties aan elkaar te relateren terwijl anderen nauwelijks of geen relaties tussen opdrachten noemen. Hieronder beschrijft hij het gedrag van leerlingen die op een laag niveau en leerlingen die op een hoog niveau opereren. Omdat de herkenning van een bepaald aspect in een opdracht leidt tot de keuze van een procedure, kunnen aspecten opgevat worden als een schakel tussen opdrachten en procedures. Leerlingen op een laag niveau herkennen bij elke opdracht een aspect en op basis daarvan kiezen ze voor een (al dan niet adequate) procedure (zie figuur 8.2).
Leerlingen op een hoog niveau zien dat het in verschillende opdrachten om dezelfde aspecten gaat, relateren meerdere aspecten en meerdere procedures aan elkaar en voeren meerdere adequate procedures uit (zie figuur 8.3).
Tussen het lage en het hoge niveau is een variatie aan niveaus zichtbaar waarin het aantal gerelateerde aspecten of het aantal gerelateerde procedures varieert.
Uit het onderzoek blijkt dat veel leerlingen in interview 1 opereren op het lage niveau. In interview 2 opereren leerlingen op een hoger niveau omdat ze meerdere aspecten noemen. Meer leerlingen herkennen dat bij verschillende opdrachten dezelfde procedures gebruikt kunnen worden. Vaak worden relaties tussen procedures en aspecten nog niet expliciet genoemd. De meeste leerlingen komen op een hoger niveau doordat ze in hun ontwikkeling meer procedures en aspecten aan elkaar relateren en zekerder zijn van gelegde relaties. Enkele leerlingen bereiken in het derde of vierde interview een hoog niveau, hoewel bepaalde procedures nog geïsoleerd blijven. Er vindt dus een ontwikkeling plaats waarin procedures en aspecten in eerste instantie geïsoleerd van elkaar functioneren en later meer aan elkaar gerelateerd worden. Bij de meeste leerlingen treedt in de loop van de interviews een verschuiving op van het lage niveau in de richting van het hoge niveau.
Actorgeoriënteerde transfer Het actor georiënteerde transferperspectief (Lobato, 2003) is voor een deel bruikbaar gebleken als theoretisch model in mijn onderzoek. Vooral het kenmerk ‘persoonlijke constructies van relaties tussen situaties’ is in de resultaten van mijn onderzoek terug te vinden, zoals blijkt uit de volgende voorbeelden. Een leerling vraagt zich af of hij iets wat hij bij natuurkunde geleerd heeft, ook bij wiskunde mag toepassen. Andere leerlingen relateren een economische opdracht aan het fysische snelheidsbegrip. Een leerling interpreteert de afgeleide als toename per eenheid en construeert op basis van dit aspect relaties tussen situaties (mogelijk gebaseerd op het concept marginale kosten uit de economielessen). Enkele leerlingen construeren relaties op basis van grafische aspecten als ‘richtingscoëfficiënt’ en ‘steilheid’, terwijl voor andere leerlingen vooral het aspect ‘snelheid’ een brugfunctie vervult. Volgens Lobato (2003) kijken onderzoekers die werken volgens het actor georiënteerde transferperspectief naar de invloed van eerdere activiteiten op de huidige activiteiten. In Roorda’s onderzoek is gezocht naar de invloed van de onderwijscontext op de wiskundige bekwaamheid van leerlingen. Leerlingen leggen soms relaties tussen situaties van de opdrachten en de behandelde onderwerpen bij wiskunde, natuurkunde of economie. Roorda heeft gekozen voor een beperkte interpretatie voor het begrip ‘activiteiten’. In het actor georiënteerde transferperspectief wordt onder ‘activities’ en ‘situations’ de gehele, brede context verstaan waarin kennis is verworven. Bijvoorbeeld, bij het toepassen in natuurkunde van kennis die bij wiskunde is verworven zal een breed spectrum van mogelijke kenmerken van de situatie een rol spelen, zoals het lokaal waar iets geleerd wordt, de sociale omgeving, de gebruikte taal, de opvattingen van de docent. De invloed van dergelijke ‘eerdere activiteiten’ op huidige activiteiten is door Roorda niet structureel onderzocht.
De context waarin kennis wordt verworven is voor een onderzoeker moeilijk precies te beschrijven. Een voorbeeld hiervan is de opmerking van een leerling die constateert dat twee formules met elkaar te maken hebben omdat ze zich herinnert dat ze op dezelfde bladzijde in het boek staan. Dergelijke kleine details in de ‘activiteit’ kunnen al van invloed zijn op geconstrueerde relaties in latere activiteiten. In Roorda’s onderzoek blijken leerlingen beter in staat tot het construeren van overeenkomsten tussen opdrachten als zij aspecten en procedures aan elkaar kunnen relateren. In vervolgonderzoek zou geanalyseerd kunnen worden of onderwijssituaties die leerlingen stimuleren dergelijke relaties te verwoorden en te gebruiken, deze leerlingen positief beïnvloeden in het zelf construeren van relaties tussen situaties. •
Asiala, M., Cottrill, J., Dubinsky, E., & Schwingendorf, K. (1997). The development of students’ graphical understanding of the derivative. Journal of Mathematical Behavior, 16, 399-431. • Hahkioniemi, M. (2006). The role of representations in learning the derivative. (Doctoral Dissertation, University of Jyvaskyla). Jyvaskyla: University Printing House. • Hahkioniemi, M. (2008). Durability and meaningfulness of mathematical knowledge – the case of the derivative concept. In O. Figueras, J.L. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano, & A. Sepulveda (Eds.), Proceedings of the 32nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Morelia, Mexico: PME. • Kendal, M. (2001). Teaching and learning introductory differential calculus with a computer algebra system. (Doctoral dissertation, The University of Melbourne). Melbourne: The University of Melbourne. • Zandieh, M. & Knapp, J. (2006). Exploring the role of metonymy in mathematical understanding and reasoning: The concept of derivative as an example. Journal of Mathematical Behavior, 25, 1-17.
De relatie tussen de grafische, numerieke en symbolische representatie Aanbeveling 1: Het verdient aanbeveling om al in de onderbouw te beginnen met het onderwijzen van grafische en numerieke representaties van gemiddelde verandering en momentane verandering in wiskundige en realistische situaties. Daarbij dienen ook voor leerlingen toegankelijke aspecten als ‘steilheid’, ‘helling’, ‘toename’ en ‘verandering’ gebruikt te worden. In de bovenbouw, na de introductie van de symbolische representatie, zouden relaties tussen grafische, numerieke en symbolische representaties herhaald moeten worden, bijvoorbeeld door opdrachten te gebruiken die een beroep doen op elk van de drie representaties.
•
Weitendorf, J. (2007). Realitätsbezüge im Analysisunterricht. Unterrichtliche Vorschläge und ihre Evaluation. (Doctoral dissertation, Universitat Hamburg). Berlin: Verlag Franzbecker.
Het noemen en gebruiken van meerdere aspecten Aanbeveling 2: Het laten verwoorden van de relatie tussen verschillende aspecten van het concept afgeleide in allerlei situaties versterkt het conceptueel begrijpen en flexibel gebruiken van procedures. Introductie van een neutrale, samenvattende term zoals ‘momentane verandering’ of ‘mate van verandering’, analoog aan de term ‘rate of change’, kan helpen allerlei situatiegebonden woorden aan elkaar te relateren. Verder onderzoek moet uitwijzen welke termen bijdragen aan toename van wiskundige bekwaamheid. Concentrisch curriculum Aanbeveling 5: Een concept zoals de afgeleide dient volgens een concentrisch curriculum aangeboden te worden, want nieuw geïntroduceerde begrippen en procedures blijken pas na herhaling adequaat te kunnen worden gebruikt en gerelateerd aan eerder onderwezen kennis. Afstemming tussen de schoolvakken Hoewel leerlingen soms relaties kunnen leggen tussen de schoolvakken, bevestigt dit onderzoek dat leerlingen kennis uit het ene schoolvak moeilijk kunnen toepassen in een ander schoolvak. In paragraaf 8.1.4 is beschreven dat kinematicaformules door de meeste leerlingen niet worden gerelateerd aan overeenkomstige wiskundemethoden, maar dat de raaklijnmethode en het differentie quotiënt bij meerdere leerlingen een brugfunctie vervullen tussen wiskunde en natuurkunde. Goed gekozen notaties en visualisaties kunnen leerlingen helpen relaties tussen schoolvakken te leggen. Enkele voorbeelden van deze aanbeveling zijn:
c. Het maximaliseren van winst met de procedure om de marginale kosten gelijk te stellen aan de marginale opbrengst kan genoteerd worden als MO = MK maar ook als TO' = TK'. Combinatie van beide notaties vergemakkelijkt het leggen van relaties tussen economieformules en wiskundeprocedures MK maar ook als TO' = TK'. Combinatie van beide notaties vergemakkelijkt het leggen van relaties tussen economieformules en wiskundeprocedures. Een gezamenlijke opbouw van het concept afgeleide in natuurkunde en wiskunde kan de samenhang tussen de vakken versterken. In de wiskundelessen zou vanuit het begrip ‘gemiddelde verandering’ in diverse situaties (waaronder fysische en economische) toegewerkt kunnen worden naar het aspect ‘momentane verandering’ in zowel de
numerieke, de grafische als de symbolische representatie. Tegelijkertijd zou in de natuurkundelessen de kinematica aan de hand van practica en opdrachten onderwezen kunnen worden. Daarbij moeten zowel bij wiskunde als bij natuurkunde relaties tussen procedures, aspecten en notaties van beide vakken geëxpliciteerd en door leerlingen in verwerkingsopdrachten zelf geconstrueerd kunnen worden. •
Natuurkunde wiskunde conferentie (NWC) (1975). Syllabus ter voorbereiding op de natuurkunde-wiskunde conferentie in Noordwijkerhout. Noordwijk: NWC. • Vredenduin, P.J.G.(1979). Terminologie in natuurkunde en wiskunde. Euclides, 55, 81-94. • Biezeveld, H. (1979). Vragen en opmerkingen over differentialen. Euclides, 55, 95-99. • Zegers, G.E., Boersma, K.Th., Genseberger, R.J., Jambroes-Willebrand, A.G., Kooij, H. van der, Mooldijk, A.H., Wijers, M., & Eijkelhof, H.M.C. (2003). Een basis voor SONaTe. Voorbeelden van inhoudelijke samenhang tussen de natuurwetenschappelijke vakken en wiskunde in de tweede fase havo/vwo. Delft: Stichting Axis. • Vos, P., Braber, N.S. den, Roorda G., & Goedhart, M.J. (2010). Hoe begrijpen en gebruiken docenten van de schoolvakken natuurkunde, scheikunde en economie het wiskundige concept ‘afgeleide’? Tijdschrift voor Didactiek der Bètawetenschappen, 27, 37-62. • Gentner, D., Loewenstein, J., & Thompson, L. (2003). Learning and transfer: a general role for analogical encoding. Journal of Educational Psychology, 95, 393-408. Docenten dienen zelf kennis te hebben van relaties tussen schoolvakken, zoals bepleit in conferentiebundel van de Natuurkunde Wiskundeconferentie (NWC, 1975), door Vredenduin (1979), Biezeveld (1979), Zegers e.a. (2003), Giessen e.a. (2007) en Vos e.a. (2010). Maar deze relaties dienen ook gedetailleerd met leerlingen besproken te worden. Daarnaast is verwerking in opdrachten nodig om daarmee constructie van overeenkomsten en verschillen tussen schoolvakken te stimuleren. Een onderwijsstrategie die zich hiervoor kan lenen is de methode van ‘analogical encoding’ (Gentner, Loewenstein & Thompson, 2003). Bij deze methode vergelijken leerlingen twee voorbeelden zodat ze tot begrip van de onderliggende structuur van beide voorbeelden kunnen komen. Gentner e.a. (2003) concluderen op basis van drie analogical encoding-experimenten dat er bewijs is voor hun claim dat “analogical encoding fosters the extraction of the common relational schema inherent in the cases and that this in turn promotes the ability to transfer the knowledge to new cases” (p 402). Met leerlingen zouden verschillen en overeenkomsten tussen bijvoorbeeld de fysische notatie s'(10) (met s is de afgelegde weg en t = 10) en de economische notatie TK'(10) (de TK is de totale kosten bij een productie van q = 10) besproken kunnen worden. Een ander voorbeeld is het vergelijken van de oplossingen van de opdrachten Watertanks-b en Kogel. Deze onderwijsstrategie wijkt af van een meer standaardmethode om kennis over een nieuwe situatie te ontwikkelen op basis van analogieen met eerder geleerde situaties. Met deze strategie worden leerlingen regelmatig gestimuleerd overeenkomsten en verschillen tussen schoolvakken te verwoorden. In een
toekomstig onderzoeksproject zou onderzocht kunnen worden of dit leidt tot meer samenhangende kennis. Aanbeveling 6: Vaksecties van verwante schoolvakken kunnen meer wiskundige bekwaamheid bij hun leerlingen verwachten als zij een gemeenschappelijke opbouw van concepten, procedures en notaties ontwerpen.
How Design experiment Can Inform a Rethinking of Transfer and Vice Versa. Educational researcher, Vol. 32, No. I, pp. 17 – 20. Wanneer het gaat om onderzoek naar “Transfer van het leren” bij ontwerp gericht onderzoek, dan blijkt het dat de huidige benaderingen beperkingen met zich meebrengen. Onderzoekers beschikken namelijk maar over beperkte informatie bij het maken van keuzes tijdens het ontwerpen. In dit artikel worden deze beperkingen benadrukt door het presenteren van een re-conceptualisatie van het begrip transfer. Dit nieuwe concept wordt actor-oriented transfer (henceforth referred to as AOT) genoemd. De verdiensten van dit alternatieve model worden beschouwd in termen van de hoeveelheid informatie dat het verschaft aan ontwerpgerichte onderzoekers. Transfer van het leren is essentieel bij ontwerp gericht onderzoek. Onderzoekers zoeken naar informatie over hoe lerenden ervaringen vanuit specifieke situaties generaliseren, maar ook hoe deze informatie onderzoekers kan informeren over de keuzes die deze onderzoekers maken gedurende opeenvolgende iteraties van het ontwerpcyclus. In het artikel worden eerst de beperkingen van gangbare benaderingen over transfer tijdens ontwerp gericht onderzoek bediscussieerd. Vervolgens wordt onderzocht hoe via ontwerp gericht onderzoek fundamentele aannamen die aan transfertheorieën ten grondslag liggen, kunnen worden betwist. Dit geldt ook voor aannamen betreffende het lesgeven en leren. Dit alles wordt geïllustreerd aan de hand van de presentatie van een alternatief model dat AOT wordt genoemd. Het AOT-model is ontstaan uit ontwerp gericht onderzoek. De verdiensten van dit alternatieve model worden beschouwd in termen van de hoeveelheid informatie die het verschaft aan ontwerpgerichte onderzoekers. Conclusie Als laatste het metafoor voor transfer (dimensie 8) is gerelateerd door Bransford en Schwartz’ “Preparation for future Learning” benadering. In plaats van transfer te zien als een passief eindproduct van een bijzonder set van leerervaringen, bekijken zij het als een actief proces. In het actor-georiënteerde perspectief is dit inzicht ingebed, doordat het statische metafoor van transfer is vervangen door een toepassing van het dynamische metafoor van transfer als constructie van gelijkheid (sameness). Relaties van gelijkheid worden geproduceerd of geconstrueerd, niet vanwege een simpele waarneming of codering. Kortom, de actor georiënteerde transfer benadering profiteert van inzichten
van andere onderzoeksinspanningen, terwijl het belangrijke perspectief, het identificeren van de bijzondere concepties dat twee situaties van een kijk op de wereld van de lerende aan elkaar relateert In de tabel hieronder zijn de verschillen weergegeven tussen de aannamen van de AOTbenadering en de aannamen behorende bij de klassieke transferbenadering:
Student Learning, Retention and Transfer from Trigonometry to Physics in 2005 Physics Education Research Conference. 2004. Sacramento, CA: AIP Conference Proceedings. In het artikel wordt onderzocht in welke mate universiteitsstudenten diverse concepten kunnen ophalen uit het lange termijn geheugen (retentie) en de transfer hiervan maken van goniometrie naar natuurkunde op het introductieniveau. De data bestaat uit online huiswerkopdrachten over goniometrie en onderzoek van pre- en post-instructies bij natuurkunde. Transfer is gemeten vanuit een traditioneel perspectief, maar ook vanuit twee alternatieve perspectieven. In vergelijking met andere onderwerpen, lijken studenten meer moeite te hebben met retentie en de transfer van eenheidscirkels. Transfer was duidelijker te zien wanneer het gemeten wordt vanuit alternatieve perspectieven, dan wanneer gemeten vanuit het traditionele perspectief. Conclusies Onderzoek Q #1: retentie
Uit resultaten blijkt dat de retentie van studenten significant groter is voor meetkundige concepten en functies bij goniometrie, dan voor het concept eenheidscirkel. Ook blijkt uit de resultaten dat deze niet voldoen aan de veronderstellingen van hiërarchische VHL’s. Onderzoek Q #2: transfer Zoals verwacht, is de keuze voor een bepaald transferperspectief van invloed geweest voor het bewijs van transfer. Vanuit het traditionele perspectief gezien is er geen bewijs voor transfer. Echter, wanneer we alternatieve perspectieven als PFL en AOT gebruiken, is er wel sprake van transfer. Wij vinden dat deze waarneming in ons onderzoek geen zwaktebod is, maar dat het juist laat zien dat het belangrijk is vanuit welk perspectief je transfer bekijkt. Transfer over de VHL’s blijkt ook niet uniform te zijn. Er is een sterker bewijs voor het bestaan van VHL-I (meetkundig) concepten dan voor VHL-III (functies), en voor het bestaan van VHL-II (eenheidscirkel) is er geen bewijs. Tabel 4 is een samenvatting van de resultaten van retentie en transfer. Elk vinkje stelt voor dat er bewijs is voor het bestaan van transfer of retentie. Deze resultaten lijken te laten zien dat studenten de meeste moeite hebben met retentie en transfer van het concept van de eenheidscirkel (VHL-II). Uitleg VHL’s Goniometrische concepten kunnen worden begrepen en toegepast op verschillende niveaus, afhankelijk van de context van een probleem. Van Hiele gebruikte een hiërarchisch systeem om het begrijpen van goniometrie door studenten te beschrijven. Goniometrische concepten (sinus, cosinus, tangens en de onderlinge relaties) worden beschreven door 3 Van Hiele Niveaus (Van Hiele Levels=VHL), allemaal in termen van begrijpen: • •
VHL-I (Geometrisch): relaties tussen zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek. VHL-II (Eenheidscirkel):
Verder onderzoek De resultaten lijken niet te voldoen aan de hiërarchische natuur van de VHL’s. Om deze reden is verdere onderzoek nodig om de natuur van goniometrische kennis te analyseren, met name wanneer deze wordt toegepast in de natuurkunde. Er bestaan speculaties over de moeilijkheden bij het concept eenheidscirkel, omdat studenten dit onderwerp niet uitgebreid behandeld hebben gekregen tijdens de goniometriecolleges. Zij hebben slechts 2 opdrachten gemaakt over de eenheidscirkel, terwijl er 4 zijn gemaakt over het concept functies. Verdere onderzoek is nodig om deze speculaties te onderzoeken.
College Students’ Transfer from Calculus to Physics. Physics Education Research Conference, edited by P. Heron, L. Mc Cullough, and J. Marx. Het artikel beschrijft een onderzoek naar de transfer van het leren bij studenten van calculus naar een inleidend natuurkunde vak. Er is gebruik gemaakt van semigestructureerde interviews met hardop nadenken om te bepalen in welke mate er sprake is van transfer wanneer studenten hun calculuskennis inzetten bij een natuurkunde vak om problemen op te lossen. Resultaten geven een indicatie dat studenten prompten (prompting) en ondersteuning (scaffolding) nodig hebben om hun calculuskennis te kunnen relateren aan het natuurkundeprobleem. Conclusie De resultaten duiden erop dat studenten erin geloven dat calculuscolleges voor een groot gedeelte hen de adequate kennis en bekwaamheden heeft verschaft, die zij nodig zijn bij natuurkunde. Echter, het oplossen van calculusproblemen heeft studenten niet geholpen bij het oplossen van isomorfe natuurkundeproblemen. Studenten erkennen dat zij moeilijkheden hadden bij “setting up” calculus gebaseerde natuurkundeproblemen. Deze moeilijkheden bevatten het maken van keuzes om geschikte variabelen en limieten te nemen bij integreren; niet zeker zijn over de eisen die bepalen of calculus toepasbaar is op een gegeven natuurkundeprobleem; en zij hebben de neiging om overgesimplificeerde algebraïsche relaties te gebruiken om calculus te vermijden, omdat zij niet de onderliggende veronderstellingen begrijpen. Studenten prefereren meer toepassingsgerichte problemen bij het calculuscollege en betere ondersteuning (scaffolding) om natuurkundeproblemen op te lossen. Ook lijken studenten erin te geloven dat een focus op het conceptueel begrijpen en concurrerend lesgeven van calculus en natuurkunde, hen zal ondersteunen in het toepassen van calculus bij natuurkunde. De resultaten van het interview representeerden een klein deel van de studenten dat de colleges heeft gevolgd, maar waren hulpvol tijdens het identificeren van bovengenoemde punten. In de volgende fase wordt deze studie uitgebreid met het ontwerpen van een kwantitatief onderzoek naar studentenprestaties van calculusgebaseerde natuurkundeproblemen bij examens.
Anderson, J.R., Reder, L.M., & Simon H.A. (1996). Situated Learning and Education. Educational Researcher, 25(4), 5-11. Het artikel is een review van beweringen betreffende gesitueerd leren (situated learning), dat een toenemende invloed heeft op het onderwijs in het algemeen en het wiskundeonderwijs in het bijzonder. Vier centrale beweringen van het gesitueerd leren m.b.t. onderwijs worden onder de lopen genomen: 1-actie is gegrond in de concrete situatie waarin het gebeurd; 2-er is geen sprake van transfer van kennis; 3-trainen door te abstraheren is van beperkte invloed;
4-instructies moeten worden gegeven in complexe, sociale omgevingen. In elk geval, wordt empirische literatuur geciteerd om te laten zien dat de beweringen in kwestie overdreven zijn en dat sommige onderwijskundige implicaties die hieruit volgen misleidend zijn.
Samenvatting In het algemeen, ligt de focus van het gesitueerd leren op goed gedocumenteerde fenomenen uit de cognitieve psychologie en domeinen daarbuiten worden weggelaten. Terwijl cognitie deels context-afhankelijk is, is het ook deels context-onafhankelijk; terwijl er dramatische mislukkingen zijn van transfer, zijn er ook dramatische successen aan te wijzen; terwijl concrete instructies helpen, helpt abstracte instructie ook; terwijl sommigen profiteren van trainen in een sociaal context, profiteren anderen weer niet. De ontwikkeling van behaviorisme naar cognitivisme was een ontwaking voor de complexiteit van het menselijk cognitivisme. In dit artikel is gewezen op zaken die reeds eerder zijn ontdekt door cognitief onderzoek over leerprocessen, en de implicaties over wat er is geleerd bij onderwijskundige toepassingen. Analyse vanuit gesitueerd leren geeft in sommige gevallen aanleiding tot een regressieve stap, die datgene wat empirisch is aangetoond, negeert of betwist. Hetgeen dat nodig is om het leren en lesgeven te bevorderen, is het continueren van diepgaand onderzoek naar omstandigheden die bepalen wanneer kleinere of grotere contexten nodig zijn, en wanneer aandacht voor kleinere of grotere bekwaamheden optimaal zijn voor effectief en efficiënt leren. Het artikel wordt afgesloten met het erkennen, evenals in de inleiding, dat gesitueerd leren een rol heeft gediend in het meer bewust maken van bepaalde aspecten van het leren die niet geheel werden geaccepteerd door het onderwijs. Echter, dit “meer bewust maken van” heeft ook wel negatieve aspecten gekend. Het meeste van wat er in dit artikel is bediscussieerd, waren misleidende implicaties voor het onderwijs, geschetst door voorstanders van het gesitueerd leren. Het is niet altijd duidelijk geweest of de (van huisuit) auteurs uit het kamp van het gesitueerd leren deze implicaties zullen bevestigen. Echter, bij gebrek aan zelfverloochening vanuit de cognitief wetenschappelijke gemeenschap, kunnen misleidende oefeningen een voorkomen hebben van een basis in wetenschappelijk onderzoek.
Bransford, J. D. & Schwartz, D. (1999). Rethinking transfer: a simple proposal with multiple implications. In A. Iran-Nejad & P. D. Pearson (Eds.), Review of research in education (Vol. 24, pp. 61-100). Washington, DC: American Educational Research Association. Een geloof in het bestaan van transfer zit in de kern van ons onderwijssysteem. De meeste onderwijzers willen onderwijsactiviteiten die positieve effecten hebben en dat deze zich tevens uitbreiden tot ver buiten de precieze omstandigheden van het initiële leren. Zij zijn hoopvol dat studenten het bewijs willen laten zien voor een diversiteit aan situaties: vanuit een probleem naar een andere binnen een college, vanuit het ene college naar het andere, vanuit het ene schooljaar naar het volgende, en vanuit de jaren op school naar de jaren op de werkvloer. De overtuigingen met betrekking tot transfer zijn vaak beweringen als dat het beter is om mensen breed te “onderwijzen”, dan simpelweg mensen “trainen” in het uitvoeren van specifieke taken.
In dit hoofdstuk wordt onderzoek gedaan naar transfer vanuit een perspectief uit het verleden en een discussie met het oog op de toekomst. Wat heeft onderzoek uit het verleden met betrekking tot transfer ons geleerd, in het bijzonder voor onderwijs? Hoe ziet onderzoek naar transfer er uit in de toekomst? Onze discussie over het verleden is kort, niet omdat het onbelangrijk is, maar meer vanwege ruimtebeperkingen en het gegeven dat ons primaire accent op de toekomst ligt. We beargumenteren waarom heersende theorieën en methoden van het meten van transfer een gelimiteerd bereik hebben; wij stellen een alternatief model voor dat de huidige benaderingen complementeert en uitbreidt; en we schetsen de implicaties ervan voor het onderwijs. Onze discussie bestaat uit 5 delen. Allereerst, worden in het kort de belangrijkste bevindingen samengevat uit de literatuur betreffende transfer –zowel successen alsmede teleurstellingen. Ten tweede, contrasteren we het traditionele transfermodel met dat van een alternatief model. In laatstgenoemd model wordt de bekwaamheid om te leren tijdens transfer benadrukt. Ten derde, worden mechanismen betreffende transfer bediscussieerd die Broudy’s analyse van “knowing with” (hetgeen hij toevoegt aan de meer bekende replicatie van “knowing that” en het toepasbare “knowing how”) benadrukken. Ten vierde, laten we zien hoe een alternatieve kijk op transfer van invloed is op veronderstellingen over wat van waarde is voor studenten. Als laatste, laten we zien hoe deze nieuwe kijk op transfer een dynamische (in plaats van statisch) benadering stimuleert voor bepalingen die nieuwe inzichten geeft in wat het betekent om te leren. Samenvatting We hebben een manier voorgesteld over transfer die nog simpel is, maar belangrijke implicaties heeft voor toegepast onderwijs. Als toevoeging aan de meer typische benadering, welke transfer bekijkt als de directe toepassing (DA ≡ direct applicaXon) van kennis en deze meet in een context met afgezonderd probleem oplossen (SPS ≡ sequestered problem solving), is ons voorstel om transfer te bekijken vanuit het perspectief van het voorbereiden op het leren in de toekomst (PFL ≡ preparaXon for future learning). Het idee achter PFL met betrekking tot transfer is niet nieuw; vele andere theoretici hebben transfer gerelateerd aan leren. Desondanks, laten de onderwijskundige implicaties van diverse benaderingen van transfer niet de differentiatie in literatuur zien, die het zou moeten. Ons doel in dit hoofdstuk is het meer expliciteren van het contrast tussen de SPS- en de DA benadering vanuit het PFL-perspectief, en laten zien hoe deze divergeren. We hebben beredeneerd waarom het PFL-perspectief bewijs voor transfer laat zien, die minder gemakkelijk is te zien wanneer men gebruik maakt van DA-theorie en de hiermee samenhangende SPS-methodologie. Laatst genoemde richt zich op de mate waarbij mensen oude kennis kunnen toepassen om nieuwe problemen op te lossen. Vaak laat data zien hoe ver mensen zijn van geheel juiste oplossingen en het geeft een indruk dat transfer zelden optreedt. Daarentegen, richt het PFL-perspectief zich op het bewijs voor nuttige leertrajecten. Voorbeelden bestaan uit verfijning van vragen die studenten stellen over een
onderwerp en de veronderstellingen uit hun discussies (we hebben dit gedemonstreerd in de context van de Amerikaanse zeearend). Meer verfijnde vragen en veronderstellingen leiden tot leeractiviteiten die mensen eerder lijken te helpen in het eigen maken van de relevante vakkennis. We hebben gezien dat het PFL-perspectief netjes past in het kader van Broudy’s ‘knowing with’. Typische beoordelingen van het leren en transfer incorporeren wat Broudy “replicative” en “applicative” noemt (knowing that and knowing how). “Knowing with” is anders dan beide termen; het verschaft een context van een ‘veld’ dat tot waarnemen en interpretatie leidt. Perceptief leren verschaft een uitstekend voorbeeld van “knowing with”. Zoals volgt uit de demonstratie van transfer backscratcher grid, is het waarnemen van nieuwe kenmerken geen handeling van simpelweg het vinden van gemeenschappelijke elementen tussen het verleden en het heden. Door tegengestelde casussen, ontwikkelt iemand de bekwaamheid om steeds fijner onderscheid waar te kunnen nemen. Zodoende worden mensen connoisseurs1 van de wereld. Een belangrijke implicatie van het PFL-perspectief is dat dit de waarde van een variëteit aan leer activiteiten kan laten zien, welke moeilijk te meten is vanuit het SPS-perspectief. Bij voorbeeld, een studie door de huidige onderzoekers demonstreert dat mogelijkheden om actief sets van tegengestelde data met elkaar te vergelijken ontzettend hulpvol was voor studenten, maar het nut niet naar voren kwam, tenzij studenten de mogelijkheid werd gegeven om nieuwe informatie te leren. Onze redenering is dat studenten beter worden voorbereid op het leren, omdat zij zich het meer gedifferentieerde veld van “knowing with” hebben eigen gemaakt. We hebben gediscussieerd over toegevoegde gevallen waarbij het PFL-perspectief suggereert dat het belang van leer activiteiten misschien een verspilling van tijd lijkt vanuit het SPS-perspectief. Voorbeelden behelzen het helpen van mensen om een bepaald softwarepakket te leren versus extra tijd nemen om hen voor te bereiden op het geleidelijk leren van nieuwe pakketten en het begrijpen van de waarde (vanuit het perspectief van tegengestelde casussen en kennisdifferentiatie) van het als eerste genereren van gedachten van studenten over een onderwerp en dan deze vergelijken met gedachten van anderen, de experts inbegrepen. Het PFL-perspectief benadrukt tevens het belang van opstellingen die effect hebben op het leren in de toekomst (future learning). Future learning vereist vaak het loslaten (letting go) van vroegere ideeën, beliefs, en veronderstellingen. Effectief lerenden verzetten zich tegen easy interpretations door simpelweg nieuwe informatie te assimileren in hun bestaande schema’s; zij evalueren kritisch nieuwe informatie en stellen hun kijk bij (accommodation) wanneer dat nodig is. We presenteren twee voorbeelden, het ene behelst catalogussen over de arend en het andere interpretaties van historische teksten. In beide gevallen gaat het over transfer als conceptuele verandering ―in plaats van vasthouden aan vroegere behaviors en beliefs. We hebben ook opgemerkt dat het PFL-perspectief het belang benadrukt van het toestaan van actieve interactie tussen mens en omgeving –mogelijkheden die zelden voorkomen bij SPS omgevingen. Wanneer mensen de mogelijkheid hebben om bumping against the world
en feedback terugkrijgen, kan het leren dramatisch verbeteren, en het belang van eerdere ervaringen laten zien. Om dit punt duidelijk te maken, hebben we opgemerkt dat het gebruik van instructieve benaderingen zoals ingebed leren (analoog aan uitgewerkte voorbeelden) in ons Jasper’s avonduren (CGTV, 1997), kan resulteren in een alarmerend getal van fouten in een SPS paradigma. Echter, na slechts een enkele mogelijkheid om to test their mettle en herziening, verbeterde de studentenprestatie aanzienlijk. Een in het bijzonder significant nut van het PFL-perspectief is dat het ons kan helpen in het begrijpen van hoe het belang van een variëteit aan ervaringen (bij voorbeeld, studie van sociale- en geesteswetenschappen; deelnemen aan kunst, muziek, en sport; leven in een andere cultuur) te maximaliseren, die gevoelsmatig belangrijk lijken, maar moeilijk te bepalen zijn vanuit een DA perspectief. We beëindigen onze discussie door de implicaties van het PFL perspectief voor assessment op te merken. De meeste bepalingen zijn conform het SPS format; in Broudy’s termen, zij benadrukken het replicatieve en het applicatieve. Gebruik makend van het logische transfer appropriate processing is beredeneerd dat activiteiten die mensen voorbereiden op statische tests anders kunnen zijn dan de tests die mensen voorbereiden op future learning. Om dit idee te onderzoeken, hebben we in conjunctie met een aantal collega’s een computer geconstrueerd, gebaseerd op dynamische bepaling. We sluiten ons hoofdstuk af met de waarneming dat het DA perspectief en de daarmee samenhangende SPS methodologie ongetwijfeld erg belangrijk is en zal zijn voor cognitieve literatuur. Het SPS paradigma verschaft een methodologie om empirisch de psychologische gelijkheid tussen verschillende situaties te bepalen en laat zien hoe criteria van gelijkheidsverandering afhankelijk is van kennis en andere factoren. Door te testen wanneer mensen spontaan transfereren (in de zin van SPS) vanuit de ene situatie naar de andere, kunnen onderzoekers de psychologische gemeenschappelijke elementen bepalen die cued de replicatie en applicatie van een idee geleerd in de ene situatie naar een andere. Bij voorbeeld, het is heel leerzaam geweest om te zien dat eerstejaars studenten vaak leunen op oppervlakkige gelijkenissen, terwijl experts diepere, minder duidelijk gestructureerde gelijkenissen vinden. Ondanks het belang van SPS methodologie, komt het vaak tot een set van niet onderzochte veronderstellingen over wat het betekent om te weten en te begrijpen. De belangrijkste veronderstelling over ‘echte transfer’ behelst alleen het direct toepassen van het eerder geleerde; we geloven dat deze veronderstelling ten onrechte het veldperspectief heeft gelimiteerd betreffende de betekenis van het effectief gebruiken van eerder genoemde kennis in een nieuwe situatie. Directe applicatie van kennis zonder ondersteuning/assistentie is belangrijk, maar het is slechts een onderdeel van het hele schilderij. Het PFL perspectief benadrukt het belang van het helpen bij het leren van mensen voor hun hele leven. Een potentieel gevaar van het PFL perspectief is dat het kan leiden tot uitspraken als “Ik geef les voor het leren in de toekomst (future learning), dus hoef ik mij geen zorgen te maken om mastery of content”. Wij willen dit soort uitspraken niet stimuleren en benadrukken dat sommige activiteiten mensen beter voorbereiden op future learning dan andere. We hebben bij voorbeeld geprobeerd om te laten zien dat goed gedifferentieerde kennis essentieel is voor future learning, en benadrukt dat het belangrijk is om dynamische
beoordelingen te hebben om te meten in welke mate iemands leerervaringen uit het verleden voorbereid op future learning. Er is nog veel werk te doen op het gebied van het ontwikkelen van soorten computer gebaseerde dynamische beoordelingen, die zijn beschreven aan het eind van dit hoofdstuk. Docenten kunnen hun eigen dynamische beoordelingen inzetten door niet alleen te kijken naar studentenprestaties bij toetsen (waar SPS methodolgieën wordt gebruikt), maar ook hun bekwaamheden onderzoeken om nieuwe sets van materialen te leren. Denk aan: gebruiken studenten hun bestaande kennis om leerdoelen te definieëren? Zijn zij voorzichtig als het gaat om het evalueren van nieuwe informatie, in plaats van deze te assimileren in bestaande schema’s? Zijn zij in staat om goed samen te werken? Bereiken zij degelijke conclusies gebaseerd op bestaand bewijs? Zijn zij in staat om te reflecteren op hun eigen leerproces en leerstrategieën? De bekwaamheid van mensen om dynamisch hun bereidwilligheid voor het leren te beoordelen, zou op zichzelf kennis moeten zijn die transfereert en hen helpt om te leren. Dit betekent echter niet dat het hier gaat om een algemene vaardigheid of een formele discipline. In overeenstemming met Broudy’s analyse, suggereert het PFL- perspectief dat deze soorten van activiteiten ontstaan vanuit een goed gedifferentieerde kennisbasis, waarbij studenten in staat zijn om know with. Het ideale bereik van kennis lijkt, naast de geestes- en de socaile wetenschappen, ook de vaak genoemde velden van science en wiskunde te behelzen. Het doel van het helpen van mensen om deze gebieden te integreren in een coherent raamwerk met “knowing with”, lijkt een belangrijke uitdaging om na te streven. Karakok & B. Edwards (2009). Students’ transfer of learning of eigenvalues and eigenvectors. Een van de post-calculus wiskundecolleges vereist voor het vak wiskunde en andere disciplines is lineaire algebra. De meeste onderwerpen uit een typische Bachelor betreffende het vak lineaire algebra, zijn vaak vereist als voorkennis voor veel afnemende vakken zoals natuurkunde, economie, statistiek en enginering. Eigenwaarden en eigenvectoren zijn onderdeel van lineaire algebracolleges en komen weer terug bij kwantummechanica colleges bij natuurkunde. Van studenten wordt verwacht dat zij hun lineaire algebrakennis kunnen toepassen bij kwantummechanica colleges. Met andere woorden, van studenten wordt verwacht dat zij hun kennis over lineaire algebra onderwerpen kunnen transfereren naar natuurkundecolleges. Transfer van het leren is onderwerp van discussie onder diverse onderzoekers, maar tot op heden is er geen overeenstemming als het gaat om bevindingen. Sommige onderzoekers beweren dat dat transfer zelden optreedt, en andere onderzoekers beweren juist dat we dagelijks succesvol transfereren. Om beide verschillen op elkaar af te stemmen, hebben sommige onderzoekers nieuwe methoden voorgesteld om het onderwerp transfer te onderzoeken. Het doel van deze studie is een onderzoek naar transfer van het leren onder 3e-jaars universiteitsstudenten over concepten betreffende eigenwaarden en eigenvectoren in een reeks quantummechanicacolleges, en de mate van transfer van het leren onder deze deelnemers betreffende de concepten vanuit de colleges naar de interviews. De resultaten van deze studie suggereren het belang van dit raamwerk
aangaande het onderzoeken van transfer. De onderzoeker heeft gevonden dat AOT analyse bewijs voor het bestaan van transfer laat zien vanuit de colleges naar de interviews. Conclusie De resultaten van deze studie duiden op het belang van onderzoek naar transfer door het inzetten van het AOT raamwerk. Als antwoorden (data) op vragen vanuit de interviews door alle deelnemers wordt geanalyseerd, gebruikmakend van traditionele transfer paradigma’s, dan is het antwoord op de vraag “Transfereren studenten de concepten eigenwaarden en eigenvectoren en andere gerelateerde ideeën vanuit de najaar natuurkundecolleges naar de 2e- en 3e interviews?”, dat er bij slechts één deelnemer (Milo) sprake is van transfer, omdat Milo de enige deelnemer is die geheel juiste en correcte antwoorden heeft gegeven op bijna alle problemen tijdens de 2e- en 3e interviews. Echter, de analyse door het inzetten van het AOT-raamwerk verschaft diepte verkenningen over hoe studenten de persoonlijke constructie maken van relaties tussen ervaringen met betrekking tot de najaar colleges en de 2e- en 3e interviewvragen. Iedere student heeft zijn/haar eigen relaties gelegd tussen de interviewvragen en ervaringen uit de colleges. Met andere woorden, het AOT-raamwerk helpt onderzoekers om persoonlijke studentenperspectieven te identificeren betreffende relaties tussen verschillende ervaringen. De resultaten van deze studie benadrukken ook een van de meest hulpvolle kenmerken van het AOT raamwerk. In plaats van slechts een waarneming aangaande het eindproduct van het leren, kan dit raamwerk dienen als informatie over het leerproces zelf. Het AOT raamwerk concentreert zich op hoe studenten hun eerdere ervaringen relateren (bij voorbeeld, ervaringen tijdens het lesgeven) aan nieuwe (bij voorbeeld, de ervaringen tijdens de interviews), terwijl zij expliciete dan wel impliciete relaties construeren tussen hun ervaringen. Met andere woorden, dit raamwerk plaatst een lens op hoe studenten hun begrip ten aanzien van een concept construeren, terwijl zij het aan het construeren zijn. De activiteit waar de meeste deelnemers op terugkomen was een kleinschalige groepsactiviteit aan het eind, waarbij studenten als geheel participeerden in een groepsdiscussie. Verder onderzoek is in komst om de relatie tussen aspecten van het sociaal leren en kleinschalige groepsactiviteiten en transfer van het leren te onderzoeken.
Greeno, J. G. (1997). On claims that answer the wrong questions. Educational Researcher, 26 (1). 5-17. Anderson, Reder, en Simon (1996) betwisten vier proposities die zij ten onrechte “beweringen uit het gesitueerd leren” hebben genoemd. Deze reactie beargumenteert dat de belangrijke verschillen tussen het gesitueerde- en het cognitieve perspectief niet addressed by discussion of these imputed claims. In plaats daarvan, zijn er significante verschillen in het framen van beide perspectieven. Deze verschillen worden verklaard door vragen af te leiden waarvoor Anderson et al.’s discussie antwoorden verschaft, door het identificeren van aannamen betreffende deze vragen, waarvan de auteur aanneemt dat die
consistent zijn met het gesitueerde perspectief. Het bewijs dat Anderson et al. geeft, is compatibel met de geframede aannamen uit het gesitueerde perspectief. Om deze reden is voor een keuze voor een van de perspectieven een bredere beschouwing nodig dan voor wat zij presenteren in hun artikel. Deze beschouwingen bevatten verwachtingen over welk raamwerk het beste prospect verschaft voor het ontwikkelen van een geünificeerd wetenschappelijk verslag over activiteiten, bekeken vanuit sociaal- en individueel perspectief, en welk raamwerk onderzoek ondersteunt dat discussies over de educatieve praktijk meer productief informeert. Het cognitief perspectief neemt de theorie over individuele cognitie als basis en bouwt dit verder uit naar een bredere theorie door in toenemende mate analyses te ontwikkelen over additieve componenten die worden gezien als contexten. Het gesitueerde perspectief neemt de theorie over sociale- en ecologische interactie als basis, en bouwt dit verder uit naar een veelomvattendere theorie door in toenemende mate informatiestructuren te analyseren met als inhoud menselijke interacties. Hoewel de auteur van mening is dat het gesitueerde raamwerk veelbelovender is, is volgens hem de beste strategie voor het veld, om beide perspectieven vol energie verder te ontwikkelen. Deze beschouwingen bevatten verwachtingen over welk raamwerk het beste prospect verschaft voor het ontwikkelen van een geünificeerd wetenschappelijk verslag over activiteiten, bekeken vanuit sociaal en individueel perspectief, en welk raamwerk onderzoek ondersteunt dat discussies over onderwijskundige praktijk meer productief informeert. Het cognitief perspectief neemt de theorie over individuele cognitie als basis en bouwt dit verder uit naar een bredere theorie door in toenemende mate analyses te ontwikkelen over additieve componenten die worden gezien als contexten. Het gesitueerde perspectief neemt de theorie over sociale- en ecologische interactie als basis, en bouwt dit verder uit naar een meer veelomvattendere theorie door in toenemende mate informatiestructuren te analyseren met als inhoud menselijke interacties. Hoewel ik geloof dat het gesitueerde raamwerk veelbelovender is, is de beste strategie voor het veld om met positieve energie beide perspectieven verder te ontwikkelen. Conclusie De onenigheid tussen het gesitueerde en het cognitieve perspectief is een van de stimulerende kenmerken van onze wetenschappelijke onderneming. Uitwisselingen als deze verschaffen mogelijkheden om zaken te verhelderen en taking stock. Ook verschaffen zij reflectie op de prospecten over ons veld om vooruit te gaan met ons werk, zowel met het theoretisch vlak alsmede wanneer het gaat om informerende discussies over de onderwijskundige praktijk. Prospects voor theoretische vooruitgang Gedurende het afgelopen 40 jaar, heeft de cognitieve wetenschap een indrukwekkende hoeveelheid empirisch- en theoretisch werk ontwikkelt op het gebied van processen als probleemoplossen, redeneren, begrijpen, geheugen, en andere zaken ―allemaal beschouwt als individuele cognitie. Gedurende ruwweg dezelfde periode, is er in dezelfde mate sprake van een sterke ontwikkeling ten aanzien van wetenschappelijke kennis en begrip over
etnografie, etnomethodologie, symbolisch interactionisme, discours analyse, en socioculturele psychologie. Tot recent, hebben de ontwikkelingen van beide takken zich separaat voorgedaan. De auteur is van mening dat de prospecten goed zijn voor het ontwikkelen van een synthese, die een coherente theorie over sociale interactie en cognitieve processen zal verschaffen. Wanneer dit in de komende decennia gebeurt, zal dit een groot wetenschappelijk succes zijn die van groot belang is voor het onderwijs. Als men het erover eens is dat een synthese van deze soort een belangrijke wetenschappelijke agenda vormt, kan men het er ook over eens worden dat er meer dan één weg is om dat doel te bereiken. Een mogelijk traject neemt de theorie over individuele cognitie als basis en bouwt deze verder uit naar een alomvattendere theorie door in toenemende mate analyses over additieve componenten van situaties te ontwikkelen, die worden beschouwd als contexten voor cognitieve processen. Deze benadering beschouwt processen m.b.t. individuele cognitie als basis en legt sociale interacties en interacties tussen mensen en andere systemen uit in termen van individuele percepties, doelen, conclusies, et cetera. Een andere mogelijke benadering neemt de theorie van sociale- en ecologische interactie als basis en breid dit uit naar een alomvattendere theorie door in toenemende mate gedetailleerde analyses van structuren te ontwikkelen met betrekking tot informatie die wordt geproduceerd door interacties tussen mensen onderling, interacties tussen mens en materialen, en interacties tussen mens en representational resources in their environments. Deze gesitueerde benadering beschouwt processen ten aanzien van interactie als basis en legt individuele cognitie en ander gedrag uit in termen van bijdragen aan interactieve systemen. Dit perspectief biedt een route vanuit een analyse van interactieve systemen naar een gedetailleerde analyse van informatiestructuren en processen, waarbij gedeelde informatie wordt ontwikkeld in communicatie en andere collaboratieve activteiten. De auteur van dit artikel is van mening dat deze gesitueerde benadering méér het onderzoek zal ondersteunen die een geïntegreerde kijk op sociale interactie en informatieve inhoud van activiteit zal ontwikkelen. Prospecten voor meer productief informerende discussies over educatieve praktijk Onderzoek kan bijdragen aan discussies met een praktisch nut door het ondersteunen van toenemend begrip over mogelijkheden. De concepten die worden ontwikkeld en geëvalueerd in onderzoek kunnen beoefenaars helpen in het begrijpen en evalueren van de processen waaraan zij deelnemen, en in het formuleren van visies en doelen die that guides their practical efforts. Door het ontwikkelen van conceptuele systemen die meer empirisch inclusief en coherent zijn, verschaffen we bronnen die in potentie meer bruikbaar zijn dan beoefenaars in hun pogingen to reflectively make sense of their activiteiten en ervaringen en het formuleren van doelen om vooruitgang te continueren in hun werk.
De cognitieve- en gesitueerde perspectieven zijn beide waardevol als het gaat om het informeren van discussies van onderwijskundige praktijk, maar wel op verschillende manieren. Het cognitief perspectief verheldert vele aspecten met betrekking tot intellectuele prestatie en leren met de nadruk op verheldering van informatieve structuren ten aanzien van bekwaamheid, kennis, strategieën, en het begrijpen. Onderwijskundige praktijk kan aanzienlijk worden versterkt door het verder ontwikkelen van technologieën en lesgeefmethoden die geïnformeerd worden door het begrijpen van het leren, probleemoplossen, geheugen, en andere processen met betrekking tot individuele cognitie. Het gesitueerde perspectief kan een breder raamwerk verschaffen voor het begrijpen en verbeteren van onderwijskundige praktijk, welke belangrijke aspecten van individueel cognitief functioneren kan bevatten, maar wat ook veel verder kan gaan. Zolang we meer adequate concepten over systemen blijven ontwikkelen, mede met andere mensen en materialen, en conceptuele middelen, en het ontwikkelen van hun identiteiten als diegenen die bijdragen en lerenden langs trajecten van deelname, kunnen we aan het publieke debat betreffende onderwijskundige praktijk effectiever bijdragen. In het bijzonder, als we concepten ontwikkelen die aanleiding geven tot meer coherente verslagen van het leren in termen van sociale participatie, kunnen onze bijdragen meer ondersteunend zijn of practices waarbij studentenparticipatie in hun leren actiever het formuleren en evalueren van vragen, problemen, conjectures, conclusies, voorbeelden, bewijs, uitleg, en argumenten bevat. We kunnen werken naar het ontwikkelen van arrangementen voor een groter bereik van studentenparticipatie, zodat zij kunnen begrijpen dat bekwaamheden en kennis die zij nodig hebben van belang zijn voor hun bijdragen aan gemeenschappen waarin zij deelnemen aan het nu en de toekomst, en dat hun leren op school een integraal onderdeel is van hun ontwikkeling naar succesvolle en productieve individuele agents en lerenden. Een laatste opmerking De situatie waarin de auteur e.d. zich als veld in bevinden, lijkt op die van 30 jaar geleden, toen het cognitief perspectief nog in de kinderschoenen stond. Het dominante theoretische perspectief in psychologie op dat moment was het raamwerk dat bestond uit behaviorisme en associatieve theorie, en er was aanzienlijk weerstand tegen de op dat moment nieuwe conceptuele verschuiving van stimulus-respons associaties naar mentale representaties, de verschuiving met betrekking tot empirische methoden vanuit vergelijkingen tussen experimentele groepen naar hardopdenkprotocollen en andere diagnoses van processen, de verschuiving in theoretische methoden naar computer simulaties, en de verschuiving in de educatieve praktijk vanuit behavioristische doelen naar de conceptuele structuren van onderwerp-materie (subject-mater) domeinen, cognitieve modellen, en constructivistisch leren. Het cognitieve perspectief is vrij spectaculair geslaagd. De voordelen in het begrijpen van fundamentele processen van het leren en cognitieve processen, en van de conceptuele middelen voor educatieve praktijk die cognitie opmerkelijk hebben ondersteund, gegeven
het korte tijdsbestek dat significant onderzoek en development efforts bezig zijn geweest. Gedurende deze tijd zijn er vergelijkbare wetenschappelijke ontwikkelingen geweest in de studie naar sociaal interactionisme en in de studie naar interactieve fysische systemen van gedrag. De kwestie betreffende het cognitieve en gesitueerde perspectief op dit punt is hoe het nu verder moet gaan. Naar ik hoop is het vanuit deze discussie duidelijk geworden, dat de koers die ik wil varen, de ontwikkeling van analyses over informatiestructuren betreffende sociaal georganiseerde activiteit, het gebruik van concepten en methoden ontwikkelt in cognitieve wetenschappen, ook in ecologische psychologie (…). Tegelijkertijd is de auteur van dit artikel van mening dat de mensen in het veld zowel moeten werken in het cognitieve veld, alsmede in het gesitueerde veld, zodat mensen elkaar onderling kunnen informeren en elkaars manieren van vragen stellen, conclusies en argumenten kunnen betwisten. Het zou prettig en interessant zijn om te zien dat het mogelijk is om een meer alomvattendere en coherentere theorieën te ontwikkelen over fundamentele processen betreffende het leren en productiever bijdragen aan discussies over de educatieve praktijk. De schrijver sluit af met de opmerking dat hij hoopt en verwacht dat een combinatie van pogingen uiteindelijk za leiden tot uitstekende resultaten.
Streun van, A. (2003). Onderwijs ontwerpen en onderzoeken. Een kader voor het ontwerpgericht onderzoeksprogramma bètadidactiek. Case: Transfer van verworven kennis naar een nieuwe situatie
Samenvatting In dit artikel wordt eerst de wetenschappelijke achtergrond en de relevantie geschetst van het ontwerpgericht onderzoeksprogramma van de groep Bètadidactiek, die aan de RuG bij het Universitair Centrum voor de Lerarenopleiding en de Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen is gesitueerd. In het kort gaat het in dat onderzoeksprogramma om het ontwerpen van waardevol onderwijs in de wiskunde en natuurwetenschappen en het onderzoeken van de ontworpen onderwijsexperimenten op effecten en innovatieve mogelijkheden. Als voorbeeld wordt ingegaan op het ontwerpen van onderwijs dat de transfer van kennis, met name van wiskundige kennis, kan bevorderen. De wetenschappelijke controverse over het bestaan van transfer en de paradox in het ontwerpen van onderwijs dat op transfer is gericht komen daarbij aan de orde.
Hieronder volgt een opsomming van conclusies uit dit artikel: -Het ontwerp van op transfer gericht onderwijs moet niet alleen een brede variatie aan voorbeelden en tegenvoorbeelden bevatten, maar de nagestreefde empirische generalisatie
moet worden verankerd door expliciete formuleringen van onderliggende mentale handelingen of denkmethoden. - Het ontwerp van op transfer gericht onderwijs moet uitgewerkte voorbeelden bevatten, waarin de essentie van het begrip en de probleemaanpak zijn opgenomen, maar de onderliggende oplossingsmethode moet worden geabstraheerd door leerlingen actief de werkwijze te laten formuleren en uitleggen. - Het onderzoek naar de effecten van op transfer gericht onderwijs moet zich niet alleen richten op goed-fout scores, maar nauwkeurig de oplossingsmethoden van leerlingen analyseren. De meer informele of algemene denkmethoden kunnen aanknopingspunten bieden voor het overbruggen van de kloof tussen de transferproblemen en de kennis uit het lange-termijn-geheugen. - Het ontwerp van op transfer gericht onderwijs moet het gehele scala van algemene en brede denkmethoden tot (belangrijke) specifieke methoden omvatten en bijzonder aandacht geven aan het doen beheersen en het flexibel toepassen van representaties van probleemsituaties. De nieuwe mogelijkheden voor het representeren van een probleem in een computeromgeving moeten optimaal worden benut voor het bevorderen van begrip en transfer. Het trainen van specifieke oplossingsmethoden met analoge opgaven van een beperkte reikwijdte dient sterk te worden beperkt. - Het ontwerp van op transfer gericht onderwijs moet beginnen met een doordenking van de ordening van de leerstof rond de centrale begrippen, hun onderlinge relatie en de gewenste transfer naar bepaalde klassen van toepassingen. Het opsplitsen van domeinen in onderling geïsoleerde deelgebiedjes moet worden vervangen door een ordening rond de centrale concepten en methoden.
Roorda, G. en Streun van, A. Criteria voor samenhangend onderwijs. Een oriënterend onderzoek naar aanwijzingen voor samenhangend onderwijs Samenvatting Eén van de doelen van de Tweede Fase havo-vwo is dat er meer samenhang moeten komen tussen vakken. Leerlingen kiezen een profiel waarin een aantal vakken zitten die met elkaar te maken hebben. Ondanks de doelstellingen op papier is de verzuchting van veel leraren natuurwetenschappen: “Wiskunde blijft een in hoge mate op zichzelf staand vak”. In dit artikel wordt gezocht naar criteria voor samenhangend onderwijs rondom het vak wiskunde. Het uitgangspunt wordt genomen in: Samenhang in de kennis van een leerling. Op welke manier kun je stimuleren dat kennis opgedaan bij het ene vak wordt ingezet bij een
ander vak? Uit literatuur over transfer en het opbouwen van cognitieve schema’s worden aanwijzingen gezocht voor samenhangend onderwijs.
Implicaties voor verder onderzoek Het overzicht van de onderzoeksliteratuur leidt tot een aantal conclusies ten aanzien wiskundeonderwijs, waarin optimaal wordt gestreefd naar bevordering van transfer van wiskundige kennis en vaardigheden in toepassingssituaties uit andere vakgebieden. De vraag is nu hoe een onderwijsontwerp eruit komt te zien waarin de gewenste transfer wordt bevorderd. In het vervolg van dit onderzoek moet een keus gemaakt worden voor enkele cruciale factoren die een plek moeten krijgen in een onderwijsexperiment. Wij noemen: 1.
Opbouw van het cognitieve schema Door in de opbouwfase bij wiskunde ook steeds voorbeelden uit andere vakgebieden te betrekken kan voorkomen worden dat kennis van de wiskundige concepten op zichzelf komt te staan. In het Nederlandse wiskundeonderwijs van de basisvorming is daar bij de opbouw van het deelgebied van de vergelijkingen, verbanden, formules en functies al in zekere mate rekening mee gehouden. Bij toepassingen in andere vakgebieden is het belangrijk dat eerst relevante schema’s, ook als die opgebouwd zijn bij andere vakken, geactiveerd worden. In het voortgezet onderwijs wordt in de loop van vier tot zes jaren een kennisbestand in het lange-termijn-geheugen van de leerlingen opgebouwd, dat in een onderzoeksproject niet één twee drie is te vervangen. De keuze voor een deelgebied, dat essentieel lijkt voor het toepassen van wiskunde, houdt automatisch in dat de beginsituatie, het al aanwezige cognitieve schema, goed tijdens een procesgericht vooronderzoek goed in kaart moet worden gebracht.
2.
Representaties van een wiskundige situatie Het is belangrijk om na te denken over representaties in de wiskunde in relatie tot andere vakken. Bepaalde representaties kunnen transfer in de weg staan. Met name de formele representaties van functies en vergelijkingen in verzamelingentaal, ingevoerd bij de afgezwakte op 'New Math' gebaseerde leerplanvernieuwing van
1968, waren een sta in de weg voor transfer naar toepassingsgebieden, waarin alleen de formulerepresentatie werd gebruikt. Aan de andere kant is het goed als leerlingen leren dat de representatie alleen maar een vorm is en dat onafhankelijk van de representatie dezelfde concepten een rol spelen. Het is dus belangrijk om gebruik te maken van veel verschillende representaties van hetzelfde begrip, maar wel te streven naar herkenning van de onderliggende abstractie. Binnen het gekozen deelgebied moeten de verschillende contexten en representaties sterk onderling worden gekoppeld, met wellicht een centrale positie voor de grafische representatie (Van Streun 2000). 3.
Analogieën Leerlingen hebben er baat bij om in analogieën te redeneren. Het is daarom belangrijk expliciet naar analogieën te vragen. Zorg ook dat de docent laat zien hoe je met behulp van analogieën problemen kunt oplossen. Wegens de vergaande opsplitsing van leerstof in afzonderlijke eenheden, zijn de analogieën voor leerlingen vaak onzichtbaar. Binnen het gekozen deelgebied moeten de analogieën naar andere deelgebieden en vooral naar niet wiskundige deelgebieden expliciet worden onderzocht en geclassificeerd. Zo zal het abstracte begrip afgeleide sterk gekoppeld moeten worden aan verschillende representaties (punt 2), maar ook aan verschillende contexten uit andere vakgebieden.
4.
Centrale concepten en denkmodellen Analyseer het leergebied op centrale concepten en denkmodellen, die als anker voor het denken kunnen worden gebruikt. Centrale concepten, zoals het idee van een vergelijking, een variabele of een functie, raken snel ondergesneeuwd door het oefenen met technieken en algoritmische vaardigheden. Er moeten vragen beantwoord worden als: Welk schema wil je bij leerlingen opbouwen? Wat weten leerlingen al van dit onderwerp? Hoe past kennis uit andere schoolvakken binnen een schema? Centrale concepten moeten in het gekozen deelgebied worden gelokaliseerd, centraal staan in de opbouw van het cognitieve schema (punt 1) en worden
onderhouden in de fase van oefening en verwerking tot en met de toetsing. De fundamenten van een centraal concept, die veelal in voorgaande jaren moeten zijn gelegd, moeten worden gediagnostiseerd. 5.
Interactie tussen voorbeelden en abstracties Learning by doing blijkt niet vanzelf tot goede leerresultaten te leiden, evenmin als het actief werken aan allerlei concrete voorbeelden. Het werken aan concrete voorbeelden en meerdere contexten moet leiden tot een onderliggende abstractie, op basis waarvan nieuwe toepassingen kunnen worden aangepakt. Een analyse van de gewenste nabije en verre transfer leidt tot contexten waarin transfer moet worden gedemonstreerd. Het gemeenschappelijke in die situaties is het onderliggende centrale concept, dat leerlingen moeten leren herkennen en formuleren in verschillende representaties.
6
Probleemaanpak Hints kunnen helpen om de aandacht van de leerlingen te richten op relevante voorkennis en een meer systematische probleemaanpak (zie Pol in deze bundel). De hints moeten zo georganiseerd worden dat de leerlingen geholpen worden in toekomstige situaties zelf de juiste voorkennis en aanpak te vinden. Voor leerlingen zijn veel typen problemen en situaties nieuw en zij kunnen niet direct herkennen welke kennis toepasbaar is. De brug naar die te gebruiken kennis kan worden geslagen door een systematische probleemaanpak, variërend van een heel algemene probleemanalyse tot een meer domeinspecifieke aanpak, zoals het vertalen van de gegeven situatie naar een numerieke of grafische representatie.
7
Training van routineopgaven versus inzichtelijk leren In het onderwijs moet een goede afweging gemaakt worden tussen rijtjes oefenen en leren met inzicht. Te veel routineoefening kan inzicht in de weg staan, te weinig oefening leidt tot een zware belasting van het werkgeheugen omdat teveel kennis moet worden gereconstrueerd. Gelet op de individuele verschillen tussen leerlingen is een digitalisering van de diagnose en aangepaste training van parate kennis en vaardigheden voor de hand liggend.
8
Reflectie Opdrachten die reflectie bevorderen kunnen leerlingen helpen om hun kennis te ordenen. Het is daarom goed dat er in het onderwijs steeds gezocht wordt naar opdrachten die leerlingen er toe dwingen over hun eigen kennis over een onderwerp na te denken. Dat kunnen vormen zijn als conceptmaps of schrijfopdrachten, maar ook vormen waarin leerlingen elkaar uitleggen en zo zelf onder woorden brengen wat ze van een onderwerp weten.
9
Toetsing Naast kennistoetsen moet gezocht worden naar manieren om het begrip van de leerling te testen. Hebben ze de onderliggende concepten werkelijk goed begrepen? Zo’n test kan ook weer als aanknopingspunt gebruikt worden voor feedback op het schema dat een leerling heeft opgebouwd. Een digitalisering van de diagnostiek van de beheersing van centrale concepten lijkt veelbelovend.
10
Tijd Leren op basis van schema’s kost tijd. In het onderwijsontwerp moet daar ook zeker rekening mee gehouden worden. Leerlingen moeten de gelegenheid krijgen om hun kennis uit te bouwen, hun schema’s op te bouwen en te corrigeren. Het is nog maar de vraag waar deze tijd in de Tweede Fase havo-vwo nog gevonden kan worden. Aan de andere kant kan afstemming en concentratie op centrale concepten ook tijdwinst opleveren. Onderwerpen hoeven niet twee keer besproken te worden.
Sonia P., e.a., (2013). Developing shift problems to foster geometrical proof and understanding. Journal of mathematical behavior, 32, 142 – 159. Abstract Betekenisvol leren van formele wiskunde in reguliere klassen blijft een probleem in wiskundeonderwijs. Onderzoek laat zien dat instructieve benaderingen waarbij leerlingen samenwerken aan opdrachten die zijn toegespitst op probleem oplossen en reflectie, het leren van leerlingen in experimentele klassen kan bevorderen. Echter, deze sequenties vereisen vaak een voorzichtig geconstrueerde re-inventie route, die niet altijd voldoen aan de behoeften van leraren en leerlingen die vanuit conventionele curriculum
materialen werken. Om deze kloof te reduceren, is de interventie ‘shift problem lessons’ ontwikkelt. Het doel van dit artikel is naast discussie van het ontwerpen van shift problems, ook analyse van leerprocessen van leerlingen terwijl die aan opdrachten werken. In het bijzonder worden drie paradigmatische episodes gebaseerd op data uit een leerexperiment over meetkundig bewijs bediscussieerd. De episodes laten zien dat het mogelijk is om een kleine leerecologie te creëren waarin leerlingen serieus zijn betrokken in discussies over wiskunde, hun wiskundig begrijpen bevorderen en relationeel raamwerk versterken. Introductie Het begrijpen van abstracte concepten, oplossen van problemen en het wiskundig bewijzen worden gezien als belangrijke doelen van het leren van wiskunde in het voortgezet onderwijs. Echter, het bereiken van deze doelen blijft een centraal probleem in wiskunde onderwijs. Er zal altijd een verschil zijn tussen hoe leerlingen redeneren over wiskunde, deze leren in reguliere klassen, en het soort leerprocessen die leiden tot een dieper begrijpen in experimentele klassen. En deze kloof is moeilijk te dichten. Een interessantere vraag zou daarom kunnen zijn, hoe het mogelijk is deze kloof te dichten op een manier die uitvoerbaar is in reguliere (experimentele) klassen. In de brede context van dit onderzoek is er een interventie ontwikkelt, die shift problem lessons wordt genoemd. Het doel van shift problem lessons is het reduceren van de kloof tussen het ideale leren in literatuur, en reguliere (experimentele) klassen. De interventie doelt op uitvoerbaarheid door reguliere leraren leerlingen. Leerlingen uit reguliere klassen worden gestimuleerd bij het oplossen van wiskundeproblemen en reflecteren. Het tweeledige doel van dit artikel het bediscussiëren van het ontwerpen sequenties van wiskundige opdrachten die voorkomen in deze lessen, en het beschrijven en analyseren van leerprocessen die optreden als leerlingen werken aan opdrachten. Hiernaast, illustreert dit artikel hoe reguliere leraren hun lesmateriaal zodanig kunnen aanpassen, waardoor zij mogelijkheden scheppen voor leerlingen om hen te betrekken bij creatief wiskundig denken. Hier moet duidelijk worden gemaakt dat de term ‘shift problem lessons’ uitgelegd moet worden als een specifieke leerarrangement. Toch wordt naast andere termen, in het kort ‘shift problems’ gebruikt, met name als de focus ligt op opdrachten als hier.
Het artikel bestaat uit zeven delen. Na de introductie is er in deel 2 een terugblik op relevant onderzoek naar abstracte en formele wiskundige kennis. De focus ligt op de moeilijkheid van het ontwikkelen van dergelijke kennis in regulier experimentele klassen in bovenbouw voortgezet onderwijs. In deel 3 beschrijven we het theoretische raamwerk dat nodig is voor het begrip van shift problemen. Er wordt gesproken over het idee dat wiskunde een menselijke activiteit is en gerelateerd aan onderzoek. In het geval van meetkundig bewijs, wordt er een uitvoerige benadering aan dit onderwerp besteed waarin het bewijzen is gedefinieerd als een proces gebezigd door een individu (of een gemeenschap) om twijfels over de waarheid van een bewering te laten verdwijnen. Deel 4 beschrijft het begrip schift
problems en haar ontwerpprincipes met daarin shift problem lessen, en in deel 5 staat de methode die is gevolgd om de onderzoeksvraag te beantwoorden. In dit onderzoek wordt gerefereerd naar data vanuit een lesexperiment met shift problem lessen. Het soort leerprocessen van waaruit van leerlingen pogingen ondernemen om gezamenlijk problemen op te lossen worden gepresenteerd in deel 6. Dit wordt geïllustreerd aan de hand van drie episodes. Als laatste, worden ervaringen in de klassen geplaatst in een breder perspectief. De bevindingen van onderzoekers, leraren en onderwijzers inbegrepen. Conclusie In dit artikel is het begrip van shift problem lessons ontwikkelt. Het centrale idee van deze lessen is het ondersteunen van leerlingen in het verrijken van hun gefragmenteerde wiskundige kennis in reguliere klassen, zodanig dat het uitvoerbaar is voor zowel leraren als leerlingen. In de voorgaande gedeelten is het idee van shift problems geconcretiseerd voor het onderwerp van meetkundig bewijzen. Er zijn essentiële definities gegeven voor kenmerken die het mogelijk kunnen maken omprobleem oplossen, creatief wiskundig denken en reflecteren (delen 3 en 4) te bevorderen, en er is geprobeerd om te karakteriseren welk leerproces hierbij is betrokken (deel 6). De onderzoeksvraag was “op welke manier draagt het werken met shift problem lessons in een klas (binnen de context van dit onderzoek) bij aan het wiskundig redeneren en bewijzen van leerlingen? ”. In het bijzonder ligt de focus op de manieren van redeneren –of een tekort daaraan– die integratie en het bevorderen van gefragmenteerde kennis aan elkaar relateert. Om de ze vraag te beantwoorden, zijn interacties binnen kleine groepen geanalyseerd, die is uitgevoerd in een HAVO klas. Voor dit artikel zijn drie episodes geselecteerd die de schrijvers zien als illustratief voor de gehele data set en was er een presentatie over meer gedetailleerde analyse van het soort leerprocessen die optraden in deze drie episodes. Er is gebruik gemaakt van de kwalitatieve methode van grounded theory. De resultaten van deze meer gedetailleerde analyse zijn gebruikt als ‘voorbarige conclusies’ voor de gehele data set, welke zijn getest door systematisch te checken of de karakteristieken overeenkwamen met alle episodes. Er is gevonden dat deze karakteristieken 9 van de 18 episodes karakteriseren, en ook 7 van andere episodes. Het meest voorname resultaat van deze analyse is dat wiskunde opdrachten samen met de iteratieve setting een kleine leerecologie kunnen creëren, waarin leerlingen andere siocaalwiskundige normen en andere vormen van wiskundige activiteit dan in reguliere klassen kunnen ontwikkelen. De leerlingen in deze studie zijn reguliere leerlingen die wiskunde leren op een manier die niet noodzakelijkerwijs leidt tot begrip waarin aspecten te vinden zijn van rote learning (leren door te repeteren/herhalen/stampen). Het interessante aspect van de drie episodes is dat leerlingen lokaal het onderwerp organiseren, waarbij wiskundige begrippen worden gebruikt om bepaalde verschijnselen te begrijpen en uit te leggen. In de eerste episode hebben leerlingen zichzelf geconstrueerd en gebruik gemaakt van de definitie van congruentie gebaseerd op bekende concepten over gelijksoortigheid in een poging om hun meest recente interpretatie over congruentie uit te leggen. In de tweede episode zijn leerlingen op diverse manieren betrokken geweest bij een bewijsactiviteit die heeft
geresulteerd in formele bewijzen, waarbij argumenten zijn gebaseerd op theoretische interpretaties en onderdeel werden van het begrip van leerlingen. In derde episode, hebben leerlingen een nieuwe en meer directe relatie geconstrueerd tussen parallelle lijnen en gelijke hoeken voortgebouwd op eerder vergaarde kennis met betrekking tot de Z en F hoeken. Er is ook een observatie geweest over leerlingenpogingen waarbij probleem oplossen was beperkt voor bepaalde gevallen, ondanks het gegeven dat zij beschikten over feitelijke kennis die nodig was om het probleem op te lossen. Als voorbeeld; in episode 3 hebben leerlingen het concept van cyclische vierhoek opgehaald en haar definities en eigenschappen bediscussieerd, maar zij waren niet in staat om de kennis hierover verder te preciseren of het te verbinden met de relatie tussen hoeken en parallelle lijnen die zij later hebben gecreëerd. Het weglaten van bepaalde mogelijke oplossingsprocessen zonder duidelijke reden kan worden gerelateerd aan een gebrek aan metacognitieve kennis. Een andere mogelijkheid kan zijn dat de leerlingen niet in staat zijn om het begrip over cyclische vierhoeken te gebruiken omdat zij nog niet de essentiële schakel tussen parallelle lijnen en hoeken hebben geconstrueerd. Er hebben 3 hoofd leerprocessen plaatsgevonden binnen de microscopische leerecologie gecreëerd door shift problem lessen (en in relatie met kenmerken van reeksen over opdrachten en opdrachtsettingen) die misschien de wiskundige kennis van leerlingen heeft verrijkt: Leerlingen waren hun relationele raamwerk aan het versterken en hun wiskundige kennis onderdeel gemaakt van kennis die voor hen meer concreet was. De leerlingen hebben geprobeerd om actuele formele kennis te relateren aan bijzondere kenmerken van opdrachten en bekende wiskundige concepten, zoals empirische notie van congruentie (episode 2) en concepten over gelijkvormigheid (episode 1) en Z en F hoeken (episode 3). De noties waren niet gegeven in de opdrachten; (…). Het herinneren van deze concepten gebeurde wanneer leerlingen probeerden om meer abstracte onderwerpen uit te leggen (In de juiste volgorde gaat het om, gelijkheid van twee lijnsegmenten, de congruente gevallen en evenwijdigheid tussen twee lijnen). Dit is in overeenstemming met eerder onderzoek naar wiskunde als activiteit, welke het belang benadrukt van informele kennis van leerlingen en begrip van het omgaan met meer abstracte en formele activiteit. Volgens Pirie en Kieren (1994) zijn zulke acties als terugvouwen essentieel voor de constructie van wiskundig begrijpen. Reflecteren door wiskundige discussie en redeneren In de eerste drie episodes hebben de leerlingen niet gereflecteerd op elementen van de context van de opdracht, of bekende concepten die hen helpen om kennis te onderbouwen en het versterken van het relationele raamwerk. Maar de leerlingen reflecteren ook op elkaar en bouwen op elkaars ideeën en deeloplossingen. Het lijkt erop dat zij voordeel hebben van het werken in kleine groepen en wiskundig discussiëren volgens het proces model. Dit was zeer waarneembaar in episode 2 wanneer de drie leerlingen lieten zien, uitleggen en beargumenteren (…), welke misschien heeft geleid tot individuele reflectie en reconstructie van de eigen gedachtegang. Iets dat belangrijk was voor de kwaliteit van de discussies was dat een student (Igor), die al beschikte
over een bepaald kennisniveau, leerlingen hielp in het framen van de discussie in meer conceptuele en formele termen. Betrokkenheid van leerlingen de betrokkenheid van leerlingen als het gaat om het oplossen van opdrachten, welke zichtbaar zijn bij de deelname aan wiskundige discussies, zou kunnen helpen bij het overwinnen van problemen tijdens het maken van opdrachten (episodes 2 en 3). In alle episodes hebben de leerlingen zich gedragen confrom de sociaalwiskundige normen die verschillen van kenmerken die reguliere klassettingen typeren (met name rote learning). Als laatste zou moeten worden opgemerkt dat deze studie hoofdzakelijk was gericht op het karakteriseren van leerprocessen en niet op de uitkomsten van het leren. Een interessante vraag hierover zou kunnen zijn: in welke mate hebben deze locale ervaringen effect op de uitkomsten van leerprocessen van studenten? We voegen eraan toe, dat de bevindingen in deze studie tot nog toe ook beperkt is gebleven tot onderwerpen betreffende meetkundig bewijs en de focus op het leren door leerlingen. Hoe zit het met andere wiskundige onderwerpen met shift problem lessen? Dit zijn twee vragen die wij momenteel worden onderzoeken. Concluderend: er is een kloof tussen ideale leerprocessen uit literatuur en reguliere klassen uit de praktijk. Dit verschil zal altijd blijven, maar in dit onderzoek is (en zal worden) geprobeerd om deze dualiteit te overstijgen. Dit onderzoek laat zien dat shift problemen de mogelijkheid bieden om deze kloof te dichten. In tegenstelling tot instructieve reeksen die voorzichtig geconstrueerde manieren van opnieuw uitvinden vereisen, kunnen shift problemen voorzien in de directe behoefte van docenten en leerlingen die uit reguliere lesmaterialen werken. In het bijzonder, illustreert dit artikel hoe reguliere leraren kunnen werken uit reguliere lesmaterialen en leerlingen kansen kunnen bieden om hen uit te nodigen bij probleem oplossen, creatief wiskundig denken en reflecteren. Bovendien, kunnen shift problemen steunpunten bieden voor het ontwikkelen van betere manieren om tekorten van leeromgevingen te bediscussiëren die leiden tot arm en gefragmenteerd conceptueel begrip, zoals rote learning. Het idee achter shift problems is dat het problemen transparanter maakt en tegelijkertijd een instrument voor docenten kan zijn om ermee te handelen en redeneren.
