NOTITIE : KRACHTENMETHODE Een korte uiteenzetting over steunpuntszettingen, toevallige inklemmingsmomenten en temperatuurseffecten bij doorgaande liggers op buiging belast. Ir. J.W. Welleman April 2013
Notitie Krachtenmethode
Krachtsverdeling t.g.v. een steunpuntszetting In figuur 1 is een doorgaande ligger over drie steunpunten geschetst waarvan het middensteunpunt een kleine zetting δ ondergaat. q x-as A z-as
C
B
EI δ
l
l
Figuur 1: Doorgaande ligger met steunpuntszakking
Gevraagd wordt de consequenties te onderzoeken van deze zetting op de krachtsverdeling in de ligger. De ligger is enkelvoudig statisch onbepaald en met behulp van de krachtenmethode kan de krachtsverdeling worden gevonden door één statisch onbepaalde te kiezen en de daarbij behorende vormveranderingsvoorwaarde op te stellen. Hieronder is een statisch bepaald hoofdsysteem gekozen waarbij de statisch onbepaalde het steunpuntsmoment in B is. q
A
θ
MB
EI
δ B
l
MB
δ B
θ
C
l
Figuur 2 : Statisch bepaald hoofdsysteem
De hierbij behorende vormveranderingsvoorwaarde is: ϕ ba = ϕ bc Uitwerken met de vergeet-mij-nietjes en rekening houdend met de zakking van het steunpunt levert : M l M l ql 3 ql 3 − B −θ = − + B +θ ⇔ 24 EI 3EI 24 EI 3EI 6 EI 2 M B = 14 ql 2 − θ l 3EI δ 1 2 3EI M B = 18 ql 2 − × = 8 ql − 2 δ l l l Deze uitkomst laat zien dat het steunpuntsmoment kleiner wordt t.g.v. van de zakking van het steunpunt en dat daardoor natuurlijk het veldmoment groter zal worden. Toon dat zelf aan ! Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
2
Notitie Krachtenmethode
Krachtsverdeling t.g.v. verende randinklemmingen In figuur 3 is een doorgaande ligger over drie steunpunten gegeven waarvan de randen in A en C verend zijn ingeklemd. q k A
EI
z-as
M k C
B
l
x-as k
θ
l LE rotatieveer
Figuur 3 : Doorgaande ligger met verende randinklemmingen
Gevraagd wordt de consequenties van de verende inklemmingen te onderzoeken op de krachtsverdeling in de ligger. De veer kan b.v. de verende werking van een geschoorde kolom voorstellen zoals in figuur 4 is weergegeven. T Th 12 Th Th − = 3EI 6 EI 4 EI T 4 EI k= = θ h
θ=
θ
h
½T Figuur 4 : Verende werking van een kolom
De grootte van het moment in de veer hangt af van de rotatie van de ligger t.p.v. het steunpunt. Deze is weer afhankelijk van de belasting die op de statisch onbepaalde constructie werkt. Het probleem hier is dat het moment in de veer afhankelijk is van een rotatie die nog onbekend is. Door ook nu een statisch bepaald hoofdsysteem te kiezen met het steunpuntsmoment in B als statisch onbepaalde kan eenduidig de oplossing worden bepaald. Het nog onbekende moment in de rotatieveren wordt als belasting op het statisch bepaalde hoofdsysteem in rekening gebracht zoals in figuur 5 is weergegeven. q Mveer Mveer MB A
θ
EI
B
B
l
C l
Figuur 5 : Statisch bepaald hoofdsysteem met belasting uit de veren
De relatie tussen het moment in de veer bij A en de rotatie van de ligger t.p.v. A is voor de aangenomen richtingen : M l M l ql 3 θA = − veer − B 24 EI 3EI 6 EI Het moment in de veer is echter afhankelijk van de rotatie ! Als de veerrelatie in deze vergelijking wordt verwerkt ontstaat: Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
3
Notitie Krachtenmethode M l ql 3 kl − θA = θA − B ⇔ 24 EI 3EI 6 EI 3 M l ql − B θ A = 24 EI 6 EI kl 1+ 3EI De rotatie in A is nu uitgedrukt in de statisch onbepaalde. Hiervan kan gebruik gemaakt worden in de vormveranderingsvoorwaarde die hoort bij de gekozen statisch onbepaalde: ϕ ba = ϕ bc Uitwerken met de vergeet-mij-nietjes levert : M l M l M l M l ql 3 ql 3 − B − veer = − + B + veer ⇔ 24 EI 3EI 6 EI 24 EI 3EI 6 EI 2 1 2 M B = 4 ql − M veer ⇔
M B = 18 ql 2 − 12 kθ A In deze uitdrukking kan de eerder gevonden uitdrukking voor de rotatie in A worden gesubstitueerd: ql 3 M l − B M B = 18 ql 2 − 12 k × 24 EI 6 EI 1 + kl 3EI In deze vergelijking is alleen de statisch onbepaalde nog onbekend. Het schrijfwerk kan worden beperkt door een verhoudingsgetal tussen de rotatieveerstijfheid en de buigstijfheid van de ligger te introduceren: kl ρ= EI De statisch onbepaalde is hiermee te schrijven als: 1+ M B = C k 1 18 ql 2
met:
C k1 = 1+
ρ 6
en ρ =
ρ
kl EI
4 De grenzen voor de stijfheidsverhouding van de inklemming t.o.v. de ligger kunnen eenvoudig worden herkend: ρ = ∞ M B = 121 ql 2 volledige inklemming k =∞ scharnierende ondersteuning k = 0
ρ = 0 M B = 18 ql 2
Het steunpuntsmoment kan dus ongeveer 33% afwijken door de invloed van een verende randinklemming. Het verloop van deze invloed is in figuur 6 weergegeven. Ck1 1.0 0.667
0
40
80
120
ρ
Figuur 6 : Invloed van de inklemmingstijfheid op het steunpuntsmoment
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
4
Notitie Krachtenmethode
Met deze gevonden uitdrukking voor het steunpuntsmoment kan ook het moment bij de inklemming worden bepaald. Eerder was gevonden: M l ql 3 − B θ A = 24 EI 6 EI kl 1+ 3EI Het moment in de veer is dan: M l ρ ρ ql 3 1 2 ql (1 + ) − 18 ql 2 (1 + ) − B 4 kl 4 6 M veer = kθ A = k × 24 EI 6 EI = ρ ρ kl 6 EI 1+ (1 + )(1 + ) 3EI 4 3
ρ M veer = 121 ql 2
4 1+
ρ 4
ρ M veer = C k 2 121 ql 2
met : C k 2 =
4 1+
en
ρ
ρ=
kl EI
4 De grenzen voor de stijfheidsverhouding van de inklemming t.o.v. de ligger kunnen eenvoudig worden herkend: ρ = ∞ M veer = 121 ql 2 volledige inklemming k =∞
scharnierende ondersteuning k = 0
ρ = 0 M veer = 0
Het moment t.p.v. de rand kan dus 100% afwijken door de invloed van een verende randinklemming. Het verloop van deze invloed is in figuur 7 weergegeven. Ck2 1.0
0
20
40
60
ρ
Figuur 7 : Invloed van de inklemmingstijfheid op het steunpuntsmoment
Voor de eerder gepresenteerde kolom met een lengte en buigstijfheid die gelijk zijn aan die van de ligger ontstaat: 4 EI l 1 + 64 10 kl ρ= = l = 4 ⇒ C k1 = = 12 C k 2 = 12 4 EI EI 1+ 4 2 1 M B = 10 M veer = 12 × 121 ql 2 12 × 8 ql Het steunpuntsmoment neemt door de invloed van de randinklemming met 17% af. Bij de rand ontstaat een moment dat de helft is van het moment dat zou ontstaan bij een volledige inklemming.
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
5
Notitie Krachtenmethode Toepassing voor betonconstructies Bij betonconstructies dient altijd rekening gehouden te worden met een toevallig inklemmingsmoment t.p.v. de vrije oplegging. Hiervoor dient een maximale grootte van 1/3 van het naburige veldmoment in rekening te worden gebracht. Hieronder zal worden onderzocht hoe deze eis zich verhoudt tot het voorgaande. Als er geen inklemming in A en C aanwezig is kan het veldmoment in de ligger worden bepaald door het lokale extreem te vinden van de momentenlijn tussen A en B. Deze momentenlijn kan geschreven worden als: M M ( x) = − B x + 12 qx(l − x) = − 18 qlx + 12 qlx − 12 qx 2 = − 12 qx 2 + 83 qlx l Het moment is extreem als de afgeleide van deze functie (dwarskracht) nul is. Differentiëren levert: dM V ( x) = = −qx + 83 ql dx De dwarskracht in het liggerdeel AB is nul voor: − qx + 83 ql = 0 ⇔
x = 83 l Het veldmoment is op deze plaats: 9 M veld ,max = − 12 q( 83 l ) 2 + 83 ql 83 l = 128 ql 2 Volgens de VBC moet rekening gehouden worden met een toevallig inklemmingsmoment dat in grootte 1/3 bedraagt van dit gevonden veldmoment. Hieruit volgt: 3 M toevallig = 128 ql 2 We moeten ons wel realiseren dat dit moment t.p.v. A negatief is, er ontstaat immers trek aan de bovenzijde van de ligger. Dit toevallige inklemmingsmoment kan vergeleken worden met het eerder gevonden moment in de rotatieveer. Gelijkstellen levert:
ρ M veer = 121 ql 2
4 1+
ρ
3 = 128 ql 2
4
ρ 4 1+
ρ
=
36 ⇒ ρ = 1,56 128
4 Hieruit volgt dat indien de stijfheidsverhouding ρ kleiner is dan 1,56 de inklemming mag worden opgevat als een toevallige inklemming volgens de VBC. kl ρ = 1,56 = EI De hierbij behorende veerstijfheid van de rotatieveer is: 1,56 EI k= l Hieruit volgt dat het bij een toevallig inklemmingsmoment inderdaad om een vrij klein moment gaat ten gevolge van een geringe stijfheid van de inklemming. In dit voorbeeld ligt de grens voor het moment op 28% van het inklemmingsmoment dat bij een volledige inklemming zou optreden.
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
6
Notitie Krachtenmethode
Krachtsverdeling t.g.v. een temperatuursbelasting Een stijging van de temperatuur in een materiaal leidt tot een verlenging. Deze verlenging is afhankelijk van de lineaire uitzettingscoëfficiënt α [ K-1] en de toename van de temperatuur ∆T.
ε = α × ∆T Als deze verlenging of vervorming vrij kan optreden ontstaan hierdoor wel verplaatsingen maar zal er geen wijziging optreden in de krachtsverdeling zolang we ons ten minste baseren op een 1e orde berekening. Als de vrije vervorming t.g.v. een temperatuursbelasting wordt verhinderd ontstaat een geheel andere situatie. In de onderstaande figuur is een voorbeeld gegeven van een statisch onbepaalde ligger die door zonbestraling aan de bovenzijde een hogere temperatuur krijgt dan aan de onderzijde. ∆T x-as
A
B
EI
z-as
l Figuur 8
C l
: Verhinderde temperatuursvervorming
Deze constructie kan vrij vervormen indien het middensteunpunt er niet is. De vezels aan de bovenzijde van de ligger zullen langer willen worden dan die aan de onderzijde. De vrije vervorming is geschetst in figuur 9a. Het krommen van de ligger wordt alleen veroorzaakt door het verschil in verlenging tussen de boven en onderzijde, zie figuur 9b. De ligger kan horizontaal ook een verplaatsing ondergaan. Deze wordt veroorzaakt door het constante deel van de rekverdeling over de hoogte van de doorsnede. In dit voorbeeld wordt dit deel buiten beschouwing gelaten en kijken we alleen naar de invloed t.a.v. buiging. εboven ∆T κT
x-as
A
C
EI
z-as
εonder
l+∆l
z
(a) Figuur 9
(b)
: Vrije vervorming ten gevolge van een temperatuursbelasting
Uiteraard kan deze situatie zich niet voordoen. De oplegging in B dwingt de ligger zodanig te verbuigen dat de verticale verplaatsing in B nul is. Dit is een vormveranderingsvoorwaarde waarvan gebruik moet worden gemaakt bij het bepalen van de krachtsverdeling.
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
7
x
Notitie Krachtenmethode Bij deze vormveranderingsvoorwaarde, die iets zegt over een verticale verplaatsing, hoort een statisch onbepaalde in de vorm van een verticale kracht. Het zal duidelijk zijn dat de oplegreactie in B de bedoelde statisch onbepaalde is. In figuur 10 is dit weergegeven. Gevoelsmatig kan wel worden aangevoeld dat in B een ankerkracht moet werken om het opbuigen tegen te gaan. ∆T
ϕA x-as
A
EI
z-as
Figuur 10
C BV
l
v.v.v. : wB=0
l
: Invloed van de statisch onbepaalde
De hier gepresenteerde werkwijze kan, bij het bepalen van de krachtsverdeling van statisch onbepaalde constructie belast met een temperatuursbelasting, als algemeen recept worden beschouwd. Eerst wordt de vrije vervorming (statisch bepaalde hoofdsysteem) bepaald waarna op logische wijze de vormveranderingsvoorwaarde duidelijk wordt. De daarbij behorende statisch onbepaalde is dan eenvoudig te bepalen. Bepalen van de krachtsverdeling
Voor het bepalen van de krachtsverdeling moet de v.v.v. uit figuur 10 worden uitgewerkt. Dit houdt in dat de verplaatsing in B t.g.v. de temperatuursbelasting samen met verplaatsing in B t.g.v. de aangegeven oplegreactie BV nul moet zijn. De kromming in de ligger t.g.v. het temperatuursverschil is gelijk aan, zie figuur 9b:
κ=
ε boven − ε onder h
=
α ∆T
(1)
h
Aangezien het temperatuursverschil over de gehele ligger constant is, is deze kromming ook over de gehele ligger constant. Dit krommingsverloop is in figuur 11 weergegeven. ∆T constante kromming
ϕA
x-as
C
A
κT = 1 2
v.v.v. : wB=0 x-as
h
θ
θ = κ T × 2l =
κT
Figuur 11
θ
α ∆T
l
l
2α∆Tl h
: Krommingsverloop t.g.v. de temperatuursinvloed
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
8
Notitie Krachtenmethode De verticale verplaatsing in B kan bepaald worden indien de hoekverdraaiing in A bekend is. Deze hoekverdraaiing kan m.b.v. de stellingen voor het krommingsvlak worden bepaald. Hiervoor gebruiken we de eis dat de verticale verplaatsing in C nul moet zijn: − ϕ A × 2l + θ × l = 0
⇔
ϕ A = 12 θ = κ T × l
Nu de hoekverdraaiing in A bekend is kan met behulp van figuur 12 de verplaatsing in B worden bepaald:
κT =
ϕA
α∆T h x-as
1 2
B
θ=
κT
Figuur 12
θ
l
l
2α∆Tl h
: Verplaatsing in B t.g.v. de temperatuursinvloed
Ga zelf na dat de verticale verplaatsing t.g.v. de temperatuur in B gelijk moet zijn aan: wBT = −ϕ A × l + 12 θ × 12 l = − 14 θ × l = −
α∆Tl 2 2h
(2)
Deze verplaatsing is negatief, de ligger verplaatst in B naar boven, hetgeen geheel in overeenstemming is met wat we mogen verwachten. Uiteraard kan deze vrije verplaatsing niet optreden. De oplegreactie BV, de statisch onbepaalde, zal ervoor moeten zorgen dat de totale verplaatsing in B nul wordt. Met een eenvoudig vergeet-mij-nietje kan deze verplaatsing worden uitgedrukt in de statisch onbepaalde BV.
B (2l ) = V 48 EI
3
w
BV B
(3)
Dat de totale verplaatsing in B nul moet zijn (v.v.v.) houdt in :
wBT + wBBV = 0 BV =
(4)
3α∆T EI hl
Door de invloed van de temperatuur ontstaat in B dus een ankerkracht. Deze oplegreactie veroorzaakt een moment in B dat gelijk is aan: M B = 14 × BV × 2l = 14 ×
3α∆T EI 3α∆T EI × 2l = hl 2h
(5)
De momentenlijn t.g.v. de temperatuur is in figuur 13 geschetst.
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
9
Notitie Krachtenmethode x-as MT =
MT l
Figuur 13
3α∆TEI 2h l
: Momentenlijn t.g.v. de temperatuursinvloed
De uiteindelijke vervorming met de oplegreacties zijn in figuur 14 weergegeven. Merk op dat bij temperatuursinvloeden de relatie tussen de momentenlijn en de vervormingstekens niet meer opgaat ! ∆T x-as A
C
B
z-as AVT =
3α∆TEI 2hl
BVT =
C VT =
3α∆TEI 2hl
l
l
Figuur 14
3α∆TEI hl
: Verplaatsing t.g.v. de temperatuursinvloed
Alternatief voor de bepaling van de krachtsverdeling Aangezien de kromming t.g.v. de temperatuursbelasting constant is kan er ook een alternatief worden gegeven voor de bepaling van de vrije opbuiging van de ligger. In de kromming van figuur 11 wordt de gereduceerde M-lijn herkend van een ligger belast op beide uiteinden door een koppel. In figuur 15 wordt dit getoond. MT
MT
EI
x-as C
A
MT κT = EI
constante kromming
x-as
κT
Figuur 15
2l : Equivalente temperatuursbelasting
In feite kan de temperatuursbelasting worden vervangen door een equivalente belasting die dezelfde vrije vervorming tot gevolg heeft. Deze belasting wordt in figuur 15 aangeduid met de koppels M T .
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
10
Notitie Krachtenmethode De opbuiging t.g.v. deze equivalente belasting kan eenvoudig met een vergeet-mijnietje worden bepaald: M T (2l ) M Tl 2 α∆Tl 2 =− =− 8 EI 2 EI 2h 2
wBT = −
Dit is uiteraard dezelfde opbuiging (2) die eerder op basis van de stellingen van het krommingsvlak werd bepaald. Bepalen van het vervormingsgedrag Voor het bepalen van de doorbuiging van een constructie die wordt belast door een temperatuursbelasting moet worden teruggegrepen op de definities van de kinematische en constitutieve vergelijkingen. Daarbij moet onderscheid worden gemaakt tussen rekken die ontstaan ten gevolge van de tot nu toe gebruikelijke belastingen en rekken ten gevolge van temperatuursinvloeden:
ε = εF + εT Op dezelfde wijze is ook de totaal optredende kromming te schrijven als:
κ = κF +κT
(6)
De kinematische betrekkingen blijven van kracht:
ϕ ( x) = − κ ( x) =
dw dx
dϕ d2w =− 2 dx dx
De constitutieve relatie legt uiteraard alleen een relatie tussen (gegeneraliseerde) spanningen M en de vervorming κ t.g.v. de gebruikelijke belastingen:
M ( x) = EI × κ F ( x)
(7)
Combinatie van (6) en (7) levert:
κ ( x) =
M ( x) + κ T ( x) EI
(8)
Hierdoor ontstaan, uitgaande van een bekende momenten- en krommingsverdeling t.g.v. de temperatuursbelasting, de trits vergelijkingen waarmee de verplaatsingen kunnen worden bepaald:
d 2 w M ( x) = + κ T ( x) EI dx 2 dw M ( x) ϕ ( x) = − = ∫ + κ T ( x ) dx dx EI −
(9)
w( x) = − ∫ ϕ ( x)dx Deze werkwijze zal gedemonstreerd worden aan de hand van een voorbeeld.
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
11
Notitie Krachtenmethode
Voorbeeld In de onderstaande figuur is een plaatbrug op drie steunpunten gegeven belast met een gelijkmatig verdeelde belasting en een temperatuurbelasting. De plaatdikte is constant en bedraagt 1,0 m. De plaatbrug wordt als ligger berekend waarbij een strookbreedte van 1,0 m wordt aangehouden. q
∆T x-as
A
B
EI
z-as
C
l
Gegevens :
Figuur 16
l
l = 30m; E = 30000 N/mm2;
∆T=15o; α=10-5 K-1; q= 25 kN/m2
: Voorbeeld van een plaatbrug
De krachtsverdeling in de plaatbrug t.g.v. de gelijkmatig verdeelde belasting kan opgeteld worden bij de krachtsverdeling t.g.v. de temperatuursinvloeden op basis van het beginsel van superpositie. Voor een ligger op drie steunpunten kan met behulp van de methode van hoekveranderingsvergelijkingen voor de krachtsverdeling worden gevonden: 1 8 1 8
A
ql 2 1 8
ql 2
= 281,25 kNm l Figuur 17
x-as
B
M
AVq = 83 ql
ql 2 = 2812,5 kNm q
C
BVq = 108 ql
C Vq = 83 ql
= 937,5 kNm
= 281,25 kNm
l
: Krachtsverdeling t.g.v. de gelijkmatig verdeelde belasting
De krachtsverdeling t.g.v. de temperatuurbelasting is hieronder weergegeven. x-as
∆T
3α∆TEI MT = = 562,5 kNm 2h
MT 18,75 kNm
l Figuur 18
37,5 kNm l
18,75 kNm
: Krachtsverdeling t.g.v. de temperatuursbelasting
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
12
Notitie Krachtenmethode De uiteindelijke krachtsverdeling wordt zodoende:
2250 kNm
q
A B
M AV = 300 kNm
C
BV = 900 kNm
C V = 300 kNm
l
l Figuur 19
∆T
: Krachtsverdeling
Voor het bepalen van het vervormingsgedrag van de constructie is de momentenverdeling als functie van x nodig. Deze is voor het veld AB te bepalen door deze opgebouwd te denken uit de volgende aandelen:
f1 ( x) = − 18 ql 2 ×
x l
1 8
ql 2 x
A
+
f 2 ( x) = 12 qx(l − x ) A
1 8
+
x
ql 2 B
∆T
x M BT = 562,5 kNm
x f 3 ( x) = 562,5 × l Figuur 20
q
B
: Momentenverdeling als functie van x
De momentenverdeling voor veld AB wordt zodoende: x x M AB ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) + f 3 ( x) = − 18 ql 2 × + 12 qx(l − x ) + 562,5 × l l 1 M AB ( x) = 12 2 × x × (300 − x ) − 75 × x
De kromming t.g.v. de temperatuurbelasting is (let op: de kromming is negatief !): α∆T κT = − = −0,00015 h De zakkingslijn kan nu worden gevonden met (9) : B dw M ( x) = ∫ + κ T ( x ) dx ϕ ( x) = − dx A EI
w( x) = − ∫ ϕ ( x)dx Hierbij ontstaan twee integratieconstanten die kunnen worden opgelost met de randvoorwaarden dat voor x=0 en x=l de zakkingen nul moeten zijn.
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
13
Notitie Krachtenmethode Uitwerken met bijvoorbeeld MAPLE of DERIVE levert:
hoekverdraaiing ϕ(x)
zakking w(x) Figuur 21 : Vervormde constructie voor veld AB
In de bovenstaande figuur voor de zakkingslijn is in groen de zakkingslijn getekend die op treedt ten gevolge van alleen de gelijkmatig verdeelde belasting. Door de invloed van de temperatuur zal de zakking in het veld afnemen.
Ir J.W. Welleman
BmS april 2013
14
