Házi feladatok megoldása 2011. nov. 23.
1 1 − függvényt (értelmezési tartomány, folytonosság, határérték x x3 az értelmezési tartomány „végeinél” és a szakadási pontokban, zérushely, y-tengelymetszet, monotonitás, lokális szélsőértékek vizsgálata, konvexitás, inflexiós pont, összefoglaló táblázat, valósághű grafikon, értékkészlet). HF1. Elemezze az f ( x) =
Néhány pontban a függvény értéke: x -4 -2 -1 f (x) -0.2343 -0.375 0
-0.5 6
0.5 -6
1 0
2 0.375
4 0.2343
Vegyük észre, hogy a függvény páratlan, ezért grafikonja szimmetrikus az origóra! Az ilyen megfigyelések nagyban könnyítik és ellenőrizhetővé, biztonságosabbá tehetik a megoldást! Nyers grafikont készítünk:
1
-4
-2
2
4
(Nagyon hasznos, ha a szakadási pont közelében kiértékeljük a függvényt, mert itt az általában szabálytalanul viselkedik.) Értelmezési tartomány: Az osztás miatt x ≠ 0 , más feltétel nincs, ezért D f = R \ {0}. Folytonosság, határérték a szakadási helyeken és az értelmezési tartomány határain: A függvény folytonos az értelmezési tartomány minden pontjában. A 0-ban a függvény nincs értelmezve, ez egy szakadási pont, kiszámítjuk itt a bal- és jobboldali határértéket: 1 1 1 1 1 1 lim − 3 = lim (1 − 2 ) = +∞, ui. → −∞ és 1 − 2 → −∞ , ha x ↑ 0 , x ↑0 x x ↑0 x x x x x 1 1 1 1 1 1 lim − 3 = lim (1 − 2 ) = −∞, ui. → +∞ és 1 − 2 → −∞ , ha x ↓ 0 . 0 x ↓0 x x ↓ x x x x x
Az értelmezési tartomány „végein”, − ∞ -ben és + ∞ -ben is ki kell számítanunk a függvény határértékét: 1 1 1 1 1 1 lim − 3 = 0, lim − 3 = 0, ui. → 0 és 3 → 0 , ha x → −∞ és akkor is, ha x → +∞. x → −∞ x x → +∞ x x x x x Zérushely, y-tengelymetszet: 1 1 A zérushelyek az − 3 = 0 egyenlet megoldásai, azaz − 1 és 1 . Az y-tengelymetszet az x x f (0) lenne, azonban a függvény nincs értelmezve a 0-ban, ezért nincs y-tengelymetszet se. Monotonitás, lokális szélsőértékek keresése: Ehhez deriváljuk a függvényt. Ezt megkönnyítendő, először is a törteket átírjuk hatványalakba: Ezt a tanult módon deriváljuk: f ( x) = x −1 − x −3 . −2 −4 −2 −4 f ′( x) = −1 ⋅ x − (−3) ⋅ x = − x + 3x . Megkeressük ennek zérushelyeit, azaz megoldjuk a
0 = − x −2 + 3x −4 egyenletet. Mindkét oldalt x 4 -nel beszorozva kapjuk, hogy x 2 = 3 , vagyis x = ± 3 ≈ ±1.73 . Ezeken a helyeken és még esetleg a 0 szakadási pontban válthat előjelet a derivált, tehát a ]-∞, -√3[, ]-√3, 0[, ]0, √3[ és ]√3, +∞[ intervallumokon a derivált előjele biztosan ugyanaz. Behelyettesítéssel megállapítjuk az előjeleket: -2-t helyettesítve a derivált -0.203, ezért a ]-∞, -√3[ intervallumon a derivált negatív, itt a függvény szigorúan monoton csökken. A -1 helyen a derivált 2, ezért a ]-√3, 0[ intervallumon a derivált végig pozitív, a függvény szigorúan monoton nő. A függvény páratlan, ezért az előbbiekből már következik, hogy a ]0, √3[ intervallumon szigorúan monoton nő, a ]√3, +∞[ intervallumon pedig szigorúan monoton csökken. Megállapítható mindebből az is, hogy x = − 3 -ban a függvénynek lokális minimuma van, a minimum értéke közelítőleg -0.3849. A páratlanság miatt adódik, hogy x = 3 -ban a függvénynek lokális maximuma van, a maximum értéke közelítőleg 0.3849. Ezek csak lokális szélsőértékek, hiszen a 0-ban a függvény baloldali határértéke + ∞ , jobboldali határértéke pedig − ∞ . Konvexitás, inflexiós pont: Kiszámítjuk a második deriváltat: f ′′( x) = 2 x −3 − 12 x −5 . Hol lesz ez 0? Az egyenlet:
0 = 2 x −3 − 12 x −5 . Szorozzunk be x 5 -nel, kapjuk, hogy 0 = 2 x 2 − 12 , amiből x = ± 6 ≈ ±2.45. Itt lehet a függvénynek inflexiós pontja. Ezen a helyen és még esetleg a 0 szakadási pontban válthat előjelet a második derivált, tehát a ]-∞, -√6[, ]-√6, 0[, ]0, √6[ és ]√6, +∞[ intervallumokon a második derivált előjele biztosan ugyanaz. Ismét behelyettesítéssel állapítjuk meg az előjeleket, -3-ban a második derivált értéke -0.025, ezért a függvény második deriváltja a ]-∞, -√6[ intervallumon végig negatív, itt tehát a függvény konkáv. A második derivált a -1-ben 10, ezért a ]-√6, 0[ intervallumon a második derivált pozitív, a függvény itt konvex. A − 6 helyen a függvény konkávból konvexbe vált (a függvény második deriváltja negatívból pozitívba vált), ezért itt a függvénynek inflexiós pontja van. A függvény páratlansága miatt a ]0, √6[ intervallumon a függvény konkáv, a ]√6, +∞[ intervallumon pedig konvex, a 6 helyen a függvénynek inflexiós pontja van.
Összefoglaló táblázat (csak negatív x -ekre, a páratlanság miatt az ábrázoláshoz ez elég): -∞ ]-∞, -√6[ -√6 ]- √6, -√3[ -√3 ]- √3, 0[ x
f ′(x)
-
-
-
0
+
f ′′(x
-
0
+
+
+
csökken konkáv
csökken inflexiós pont
csökken konvex
minimum konvex
nő konvex
f (x)
0
Finomított grafikon:
1
-4
-2
2
4
Értékkészlet: A függvény minden valós számértéket felvesz, R f = R.
-0
+∞
HF2. Számítsa ki a következő függvények deriváltját: 4
x3 ex b) sin( x ) − 2 x
a)
3
x4 a) Azonnal átírjuk a gyökös kifejezést hatvánnyá: x . Alkalmazzuk a hányados deriválására e 1 3 1 3 ′ 3 − 3 −4 x x 4 4 4 ⎛ 34 ⎞ x ⋅ e − x ⋅ e x − x ⎜x ⎟ = 4 . (A képlet egyszerűsítését a zh-ban tanult szabályt: ⎜ x ⎟ = 4 x 2 e e ex ( ) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ nem kell megcsinálni, az „életben” viszont tanácsos.)
b) Különbséget kell deriválni, ezt tagonként tehetjük meg. Előbb ezért a sin( x ) függvényt 1
deriváljuk. A gyöktől most is megszabadulunk: sin( x 2 ) . Összetett függvényről van szó, a 1 2
külső függvény sin(u ) , a belső függvény u ( x) = x . A tanult szabály szerint ′ 1 1 ⎛ ⎞ 1 − 2 ⎜ sin( x ) ⎟ = cos(u ) ⋅ u ′( x) . ′( x) = x 2 , Itt u visszahelyettesítve kapjuk, hogy: ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ′ 1 1 1 ⎛ ⎞ 1 − 2 ⎜ sin( x ) ⎟ = cos( x 2 ) ⋅ x 2 . A második tag deriváltja –2, így a végeredmény: ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 1 ′ 1 − sin( x ) − 2 x = cos( x 2 ) ⋅ x 2 − 2 . 2
(
)
x2 függvényt (értelmezési tartomány, folytonosság, 2 zérushely közelítő értéke, határérték az értelmezési tartomány „végeinél” és a szakadási pontokban, monotonitás, lokális szélsőértékek vizsgálata, konvexitás, inflexiós pont, összefoglaló táblázat, valósághű grafikon, értékkészlet). SZ1. Elemezze az
f ( x) = ln( x) +
Néhány pontban a függvény értéke: x -2 -1 0 f (x) Nincs Nincs Nincs értelmezve értelmezve értelmezve
0.01 -4.6
1 0.5
2 2.69
4 9.4
Nyers grafikont készítünk:
1
1
2
4
(Nagyon hasznos, ha a szakadási pont közelében kiértékeljük a függvényt, mert itt az általában szabálytalanul viselkedik.) Értelmezési tartomány: A logaritmus miatt x > 0 , más feltétel nincs, ezért D f =]0, + ∞[ . Folytonosság, határérték a szakadási helyeken és az értelmezési tartomány határain: A függvény folytonos az értelmezési tartomány minden pontjában. A 0-ban van az értelmezési tartomány baloldali határa. Kiszámítjuk itt a jobboldali határértéket: x2 x2 lim ln( x) + = −∞, ui. ln(x) → −∞ és →0. x →0 + 2 2 Az értelmezési tartomány másik „végén”, + ∞ -ben is ki kell számítanunk a függvény határértékét: x2 x2 lim ln( x) + = +∞, ui. ln(x) → +∞ és → +∞ . x → +∞ 2 2
Zérushely, y-tengelymetszet: x2 = 0 egyenlet megoldása, ebből azonban az x formulával nem A zérushely az ln( x) + 2 fejezhető ki, azt azonban tudjuk, hogy a 0 és az 1 között van legalább egy zérushely, ui. 0-ban a függvény jobboldali határértéke − ∞ , 1-ben pedig a függvény értéke 0.5, azaz pozitív. A(z egyik) zérushely közelítőleg 0.753, az intervallumfelezős eljárással. Az y-tengelymetszet az f (0) lenne, azonban a függvény nincs értelmezve a 0-ban, ezért nincs y-tengelymetszet se. Monotonitás, lokális szélsőértékek keresése: Ehhez deriváljuk a függvényt: f ′( x) = x −1 + x. Ez pozitív, ha x > 0 , így a függvény szigorúan monoton növő. Ebből az is következik, hogy csak egy zérushelye lehet a függvénynek (ha kettő lenne, nem lehetne szigorúan monoton növő). Konvexitás, inflexiós pont: Kiszámítjuk a második deriváltat: f ′′( x) = − x −2 + 1 . Hol lesz ez 0? Az egyenlet: − x −2 + 1 = 0 . Szorozzunk be x 2 -tel, kapjuk, hogy − 1 + x 2 = 0 , ennek a megoldásai 1és − 1 . Az értelmezési tartománynak ezek közül az 1 eleme. Itt inflexiós pontja van a függvénynek, ui. 1-nél kisebb x-ekre a második derivált negatív, 1-nél nagyobbakra pedig pozitív (helyettesítsük be pl. 0.5öt ill. 2-t). Eszerint 0 és 1 között a függvény konkáv, az ]1, + ∞ [ intervallumon pedig konvex. Összefoglaló táblázat:
x
f ′(x) f ′′(x) f (x)
0
−∞
]0, 1] +
1 +
]1, + ∞ [ +
-
0
+
nő konkáv
inflexiós pont
nő konvex
+∞
+∞
Finomított grafikon:
1
1
Értékkészlet: A függvény − ∞ és + ∞ között minden értéket felvesz, R f = R.
SZ2. Számítsa ki a következő függvények deriváltját: a) (log 2 x) 2 ln x − x2 b) 2x
a) Összetett függvényről van szó, a külső függvény h(u ) = u 2 , a belső függvény ′ 1 ′ u ( x) = log 2 x . Így a derivált (log 2 x) 2 = 2u ⋅ u ′( x) . Itt tudni kell, hogy (log 2 x ) = . x ⋅ ln 2 log e x ln x = , és ln x deriváltja (Ez úgy jön ki, hogy a logaritmus azonosságai szerint log 2 x = log e 2 ln 2 ′ 1 1 .) Mindezt behelyettesítve (log 2 x) 2 = 2 ⋅ log 2 x ⋅ . x x ⋅ ln 2 Másik megoldás: A négyzetet szorzatként is felfoghatjuk, ekkor ′ 1 1 1 ′ . (log 2 x) 2 = (log 2 x ⋅ log 2 x ) = ⋅ log 2 x + log 2 x ⋅ = 2 ⋅ log 2 x ⋅ x ⋅ ln 2 x ⋅ ln 2 x ⋅ ln 2
(
(
(
)
)
)
b) A különbséget tagonként deriváljuk, az első tagra a hányados deriválási szabályát 1 x 1 ′ ⋅ 2 − ln x ⋅ 2 x ⋅ ln 2 − ln x ⋅ ln 2 ⎛ ln x ⎞ x x = alkalmazzuk: ⎜ x ⎟ = (egyszerűsíteni nem feltétlen (2 x ) 2 2x ⎝ 2 ⎠ fontos, csak így esztétikusabb és könnyebb vele tovább számolni.) A második tag deriváltja 1 ′ − ln x ⋅ ln 2 ⎞ ⎛ ln x 2 x , így a teljes függvény deriváltja ⎜ x − x 2 ⎟ = x − 2x . 2x ⎠ ⎝ 2
