Matematika el˝oad´ as elm´eleti k´erd´esein´el k´erdezhet˝o k´epletek
Matematika I
Vektorok, egyenesek, s´ıkok
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok sz¨og´et?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok vektori´alis szorzat´at?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok skal´aris szorzat´at?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok ´altal kifesz´ıtett paralelogramma ter¨ ulet´et?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok ´altal kifesz´ıtett h´ aromsz¨ og ter¨ ulet´et?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ´es c = (c1 , c2 , c3 ) vektorok ´altal kifesz´ıtett has´ab t´erfogat´ at?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ´es c = (c1 , c2 , c3 ) vektorok vegyes szorzat´at?
b) ´Irja fel az n = (A, B, C) norm´alvektor´ u azon s´ık egyenlet´et, amelyik illeszkedik a P0 = (x0 , y0 , z0 ) pontra!
b) ´Irja fel a v = (v1 , v2 , v3 ) ir´anyvektor´ u azon egyenes egyenlet´et, amelyik illeszkedik a P0 = (x0 , y0 , z0 ) pontra!
f) Hogyan sz´amoljuk ki egy v = (v1 , v2 , v3 ) vektor abszol´ ut ´ert´ek´et?
Komplex sz´amok
e) Hogyan sz´amoljuk ki a z = r(cos φ + i sin φ) komplex sz´am n-edik hatv´any´at? zn = e) Hogyan sz´amoljuk ki a z = r(cos φ + i sin φ) komplex sz´am n-edik gy¨okeit? √ n z= e) Hogyan sz´amoljuk ki a z1 = r1 (cos φ + i sin φ) ´es a z2 = r2 (cos ψ + i sin ψ) komplex sz´ amok szorzat´at? z1 · z2 = e) Hogyan sz´amoljuk ki a z1 = r1 (cos φ + i sin φ) ´es a z2 = r2 (cos ψ + i sin ψ) komplex sz´ amok h´anyados´ at? z1 = z2 ut ´ert´ek´et? e) Hogyan sz´amoljuk ki a z = a + bi komplex sz´am abszol´ |z| = Kombinatorika
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki n elem k-ad oszt´aly´ u ism´etl´es n´elk¨ uli vari´aci´oinak a sz´am´at?
u ism´etl´eses vari´aci´oinak a sz´am´at? a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki n elem k-ad oszt´aly´
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki n elem k-ad oszt´aly´ u ism´etl´es n´elk¨ uli kombin´aci´oinak a sz´am´at?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki n elem k-ad oszt´aly´ u ism´etl´eses kombin´aci´oinak a sz´am´at?
a) ´Irja fel a binomi´alis t´etelt! (a + b)n =
Halmazok a) Hogyan defini´aljuk k´et A, B halmaz uni´oj´at? A∪B =
a) Hogyan defini´aljuk k´et A, B halmaz metszet´et? A∩B =
a) Hogyan defini´aljuk k´et A, B halmaz k¨ ul¨onbs´eg´et? A\B =
a) Mit ´ert¨ unk k´et A, B halmaz Descartes-szorzat´an? A×B =
a) ´Irja fel a De Morgan f´ele azonoss´agokat! A∪B = A∩B =
Determin´ansok
a) Adja meg az A n´egyzetes m´atrix determin´ans´anak permut´aci´okat tartalmaz´o defin´ıci´oj´at! |A| =
M´atrixok
c) Hogyan sz´amoljuk ki egy An×n invert´alhat´o m´atrix inverz´enek i-edik sor´anak j-edik elem´et? A−1 ij = Sorozatok
c) Adja meg az al´abbi nevezetes sorozatok hat´ar´ert´ek´et! √ n
lim
n→∞
( a=
(a > 0),
lim
n→∞
1+
a )n = n
c) Adja meg az al´abbi nevezetes sorozatok hat´ar´ert´ek´et! lim
√ n
n→∞
n=
,
lim q n =
n→∞
c) Adja meg az al´abbi nevezetes sorozatok hat´ar´ert´ek´et! a k nk + · · · + a 1 n + a 0 = n→∞ bm nm + · · · + b1 n + a0 lim
,
lim
n→∞
1 = n
d) Mikor mondjuk, hogy az an val´os sz´amsorozat monoton n¨ovekv˝o?
d) Mikor mondjuk, hogy az an val´os sz´amsorozat monoton cs¨okken˝o?
d) Hogyan defini´aljuk az a1 , . . . , an val´os sz´amok sz´amtani k¨ozep´et?
An =
d) Hogyan defini´aljuk az a1 , . . . , an nemnegat´ıv val´os sz´amok m´ertani k¨ozep´et?
Gn = d) Milyen ¨osszef¨ ugg´est ismer az a1 , . . . , an nemnegat´ıv val´os sz´amok sz´amtani ´es m´ertani k¨ozepe k¨oz¨ ott?
F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke a) Adjuk meg az al´abbi nevezetes hat´ar´ert´ekeket: ak xk + · · · + a1 x + a0 = x→∞ bm xm + · · · + b1 x + b0 lim
, lim
x→∞
b) Adjuk meg az al´abbi nevezetes hat´ar´ert´ekeket: sin x = x→0 x lim
( , lim
x→∞
1+
a )x = x
F¨ uggv´enyek grafikonja d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at!
f (x) = arccos(x),
g(x) = cth(x)
d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at!
f (x) = arcsin(x),
g(x) = th(x)
d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at!
f (x) = arctg(x),
g(x) = ctg(x)
d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at!
f (x) = arcctg(x),
g(x) = ch(x)
1 = x
d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at!
f (x) = sgn(x),
g(x) = tg(x)
d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at!
f (x) = sh(x),
g(x) = [x]
F¨ uggv´enyek deriv´altja d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek deriv´altj´at!
(shx)′ =
, (ax )′ =
d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek deriv´altj´at!
(thx)′ =
, (ex )′ =
uggv´enyek deriv´altj´at! d) Adja meg az al´abbi f¨
(lnx)′ =
, (cos x)′ =
uggv´enyek deriv´altj´at! d) Adja meg az al´abbi f¨
(cthx)′ =
, (arcsinx)′ =
d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek deriv´altj´at!
(x)′ =
, (arctgx)′ =
d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek deriv´altj´at!
(xn )′ =
, (arcctgx)′ =
uggv´enyek deriv´altj´at! d) Adja meg az al´abbi f¨
(arccosx)′ =
, (chx)′ =
d) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek deriv´altj´at!
(tgx)′ =
, (2x )′ =
Deriv´al´asi szab´alyok h) Adja meg a h´anyados f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´aly´at!
h) Adja meg a szorzat f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´aly´at!
h) Adja meg az ¨osszetett f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´aly´at!
uggv´eny differenci´al´asi szab´aly´at! h) Adja meg az inverz f¨
Deriv´al´as alkalmaz´asai g) ´Irja fel egy f : R → R differenci´alhat´o f¨ uggv´eny x0 ∈ Df pontbeli ´erint˝oj´enek az egyenlet´et!
as seg´ıts´eg´evel eld¨onteni, hogy egy f : R → R differenci´alhat´o e) Hogyan tudjuk a deriv´al´ f¨ uggv´eny egy [a, b] ⊂ Df intervallumon konvex?
e) Hogyan tudjuk a deriv´al´ as seg´ıts´eg´evel eld¨onteni, hogy egy f : R → R differenci´alhat´o f¨ uggv´eny egy [a, b] ⊂ Df intervallumon konk´av?
e) Hogyan tudjuk a deriv´al´ as seg´ıts´eg´evel eld¨onteni, hogy egy f : R → R differenci´alhat´o f¨ uggv´eny egy [a, b] ⊂ Df intervallumon monoton n˝o?
e) Hogyan tudjuk a deriv´al´ as seg´ıts´eg´evel eld¨onteni, hogy egy f : R → R differenci´alhat´o f¨ uggv´eny egy [a, b] ⊂ Df intervallumon monoton cs¨okken?
Matematika II k´epletek Hat´arozatlan Integr´ alsz´am´ıt´as d) Adja meg az al´abbi alapintegr´alokat! ∫ ∫ 1 xn dx = , dx = sin2 x
d) Adja meg az al´abbi alapintegr´alokat! ∫ ∫ 1 sin xdx = , dx = ch2 x
d) Adja meg az al´abbi alapintegr´alokat! ∫ ∫ 1 sin xdx = , dx = sh2 x
d) Adja meg az al´abbi alapintegr´alokat! ∫ ∫ 1 cos xdx = , dx = 1 + x2
d) Adja meg az al´abbi alapintegr´alokat! ∫ ∫ 1 chxdx = , √ dx = 1 − x2
d) Adja meg az al´abbi alapintegr´alokat! ∫ ∫ 1 shxdx = , dx = cos2 x
d) Adja meg az al´abbi alapintegr´alokat! ∫ ∫ 1 ax dx = , dx = x
Integr´alsz´am´ıt´as szab´alyok al´ asi szab´alyt! g) Adja meg az al´abbi integr´ ∫ f n (x)f ′ (x)dx =
g) Adja meg az al´abbi integr´ al´ asi szab´alyt! ∫ f (ax + b)dx =
g) Adja meg az al´abbi integr´ al´ asi szab´alyt! ∫ ′ f (x) dx = f (x)
g) Adja meg az al´abbi integr´ al´ asi szab´alyt! ∫ f (sin x) cos xdx =
al´ asi szab´alyt! g) Adja meg az al´abbi integr´ ∫ f (cos x) sin xdx =
g) Adja meg a parci´alis integr´ al´as szab´aly´at hat´arozatlan integr´alokra vonatkoz´oan!
g) Adja meg a helyettes´ıt´eses integr´al´as szab´aly´at hat´arozatlan integr´alokra vonatkoz´oan!
g) Legyen f (x) ∈ R(ex ). Milyen helyettes´ıt´es lesz c´elravezet˝o az al´abbi integr´al kisz´am´ıt´asa eset´en? ∫ f (x)dx =
g) Adja meg az al´abbi lineariz´al´o formul´akat! sin2 x =
cos2 x =
g) t = tg x2 helyettes´ıt´es eset´en mivel egyenl˝o sin x =
cos x =
?
g) t = tg x2 helyettes´ıt´es eset´en mivel egyenl˝o sin x =
dx =
?
g) t = tg x2 helyettes´ıt´es eset´en mivel egyenl˝o dx =
cos x =
?
Hat´arozott integr´alsz´am´ıt´as g) Adja meg a parci´alis integr´ al´as szab´aly´at hat´arozott integr´alokra vonatkoz´oan!
g) Adja meg a helyettes´ıt´eses integr´al´as szab´aly´ at hat´arozott integr´alokra vonatkoz´oan!
g) Adja meg a Newton-Leibniz formul´at!
g) Legyen f az [a, b] intervallumon nemnegat´ıv, folytonos f¨ uggv´eny. Hogyan hat´arozzuk meg az y = f (x) egyenlet˝ u g¨orbe, az [a, b] intervallum, valamint az x = a ´es x = b egyenesek ´altal meghat´arozott s´ıkidom ter¨ ulet´et? T =
g) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az r = r(φ) pol´arkoordin´at´as alakban megadott g¨orbe α ≤ φ ≤ β ´ıve, valamint a φ = α ´es φ = β f´elegyenesek ´altal k¨ozrez´art szektor ter¨ ulet´et? S=
g) Hogyan sz´am´ıtjuk ki egy g¨orbe ´altal meghat´arozott szektor ter¨ ulet´et, ha a g¨orbe egyenlete param´eteresen van megadva az x = x(t), y = y(t), tA ≤ t ≤ tB egyenletrendszerrel? S=
g) Ha a g¨orbe pol´arkoordin´at´ as egyenlete r = r(φ) ´es α ≤ φ ≤ β, akkor hogyan sz´am´ıtjuk ki a g¨orbe ´ıvhossz´ at? s=
g) Ha a g¨orbe param´eteresen van megadva az x = x(t), y = y(t), tA ≤ t ≤ tB egyenletrendszerrel, akkor hogyan sz´am´ıtjuk ki a g¨orbe ´ıvhossz´at? s=
g) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az y = f (x) g¨orbe a ≤ x ≤ b ´ıv´enek hossz´at? s=
ul. Hogyan sz´am´ıtjuk g) Forgassuk meg az y = f (x), a ≤ x ≤ b g¨orb´et az X tengely k¨or¨ ki a keletkezett forg´astest t´erfogat´at? VX =
g) Forgassuk meg az y = f (x), c ≤ y ≤ d g¨orb´et az Y tengely k¨or¨ ul. Hogyan sz´am´ıtjuk ki a keletkezett forg´astest t´erfogat´at? VY =
g) Forgassuk meg az y = f (x), a ≤ x ≤ b g¨orb´et az X tengely k¨or¨ ul. Hogyan sz´am´ıtjuk ki a keletkezett forg´asfel¨ ulet felsz´ın´et? AX =
g) Forgassuk meg az y = f (x), a ≤ x ≤ b g¨orb´et az Y tengely k¨or¨ ul. Hogyan sz´am´ıtjuk ki a keletkezett forg´asfel¨ ulet felsz´ın´et? AY =
Improprius integr´alok g) Hogyan ´ertelmezz¨ uk az al´abbi improprius integr´alt? ∫ ∞ f (x)dx = a
g) Hogyan ´ertelmezz¨ uk az al´abbi improprius integr´alt? ∫ a f (x)dx = −∞
g) Hogyan ´ertelmezz¨ uk az al´abbi improprius integr´alt? ∫ ∞ f (x)dx = −∞
Nevezetes Fel¨ uletek u a sugar´ u g¨omb egyenlet´et! f) ´Irja fel az orig´o k¨oz´eppont´
f) ´Irja fel a h´aromtengely˝ u ellipszoid egyenlet´et!
f) ´Irja fel az egyk¨openy˝ u hiperboloid egyenlet´et!
f) ´Irja fel a k´etk¨ openy˝ u hiperboloid egyenlet´et!
f) ´Irja fel a hiperbolikus paraboloid (nyeregfel¨ ulet) egyenlet´et!
f) ´Irja fel az elliptikus k´ up egyenlet´et!
Kett˝os Integr´al a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki a ∫∫ f (x, y)dxdy = T
{ } kett˝ os integr´ alt, ha a T tartom´any T = (x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki a ∫∫ f (x, y)dxdy = T
{ } kett˝ os integr´ alt, ha a T tartom´any T = (x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y) ?
c) Hogyan sz´am´ıtjuk ki a ∫∫ f (x, y)dxdy = T
{ } kett˝ os integr´ alt, ha a T tartom´any T = (x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x) ?
c) Hogyan sz´am´ıtjuk ki a T tartom´any ter¨ ulet´et kett˝os integr´allal?
d) Legyen f : R2 → R k´etv´ altoz´os f¨ uggv´eny. Tegy¨ uk fel, hogy a T ⊆ Df tartom´anyon a f¨ uggv´eny nemnegat´ıv ´es folytonos. Hogyan sz´am´ıtjuk ki annak a t´err´esznek a t´erfogat´at, amelyet fel¨ ulr˝ ol a z = f (x, y) fel¨ ulet, alulr´ol a T tartom´any, oldalr´ol pedig a T tartom´ any hat´ar´ ara, mint vez´erg¨orb´ere emelt, a Z tengellyel p´arhuzamos alkot´oj´ u hengerfel¨ ulet z´ar k¨ozre?
b) Hogyan sz´am´ıtjuk ki egy z = f (x, y) egyenlettel megadott fel¨ ulet felsz´ın´et, aminek az XY s´ıkra val´ o mer˝oleges vet¨ ulete a T tartom´any?
f) Hogyan t´er¨ unk ´at kett˝ os integr´alokn´al Descartes-koordin´at´akr´ol pol´ar-koordin´at´akra? Mennyi a Jacobi determin´ans ´ert´eke az ´att´er´eskor? x=
,y =
,J =
d) Hogyan t´er¨ unk ´at g¨ombi koordin´ata-rendszerre? Mennyi a Jacobi determin´ans ´ert´eke az ´att´er´eskor? x= y= z= J=
d) Hogyan t´er¨ unk ´at hengerkoordin´ata-rendszerre? Mennyi a Jacobi determin´ans ´ert´eke az ´att´er´eskor? x= y= z= J=
Differenci´alegyenletek h) Milyen alak´ u egyenletet nevez¨ unk sz´etv´alaszthat´o v´altoz´oj´ u differenci´alegyenletnek?
h) Milyen alak´ u egyenletet nevez¨ unk k¨oz¨ons´eges els˝orend˝ u line´aris differenci´alegyenletnek?
h) Milyen alak´ u egyenletet nevez¨ unk Bernoulli-f´ele differenci´alegyenletnek?
j) Milyen helyettes´ıt´essel lehet els˝orend˝ u line´aris differenci´alegyenlett´e visszavezetni egy Bernoulli-f´ele differenci´alegyenletet?
j) Milyen helyettes´ıt´essel lehet sz´etv´alaszthat´oj´ u differenci´alegyenlett´e visszavezetni az y ′ = f (ax + by + c) differenci´alegyenletet?
c) ´Irja fel az a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0 homog´en differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´as´at, ha tudjuk, hogy a karakterisztikus polinomnak k´et egybees˝o λ1 = λ2 val´os gy¨oke van! yhom =
d) ´Irja fel az a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0 homog´en differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´as´at, ha tudjuk, hogy a karakterisztikus polinomnak k´et λ1 = a + bi, λ2 = a − bi komplex gy¨ oke van! yhom =
d) ´Irja fel az a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0 homog´en differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´as´at, ha tudjuk, hogy a karakterisztikus polinomnak k´et λ1 ̸= λ2 val´os gy¨oke van! yhom =
Vektor-skal´ ar, skal´ar-vektor, vektor-vektor f¨ uggv´enyek j) Egy r(t) = (x(t), y(t), z(t)) vektor-skal´ar f¨ uggv´eny eset´en mi a f˝onorm´alis egys´egvektor?
uggv´eny eset´en mi a binorm´alis egys´egvektor? j) Egy r(t) = (x(t), y(t), z(t)) vektor-skal´ar f¨
j) Egy r(t) = (x(t), y(t), z(t)) vektor-skal´ar f¨ uggv´eny eset´en mi a ´erint˝o egys´egvektor?
f) Hogyan sz´am´ıtjuk ki a g : r(t) = (x(t), y(t), z(t)), ta ≤ t ≤ tb t´erg¨orbe ´ıvhossz´at?
b) Legyen u : R3 7→ R egy skal´ar-vektor f¨ uggv´eny. Mit nevez¨ unk az u f¨ uggv´eny gradiens´enek? gradu =
uggv´eny g : r(t) = (x(t), y(t), z(t)), j) Hogyan sz´am´ıtjuk ki egy u : R3 7→ R skal´ar-vektor f¨ ta ≤ t ≤ tb g¨ orbe menti ´ıvhossz szerinti vonalintegr´alj´at?
i) Mit ´ert¨ unk egy v : R3 7→ R3 , v(x, y, z) = (v1 (x, y, z), v2 (x, y, z), v3 (x, y, z)) vektorvektor f¨ uggv´eny divergenci´ aj´an?
i) Mit ´ert¨ unk egy v : R3 7→ R3 , v(x, y, z) = (v1 (x, y, z), v2 (x, y, z), v3 (x, y, z)) vektorvektor f¨ uggv´eny rot´aci´ oj´ an?
g) Egy v : R3 7→ R3 vektor-vektor f¨ uggv´eny eset´en mikor mondjuk, hogy van potenci´alf¨ uggv´eny?
e) Hogyan sz´am´ıtjuk ki egy v : R3 7→ R3 vektor-vektor f¨ uggv´eny g : r(t) = (x(t), y(t), z(t)), ta ≤ t ≤ tb g¨ orbe menti vonalintegr´alj´ at?
Numerikus sorok, hatv´anysorok a) ´Irja fel az al´abbi k´et sort: geometriai sor, harmonikus sor.
b) Mit tudunk mondani a fenti k´et sor konvergenci´aj´ar´ol?
e) Milyen sort nevez¨ unk Leibniz-t´ıpus´ unak?
u sor konvergenci´aj´ar´ol? f) Mit tudunk mondani a Leibniz-t´ıpus´
c) Hogyan sz´am´ıtjuk ki egy c0 + c1 x + c2 x2 + · · · hatv´anysor konvergenciasugar´at? r=
