Vektorok (folytatás)
Vektor szorzása számmal (skalárral)
Vektor szorzása számmal b = – a = –1·a c = 2b c = 2·(–1·a) = –2·a
Az Az aa vektor vektor k-szorosa k-szorosa (k∈R, (k∈R, vagyis vagyis kk egy egy valós valós szám) szám) az az aa vektor, vektor, amelynek amelynek hossza hossza |k|·|a|, |k|·|a|, iránya iránya pedig pedig kk >> 00 esetén esetén aa irányával irányával megegyező, megegyező, kk << 00 esetén esetén aa irányával irányával ellentétes. ellentétes. kk == 00 esetén esetén nullvektort nullvektort kapunk. kapunk.
Műveletek vektorokkal Skalárral való szorzás a
a (a1, a2)
3a -3a
Két vektor skaláris szorzata A végeredmény itt valós szám (skalár) Pl.: fizikában, erő elmozdulás, munka ab=|a||b|cosα Ahol α a két vektor bezárt szöge.
0 ≤α ≤π
ab=a1b1+a2b2
Vektorok skaláris szorzata (belső szorzat) • A skaláris szorzat, más néven belső szorzat a lineáris algebrában egy vektortér két vektorához hozzárendelt skalár. Jelölése: a·b, ab, (a,b) vagy
. Műveletnek csak annyiban nem nevezhetjük, hogy elemekhez más típusú elemeket rendel. • Általában két értelmezés használatos, az egyik az euklideszi térben levő vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik. • Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.
Skaláris szorzat (folyt.) • Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).
• Két tetszőleges a = [a1, a2, ... , an] és b = [b1, b2, ... , bn] vektor skaláris szorzata alatt a következőt értjük:
• ahol Σ az összegzést és n a vektortér dimenzióját jelöli.
Skaláris szorzat (folyt.) • Háromdimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg: • Ez akárhány dimenzióra általánosítható
Skaláris szorzat (folyt.) • 2 dimenzióban, az [a,b] és [c,d] vektorok skaláris szorzata ac + bd. • Hasonlóan 3 dimenzióban: az [a,b,c] és [d,e,f] skaláris szorzata ad + be + cf. Például két konkrét vektorral:
Skaláris szorzat Két vektor skaláris szorzatának nevezzük a két vektor abszolút értékéből és az általuk bezárt szög koszinuszából képzett szorzatot. Vektorok által bezárt szögön a 0 és π közé eső szöget értjük. Az a és b vektorok skaláris szorzatának jele a·b vagy ab vagy (a,b)
a ⋅ b = a b cos ϕ A skaláris szorzat eredménye skaláris mennyiség
Skaláris szorzat tulajdonságai 1. Kommutatív: a·b = b·a 2. A skaláris szorzás egy c skaláris tényezővel asszociatív: c(a·b)=(ca)b 3. Disztributív: a·(b+c)= a·b + a·c
A továbbiakban a síkbeli vektorokat 2 komponensű, a térbelieket 3 komponensű, az n koordinátával jellemzett vektorokat pedig n komponensű vektoroknak nevezzük. 3 komponensű: szemléltetés térben, műveleteket 3 koordinátával végezzük n komponensű: a vektorokat és műveleteiket már nem szemléltethetjük, de n koordinátával a fentiekhez hasonlóan definiálhatjuk a vektorokat és elvégezhetjük a műveleteket 2 féle írásmód: oszlopvektoros:
a1 a 2 . a = . . a n
sorvektoros:
a* = [ a1 , a2 ,...an ]
Példák vektorokkal 1. Adott két vektor. Számítsuk ki a következőket: a+b; ab; a vektor hosszát valamint a 3a-t, a*b!
−2 −2 1 0 a= b= 0 0 2 1 −6 3 3a = 0 6
−4 1 a+b = 0 3
a = (−2)2 + 12 + 02 + 22 = 3
−2 0 a*b = [ −2,1, 0, 2] = 4 + 0 + 0 + 2 = 6 0 1
N dimenziós vektor a gyakorlatban 1. Valamely vállalat 5 különböző terméket állít elő. Az egy év alatt megtermelt termékek mennyiségét rendre a1, a2, a3, a4, a5 szimbólumokkal jelölve, a vállalat évi termelését az a=[a1, a2, a3, a4, a5 ]* termelési vektor mutatja termékenkénti bontásban. Az egyes termékek egységára, a megfelelő sorrendben b1, b2, b3, b4, b5, vagyis az ún. árvektor b=[b1, b2, b3, b4, b5]* alakú. Az adott termelés és egységárak mellett, a vállalat évi termeléséből adódó bevételt az a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5 összeg mutatja. Ha a termékek mennyiségét tonnában, az egységárakat Ft/tonnában adtuk meg a bevételt forintban kapjuk meg.
Speciális vektorok Nullvektor:
Egységvektor:
Összegző vektor:
0 0 . 0= . . 0
0 1 . e2 = . . 0
1 1 . b= . . 1
ai=0
ak=1 ai=0, ahol i≠k
Elnevezés oka:
a*b = a1 + a2 + ... + an
Ha a*b = 0 a két vektort ortogonálisnak nevezzük.
Műveleti azonosságok a, b, c ∈ R n , λ , µ ∈ R a+b =b+a (a + b) + c = a + (b + c) 0+a =a+0 a + ( −a) = ( −a) + a = 0
λ(a + b ) = λa + λb (λ + µ )a = λa + µa (λµ )a = λ( µa ) 1a = a
Vektorok vektoriális szorzata
• c=|a x b|=|a| |b| sinϕ • c=|a x b|=|a| |b| ha a és b ortogonálisak
Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenség Fejezzük ki a skaláris szorzatból két vektor bezárt szögét (n dimenzióban a szöget pont ez az összefüggés definiálja):
a *b cos α = | a || b |
amit | a * b |≤| a || következik, b|
Mivel cosα ≤ 1 ebből koordinátákra átírva a egyenlőtlenséget kapjuk:
Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij
(a1b1 + a2 b2 + ... + a n bn ) ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b1 2 + b2 2 + ... + bn 2 ) Vektor abszolút értéke általánosan: |a|= a1 2 + a 2 2 + ... + a n 2
Két vektor skaláris szorzatának kommutatvitása b tb e a v o sφ c ׀a׀
ϕ
a ׀b׀cosφ b vet a
A kommutativitás követezik a skaláris szorzat definíciójából vagy az ábrán látott két háromszög hasonlósága alapján, mivel ׀b׀cosφ= ׀b vet a ׀, ahol a b vet a a b vektor vetülete az a vektorra, és ׀a׀cosφ= ׀a vet b ׀, úgyhogy a·b=b·a
A valós euklideszi tér Ebben a fejezetben a valós euklideszi tér (eddigi tanulmányainkból már 2, 3 dimenzióban ismert) fogalmait határozzuk meg az általános vektortérben megismert definíciók segítségével. Skalárszorzat Legyen e1, e2, … en rögzített bázis V-n. Ekkor az adott bázis szerint vett skalárszorzaton (skaláris szorzaton, belső szorzaton) az S: VxV R függvényt értjük, amely két vektorhoz a koordináták szorzatösszegét rendeli.
S (x, z ) = x * z = [x1
z1 . n . . . xn ] ⋅ . = ∑ x j z j = x1 z1 + x2 z2 + ...xn zn j =1 . zn
A skalárszorzat egy szimmetrikus bilineáris függvény, kvadratikus alakja pozitív definit.
n
S ( x , x ) = ∑ xi
2
i =1
Euklideszi téren egy skalárszozattal ellátott vektorteret értünk.
Az euklideszi térben az x vektor hosszán (, vagy abszolut értékén) az önmagával vett skalárszorzatának a négyzetgyökét értjük.
n
x = x *x = ∑xi i=1
2
Altér • Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W⊆ V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a Vbeli vektorműveletekre. Jelölése W ≤ V. • Tulajdonságok: 1. u, v ∈W → u+v ∈W 2. v ∈W, λ ∈ F → λ v ∈W 3. W altér nulleleme megegyezik a V nullelemével. Pl. - triviális alterek: a 0 vektorból álló altér - egy rögzített veltor összes skalárszorzatai
Lineáris algebra • A lineáris algebra a matematika (konkrétan az algebra) egyik tudományága, mely jelentős geometriai, fizikai és mérnöki alkalmazásokkal rendelkezik (pl. a társadalomtudományokban is • A modern közgazdaság-tudomány elképzelhetetlen lenne lineáris algebra nélkül). • Tárgya a vektorok, vektorterek vagy lineáris terek, és lineáris leképezések vizsgálata.
Lineáris algebra • A lineáris algebra a lineáris terek avagy vektorterek algebrája. A megszokott valós számok körében maradva, egy változókat is tartalmazó betűkifejezés akkor lineáris, ha a változóknak egymással csak az algebrai összege (összeadása/kivonása) szerepel: szorzása nem (tehát: változó konkrét számmal való szorzása megengedett, de változóval való szorzása nem; ide értve az önmagával való szorzást is). • Tehát például, ha x és y a valós számok halmazán értelmezett változók, akkor (3/4)x és 3x+4y lineáris betűkifejezései ezen változóknak, míg x2 = xx és xy nem. • Lineáris kifejezés például 2x1+4x2+5x3 , • viszont nem lineáris a következő: 2x12+4x2+5x3 , • Mivel az első változó négyzetre van emelve, holott mindegyik változó csak a 0 vagy az 1 hatványon szerepelhet.
Az algebra részterülei • Az elemi algebra a valós és komplex számokon értelmezett műveleteket vizsgálja konstansok és változók segítségével, valamint ezek szerepét matematikai kifejezésekben és egyenletekben. • Az absztrakt algebrában olyan fogalmak kerülnek axiomatikus definiálásra, mint a csoport, gyűrű és test. Néha modern algebrának is nevezik. • A lineáris algebra foglalkozik a vektorterekkel, azok tulajdonságaival. Ide tartozik a mátrixok, lineáris leképezések vizsgálata is. • Az univerzális algebra az absztrakt algebra kibővítése, az algebrai leképezések, struktúrák invariánsait vizsgálja. • Az algebrai számelmélet a számelméleti fogalmakat vizsgálja az algebrában, míg az algebrai geometria és az algebrai kombinatorika hasonlóképpen a geometria és kombinatorika algebrai vonatkozásait tartalmazza
