1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és az irányával; nem tekintünk különbözőnek két vektort, ha azok párhuzamos eltolással átvihetők egymásba. A vektor kezdőés végpontjának távolságát a vektor abszolút értékének (hosszának, nagyságának) nevezzük. Jelölése: a . Ha a vektor hossza egységnyi, akkor a vektort egységvektornak, ha nulla, akkor nullvektornak nevezzük. Tetszőleges a , b , c vektorok esetén különböző jelölésmódokat alkalmazva az = a ax , a y , az ; b=b x i + by j + bz k ; c=c x ex +c y ey + cz ez
{
}
összefüggések állhatnak fenn.
1.1.1. Skaláris szorzás a ⋅ b = ax bx + a y by + az bz = b ⋅ a a ⋅b = b ⋅ a
(a szorzás eredménye: skalár) (kommutatív)
1.1.2. Vektoriális szorzás i a ×= b ax bx
j ay by
k a= z bz
(a b
y z
− az by ) i − ( axbz − az bx ) j + ( ax by − a y bx ) k (a szorzás eredménye:vektor)
a × b =−b × a
(nem kommutatív)
1.1.3. Általános (diadikus) szorzás ax = = a y bx T a = b ab az a b ≠ b a T b a =T
by
ax bx a y bx bz= az bx
a x by a y by a z by
ax bz a y bz az bz
(a szorzás eredménye: mátrix)
(nem kommutatív)
(transzponált tenzor) 1
1.1.4. Kétszeres vektorszorzat kifejtési tétele a× b ×c = a × b × c=
(
)
(
)
b (a ⋅c ) − c b (a ⋅c ) − a
( a ⋅ b ) ( b ⋅ c )
ahol a , b , c vektor tetszőleges vektorok. A szorzás nem asszociatív művelet!
1.1.5. Diád skaláris szorzása vektorral
( a b ) ⋅ c= a ( b ⋅ c ) a ⋅ (b c ) = ( a ⋅ b ) c
ahol a , b , c vektor tetszőleges vektorok. Mivel a ⋅ b c = a ⋅b c = c a ⋅b = c b ⋅ a = c b ⋅ a ,
(
) (
)
(
) (
) (
)
TT
így
T a ⋅ b c = a ⋅T = c b ⋅ a = T ⋅ a
(
)
(
)
1.2. Műveletek a differenciáloperátorokkal DDKR-ben Legyen adott DDKR-ben: 0. méretű objektum (skalár) 1. méretű objektum (vektor)
2. méretű objektum (tenzor)
−
S ( r , t ) = S ( x, y, z , t ) - tetszőleges skalár-vektor függvény.
−
V ( r , t ) = Vx ( x, y, z , t ) i + Vy ( x, y, z , t ) j + Vz ( x, y, z , t ) k tetszőleges, vektor-vektor függvény.
T11 T12 T13 = − T T= ( r , t ) T21 T22 T23 - tetszőleges tenzor-vektor függvény, T T 31 32 T33 ahol Tij = Tij ( x, y, z= , t ) , ( i 1,= 2,3; j 1, 2,3) .
2
1.2.1. Műveletek ∇ operátorral ∂ ∂ ∂ = ∇ i + j +k ∂x ∂y ∂z
a)
(vektor differenciáloperátor)
Skaláris szorzás − Legalább 1 méretű objektumra (legalább vektorra) értelmezett. − Új méret = Régi méret − 1
Speciális esetek: ∂Vx ∂Vy ∂Vz ∇= ⋅ V divV = + + ∂x ∂y ∂z
(eredmény: skalár)
∂ T11 T12 T13 ∂x ∂ T= (eredmény: vektor) ⋅ ∇ DivT = T21 T22 T23 y ∂ T 31 T32 T33 ∂ ∂z Kifejtve a sor oszlop kombinációval: ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T T= ⋅∇ 11 + 12 + 13 i + 21 + 22 + 23 j + 31 + 32 + 33 k ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x
b)
Vektoriális szorzás − Legalább 1 méretű objektumra értelmezett. − Új méret = Régi méret i j k ∂ ∂ ∂ ∂V ∂Vy ∂Vx ∂Vz V ∇= × V rot = = z− − i − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x Vx Vy Vz
c)
∂Vy ∂Vx − k j + ∂y ∂x
Általános (diadikus) szorzás − Nincs méretbeli korlátozás − Új méret = Régi méret + 1
Speciális esetek: ∇= S grad = S
∂S ∂S ∂S i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
(eredmény: vektor) 3
∂Vx ∂Vx ∂Vx ∂x ∂y ∂z ∂Vy ∂Vy ∂Vy = V ∇ = D V (eredmény: mátrix) ∂ x ∂ y ∂ z ∂Vz ∂Vz ∂Vz ∂y ∂z ∂x D V : a V derivált tenzora. A tenzorok transzponáltját a tenzor főátlóra való tükrözésével
( )
( )
határozhatjuk meg:
T ∇ V = D V
( )
1.2.2. Műveletek Laplace ( ∆ ) operátorral ∂2 ∂2 ∂2 ∆ = ∇ ⋅∇ = ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 2
(másodrendű skalár differenciáloperátor)
Speciális esetek: −
∆S=
∂2S ∂2S ∂2S + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(eredmény: skalár)
∆V = ∆Vx i + ∆Vy j + ∆Vz k =
−
∂ 2Vx ∂ 2Vx ∂ 2Vx = 2 + 2 + 2 ∂y ∂z ∂x
2 2 2 ∂ Vy ∂ Vy ∂ Vy i + 2 + 2 + 2 ∂y ∂z ∂x
∂ 2Vz ∂ 2Vz ∂ 2Vz j + 2 + 2 + 2 k ∂y ∂z ∂x (eredmény: vektor)
1.3. Műveletek a differenciál operátorokkal HKR-ben ∂ 1 ∂ ∂ = ∇ er + eϕ + ez ∂r r ∂ϕ ∂z Alkalmazások: ∂S 1 ∂S ∂S - ∇S =gradS = er + eϕ + ez ∂r ∂z r ∂ϕ 1 ∂ 1 ∂Vϕ ∂Vz + = V ⋅∇ - divV = ∇ ⋅ V = ( rVr ) + ∂z r ∂r r ∂ϕ
= - ∆S
1 ∂ ∂S 1 ∂ 2 S ∂ 2 S + r + r ∂r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
(eredménye: vektor)
(eredménye: skalár) (eredménye: skalár)
4
1.4. Függvények teljes differenciálhányadosa 1.4.1. Skalár tér- és időfüggvény teljes differenciálhányadosa = dS
∂S ∂S ∂S ∂S ∂S dt + dx + dy + = dz dt + ( dr ⋅∇ ) S ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t
∂S dt + ( dr ⋅∇ ) S teljes differenciál ∂t dr Figyelembe véve, hogy = v (sebességvektor), így dt = dS
dS ∂S = + ( v ⋅∇ ) S dt ∂t
Lokális Konvektív megváltozás
1.4.2. Vektor tér- és időfüggvény teljes differenciálhányadosa ∂V = dV dt + ( dr ⋅∇ ) V ∂t dV ∂V = + ( v ⋅∇ ) V dt ∂t
dr v = dt
Speciális eset: V = v sebességvektor → gyorsulás vektor ( a ) dv ∂v = a = + ( v ⋅∇ ) v dt ∂t ahol ∂v − : lokális megváltozásból származó tag. ∂t − ( v ⋅∇ ) v : konvektív megváltozásból származó tag.
1.5. Integrál-átalakítási tételek 1.5.1. Gauss – Osztogradszkij tétel Tenzor esetén:
T ⋅ d A = ∫ ∫ Div T dV ,
( A)
(V )
5
ahol − −
Div T= T ⋅∇ , T ( r , t ) - V -ben folytonosan differenciálható,
− (V) egyszeresen összefüggő tartomány, az ( A ) zárt felülettel határolt véges térfogat, − dA = dA n felületelem-vektor és a vizsgált térrészből kifelé mutat. Megjegyzés: ha T helyett alacsonyabb méretű objektum is állhat, amely (V)-ben folytonosan differenciálható. Vektor esetén:
d div dV V ⋅ A = V ∫ ∫
( A)
(V )
Skalár esetén:
∫
S dA =
( A)
∫ grad S dV
(V )
Mivel T = S I , Div ( S I ) = ( S I ) ⋅∇ = ( I ⋅∇ ) S = grad S = ∇S ∇
1.5.2. Stokes tétel
V dr ∫ ⋅ =
( L)
∫
rot v ⋅ dA
( A)
Feltételek: − v ( r , t ) az (A) mentén folytonosan differenciálható, − (A) folytonos görbületű felület, − ( L ) az (A) felületet határoló rektifikálható 1 zárt görbe, − dA - felületvektor (A)-ra merőleges. ( L irányítása dA -val szembenézve pozitív körüljárású, vagyis az óramutató járásával ellentétes.)
1
Rektifikálható- kifejthető: létezik az ív hossza.
6
1.6. Térfogati integrál idő szerinti totális deriváltja d F ( r , t ) dV = ∫ dt (V ) syst
∂F dV + F v ∫ ∫ ⋅ dA ( CV ) ∂t ( A)
(
) (
)
0 − ban, Vsyst = t= ( CV )
vagy
d F ( r= , t ) dV ∫ dt (V ) syst ahol:
dF dt + Fdivv dV ( CV )
∫
− F ( r , t ) - vektor – vektor vagy skalár – vektor függvény, (V ) -ben folytonos és legalább egyszer differenciálható, − a (Vsyst ) -t a v ( r , t ) sebességtérben mozgó ugyanazon a folyadékrészecskék
alkotják, −
( CV )
a (Vsyst ) -el t = 0 -ban egybeeső, de időben és térben rögzített térfogat, az
úgynevezett ellenőrző térfogat, − ( A ) a ( CV ) -t határoló zárt felület, −
d totális vagy teljes derivált (szubsztanciális derivált). dt
7
