Biol´ ogia alapszak, Matematika 1
2017/18 1. f´el´ev
´ VEKTOROK, MATRIXOK
I. I.1.
Vektorok
1. A s´ıkon der´eksz¨ og˝ u koordin´ atarendszerben minden v vektornak van v´ızszintes ´es van f¨ ugg˝ oleges koordin´ at´ aja, ezeket sorrendben v1 ´es v2 jel¨ oli. A v s´ıkbeli vektort megadhatjuk a (v1 , v2 ) rendezett p´ ar ral. Ez´ert a s´ıkbeli vektorok halmaz´ at R2 jel¨ oli. A t´erben der´eksz¨ og˝ u koordin´ atarendszerben minden v vektornak h´ arom koordin´ at´ aja van, jel¨ olje ezeket sorrendben v1 , v2 ´es v3 . A v t´erbeli vektort megadhatjuk a (v1 , v2 , v3 ) rendezett h´ armassal. A t´erbeli vektorok halmaz´ at R3 -mal jel¨ olj¨ uk. Ezek mint´ aj´ ara ha v1 , v2 , . . . , vn val´ os sz´ amok, akkor a (v1 , v2 , . . . , vn ) u ´n. rendezett n-est n dimenzi´ os vagy n koordin´ at´ as vektornak nevezz¨ uk. Az el˝ oz˝ oekhez hasonl´ oan ezek halmaz´ at R n jel¨ oli. 2. M˝ uveletek a vektorokkal. ´ . Az u = (u1 , u2 , u3 ) ´es v = (v1 , v2 , v3 ) t´erbeli vektorok o Defin´ıcio ¨sszege az u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ), k¨ ul¨ onbs´ege az u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 , u3 − v3 ) t´erbeli vektor. Ha λ val´ os sz´ am, akkor a v t´erbeli vektor λ-szorosa a λv = (λv 1 , λv2 , λv3 ) t´erbeli vektor. p A v vektor hossz´ us´ aga vagy hossz a |v| = v12 + v22 + v32 . Az u ´es v vektorok skal´ aris szorzata uv = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 .
(S´ıkbeli vektorok eset´en a defin´ıci´ oban a harmadik koordin´ at´ akat el kell hagyni, t¨ obb koordin´ at´ as vektorok eset´en tov´ abbi koordin´ at´ akat kell hozz´ avenni.) 3. Feladat. (a) u = (1, 2, 3) ´es v = (0, −4, 2) eset´en adja meg az u + v, u − v ´es 5u vektorokat!
(b) Mekkora az u ´es a v vektor hossza?
(c) Mekkora az u ´es a v vektor skal´ aris szorzata? Megold´ as: (a) u + v = (1 + 0, 2 + (−4), 3 + 2) = (1, −2, 5), u − v = (1 − 0, 2 − (−4), 3 − 2) = (1, 6, 1), 5u = (5, 10, 15). p √ √ √ (b) |u| = 12 + 22 + 32 = 14, |v| = 02 + (−4)2 + 22 = 20. (c) uv = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = 1 · 0 + 2 · (−4) + 3 · 2 = −2. ♣
I.2.
M´ atrixok
´ . Sz´ 1. Defin´ıcio amok t´eglalap alak´ u t´ abl´ azatban val´ o elrendez´es´et m´ atrix nak nevezz¨ uk. Ha a t´ abl´ azat m sorb´ ol ´es n oszlopb´ ol a ´ll, akkor m×n-es m´ atrixr´ ol besz´el¨ unk. (Az oszlopok sz´ ama a m´ atrix v´ızszintes m´erete, a sorok sz´ ama pedig a f¨ ugg˝ oleges m´erete.) −4 1 1 2 3 0 −1 2 ´k. P´ elda 2×2-es, 2×3-as, 2 −3 3×2-es, 2×1-es, −1 3 3 4 −2 1 5 5 2 1 1×2-es m´ atrix. Az A m´ atrix i-edik sora j-edik a11 a12 . . . a21 a22 . . . A= . .. .. . am1 am2 . . .
elem´et a ´ltal´ aban aij -vel jel¨ olj¨ uk, ´ıgy az m×n-es m´ atrix a1n .. . a2n · · · aij · · · oviden .. , vagy r¨ , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. . .. . amn
v1 Minden n-dimenzi´ os v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn vektor azonos´ıthat´ o a ... n×1-es u ´n. oszlopm´ atrix szal ´es a vn v1 . . . vn 1×n-es u ´n. sorm´ atrix szal is.
Biol´ ogia alapszak, Matematika 1
2017/18 1. f´el´ev
´ . A m´ Defin´ıcio atrixot n´egyzetesnek h´ıvjuk, ha sorainak ´es oszlopainak sz´ ama azonos. A n´egyzetes m´ atrix f˝ oa ´tl´ o ja a bal fels˝ o elemet a jobb als´ o elemmel o ¨sszek¨ ot˝ oa ´tl´ o (folyamatos vonal jel¨ oli lentebb), mell´ek´ atl´ o ja a jobb fels˝ o ´es a bal als´ o elem k¨ oz¨ ott h´ uz´ od´ oa ´tl´ o (szaggatott vonal mutatja ugyanott). a@ 11 . . . a1n .. @ .. . . @ . an1 . . . @ ann
I.3.
Determin´ ansok
1. Minden n´egyzetes m´ atrixhoz tartozik egy meghat´ aroz´ o val´ os sz´ am, neve determin´ ans. Az n×n-es A m´ atrix determin´ ans´ anak jele detA vagy a11 . . . a1n .. .. . .. . . . an1 . . . ann El˝ osz¨ or a 2×2-es ´es a 3×3-as m´ atrixok determin´ ans´ at defini´ aljuk, a nagyobbakat azut´ an rekurz´ıv m´ odon.
´. Defin´ıcio
a b c d a b d e g h
2×2-es:
3×3-as:
= ad − bc. c f i
= aei + bf g + cdh − ceg − af h − bdi.
E k´et szab´ aly k¨ onnyen megjegyezhet˝ o:
a b l c ld
= ad − bc.
A f˝ oa ´tl´ o (folyamatos vonallal jel¨ olve) k´et elem´enek szorzat´ ab´ ol kivonjuk a mell´ek´ atl´ o (pontozott vonallal jel¨ olve) k´et elem´enek szorzat´ at. a b c a b l l l d le l f ld e = aei + bf g + cdh − ceg − af h − bdi. g hlli l lgllh
El˝ osz¨ or a m´ atrix els˝ o k´et oszlop´ at a determin´ ans m¨ og´e m´ asoljuk. Ut´ ana a f˝ oa ´tl´ o elemeit o ¨sszeszorozzuk, majd hozz´ aadjuk a vele p´ arhuzamosan elhelyezked˝ o k´et sz´ amh´ armas szorzat´ at (folyamatos vonalak), ebb˝ ol kivonjuk a mell´ek´ atl´ obeli elemek szorzat´ at ´es a vele p´ arhuzamos k´et sz´ amh´ armas szorzat´ at (pontozott vonalak). Az elj´ ar´ as neve Sarrus-szab´ aly. (A 2×2-es ´es a 3×3-as determin´ ans defin´ıci´ oj´ aban is a tagok olyan szorzatok, melyekben minden sorb´ ol egy t´enyez˝ o szerepel ´es minden oszlopb´ ol is. Pl. a 3×3-as determin´ ans utols´ o tagja bdi, melyben b az els˝ o sor, d a m´ asodik sor, i a harmadik sor eleme, m´ıg az oszlopokat tekintve b a m´ asodikhoz, d az els˝ oh¨ oz ´es i a harmadikhoz tartozik. 3! = 6 ilyen szorzat van.) ´k. 2. P´ elda 1 2 = 1 · 4 − 2 · 3 = −2, (a) 3 4 3 −1 = 3 · 0 − (−1) · 2 = 2, (b) 2 0 a b = a · c − b · 0 = ac, (c) |{z} 0 c 0
−1 0 −1 −1 1 1 (d) 1 1 3 2 1 3 a b c a b (e) 0 d e 0 d 0 0 f 0 0
0 1 = (−1) · 1 · 1 + 0 · 1 · 3 + (−1) · 1 · 2 − (−1) · 1 · 3 − (−1) · 1 · 2 − 0 · 1 · 1 = 2, 2
0 · 0} − c| · {z d · 0} − a e · 0} − b · 0 · f = adf . = a · d · f + b| · {z e · 0} + c| · {z | ·{z | {z } 0
0
0
0
0
Biol´ ogia alapszak, Matematika 1
2017/18 1. f´el´ev
´ . Egy determin´ 3. Defin´ıcio ansban valamely elem aldetermin´ ans´ anak nevezz¨ uk az adott elem sor´ anak ´es oszlop´ anak elhagy´ as´ aval keletkez˝ o kisebb determin´ anst. Az A n´egyzetes m´ atrix i-edik sora j-edik elem´ehez (aij ) tartoz´ o aldetermin´ anst Aij -vel jel¨ olj¨ uk. Az n×n-es m´ atrix aldetermin´ ansainak m´erete (n − 1)×(n − 1). A nagyobb m´eret˝ u determin´ ansok defin´ıci´ oj´ at megadhatjuk eggyel kisebb m´eret˝ u (al)determin´ ansok seg´ıts´eg´evel (az elj´ ar´ as neve determin´ ans kifejt´ese aldetermin´ ansokkal). P´ elda. 1 2 3 5 6 . Az els˝ 4 5 6 o sor m´ asodik elem´ehez, ans bal fels˝ o 1 elem´ehez tartoz´ o aldetermin´ ansa Az determin´ 8 9 7 8 9 4 6 1 3 , a k¨ 2-h¨ oz tartoz´ o aldetermin´ ans o z´ e ps˝ o 5 elemhez tartoz´ o aldetermin´ a ns pedig 7 9 . 7 9 ´ . Egy determin´ Defin´ıcio ans rekurz´ıv m´ odon aldetermin´ ansokkal u ´gy kaphat´ o meg, hogy tetsz˝ olegesen v´ alasztott sorban vagy oszlopban minden elemet megszorzunk a hozz´ a tartoz´ o aldetermin´ anssal, majd a kapott szorzatokat a ,,sakkt´ ablaszab´ aly” + − + ... − + − ... + − + ... .. .. .. . . . . . . szerinti el˝ ojelnek megfelel˝ oen o ¨sszeadjuk, ill. kivonjuk.
Bizony´ıt´ asra szorul, hogy b´ armely sor vagy oszlop szerint sz´ amolva azonos eredm´enyt kapunk. Azt is ellen˝ orizni kell, hogy a 3×3-as determin´ ans ´ert´eke a Sarrus-szab´ aly ´es a kifejt´esek szerint megegyezik. Az ut´ obbi pl. az els˝ o sor szerinti kifejt´esre: a b c d e f = a · e f − b · d f + c · d e = a(ei − f h) − b(di − f g) + c(dh − eg) g h g i h i g h i = aei − af h − bdi + bf g + cdh − ceg = aei + bf g + cdh − ceg − af h − bdi.
´ Altal´ aban a determin´ ans els˝ o sor szerinti kifejt´ese −→ a11 a12 a13 · · · a21 a22 a23 · · · a31 a32 a33 · · · .. .. .. .. . . . . a m´ asodik sor szerinti kifejt´es a11 −→ a21 a31 .. .
´es p´eld´ aul az els˝ o oszlop szerint y a11 a21 a31 .. .
a12 a22 a32 .. .
a13 a23 a33 .. .
··· ··· ··· .. .
kifejtve
a12 a22 a32 .. .
a13 a23 a33 .. .
··· ··· ··· .. .
= a11 A11 − a12 A12 + a13 A13 − . . . ,
a21A21 + a22 A22 − a23 A23 + . . . , = −a
= a11 A11 − a21 A21 + a31 A31 − . . . .
4. Feladat. Sz´ amolja ki az el˝ oz˝ o (c) p´eldabeli a determin´ anst t¨ obbf´elek´eppen kifejtve! Megold´ as: Az els˝ o sor szerint kifejtve −1 0 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2, 1 = (−1) · −0 · +(−1) · 2 1 3 1 3 2 3 2 1 | {z } | {z } | {z } −1
−2
−1
Biol´ ogia alapszak, Matematika 1
2017/18 1. f´el´ev
a m´ asodik sor szerint −1 0 −1 0 −1 1 1 1 = −1 · 2 1 3 2 1 | {z 2
a harmadik oszlop szerint pedig −1 0 −1 1 1 1 3 2 1
+1 · −1 −1 3 1 | } {z 2
−1 · −1 0 = 2, 3 2 | {z } } −2
= (−1) · 1 1 −1 · −1 0 +1 · −1 0 = 2. 3 2 3 2 1 1 | {z } | {z } | {z } −1
−2
−1
A t¨ obbi h´ arom kifejt´es (harmadik sor szerinti, els˝ o oszlop szerinti, m´ asodik oszlop szerinti) hasonl´ oan sz´ amolhat´ o ki. ♣ ´ . Fels˝ 5. Defin´ıcio o h´ aromsz¨ ogm´ atrix nak nevezz¨ uk az olyan n´egyzetes m´ atrixot, amelyiknek minden f˝ oa ´tl´ o alatti eleme nulla. Az als´ o h´ aromsz¨ ogm´ atrix olyan n´egyzetes m´ atrix, melynek minden f˝ oa ´tl´ o f¨ ol¨ otti eleme nulla. A diagon´ alm´ atrix olyan n´egyzetes m´ atrix, amelyik a f˝ oa ´tl´ oj´ an k´ıv¨ ul csak nulla elemeket tartalmaz. A diagon´ alm´ atrix egyszerre fels˝ o ´es als´ o h´ aromsz¨ ogm´ atrix. ´ ´ıta ´s. Minden h´ All aromsz¨ ogm´ atrix determin´ ansa a f˝ oa ´tl´ obeli elemek szorzata.
I.4.
M˝ uveletek m´ atrixokkal
1. Egy n´egyzetes m´ atrixot a f˝ oa ´tl´ oj´ ara t¨ ukr¨ ozve ugyanolyan m´eret˝ u n´egyzetes m´ atrixot kapunk, melyet az eredeti m´ atrix transzpon´ altj´ anak h´ıvunk. (Nem n´egyzetes m´ atrixoknak is van transzpon´ altja, az m×n-es m´ atrix´e n×m-es.) ´ . Az A = (aij )i,j=1,...,n m´ Defin´ıcio atrix transzpon´ alt m´ atrix a ´nak, r¨ oviden transzpon´ altj´ anak nevezz¨ uk az AT = (aji )i=1,...,n ugyanolyan m´eret˝ u m´ atrixot. ´k. P´ elda (a)
1 2 3 4
T
=
1 3 2 4
,
(b)
a b 0 d
T
=
a b
0 d
T 1 0 0 1 4 2 (c) 0 3 5 = 4 3 0 . 2 5 6 0 0 6
,
2. Azonos m´eret˝ u m´ atrixok o ¨sszeg´et, k¨ ul¨ onbs´eg´et, valamint egy m´ atrix sz´ ammal val´ o szorzat´ at u ´gy k´epezz¨ uk, mint vektorokra (a vektorok o ¨sszeg´et koordin´ at´ ank´ent, a m´ atrixok o ¨sszeg´et elemenk´ent). ´ . K´et azonos m´eret˝ Defin´ıcio u m´ atrix o ¨sszege, k¨ ul¨ onbs´ege ´es egy m´ atrix sz´ amszorosa az az ugyanolyan m´eret˝ u m´ atrix, melynek elemeit u ´gy kapjuk, hogy a k´et m´ atrixban az azonos helyen a ´ll´ o elemeket o ¨sszeadjuk, kivonjuk, ill. a m´ atrix minden elem´et megszorozzuk az adott sz´ ammal. Teh´ at
´k. P´ elda 1 (a) 3 1 (b) 3 (c) 5 ·
.. .. .. . . . · · · aij · · · ± · · · bij · · · = . . . aij ± bij . . . , .. .. .. . . . .. .. . . . . . a . . . . . . λa λ = ij ij . . . . .. .. . .
2 4 2 4
1 2 3 4
+ −
5 8 6 7
=
1+5 2+8 3+6 4+7
=
6 10 9 11
−4 −6 1−5 2−8 5 8 = = −3 −3 3−6 4−7 6 7 5·1 5·2 5 10 = = . 5·3 5·4 15 20
.
.
Biol´ ogia alapszak, Matematika 1
2017/18 1. f´el´ev
3. K´et m´ atrix szorzat´ at akkor defini´ aljuk, ha az els˝ o t´enyez˝ o oszlopainak sz´ ama (v´ızszintes m´erete) megegyezik a m´ asodik t´enyez˝ o sorainak sz´ am´ aval (f¨ ugg˝ oleges m´erete). ´ . Az m×n-es A ´es az n×p-es B m´ Defin´ıcio atrix szorzata az az m×p m´eret˝ u C m´ atrix, melynek b´ armely elem´et u ´gy kapjuk, hogy az els˝ o m´ atrixnak annyiadik sor´ at, mint a keresett elem els˝ o indexe, skal´ arisan szorozzunk a m´ asodik m´ atrix annyiadik oszlop´ aval, mint a keresett elem m´ asodik indexe (sor-oszlop szorz´ as, ld. az a ´br´ an). Az A = (aij ) ´es B = (bij ) m´ atrixok C = (cij ) szorzat´ anak elemei cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj , hiszen j-edik oszlop
i-edik sor
−→
.. . ai1 .. .
.. . ai2 .. .
.. . . . . ain .. .
··· ··· ···
↓ b1j b2j .. .
··· .. . ··· · · · c = ij · · · . .. . ···
bnj
Azoknak a m´ atrixoknak ´ertelmezz¨ uk a szorzat´ at, melyekre az els˝ o t´enyez˝ oben a sorok ugyanolyan hossz´ uak, mint a m´ asodik t´enyez˝ oben az oszlopok. ´k n´egyzetes m´ P´ elda atrixok szorz´ as´ ara: 1 2 5 6 = 3 4 7 8 5 6 1 2 = 7 8 3 4
1·5+2·7 1·6+2·8 3·5+4·7 3·6+4·8
5·1+6·3 5·2+6·4 7·1+8·3 7·2+8·4
= =
19 22 43 50 23 34 31 46
, .
´ Altal´ aban AB 6= BA, vagyis a m´ atrixok szorz´ asa nem kommutat´ıv m˝ uvelet. A m´ atrixok szorz´ as´ anak szab´ alya egyszer˝ uen megjegyezhet˝ o, ha a k´et m´ atrixot (A ´es B) az AB szorzatukkal egy¨ utt a 2×2-es B A AB t´ abl´ azatban helyezz¨ uk el. Ekkor a szorzat elemei sorokat oszlopokkal szorozva an´elk¨ ul kisz´ amolhat´ ok, hogy elt´eveszten´enk a sort vagy az oszlopot. Amikor ui. egy sort egy oszloppal megszorzunk, szorzatuk hely´et az adott sor ´es oszlop kijel¨ oli. 19 22 5 6 1 2 szorzata ´ıgy is kisz´ amolhat´ o: m´ atrixok AB = ´es B = P´ elda. Az A = 43 50 7 8 3 4 5 6 7 8 , 1 2 19 3 4 5 6 7 8 , 1 2 19 22 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
Egy l´ep´esben
1 2 3 4
5 7
6 8
19 22 43 5 7
6 8
19 22 43 50
5 7
6 8
19 22 43 50
,
.
.
Biol´ ogia alapszak, Matematika 1
´ . Az 4. Defin´ıcio
1 0 0 1
2017/18 1. f´el´ev
m´ atrixot 2×2-es egys´egm´ atrix nak h´ıvjuk, I2 -vel jel¨ olj¨ uk.
Ezzel a m´ atrixszal szorozva 1 0 a c
0 1
a c
b d
b d
1 0 0 1
=
1·a+0·c 1·b+0·d 0·a+1·c 0·b+1·d
=
a·1+b·0 a·0+b·1 c·1+d·0 c·0+d·1
=
a c
b d
,
=
a c
b d
.
Teh´ at b´ armely 2×2-es A m´ atrixszal szorozva AI2 = I2 A = A, vagyis I2 u ´gy viselkedik a 2×2-es m´ atrixok szorz´ asakor, mint 1 a val´ os sz´ amok szorz´ as´ an´ al. ´ . Azt az n × n-es m´ Defin´ıcio atrixot, amelyiknek a f˝ oa ´tl´ oj´ aban 1-esek a ´llnak, a t¨ obbi elem pedig 0, n × n-es egys´egm´ atrix nak nevezz¨ uk, In -nel jel¨ olj¨ uk. ! 1. 0 .. Az In = n×n-es egys´egm´ atrix ´es tetsz˝ oleges n×n-es A m´ atrix szorzata mindk´et sorrendben A-t 0 1 adja: In A = AIn = A. Azonos m´eret˝ u n´egyzetes m´ atrixokkal sz´ amolva az egys´egm´ atrix index´et gyakran elhagyjuk, r¨ oviden I-vel jel¨ olj¨ uk. 5. Azonos m´eret˝ u diagon´ alm´ atrixok szorz´ as´ at egyszer˝ uen gon´ alm´ atrix, a f˝ oa ´tl´ oj´ anak elemeit az eredeti k´et m´ atrix a11 b11 . ´ ´ıta ´s. Az A = .. All ´es B = . . . ann a11 b11 .. m´egpedig AB = BA = .
ann bnn
elv´egezhetj¨ uk. A szorzat is ugyanolyan m´eret˝ u diaazonos helyen a ´ll´ o elemeinek szorzatak´ent kapjuk.
bnn
alm´ atrixok AB ´es BA szorzata megegyezik, diagon´
.
6. A m´ atrixm˝ uveletekre ´erv´enyes t¨ obb val´ os sz´ amokra ismert azonoss´ ag. ´ ´ıta ´s. Ha λ val´ All os sz´ am ´es A, B, C olyan m´ atrixok, melyekre a k¨ ovetkez˝ o azonoss´ agok egyik oldala ´ertelmezve van, akkor a m´ asik oldal is ´ertelmezve van, ´es az egyenl˝ os´eg fenn´ all: (AB)C = A(BC) (asszociativit´ as), (A + B)C = AC + BC ´es A(B + C) = AB + AC λ(A ± B) = λA ± λB, λ(AB) = (λA)B = A(λB).
I.5.
(disztributivit´ as mindk´et m´ odon),
M´ atrix ´ es vektor szorzata
1. M´ atrix ´es vektor szorzat´ at u ´gy kapjuk, hogy a vektort oszlopm´ atrixk´ent tekintve a k´et m´ atrixot szorozzuk: · · · · · · · · · · A · · v = Av . · · · · · · · · ´ . Az A n×n-es m´ Defin´ıcio atrix ´es az n dimenzi´ os v vektor szorzata az az n dimenzi´ os Av vektor, melynek koordin´ at´ ai (Av)1 = a11 v1 + a12 v2 + . . . + a1n vn .. . (Av)i = ai1 v1 + ai2 v2 + . . . + ain vn .. .
(Av)n = an1 v1 + an2 v2 + . . . + ann vn
.
2. Az egys´egm´ atrix a nev´ehez h´ıven viselkedik m´ atrix ´es vektor szorz´ asakor is: B´ armely n dimenzi´ os v vektorra In v = v. ´k. P´ elda
Biol´ ogia alapszak, Matematika 1
I.6.
(a) I2 v = v:
(b) I3 v = v:
1 0 0 1
2017/18 1. f´el´ev
v1 v2
=
1 · v1 + 0 · v 2 0 · v1 + 1 · v 2
=
v1 . v2
1 0 0 v1 1 · v1 + 0 · v 2 + 0 · v 3 v1 0 1 0 v2 = 0 · v1 + 1 · v2 + 0 · v3 = v2 . 0 0 1 v3 0 · v1 + 0 · v 2 + 1 · v 3 v3
Vektor ´ es m´ atrix a Wolframalph´ aban
Az u = (1, 2, 3) vektort az {1,2,3} alakban adhatjuk meg a Wolframalpha.com honlapon, a v = (0, −4, 12 ) vektort {0,-4,0.5} alakban, vagyis kapcsos z´ ar´ ojelek k¨ oz¨ ott vessz˝ ovel elv´ alasztva a koordin´ at´ akat. felsoroljuk 1 2 A m´ atrixokat a sorvektorai felsorol´ as´ aval adhatjuk meg, p´eld´ aul az m´ atrixot {{1,2},{3,4}} alakban, a 3 4 −1 0 −1 1 1 1 m´ atrixot pedig {{-1,0,-1},{1,1,1},{3,2,1}} m´ odon. 3 2 1 P´eld´ aul a 3.(a) h´ azi feladat megold´ as´ at ´ıgy ellen˝ orizhetik a Wolframalph´ aval: {{2,-1}{2,3}}*{{1,3}{2,1}}.
I.7.
H´ azi feladatok
1. (a) Legyen u = (2, −3, 0) ´es v = (−1, 2, 4) eset´en adja meg az u + v, u − v ´es 3u vektorokat! (b) Mekkora az u ´es a v vektor hossza?
(c) Mekkora az u ´es a v vektor skal´ aris szorzata? Megold´ as: (a) u + v = (1, −1, 4), u − v = (3, −5, −4), 3u = (6, −9, 0). p p √ √ (b) |u| = 22 + (−3)2 + 02 = 13, |v| = (−1)2 + 22 + 42 = 21.
(c) uv = 2 · (−1) + (−3) · 2 + 0 · 4 = −8. 3 −2 −1 1 2 = ? 2. 0 −3 4 5 Megold´ as:
A Sarrus-szab´ aly szerint det = 3 · 1 · 5 + (−2) · 2 · (−3) + (−1) · 0 · 4 − (−1) · 1 · (−3) − 3 · 2 · 4 − (−2) · 0 · 5 = 0.
Az els˝ o oszlop szerint kifejtve is 3 −2 −1 0 = 3 · 1 2 − 0 · −2 −1 + (−3) · −2 −1 = 3 · (−3) − 0 · (−6) + (−3) · (−3) = 0. 1 2 4 5 4 5 1 2 −3 4 5
1 3 4 −1 2 =? (b) =? 2 1 −5 3 −3 0 5 11 Megold´ as: (a) , (b) . 8 9 −19
3. (a)
2 −1 2 3
