VEKTORSZÁMÍTÁS Vektorok és vektorműveletek Fizikai mennyiségek: • skalár • vektor • polárvektor • axiálvektor: valamilyen szimmetria nem teljesül rájuk (testtükrözés, töltéstükrözés, időtükrözés) (de a velük foglalkozó fizikai törvényekre igen (gondolták századunkig)) Műveletek vektorokkal: • szorzás skalárral: • λa = b
• összeadás: • a+b = c • a vektorok lineáris teret alkotnak a valós számok teste fölött • skalárszorzat: • ab = c = a b cos α • vektoriális szorzat: • a×b = c •
c = a b sin α
• c ⊥ S ab
• a , b , c jobbrendszert alkot • vegyesszorzat: • ( a × b ) c = ( a, b, c ) = d Műveleti tulajdonságok vektorokra: művelet kommutativitás
asszociativitás
szorzás skalárral összeadás skalárszorzat vektoriális szorzat vegyes szorzat
teljesül teljesül nem teljesül nem teljesül értelmetlen
teljesül teljesül teljesül antikommutatív ciklikus permutációkra • geometriai összefüggések: • merőlegesség: • a ⊥ b ⇔ ab = 0 • párhuzamosság:
disztributivitás az összeadásra nézve teljesül értelmetlen teljesül teljesül teljesül
• a || b ⇔ a × b = 0 • koplanalitás: • c ∈ S ab ⇔ ( a, b, c ) = 0 • paralelogramma területe: • T p = a×b • paralelopipedon térfogata: • V pp = ( a, b, c ) • skalárszorzat disztributivitásának bizonyítása: xy • Def.: x || = = x cos α y • Ekkor bizonyítandó: c
( a +b ) = c ( a + b ) ||
||
||
• Ha c = 0 , akkor igaz. • Ha c ≠ 0 , akkor bizonyítandó: ( a + b ) = a|| + b|| ||
S1
S2 b
a
a+b
c a||
b|| (a+b)||
• • Q. E. D. • vektoriális szorzat disztributivitásának bizonyítása: • tétel: ( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c ) • legyen e tetszőleges: •
(
)
e ( a + b ) × c = ( e, a + b, c ) = ( a + b, c, e ) = ( a + b )( c × e ) = a ( c × e ) + b ( c × e ) =
• Q. E. D. Alkalmazások: • cosinustétel • vektorok fölbontása komponensekre (Cramer-szabály): • F = α a + β b + χ c (lineális kombináció) • •
(
= ( a, c, e ) + ( b, c, e ) = ( e, a, c ) + ( e, b, c ) = e ( a × c ) + e ( b × c ) = e ( a × c ) + ( b × c )
( a, b, c ) ≠ 0 ( F , b, c ) α= ( a , b, c )
• többi együttható hasonlóképpen
)
Vektorok reprezentációja derékszögű koordinátarendszerben Vektorreprezentáció, bázis:
(
)
• bármely vektor felírható r = ∑ ri f ( i ) alakban, ha f (1) , f ( 2) , f ( 3) ≠ 0 i
• bázis: f ( i ) -k • háromdimenziós vektorokat veszünk, tehát i = 1, 2,3 • adott bázis és adott r esetén ri -k és r bijektívek
• vektorreprezentáció: r = ( r1 , r2 , r3 ) (adott f ( i ) bázison) Vektorreprezentációk Descartes-féle bázisban (derékszögű koordinátarendszer): • bázisvektorok: e( i ) -k •
( e ( ) , e ( ) , e( ) ) = 1 1
2
3
• e( i ) e( k ) = δ ik 1 → i = k • δ ik = (Kronecker-delta) 0 → i ≠ k • a ≡ ∑ ai e( i ) i
• ak ≡ ae( k )
Műveletek vektorreprezentációkkal: Szorzás skalárral: • b = λ a : bk = λ ak Összeadás: • a + b = c : ak + bk = ck Skaláris szorzás: • ab = ∑ ai bi i
Vektoriális szorzás: • a×b = c
(
• ck = ∑ ai b j e(i ) , e( j ) , e( k ) ij
•
(e
(i )
( j)
,e ,e
(k )
)=ε
• ck = ∑ ε ijk ai b j ij
Vegyesszorzat:
ijk
)
0→i = j∨i = k ∨ j = k = 1 → i ≠ j ≠ k ∧ jobbrendszer (Levi-Civita-szimbólum) −1 → i ≠ j ≠ k ∧ balrendszer
•
a1
a2
a3
c1
b2 c2
b3 (determináns) c3
( a, b, c ) = ∑ ε ijk aib j ck = b1 ijk
A kettős vektorszorzat kifejtési tétele • • •
∑ ε ε = 2δ ∑ε ε = δ δ −δ δ ( a×( b×c ) ) = ∑ ε a ( b×c ) = ∑ ε ijk ijl
kl
ijk mnk
im
jn
i
in
jm
ijk
j
k
jk
ε
ijk kmn
jkmn
a j bm cn = ∑ δ imδ jn a j bm cn − jmn
−∑ δ inδ jm a j bm cn = ∑ a j bi c j − ∑ a j b j ci = bi ( ac ) − ci ( ab ) = ( ( ac ) b − ( ab ) c )i jmn
j
j
• a × ( b × c ) = ( ac ) b − ( ab ) c
• a × ( b × c ) = ( ac ) b − ( ab ) c
• ugyanígy: ( b × c ) × a = ( ab ) c − ( ac ) b
Reciprok vektorrendszerek (biortogonális vektorrendszer) Definíció ( a, b, c vektorrendszer reciproka A, B, C ): • v = ( a, b, c ) ≠ 0
1 (b × c ) v 1 • B = (c × a) v 1 • C = (a × b) v Egy általánosabb összefüggés: k l • e( ) E ( ) = δ kl • A=
Annak bizonyítása, hogy reciprok vektorrendszer reciproka az eredeti rendszer: 1 1 V = ( A, B, C ) = 3 ( b × c ) × ( c × a ) ( a × b ) = 3 c b ( c × a ) − b c ( c × a ) ( a × b ) = v v • 1 1 = 3 ( vc )( a × b ) = v v ′ 1 • A = v ( c × a ) × ( a × b ) = 1v a ( c, a, b ) − c ( a, a, b ) = a
(
(
((
)
) (
) (
)
′ ′ • hasonlóképpen B = b és C = c
A dimenzió fogalma • vektor: bármi, ami vektorteret alkot • lineárkombináció: r = ∑ α k a ( k ) k
• a
(k )
vektorok lineárisan függetlenek, ha
∑α k
k
a ( k ) = 0 ⇒ ∀k : α k = 0
))
• ha ez nem áll fönn az a ( k ) vektorok egyike kifejezhető a többi vektorból a hozzá tartozó α k ≠ 0 -val leosztva és átrendezve • dimenzió: az adott vektortéren a lineárisan független vektorok maximális száma • a szám n -esek n dimenziós vektorteret alkotnak • Fourier-sorbafejtés: végtelen dimenziós vektor komponensekre bontása
Lineáris operátorok operátor: vektorváltozós vektorfüggvény f ( a ) lineáris operátor, ha: f (α a + β b ) = α f ( a ) + β f ( b ) jelölés: Ar példák: • f ( r ) = ( ar ) b ( a , b adott) •
f (r ) = a × r
• nulloperátor: N r = 0 • identitásoperátor: Er = r (nyújtás: λ E ) • forgatás ( t forgásvektor körül ϕ = t szöggel), ortogonális operátor: O • tükrözés (síkra, egyenesre, pontra): T ( T (T r ) = Er ) • egyenesre tükrözés: T v = 2 ( vn ) n − v
• nem az origón átmenő egyenesre tükrözés ( a az egyenes egyik pontjába mutató vektor): T v = 2 ( vn ) n − v + 2a − 2 ( ae ) e (nem lineáris operátor)
• projekció, vetítés (síkra, egyenesre): P ( P ( Pr ) = Pr , E − P is projektor) • egyenesre vetítés: Pv = ( vn ) n
• két projektor összege is projektor • ortogonális projektorrendszer: P k P l = δ kl P k = δ kl P l
(
• pld.: reciprok vektorrendszereknél: P k v = vE ( • teljes projektorrendszer:
∑P k
k
k)
) e( ) k
=E
• a tükrözés és projekció kapcsolata: • T P = PT = P • egy projekció definiál egy tükrözést: P = • egy tükrözés definiál két projekciót: P = • itt: P + Q = I és P − Q = T Műveletek lineáris operátorokkal: egyenlőség: • A = B , ha ∀r : Ar = Br
szorzás skalárral: • λ A = B : Br = λ ( Ar )
(E +T ) (E +T ) , Q = (E −T )
1 2 1 2
1 2
összeadás: • A ± B = C : Cr = Ar + Br • kommutatív: A + B = B + A • asszociatív: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C = A + B + C szorzás: • AB = C : B ( Ar ) = Cr • C lineáris, mert: •
(
( (
)
C α r1 + β r 2 = B A α r1 + β r 2
) ) = B (α Ar
1
)
( )
(
= α Cr1 + β Cr 2
• nem kommutatív: AB ≠ B A ( PO ≠ OP ellenpéldával igazolható) • asszociatív: A ( BC ) = ( AB ) C = ABC •
( A ( BC )) r = A (( BC ) r ) = A ( B (Cr )) = ( AB ) (Cr ) = (( AB ) C ) r n
• PP = P , TT = E , AE = A = E A , AN = N = N A , A A = AA
n
• disztributív: A ( B + C ) = AB + AC • • •
( A ( B + C )) r = A (( B + C ) r ) = A ( Br + Cr ) = A ( Br ) + A ( Cr ) = ( AB ) r + + ( AC ) r = ( AB + AC ) r
( A + B )( A − B ) ≠ A − B , mert nem kommutatív ¬ ( AB = N → A = N ∨ B = N ) 2
2
• ellenpélda: P1 P 2 = N inverz: −1 −1 • Ab A = E = AA j • nem mindegyik operátornak van • 3 dimenzióban, ha egy operátornak van bal inverze, akkor van jobb is és ezek egyenlőek Vektorok diadikus szorzata: • ( a b ) r = a ( br ) • a b= A • nem kommutatív: a b ≠ b a
(
• Pr = e
P
e
P
)r Operátorok reprezentációja
• Aa = b reprezentációja Aa = b • a = ∑ ai e( i ) i
(
• b = Aa = A∑ ai e( i ) = ∑ ai Ae( ) i
i
i
)
)
+ β Ar 2 = α B Ar1 + β B Ar 2 =
• bk = be( ) = ∑ ai k
i
• ahol: Aki = e(
k)
(( Ae ) e ) = ∑ A a
∑A
ik
i .k
( e( ) i
i
e(
ki i
i
i
• A = ∑ Aik e( ) e( i .k
(k )
( Ae( ) )
A11 • ekkor: A = A21 A 31
(
(i )
k)
A12 A22 A32 k)
A13 A23 3*3-as mátrix A33
) , mert
) a = ∑ A ( e( ) a ) e( ) = ∑ ∑ A a e( ) = ∑ b e( ) = b k
i
i
ik
ik
i .k
i
i
k
k
i
i
A11 A12 A13 a1 b1 • mátrix szorzása vektorral: A21 A22 A23 a2 = b2 A 31 A32 A33 a3 b3 konkrét operátorokat reprezentáló mátrixok: 1 0 0 i k • E = 0 1 0 , Eik = e( ) e( ) = δ ik 0 0 1 a1b1 a1b2 a1b2 • a b = a2b1 a2b2 a2b3 a b a b a b 3 2 3 3 31 0 • ha Ar = a × r , akkor A = a3 −a 2 0 0 0 • N = 0 0 0 0 0 0
−a3
0 a1
a2 −a1 0
• egyenesre vetítés: P = n n • egyenesre tükrözés: T = 2n n − E • tengelyekre vetítés reciprok vektorrendszerekkel (ferdeszögű k k koordinátarendszereknél): P = E ( ) e( ) cos ϕ − sin ϕ • 2 dimenziós forgatás: F (ϕ ) = sin ϕ cos ϕ
• 3 dimenziós forgatás: Fkl = δ kl cos ϕ + nk nl (1 − cos ϕ ) + sin ϕ ∑ ε kml nm m
Műveletek mátrixokkal: összeadás: • ha A ± B = C , akkor Cik = Aik ± Bik skalárral szorzás:
(
• ha λ A = B , akkor Bik = e( ) ( λ A ) e( i
k)
) = λA
ik
szorzás 3*3-as mátrixok esetében: • nem kommutatív • ha AB = C , akkor
( (
)) ( (
))
i j j k i j j k Cik = e( ) A∑ e( ) e( ) Be( ) = ∑ e( ) Ae( ) e( ) Be( ) = ∑ Aij Bik j j j szorzás n*m-es mátrixok esetében ( n = m : négyzetes mátrix, különben téglalap mátrix): • An×m B m×k = C n×k
(
)
• Ab = c : A3×3 B 3×1 = C 3×1 • AB = C : A3×3 B 3×3 = C 3×3 • ab = c : A1×3 B 3×1 = C1×1 • a b = C : A3×1 B1×3 = C 3×3
Determináns 3*3-as mátrixok esetében: a1 a2 a3 • ha A = b1 b2 b3 , akkor c c c 2 3 1 a1
a2
a3
a1
b1
det A = A = b1 c1
b2 c2
b3 = a2 c3 a3
b2 b3
c1
(
c2 = ( a, b, c ) = Ae( ) , Ae( ) , Ae( c3 1
2
3)
)
• det A = A = A : előjeles térfogatnövelési faktor • det ( AB ) = det A det B = det B det A = det ( B A ) • konkrét operátorok determinánsai: • det E = 1 • det P = 0 ∨ 1 • det T = 1 ∨ −1 • det O = 1 −1
−1
• det Ab det A = det A det A j = 1 • ha det A = 0 nincs inverze A -nak n*n-es mátrixok esetében: A11 A12 A1n A A22 A2 n • det A = 21 =
∑
A1i A2 j … Anpε ij… p
i , j ,…, p
An1
• ε ij… p
An 2
Ann
1 ha páros számú permutációval kapható vissza az eredeti sorrend = −1 ha páratlan számú permutációval kapható vissza az eredeti sorrend 0 ha az indexek nem mind különbözõk
a determináns tulajdonságai: A11 A12 A1n A11
A12
A1n
λ Ain
• λ Ai1
Ai 2
Ain = λ Ai1 λ Ai 2
An1
An 2
Ann
An1
An 2
Ann
• det ( λ A ) = λ n det A
A11
A1i
A1 j
A1n
A1 j
A1i
A1n
An1
Anj
Ani
Ann
=−
•
An1
Ani
A11
A1n
A11
A1n
Ai1
Ain
A j1
Ajn
•
Anj
Ann
=− A j1
A jn
Ai1
Ain
An1
Ann
An1
Ann
A11
•
A11
A1n
Ai1 + Bi1
Ain + Bin = Ai1
An1 A11
A11
Ann
An1
= Aj1 + λ Ai1
Ain + Bi1
Bin
Ann
Ann
An1
A1n Ajn + λ Ain
Ajn An1
An1
A1n
Ain
• A j1
A11
A1n A11
Ai1
A1n
Ann
a determináns kiszámítása:
Ann
A11 A21
A12 A22
A1n A2 n
An1
An 2
Ann
′ • = A11 A22
= A11
1 0
A12′ 1
A1′n A2′′n
0
An′ 2
′ Ann
′( n −1) ′ A33 ′′′ … Ann = A11 A22
1 A21
A12′ A22
A1′n A2 n
An1
An 2
Ann
′ = A11 A22
= A11
1 0
A12′ ′ A22
A1′n A2′ n
0
An′ 2
′ Ann
1 0
A12′ 1
A1′n A2′′n
0
0
′′ Ann
1 0
A12′ 1
A1′n A2′′n
0
0
1
=
=
′ A33 ′′′ … Ann ′( n −1) = A11 A22
• ha egyik főátlóban lévő elem 0, akkor oszlopcsere, ha egy sor 0 lesz, akkor másik sor hozzáadása, majd sorcsere
nevezetes determinánsok: a b b b a b ( n −1) • Dn ( a, b ) = = (a − b) ( a + ( n − 1) b ) b b
a
• Van der Mande determináns: Vn ( x1 ,… , xn ) =
1 x12
x1n −1
1 x22
x2n −1
2 n
n −1 n
k >l
1 x
• Wronsky-féle determináns: f1 ( x ) f1′ ( x ) Wn ( f1 ( x ) ,… , f 2 ( x ) ) = f1
( n−1)′
( x)
f2 ( x ) f′ x 2
f2
n
( x)
0 0 0 0 0 • sávmátrix: 0 0 0 0 0 • kontinuális mátrix: 3 szélességű sávmátrix a b 0 c a b 0 c a • homogén kontinuális mátrix: 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x
fn ( x ) f′ x
( )
( n−1)′
= ∏ ( xk − xl )
fn
( )
( n−1)′
( x)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 a b 0 c a b 0 c a
a b 0 • szimmetrikus homogén kontinuális mátrix: 0 0 0 2− x −1 • átalakítva: Csevisev polinom: An ( x ) = 0
b 0 a b b a
0 0 0 0 0 0 0 0 0 a b 0 b a b 0 b a
0 0 0 0 0 0 −1 0 2 − x −1 −1 2 − x
• ha x = 4sin 2
α
2 transzponált mátrix: A11 A21 A A22 • A = 12 A1n A2 n
kπ , ahol k ∈ Z n −1
:α=
An1 An 2 Ann
• A= A • ha A + B = C , akkor A + B = C
• ha λ A = B , akkor λ A = B
( )
• ha AB = C , akkor B A = C mert ( AB )ik = ∑ Aij B jk = ∑ Aji Bkj = BA j
j
ki
• szimmetrikus mátrix: A = A • antiszimmetrikus mátrix: A = − A • minden mátrix fölbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus mátrix C +C C −C + összegére: C = 2 2 • det A = det A , mert: • det A = ∑ ε ij…l A1i A2 j … Anl = ∑ ε ij…l A1I A2 J … AnL = ij…l
ij…l
∑ε
IJ … L
A1I A2 J … AnL = det A
IJ … L
• azért mert ε ij…l = ε IJ …L , mivel az oda- és visszarendezés paritása szükségképpen ugyanannyi determinánsok kifejtési tétele: A1( k −1) A11 A A(l −1)( k −1) ( l .k ) ( l −1)1 • legyen: A = A A( l +1)( k −1) (l +1)1 A An( k −1) n1 • det A = ∑ Aik A( i ,k ) ( −1)
i+k
k
= ∑ Aik A(
A1( k +1) A( l −1)( k +1) A( l +1)( k +1) An( k +1) i ,k )
( −1)
A1n A( l −1)n A( l +1)n Ann
i+k
i
mátrixok szorzatának determinánsa: A11 A1n 0 0 • D=
An1 −1
Ann 0
0 B11
0 A = det B1n −E
0
−1
Bn1
Bnn
N = det A det B B
A AB n ( n +1) • D = det det ( AB ) = det ( AB ) = ( −1) −E N • tehát det A det B = det ( AB ) Mátrixok invertálása: A(1,1) 1,2 • legyen adj A = − A( ) mátrix transzponáltja) •
( adj A)ik = ( −1)
i+k
A(
− A( A(
2,2 )
k ,i )
• adj AA = A adj A = det AE A11 Ai1 • legyen A′ = Ai1 A n1 •
A1n Ain (j-edik sorba beírom az i-edik sort) Ain Ann
A1k Aik Aik Ank
( A adj A)ii = ∑ Aik ( adj A)ki = ∑ Aik ( −1)
i+k
A(
i ,k )
= det A
( A adj A)ij = ∑ Aik ( adj A) j = ∑ Aik ( −1)
j+k
A(
j ,k )
= det A′ = 0 ( i ≠ j )
k
•
(előjeles aldeterminánsokból alkotott
2,1)
k
k
k
• másik oldalra hasonlóan adj A −1 −1 −1 =A • Ab = A j = det A −1
−1
• ha det A = 0 , akkor mivel A A j = Ab A = det E = 1 a mátrixnak nincs inverze −1
• csk ilyen inverz van, mert AX = E ⇒ X = A és X A = E ⇒ X = A Négyzetes hipermátrixok: A B • alakúak, ahol ezek n*n-es mátrixok C D A B E F AE + BG AF + BH • = C D G H C E + DG C F + DH A B A N E • = C D C E N
−1
A B −1
D−CA B
−1
−1
= A D − C A B = AD − AC A B
• fölcserélhető blokkokból álló hipermátrixra:
A B = AD − C B C D
−1
Lineáris egyenletrendszerek, Gaussalgoritmus A Gauss-algoritmus: a11 x1 + … a1n xn = b1 • lineáris egyenletrendszer: am1 x1 + … amn xn = bm a11 • felfogható úgy hogy: a m1
a12 am 2
x a1n 1 b1 x2 = amn bm xn
• tehát: Ax = b ′ • legyen A = ( A b ) ′ • A -vel végrehajtható a megoldásokat nem befolyásoló műveletek: • sor szorozható egy 0-tól különböző számmal • 2 sor felcserélhető • bármely sor számszorosa hozzáadható egy másik sorhoz • két oszlop felcserélhető, de akkor az adott változók is cserélődnek • ezeknek a segítségével trapézmátrix alakra tudjuk hozni, ami három fajta lehet: 1 b1′ ′ 0 1 b2 1. háromszögmátrix: 1 bm′ 0 0 1 b1′ 0 1 b2′ 2. 0 0 1 bk ′ 0 bk +1′ 0 0 ′ 0 0 0 b m ′ ′ • ha b = b = … = b ′ = 0 hamis, akkor ellentmondásra jutottunk k +1
k +2
m
• ha igaz, akkor háromszögmátrixot kapunk
b1′ ′ 1 b2 0 1 bk ′ 0 0 bk +1′ ′ 0 0 bm • ha bk +1′ = bk + 2′ = … = bn′ = 0 hamis, akkor ellentmondásra jutottunk • n − k darab szabad paraméter lesz 1 b1′ 0 1 b2′ • átalakítható a következőképpen: 1 bk ′ 0 0 1 0 0 b1″ ″ 0 1 0 b2 • ezt egységmátrixá alakítjuk: ″ 1 bk 0 0 Mátrixok rangja ( r ( A ) = r ): 1 0 3. 0 0 0
• a fenti módon trapézmátrixá átalakított mátrix sorainak száma • szingularitást mér • r ≤ min ( n, m ) • egy mátrix rangja a legnagyobb nem 0 aldetermináns mérete • nem szinguláris (invertálható) mátrixoknál: r = min ( n, m ) • példák: • r(N ) = 0 • r (a b) = 1 • háromdimenziós tér operátorait reprezentáló mátrixoknál: • A térbe képez: r ( A ) = 3 • A síkba képez: r ( A ) = 2 • A egyenesbe képez: r ( A ) = 1 • A pontba képez: r ( A ) = 0 • operátorokat jellemző mátrixoknál az számít, hogy hány dimenzióba képeznek • r ( A) − r ( B ) ≤ r ( A + B ) ≤ r ( A) + r ( B ) • r ( AB ) ≤ min ( r ( A ) , r ( B ) )
Mátrixok invertálása a Gauss-algoritmus segítségével: • Ax = b
• legyen ek( n ) = δ nk • b = ∑ bk e(
k)
k
• Ag
(n)
= e(
n)
• x = ∑ bk g (
k)
k
• ez a Green-függvényes módszer vektorokkal • legyen: Clk = gl( k ) −1
• ekkor: A = C
Sajátérték-számítás Operátorok bilineáris alakja: • mátrixok szorzása vektorral balról: • yi = ( x A )i = ∑ x j Aij = ∑ Aij x j j
i
• y = x A = Ax • operátorok szorzata vektorral: • legyen A az az operátor, amit a A mátrix reprezentál • ekkor: x A = Ax • bilineáris alak (szendvicselés): • ∀a, b : a ( Ab ) = b Aa = b A a = ( a A ) b = b Aa = a Ab
( ) ( )
Operátorok sajátértékei és sajátvektorai: • alapprobléma: As = λ s • s -t A sajátvektorának nevezzük • λ -t A sajátértékének • S = 0 : mindig jó, triviális sajátvektor • ha s sajátvektora A -nak, akkor ∀α : α s is az (valójában sajátirányról van szó) • normált sajátvektor: s = 1
Mátrix sajátértéke: • reprezentálva a problémát: Av = λ v • ebből: Akl vl = λ vk •
( A11 − λ ) v1 + A12v2 + A13v3 = 0 egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk: A21v1 + ( A22 − λ ) v2 + A23v3 = 0 A31v1 + A32 v2 + ( A33 − λ ) v3 = 0
• v = 0 triviális megoldás • Akl vl − λδ kl vl = ( Akl − λδ kl ) vl = Bkl vl = 0 •
( A − λ E )v = Bv = 0
A11 − λ • B = A21 A31
A13 A22 − λ A23 A32 A33 − λ • akkor van nem triviális megoldása, ha a karakterisztikus polinom: f ( λ ) = det B = 0 • karakterisztikus egyenlet: f ( λ ) = 0 • ennek n darab komplex gyöke van, ezeket visszahelyettesítve Gauss-módszerrel megkapjuk a sajátvektorokat 2*2-es és 3*3-as mátrixok karakterisztikus egyenletei: • Sp A = Tr A = ∑ Akk A12
k
• 2*2: f ( λ ) = λ2 − λSp A + det A A11 − λ A12 = ( A11 − λ )( A22 − λ ) − A12 A21 = A22 − λ • biz.: A21
= λ2 − ( A11 − A22 )λ + A11 A22 − A12 A21 = λ2 − λ Sp A + det A
• 3*3: f ( λ ) = λ3 − λ2 Sp A + λ Sp( adj A) − det A A sajátértékekből rekonstruálható az eredeti mátrix. Ha egy lineáris operátort más bázisban reprezentálunk a sajátértékei ugyanazok lesznek. • a karakterisztikus egyenlet együtthatói invariáns mennyiségek ~ Valós szimmetrikus és komplex hermitikus mátrix (teljesül, hogy A∗ = A ) sajátértékei valósak: • As = λ s ~ • ebből: As ∗ = A∗ s ∗ = λ∗ s ∗ ~ • λ ss ∗ = s ∗ As = s As ∗ = λ∗ ss ∗
• tehát: (λ − λ∗ ) s = 0 , amiből λ valós vagy a triviális megoldást kapjuk ~ Ha A = A , és λk ≠ λl : s ( k ) s ( l ) = 0 : ~ • λk s ( k ) s ( l ) = s ( l ) As ( k ) = s ( k ) As ( l ) = s ( k ) As ( l ) = λl s ( k ) s ( l ) 2
• ebből: (λk − λl )s ( k ) s ( l ) = 0
• mivel λk ≠ λl : s ( k ) s ( l ) = 0 Baloldali sajátérték-probléma: • mátrixok szorzása balról vektorral: a l Alk = bk ~ • ez ekvivalens azzal, hogy: Akl a l = bk
~ ~ • ez alapján definiálható az operátorok szorzása balról vektorral: a A = Aa , ahol A ~ az az operátor, amit az A mátrix reprezentál • a baloldali sajátérték-probléma: v A = λ A , reprezentálva: v A = λ A • a baloldali sajátérték-probléma megegyezik a transzponált mátrix jobboldali sajátérték-problémájával • a sajátértékek mindkét problémánál ugyanazok • szimmetrikus (önadjungált, hermitikus) mátrixok jobb- és baloldali sajátvektorai egybeesnek A mátrixok fajtái:
~∗ 1. A = A + = A és a sajátértékek egyszeresek: • a normált sajátvektorok n dimenziós ortonormált bázist alkotnak • térjünk át erre a bázisra (főtengely-transzformáció, diagonalizálás): • Aik = s ( i ) As ( k ) = λk s ( i ) s ( k ) = λk δik λ1 0 0 • A = 0 λ2 0 0 0 λ3 • minden mátrix felbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus mátrix összegére • a szimmetrikus nyújtja a tengelyeket • az antiszimmetrikus vektorszoroz • a jobb- és baloldali sajátértékek egybeesnek ~∗ 2. A = A + = A de a sajátértékek többszörösek:
• ha s ( k ) és s ( l ) ( k ≠ l ) azonos sajátértékhez tartozó sajátvektorok, akkor
α s ( k ) + β s ( l ) is sajátvektor és ugyanahhoz a sajátértékhez tartozik, mint s ( k ) és s ( l )
(
)
(
• A α s ( k ) + β s ( l ) = α As k + β As ( l ) = λ α s ( k ) + β s ( l )
)
• n darab ugyanazon sajátértékhez tartozó sajátvektor n dimenziós saját-alteret alkot • egy sajátértékhez minimum egy 1 dimenziós saját altér tartozik • ekkor kiválaszthatok a saját altérből lineárisan független egységvektorokat, úgy, hogy a többi sajátvektorral ortonormált bázist alkossanak ~∗ 3. A ≠ A + = A és a sajátértékek egyszeresek: • ekkor nem ortonormált, esetleg komplex elemű bázist kapunk • a jobb és baloldali sajátértékek reciprok-vektorrendszert alkotnak: • legyen Au = λ u és v A = λ v • λk v ( l ) u ( k ) = v ( l ) Au ( k ) = λl v ( l ) u( k ) •
(λ
k
(
)
− λl ) v ( l ) u ( k ) = 0
• ha λk ≠ λl (ebben az esetben egyenértékű azzal, hogy k ≠ l ): v ( ) u ( ) = 0 l
k
k
k
• a sajátvektorok hosszát választhatom úgy, hogy: v u = 0 • ekkor: v ( ) u ( ) = δ kl • úgy kell őket normálni, hogy a fentiek teljesüljenek l
+
∗
k
4. A ≠ A = A és a sajátértékek többszörösek: • a mátrix egy tagjához hozzáadunk ε -t, majd elvégezzük az ε → 0 határátmenetet és megnézzük, hogy a sajátvektorok hova tartanak • ha egy vektorhoz több sajátvektor tart, akkor nem egyszerű struktúrájú mátrixokról beszélünk (ilyen szimmetrikus mátrixoknál az ortonormáltság miatt nem volt) • nem egyszerű struktúrájú mátrixoknál nincs annyi lineárisan független sajátvektor ahány dimenziós a tér, tehát ezek nem definiálnak bázist 0 1 • a nem egyszerű struktúrájú mátrixok nillpotens mátrixot ( K = ) 0 0 tartalmaznak
• egyébként a saját altérből kiválaszthatók úgy bal- és jobboldali sajátvektorok, hogy egy ferdeszögű bázis alakuljon ki a reciprok vektorrendszerével inverzmátrix sajátvektorai: 1 −1 • ha Cs = λ s , akkor C s = s
λ
Projektorfelbontás: • legyen Au = λ u és v A = λ v • P( ) = u ( k
k)
v ( ) projektorok k
(
• P( ) P( ) = u ( k
l
k)
v(
k)
) (u( )
) (
v( ) = u ( ) v(
l
l
l
k)
) (u( )
)
(
v( ) = δ kl u (
k
l
k)
)
v( ) = δ kl P ( l
k)
(ortogonális projektorrendszert alkotnak) k • ∑ P( ) = E k
(
• legyen M = ∑ λk P ( ) = ∑ λk u ( k
k
k
(
• M u ( ) = ∑ λk u ( l
k
(
• M = ∑ λk v k
(k )
u
(
• M v ( ) = ∑ λk v ( l
k
k)
v(
(k )
k)
k)
v(
k)
)
) u( ) = ∑ λ u( )δ l
k
k
= λl u ( ) l
kl
k
)
u(
k)
k)
) v( ) = ∑ λ v( )δ l
= λl v( )
k
k
l
kl
k
• ebből: M = A 1 −1 • A = ∑ P( k ) k
λk
• ha egybeesnek a sajátértékek (egyszerű struktúrájú mátrixoknál) a sajátvektorok nem egyértelműek, de egy saját altérhez tartozó projektorok összege igen Mátrixfüggvények: k k l k • A = ∑ λk P ( ) és P ( ) P ( ) = δ kl P ( ) k
• A 2 = ∑ λk P ( k ) ∑ λl P ( l ) = ∑ λk2 P ( k ) k l k • teljes indukcióval: A = ∑ λkn P ( n
k)
(a sajátvektorok maradnak, a sajátértékek vele
k
hatványozódnak) 0 k k • n = 0 -ra: A = ∑ λk0 P ( ) = ∑ P ( ) = E k
k
• polinomokra: p ( x ) = α x N + β x N −1 + … + µ x +ν -ből p ( A) = α A + β A N
N −1
+ … + µ A +ν =
= α ∑ λkN P ( ) + β ∑ λkN −1 P ( ) + … + µ ∑ λk P ( ) +ν = k
k
k
(
k
= ∑ αλ + βλ k
N k
N −1 k
k
)
+ … + µλk + ν P
k
(k )
= ∑ p ( λk ) P (
k)
k
• speciális eset: p ( x ) = f ( x ) : f ( A ) = ∑ f ( λk ) P ( ) = 0 k
k
• Cayley-Hamilton tétel: Minden mátrix kielégíti a saját karakterisztikus egyenletét. (Nem egyszerű struktúrájú mátrixokra is igaz, de ezt nem bizonyítjuk.) ∞
• Hatványsorokra ( F ( x ) = ∑ cn x n ), ha F ( x ) λk -kban értelmezve van: n =0
∞
F ( A ) = ∑ cn A = ∑ F ( λk ) P ( k ) n =0
n
k
Tehetetlenségi nyomaték Ha egy merev test ω forgatónyomatékkal forog mekkora lesz a perdülete? • egy pontra: N ( ) = r ( ) × mi v ( ) i
i
i
(
)
(
(
) )
• a testre: N = ∑ r ( ) × mi v ( ) = ∑ mi r ( ) × ω × r ( ) = ∑ mi ω r ( ) − r ( ) ω r ( ) = Θω i
i
i
i
i
i
i
i 2
i
i
• Θ lineáris operátor, Θ szimmetrikus mátrix
(
• Θ = ∑ mi r ( ) E − r ( ) D r ( ) i
i 2
i
i
) (
)
ω 2 r (i ) 2 − ω r (i ) 2 = 1 ω Θω 2 ∑i i 0 Θ1 0 f • főtengelyrendszerben: Θ = 0 Θ 2 0 0 0 Θ3 • Θik : ha i = k , akkor fő tehetetlenségi nyomaték, ha nem, akkor deviációs nyomaték • E f = ∑ 12 mi v ( ) = i 2
1 2
n • n irányú tengelyre: Θ( ) = nΘn
• ha ω = ∑ ω k , akkor N = ∑ Θ k
k
(e( ) ) ω , de E ≠ Θ(e( ) ) ω 2 a kétszeres szorzatok ∑ f k k k
k
k
miatt
Forgatások, áttérés másik Descartesrendszerbe Forgatások:
′ • lineáris operátorok: r = ϑ r • ∀a, b : (ϑ a )(ϑ b ) = ab • ebből következik, hogy a vektorok hosszát megtartja • ∀a, b : aϑ (ϑ b ) = ab
( )
= E (a forgatás operátora ortogonális operátor) • ebből: ϑϑ −1 • a forgásmátrix ortogonális mátrix: ϑ = ϑ
• det ϑ =1 = ϑϑ = E • ϑϑ •
∑ϑ ϑ
= ∑ ϑilϑlk = δ ik
∑ϑ ϑ
= ∑ ϑilϑkl = δ ik
il
lk
l
•
li lk
l
l
l
• a három oszlopvektor és a három sorvektor ortonormált bázist alkot
1 • ϑ = f()
•
f(
3 f( )=
2)
g( ) 1
g(
2)
g(
3)
f ( ) f ( ) = δ kl és g ( ) g ( ) = δ kl k
l
k
l
Áttérés egyik ortonormált bázisról a másikra: i i • ri = re( ) és r = ∑ ri e( ) i
i′ j ′ • rj′ = re( ) és r = ∑ rj′e( )
j
i j ′ • ebből: rj′ = ∑ ri e( ) e( ) = ∑ ϑij ri i
′
• ahol: r = ϑ r és ϑij = e • • • •
′
( j)
i
e( ) i
(ϑϑ ) = ∑ϑ ϑ = ∑ϑ ϑ ik
ij
kj
k
ik
jk
k
= ∑ e(
′
k) 2
e( ) e( ) = e( ) e( ) = δ ij i
j
i
j
k
−1 =E ebből: ϑ = ϑ , vagyis ϑϑ = ϑϑ ϑ a két koordinátarendszer viszonyára jellemző ortogonális mátrix minden passzív szemléletű bázisforgatás megfelel egy ellenkező irányú aktív szemléletű vektorforgatásnak ′ −1 ′ r = ϑ r = ϑ r
• mátrixok reprezentálása különböző bázisokban: ′ ′ ′ • Ar = t és A r = t ′ • ebből: A ϑ r = ϑ t −1 ′ ′ • tehát: t = ϑ A ϑ r = ϑ A ϑ r ′ • ebből: A = ϑ A ϑ ′ • és: A = ϑ Aϑ • A′ = ϑ A ϑ = ϑ ϑ A mn
∑
mi
ij
jn
ij
∑
mi
nj
ij
ij
invariáns mennyiségek (karakterisztikus polinom együtthatói): • det A : ′ • det A = det ϑ det A det ϑ = det A • Sp A : • Sp ( AB ) = ∑ ( AB )ii = ∑ Aij B ji = ∑ ( B A ) jj = Sp ( B A ) i
i
j
′ A = Sp A • Sp A = Sp ϑ Aϑ = Sp ϑϑ
(
)
(
)
• Sp ( adj A ) főtengely transzformáció szimmetrikus mátrixokra ( A = A ): • térjünk át a mátrix normált sajátvektorai által meghatározott ortonormált bázisra
1 s( ) 2 ′ A s (1) s ( 2) s ( 3) = ϑ Aϑ −1 A = s( ) 3 s( ) • 1 s( ) λ1 0 2 λ1 s (1) λ2 s ( 2) λ3 s (3) = 0 λ2 = s( ) 0 0 3 s( ) nem szimmetrikus mátrixok esetében: j j b b = λ sb • As = λ s és s A = As
• úgy kell „normálni”, hogy: s
j ( l ) b( k )
s
0 0 λ3
= δ lk teljesüljön
• ekkor áttérve a sajátértékek által meghatározott ferdeszögű bázisra: b1 s () λ1 0 0 j1 b( 2 ) j ( 2) j ( 3) −1 ′ () A s • A = s s s = C AC = 0 λ2 0 b 3 s() 0 0 λ3 mátrix hatványozása: n
−1
(
• C A C = C AC
)
−1 n
λ1n n −1 • ebből: A = C 0 0
λ1n = 0 0 0
λ
n 2
0
0
λ2n 0
0 0 λ3n
0 0 C λ3n
Kvadratikus alakok kétváltozós kvadratikus alakok (síkbeli objektumok): • általánosan fölírva: α x 2 + β xy + χ y 2 + δ x + ε y + c = 0
β α x 2 = A és b = δ • legyen x = A = β χ y ε 2 • ekkor az egyenlet így módosul: x Ax + bx + c = 0 • azért választhattam A -t szimmetrikusnak, mert az antiszimetrikus mátrixokra x Ax = 0 , tehát csak A szimmetrikus része számít, ami a fenti mátrix s( ) ′ λ 0 = , ahol ϑ • végezzünk főtengely transzformációt A -n: ϑ Aϑ = A = 1 2 s( ) 0 λ2 (a sajátvektorokat úgy választom ki, hogy jobbrendszert alkossanak) Aϑϑ x + bϑϑ x+c =0 • módosítsuk az egyenletet: xϑϑ ′ ′ • legyen x = ϑ x , b = ϑ b és c′ = c (elforgattuk az x, y koordinátarendszert) 1
′ ′ ′ ′ ′ • x A x + b x + c′ = 0 • tegyük fel hogy λ1 , λ2 ≠ 0 • ha mindkét sajátérték 0 nem kvadratikus, hanem lineáris alak (ha δ = ε = 0 , akkor skaláris alak), ha csak az egyik 0 ( x és y szimmetriája miatt elég megvizsgálni az egyik esetet): • λ1 x′2 + δ ′x + ε ′ y′ + c′ = 0 2
•
•
•
•
δ′ δ ′2 =0 λ1 x′ − + ε ′ y′ + c′ − 2 4 2 c′ δ ′2 δ′ λ1 x′ − + ε ′ y′ + − = 0 (ha ε ′ = 0 egyel kevesebb dimenziós 2 ε ′ 4ε ′ probléma) δ′ c ′ δ ′2 legyen x′′ = x′ − és y′′ = y′ + − (eltoltuk a koordinátarendszert) 2 ε ′ 4ε ′ λ1 x′′2 + ε ′ y′′ = 0
λ1 2 x′′ ε′ • λ1 x′2 + λ2 y′2 + δ ′x + ε ′ y + c′ = 0 • y′′ =
2
2
δ′ ε ′ δ ′ 2 ε ′2 ′ ′ • λ1 x + + λ2 y + − 2 − 2 + c′ = 0 2 2 4λ1 4λ2 λ λ 1 2 δ′ ε′ δ ′ 2 ε ′2 és c′′ = 2 + 2 − c′ (eltoltuk az x, y , y′′ = y′ + • legyen x′′ = x′ + 2λ1 2λ2 4λ1 4λ2 koordinátarendszert) • λ1 x′′2 + λ2 y′′2 = c′′ • tegyük fel, hogy c′′ ≠ 0 : • ha c′′ = 0 : • λ1 x′′2 + λ2 y′′2 = 0 • ha λ1λ2 < 0 , akkor x′′ = y′′ = 0
• ha λ1λ2 > 0 , akkor λ1 x′′2 = λ2 y′′2 2
2
x′′ y′′ • ± ± =1 c′′ c′′ λ1 λ2 c′′ c′′ • legyen = p és = q:
λ1
2
λ2
2
x′′ y′′ • ± ± = 1 (kanonikus egyenlet) p q • alakzatok: • ++: ellipszis ( c′′ = 0 határesetben pont) • -+: hiperbola ( c′′ = 0 határesetben két egymást metsző egyenes)
• --: nincs ilyen • lineáris alak: egyenes • skaláris alak: pont • egyik sajátérték nulla: parabola háromváltozós kvadratikus alakok (térbeli objektumok) kanonikus egyenlete: 2
2
2
x′′ y′′ z ′′ • ± ± ± = 1 jön ki p q r • alakzatok: • +++: ellipszoid (ha két sajátérték egybeesik, akkor forgási ellipszoid) ( c′′ = 0 határesetben pont) • ++-: 2 köpenyű elliptikus hiperboloid ( c′′ = 0 határesetben kúp) (ha két sajátérték egybeesik, akkor forgási elliptikus hiperboloid vagy forgáskúp) • +--: 1 köpenyű elliptikus hiperboloid ( c′′ = 0 határesetben kúp) (ha két sajátérték egybeesik, akkor forgási elliptikus hiperboloid vagy forgáskúp) • ---: nincs ilyen • lineáris alak: egyenes • skaláris alak: pont • egyik sajátérték nulla: elliptikus paraboloid Minden differenciálható felület egy adott pontjának megfelelően kicsi környezetében másodrendű felülettel közelíthető. Ellipszisek és hiperbolák: • a fókuszpontok távolsága legyen c • az alakzat generálásánál használt állandó (ellipszisnél a fókuszpontoktól való távolság összege, hiperboláknál különbségük) legyen a c • ecccentritás: ε = a • ε < 1 : ellipszis • ε > 1 : hiperbola • a sík minden pontján átmegy egy ellipszis és egy ugyanazon fókuszpontokhoz tartozó hiperbola és ezek merőlegesek egymásra • ezek meghatározzák az adott pont távolságát a fókuszpontoktól Egy ponttól és egy egyenestől megadott arányú távolságra lévő pontok: • egyenestől való távolság legyen cx • ponttól való távolság legyen dx d • eccentritás: ε = c • ε < 1 : ellipszis • ε = 1 : parabola • ε > 1 : hiperbola
Megjegyzés: a sok szabadsági fokú rendszerek rezgéseinek leírását lásd a Hullámok és rezgések specinél
Vektorváltozós skalárfüggvények és skalárváltozós vektorfüggvények differenciálása Skalárváltozós vektorfüggvények ( r ( t ) ): • példa: térgörbe ívhossz szerinti paraméterezése ( r ( s ) ): • s : ívhossz • d r = r ( s + ds ) − r ( s ) • ebből: d r = ds (a görbe minden pontjában közelíthető egy egyenessel) r1 ( t ) r1 • Κ koordinátarendszerben: r → r = r2 , t marad, tehát: r ( t ) → r2 ( t ) r r (t ) 3 3 • például: helyvektor az idő függvényében Differenciálásuk: ∆r ′ • r ( t ) = lim , ahol ∆ r = r ( t + ∆t ) − r ( t ) ∆t →0 ∆t r1′ ′ • legyen r = v , ekkor v = r2′ , vagyis vi = ri′ r′ 3 •
′
′
( ab ) = ∑ ( aibi ) = ∑ ai bi′ + ai′bi = ab′ + ba′ i
i
′ ′ ′ ′ ′ • ugyanígy igazolható: ( a × b ) = a × b + a × b és ( λ ( t ) a ) = λ ′a + λ a is térgörbék tulajdonságai: • egységvektor deriváltja rá merőleges egységvektor: 2 • e = 1 -ből e = 1 ′ ′ • deriválva 2e e = 0 , tehát: e ⊥ e ′ • r ( s ) = e : érintő ′ ′ ″ ′ • e e = 0 és e = r ( s ) = e n ( n = 1 ) •
′ e : görbület
• n : normálvektor, normális egységvektor • e és n által kifeszített sík: simulósík • R=
1 : görbületi sugár ′ e
• R sugarú kör: simulókör • e × n = b ( b = 1 ): binormális egységvektor ′ ′ • b ( s ) -ből torzió képezhető (síkgörbére b ( s ) = 0 )
Vektorváltozós skalárfüggvény ( φ ( r ) ):
• például: hőmérséklet vagy potenciál a hely függvényében • φ ( r ) = φ ( x, y , z ) • szintfelületekkel szemléltethető a térben (amiken φ állandó), példák: • φ = ar : a -ra merőleges felületek • φ = r − r 0 : r 0 középpontú gömbök 2
2
iránymenti derivált: • ∆φ = φ ( r + ∆ r ) − φ ( r ) • legyen ∆ r = e∆s ( e = 1 ), ekkor ∆ r = ∆s ∆φ φ ( r + e∆s ) − φ ( r ) = ∆s ∆s φ ( r + e∆s ) − φ ( r ) • φ(′e ) ( r ) = lim ∆s →0 ∆s gradiens: • ∆φ = m ( r ) ∆ r + ε ∆ r , ahol lim ε = 0 : m ( r ) = grad φ ( r ) •
∆ r →0
• példa: φ = r -re ∆φ = ( r + ∆ r ) − r = 2r∆ r + ∆ r , tehát: grad φ = 2r 2
2
2
2
• dφ = d r grad φ = d r grad φ cos α • adott d r -re dφ akkor maximális, ha α = 0 , vagyis d r grad φ • ebből grad φ iránya φ leggyorsabb növekedési iránya dφ • ha α = 0 , akkor grad φ = , azaz grad φ nagységa a leggyorsabb növekedési dr irányban vett iránymenti derivált
dφ = e grad φ • a kétféle derivált kapcsolata: φ(′e ) ( r ) = dr • ha d r ⊥ grad φ , akkor dφ = 0 és φ(′n ) ( r ) = 0 , tehát a gradiens mindig merőleges a szintfelületre r • ha φ = f ( r ) , ahol r = r : grad φ = f ′ ( r ) r • skalármező gradiense vektormező, de nem minden vektormező írható fel skalármező gradienseként • deriválási szabályok: • grad ( λφ + δψ ) = λ grad φ + δ gradψ
•
grad (φψ ) = φ ( r + d r )ψ ( r + d r ) − φ ( r )ψ ( r ) =
(
)
(
)
= ψ ( r + d r ) φ ( r + d r ) − φ ( r ) + φ ( r ) ψ ( r + d r ) −ψ ( r ) = φ gradψ + ψ grad φ
a gradiens reprezentálása Descartes-rendszerben: • ∆φ = φ ( r + ∆ r ) − φ ( r ) = m ( r ) ∆ r + ε ( r , ∆ r ) ∆r , ahol ∆ r → 0 ⇒ ε → 0 • grad φ = m ( r ) •
∆φ = φ ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) − φ ( x, y, z ) = = m1∆x + m2 ∆y + m3∆z + ε1∆x + ε 2 ∆y + ε 3∆z
• grad φ = ( m1 , m2 , m3 ) • legyen ∆y = ∆z = 0 • ekkor: m1 + ε1 = • ebből: m1 = lim
φ ( x + ∆x, y, z ) − φ ( x, y, z )
∆x φ ( x + ∆x, y, z ) − φ ( x, y, z ) ∆x
∆x → 0
∆φ ∆x → 0 ∆x
• tehát: m1 = lim •
( grad φ )i =
y = áll. z = áll.
=
∂φ parciális derivált ∂x
∂φ = ∂ iφ ∂ xi
A vonalintegrál Vonalintegrál (vonal-menti integrál): • adott G görbét (végpontjait nevezzük el A-val (kezdőpont) és B-vel (végpont)) i egyenlő (nem kell feltétlenül, csak az szükséges, hogy az egyes pontokkal az integrál kiszámításakor egyenletesen tartsunk egymáshoz) részre osztunk (az i osztópontok koordinátáit r ( ) -vel jelölve) B i i i i +1 i • ∫ v ( r ) d ( r ) = ∫ v ( r ) d ( r ) = lim ∑ v r ( ) ∆ r ( ) , ahol ∆ r ( ) = r ( ) − r ( ) i →∞ i GA G • példa: W = ∫ F ( r ) d r
( )
G
• vonalintegrál zárt görbére: körintegrál • pld: U = v∫ Erd r G
• a görbe megadása G = r ( t ) módon: ∆r
∫ v ( r ) d r = lim ∑ v ( r ) ∆r = lim ∑ v ( r ) ∆t ∆t = ∆ r →0
G
∆ r →0
t1
′ ′ = lim ∑ v ( r ( t ) ) r ( t ) ∆t = ∫ v ( r ( t ) ) r ( t ) dt ∆t →0
Első gradiens-tétel:
t0
B
• ∀G : ∫ ( grad φ ) d r = φ ( B ) − φ ( A ) A G
• bizonyítás: ∫ grad φ d r = lim ∑ grad φ∆ r = ∑ ∆φ = φ ( B ) − φ ( A ) ∆ r →0
G
v∫ grad φ d r = 0 potenciálos vektormező: ∃φ : v ( r ) = grad φ konzervatív vektormező: v∫ v ( r ) d r = 0
• minden zárt görbére: • •
• Egy vektormező, akkor és csakis akkor potenciálos, ha konzervatív • bizonyítás ( v∫ v ( r ) d r = 0 ): B
B
A G
A G′
• ∀A, B : ∫ v ( r ) d r = ∫ v ( r ) d r r∗
• ∀r : ∫ v ( r ) d r = φ ( r ∗ ) ∗
r0
(
r ∗ +∆ r ∗
∗
∗
) ( ) = ∫ v ( r ) d r = v ( r ) ∆r
• φ r + ∆r − φ r
∗
∗
( )
• ebből: grad φ = v r
∗
r∗
∗
• ha φ ( r ) a potenciálos energia egy vektormezőben (erőtérben), akkor: F ( r ) = − grad φ ( r )
Young-tétel: • második parciális deriváltak: ∂φ ( x, y ) • legyen f ( x, y ) = , ekkor: ∂x ∂φ ( x, y ) • legyen g ( x, y ) = , ekkor: ∂y
∂ f ( x, y ) ∂ 2φ = ∂ y∂ x ∂y 2 ∂ g ( x, y ) ∂ φ = ∂ x∂ y ∂x
∂ 2φ ∂ 2φ = , ha ezek a deriváltak léteznek és folytonosak ∂ x∂ y ∂ y∂ x ∂φ ∂φ • ha V = grad φ : Vx = és Vy = ∂x ∂y ∂ Vx ∂ Vy • tehát: = ∂y ∂x
•
Határozott integrál kiszámítása közelítő képletekkel: • téglalapformula • trapézformula • parabolaformula • a függvény érintett szakaszát belefoglaljuk egy ismert területű síkidomba, aztán véletlenszerűen generálunk pontokat (számpárok formájában) a síkidomból és elegendően sok után megnézzük, hogy mennyi esik be a függvény alá, az arányik az összes számpárral kiadják az integrál arányát a síkidomhoz képest
A rotáció • ha V ( r ) = grad φ : ∂ 1V2 = ∂ 2V1 , ∂ 1V3 = ∂ 3V1 és ∂ 2V2 = ∂ 2V3
∂ 2V3 − ∂ 3V2 = 0 • átrendezve: ∂ 3V1 − ∂ 1V3 = 0 ∂ 1V2 − ∂ 2V1 = 0 W1 = ∂ 2V3 − ∂ 3V2 • legyen: W2 = ∂ 3V1 − ∂ 1V3 W3 = ∂ 1V2 − ∂ 2V1
• rot V = W ( r ) = (W1 , W2 , W3 ) (rotáció, vagy örvényerősség) •
( rot V )i = Wi = ∑ ε ijk ∂ jVk jk
• ha V ( r ) = grad φ : rot V = 0 (örvénymentesség) A nabla-vektor (nabla-operátor): ∂ ∂ ∂ , , • ∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 ) = ∂ x ∂ y ∂ z • rotV = ∇ × V • grad φ = ∇φ • A Young-tétel miatt: ∇ × ∇ = 0 • rotgrad φ = ∇ × ( ∇φ ) = ( ∇ × ∇ ) φ A rotáció szemléletes jelentése: • legyen V ( r ) = ω × r ahol ω adott ω2 x3 − ω3 x2 • V = ω3 x1 − ω1 x3 ω x −ω x 2 1 1 2 • ( rot V )1 = ∂ 2V3 − ∂ 3V2 = 2ω1
• hasonlóképpen: ( rot V )2 = 2ω2 és ( rot V )3 = 2ω3 • tehát: rot (ω × r ) = rotV = 2ω
• a rotáció olyan mintha a vízfelületen a sebességet tekintve a kiinduló vektormezőnek, az egyes pontokban a jégtáblák forgását vizsgálnánk példa a fizikai alkalmazásra: • áram által keltett mágneses tér, ahol j az áramsűrűség •
j ( r ) ~ rot B ( r )
egy érdekes vektormező (így viselkedik pld. a fürdőkádban a lefolyó víz):
−y x2 + y2 x • V (r ) = 2 x + y2 0 1 • V r = 0 és V = r
∫ Vd r = ∑ V
• origó középpontú körre:
∆r =
O
• általánosan:
∫ Vd r = 2π x , ahol
•
( rot V )1 = ( rot V )2 = 0
•
( rot V )3 =
1 R
∑ ∆ r = 2π
x -szer kerüljük meg az origót
( x2 + y 2 ) − 2 x2 + ( x2 + y 2 ) − 2 y 2 = 0 ∂ x ∂ −y + = 2 ∂ x x2 + y 2 ∂ y x2 + y 2 ( x2 + y2 )
• tehát rot V = 0
y • ok: V = grad arctg 2π erejéig határozatlan x • az örvénymentes vektormező potenciálos is konzervativitás és örvénymentesség: x + 0, 000000001 • legyen V = y z • rot V ≠ 0 , tehát ∃G : ∫ Vd r ≠ 0 és v ≠ grad φ • rot V ≈ 0 , tehát
∫ Vd r ≈ 0 (a majdnem örvénymentes mező majdnem konzervatív)
• egy ∆x és ∆y oldalú ( x0 , y0 ) koordinátájú kis téglalapra:
•
•
∫ Vd r ≈ V ∆x + V ∆y − V ∆x − V ∆y x
∫ Vd r ≈ −
y
x
y
Vx ( y0 + ∆y ) − Vx ( y0 ) ∆y
∆x ∆ y +
Vy ( x0 + ∆x ) − Vy ( x0 ) ∆x
∆x ∆y ≈
∂ V ∂ Vy ≈ − x + ∆x∆y = ( rot V )3 ∆A ∂y ∂x • tehát egy vektormező csakis akkor konzervatív ( ∫ Vd r = 0 ), ha örvénymentes
( rot V = 0 ) a rotáció definíciója másképpen: • legyen az előző ∆x és ∆y oldalú téglalaphoz tartozó irányított felületvektor ∆ A (az irányítás jobbcsavar szerint az integrál irányától függően) • legyen ∆ A = e ∆ A
• ekkor e rot V = lim
∆ A→ 0
1 A
∫ Vd r A
a nablás írásmód: • rot φ a = ∇ × φ a = ∇φ × a + φ ( ∇ × a ) = grad φ × a + φ rot a • rot ( a × b ) = ∇ × ( a × b ) = ( b∇ ) a + b ( ∇ a ) + a ( ∇b ) + ( a∇ ) b •
( b∇ ) a = ( b grad ) a
A divergencia A Young-tétel következményei: • v ( r ) pontosan akkor írható fel v = grad φ alakban, ha rot v = 0 • v ( r ) pontosan akkor írható fel v = rot w alakban, ha div v = 0 A divergencia definíciója:
v1 = ∂ 2 w3 − ∂ 3 w2 • legyen v = rot w , ekkor vi = ∑ ε ijk ∂ j wk , tehát v2 = ∂ 3 w1 − ∂ 1w3 ijk v3 = ∂ 1w2 − ∂ 2 w1 ∂ 1v1 = ∂ 1∂ 2 w3 − ∂ 1∂ 3 w2 • ebből: ∂ 2 v2 = ∂ 2∂ 3 w1 − ∂ 2∂ 1w3 , tehát ∑ ∂ i vi = 0 i ∂ 3v3 = ∂ 3∂ 1w2 − ∂ 3∂ 2 w1
• divergencia (széttartás, forráserősség): div v = ∑ ∂ i vi = ∇v (skalár) i
• pld.: div r = 3 (táguló rendszer) • fizikai példa: div E ( r ) = 0 egy vektormező szemléltetése erővonalakkal: • vektormező iránya: érintőirány • nagysága: egységnyi keresztmetszetű az irányra merőleges felületen áthaladó erővonalak száma • csak a divergenciamentes vektormezőt lehet erővonalakkal szemléltetni a divergencia szemléletes jelentése folyadékáramlásnál: • v ( r ) a sebességmező • kicsiny ∆V térfogatból az egységnyi idő alatt kiáramló folyadék térfogata: v ( z0 + ∆z ) − v ( z0 ) v ( z 0 + ∆z ) − v ( z 0 ) ∆z∆x∆y + ∆ z ∆ x∆ y + ∆z ∆z • v ( z0 + ∆z ) − v ( z0 ) ∂v ∂v ∂v + ∆z∆x∆y = ∆V x + y + z = ∆V div v ∆z ∂x ∂y ∂z • ugyanez igaz a mágneses fluxusra ( ∆V div B = 0 ) másfajta definíció: • egy kicsiny felületekkel határolt kis térfogatra: ∑ v∆ A ≈ ∆V div v r 0
( )
( )
1 ∑ v∆ A ∆V → 0 ∆V A kontinuitási (anyagmegmaradási) egyenlet (a többi megmaradási törvény is hasonló formájú): 1 ∆m • ρ ( r , t ) = lim ∑ ∆V ∆V →0 ∆V • ebből: div v r 0 = lim
• v ( r , t ) : áramlási sebesség
• m ( t ) = ρ ( r , t ) ∆V és m ( t + ∆t ) = ρ ( r , t + ∆t ) ∆V
ρ ( r , t + ∆t ) − ρ ( r , t )
• m ( t + ∆t ) − m ( t ) =
∆t
∆t ∆ V =
∂ρ ∆V ∆t ∂t
∂ρ • ∆V ∆t = m ( t + ∆t ) − m ( t ) = − mki = −∑ ρV ∆ F ∆t = − div ( ρ v ) ∆t ∆V ∂t ∂ρ • ebből: + div ( ρ v ) = 0 ∂t • ha ρ térben és időben állandó, akkor: div v = 0 (összenyomhatatlan folyadék) Fizikai alkalmazása (a Maxwell-egyenletek differenciális alakja): • negyedik Maxwell-egyenlet: • mágneses fluxus: Bd F •
∑ Bd F = 0
• div B∆V = 0
• ebből: div B = 0 • második Maxwell-egyenlet (Gauss-törvény): 1 • ∑ Ed F = Q
ε0
• div E∆V =
1
ε0
• div E ( r , t ) =
ρ∆ V 1
ε0
ρ ( r, t )
• bizonyítás: • gömb alakú ( R sugarú) homogén töltéseloszlású töltött test elektromos tere: Q 1 r ha r > R , ekkor div E = 0 • E (r ) = 4πε 0 r 2 r Q 1 Q 1 1 div r = ρ r ha r > R , ekkor div E = • E (r ) = 3 3 4πε 0 R 4πε 0 R ε0 1 • tehát: div E = ρ
ε0
• több gömbre a térerősség divergenciái összeadódnak, csakúgy, mint az áramsűrűségek és így igaz marad az egyenlet • folytonos töltéseloszlást fel tudok bontani pici gömbökre • harmadik Maxwell-egyenlet (Faraday-törvény): ∆φ • − = U = ∫ Ed r ∆t ∆B ∆F • ∑ E∆ r = − ∆t ∂B ∆F • rot E∆ F = − ∂t
• rot E ( r , t ) = −
∂ B ( r, t )
∂t • első Maxwell-egyenlet (Amper törvény kijavítva): • ∑ B∆ r = µ0 I = µ0 j∆ F • rot B∆ F = µ0 j∆ F • rot B = µ0 j (nem igaz mindig, Maxwell kijavítja) • olyan vektort kell választani, aminek divergenciája 0 = div j = − ∂∂t ( ε 0 div E ) µ0 • ez: ε 0 µ0
∂E ∂t
• tehát rot B ( r , t ) = µ0 j ( r , t ) + ε 0 µ0
∂ E ( r, t ) ∂t
Az indexes deriválás: Az indexes írásmód alapjai: ∂ ∂ x ∂1 ∂ • ∇= = ∂ ∂ y 2 ∂3 ∂ ∂z • grad φ ( r ) = ∇φ , ( grad φ ( r ) )i = ∂ iφ
• div v ( r ) = ∇v , div v ( r ) = ∂ k vk
• rot v ( r ) = ∇ × v , ( rot v ( r ) )i = ε ijk ∂ j vk
• divgrad φ = ∇ ( ∇φ ) = ( ∇ ) φ = ∆φ (Laplace operátor), divgrad φ = ∂ k ∂ kφ 2
• Descartes-féle koordinátarendszerben: ( ∆v )k = ∆vk = ∂ l ∂ l vk • rotgrad φ = ∇ × ∇φ = 0 , ( rotgrad φ )i = ε ijk ∂ j ∂ kφ = 0
• divrot v = ε klm∂ k ∂ l vm = 0
• graddiv v = rotrot v + ∆ v , ( graddiv v )k = ∂ k ∂ l vl • iránymenti derivált: ( a∇ ) φ = ak ∂ kφ ,
Alapösszefüggések: • ( r )k = xk •
r =r
• e=
r r
xk r • xk xk = r 2
• ek =
• ek ek = 1 • ∂ k xl = δ kl
( ( a∇ ) v )
l
= ak ∂ k vl
• ∂ k r = ek • ∂ k el =
δ kl − ek el
r A megoldás menete: • átírás indexes alakba • konstansok kihozása előre • deriválások elvégzése • a műveletek elvégzése • visszaírás vektoros alakba • ∫∫ rot vd F = lim ∑ rot vd F = lim ∑ v ( r ) ∆ r = ∆ F →0
∆ r →0
∫ v (r ) d r
Többszörös integrálok Többszörös integrálok bevezetése: egydimenziós: • eddig is ismert integrál b
•
∫ ρ ( x ) dx = lim ∑ ρ ( x ) ∆x ∆x →0
a
kétdimenziós (felületi integrál): • ∫∫ ρ ( x, y ) dF = lim ρ ( x, y ) ∆F = lim ρ ( x, y ) ∆x∆y ∆F →0
F
∆x →0 ∆y →0
vektormező felületi integrálja: •
∫∫ v ( r ) d F = F
( )
lim v r ( ) ∆ F ( ) i
∀i: ∆ F ( i ) →0
i
• értelmezhető görbült felületre is • síkfelületre: ∫∫ v ( r ) d F = n ∫∫ v ( r ) dF F
F
háromdimenziós (térfogati integrál): • ∫∫∫ ρ ( r ) dV = ∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dxdydz = lim ρ ( x, y, z ) ∆V = lim ρ ( x, y, z ) ∆x∆y∆z K
∆V →0
K
∆x →0 ∆y →0 ∆z →0
n-dimenziós: ∫ … ∫ ∫ ∫ f ( x1 , x2 ,… , xn ) dV ( n ) = ∫ … ∫ ∫ ∫ f ( x1 , x2 ,… , xn ) dx1dx2 … dxn = n n V( )
•
= lim
∀i: ∆xi → 0
n n V( )
∑ f ( x , x , … , x ) ∆x ∆ x … ∆ x 1
2
n
1
2
n
• alkalmazás (egy galaxisban a gravitációs potenciál): ρ ( x, y, z ) ∆x∆y∆z ρ ( x′, y′, z′ ) ∆x′∆y′∆z′ φ = 12 ∑ −γ = 2 2 2 ′ ′ ′ x − x + y − y + z − z ( ) ( ) ( ) =
1 2
∑ −γ
ρ ( x1 , x2 , x3 ) ∆x1∆x2 ∆x3 ρ ( x4 , x5 , x6 ) ∆x4 ∆x5 ∆x6
( x1 − x4 ) + ( x2 − x5 ) + ( x3 − x6 ) 2
2
2
= ∫∫∫ ∫∫∫ f ( x ) dV ( 6 )
• tört, negatív és komplex dimenziójú integrálokra is kiterjeszthetők, de ezeket nem tanuljuk
A többszörös integrálok fajtái: egydimenziós: • ∫ f ( s ) ds
• • • • • •
∫ φ ( r ( s ) ) ds ∫ v ( r ( s ) ) ds ∫φ (r ) d r ∫ v (r ) d r ∫ v (r )× d r ∫ v (r ) d r
• hossz-számítás: ∫ 1ds S
kétdimenziós: • ∫∫ φ ( r ) dA • • • • •
∫∫ v ( r ) dA ∫∫ φ ( r ) d F ∫∫ v ( r ) d F ∫∫ v ( r ) × d F ∫∫ v ( r ) d F
• felületszámítás:
∫∫ 1dF F
háromdimenziós: • ∫∫∫ φ ( r ) dV •
∫∫∫ v ( r ) dV
• térfogatszámítás:
∫∫∫ 1dV V
A nem görbült többszörös integrálok kiszámítása: Két dimenziós: téglalapba foglalás: • az integrációs felületen kívül a függvényt definiáljuk 0-nak • legyen: ∀x : a ≤ x ≤ b és ∀y : c ≤ y ≤ d M
N
∫∫ ρ ( x, y ) dF = ∫∫ ρ ( x, y ) dF = lim ∑ ρ ( x, y ) = lim ∑ ∆y ∑ ρ ( xi , yk ) ∆x = •
•
∆x → 0 ∆y → 0
T∗
T
∆x →0 ∆y →0 k =1
i =1
d b b = lim ∑ ∆y ∫ ρ ( x, yk ) dx = ∫ ∫ ρ ( x, y ) dx dy = ∫ dy ∫ dx ρ ( x, y ) ∆y →0 k =1 a ca c a M
b
d
d
b
b
d
c
a
a
c
∫ dy ∫ dxρ ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy ρ ( x, y )
magukkal a határokkal számolás:
•
y2 ( x )
ymax
∫∫ ρ ( x, y ) dF = ∫ T
dy
∫
y1 ( x )
ymin
dx ρ ( x, y ) =
x2 ( y )
xmax
∫
dx
∫
x1 ( y )
xmin
dy ρ ( x, y )
Háromdimenziós integrál (a módszer hasonló): • legyen: ∀x : a ≤ x ≤ b , ∀y : c ≤ y ≤ d és ∀z : e ≤ z ≤ f •
b
d
f
a
c
e
∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dV = ∫ dx ∫ dy ∫ dz ρ ( x, y, z )
Többdimenziós integrál: • ∫ … ∫ ∫ ∫ ρ ( x ) dV n
(n)
b
d
a
c
q
= ∫ dx1 ∫ dx 2 … ∫ dxn ρ ( x1 , x2 ,… , xn ) p
b
d
q
a
c
p
• n dimenziós gömb térfogata: ∫ dx1 ∫ dx 2 … ∫ dxn1 Más koordináta-rendszerek: • görbült integrálokat ki lehet számítani és a nem görbülteket egyszerűsíteni, úgy, hogy más koordináta-rendszerbe helyezem henger koordináta-rendszer: r cos ϕ • r ( r , ϕ , z ) = r sin ϕ z cos ϕ • d F = R sin ϕ dϕ dz 0 • dA = Rdϕ dz • dV = rdrdϕ dz síkbeli polárkoordináta-rendszer: • x = r cos ϕ , y = r sin ϕ y • r = x 2 + y 2 , ϕ = arctg x térbeli polárkoordináta-rendszer: r sin ϑ cos ϕ • r = r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϑ cos ϕ • d F = r sin ϑ sin ϑ sin ϕ dϑ dϕ cos ϑ 2 • dA = r sin ϑ dϑ dϕ 2
• dV = r 2 sin ϑ drdϑ dϕ r sin α cos ϕ z tg ϑ cos γ • spec. eset, kúp: r = r sin α sin ϕ = z tg α sin ϕ r cos α z síkbeli elliptikus koordináta-rendszer:
• két rögzített ponttól vett távolságok összegei és különbségei a koordináták ellipszoid: ar sin ϑ cos ϕ • r = br sin ϑ sin ϕ cr cos ϑ • dV = abcr 2 drdϑ dϕ elliptikus hiperboloid (egyköpenyű): ar ch ϑ cos ϕ • r = br ch ϑ sin ϕ cr sh ϑ elliptikus hiperboloid (kétköpenyű): ars h ϑ cos ϕ • r = br sh ϑ sin ϕ cr ch ϑ tórusz:
( a + r sin ϑ ) cos ϕ • r ( r , ϑ , ϕ ) = ( a + r sin ϑ ) sin ϕ r cos ϑ Felhasználásuk az integrálásnál: két dimenzióban:
∂r ∆v ∂v ∂r u ∆u • ∆ r ( ) = r ( u + ∆u , v ) − r ( u , v ) = ∂u ∂r ∂r u v • ∆F = ∆ r ( ) × ∆ r ( ) = × ∆u∆v ∂u ∂v • ∆ r ( ) = r ( u , v + ∆v ) − r ( u , v ) = v
•
∂r ∂r
∫∫ φ ( r ) dF = lim ∑ φ ( r ( u, v ) ) ∂ u × ∂ v ∆u∆v = ∫∫ f ( u, v ) dudv ∆u →0 ∆v →0
• ahol: f ( u, v ) = ( r ( u , v ) ) • ∆ F = ∆r ( ) × ∆r ( u
∂r ∂r × ∂u ∂v
v)
• zárt felületnél a felületvektort egyezményesen kifele irányítjuk három dimenzióban: ∂r ∂r ∂r u v w • ∆r ( ) = ∆u , ∆ r ( ) = ∆v és ∆ r ( ) = ∆w ∂u ∂v ∂w ∂r ∂r ∂r • ∆V = , , ∆u ∆ v ∆ w = J ∆ u ∆ v ∆ w ∂u ∂v ∂ w ∂r ∂r ∂r • Jacoby-determináns: J = , , ∂u ∂v ∂w
A feladatmegoldás általános menete: 0. dimenzió számának megállapítása 1. paraméterezés 2. határok megadása 3. szimbólumok feloldása • d r = r ( t ) dt
• ds = r ( t ) dt ∂ r ( u, v ) ∂ r ( u, v ) • dF = × dudv ∂v ∂u ∂ r ( u, v ) ∂ r ( u, v ) • dA = × dudv ∂u ∂v ∂ r ( u , v, w ) ∂ r ( u , v, w ) ∂ r ( u , v, w ) • dV = , , dudvdw ∂u ∂v ∂w 4. deriválás 5. vektorműveletek 6. behelyettesítés az integrandusba 7. vektorműveletek 8. integrálás Gulden tételei (forgástestekre): I. A = K 2π RK ( K a kerülete a megforgatott síkidomnak, RK a kerületi súlypontjának a távolsága a forgástengelytől) II. V = T 2π RT (T a területe a megforgatott síkidomnak, RT a területi súlypontjának a távolsága a forgástengelytől)
A vektorszámítás integráltételei: Gauss-Osztrogackij tétel: • w ∫∫ vd F = ∫∫∫ ( div v ) dV
• csak akkor igaz, ha a divergencia-mező a térfogat belsejében nem szinguláris
•
∫∫∫ ( div v ) dV = V
lim (i)
∀i: ∆V
→0
∑ ( div v ) r (i ) ∆V (i ) = lim
∀∆F →0
(
)
6
∑∑ v∆ F ( ) = w ∫∫ vd F i
i
1
• ∀c : c w ∫∫ φ ( r ) d F = w ∫∫ cφ ( r ) d F = ∫∫∫ div cφ ( r ) dV = c ∫∫∫ grad φ dV F
• ebből:
F
w ∫∫ φ ( r ) d F = ∫∫∫ grad φ dV F
• • • • • •
V
(II. gradiens-tétel)
V
∂φ
w ∫∫ φ ( r ) dF = ∫∫∫ ∂ x i
F
V
V
dV
i
∂ vi dV w ∫∫F vi dFi = ∫∫∫ ∂ xi V legyen φ = σ ki ( σ másodrendű tenzor) ∂σ ki dV w ∫∫F (σ d F )k = ∫∫∫ ∂ xi V ∂σ ebből: ( div σ )k = ki ∂ xi
w ∫∫ σ d F = ∫∫∫ ( div σ ) dV
Stokes-tétel: • v∫ v ( r ) d r = ∫∫ rot vd F
• csak akkor igaz, ha a rotáció-mező a felszínen nem szinguláris
()
• következmény: rot v = 0 ⇔ ∫ v r d r = 0 (az örvénymentes vektormező konzervatív is és fordítva)
