F.I. FÜGGELÉK:
MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ
F.I.1. Vektorok és vektorműveletek Skaláris mennyiség: olyan geometriai, vagy fizikai mennyiség, amelyet nagyság, (előjel) és mértékegység jellemez. Vektor mennyiség: irányított geometriai, vagy fizikai mennyiség, amelyet nagyság (előjel), irány és mértékegység jellemez. a) Vektor megadása:
y
Egységvektorok: ex , ey .
ea
ay
Az egységvektorok hossza egységnyi: | ex |=| ey |= 1 .
a
ey
α O
x
Egy tetszőleges vektor megadása egységvektorokkal: a = ax ex + a y e y .
ax
ex
Ha ismert az a vektor hossza és az x tengellyel bezárt szöge, akkor az előző összefüggésből: a =| a | cos α ex + | a | sin α ey =| a | (cos α ex + sin α ey ) =| a | ea Az a vektor hosszát a Pithagorasz-tétel segítségével számíthatjuk ki: | a |= ax2 + a y2 Könnyen belátható az is, hogy ea vektor egységvektor: | ea |= cos 2 α + sin 2 α = 1 .
A vektorok közötti műveletek a vektorok támadásponthoz, vagy hatásvonalhoz kötöttségétől függetlenül érvényesek. b) Vektorok összeadása: Legyen adott két vektor: a = ax ex + a y ey ,
b = bx ex + by ey .
A két vektor összegének kiszámítása: a + b = ( ax ex + a y ey ) + (bx ex + by e y ) = (ax + bx ) ex + (a y + by ) e y = c . cx cy A két vektor összegének megszerkesztése:
b c
a
c
a b
Háromszög szabály
Paralelogramma szabály
1
c) Vektorok kivonása: Legyen adott két vektor: a = ax ex + a y ey , b = bx ex + by ey . A két vektor különbségének kiszámítása: a − b = (ax ex + a y e y ) − (bx ex + by e y ) = (ax − bx ) ex + ( a y − by ) ey = d dx
dy
Két vektor különbségének megszerkesztése:
b −b
d
a a
b
d a −b = d
a + (−b ) = d
d) Vektorok skaláris szorzása (az eredmény skaláris mennyiség): A skaláris szorzás értelmezése: a ⋅ b =| a || b | cos α . A skaláris szorzás kiszámítása: a ⋅ b = ax bx + a y by + az bz . Az a ⋅ b jelölés kiejtése (kiolvasása): á skalárisan szorozva bével. Egységvektorok skaláris szorzata: ex ⋅ ex = 1 , ey ⋅ ey = 1 , ex ⋅ ey = 0 ,
ex ⋅ ez = 0 ,
ez ⋅ ez = 1 , ey ⋅ ez = 0 .
Az eredmény általánosítása: a ⋅ a =| a |2 és a ⋅ b = 0 ⇒ a ⊥ b . Az a ⊥ b jelölés kiejtése (kiolvasása): á merőleges bére. e) Vektorok vektoriális szorzata (az eredmény vektor): A vektoriális szorzás értelmezése: Az eredményvektor nagysága: | a × b | = | a | | b | sin α . a paralelogramma magassága
a×b b
b sin α
α
Az eredményvektor irányát ún. jobbkéz szabállyal kapjuk meg: ha jobb kézzel az a vektort a b vektorba forgatjuk, akkor a jobb kéz hüvelykujja adja meg az eredményvektor irányát.
a Az eredményvektor merőleges a szorzásban szereplő mindkét vektorra.
2
A vektoriális szorzás kiszámítása: ex a × b = det ax
ey ay
ez az = ex (a y bz − by az ) − ey (ax bz − bx az ) + ez (ax by − bx a y ) .
bx
by
bz
A determináns kifejtési szabálya (a determináns előjeles skaláris mennyiség): - az első sor szerint: a11
a12
a13
det a21 a31
a22 a32
a23 = a11 (a22 a33 − a32 a23 ) − a12 (a21a33 − a31a23 ) + a13 (a21a32 − a31a22 ) , vagy a33
- az első oszlop szerint: a11
a12
a13
det a21 a31
a22 a32
a23 = a11 (a22 a33 − a32 a23 ) − a21 ( a12 a33 − a32 a13 ) + a31 (a12 a23 − a22 a13 ) . a33
Egységvektorok vektoriális szorzata:
ex ez e y
ex × ex = 0 ,
ey × ey = 0 ,
ez × ez = 0 ,
ex × ey = ez ,
e y × ez = ex ,
ez × ex = ey ,
ey × ex = −ex ,
ex × ez = −ey ,
ez × e y = −ex .
Szabály: - Ha két egységvektort az ábrán látható nyíllal megegyező sorrendben szorzunk össze vektoriálisan, akkor pozitív előjellel kapjuk a harmadik egységvektort. - Ha két egységvektort az ábrán látható nyíllal ellentétes sorrendben szorzunk össze vektoriálisan, akkor negatív előjellel kapjuk a harmadik egységvektort. Az eredmény általánosítása: a × b = 0 ⇒ a b . f) Vektorok kétszeres vektoriális szorzata (az eredmény vektor): (a × b ) × c , vagy a × (b × c ) . Kiszámítás kétféle úton lehetséges: - a két vektoriális szorzásnak a kijelölt sorrendben történő elvégzésével, - a kifejtési szabállyal: (a × b ) × c = b (a ⋅ c ) − a (b ⋅ c ) , illetve a × (b × c ) = b (a ⋅ c ) − c (a ⋅ b ) .
3
F.I.2. Gyakorló feladatok vektorműveletekre F.I.2.1. feladat: Helyvektorok felírása, összegzése, abszolút értékének meghatározása
e
z
H
G D
AD = 6 m , FH = 0,5 BF .
F C
O
x
Adott: egy hasáb, valamint a H pont helye: AB = 8 m , BE = 3 m ,
E
A
y
Feladat: a) A H pont rH helyvektorának meghatározása. b) A H pontból a B pontba mutató rHB helyvektor meghatározása.
B
Kidolgozás: a) A H pont rH helyvektorának meghatározása: rH = rOF + rFH . rOF = rF = (8ey + 6ez ) m ,
e=
rBF 1 = ( −3ex + 6ez ) m , rBF = (−3ex + 6ez ) m , | rBF | 45 2 2 rBF = xBF + z BF = 32 + 62 = 9 + 36 = 45 m ,
rFH = 0,5 45 m , rFH =| r FH | e =
45 1 , ex + 3ez ) m , (−3ex + 6ez ) = (−15 2 45
rH = (8e y + 6ez ) + (−15 , ex + 3ez ) = (−1,5ex + 8ey + 9ez ) m . b) A H-ból a B pontba mutató rHB helyvektor meghatározása. 3 3 1 45 (−3ex + 6ez ) m , rHB = (4,5ex − 9ez ) m . rHB = − | r BF | e = − 2 2 45
I.2.2. feladat: Vektorok összege, különbsége, egymással bezárt szöge Fy
F2
F0
α
Adott: F1 = (40ex + 50e y ) N , − F2
F2 = (−20ex + 4ey ) N .
F1 F∗ Fx
4
Feladat: a) A két erő F0 = F1 + F2 összegvektorának meghatározása. b) A két erő F* = F1 − F2 különbségvektorának meghatározása. c) A két erővektor által bezárt α12 szög meghatározása.
Kidolgozás: a) A két erő F0 = F1 + F2 összegvektorának meghatározása: F0 = F1 + F2 = (40ex + 50e y ) + (−20ex + 4e y ) = (20ex + 54e y ) N .
b) A két erő F* = F1 − F2 különbségvektorának meghatározása: F* = F1 − F2 = (40ex + 50ey ) − (−20ex + 4e y ) = (60ex − 46e y ) N .
c) A két erővektor által bezárt α12 szög meghatározása: F1 ⋅ F2 = F1 F2 cos α
⇒ cos α =
F1 ⋅ F2 F1 F2
.
F1 ⋅ F2 = 40(−20) + 50 ⋅ 4 = −800 + 200 = −600 N 2 , F1 = F12x + F12y = 402 + 502 = 64,03 N ,
F2 = F22x + F22y = 202 + 42 = 20,40 N , cos α =
−600 = −0,45934 , 64,03 ⋅ 20,40
α = arc cos(−0,45934) = 117,34° . F.I.2.3. feladat: Vektor koordinátái és összetevői Adott: a = (10ex + 5e y ) m .
Feladat: a) Az a vektor x és y irányú skaláris koordinátáinak meghatározása. b) Az a vektor x és y irányú összetevőinek meghatározása.
Kidolgozás: a) A vektor koordinátatengely irányú koordinátáinak meghatározása (skaláris mennyiségek): A skaláris szorzás értelmezéséből:
y
ax = a ⋅ ex =| a || ex | cos α =| a | cos α , a y = a ⋅ e y =| a || ey | cos β =| a | cos β .
ay a
β
α
A skaláris koordináták kiszámítása:
ax
x
ax = a ⋅ ex = (10ex + 5ey ) ⋅ ex = 10ex ⋅ ex + 5ey ⋅ ex = 10 m , a y = a ⋅ e y = (10ex + 5e y ) ⋅ e y = 10ex ⋅ ey + 5ey ⋅ ey = 5 m.
b) A vektor koordinátatengely irányú összetevői (vektor mennyiségek): ax = ax ex = (10ex ) m , a y = a y ey = (5e y ) m . F.I.2.4. feladat: Vektor koordinátái és összetevői Feladat: b = (6ex + 6e y ) m , a) A b vektor a irányú b és a irányra merőleges b⊥ skaláris koordinátáinak meghatározása. a = (12ex + 4ey ) m . b) A b vektor a irányú b és a irányra merőleges b⊥ összetevőinek meghatározása.
Adott:
Kidolgozás: a) Adott irányú koordináták meghatározása:
5
A b vektor a irányú koordinátája ( a irányra eső vetülete): a ⋅b . a ⋅ b =| a | ⋅| b | cos α ⇒ b =| b | cos α = |a| b
y b⊥
b
α
a ⋅ b = 12 ⋅ 6 + 4 ⋅ 6 = 96 m 2 ,
⋅
a
x
b
| a |= 122 + 42 = 160 = 4 10 ≈ 12, 65 m , 96 b = = 7,59 m . 12, 65
A b vektor a irányra merőleges koordinátája (az a irányra merőleges vetülete): | a ×b | | a × b |=| a | | b | sin α ⇒ b⊥ =| b | sin α = . |a| b⊥ ex ey a × b = 12 4 6 6
ez 0 = ez (72 − 24) = (48 ez ) m 2 , 0
| a × b |= 48 m 2 , | a |= 12,65 m .
| a ×b | 48 = = 3,79 m . |a| 12, 65
b⊥ =
b) Adott irányú összetevők meghatározása: A b vektor a irányú összetevője: a 1 ea = = (12ex + 4ey ) = (0, 9486 ex + 0, 3162e y ) , | a | 12, 65 b = b ea = 7, 59(0, 9486ex + 0, 3162e y ) = (7, 2ex + 2, 4ey ) m .
A b vektor a irányra merőleges összetevője: ⎛ a ×b ⎛ (a × b ) × a a ⎞ a ×b a ⎞ × × . ⎟ | b | sin α = ⎜ ⎟ | b | sin α = b⊥ = ⎜ | a |2 ⎝| a ×b | | a |⎠ b ⎝ | a || b | sin α | a | ⎠ ⊥ e⊥ (a × b ) × a = (48 ez ) × (12ex + 4ey ) = (−192ex + 576ey ) m3 ,
b⊥ =
−192ex + 576ey 160
= (−1, 2ex + 3,6ey ) m .
Ellenőrzés: b = b + b⊥ = (7, 2ex + 2, 4 ey ) + (−1, 2ex + 3, 6 e y ) = (6ex + 6ey ) m . F.I.2.5. feladat: Vektorok skaláris szorzata Adott: F1 = (40ex + 18e y − 26ez ) kN , Kérdés: Mekkora legyen F3 y , ha azt akarjuk, hogy ( F1 + F3 ) F2 = (−2ex + 2e y + 3ez ) kN , merőleges legyen F2 -re? F3 = ( F3 y ey ) . Kidolgozás:
6
Ha a ⊥ b , akkor a ⋅ b = 0 =| a || b | cos α = 0 . 90o Ezért teljesülnie kell az ( F1 + F3 ) ⋅ F2 = 0 összefüggésnek. ( F1 + F3 ) ⋅ F2 = ⎡⎣ 40ex + (18 + F3 y )ey − 26ez ⎤⎦ ⋅ (−2ex + 2ey + 3ez ) = 0 , −40 ⋅ 2 + (18 + F3 y )2 − 26 ⋅ 3 = 0 , −80 + 36 + 2 F3 y − 78 = 0 , 2 F3 y = 122
⇒
F3 y = 61 kN .
F.I.2.6. feladat: Vektor koordinátái és összetevői Adott: y a = (3ex + e y ) N , b = (4ex + 2e y ) N .
b
a ⋅ a⊥ a
x
Feladat: a) Az a vektor b irányú a és a b irányra merőleges a⊥ skaláris koordinátáinak meghatározása. b) Az a vektor b irányú a és a b irányra merőleges a⊥ összetevőinek meghatározása.
Megoldás: a) Az a vektor b irányú a és a b irányra merőleges a⊥ skaláris koordinátái: a = 2, 235 N , a⊥ = 2, 235 N .
b) Az a vektor b irányú a és a b irányra merőleges a⊥ összetevői: a ≈ (ex + 2ey ) N , a⊥ ≈ (2ex − e y ) N .
F.I.3 Mátrixalgebrai összefoglaló a) Mátrix értelmezése, jelölése: Mátrix: Skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza. ⎡ a a ⎤⎥ ⎢a Mátrix jelölése: ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ 11 12 13 ⎥ . ⎢a a22 a23 ⎥⎦⎥ ⎣⎢ 21 A mátrixokat kétszer aláhúzott betűvel, a mátrixok elemeit (koordinátáit) alsó indexes betűvel jelöljük. Pl. A, a és a13 , a2 stb. Az a13 mátrixelem az A mátrix első sorában és harmadik oszlopában van. Mátrix mérete: Például a fenti (2x3)-as méretű ⎡⎣ A⎤⎦ mátrixnak két sora és három oszlopa van. Az a 13 mátrix elem jelölés kiejtése (kiolvasása): á egy három. ⎡ a1 ⎤ T Oszlopmátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = ⎢⎢ a2 ⎥⎥ , sormátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = [ a1 ⎢⎣ a3 ⎥⎦
a2
a3 ] .
7
Az oszlopmátrixnak egy oszlopa, a sormátrixnak egy sora van. A sormátrixot mindig ugyanannak az oszlopmátrixnak a transzponáltjának tekintjük. A sormátrixot a mátrix betűjelének felső indexébe írt T betű jelöli. b) Mátrixműveletek: A műveleteket (2 × 2) -es, ( 2 × 1 )-es és (1x2)-es mátrixokra mutatjuk be. - Mátrix transzponáltja (tükrözés a főátlóra): A mátrix főátlóját az azonos indexű elemek alkotják. ⎡ a ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢⎢ 11 ⎢a
a12 ⎤⎥ ⎥ a22 ⎥⎦
⎣ 21
⇒
⎡ a ⎡ AT ⎤ = ⎢⎢ 11 ⎣ ⎦ ⎢ a12 ⎣
(2 × 2)
a21 ⎤⎥ ⎥. a22 ⎥⎦
(2 × 2)
A transzponálási művelet jele: T (a mátrix felső indexében). A transzponálás oszlopmátrixból sormátrixot, sormátrixból pedig oszlopmátrixot hoz létre. T
Az A jelölés kiejtése (kiolvasása): á transzponált. - Mátrixok összeadása, kivonása: Csak azonos méretű mátrixok adhatók össze, vonhatók ki egymásból. A± B =C ,
a a
⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21
a12 ⎤⎥ ⎡⎢ b11 b12 ⎤⎥ ⎡⎢ ( a11 ± b11 ) (a12 ±b12 ) ⎤⎥ ⎡⎢ c11 c12 ⎤⎥ ⎥±⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. a22 ⎥⎦ ⎢⎣ b21 b22 ⎥⎦ ⎢⎣ (a21 ±b21 ) (a22 ±b22 ) ⎥⎦ ⎢⎣ c21 c22 ⎥⎦
(2 × 2)
(2 × 2)
(2 × 2)
(2 × 2)
- Mátrix szorzás (sor-oszlop kombináció): Csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyek teljesítik azt a feltételt, hogy az első szorzótényező oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényező sorainak számával. AB=C,
a a
⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21
a12 ⎤⎥ ⎡⎢b11 b12 ⎤⎥ ⎡⎢ (a11 b11 + a12 b21 ) (a11 b12 + a12 b22 ) ⎤⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . a22 ⎥⎦ ⎢⎣ b21 b22 ⎥⎦ ⎢⎣ ( a21 b11 + a22 b21 ) (a21 b12 + a22 b22 ) ⎥⎦
(2 × 2) Ab =c , ⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21
a a
(2 × 2)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a12 ⎤⎥ ⎡⎢ b1 ⎤⎥ ⎢ ( a11 b1 + a12 b2 ) ⎥ ⎢ c1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢c ⎥ a22 ⎦ ⎣b2 ⎦ (a21 b1 + a22 b2 ) ⎦ ⎣ ⎣ 2⎦
(2 × 2) (2 × 1) T
(2 × 2)
(2 × 1)
(2 × 1)
T
a B=d , b b12 ⎤⎥ ⎡ (a1 b12 + a2 b22 ) ⎤⎦⎥ = ⎡⎣⎢ d1 d2 ⎤⎦⎥ . ⎥ = ⎢ ( a1 b11 + a2 b21 ) ⎣ ⎢b ⎥ b 22 ⎦ ⎣ 21 (1 × 2) (1 × 2) (1 × 2) (2 × 2)
⎡ ⎣⎢ 1
a
8
⎡ ⎢ 11
a2 ⎤⎦⎥ ⎢
c) Különleges mátrixok: ⎡1 0 ⎤ - Egységmátrix: E = ⎢ ⎥ . Tulajdonsága: E A = A E = A . ⎣0 1 ⎦ Az egységmátrix a főátlójában 1-es koordinátákat, a főátlóján kívül 0 elemeket tartalmaz. Az egységmátrixszal történő szorzás nem változtatja meg a megszorzott mátrixot. T - Szimmetrikus mátrix: A = A A mátrix elemei megegyeznek a főátlóra vett tükörképükkel. ⎡1 2 ⎤ Például ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ ⎥ szimmetrikus mátrix. ⎣ 2 9⎦ - Ferdeszimmetrikus mátrix:
T
A = −A.
A mátrix bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképének mínusz egyszeresével. Ebből az következik, hogy a főátlóban csak zérus elemek lehetnek. ⎡ 0 − 3⎤ Például ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ ⎥ ferdeszimmetrikus mátrix. ⎣3 0 ⎦
F.1.4. Vektorok skaláris, vegyes és diadikus szorzata Egyes vektor szorzások mátrixok szorzataként is elvégezhetők. a) Vektorok skaláris szorzata: A skaláris szorzás értelmezése: a ⋅ b = a b cos α . ( α a vektorok között bezárt szög, α ≤ π .) A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással: ⎡bx ⎤ ⎢ ⎥ a ⋅ b = ⎡⎣ ax a y az ⎤⎦ ⎢by ⎥ = ax bx + a y by + az bz . ⎢b ⎥ ⎣ z⎦ Az első szorzó tényező koordinátáit sormátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba rendezzük és a szorzást a mátrixszorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy skaláris mennyiség. b) Vektorok vegyes szorzata: A vegyes szorzat értelmezése és jelölése: (a b c ) = (a ⋅ b × c ) = (a × b ⋅ c ) . A vegyes szorzat kiszámítása: - Előszőr elvégezzük a vektoriálois szorzást, majd az eredményvektort megyszorozzuk skalárisan a vegyes szorzatban szereplő harmadik vektorral. - Kiszámítás determinánssal: ax a y az
(a b c ) = det bx by bz = ax (by cz − c y bz ) − a y (bx cz − cx bz ) + az (bx c y − cx by ) . cx c y c z
9
c) Vektorok diadikus szorzata: Legyen adott az a , b és c tetszőleges vektor. Két vektor diadikus szorzatának jelölése: a b , elnevezése: diád. Az a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á diád bé. Két vektor diadikus szorzatát a szorzás tulajdonságainak megadásával értelmezzük: - a diadikus szorzás és a skaláris szorzás asszociatív (csoportosítható, azaz szorzások elvégzésének sorrendje felcserélhető): (a b ) ⋅ c = a (b ⋅ c ) , - a diád a skaláris szorzás szempontjából nem kommutatív (nem mindegy, hogy egy diádot jobbról, vagy balról szorzunk meg skalárisan egy vektorral, mert más eredményt kapunk): c ⋅ (a b ) ≠ (a b ) ⋅ c . Ha a szorzás a fenti összefüggéseket kielégíti, akkor a szorzás diadikus. Két vektor diadikus szorzatának kiszámítása jobbsodrású, derékszögű koordinátarendszerben: ⎡ ⎤ ⎢ x⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎢ y ⎥ ⎣⎢ x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ z⎦
a ⎡a b ⎤ = a ⎣ ⎦ a
b
by
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
ax bx ⎤ bz ⎦⎥ = ay bx az bx
ax by ay by az by
ax bz ⎤⎥ ⎥ ay bz ⎥⎥ . ⎥ az bz ⎥⎥⎦
Az első szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit sormátrixba rendezzük és a szorzást a mátrix szorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy kilenc skaláris mennyiséget tartalmazó mátrix. Egységvektorok diadikus szorzata: ⎡1 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ [ex ex ] = ⎢0⎥ [1 0 0] = ⎢⎢0 0 0⎥⎥ , ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
10
[ ez
⎡0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ez ] = ⎢ 0 ⎥ [ 0 0 1] = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ , ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦
[ ex
⎡1 ⎤ ⎡0 0 1 ⎤ ⎢ ⎥ ez ] = ⎢ 0 ⎥ [ 0 0 1] = ⎢⎢0 0 0 ⎥⎥ , ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎣⎢0 0 0 ⎥⎦
⎡⎣ ey
⎡0 ⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ex ⎤⎦ = ⎢1 ⎥ [1 0 0] = ⎢⎢1 0 0 ⎥⎥ , ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦
⎡⎣ ey
⎡0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ey ⎤⎦ = ⎢1 ⎥ [ 0 1 0] = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ , ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦
⎡⎣ ex
⎡1 ⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ey ⎤⎦ = ⎢ 0 ⎥ [ 0 1 0] = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ , ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
⎡⎣ ey
⎡0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ez ⎤⎦ = ⎢1 ⎥ [ 0 0 1] = ⎢⎢0 0 1 ⎥⎥ , ⎣⎢0 ⎦⎥ ⎣⎢0 0 0 ⎥⎦
[ ez
⎡0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ex ] = ⎢ 0 ⎥ [1 0 0] = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ , ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 0 0 ⎥⎦
⎡0⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣ ez ey ⎤⎦ = 0 [ 0 1 0] = ⎢0 0 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦ A skalár számmal történő szorzás mindig diadikus, vagy más szóhasználattal általános szorzás.
F.1.5. Mátrix sajátértékei és sajátvektorai a) A sajátérték feladat kitűzése: Létezik-e olyan n oszlopmátrix, amellyel az A négyzetes mátrixot megszorozva, az n oszlopmátrix valahányszorosát kapjuk: An = λ n , ahol a λ skaláris mennyiség? Ha létezik ilyen n oszlopmátrix, akkor ezt az A négyzetes mátrix jobb oldali sajátvektorának, a λ skaláris mennyiséget pedig az A mátrix sajátértékének nevezzük. b) A sajátérték feladat megoldása: A sajátérték feladat megoldását egy (2x2)-es mátrixon mutatjuk be. Az előző egyenletet részletesen kiírva és bal oldalra rendezve: ⎡ nx ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎢ ⎥=λ⎢ ⎥ , ⇒ ⎢a ⎥ ⎣ 21 a22 ⎦ ⎣ n y ⎦ ⎣ ny ⎦
⎡ nx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎢ ⎥−λ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ , ⎢a ⎥ ⎣ 21 a22 ⎦ ⎣ n y ⎦ ⎣ ny ⎦ ⎣0⎦
és a szorzásokat elvégezve, az
nx , n y
ismeretlenre homogén lineáris algebrai
egyenletrendszert kapunk: (a11 − λ ) nx + a12 n y = 0, a21 nx + ( a22 − λ ) n y = 0.
Az egyenletrendszer nem triviális (nullától különböző) megoldásának feltétele az, hogy a rendszer mátrixából képezett determinánsnak el kell tűnnie: ( a11 − λ ) a21
a12 (a22 − λ )
= 0.
A determinánst kifejtve kapjuk a karakterisztikus egyenletet:
λ 2 − ( a11 + a22 )λ + (a11a22 − a12 a21 ) = 0 . A karakterisztikus egyenlet megoldásai a mátrix sajátértékei:
λ1,2 =
(a11 + a22 ) ± ( a11 + a22 ) 2 − 4(a11a22 − a12 a21 )
=
(a11 + a22 ) ± (a11 − a22 ) 2 + 4a12 a21
. 2 2 A homogén lineáris algebrai egyenletrendszernek csak λ = λ1 és λ = λ 2 esetén van nemtriviális megoldása. A mátrix sajátértékeit a szilárdságtanban csökkenő, a rezgéstanban növekvő sorrendben szokás sorszámozni.
11
Ha az egyes λi (i=1,2) sajátértékeket behelyettesítjük a homogén lineáris algebrai egyenletrendszerbe, akkor az egyenletrendszer megoldható az nix , niy ismeretlenre:
(a11 − λi ) nix + a12 niy = 0 ⎫⎪ ⎬ a21 nix + ( a11 − λi ) niy = 0 ⎪⎭
⇒
nix = … niy = …
,
ahol i=1,2.
Az λi (i=1,2) sajátértékek behelyettesítése esetén azonban az egyenletrendszer egyenletei egymástól nem lineárisan függetlenek, ezért az egyik egyenletet el kell hagyni és a másik egyenletből csak az nix / niy , vagy niy / nix (i=1,2) hányados határozható meg. Az nix és niy értékét akkor kapjuk meg (az előjelet leszámítva) egyértelműen, ha az T ni = ⎡⎣ nix niy ⎤⎦ sajátvektoroktól megköveteljük, hogy egységvektorok legyenek:
nix2 + niy2 = 1 ,
i=1,2.
F.I.6 Tenzorok előállítása a) Tenzor értelmezése és tulajdonságai: Tenzor: Homogén lineáris vektor-vektor függvény által megvalósított leképezés (hozzárendelés). w = f (v ) = T ⋅ v .
v
w
hozzárendelés Ow
Ov
A T tenzor a tetszőleges v vektorhoz a w képvektort rendeli hozzá. A vektor-vektor függvény olyan függvénykapcsolat, amelynek v értelmezési tartománya és w értékkészlete is vektor mennyiség.
A tenzor tulajdonsága: - f (λ v ) = λ f (v ) , ahol λ tetszőleges skaláris mennyiség (skaláris együttható), - f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) . A fenti tulajdonságokból következően fennáll az alábbi összefüggés: w = f (λ1v1 + λ 2 v2 ) = λ 1 f (v1 ) + λ 2 f (v2 ) = λ1w1 + λ 2 w2 ,
w1
w2
ahol λ1 és λ 2 tetszőleges skaláris együtthatók.
Következmény: A tenzor zérus vektorhoz zérus vektort rendel hozzá: 0 = f (0) . A tenzor koordináta-rendszertől független fizikai (geometriai, mechanikai) mennyiség. b) Tenzor előállítása jobbsodratú, derékszögű descartesi koordináta-rendszerben:
- Tenzor megadása: - a tenzor koordinátáival (mátixával) és - a koordináta-rendszerrel történik. 12
- Tenzor koordinátáinak jelölése mátrixba rendezve: ⎡Txx Txy Txz ⎤ ⎡T11 T12 T13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢Tyx Tyy Tyz ⎥ = ⎢T21 T22 T23 ⎥ . ⎢ ⎥ xyz ⎢T T T ⎥ ⎢T T ⎥⎦ T 31 32 33 ⎣ zy zz ⎦ ⎣ zx - Tenzor előállítása derékszögű descartesi KR-ben: 1. Tétel: - Térbeli esetben minden tenzor egyértelműen megadható három egymásra merőleges egységvektor és ezek képvektorai (három értékpár) ismeretében. - Síkbeli esetben minden tenzor egyértelműen megadható két egymásra merőleges egységvektor és ezek képvektorai (két értékpár) ismeretében. 2. Tétel: - Térbeli esetben minden tenzor előállítható három diád összegeként. - Síkbeli esetben minden tenzor előállítható két diád összegeként. Legyen ismert három értékpár: ex → a = f (ex ) ,
a = ax ex + a y ey + az ez ,
ey
→ b = f (e y ) ,
b = bx ex + by ey + bz ez ,
ez
→ c = f ( ez ) ,
c = c x e x + c y e y + c z ez .
A tenzor diadikus előállítása: T = ( a ex + b ey + c ez ) .
⎡ ax ⎢ A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢ a y xyz ⎢a ⎣ z
bx by bz
cx ⎤ ⎥ cy ⎥ . cz ⎥⎦
A tenzor mátrixát a diadikus előállításban kijelölt diadikus szorzások és az összeadások elvégzésével kapjuk. A tenzor mátrixának oszlopai az a , b , c képvektorok koordinátáit tartalmazzák. A mátrix első sorában a képvektorok x koordinátái, a második sorban a képvektorok y koordinátái, a harmadik sorban a képvektorok z koordinátái állnak.
F.I.7. Gyakorló feladatok vektorokra, mátrixokra, tenzorokra F.I.7.1. feladat: Mátrix műveletek Adott:
⎡ 2 − 4⎤ ⎡ −12 4 ⎤ ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ , ⎡⎣ B ⎤⎦ = ⎢ ⎥ ⎥. ⎣7 3 ⎦ ⎣ −6 3⎦
Feladat: T T a) Az A és B transzponált mátrixok meghatározása. b) Az A + B összegmátrix és az A − B különbségmátrix meghatározása. c) Az A B szorzatmátrix meghatározása. d) A B A szorzatmátrix meghatározása. Kidolgozás:
13
T
T
a) Az A és B transzponált mátrixok meghatározása:
⎡ 2 7⎤ ⎡ −12 − 6 ⎤ T A =⎢ , BT = ⎢ . ⎥ 3 ⎥⎦ ⎣ −4 3 ⎦ ⎣ 4 b) Az A + B összegmátrix és az A − B különbségmátrix meghatározása: ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ −12 4 ⎤ ⎡ −10 0 ⎤ A+ B = ⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥, ⎣ 7 3 ⎦ ⎣ −6 3⎦ ⎣ 1 6 ⎦ ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ −12 4 ⎤ ⎡14 − 8⎤ A− B = ⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ 7 3 ⎦ ⎣ −6 3⎦ ⎣13 0 ⎦ c) Az A B szorzatmátrix meghatározása: ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ −12 4 ⎤ ⎡ 2(−12) + (−4)(−6) 2 ⋅ 4 + (−4)3⎤ AB = ⎢ = ⎥⎢ ⎥=⎢ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 ⎥⎦ ⎣ 7 3 ⎦ ⎣ −6 3⎦ ⎣ 7( −12) + 3(−6) d) A B A szorzatmátrix meghatározása:
⎡ 0 − 4⎤ ⎢ −102 37 ⎥ . ⎣ ⎦
⎡ −12 4 ⎤ ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ (−12) ⋅ 2 + 4 ⋅ 7 (−12) ⋅ (−4) + 4 ⋅ 3⎤ ⎡ 4 60⎤ B A =⎢ = . ⎥⎢ ⎥=⎢ (−6) ⋅ (−4) + 3 ⋅ 3 ⎥⎦ ⎢⎣9 33 ⎥⎦ ⎣ −6 3⎦ ⎣7 3 ⎦ ⎣ (−6) ⋅ 2 + 3 ⋅ 7 Mátrixszorzásnál a szorzótényezők sorrendje nem cserélhető fel! F.I.7.2. feladat: Skaláris, diadikus és mátrix szorzás gyakorlása Adott: a = (4 ex + 6 ey − ez ) m,
Feladat: a) Az a ⋅ b és az a b szorzatok meghatározása. b) Az (a b ) ⋅ c és a c ⋅ (a b ) szorzat meghatározása.
b = ( −3 ex + ey − ez ) m, c = ( −2 ey − 6 ez ) m.
Kidolgozás: a) Az a ⋅ b és az a b szorzatok meghatározása: ⎡ −3⎤ a ⋅ b = [ 4 6 − 1] ⎢⎢ 1 ⎥⎥ = 4 (−3) + 6 ⋅ 1 + (−1) (−1) = −5 m 2 , ⎢⎣ −1⎥⎦ a b = ( 4 ex + 6 e y − ez )
( −3 e + e − e ) = = ⎡⎣( −12 e − 18e + 3e ) e + ( 4 e + 6e + ( −4 e − 6 e + e ) e ⎤⎦ m2. x
x
x
y
y
z
z
y
x
z
x
y
− ez ) e y +
z
A szögletes zárójelben lévő diádok első szorzó tényezőinek koordinátái a tenzor mátrixának oszlopaiban jelennek meg: ⎡4⎤ ⎡ −12 4 −4 ⎤ ⎡ a b ⎤ = ⎢ 6 ⎥ [ −3 1 −1] = ⎢ −18 6 −6 ⎥ m2. ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ 3 −1 1 ⎥⎦
14
b) Az (a b ) ⋅ c és a c ⋅ (a b ) szorzat meghatározása: - Az értelmezés alapján: (a b ) ⋅ c = a (b ⋅ c ) =
= ( 4 ex + 6ey − ez ) ⎡⎣( −3 ex + ey − ez ) ⋅ ( −2ey − 5 ez ) ⎤⎦ = = ( 4 ex + 6ey − ez ) [ −2 + 5] = (12 ex + 18 ey − 3 ez ) m3, - Mátrixszorzással: ⎡ −12 4 −4 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ −8 + 20 ⎤ ⎡12 ⎤ ⎡ (a b ) ⎤ [ c ] = ⎢ −18 6 −6 ⎥ ⎢ −2 ⎥ = ⎢ −12 + 30 ⎥ = ⎢18 ⎥ m3. ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ −5⎥⎦ ⎢⎣ 2 − 5 ⎥⎦ ⎢⎣ −3⎥⎦ A kétféleképp előállított eredmény természetesen megegyezik. - Az értelmezés alapján: c ⋅ ( a b ) = (c ⋅ a ) b =
= ⎡⎣( −2ey − 5 ez ) ⋅ ( 4 ex + 6 ey − ez ) ⎤⎦ = [ −12 + 5]
( −3 e
x
( −3 e
x
+ ey − ez ) =
+ ey − ez ) = (21ex − 7ey + 7ez ) .
- Mátrixszorzással:
⎡ −12 4 −4 ⎤ [c ] ⎡⎣(a b ) ⎤⎦ = [0 − 2 − 5] ⎢⎢ −18 6 −6⎥⎥ = ⎢⎣ 3 −1 1 ⎥⎦ = [ (36 − 15) ( −12 + 5) (12 − 5) ] = [ 21 − 7 7 ] m3 . A kétféleképp előállított eredmény természetesen megegyezik. F.I.7.3. feladat: Vektor adott irányra merőleges összetevőjének meghatározása
z
Adott: b = (20 ex + 40ey − 30ez ) m,
b
ea = (0,8 ey + 0,6 ez ) .
O x
ea
⋅ b⊥
b
y
Feladat: a) A b vektor ea egységvektorral párhuzamos b összetevőjének meghatározása. b) A b vektor ea egységvektorra merőleges b⊥ összetevőjének meghatározása kétszeres vektoriális szorzással. c) A b vektor ea egységvektorra merőleges b⊥ összetevőjének meghatározása a kifejtési szabállyal. Kidolgozás: a) A b párhuzamos összetevő meghatározása:
15
⎛ ⎡ 20 ⎤ ⎞ ⎜ ⎟ b = (ea ⋅ b ) ea = ⎜ [ 0 0,8 0,6] ⎢⎢ 40 ⎥⎥ ⎟ ea = (32 − 18) ea = 14 ea , ⎜ ⎢⎣ −30 ⎥⎦ ⎟⎠ ⎝ b = 14 ea = 14(0,8 e y + 0,6 ez ) = (11, 2 e y + 8, 4 ez ) m.
b) A b⊥ merőleges összetevő meghatározása kétszeres vektoriális szorzással: b⊥ = (ea × b ) × ea . ex
ey
ez
(ea × b) = 0 0,8 20 40
0,6 = ex (−24 − 24) − ey (−12) + ez (−16) = −48ex + 12e y − 16ez , − 30
ex
ey
ez
(ea × b ) × ea = − 48 12 − 16 = ex (7, 2 + 12,8) − e y (−28,8) + ez (−38, 4) . 0
0,8 0,6
b⊥ = (ea × b ) × ea = (20 ex + 28,8 ey − 38, 4 ez ) m.
c) A b⊥ összetevő meghatározása a kifejtési szabállyal: b⊥ = (ea × b ) × ea = b (ea ⋅ ea ) − ea (b ⋅ ea ) = b − b . b⊥ = b − b = (20 ex + 40e y − 30ez ) − (11, 2 e y + 8, 4 ez ) = (20 ex + 28,8 e y − 38, 4 ez ) m. F.I..7.4. feladat: Vektorok vegxes szorzata, paralelepipedon térfogata
Adott: Az a , b , c három nem komplanáris (nem egy síkba eső) vektor:
T = a ×b
a = (5ex + 3ey + ez ) m,
⋅
c m2
b = (2ex + 4e y + 3ez ) m,
V
c = (3ex + 2ey + 6ez ) m.
b
β α
⋅
Feladat:
m1
T=T
a
Az a , b , c vektorok által kifeszített alakzat (paralelepipedon) térfogatának meghatározása.
Kidolgozás: Az a , b , c vektorok által kifeszített alakzat (paralelepipedon) V térfogatát a három vektor vegyes szorzata adja meg: cx
cy
V = c ⋅ a × b = ax bx
ay by
(
)
cz
3 2 6
3 1 5 1 5 3 az = 5 3 1 = 3 −2 +6 = 4 3 2 3 2 4 2 4 3 bz
= 3 ⋅ ( 3 ⋅ 3 − 1 ⋅ 4 ) − 2 ( 5 ⋅ 3 − 1 ⋅ 2 ) + 6 ( 5 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 ) = 3 ⋅ 5 − 2 ⋅ 13 + 6 ⋅ 14 = 15 − 26 + 84 = 73.
Bizonyítás: V = c ⋅ ( a × b ) = c a × b cos β = a × b ( c cos β ) = T ⋅ m2 , 16
T= a × b = a b sin α = a m1 ,
T = T,
ahol T az a , b vektorok által kifeszített paralelogramma területe. F.I..7.5. feladat: Tenzor előállítása
y
Adott: rP = (4 ex + 2 ey ) m.
A
O
rA
rP
P
x
Feladat: a) Annak a T
tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a
helyvektoroknak a koordináta-rendszer O kezdőpontjára tükrözött vektorait állítja elő. b) Meghatározni azt az rA vektort, amely az rP vektor origóra vett tükörképe. Kidolgozás: a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg:
ex → a = − ex ,
ey → b = − ey .
A két értékpárból a tenzor:
T = ( a ex + b e y ) .
⎡ −1 0 ⎤ A tenzor mátrixa: ⎣⎡T ⎦⎤ = ⎢ ⎥. ⎣ 0 − 1⎦ b) Az origóra tükrözött rA képvektor meghatározása: ⎡ −1 0 ⎤ ⎡ xP ⎤ ⎡ −1 0 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ −4 ⎤ rA = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎣ 0 − 1⎦ ⎣ yP ⎦ ⎣ 0 − 1⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ rA = (−4ex − 2 ey ) m .
F.I.7.6. feladat: Tenzor előállítása y
P
Adott: rP = (4ex + 3 e y ) m. rP
O rA
Feladat: a) Annak a T
x
A
tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a
helyvektoroknak a koordináta-rendszer x tengelyére tükrözött vektorait állítja elő. b) Meghatározni azt az rA vektort, amely az rP vektor x tengelyre vett tükörképe. 17
Kidolgozás: a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: ex → a = ex , ey → b = − ey . T = ( a ex + b e y )
A két értékpárból a tenzor:
⎡1 0 ⎤ A tenzor mátrixa: ⎣⎡T ⎦⎤ = ⎢ ⎥. ⎣ 0 − 1⎦ b) Az x tengelyre tükrözött rA képvektor meghatározása: ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ xP ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ 4 ⎤ rA = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎣ 0 − 1⎦ ⎣ yP ⎦ ⎣ 0 − 1⎦ ⎣3 ⎦ ⎣ −3⎦ rA = (4ex − 3 ey ) m . F.I.7.7. feladat: Tenzor előállítása Adott: ϕ = 30o , rP = (4ex + e y ) m. y Feladat: A a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy rA sík helyvektoraiból a helyvektorok z tengely körül ϕ
ϕ
rP
P
szöggel elforgatott vektorait állítja elő. b) Meghatározni azt az rA vektort, amelyet az rP vektor ϕ x szöggel történő elforgatásával kapunk.
Kidolgozás: a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg:
y
ex → a = (cos ϕ ex + sin ϕ ey ) , ey → b = (− sin ϕ ex + cos ϕ e y ) .
b
ϕ
ey
A két értékpárból a tenzor:
a x
ϕ
T = ( a ex + b e y )
ex A diádok kiszámítása: ⎡a ⎤ ⎡a [ a ex ] = ⎢ ax ⎥ [1 0] = ⎢ ax ⎣ y⎦ ⎣ y
0 ⎤ ⎡cos ϕ 0 ⎤ , ⎥= 0 ⎦ ⎢⎣sin ϕ 0 ⎥⎦
⎡b ⎤ ⎡ 0 bx ⎤ ⎡ 0 − sin ϕ ⎤ ⎡b e y ⎤ = ⎢ x ⎥ [ 0 1] = ⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ ⎦ b ⎣ y⎦ ⎣ 0 by ⎦ ⎣ 0 cos ϕ ⎦ ⎡cos ϕ − sin ϕ ⎤ ⎡0,866 − 0,5 ⎤ = . A tenzor mátrixa: ⎣⎡T ⎦⎤ = ⎢ cos ϕ ⎥⎦ ⎢⎣ 0,5 0,866 ⎥⎦ ⎣sin ϕ
18
b) Az elforgatott rA vektor meghatározása:
⎡cos ϕ − sin ϕ ⎤ ⎡ xP ⎤ ⎡ 0,866 − 0,5 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ 2,964⎤ rA = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣sin ϕ cos ϕ ⎦ ⎣ yP ⎦ ⎣ 0,5 0,866 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣ 2,866 ⎦ rA = (2,964 ex + 2,866 ey ) m . F.I.7.8. feladat: Tenzor előállítása
y
Adott:
ϕ = 45 , rP = (5 ex + 2 ey ) m.
A
o
uP
rA
ϕ
P
rP
x
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraihoz a helyvektorok z tengely körül ϕ szöggel történő elforgatásakor a helyvektorok végpontjainak elmozdulás vektorait rendeli hozzá. b) Meghatározni rP vektor végpontjának uP elmozdulás vektorát a ϕ szöggel történő elforgatásnál. Kidolgozás: a) A T tenzor előállítása: y
Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: ex → a = −(1 − cos ϕ ) ex + sin ϕ ey ,
b
ϕ
ey → b = − sin ϕ ex − (1 − cos ϕ ) ey .
ey
A két értékpárból a tenzor:
a
ϕ
x
ex
T = ( a ex + b e y ) .
A tenzor mátrixa:
⎡(cos ϕ − 1) − sin ϕ ⎤ ⎡ −0, 293 − 0,707 ⎤ = . ⎣⎡T ⎦⎤ = ⎢ sin ϕ (cos ϕ − 1) ⎥⎦ ⎢⎣ 0,707 − 0, 293⎥⎦ ⎣ b) Az uP elmozdulásvektor meghatározása:
⎡ −0, 293 − 0,707 ⎤ ⎡5 ⎤ ⎡ −2,879 ⎤ uP = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ 0,707 − 0, 293⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2,949 ⎦ uP = (−2,879 ex + 2,949 e y ) m . F.I.7.9. feladat: Tenzor előállítása Adott: n = (−
1 2
ey +
1 2
ez ) , rP = (5ex + 2 ey + 10 ez ) m.
19
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely
z P n
rP
a tér minden helyvektorához a helyvektoroknak az n normálisú S síkba eső vetületvektorát rendeli hozzá. b) Meghatározni rP vektornak az adott n normálisú S síkba eső rA vetületvektorát. y
⋅A
rA
S
x
A vetületvektort úgy kapjuk, hogy az rP vektor végpontját merőlegesen vetítjük az S síkra. Kidolgozás: a) A T tenzor előállítása: A tetszőleges v vektor S síkba eső w vetületvektora:
w = n × (v × n ) = v ( n ⋅ n ) − n ( n ⋅ v ) = v − n ( n ⋅ v ) . =1 Térbeli esetben a tenzort három értékpárja határozza meg: ex → a = ex − n (n ⋅ ex ) = ex , =0 ey → b = ey − n ( n ⋅ ey ) = ey −
=−
1 2
ez → c = ez − n (n ⋅ ez ) = ez +
n 1 1 1 ⎞ ⎛1 = ey − ey + ez = ⎜ ey + ez ⎟ , 2 2 2 ⎠ 2 ⎝2
n 1 1 1 ⎞ ⎛1 = ez + ey − ez = ⎜ ey + ez ⎟ . 2 2 2 ⎠ 2 ⎝2
1 2 A három értékpárból a tenzor: T = ( a ex + b ey + c ez ) . =
0⎤ ⎡1 0 ⎢ A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢0 0,5 0,5⎥⎥ . ⎢⎣0 0,5 0,5⎥⎦ b) Az rP vektornak az adott n normálisú síkba eső rA vetületvektorának meghatározása: 0 ⎤ ⎡ 5 ⎤ ⎡5 ⎤ ⎡1 0 ⎢ rA = T ⋅ rP = ⎢ 0 0,5 0,5⎥⎥ ⎢⎢ 2 ⎥⎥ = ⎢⎢6 ⎥⎥ m, rA = (5 ex + 6 e y + 6 ez ) m. ⎢⎣ 0 0,5 0,5⎥⎦ ⎢⎣10 ⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦
20
F.I.7.10. feladat: Tenzor előállítása z Adott: rP = (3 ex + 4 ey + 6 ez ) m. rP
P
rA
⋅⋅ D
O x
y
A
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely a tér minden helyvektorához a helyvektoroknak az xy síkra vett tükörkép-vektorát rendeli hozzá. b) Meghatározni rP vektornak az xy síkra vett rA tükörképvektorát.
A tükörkép-vektort a következőképpen kapjuk: Az rP vektor végpontját merőlegesen vetítjük az xy síkra. A D pont a vetítő egyenes döféspontja az xy síkon. Megoldás: ⎡1 0 0 ⎤ a) A hozzárendelést megvalósító tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 0 − 1⎥⎦ b) Az rA tükörkép-vektor: rA = (3 ex + 4 ey − 6 ez ) m. F.I.7.11. feladat: Tenzor előállítása z Adott: rP = (4ex + 4 e y + 8 ez ) m.
P
rP
y
O x
⋅⋅ D≡A
rA
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely a tér minden helyvektorához a helyvektoroknak az xy síkba eső vetületvektorát rendeli hozzá.
b) Meghatározni rP vektornak az xy síkba eső rA vetületvektorát. Megoldás: A vetületvektort úgy kapjuk, hogy az rP vektor végpontját merőlegesen vetítjük az xy síkra. A D pont a vetítő egyenes döféspontja az xy síkon. A vetületvektor a D pontba mutató vektor. a) A hozzárendelést megvalósító tenzor mátrixa: ⎡1 0 0 ⎤ ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢0 1 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 0 ⎦⎥ b) Az rA vetületvektor: rA = (4ex + 4ey ) m. F.I.7.12. feladat: Tenzor (mátrix) sajátértékeinek és sajátvektorainak előállítása Adott: az A tenzor az xyz Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerbeli mátrixával: ⎡ ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 2 3 2
3⎤ ⎥ 2 ⎥. 1⎥ − ⎥ 2⎦
21
Feladat: az A tenzor λ1 , λ2 sajátértékei és a hozzájuk tartozó n1 , n2 sajátvektorok meghatározása és szemléltetése Kidolgozás: A feladatban szereplő mátrix szimmetrikus, ezért két valós sajátértéket és két, egymásra merőleges sajátvektort várunk. A karakterisztikus egyenlet felírása: A⋅ n = λ n = λ E ⋅ n
⇒
( A − λE)⋅n = 0 .
Ez egy homogén, lineáris egyenletrendszer az n vektor nx , n y koordinátáira, melynek csak akkor van a triviálistól (vagyis a zérustól) különböző megoldása, ha az egyenletrendszer együtthatóiból képzett mátrix determinánsa nullával egyenlő: det A − λ E = 0 . A fenti mátrix elemeit behelyettesítve és a determinánst kifejtve:
det
⎛1 ⎞ ⎜ −λ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3 2
3 2
⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ 3 = ⎜ − λ ⎟⎜ − − λ ⎟ − = 0 . ⎠⎝ 2 ⎠ 4 ⎛ 1 ⎞ ⎝2 ⎜− −λ⎟ ⎝ 2 ⎠
A kijelölt műveleteket elvégezve, kapjuk a karakterisztikus egyenletet: 4λ 2 − 4 = 0 . λ1 = 1,
A karakterisztikus egyenlet két megoldása, vagyis a keresett sajátértékek:
λ2 = −1.
A sajátvektorok meghatározása: - A λ1 = 1 -hez tartozó n1 sajátvektor meghatározása: A λ1 = 1 -et visszahelyettesítjük a lineáris algebrai egyenlet-rendszerbe: ⎡⎛ 1 ⎞ 3 ⎤ ⎡ 1 ⎢⎜ − 1 ⎟ ⎥ n ⎢− 2 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎥⎡ x⎤ = ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎛ 1 ⎞⎥ ⎣ ny ⎦ ⎢ 3 ⎢ ⎢ ⎜ − − 1⎟ ⎥ ⎣ 2 ⎢⎣ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
3⎤ ⎥ 2 ⎥ ⎡ nx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥. 3 ⎥ ⎣ n y ⎦ ⎣0 ⎦ − ⎥ 2⎦
A mátrixszorzást elvégezve kétismeretlenes egyenletrendszert kapunk:
−nx + 3n y = 0 3nx − 3n y = 0
.
A két egyenlet azonban nem független egymástól (az elsőt − 3 -mal szorozva éppen a másodikat kapjuk), így ez az egyenletrendszer csak a sajátvektor koordinátáinak arányát, vagyis a sajátvektor irányát határozza meg. Ezért még felírunk egy független egyenletet: az egységnyi abszolút értékű sajátvektort határozzuk meg: 1 = n = nx 2 + n y 2 = 3n y 2 + n y 2 = 2 n y .
Látható, hogy ezzel a pótlólagos feltétellel a sajátvektor már csak egy előjel erejéig határozatlan. 22
1 3 1 értéket választjuk, akkor n1 = ex + e y . 2 2 2 - A λ2 = −1 -hez tartozó n2 sajátvektor meghatározása:
Ha az n y = +
⎡⎛ 1 ⎞ 3 ⎤ ⎡ ⎢⎜ + 1 ⎟ ⎥ n ⎢ ⎡ ⎤ 2 2 ⎠ ⎢⎝ ⎥ x =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎛ 1 ⎞ ⎥ ⎣ ny ⎦ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎜ − + 1⎟ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ 2
3 2 3 2
3⎤ ⎥ 2 ⎥ ⎡ nx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥. 1 ⎥ ⎣ ny ⎦ ⎣0⎦ ⎥ 2 ⎦
A mátrixszorzást elvégezve két ismeretlenes egyenletrendszert kapunk:
3nx + 3n y = 0
Az egyenletek ebben az esetben sem függetlenek egymástól (itt a szorzó
3nx + n y = 0
.
3 ).
1 3 A már alkalmazott normálást ismét elvégezve kapjuk: n2 = ex − ey . 2 2 A megoldás szemléltetése: y 1 Az ábrán látható két sajátvektor merőleges egymásra, amiről a szükséges skaláris szorzás elvégzésével is 31 1 3 meggyőződhetünk: n1 ⋅ n2 = − =0. n x 2 2 2 2 1 . −1 1 Általában is igaz, hogy egy szimmetrikus tenzor n2 különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok mindig merőlegesek egymásra.
−1 Ennek bizonyításához a sajátvektorokat definiáló egyenletet szorozzuk be balról egy másik sajátvektorral: n2 An1 = n2 λ1 n1 .Kihasználva a tenzor szimmetriáját, azt kapjuk, hogy: A ⋅ n2 ⋅ n1 = λ2 n2 ⋅ n1 = λ1 n2 ⋅ n1 . Átrendezve: ( λ2 − λ1 ) n2 ⋅ n1 = 0 , amiből következik a két sajátvektor merőlegessége, hiszen mindkettő nagysága különbözik nullától, a két sajátérték pedig a feltétel szerint különböző.
F.I.8. Differenciálegyenletek Differenciálegyenlet:
olyan matematikai egyenlet, amely egy vagy több változós ismeretlen függvény és deriváltjai közötti kapcsolatot írja le.
Fontosabb típusok:
közönséges differenciálegyenletek, parciális differenciálegyenletek, (sztochasztikus differenciálegyenletek, egyenletek).
Közönséges differenciálegyenlet:
késleltetett
differenciál-
olyan matematikai egyenlet, amely egy független változójú függvény és deriváltjai közötti összefüggést adja meg. d2x Pl. m 2 = F , ahol x = x ( t ) (Newton II. törvénye). dt 23
Parciális differenciálegyenlet:
olyan matematikai egyenlet, amely az ismeretlen többváltozós függvény és a parciális deriváltjai közötti kapcsolatot írja le. ∂u ( x, y ) = 0; és a megoldás u ( x, y ) = f ( y ) . Pl. ∂x
Az Euler típusú közönséges differenciálegyenlet
A változó együtthatójú n -edrendű lineáris differenciálegyenletek közül viszonylag egyszerűen megoldható az Euler típusú, amelynél az együtthatók a következő hatványfüggvények: Ai ( x ) = ai xi
( i = 0, 1, 2,
… , n; és ai = állandó ) .
Így az Euler típusú differenciálegyenlet általános alakja: en ( y ) = an x n y ( n ) + an −1 x n −1 y ( n −1) + … + a1 xy′ + a0 y = R ( x ) . a) A homogén differenciálegyenletet megoldása: Az alaprendszerhez az y = x r feltételezéssel jutunk. Ugyanis
y ( p ) = ( x r ) = r ( r − 1)… ⎡⎣ r − ( p − 1) ⎤⎦ x( r − p ) p
révén
azt
kapjuk,
hogy
en ( x r ) = g n ( r ) x r = 0,
ahol g n ( r ) = an r ( r − 1)… ⎡⎣ r − ( n − 1) ⎤⎦ + … + a1r + a0 az Euler-féle differenciálegyenlet ún. karakterisztikus polinomja. Az x = 0 eset kizárásával a g n ( r ) = 0 egyenlet (az ún. karakterisztikus egyenlet) alapján kapunk alaprendszert az alább részletezendő módon. Ha a karakterisztikus egyenletnek egyszeres gyökei vannak – jelölje ezeket r1 , r2 ,…, rn , akkor az y = x1 , y = x 2 ,… , y = x n függvények alkotják a differenciálegyenlet alaprendszerét. Ha azonban többszörös gyökök is vannak, akkor alaprendszert a következő előírás szerint kapunk: Legyen pl. az r = rk sk -szoros gyök, akkor az r = rk gyöknek az alaprendszerben a következő függvények fognak megfelelni: y = x rk , y = x rk ln x,…, y = x rk ( ln x ) k . s −1
Természetesen, mind az egyszeres, mind a többszörös gyöknél előfordulhat, hogy ezek között komplex számok is vannak. Ekkor is lehet azonban mindig valós alaprendszert találni. A fenti eljárásnál a Wronski-féle determináns segítségével lehet megmutatni, hogy a megadott függvények valóban alaprendszert alkotnak. b) Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása: A korábban már részletezett módon nyerhető.
24
c) Példák homogén Euler típusú differenciálegyenlet megoldására: 1. példa: Adott:
x 2 y′′ − 3 xy′ − 5 y = 0.
Megoldás: Itt az y = x r feltételezéssel azt kapjuk, hogy a karakterisztikus polinom: g 2 ( r ) = r 2 − 4r − 5 = 0 . A g 2 ( r ) = 0 karakterisztikus egyenlet gyökei: r1 = 5, Így alaprendszert az y = x , 5
y=x
−1
r2 = −1.
függvények alkotnak, és az adott homogén
differenciálegyenlet általános megoldása: y = C1 x5 + C2 x −1. A C1 , C2 együtthatók peremfeltételekből határozhatók meg. 2. példa: Adott:
x 2 y′′ − 3xy ′ + 4 y = 0.
Megoldás: Itt az y = x r feltételezéssel azt kapjuk, hogy a karakterisztikus polinom: g 2 ( r ) = r 2 − 4r + 4 = 0 . A g 2 ( r ) = 0 karakterisztikus egyenlet gyökei: r1 = 2, Így alaprendszert az y = x , 2
r2 = 2.
y = x ln x függvények alkotnak, és az adott homogén 2
differenciálegyenlet általános megoldása: y = C1 x 2 + C2 x 2 ln x. A C1 , C2 együtthatók peremfeltételekből határozhatók meg.
25
