Vektorok Vektoron irányított szakaszt értünk. A definíció értelmében tehát a vektort akkor ismerjük, ha ismerjük a hosszát és az irányát. A vektort kövér kis betűkkel (a, b stb.) jelöljük, megkülönböztetve az a, b számoktól, amelyeket skalároknak (skaláris mennyiségeknek) nevezünk. A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza. Az a vektor abszolút értékének jelölése: a .
Ha a vektor hossza egységnyi, akkor egységvektornak nevezzük. Jelölése: a 0 , b 0 . Nullvektor (zérusvektor) az olyan vektor, amelynek a hossza nulla. Jele: 0. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással egymásba átvihetők (fedésbe hozhatók), azaz, ha az eltolás után kezdőpontjuk és végpontjuk is egybeesik. Műveletek vektorokkal Az a és b vektorok a + b összegén a következő vektort értjük: a b vektort eltoljuk önmagával párhuzamosan úgy, hogy kezdőpontja az a vektor végpontjával essék egybe. Ezután az a vektor kezdőpontját az eltolt b vektor végpontjával összekötő vektort képezzük. Ez lesz az a + b vektor (paralelogramma szabály).
Több vektor összege pl. az ábrán átható módon képezhető:
1
Az összeadás kommutatív és asszociatív, azaz
a b b a és
a b c a b c .
Két vektor
különbsége az a vektor, amely az
végpontjába mutat. Tehát az
végpontjából indul és a
különbségvektor olyan vektor, amelyre
.
Vektor szorzása számmal Az vektor -szorosán ( valós szám) azt a -val jelölt vektort értjük, amelynek | || |, abszolút értéke iránya pedig a irányával egyező, ha pozitív, és azzal ellentétes, ha negatív.
Ha az
vektort megszorozzuk a
| |
számmal, akkor a szorzatvektor hossza
egységnyi lesz. Ugyanis
1 1 a a 1. a a Tehát egy vektor egységvektorát kapjuk, ha abszolút értékével osztjuk: 2
a0
1 a a . a a
A skaláris szorzat Az a és b vektorok ab-vel jelölt skaláris szorzata a két vektor abszolút értékének és az általuk közrezárt szög koszinuszának a szorzata, azaz ab a b cos , ahol az a és b vektor által közrezárt szög. Az a és b vektor skaláris szorzatának jelölésére használatos az a, b jelölés is. Az értelmezésből látható, hogy a skaláris szorzás eredménye egy szám (skalár). Továbbá, ha a két vektor merőleges egymásra 90° , akkor skaláris szorzatuk nulla, mert cos 0. Ennek fordítottja is igaz. Ha a két vektor skaláris szorzata nulla, akkor a két vektor egymásra merőleges. A skaláris szorzás kommutatív és (az összeadásra nézve) disztributív:
a b c ac bc .
a b b a és A vektoriális szorzás
Az a és b vektorok vektoriális szorzatán azt az a b vektort értjük, amely merőleges mindkét vektorra, hossza | || | sin , ahol φ a két vektor által közrezárt szög. Az a, b, a b vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak.
| 0. Ez egyúttal azt jelenti, hogy párhuzamosak, azaz 0, akkor | , tehát két párhuzamos vektor vektoriális szorzata nullvektor. A vektoriális szorzás nem kommutatív, mert az áll fenn, hogy Ha
és
. 3
A disztributív törvény viszont érvényes, azaz . |, az és Megjegyzés: Az értelmezésből látszik, hogy vektor hossza az | vektorok által kifeszített paralelogramma területével egyenlő, ahol | | a paralelogramma alapja, | | sin a magassága. A vegyes szorzat Az , , vektorok vegyes szorzatán az jelöljük, azaz
szorzatot értjük, és ezt
-vel
. A vegyes szorzat egy skalár (szám), mert a b is és c is vektor, és e két vektor skaláris szorzatát kell venni. Vektorok koordinátás megadása – a vektor, mint számhármas Vegyünk fel a térben egy O pontot, és e pontból kiinduló, páronként egymásra merőleges három egységvektort. Jelölje ezeket rendre , , , úgy, hogy ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkossanak, hasonlóan, ahogy a térbeli Descartes-féle koordinátarendszer x, y, z tengelyei. Ezek a vektorok a bázisvektorok. Mutasson a vektor az O pontból a , , pontba. Ekkor előállítható a , , vektorok összegeként: . A , , számokat a vektor koordinátáinak nevezzük, pontosabban az i, j, k bázisra vonatkozó koordinátáinak. Így a vektort megadhatjuk koordinátáival, azaz, ha 3 adott sorrendű valós számot megadunk, akkor ez egy háromdimenziós vektort jelent. Az alábbi jelöléseket használjuk ; , , . (Az , , egységvektorokat szokás e1 , e 2 , e 3 módon is jelölni.) Pl. A (2,1,4) vektor:
VEKTORMŰVELETEK KOORDINÁTÁKKAL A vektor abszolút értéke A
,
,
vektor abszolút értéke: v v12 v 22 v 32 . 4
Legyen adott a Megoldás: | |
3,1, 2 vektor. Számítsuk ki az abszolút értékét! 1 2 14. 3
Vektorok egyenlősége
A koordinátás alakban megadott vektorok egyenlőségét az alábbi módon értelmezzük. Tekintsünk két vektort a a1i a 2 j a 3 k a1 , a 2 , a 3 és b b1i b2 j b3 k b1 , b2 , b3 . Az a és b vektorok akkor és csak akkor egyenlők, ha a1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3 , azaz az azonos indexű koordinátáik egyenlők. Vektorok összege (különbsége)
Az a és b vektorok összege (különbsége):
a b a1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3 . Két vektor összegét (különbségét) tehát úgy képezzük, hogy a megfelelő koordinátákat összeadjuk (kivonjuk). Legyen Megoldás:
2,3, 1 és 1, 4,5 . Számítsuk ki a két vektor összegét! 3, 1,4 .
Skalárral való szorzás
Az a vektornak a
számmal való szorzata: ,
,
.
A vektort úgy szorozzuk egy számmal, hogy mindhárom koordinátáját megszorozzuk ugyanazzal a számmal. Legyen
2,3,1 . Számítsuk ki 4 -t! 5
Megoldás: 4
4 · 2,4 · 3,4 · 1
8,12,4 .
Az egységvektor koordinátás alakja
A skalárral való szorzással fel tudjuk írni a v vektor egységvektorát: v v1 v 2 v 3 1 v0 v , , . v v v v v Írjuk fel az a 2, 3 ,3 vektor egységvektorát.
Megoldás: Mivel a 4 3 9 16 4 , ezért
a0
2 3 1 1 a 2, 3 ,3 , , 4 4 4 4 4
Skaláris szorzat Legyen a a1 , a 2 , a 3 ; b b1 , b2 , b3 . A két vektor ab skaláris szorzata: ab a1b1 a 2 b2 a 3 b3 .
Két vektor skaláris szorzatát tehát úgy számíthatjuk ki, hogy a megfelelő koordináták szorzatát összeadjuk. Megmutatjuk, hogy ez a geometriai definícióból következik. Ugyanis a skaláris szorzat értelmezése szerint ii jj kk 1 1 cos 0 1; ij ik jk 1 1 cos 90 0 . Ezeket felhasználva, ab a1i a 2 j a 3 k b1i b2 j b3 k a1b1 a 2 b2 a 3 b3 . 6,2,1 és Legyen Megoldás. 6·1
1, 1,2 . Számítsuk ki ab-t! 2 · 1 1 · 2 6.
Megjegyzés. A skaláris szorzat értelmezéséből az is kiolvasható, hogy a két vektor által közrezárt szög koszinusza: cos
| || |
.
, , vektor x tengellyel (így az Ezt felhasználva, a szögének a koszinusza: v vi cos 1. v 1 v Ugyanígy az y ill. z tengellyel bezárt szög koszinusza: 6
vektorral) közrezárt
v cos 2 v
v ill. cos 3 . v
Ezeket az eredményeket összevetve az egységvektor koordinátás alakjával, azt kapjuk, hogy v 0 cos , cos , cos . Az egységvektor koordinátái tehát az ún. iránykoszinuszok. 2
Mivel v 0 1 v 0 , ezért cos 2 cos 2 cos 2 1 .
1,1, √2 vektor egységvektora
A
, cos
cos
Így a
1,1, √2 . Tehát √
, cos
.
vektor az x, y, z tengellyel közrezárt szögei rendre: 120°, 60°, 45°.
Vektoriális szorzat
Legyen szorzata:
,
,
,
,
,
. Akkor a két vektor
vektoriális
,
azaz ,
,
.
Megmutatjuk, hogy a vektoriális szorzatnak ez a kiszámítási módja a geometriai definícióból következik. A vektoriális szorzat értelmezése szerint: i i j j k k 0 i j k, j k i, k i j , j i k, k j i, i k j . Ezeket felhasználva,
a b a1i a 2 j a 3 k b1i b2 j b3 k a1b2k a1b3 j a2b1k a2b3i a3b1j a3b2i a 2 b3 a 3 b2 i a1b3 a 3 b1 j a1b2 a 2 b1 k . 7
A vektoriális szorzat kiszámítása a determináns segítségével
A fenti "képletet" nehéz megjegyezni, ezért az segítségével számítjuk ki.
vektoriális szorzatot determináns
Másodrendű determináns
Legyen adva az
alakzat (táblázat, később majd mátrixnak nevezzük). Az indexek azt adják meg, hogy az elem melyik sor (első index) melyik oszlopában (második index) helyezkedik el. A táblázat elemeiből alkotott kifejezéssel a táblázat determinánsát adjuk meg, és ennek jelölése .
. Számítsuk ki a
determinánst! Megoldás:
4 3
4 3
2 5
2 5
4·5
3·2
14.
Harmadrendű determináns
A harmadrendű determináns kiszámítását visszavezetjük másodrendű determinánsok kiszámítására a következő módon: .
A megjelenő másodrendű determinánsokat úgy képezzük, hogy a harmadrendű determinánsból töröljük azt a sort és azt az oszlopot, amelyben az előttük álló elem 8
szerepel. (Pl. Az melletti determináns úgy jön létre, hogy kihúztuk az első sort és első melletti úgy, hogy kihúztuk az első sort és a második oszlopot – és oszlopot; az mellettinél az első sort és a harmadik oszlopot.) Az így negatív előjelet írunk –, az kapott másodrendű determinánsokat már ki tudjuk számítani. Lásd: 9 6 3
8 5 2
7 4 1
9
5 2
4 1
8
6 3
4 1
7
6 3
5 2
0.
A determináns segítségével a vektoriális szorzat a következőképpen írható fel: . 1,3,2 és Számítsuk ki az kifeszített paralelogramma területét! Megoldás: 1 2
3 4
2,4,1 vektorok vektoriális szorzatát és az általuk
2 1
5
3
2
5,3, 2 .
A két vektor által kifeszített paralelogramma területe, |
|, azaz
√38.
szorzatot kétszeres vektoriális szorzatnak nevezzük. Megjegyzés: Az Érvényes az ún. kifejtési tétel: . Vegyes szorzat
Legyen , , , , , , szorzata az alábbi módon számítható ki:
,
a1 a b c abc b1 c1
a2 b2 c2
,
, akkor a három vektor vegyes a3 b3 . c3
(Ha elvégezzük koordinátákkal az a b majd az a b c szorzást éppen azt az értéket kapjuk meg, amit a determináns ad.) 9
Megjegyzés: Az abc vegyes szorzat abszolút értéke a három vektor által kifeszített paralelepipedon (paralelogramma alapú hasáb) térfogatát adja.
Ha a vegyes szorzat értéke nulla, akkor a három vektor egy síkban van. Az értelmezésből az is következik, hogy abc bca cab , vagyis a tényezők ciklikus cseréje esetén a vegyes szorzat értéke nem változik. Viszont két egymás melletti tényező cseréje előjelváltást eredményez, azaz bac cba acb abc . Számítsuk ki az Megoldás:
9,8,7 ,
6,5,4 és 9 6 3
3,2,1 vektorok vegyes szorzatát! 8 5 2
7 4 1
0.
A három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogata tehát nulla, ezért a három vektor egy síkban van.
10
