Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik
Ismert fogalmak
Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések
Témák
Szabadvektorok vektortere Skaláris szorzat Vektoriális szorzat Vegyes szorzat
Szabadvektorok vektortere Háromdimenziós térben konstruáljuk, V3-mal jelöljük. X={a tér minden irányított szakasza és a tér minden pontja}
X AB, CD,
, AA, BB,
Y={a tér párhuzamos eltolásai és az identitás}
Y = I, p1 , p 2 , ...
f: X → Y leképezés: Egy irányított szakaszhoz azt az eltolást rendeljük hozzá, amelyet alkalmazva a kezdőpont képe a végpont lesz.
AB X
p Y: p(A)=B
Az X halmazon a f leképezés egy osztályozást indukál, az osztályozásban fellépő részhalmazokat a, b,… -vel jelöljük, és szabadvektoroknak nevezzük.
V3 = a,b,
A V3 halmaz összeadással és skalárral való szorzással vektortérré tehető. A vektortér elemei (a vektorok) tulajdonképpen halmazok.
Szabadvektorok vektortere Reprezentáns A tér minden pontjából kiinduló, azonos hosszúságú és azonos irányú irányított szakaszok valamelyike. Vektor hossza (normája): tetszőleges reprezentánsának hossza, jele:
nullvektor (zérusvektor): 0 egységvektor: e
0 0 e 1
Két vektor által bezárt szög Egy közös pontból induló reprezentánsaik által bezárt szög.
Párhuzamos (egyállású) vektorok: szögük 0 Ellentétes irányú vektorok: szögük 180 Merőleges vektorok: szögük 90
Vektorok szorzatai
V3 vektorai felhasználásával definiált szorzatok(függvények):
Belső (skaláris) szorzat Külső (vektoriális) szorzat ← Művelet!!! Vegyes szorzat
Belső (skaláris) szorzat A V3 vektortéren belső (skaláris) szorzaton azt a V3 V3 R függvényt értjük, mely az a,b rendezett vektorpárhoz az
(a,b) : a b cos valós számot rendeli, ahol f a két vektor által bezárt szög. Definíció szerint:
(a,a) : a 2 a
2
Belső (skaláris) szorzat Tétel Két, nullvektortól különböző vektor akkor és csak akkor merőleges, ha a skaláris szorzatuk nulla.
a b (a 0, b 0)
(a,b) 0
Ortonormált bázis Az {e1, e2, e3} vektorrendszer ortonormált bázis, ha a tagjai egységvektorok és páronként egymásra merőlegesek.
(ei ,e j ) ij
i, j 1, 2,3
Belső szorzat kiszámítása ortonormált bázisban
Gram-Schmidt-féle ortogonalizálási eljárás V3-ban létezik {e1, e2, e3} ortonormált bázis, melyet egy tetszőleges {u1, u2, u3} bázis átalakításával kapunk.
e1
Az ortonormált bázis első vektora:
u1 u1
A második vektort az [u1, u2]≡[e1, u2] síkban keressük, állását az u2 vektor e1-re merőleges összetevője adja:
e2 * u 2 (u 2 , e1 )e1
e2
e2 * e2 *
A harmadik vektort az [u1, u2]≡[e1, e2] síkra merőlegesen keressük, állását az u3 vektor síkra merőleges összetevője adja:
e3 * u 3 (u 3 , e1 )e1 (u 3 , e2 )e 2
e3 * e3 e3 *
Külső (vektoriális) szorzat A V3 vektortéren vektoriális (külső) szorzaton azt a V3 V3 V3 függvényt értjük, mely az a, b rendezett vektorpárhoz az a ´ b-vel jelölt vektort rendeli:
• a b a b sin , ahol f a két vektor szöge • a ´ b a és a ´ b b • a, b, a ´ b ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkot.
Külső (vektoriális) szorzat
Külső (vektoriális) szorzat Tétel Két, nullvektortól különböző vektor akkor és csak akkor párhuzamos, ha vektorális szorzatuk nullvektor. (Két vektor akkor és csak akkor lineárisan függő, ha a vektoriális szorzatuk nullvektor.) Kiszámítás ortonormált jobbsodrású bázisban:
e1 e2 a b 1 2 1 2
e3 3 3
Vegyesszorzat A V3 vektortéren vegyesszorzatnak nevezzük azt a V3 V3 V3 R függvényt értjük, mely az a, b, c rendezett vektorhármashoz az
abc : (a b, c) valós számot rendeli. Geometriai jelentés
Tétel
Ha az a, b, c ÎV3 lineárisan független jobbsodrású vektorhármas, akkor az abc vegyesszorzat egyenlő az egy pontból induló reprezentánsaik által felfeszített paralelepipedon térfogatával. Ha az a, b, c ÎV3 vektorhármas balsodrású rendszert alkot, akkor az abc vegyesszorzat egyenlő az előbbi paralelepipedon térfogatának (-1)szeresével.
Vegyesszorzat Tétel Az a, b, c ÎV3 vektorok akkor és csak akkor lineárisan függők, ha vegyesszorzatuk nullával egyenlő. (A három vektor pontosan ekkor van egy síkban.) Kiszámítás 1 2 3 ortonormált jobbsodrású bázisban: abc 1
2
3
1
2
3
