14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:
Jelölés:
a kezdő és a végpont megadásával: ⃗; egy kisbetűvel: ⃗, írásban aláhúzás is szokásos: használhatunk: .
; nyomtatásban félkövér betűt
Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. A vektor hosszát a vektor abszolútértékének is nevezzük: | |. Nullvektornak nevezzük azt a vektort, amelynek abszolútértéke 0. A nullvektor iránya tetszőleges. Bármilyen meglepő, minden vektorral párhuzamosnak, minden vektorra merőlegesnek tekinthetjük. Két vektor egymás ellentettje, ha abszolútértékük egyenlő, irányuk ellentétes. Jelölés: az ellentettje – . Két vektor összegét az ábra szerint
háromszög-szabállyal vagy paralelogramma módszerrel szerkeszthetjük meg.
1
vektor
Ha a háromszög-szabályt használjuk, akkor egyszerre több vektort is összeadhatunk – egymás után felmérve őket – az összegvektor az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutat. A paralelogramma módszert például fizikában, az erők összegzése során alkalmazzuk. Két vektor különbségét az ábra szerint szerkesztjük meg. Az megkaphatjuk, ha az vektorhoz hozzáadjuk a − vektort.
Vektor szorzása számmal:
ha ha ha
és
vektor különbségét úgy is
∈ℝ
= 0, akkor ∙ = ; > 0, akkor a ∙ vektor iránya megegyezik az vektor irányával és | ∙ | = ∙ | |; < 0, akkor a ∙ vektor iránya ellentétes az vektor irányával és | ∙ | = | | ∙ | |.
Vektorok skaláris szorzata: Ha az vektorok skaláris szorzata:
vektorok szöge (0 ≤
és ∙
= | | ∙ | | ∙ cos .
Tétel (vektorműveletek tulajdonságai): A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív: +
=
+ ;
( + )+
=
+ ( + ).
2
≤ ), akkor az
és
A vektorok számmal való szorzására teljesülnek az alábbi összefüggések: ∙( + )=
∙
+
∙ ;
∙ ( ∙ ) = ( ∙ ) ∙ ; ( + )∙
=
∙
+
∙ .
A skaláris szorzat tulajdonságai: ∙
=
( + )∙ = ∙( ∙ ) = ( ∙ )∙
∙ ; ∙ + =
∙ ; ∙ ( ∙ );
=| | . Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk 0.
Tétel:
Ha és a sík két nem párhuzamos vektora, akkor a sík tetszőleges felbontható az és vektorokkal párhuzamos összetevőkre: = ∙ + ∙ ; ; ∈ ℝ. Ezt az előállítást az és vektorok lineáris kombinációjának is nevezzük.
vektora egyértelműen
Ha , és a tér három nem egysíkú vektora, akkor a tér tetszőleges felbontható az , és vektorokkal párhuzamos összetevőkre: = ∙ + ∙ + ∙ ; ; ; ∈ ℝ.
vektora egyértelműen
Síkban az ; , térben az ; ; vektorokat bázisvektoroknak, az ; illetve ; ; számokat a vektor koordinátáinak nevezzük. A vektorok koordinátáival és a vektorműveletek koordinátákkal való kifejezésével a 15. témakörben foglalkozunk részletesen. Ha a síkban (térben) egy pontot rögzítünk, akkor az pontból a sík(tér) tetszőleges pontjához vezető ⃗ vektort a pont helyvektorának, az pontot vonatkoztatási pontnak nevezzük A helyvektort szokás a megfelelő kisbetűvel jelölni: ⃗ = .
3
Tétel: Ha az
szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok ⃗= − .
az
szakasz
az
szakasz -hoz közelebbi
az
és , akkor
felezőpontjába mutató helyvektor: + = . 2
szakaszt
:
harmadolópontjába mutató helyvektor: 2 + = . 3 arányban =
osztó + . +
pontba
mutató
helyvektor:
Tétel:
Ha az háromszög csúcspontjaiba mutató helyvektorok súlypontjába mutató helyvektor: + + = . 3
, , , akkor a háromszög
Ha az tetraéder csúcspontjaiba mutató helyvektorok súlypontjába mutató helyvektor: + + + = . 4
, , , , akkor a tetraéder
II. Kidolgozott feladatok 1. Adott az ; ;
vektor. Szerkesszük meg az alábbi vektorokat!
a)
+2
b)
−
c) − +
−
4
Megoldás: a)
b)
2. Bontsuk fel a
c)
vektort az
és
vektorokkal párhuzamos összetevőkre!
a)
b)
5
Megoldás: a) A vektor végpontján keresztül párhuzamost húzunk az illetve vektorokkal. Így a vektort egy paralelogrammába foglaljuk. = + a vektorok összeadásának szabálya szerint. = 1,5 ∙ , = 2,5 ∙ , így = 1,5 ∙ + 2,5 ∙ .
b) Hasonlóan szerkesztünk, mint az előző esetben. Most az összetevők az és vektorokkal ellentétes irányúak, ezért negatív számokat használunk az összetevők kifejezésére:
=
+
= − − 1,5 ∙ .
3. Az háromszög súlypontjából a csúcsokhoz mutató vektorok: , , vektorok összegét! I. Megoldás:
6
, , . Határozzuk meg az
Az
pont az
⃗=
oldal felezőpontja, ezért
. A súlypont a súlyvonalnak a csúcstól
= −2 ∙ ⃗ = −( + ). Innen átrendezés után kapjuk:
távolabbi harmadoló pontja, ezért
+
+ = .
II. Megoldás: A fenti bizonyítás a súlyvonal és a súlypont geometriai tulajdonságára épít. Érdemes azonban „vektorosan” is gondolkozni. Legyen a vonatkoztatási pont . Ekkor , , a csúcsok helyvektorai. A súlypont helyvektorára fel tudjuk írni: + + = ⃗= . 3 Innen is megkapjuk az 4. Az
+
+
=
összefüggést.
paralelogramma síkjának egy tetszőleges pontja ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗!
. Bizonyítsuk be, hogy
I. Megoldás:
⃗=
⃗−
⃗ és
⃗=
⃗−
egyenlő hosszúak, ezért megkapjuk az ⃗ + ⃗ =
⃗= ⃗+
⃗ . A paralelogramma szemben lévő oldalai párhuzamosak és ⃗ ⃗ − ⃗ = ⃗ − ⃗. Ezt az összefüggést átrendezve ⃗ bizonyítandó állítást.
II. Megoldás:
A paralelogramma átlói felezve metszik egymást, ezért az felezőpontja, vektorokkal kifejezve:
7
pont az
és
szakasznak is
⃗=
⃗+ 2
⃗
=
⃗+ 2
⃗
⃗ +
⃗=
⃗+
⃗ ,
ezzel megkaptuk a bizonyítandó állítást. 5. Az négyszög szemközti oldalaira vektorokat illesztünk: ⃗ = ; ⃗ = . Az oldal hoz közelebbi negyedelő pontja , a oldal -hez közelebbi negyedelő pontja . Határozzuk meg az ⃗vektort az és vektorok segítségével! I. Megoldás:
⃗ = 4 ∙ . Az ⃗ vektort kifejezzük kétféle módon: ⃗ = − + + ⃗ =3∙ + − ∙ . Az első egyenlet háromszorosához hozzáadjuk a második egyenletet: 4∙ ⃗ = 3 + 3 + ⃗= . 4 II. Megoldás: Az ábra szerint az
⃗ = 4∙ ;
Húzzuk be a
átlót és osszuk fel négy egyenlő részre. A párhuzamos szelők tételének megfordítása miatt || , a párhuzamos szelőszakaszok tétele miatt = , tehát ⃗ = . Hasonlóan kapjuk, hogy
⃗=
. A vektorösszeadás szabálya szerint
8
⃗=
+
=
.
6. Az háromszög köré írható körének középpontja . Ebből a pontból a csúcsokhoz mutató vektorok: , , . Bizonyítsuk be, hogy az pontból felmért + + vektor a háromszög magasságpontjába mutat! Bizonyítsuk be, hogy a háromszög magasságpontja, súlypontja és a köré írható körének a középpontja egy egyenesen van (Euler-egyenes)! Megoldás:
Az ábra szerint legyen ⃗ = + + . ⃗ = ⃗ − ⃗ = + . ⃗ = − . | | = | |, mert az pont a háromszög körülírható körének a középpontja, így ( + )( − ) = − = | | − | | = 0. A két vektor skaláris szorzata 0, így merőlegesek egymásra. Ezzel bizonyítottuk, hogy , tehát az pont rajta van a csúcsból induló magasságvonalon. Hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy a másik két magasságvonalon is rajta van , tehát a háromszög magasságpontja. ⃗. Ezzel beláttuk, hogy az , , A háromszög súlypontjába mutató vektor ⃗ = = pontok egy egyenesen vannak, az pont az -hoz közelebbi harmadoló pontja az Ezt az egyenest Euler-egyenesnek nevezzük.
szakasznak.
7. A háromszög oldalainak a hossza , , ; a szemközti csúcsok helyvektorai Határozzuk meg a háromszögbe írt kör középpontjának helyvektorát!
, , .
Megoldás:
Az ábrán a helyvekorokat az áttekinthetőség miatt nem jelöltük. A szokásnak megfelelően az adott pontba a megfelelő kisbetűvel adjuk meg a helyvektort. A háromszög beírt körének középpontja a 9
szögfelezők metszéspontja, az ábrán a =
oldalak arányában osztja, ezért: háromszögben
pont. A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos és az
=
szakasz hossza
. Az
szögfelező, erre is alkalmazzuk az előbb említett tételt: +
= +
+
=
+ +
+
+
+ +
+
=
+
+ +
+
=
+ +
+ + + +
.
A beírt kör középpontjának helyvektora ezek szerint a csúcsok helyvektorainak az oldalak hosszával súlyozott közepe. 8. Határozzuk meg az
és
vektorok szögét, ha | | = 7; | | = 12 és
= −60!
Megoldás: = | | ∙ | | ∙ cos , ahol
a két vektor szöge. Innen cos
= −
∙
= − = 135,58°.
szabályos hatszög oldalainak a hossza 10, a hatszög középpontja O. Számítsuk ki az ⃗ ∙ ⃗ ; ⃗ ∙ ⃗ ; ⃗ ∙ ⃗ ; ⃗ ∙ ⃗; ⃗ ∙ ⃗
9. Az
skaláris szorzatok értékét! Megoldás:
⃗∙
⃗ = 10 ∙ 10 ∙ cos 60° = 100 ∙ 0,5 = 50;
⃗∙
⃗ = 10 ∙ 10√3 ∙ cos 30° = 100 ∙ √3 ∙
⃗∙
⃗ = 10 ∙ 10 ∙ cos 180° = −100;
⃗∙
⃗ = 20 ∙ 10√3 ∙ cos 90° = 0 ;
⃗∙
⃗ = 20 ∙ 10 ∙ cos 120° = 200 ∙ (−0,5) = −100.
√3 = 150; 2
10. Bizonyítsuk be, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalainak négyzetösszegével!
10
Megoldás:
A paralelogramma oldalaira és az átlókra az ábra szerint vektorokat illesztünk. A szakaszok hosszát kisbetűvel, a vektorokat félkövér betűkkel jelöljük. A megoldás során kihasználjuk, hogy egy vektor négyzete egyenlő a hosszának a négyzetével: +
=
11. Szerkesszük meg az Bizonyítsuk be, hogy a
+
= ( + ) +( − ) = 2∙
+2∙
=2
+2
.
háromszög és oldalára kifelé az és négyzeteket. szakasz kétszer akkora, mint a háromszög -hez tartozó súlyvonala!
Megoldás:
Az oldal felezőpontja , a oldal felezőpontja , az oldal felezőpontja . A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög egyik oldalával és fele olyan hosszú. Ezt felhasználva jelölünk vektorokat az ábrán: ⃗=
⃗ = ; ⃗ = 11
⃗ = .
vektornak, a vektor az vektornak a −90°-os (az óramutató járásával azonos ⃗ irányú) elforgatottja. Így = 2 ; ⃗ = 2 . A vektorösszeadás szabálya szerint a háromszög súlyvonalára illesztett vektor: = + ; a szakaszra illesztett vektor: = 2 + 2 = 2( + ). Ez az eredmény azt mutatja, hogy a vektor az vektor −90°-os elforgatottjának a 2szerese. Tehát beláttuk, hogy a szakasz kétszer olyan hosszú, mint a súlyvonal, továbbá azt is, hogy merőleges rá. Az
vektor az
III. Ajánlott feladatok 1. Adott az ; ;
a)
+2
b)
−
c) − +
vektor. Szerkessze meg az alábbi vektorokat!
−
csúcsából kiinduló élvektorok , , . A él felezőpontja , a lap középpontja . Fejezzük ki az ⃗ , ⃗, ⃗, ⃗ vektorokat az , , vektorok segítségével!
2. Az
kocka
3. Az paralelogramma és oldalát osszuk három egyenlő részre, így kapjuk az ábra szerint a és pontokat. Osszuk fel a szakaszt is három egyenlő részre, a pont a szakasz -hez közelebbi harmadoló pontja. Írja fel az ⃗ vektort az ⃗ = és az ⃗ = vektorok segítségével! (Nemzetközi Előkészítő Intézet felvételi feladata, 1985)
12
4. Az
paralelepipedon éleire az ábra szerint vektorokat illesztünk. A háromszög ⃗ ⃗ ⃗ súlypontja , a háromszög súlypontja . Fejezzük ki az , , vektorokat az , , vektorok segítségével! Határozzuk meg, hogy a paralelepipedon testátlóját milyen arányban osztja a két háromszög síkja!
5. Az háromszög csúcsát tükrözzük a csúcsra, így az pontot kapjuk. Hasonlóan a csúcsnak a -re vonatkozó tükörképe , -nek az -ra vonatkozó tükörképe . Bizonyítsuk be, hogy az háromszög és az háromszög súlypontja azonos! 6. Bizonyítsuk be, hogy ha a háromszög magasságpontját az oldalfelező pontokra tükrözzük, akkor a háromszög köré írható körének pontjait kapjuk! 7. Legyen és az háromszög , illetve oldalán lévő két belső pont úgy, hogy = . Jelölje a oldal felezőpontját , a szakasz felezőpontját . Igazolja, hogy az egyenes párhuzamos az háromszög csúcsából induló belső szögfelezőjével! (Felvételi feladat, 1992) 8. Egy szánkót 30 N erővel húzunk, az erő 40°-os szöget zár be az elmozdulással. Mekkora munkát végzünk, ha 50 m úton húzzuk a szánkót? 9. Mekkora az
és
egységvektorok szöge, ha (2 − )(3 + 4 ) = −0,5?
10. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges egy sík két nem párhuzamos egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére! 11. Az
tetraéder , , háromszög hegyesszögű!
12. Adott egy
élei páronként merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy az
paralelogramma és egy ⃗ +
13. Az háromszög és háromszögeket. Az , , háromszög is szabályos!
⃗
pont. Bizonyítsuk be, hogy : −
⃗ +
⃗
=2 ⃗∙
⃗!
oldalára kifelé szerkesszük meg a , illetve a szabályos szakaszok felezőpontjai , , . Bizonyítsuk be, hogy az
13
Az ajánlott feladatok megoldásai 1. Adott az ; ;
d)
+2
e)
−
f) − +
vektor. Szerkessze meg az alábbi vektorokat!
−
Megoldás:
14
csúcsából kiinduló élvektorok , , . A él felezőpontja , a ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ lap középpontja . Fejezzük ki az , , , vektorokat az , , vektorok segítségével!
2. Az
kocka
Megoldás: ⃗=
+ ;
⃗=
− ; ⃗ =
+ + 0,5 ;
⃗=
+ 0,5 + 0,5 .
3. Az paralelogramma és oldalát osszuk három egyenlő részre, így kapjuk a és pontokat. Osszuk fel a szakaszt is három egyenlő részre, így kapjuk a pontot. Az ábrának megfelelően rajzolt ⃗ vektort írja fel az ⃗ = és az ⃗ = vektorok segítségével!
(Nemzetközi Előkészítő Intézet felvételi feladata, 1985) Megoldás: ⃗= ⃗=
+ ∙
;
⃗= =
. A +
pont a
szakasz
-hez közelebbi harmadoló pontja, ezért
.
4. Az ABCDEFGH paralelepipedon éleire az ábra szerint vektorokat illesztünk. A DBE háromszög súlypontja S , a CFH háromszög súlypontja S . Fejezzük ki az AG⃗, AS ⃗, AS ⃗ vektorokat az , , vektorok segítségével! Határozzuk meg, hogy a paralelepipedon testátlóját milyen arányban osztja a két háromszög síkja!
15
Megoldás:
⃗=
+
+ .
⃗ = + ; ⃗=
⃗=
pont a
háromszög súlypontja, ezért
+ ; ⃗ = = ( +
+
és
⃗=
a
+ ). Ebből látható, hogy az ,
.
háromszög ,
,
súlypontja,
ezért
pntok egy egyenesre esnek
és a két háromszög síkja harmadolja a paralelepipedon átlóját. 5. Az háromszög csúcsát tükrözzük a csúcsra, így az pontot kapjuk. Hasonlóan a csúcsnak a -re vonatkozó tükörképe , -nek az -ra vonatkozó tükörképe . Bizonyítsuk be, hogy az háromszög és az háromszög súlypontja azonos!
Megoldás: Az adott pontokba mutató helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. A felezőpontja, ezért
=
. Innen átrendezve azt kapjuk, hogy 16
pont az
szakasz
= 2 − . Hasonlóan
=2 − ;
= 2 − . Az
háromszög
háromszög súlypontjába mutató helyvektor
súlypontjába mutató helyvektor
=
=
=
. Az = . Ezzel
beláttuk, hogy a két háromszög súlypontja azonos. 6. Bizonyítsuk be, hogy ha a háromszög magasságpontját az oldalfelező pontokra tükrözzük, akkor a háromszög köré írható körének pontjait kapjuk! Megoldás:
Most is válasszuk vonatkoztatási pontnak a körülírható kör középpontját. A 6. kidolgozott feladatban bizonyítottuk, hogy ha a körülírható kör középpontjából a csúcsokba mutató helyvektorok , , , akkor a magasságpontba mutató helyvektor + + . Jelöljük az oldal felezőpontját
-el, ekkor
=
. A tükrözés miatt
az
′ szakasz felezőpontja is. Ebből az
′pont helyvektora kiszámítható: =
+ 2
=
+ 2
′
+
Tehát = − . Ez azt jelenti, hogy az ′ pont a tükörképe, tehát rajta van a körülírható körön.
=
+ + +
pontnak az
.
körközéppontra vonatkozó
7. Legyen és az háromszög , illetve oldalán lévő két belső pont úgy, hogy Jelölje a oldal felezőpontját , a szakasz felezőpontját . Igazolja, hogy az párhuzamos az háromszög csúcsából induló belső szögfelezőjével! (Felvételi feladat, 1992)
17
= . egyenes
I. Megoldás:
Az ábra szerint bevezetjük a következő jelöléseket: ⃗ = ; ⃗ = ; a vektorral párhuzamos egységvektor ; a vektorral párhuzamos egységvektor . Alkalmas valós számmal felírható: ⃗= ⃗= ⃗= ⃗= ; . Ezeket használva kifejezhető: ; . Majd meghatározzuk: ⃗= és
⃗−
+ −
⃗=
+
− + 2
=
(
+ 2
)
.
egyenlő hosszú vektorok, ezért az összegük a szögfelező irányába mutat, mert egy
rombusz átlója. Ebből látható, hogy
(
)
párhuzamos a
vektorral, így a szögfelezővel.
= esetén a szögfelezőre esik, ezt a párhuzamosság speciális esetének tekintjük. Ezzel beláttuk a feladat állítását. II. Megoldás:
Az első megoldás szerint bevezetjük az
⃗ = ; ⃗ =
vektorokat; az ezekkel párhuzamos és egységvektorokat, a valós számot, amellyel felírható: ⃗ = ; ⃗= . A szakasz felezőpontja , a szakasz felezőpontja . A és szakaszokra az ábra szerint vektorokat ⃗= ; ⃗=− ; ⃗ = ; ⃗ = − , ezekkel az ⃗ vektort kétféle módon illesztünk: kifejezzük:
18
⃗=
+
+
⃗=− +
−
A két egyenletet összeadjuk és az eredményt megfelezzük: ⃗=
+ 2
=
(
+ 2
)
Innen az első megoldásnak megfelelően fejezzük be a megoldást. 8. Egy szánkót 30 N erővel húzunk, az erő 40°-os szöget zár be az elmozdulással. Mekkora munkát végzünk, ha 50 m úton húzzuk a szánkót? Megoldás: Ha ⃗ erőt fejtünk ki és eközben az elmozdulást az ⃗ vektor adja meg, akkor a fizikai munkavégzést az erő és az elmozdulás skaláris szorzatával számoljuk ki: = ⃗ ∙ ⃗ = 30N ∙ 50m ∙ cos 40° = 1149 J. 9. Mekkora az
és
egységvektorok szöge, ha (2 − )(3 + 4 ) = −0,5?
Megoldás: A skaláris szorzat tulajdonságai alapján felbontjuk a zárójelet és felhasználjuk, hogy vektorok hossza egységnyi: (2 − )(3 + 4 ) = 6 Ebből
−3
+8
−4
= 6+5
= −0,5 adódik. Ha a két vektor szöge , akkor cos
−4 = 2+5
= −0,5, tehát
és
= −0,5.
= 120°.
10. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges egy sík két nem párhuzamos egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére! Megoldás:
Tegyük fel, hogy az egyenes merőleges a sík és ℎ egyenesére, amelyek nem párhuzamosak. Legyen a sík tetszőleges egyenese. Az , , ℎ, egyenesek egy-egy irányvektora , , , . A
19
vektor felírható az és vektorok lineáris kombinációjaként; = + alakban, ahol , valós számok. Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk 0. Így ∙ = 0; ∙ = 0. Ekkor: ∙ = ∙ ( + ) = ( ∙ ) + ( ∙ ) = 0 is teljesül, amiből következik, hogy , tehát az egyenes merőleges a egyenesre is. A fenti ábra közös ponton átmenő egyenesekre mutatja a bizonyítást a jobb áttekinthetőség miatt, de meggondolható, hogy a bizonyítás általános esetben ugyanígy igaz, az egyenesek szöge nem változik, ha közös pontba toljuk el őket. tetraéder , , háromszög hegyesszögű! Megoldás: 11. Az
élei páronként merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy az
A tetraéder éleire vektorokat illesztünk: ⃗ = , ⃗ = , ⃗ = . = = = 0 az élek ⃗ ⃗ merőlegessége miatt. ∙ = ( − )( − ) = − − + = > 0. Ha két vektor skaláris szorzata pozitív, akkor a két vektor hegyesszöget zár be, tehát az háromszögben az csúcsnál hegyesszög van. Ugyanígy bizonyítható, hogy a másik két szög is hegyesszög, így a háromszög hegyesszögű. 12. Adott egy
paralelogramma és egy ⃗ +
⃗
pont. Bizonyítsuk be, hogy −
⃗ +
Megoldás:
20
⃗
=2 ⃗∙
⃗!
⃗ + ⃗ ⃗− ⃗
= =
⃗
=
⃗
⃗ + ⃗ = ⃗ − ⃗ + ⃗ − ⃗ = − ⃗+ ⃗ + ⃗− ⃗ ⃗+ ⃗ = ⃗+ ⃗ + ⃗ ⃗+ ⃗ = ⃗ − ⃗− ⃗ + ⃗ ⃗+ ⃗ = ⃗− ⃗+ ⃗− ⃗ = ⃗ ⃗+ ⃗ = ⃗ ⃗+ ⃗ =2 ⃗∙
⃗.
Az átalakítások során felhasználtuk, hogy a paralelogramma szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlőek, továbbá alkalmaztuk a vektorműveletek tulajdonságait. Megjegyzés: Ha téglalap, akkor következő állítás:
⃗∙
⃗ = 0, mert a téglalap oldalai merőlegesek egymásra. Ezért igaz a
A téglalap alapú gúla két-két szemben lévő oldalélének négyzetösszege egyenlő. 13. Az háromszög és háromszögeket. Az , , háromszög is szabályos!
oldalára kifelé szerkesszük meg a , illetve a szabályos szakaszok felezőpontjai , , . Bizonyítsuk be, hogy az
Megoldás:
Az oldal felezőpontja . A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög egyik oldalával és fele olyan hosszú. Ezt felhasználva jelölünk vektorokat az ábrán: ⃗=
⃗ = ; ⃗ =
⃗ = .
vektornak, a vektor az vektornak a −60°-os (az óramutató járásával azonos irányú) elforgatottja, így ⃗ = 2 ; ⃗ = . A háromszögben középvonal, ezért ⃗ = − .Vektorműveleteket használva ⃗ = − ; ⃗ = − . Ez az eredmény azt mutatja, Az
vektor az
hogy ha az szakaszt az pont körül −60°-al elforgatjuk, akkor az háromszög szabályos.
szakaszt kapjuk, tehát az
Megjegyzés: Ha az állítása:
háromszög
szögét „határesetként” 180°-nak választjuk, akkor is igaz a feladat
Legyen az szakasz belső pontja a pont. Az és illetve a szabályos háromszögeket. Az , , Bizonyítsuk be, hogy az háromszög is szabályos! 21
szakaszra szerkesszük meg az szakaszok felezőpontjai , ,
, .
A bizonyítás erre az esetre is a fent leírt módon alkalmazható..
IV. Ellenőrző feladatok 1. Adottak az , , egysíkú vektorok. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a)
− 2( + )
b)
+
c)
2. Az és vektorok nem párhuzamosak, egyik sem nullvektor. Milyen teljesül az alábbi egyenlőség?
és
− valós számokra
( + ) + ( − 2) = (2 − )( − ) 3. Határozza meg az 80°!
+
és az
−
vektorok hosszát, ha | | = 12, | | = 10 és a két vektor szöge
4. Az négyszög oldalvektorai: ⃗ = ; ⃗ = ; segítségével az átlók felezőpontjait összekötő vektort!
⃗ = . Fejezze ki ezeknek a vektoroknak a
5. Bizonyítsa be, hogy a tetraéder súlypontja felezi a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszt! 6. Az húrnégyszög Bizonyítsa be, hogy a 7. Mekkora az
és
, , , részháromszögeinek magasságpontjai négyszög egybevágó az négyszöggel!
vektor szöge, ha | | = 10; | | = 8;
, , . .
= 60?
8. Egy tetraéder szemközti éleinek négyzetösszege egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a kitérő élek merőlegesek egymásra!
Az ellenőrző feladatok megoldásai 1. Adottak az , , egysíkú vektorok. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a)
− 2( + )
b)
Megoldás: Alkalmazzuk a vektorműveletek szabályait! 22
+
c)
−
2. Az és vektorok nem párhuzamosak, egyik sem nullvektor. Milyen teljesül az alábbi egyenlőség?
és
valós számokra
( + ) + ( − 2) = (2 − )( − ) Megoldás: Bármely vektor egyértelműen bontható fel és vektorokkal párhuzamos összetevőkre, ezért az egyenlet két oldalán az és vektorok együtthatói egyenlőek: + =2 − −2= −2 Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: = 1; = 0,5. 3. Határozza meg az 80°!
+
és az
−
vektorok hosszát, ha | | = 12, | | = 10 és a két vektor szöge
Megoldás:
A paralelogramma szomszédos szögei 180°-ra egészítik ki egymás, ezért háromszögre a koszinusztételt felírva megkapjuk az + vektor hosszát.
= 100°. Az
= 144 + 100 − 2 ∙ 12 ∙ 10 ∙ cos 100° = 285,68 | + | = Az
285,68 = 16,9
háromszögre felírva a koszinusztételt megkapjuk az
−
vektor hosszát.
= 144 + 100 − 2 ∙ 12 ∙ 10 ∙ cos 80° = 202,32 | − | =
202,32 = 14,2
4. Az négyszög oldalvektorai: ⃗ = ; ⃗ = ; segítségével az átlók felezőpontjait összekötő vektort! I. Megoldás:
23
⃗ = . Fejezze ki ezeknek a vektoroknak a
Az
átló felezőpontja , a
átló felezőpontja . ⃗= ⃗=
+ , 2
+ ⃗ =
+
+ ⃗ =
+
+ + . 2
Ezt felhasználva: ⃗=
+
+ + 2
−
+ 2
=
+ . 2
Megjegyzés: Az eredményből látható, hogy az ⃗ vektort a ⃗ = vektor nélkül ki tudjuk fejezni. Arra is tudunk következtetni, hogy ha az négyszög trapéz ( || ), akkor párhuzamos a trapéz és alapjával. II. Megoldás:
Az átló felezőpontja , a átló felezőpontja . Az ábra szerint bevezetjük az ⃗ = ⃗ = vektorokat, így ⃗ = − és ⃗ = − . Az ⃗ vektort kétféle módon kifejezzük: ⃗ = + +
és
⃗ = − + − 2 ∙
⃗=
+
⃗ =
+ 2
Ebből a levezetésből az is érthetővé válik, hogy miért nincs szükségünk a kifejezéséhez.
vektorra az
⃗ vektor
5. Bizonyítsa be, hogy a tetraéder súlypontja felezi a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszt! Megoldás: Egy rögzített
pontból a pontokba mutató helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük.
oldalfelező pontok, ezért
=
;
=
. az
szakasz felezőpontja
:
=
Ez éppen a tetraéder súlypontjának helyvektora, tehát beláttuk a feladat állítását.
24
=
és .
6. Az húrnégyszög Bizonyítsuk be, hogy a
; ; ; részháromszögeinek magasságpontjai négyszög egybevágó az négyszöggel!
; ; ; .
Megoldás:
A körülírható kör középpontját választjuk vonatkoztatási pontnak, az ebből a pontból induló helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. A 6. kidolgozott feladat eredménye alapján megadjuk a magasságpontokba mutató helyvektorokat: = + + ; = + + ; = + + ; = + + . Ez alapján: ⃗ = − ; ⃗ = − = + + − ( + + ) = − . Tehát az oldal párhuzamos és egyenlő a oldallal. Hasonlóan tudjuk belátni a többi oldalról is, hogy az négyszög megfelelő oldalával párhuzamos és egyenlő. Így a négyszög valóban egybevágó az négyszöggel. 7. Mekkora az
és
vektor szöge, ha | | = 10; | | = 8;
= 60?
Megoldás: cos( , )∡ =
| || |
=
60 = 0,75 80
( , )∡ = 41,41° a két vektor szöge. 25
8. Egy tetraéder szemközti éleinek négyzetösszege egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a kitérő élek merőlegesek egymásra! Megoldás:
A tetraéder csúcsából induló éleire illesztjük az , , vektorokat. Egy vektor négyzete megegyezik a hosszának a négyzetével. A feladat feltételét vektorokkal így írhatjuk le: +
= +
+ −2
⇔ +
0=2
= −2
+( − ) = +
−2
+( − ) +
0 = 2 ( − ) A skaláris szorzat csak akkor lehet nulla, ha a két vektor merőleges egymásra, tehát a tetraéder és kitérő élei merőlegesek egymásra. A másik két élpárra a bizonyítás ugyanilyen módon történik.
26
