TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 „A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben”
Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint
Készítette: Nagy András Vasvár, 2010. június
Az óra jellemzői:
Osztály:
11.
Tantárgy:
Matematika
Téma:
koordináta geometria
Az óra címe:
Az egyenes
Az óra típusa:
összefoglaló, rendszerező
Felhasznált segédanyagok:
• fénymásolt feladatlap • vonalzó, táblafilcek, számológép • GeoGebra matematikai program • Microsoft Office PowerPoint 2003 • Projektor
Az óra előzményei: A tananyag helye a tematikában: A 11. évfolyamban tanítjuk a koordinátageometriát a geometrián belül. Az ide tartozó feladatok elemi síkgeometriai ismeretekre épülnek, hiszen legtöbb feladat megfogalmazása ezen a „nyelven” történik. A megoldás során azonban algebrai ismeretek szükségesek. Az egyszerűbb feladatok megoldása viszonylag könnyű, mert ezekhez „recept” adható. Az összetettebb feladatok megoldása nehézséget okozhat, hiszen a matematika különböző területeinek ismereteit kell felhasználni, azokat ötvözni.
A tanulók előzetes ismeretei: • Egyenletek, egyenletrendszerek megoldása, Pitagorasz-tétel alkalmazása, számtani közép, szögfüggvények. • Egyenesek kölcsönös helyzete, illeszkedés, merőlegesség, párhuzamosság. Háromszög nevezetes pontjai. • Műveletek vektorokkal, két pont távolsága. Skaláris szorzat, két vektor hajlásszöge. Szakasz osztópontjának koordinátái. Egyenest jellemző adatok és azok kapcsolata. Egyenes normál-
2
és irányvektoros egyenlete, iránytényezős egyenlete. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei. Egyenesek metszéspontjainak koordinátái.
Az óra célja, követelményei: 1. Kognitív (értelmi) célok • Ismeret szintjén: A tanulók ismerjék a tananyaggal kapcsolatos fogalmakat. Ezeket tudják felidézni. Ismerjék fel és alkalmazzák a koordinátageometria legfontosabb ismereteit. • Megértés szintjén: Tudják értelmezni az összefüggéseket és ezeket saját szavaikkal is tudják megfogalmazni. Tudják levezetni a megoldás főbb lépéseit. • Alkalmazás szintjén: Lássák meg a problémákat, próbálkozzanak ezek megoldásával. Használják a matematikai jeleket, szimbólumokat.
2. Affektív (érzelmi-akarati) célok • Odafigyelés szintjén: A matematika iránti érdeklődés kialakítása, fenntartása. • Reagálás szintjén: Aktív részvétel a tanórai munkában. Együttműködés fejlesztése. • Az értékrendet tükröző viselkedés szintjén: Pontos, esztétikus munkavégzés. 3. Pszichomotoros (mozgásos) célok A feladatok megoldásának világos, áttekinthető rögzítése. Vázlatrajz készítése, mely alkalmas a megoldás menetének követésére. Az eszközök – vonalzó, körző, számológép – pontos, helyes használata.
Közvetlen tanórai célok Az óra a középszintű érettségire való felkészülést segíti. Tudják a tanulók egyenes egyenleteit felírni,
egyenletből
egyenest
meghatározó
adatokat
megállapítani.
Tudják
egyenesek
metszéspontjait meghatározni, egyenesek egyenleteivel, azok kölcsönös helyzetével kapcsolatos feladatokat megoldani, illetve ezeket az ismereteket felhasználni összetett feladatok megoldásánál.
3
Az óra felépítése
I.
Jelentés, óraszervezés
II.
Házi feladat ellenőrzése
III.
Ismeretek, képletek összefoglalása, rendszerezése
IV.
Feladatok
V.
Összefoglalás
VI.
Értékelés, házi feladat kijelölése
Szakmai gondolatmenet és munkafázisok I. Jelentés, óraszervezés
Tanári, tanulói tevékenységek, munkaformák és módszerek
Eszközök és feltételek
jelentés, naplóbeírás
napló
II. Házi feladat ellenőrzése Az előző órán kapott házi feladat: adott agy háromszög közös ellenőrzés, a három csúcsa A(-1;2), B(3;-2) és C(2;3). Határozd meg felmerülő kérdések a súlypontját! Tükrözd a háromszöget a C csúcspontra! megválaszolása Mik a kapott csúcsok koordinátái? Az eredeti és a kapott pontok milyen alakzatot határoznak meg? Megoldás: −1+ 3 + 2 2 − 2 + 3 4 S ; = ;1 3 3 3 A BB ' felezési pontja C. Legyen B’(x,y) x+3 y−2 2= ⇒ x = 1 és 3= ⇒ y = 8, tehát B’(1;8) 2 2 Az AA' felezési pontja C. Legyen A’(x,y) x −1 y+2 2= ⇒ x = 5 és 3= ⇒ y = 4, tehát A’(5;4) 2 2 A kapott alakzat paralelogramma. III. Cím: Összefoglalás: az egyenes Ismeretek, képletek összefoglalása, rendszerezése 1.A síkgeometriai fogalmaknak milyen koordinátageometriai fogalmak felelnek meg? síkgeometria pont egyenes illeszkedés közös pont(ok)
Koordinátageometria rendezett számpár P(x;y) elsőfokú, kétismeretlenes egyenlet: Ax+By = Ax0+By0 egyenlet gyöke (megoldása) egyenletrendszer megoldása(i)
házi feladat
egyenesek kapcsolat a síkgeometria és a koordinátageometria között
feladatlap projektor
frontális munka
(1. táblakép)
4
Az fogalmak koordinátageometriai megfelelőit a diákok mondják, közben a táblára kivetítve a helyes válaszok is megjelennek. 2.Milyen adatokkal jellemezhetők az egyenesek? feladatlap projektor
normálvektor n(A;B) irányszög α
iránytangens (iránytényező) m irányvektor v(v1;v2)
(2. táblakép)
A táblára vetítem a jellemzőket és a közöttük lévő összefüggéseket. 3. Az eddigiek alapján töltsük ki a táblázatot:
n
v
m
α
e
(2;-1)
(1;2)
2
63,43°
f
(-3;5)
(5;3)
3 5
30,96°
g
(3;-2)
(2;3)
1,5
56,31° -53,13° 90°
h
(4;3)
(-3;4)
4 − 3
i
(7;0)
(0;7)
─
önálló feladatmegoldás, közös ellenőrzés
feladatlap projektor számológép
(3. táblakép)
A diákok önállóan oldják meg a feladatot, közösen ellenőrizzük a megoldást. A táblázat egyes sorai hány egyenest határoznak meg? Válasz: végtelen sokat. Mire van még szükségünk, hogy az egyenes adott legyen? Válasz: egy pontjára az egyenesnek. Nézzük meg az olyan f és az i egyenesek képét, amelyek illeszkednek az (1;3) pontra. Kivetítem az egyenesek képeit azok jellemzőivel együtt.
Geogebra prg. táblafilc
(4. és 5. táblakép)
IV. Feladatok 4. Alapadatokból írjunk fel egyenesek egyenleteit! Mindegyik esetben kérem az általános alakot és a egy-egy tanuló a táblánál oldja meg a behelyettesítést is. feladatot a) n(5;2), P0(3;1) Ax+By=Ax0+By0 5x+2y=17 b) v(1;4) P0(-2;5) v2(x-x0)=v1(y-y0) 5
4(x+2)=1(y-5) 4x-y=-13 c) m=2, Py(0;-3) y=mx+b y=2x-3
a lineáris függvény és az egyenes iránytényezős egyenletének kapcsolata
5. Mondj egy egyenest! Mit kérek? Válasz: kétismeretlenes elsőfokú egyenletet. Az egyenlet valóban egyenes egyenlete? Miért? Válasz: a kétismeretlenes elsőfokú egyenlet egyértelműen meghatároz egy egyenest. Egy tanuló által megadott egyenletet felírom a táblára és ebből meghatározunk egyenesre jellemző adatokat. állapítsuk meg a normálvektorát! állapítsuk meg az irányvektorát! állapítsuk meg az iránytényezőjét és irányszögét! állapítsuk meg a normálvektorát! állapítsuk meg tengelymetszeteit! A kiszámított adatok alapján az egyenest, adataival (6. táblakép) együtt kivetítem.
az egyenes és a kétismeretlenes elsőfokú egyenlet kapcsolata
az kért adatokat önállóan meghatározzák, közösen ellenőrizzük
5. feladat
Geogebra, táblafilc
Tudjuk, hogy a P(3;y) és a Q(x;200) pontok az egyenesre illeszkednek. Határozzuk meg a hiányzó egy-egy tanuló oldja a feladatot a táblafilc koordinátákat! táblánál Megoldás: az egyenes egyenletébe behelyettesítve a P illetve a Q pont ismert koordinátáit, a kapott egyenleteket megoldva kapjuk meg a hiányzó koordinátákat. 6.Írjuk fel e és f egyenesek egyenleteit, ha e illeszkedik A(-1;4) és B(3;2) pontokra, valamint e⊥f és f illeszkedik C(3;7)-re! Mivel célszerű kezdeni a feladatmegoldást? Válasz: ábrával. Megoldás: ve= AB =(4;-2) ~ (2;-1) -1(x-3) = 2(y-2) -x+3 = 2y-4 -x-2y = -7 e: x+2y = 7 ve=nf, mert e⊥f 2x-y = 2·3-1·7 f: 2x-y = -1 Határozzuk meg a két egyenes metszéspontját! Megoldás: x + 2y = 7 2 x − y = −1 /·2
6. feladat
önálló feladatmegoldás
elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer
6
x + 2y = 7
(1)+(2) 4 x − 2 y = −2 5x = 5 x=1 ⇒ y=3 A két egyenes metszéspontja: M(1;3) (7. táblakép)
Illeszkedik-e az e egyenesre a P(571;-280) illetve a Q(-97;52) pont? Hogyan vizsgáljuk meg az illeszkedést? Válasz: megoldása-e a pontot meghatározó számpár az egyenletnek? Megoldás: 571+2·(-280) ≠ 7 ⇒ P nem illeszkedik -97+2·52 =7 ⇒ Q illeszkedik.
7. Egy háromszög csúcsai A(-2;4), B(5;7) és C(3;-2). Írjuk fel az ma magasságvonal egyenletét! Milyen hosszú az sb súlyvonal?
egyenlet megoldásának ellenőrzése egy-egy tanuló oldja a feladatot a táblánál
megoldási terv közös megbeszélése 7. feladat önálló feladatmegoldás
Megoldás: n ma = CB =(2;9)
Geogebra
2x+9y = 2·(-2)+9·4 ma: 2x+9y = 32 sb=|FbB|
−2+3 4−2 1 Fb = ; = ;1 2 2 2 1 |FbB|= (5 − ) 2 + (7 − 1) 2 = 56,25 = 7,5 2 A súlyvonal hossza 7,5 hosszúságegység.
közös ellenőrzés a táblakép alapján
(8. táblakép)
V. Összefoglalás Normálvektoros egyenlet: Ax+By=Ax0+By0, ahol: (x;y) futópont, (x0;y0) az egyenes rögzített pontja, (A;B) az egyenes normálvektora.
frontális munka
feladatlap
Irányvektoros egyenlet: v2(x-x0)=v1(y-y0), ahol: (v1;v2) az egyenes irányvektora. Iránytényezős egyenlet: y=mx+b, ahol: m az egyenes irányszögének tangense, b annak a pontnak az ordinátája (második 7
koordinátája) ahol az egyenes metszi az y tengelyt, Py(0;b). Speciális egyenesek: x=x0 az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, pl.: x=3. Az y tengely egyenlete: x=0 y=y0 az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, pl.: y=-2. Az x tengely egyenlete: y=0 Irányszög, iránytényező: 0° ≤ |α| ≤ 90°. Az y tengellyel párhuzamos egyenesek irányszöge 90°, de iránytangense nincs (tg 90° nem értelmezett)!
Párhuzamosság, merőlegesség: két egyenes párhuzamos, ha: A A m1=m2 vagy − 1 = − 2 vagy n1= λ n2 vagy v1= λ v2, B1 B2 ahol λ ∈ R\{0}. két egyenes merőleges, ha: A B m1·m2=-1 vagy 1 = − 2 vagy n1= λ v2 vagy v1= λ n2, B1 A2 ahol λ ∈ R\{0}. Két egyenes közös pontja(i): Az egyenesek egyenleteiből felírt egyenletrendszer megoldása(i), rendezett számpár(ok).
VI. Értékelés, házi feladat kijelölése Házi feladat: Adott az e: x+y=4 és f: 4x-y=11 egyenes. Írd fel annak a körnek az egyenletét melynek középpontja a két egyenes metszéspontja és a kör egy pontja P(5;2)!
Értékelem az osztály munkáját, megdicsérem a jól teljesítőket.
8
Táblaképek:
1. táblakép
3. táblakép
2. táblakép
4. táblakép
9
5. táblakép
7. táblakép
6. táblakép (lehetséges)
8. táblakép
10
Diákoknak kiosztott lap:
11
Összefoglalás Normálvektoros egyenlet: Ax+By=Ax0 + By0, ahol: (x;y) futópont, (x0;y0) az egyenes rögzített pontja, (A;B) az egyenes normálvektora. Irányvektoros egyenlet: v2(x-x0)=v1(y-y0), ahol: (v1;v2) az egyenes irányvektora. Iránytényezős egyenlet: y=mx + b, ahol: m az egyenes irányszögének tangense, b annak a pontnak az ordinátája (második koordinátája) ahol az egyenes metszi az y tengelyt Py(0;b). Speciális egyenesek: x = x0 az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, pl.: x = 3. Az y tengely egyenlete: x = 0. y = y0 az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, pl.: y = -2. Az x tengely egyenlete: y = 0. Irányszög, iránytényező: 0° ≤ |α| ≤ 90°. Az y tengellyel párhuzamos egyenesek irányszöge 90°, de iránytangense nincs (tg 90° nem értelmezett)! Párhuzamosság, merőlegesség: két egyenes párhuzamos, ha: A A m1=m2 vagy − 1 = − 2 vagy n1= λ n2 vagy v1= λ v2, ahol λ ∈ R\{0}. B1 B2 két egyenes merőleges, ha: A B m1·m2=-1 vagy 1 = − 2 vagy n1= λ v2 vagy v1= λ n2, ahol λ ∈ R\{0}. B1 A2 Két egyenes közös pontja(i): Az egyenesek egyenleteiből felírt egyenletrendszer megoldása(i), rendezett számpár(ok).
12
