MATEMATIKA „A” 11. évfolyam
A logaritmus 4. modul
Készítette: Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes
Matematika „A” – 11. évfolyam – 4. modul: A logaritmus
A modul célja
Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
Tanári útmutató
A logaritmus fogalmának mint a hatványozás inverz műveletének kialakítása. A logaritmusfüggvény grafikonjának ábrázolása, kapcsolata az exponenciális függvénnyel. A függvény tulajdonságainak megállapítása, függvénytulajdonságok segítségével egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. A valós életben végbemenő exponenciális és logaritmikus folyamatok leírása, problémák megoldása. 12 óra 11. osztály Tágabb környezetben: környezeti, fizikai, kémiai, biológiai, közgazdasági folyamatok modellezése. Szűkebb környezetben: hatványfüggvény racionális kitevőre, exponenciális függvény, analízis elemei. Geometriai transzformációk, vektorok. Sorozatok, kamatoskamat számítás. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek grafikus és algebrai megoldása. Ajánlott megelőző tevékenységek: Hatvány- és gyökfüggvény, exponenciális függvény, függvénytransz– formációk, függvények jellemzése. Geometriai transzformációk, vektorok. Első és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Hatványozás egész, illetve racionális kitevőre. Hatványozás azonosságai. Ajánlott követő tevékenységek: Sorozatok, kamatoskamat számítás. Analízis elemei. Térbeli geometriai transzformációk.
2
Matematika „A” – 11. évfolyam – 4. modul: A logaritmus
A képességfejlesztés fókuszai
Tanári útmutató
Számolás, számlálás, számítás: A logaritmus értékének, alapjának, a hatványértéknek valamint a logaritmusfüggvény értékének kiszámítása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásai számának a meghatározása. Logaritmusértékek összehasonlítása az érték kiszámítása nélkül, függvénytulajdonság felhasználásával. Szöveges feladatok, metakogníció: Matematikai modellalkotás kémiai, biológiai, közgazdasági folyamatokban, leírás segítségével. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Függvények grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal. Logaritmus értékének meghatározása a hatványozás azonosságainak felhasználásával. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása a függvény tulajdonságainak ismeretében. Induktív, deduktív következtetés: Az exponenciális függvény grafikonjának ábrázolása és jellemzése konkrét esetben, majd paraméter megadásával. A paraméteres alak segítségével függvénytulajdonság megállapítása majd egyenlőtlenség megoldása.
TÁMOGATÓ RENDSZER •
4.1 kártyakészlet (a hatványozás ismétléséhez)
•
4.2 ablak (a hatványozás ismétléséhez)
•
4.3 triminó (logaritmusértékek kiszámításához)
•
4.4 kártyakészlet (inverz függvénypárok keresése)
•
4.5 dominó (logaritmusértékek ismétléséhez)
•
4.6 kártyakészlet (exponenciális és logaritmikus folyamatok elemzéséhez)
Ezeken kívül a modul végén található feladatgyűjtemény is.
3
Matematika „A” – 11. évfolyam – 4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
4
JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS 1. óra 2. óra 3. óra 4. óra 5–6. óra 7–10. óra 11–12. óra
A logaritmus definíciója A logaritmusfüggvény definíciója A logaritmusfüggvény grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal Függvényábrázolással megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek A logaritmus azonosságai Logaritmikus egyenletek Exponenciális és logaritmikus folyamatok a természetben (2 óra)
ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát, valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény szemléletes értelmezése. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az f(x) = ax és g(x) = logax függvényeket! Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [ f ( x ) + c; f ( x + c ); c ⋅ f ( x ); f (c ⋅ x ) ]. Függvények jellemzése értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából. Emelt szint Bizonyítsa a logaritmus azonosságait. Tudjon egyszerű exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségeket megoldani. Értelmezési tartomány, illetve értékkészlet vizsgálattal, valamint szorzattá alakítással megoldható egyenletek. Tudja ábrázolni az f ( x ) = a x és f ( x ) = log a x függvény transzformáltjainak grafikonját [c ⋅ f (ax + b ) + d ] . Ismerje és alkalmazza a függvény leszűkítésének és kiterjesztésének fogalmát.
Matematika „A” – 11. évfolyam – 4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
MODULVÁZLAT
Lépések, tevékenységek
Kiemelt készségek, képességek
Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény
I. logaritmus definíciója (1 óra) 1. A hatványozás ismétlése: rendszerezés, számolás A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. A tanár minden csoportban kiosztja az első ablakot, és a számokat tartalmazó kártyákat. A csoport minden tagja húz 3 – 3 kártyát, és a rajta található számot beírja az ablak megfelelő rubrikájába. Ha a csoportok elkészültek, közösen ellenőriznek. 2. A logaritmus definíciójának alkalmazása: számolás, kombinatív gondolkodás Szakértői mozaik: A logaritmus definiálása után a tanulók ismét négy fős csoportokban dolgoznak. A tanár kiadja az első a négy mintapéldát a csoportoknak. Akik ugyanazt a mintapéldát kapták, az eredeti csoportjukból kiválva összeülnek, közösen megértik, majd visszamennek a csoportjukhoz, és elmagyarázzák a többieknek.
4.1 kártyakészlet 4.2 ablak 1. feladat
1–4. mintapéldák 2–14. feladatok közül válogatva szakértői mozaik 4.3 trimino
5
Matematika „A” – 11. évfolyam – 4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
II. A logaritmusfüggvény (3 óra) 1. Exponenciális és logaritmusfüggvény kapcsolata: cso- kombinatív gondolkodás, számítás, becslés portmunka. 2. A logaritmusfüggvény definíciója. induktív gondolkodás, rendszerezés, számítás, valószínűségi szemlélet, metakogníció 3. Értelmezési tartomány vizsgálat: differenciált foglalko- kombinatív gondolkodás, számítás zás 2 fős homogén csoportokban. 4. A logaritmusfüggvény ábrázolása kombinatív gondolkodás, számlálás, számofüggvénytranszformációkkal: szakértői mozaik után lás, deduktív gondolkodás differenciált gyakorlás. 5. A grafikon felhasználásával megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek. Szakértői mozaikkal a mintapéldák feldolgozása, majd 2 fős csoportokban gyakorlás (egy kombinatív gondolkodás, számlálás, becslés csoporton belül a tanulók megoldanak 2-2 példát, majd kicserélik és kijavítják egymásét).
5. mintapélda, 15. feladat 16–18. feladatokból válogatva 6. mintapélda 7–8. mintapéldák 19–21. feladatokból válogatva 9–12. mintapéldák 22–24. feladatokból válogatva 4.4 kártyakészlet 13–15. mintapéldák 25–27. feladatokból válogatva
III. A logaritmus azonosságai (2 óra) 1. Dominó játék. A logaritmus definíciójának felelevenítésére, elmélyítésére. 2. A logaritmus azonosságainak megismerése (szorzat lo- rendszerezés, kombinatív gondolkodás garitmusa, hányados logaritmusa, hatvány logaritmusa). Áttérés más alapú logaritmusra. 3. A logaritmus azonosságainak gyakorlása. kombinatív gondolkodás, számítás
4.5 dominó 16. mintapélda 28–33. feladatokból válogatva
6
Matematika „A” – 11. évfolyam – 4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
IV. Logaritmikus egyenletek (4 óra) 1. Egyszerűbb logaritmikus egyenletek megoldása.
kombinatív gondolkodás, számítás
2. A logaritmus azonosságainak felhasználásával megoldható egyenletek. 3. A tanulók differenciált 4 fős csoportokban dolgoznak. A csoport mindegyik tagja más-más feladatot kap, melyet önállóan old meg. Az önálló feladatmegoldás után a csoport megismerkedik minden feladattal. A tanulók ismertetik saját megoldásukat a csoporton belül, ezt közösen megvitatják. 4. A logaritmikus egyenletek gyakorlása. 5. Másodfokúra visszavezethető logaritmikus egyenletek. 6. Exponenciális egyenletek 7. Összetettebb logaritmikus, exponenciális gyenletek megoldása.
rendszerezés, kombinatív gondolkodás, számítás
17. mintapélda 34–37. feladatokból válogatva 18. mintapélda 38–39. feladatok
kombinatív gondolkodás, számítás
rendszerezés, kombinatív gondolkodás, számítás
40–41. feladatokból válogatva 19. mintapélda 20. mintapélda 42–43. feladatokból válogatva
V. Exponenciális és logaritmusos folyamatok a természetben (2 óra) 1. A természetben lezajló exponenciális és logaritmusos 4.6 kártyakészlet szövegértés, metakogníció, számolás, számífolyamatok feldolgozása projekt módszerrel. 21–24. mintapéldák tás, valószínűségi szemlélet 2. Gyakorlás. 44–47. feladatokból válogatva
7
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
8
I. A logaritmus Eddigi tanulmányaink során hatványozáskor először olyan esetekkel foglalkoztunk, amikor ismertük a hatványalapot és a kitevőt. Ekkor a hatványértéket határoztuk meg. Például: 2 3 = 8; 5 − 2 =
1 ; 70 = 1. 25
Ha a hatványértéket és a kitevőt ismertük, akkor az alapot kerestük. Például: x 3 = 8 esetén a hatvány alapja 2.
Ha x 2 = 4 , akkor a hatványalap x1 = 2 és x2 = –2 is lehetne. Ilyenkor gyökvonás segítségével hamar megkaptuk a keresett értéket. Most megnézzük, hogyan számítható ki a kitevő a hatványérték és az alap ismeretében. A logaritmus arra a kérdésre ad választ, hányadik hatványra kell emelni az alapot, hogy a meg-
adott értéket kapjuk:
2x = 8
x=?
7z = 1
z=?
5y =
1 25
y=?
A logaritmus fogalma 4.1 kártyakészlet
A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. A tanár minden csoportban kiosztja az első ablakot, és a számokat tartalmazó első kártyakészletet. A csoport minden tagja húz 3-3 kártyát, és a rajta található számot beírja az ablak megfelelő rubrikájába. Ha csoportok elkészültek, közösen ellenőriznek. (1. feladat)
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
9
4.2 ablak
Feladatok 1. Írd föl a megadott számokat hatvány alakban! Csoportosítsd a kapott értékeket 5,
és
1 alap hatványaként! 7
Számok: 1; 3;
1 ; 0,2; 125; 49; 2
3
3 ; 0,25;
1 ; 92; 2 4
Megoldás:
5 hatványai: 1 = 50; 0,2 = 5–1; 125 = 53 −1
0
−4
1
1 1 ⎛ 1 ⎞3 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ hatványai: 1 = ⎜ ⎟ ; 3 = ⎜ ⎟ ; 92 = ⎜ ⎟ ; 3 = ⎜ ⎟ 3 3 ⎝ 3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ 2 hatványai: 1 = 20; 0,25 = 2–2; 1 hatványai: 1 = 7
0
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ; 49 = ⎝7⎠
1 = 2–4; 32 = 25 2 4 −2
2 1 ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ ; ⎝ 7 ⎠ 14 7
2 ; 32. 14
1 ,2 3
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
10
Ezekben a feladatokban egyszerűen meg tudtuk állapítani a hatványkitevőt. Hogyan tudjuk kiszámítani kevésbé egyszerű esetekben? Például 3x = 8. Most csak azt tudjuk, hogy 1 < x < 2. Ez a probléma az ax = b (a > 0) típusú exponenciális egyenletek megoldásához vezet. Olyan hatványkitevőt keresünk, amelyre a–t emelve b–t kapunk. Ha b ≤ 0, akkor ilyen hatványkitevő nincs. Ha b > 0, akkor az f (x) = ax (a > 0; a ≠ 1) exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt egyértelműen létezik ilyen hatványkitevő. Ezt a műveletet nevezzük logaritmuskeresésnek. A b pozitív szám a alapú (a > 0 és a ≠ 1) logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre a -t emelve b -t kapunk. Jelölés: logab (kiolvasva: a alapú logaritmus b)
Speciális jelölések: log10 b = lg b (de találkozhatunk a logb jelöléssel is) log e b = ln b (e alapú logaritmus b, természetes alapú logaritmus b) Matematikai jelölésekkel a logaritmus definíciója: a loga b = b , ahol b > 0; a > 0 és a ≠ 1
Az ax = b és az logab = x egyenletek ekvivalensek, hiszen mindkettőben a a hatványalap, x a kitevő és b a hatványérték. Speciális esetek: loga 1 = 0, mert a0 = 1 loga a = 1, mert a1 = a loga an = n, mert an = an A logaritmus definiálása után a tanulók ismét négy fős csoportokban dolgoznak. A tanár kiadja az első négy mintapéldát a csoportoknak. Akik ugyanazt a mintapéldát kapták eredeti csoportjukból kiválva, közösen megértik, majd visszamennek a csoportjukhoz, és elmagyarázzák a többieknek. A mintapéldák az első szakértői mozaikban is megtalálhatóak.
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
A logaritmus definíciójának alkalmazása Mintapélda1
Számítsuk ki a következő logaritmusértékeket! a) lg 0,001
b) log
3
c) log3 3
27
d) log 1 125 5
e) log1 4
f) log4 (–16)
g) log0,5 0
Megoldás:
mert 10–3 = 0,001
a) lg 0,001 = −3 , b) log
3
27 = 6 ,
mert 31 = 3
c) log3 3 = 1, d) log 1 5
6
3 = 27
mert
⎛1⎞ mert ⎜ ⎟ ⎝5⎠
3 125 = − , 2
−
3 2
3
= 5 2 = 5 3 = 125
e) log1 4 értelmetlen,
mert 1– nek mindegyik hatványa 1.
f) log4 (–16) értelmetlen,
mert 4–nek egyik hatványa sem lehet negatív.
g) log0,5 0 értelmetlen,
mert 0,5 minden hatványa pozitív
Mintapélda2
Határozzuk meg a következő hatványértékeket! a) lg x = 2
b) log 5 k = −2
e) log 8 z = 0
f) log 0 a = 7
c) log 5 a =
2 3
d) log 0, 2 d = −2
Megoldás: a) lg x = 2 b) log 5 k = −2 c) log 5 a =
2 3
⇒
x = 102 = 100
⇒
1 ⎛1⎞ k=5 = ⎜ ⎟ = 25 ⎝5⎠
2
–2
2 3
⇒
a = 5 = 3 52 = 3 25
d) log 0, 2 d = −2
⇒
⎛1⎞ d = 0,2 = ⎜ ⎟ ⎝5⎠
e) log 8 z = 0
⇒
z = 80 = 1
–2
−2
= 5 2 = 25
f) log 0 a = 7 : értelmetlen mert a logaritmus alapja nem lehet 0.
11
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
12
Mintapélda3
Határozzuk meg a logaritmus alapját! a) log a 8 = 3 e) log b 2 = −
c) log c 4 =
b) log x 4 = −2 2 3
1 2
d) log k 3 = 1
f) log k 5 = 0
Megoldás: A logaritmus alapja 1-től különböző pozitív szám, amelyre a következő összefüggések igazak: a) log a 8 = 3
⇒
a3 = 8
⇒
a=2
b) log x 4 = −2
⇒
x–2 = 4
1
= 4 ⇒ x2 =
⇒
c2 = 4
d) log k 3 = 1
⇒
k1 = k = 3
2 3
⇒
b
c) log c 4 =
1
1 2
e) log b 2 = −
x2
1 1 ⇒ x = , mert x > 0 4 2
−
2 3
=2
⇒
c = 16
⇒
b=
1 8
f) log k 5 = 0 értelmetlen, mert nincs olyan szám, amelynek 0. hatványa 5. Mintapélda4
Számítsuk ki a következő hatványokat! a) 2
⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝3⎠
log 2 4
f) 9 log3 4
log 1
3
3
c) 10 lg 8
d) 4 log4 (−2 )
e) 7 3⋅log7 5
g) 10 log100 2
Megoldás: A logaritmus definícióját használjuk fel: alogab = b, a > 0; a ≠ 1; b > 0. a) 2
log 2 4
⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝3⎠
=4
log 1 3 3
c) 10 lg 8 = 8
= 3
d) A logaritmust csak pozitív számokra értelmeztük, ezért a hatványkitevőnek nincs értelme. e) A hatványozás azonosságát felhasználva alakítsuk át a kitevőt:
(
)
3
73⋅log7 5 = 7 log7 5 = 53 = 125 .
( )
(
)
2 log 3 4 = 3 2 ⋅ log 3 4 = 3log 3 4 = 4 2 = 16 . f) A 9–et írjuk fel 3 hatványaként: 9 log 3 4 = 3 2
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
13
g) a 10–et írjuk fel 100 hatványaként: 10
log100 2
1 ⎞ ⎛ = ⎜100 2 ⎟ ⎝ ⎠
log100 2
1 ⋅ log = 100 2 100
2
(
= 100
log100 2
)
1 2
1
= 22 = 2 .
4.3 trimino
Módszertani megjegyzés: Triminó játék! Alakítsunk ki csoportokat az osztályban. Minden csoport kap 9 db szabályos háromszöget. A kis háromszögek oldalait összeillesztve minden csoport elkészít egy nagy háromszöget. Úgy kell az oldalakat összeilleszteni, hogy az élek mentén egy logaritmusos kifejezés és annak értéke álljon.
Természetesen aki nem akarja a triminót használni, az – többek között –a következő módszert is alkalmazhatja: Az azonos tudásszintű tanulók párokban dolgoznak. A mintapéldákból látható 4 feladattípusból a saját szintüknek megfelelően megoldanak egyet-egyet. Ha elkészültek, ellenőrzik egymás számításait. A megmaradtak házi feladatokként kitűzhetők. Ajánlás: alapszint
egyik tanuló: 2/b; 5/b; 8/b; 11/a másik tanuló: 2/c; 5/a; 8/a; 11/c
középszint egyik tanuló: 3/a; 6/c; 9/b; 12/c másik tanuló: 3/c; 6/b; 9/a; 12/b emelt szint: egyik tanuló: 4/a; 7/b; 10/b; 13/b másik tanuló: 4/c; 7/a; 10/a; 13/a
Matematika „A” – 11. évfolyam
14
Tanári útmutató
Feladatok A megoldásoknál sok esetben csak az eredményt adjuk meg. Természetesen a tanulóktól kívánjuk meg az egyenletek megoldásakor az ellenőrzést vagy az ekvivalenciára hivatkozást. Így exponenciális, illetve logaritmikus egyenleteknél hivatkozzunk a szigorú monotonitásra. 2. Számold ki a következő logaritmus értékeket!
a) log2 8
b) log 3
1 9
d) log 1 3
c) log 2 2
3
Megoldás: a) 3;
b) –2;
c) 0,5;
d) –1.
3. Számold ki a következő logaritmus értékeket!
a) lg
1
b) log735 1
10
9 4
c) log 2 3
Megoldás: a) −
1 ; 2
b) 0;
c) –2
4. Számold ki a következő logaritmus értékeket! 8 125 25
a) log 4 32
b) log 4
c) log 2 log 3 81
Megoldás: a) log 4 32 = x
⇒
8 b) log 4 =x ⇒ 125 25
c) log 2 log 3 81 = x
⇒
22x = 25
8 ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ = 125 ⎝ 25 ⎠
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝5⎠
4x = 32 x
⇒
⇒
log 3 81 = 2 x
⇒
⇒ 2x
⎛2⎞ =⎜ ⎟ ⎝5⎠
2x = 5
b) lg b =
1 2
x=
5 2
3
2x = 4
⇒
2x = 3
⇒
x=2
5. Határozd meg a betűkifejezések számértékét!
a) log 5 a = −1
⇒
c) log
2
c=2
⇒
x=
3 2
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
Megoldás: 1 ; 5
a) a =
b) b = 10 ;
c) c = 2
6. Határozd meg a betűkifejezések számértékét!
b) log 4 x =
a) log 2 v = −2
1 4
c) log
3
y=4
Megoldás: a) v =
1 ; 4
b) x =
2;
c) y = 9
7. Határozd meg a betűkifejezések számértékét!
a) log 0, 4 p = −3
b) log 16 r = − 25
3 2
c) log 3 log 1 s = 1 2
Megoldás:
⎛2⎞ a) p = (0,4)-3 = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎛ 16 ⎞ b) r = ⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠
−
3 2
−3
3
125 ⎛5⎞ =⎜ ⎟ = 8 ⎝2⎠ 3
3
125 ⎛ 25 ⎞ 2 ⎛ 5 ⎞ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 64 ⎝ 16 ⎠ ⎝4⎠
⇒
c) log 3 log 1 s = 1 2
log 1 s = 3
⇒
s=
2
1 8
8. Határozd meg a következő logaritmusok alapjait!
b) log b 0 = 6
a) log a 8 = 3
c) log c 9 = −2
Megoldás: a) a = 2;
b) a kifejezés nincs értelmezve;
c) c =
1 . 3
9. Határozd meg a következő logaritmusok alapjait!
a) log u 49 = −
3 2
b) log v
16 = −2 25
c) log x 3 2 = 0,5
15
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
16
Megoldás: a) u
−
3 2
= 49
⇒
16 25
⇒
b) v − 2 =
u = 49
1 v2
⇒
c) x 0,5 = 3 2
=
−
2 3
16 25
1
=
3
49 2
25 16
⇒ v2 =
25 5 = 16 4
⇒ v=
x = 18
10. Határozd meg a következő logaritmusok alapjait!
a) log 1 p
27 3 =− 125 2
b) log
2
1 ⎛ 1⎞ c) log = ⎜ log r ⎟ = 4 8 ⎝ 8⎠
2 2 3= 3
2 r
3
q
Megoldás: ⎛1⎞ a) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p⎠
−
3 2
2
⎛ 27 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 125 ⎠
2
b)
q 3 = 3 24
c) log r
1 = ±2 8
1 2
3 2
⇒
⎛ 27 ⎞ p =⎜ ⎟ ⎝ 125 ⎠
⇒
q 3 = 3 24
1) log r
1 =2 8
1 2
⇒
1 3 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎛ 27 ⎞ 2 ⎟ ⎛ 27 ⎞ 3 3 p = ⎜⎜ ⎟ ⎟ =⎜ ⎟ = 5 ⎝ 125 ⎠ ⎜ ⎝ 125 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠
⇒
q = 24
1
⇒
1 2) log r = −2 ⇒ 8
r2 =
1 8
⎛1⎞ r =⎜ ⎟ ⎝8⎠
−
1 2
1
⇒
r1 =
⇒
r2 = 2 2
2 2
(A logaritmus alapja nem lehet negatív.)
11. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!
a) 10
lg 14
b) 25
log 25
1 4
c) 5 log5 (−3)
Megoldás:
a) 14;
b)
1 ; 4
c) nincs értelmezve.
12. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!
a) 9 log3 2
b) 2 log16 5
c) 5 2+log5 4
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
Megoldás:
a) 3
2⋅log3 2
=4
b)
1 log16 5 16 4
c) 5 2 ⋅ 5 log5 4 = 100
=45
13. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!
a) 25
log
5
7
b) 0,0012 lg 5−lg 4
c) 16 log 4 log3 1
Megoldás:
a)
( 5 )4 log
5
7
= 74
b) 10 −3(2 lg 5−lg 4 ) = 10 −6 lg 5+3 lg 4 = 5 −6 ⋅ 4 3 c) mivel log3 1 = 0, nincs megoldása, ugyanis log4 0 nem értelmezett.
14. Melyik a nagyobb? log 1 27
vagy
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
b) lg 106
vagy
log 2 64
c) log 0,01 1
vagy
log
a) log 3
1 27
Megoldás: a) log 3
1 3 ⎛1⎞ =− < ⎜ ⎟ 2 ⎝3⎠ 27
log 1 27 3
= 27
b) lg 106 = 6 = log 2 64 = 6 c) log 0,01 1 = 0 < log
5
125 =1 5
3
5
125 5
17
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
18
II. A logaritmusfüggvény A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői Vizsgáljuk az azonos alapú exponenciális és logaritmusos kifejezések közötti kapcsolatot! Mintapélda5
Töltsük ki az alábbi értéktáblázatokat, majd az értéktáblázatok oszlopaiból képzett értékpárokat ábrázoljuk feladatonként közös koordináta-rendszerben!
x
5 2
-2
-1
-0,5
0
0,25
0,5
1
2
x
0,125
0,25
0,5
1
2
4
8
-0,5
0
0,25
0,5
1
2
5 2
1
4
2
2
2
4
32
2x
log2x
Megoldás: x
-2
-1
2x
0,25
0,5
x
0,125
0,25
0,5
1
2
4
8
log2x
–3
–2
–1
0
1
2
3
1 2
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
19
Az exponenciális függvény esetében rögzítettünk egy 1-től különböző pozitív valós a számot, és a tetszőleges valós x értékekhez ezen számnak a hatványait, ax-et rendeltük hozzá. Ennek az inverze a loga x függvény. Az f (x) = loga x, a > 0; a ≠ 1; x > 0 hozzárendelési utasítással megadott függvényt logaritmusfüggvénynek nevezzük.
A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. Ketten az a) részt, ketten a b) részt oldják meg, majd közösen megbeszélik a tapasztalatokat.
Feladatok 15. Töltsd ki az alábbi értéktáblázatokat, majd az értéktáblázatok oszlopaiból képzett
értékpárokat ábrázold feladatonként közös koordináta-rendszerben! a)
x
-2
-1
-0,5
0
0,25
0,5
1
x
1 81
1 9
1 3
1
3
9
3x
log3x
2
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
b)
x ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠
-2
-1
-0,5
0
0,25
0,5
1
2
x
1 81
1 9
1 3
1
3
9
0
0,25
0,5
1
2
3
3
3
9
x
log 1 x 3
Megoldás: a)
x
–2
–1
–0,5
3x
1 9
1 3
1
x
1 81
1 9
1 3
1
3
9
log3x
–4
–2
–1
0
1
2
–2
–1
–0,5
0
0,25
0,5
1
2
9
3
3
1
1
1
1 9
x
1 81
1 9
4
2
3
1
4
b)
x ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠
x
log 1 x 3
3
3
1 3
1 3
1
3
9
1
0
–1
–2
4
20
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
21
A tanulók az óra folyamán adjanak választ a következő kérdésekre, majd a tanár irányításával beszéljék meg a válaszokat. 16. Válaszolj a következő kérdésekre!
1) Milyen kapcsolat van az exponenciális függvény értékkészlete és a logaritmus függvény értelmezési tartománya között? 2) Van-e kapcsolat van az exponenciális, illetve a logaritmusfüggvény grafikonja pontjainak koordinátái között? 3) Milyen transzformációval tudnád átvinni az exponenciális függvény grafikonját a logaritmusfüggvény grafikonjába, ha azonos az alapjuk? 4) A grafikonoknak hol van metszéspontjuk a tengelyekkel? 5) Mi állapítható meg logaritmusfüggvény monotonitásáról, ha a alapja
1 , illetve 2? 2
6) Melyik egyenest közelíti meg az exponenciális, illetve a logaritmusfüggvény grafikonja? 7) Van-e a logaritmusfüggvényeknek szélsőértéke?
Megoldás: 1. Megegyeznek. 2. Általában nincs, de ha azonos az alap, akkor van. 3. Tükrözéssel az f ( x ) = x függvény grafikonjára (45°-os egyenes). 4. Az exponenciális függvény grafikonja az y tengelyt a (0; 1), a logaritmusfüggvény grafikonja az x tengelyt az (1; 0) pontban metszi. 5. Ha az alap
1 , akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ha az alap 2, akkor a 2
függvény szigorúan monoton növő. 6. Az exponenciális függvény grafikonja az x tengelyt, a logaritmus függvény grafikonja az y tengelyt közelíti meg tetszőleges pontossággal (aszomptoták). 7. A logaritmusfüggvényeknek nincs szélsőértéke. Belátható, hogy minden pozitív x-re lehet értelmezni a logaritmust, nemcsak a pozitív racionális számokra.
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
22
17. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a pozitív valós számok halmazán értelmezett
következő függvények grafikonjait! a) f (x) = log3 x
g(x) = log4 x
h(x) = lg x
b) a(x) = log 1 x
b(x) = log 1 x
c(x) = log 0,1 x
3
4
Megoldás: a)
b)
18. Válaszolj a következő kérdésekre!
1) Mi állapítható meg a grafikonok növekedésének / csökkenésének üteméből az a), illetve a b) esetben? 2) Melyik az a pont, amelyik rajta van mindegyik grafikonon?
Megoldás: 1) 1-nél nagyobb alap esetében minél nagyobb, 0 és 1 közötti alap esetén minél kisebb a logaritmus alapja, a logaritmus függvény grafikonja annál jobban hozzásimul az x tengelyhez. 2) Az (1; 0) pont, amelyikre mindegyik görbe illeszkedik. Mintapélda6
Az eddigi tapasztalatokat általánosítva rajzoljuk meg a logaritmusfüggvény grafikonját, ha a logaritmus alapja 0 és 1 között van, illetve, ha nagyobb 1-nél! Jellemezzük is a függvényeket!
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
23
Megoldás: f (x) = loga x
g (x) = loga x
0
1
Grafikon
Jellemzés: 1. É. T.
R+
R+
2. É. K.
R
R
3. Zérushely
x=1
x=1
4. Monotonitás
szigorúan monoton csökkenő
szigorúan monoton növekvő
5. Szélsőérték
nincs
nincs
6. Paritás
nem páros, nem páratlan
nem páros, nem páratlan
7. Invertálhatóság
invertálható
invertálható
A tanulók 3-4 fős homogén csoportokban dolgozhatnak. A 7. mintapélda feldolgozását a gyengébb, a 8. mintapéldáét az átlagos képességűek számára ajánljuk. Mintapélda7
Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát! a) f ( x) = log 2 (2 x + 11)
b) g ( x) = lg x − 3
c) h( x) = log 0,2 | 5 + 3x |
2 ⎞ ⎛ d) k ( x) = log 5 ⎜ − ⎟ ⎝ 7 − 2x ⎠
Megoldás: a) A logaritmus definíciója szerint: 2 x + 11 > 0 ⇒ x > –5,5. Az értelmezési tartomány: ] – 5,5; + ∞ [ b) A logaritmus definíciója szerint:
x − 3 > 0 ⇒ x – 3 > 0 ⇒ x > 3. Az értelmezési tartomány: ] 3; + ∞ [ c) A logaritmus definíciója szerint: 5 ⎧ 5⎫ | 5 + 3x | > 0, és mivel 5 + 3x ≠ 0 ⇒ x ≠ − . Az értelmezési tartomány: R \ ⎨− ⎬ 3 ⎩ 3⎭
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
d) A logaritmus definíciója szerint −
2 2 7 >0 ⇒ < 0 ⇒ 7 – 2x < 0 ⇒ x > . 7 − 2x 7 − 2x 2
⎤7 ⎡ Az értelmezési tartomány: ⎥ ; + ∞ ⎢ ⎦2 ⎣ Mintapélda8
Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát!
(
a) f ( x) = lg x 2 − 5 x + 6
)
⎛ 5 − 2x ⎞ b) g ( x) = log 2 ⎜ ⎟ 3x + 8 ⎠ ⎝ 3
c) h( x) =
1 lg x
Megoldás: a) A logaritmus definíciója szerint:
x 2 − 5x + 6 > 0
⇒
x < 2 vagy x > 3.
Az értelmezési tartomány: ] –∞; 2 [ ∪ ] 3; ∞ [ b) A logaritmus definíciója szerint 5 − 2x >0 3x + 8
⇒
I) 5 – 2x > 0 és 3x + 8 > 0
⇒
−
8 5 <x< 3 2
⎤ 8 5⎡ Az értelmezési tartomány: ⎥ − ; ⎢ ⎦ 3 2⎣ II) 5 – 2x < 0 és 3x + 8 < 0
c) A nevező miatt: lg x ≠ 0, ezért x ≠ 1 . A logaritmus értelmezési tartománya miatt: x > 0 Az értelmezési tartomány: R+ \ {1}
⇒
nincs megoldás
24
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
25
Javasoljuk, hogy a mintapéldák megbeszélése után 2 fős, szintén homogén csoportokban dolgozzanak tovább. Oldjanak meg 2-2 feladatot a saját szintjüknek megfelelően, majd kijavítják egymás megoldását. Ajánlás:
alapszint:
egyik tanuló: 19 / b,d másik tanuló: 19 / e,f
középszint: egyik tanuló: 20 / c, b másik tanuló: 20 / e, d emelt szint: egyik tanuló: 21 / a,d másik tanuló: 21 / b,c
Feladatok 19. Mely x-ekre értelmezhetők az alábbi függvények?
(3 − 2 x )2
a) a( x) = lg(− x)
b) b( x) = log
d) d(x) = log 1 ( x + 7)
e) e(x) = log 2 x − 7
9
3
c) c( x) = 2 log 3 (3 − 2 x) f) f (x) = log 2,6 x − 3
Megoldás: a) x < 0; b) x ≠
3 3 ; c) x < ; d) x > –7; e) x ≠ 7; f) x > 3; 2 2
20. Mely x-ekre értelmezhetők az alábbi függvények?
a) a ( x) = log 0,7 ( x + 3)
(
d) d(x) = log 5 25 − x 2
)
b) b(x) = log 7 ( x − 4 )
c) c(x) = log 3 ( x − 3)( x − 5)
x−3 e) e(x) = log 3 5− x
f) f ( x) = log 5 x 2 + x − 12
(
Megoldás: a) x ∈ R; e) 3 < x < 5;
b) x > 4 vagy x < –4;
c) 3 > x vagy x > 5;
d) –5 < x < 5;
f) x > 3 vagy x < –4.
21. Mely x-ekre értelmezhetők az alábbi függvények?
(
)
a) m( x) = log ( x +1) 3x + 4 x + 1
x 2 + 3x + 2 b) n( x) = lg x+4
c) q ( x) = lg log 2 x
d) r ( x) =
2
lg x + 2 2x
)
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
26
Megoldás:
a) x > −
1 és x ≠ 0; 3
b) –4 < x < –2 vagy x > –1;
c) x > 1;
d) x > –2 és x ≠ 0.
A logaritmusfüggvény grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal Az előzőekben megismerkedtünk a logaritmusfüggvénnyel. A továbbiakban az f ( x ) = log a x; a > 0; a ≠ 1; x > 0
függvényt az a alapú logaritmus alapfüggvényének nevezzük. Nézzük meg ennek a függvénynek néhány transzformáltját! Módszertani megjegyzés: A tanulók 4 fős csoportokat alakítanak ki. Az egyik tanuló a 9., a
másik tanuló a 10., a harmadik tanuló a 11., a negyedik pedig a 12. mintapéldát dolgozza fel. Miután megértették, egymás után elmagyarázzák a csoporton belül a többieknek. Megállapodás, hogy ha nem adjuk meg az értelmezési tartományt, akkor az a valós számok legbővebb halmaza, amelyen a függvény értelmezhető. Mintapélda9
Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a pozitív valós számok halmazán értelmezett következő függvényeket!
b) g(x) = log 1 x − 3
a) f (x) = log2 x + 2
2
Megoldás:
a) Transzformációs lépések: 1. a(x) = log2 x
az alapfüggvény ábrázolása
2. f (x) = log2 x + 2
a grafikonjának eltolása v(0; 2) vektorral
Jellemzés: 1. ÉT:
R+
2. ÉK:
R
3. Zérushely:
log2 x + 2 = 0,
log2 x = –2
A logaritmus definíciója alapján x = 2 − 2 =
1 4
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
4. Monotonitás:
szigorúan monoton növő
5. Szélsőérték:
nincs
27
6. nem páros, nem páratlan 7. invertálható
b) Transzformációs lépések: 1. a(x) = log 1 x
az alapfüggvény ábrázolása
2. g(x) = log 1 x − 3
a grafikonjának eltolása
2
2
v (0; –3) vektorral
Jellemzés: 1. ÉT:
R+
2. ÉK:
R
3. Zérushely:
log 1 x − 3 = 0, 2
log 1 x = 3 2
3
1 ⎛1⎞ A logaritmus definíciója szerint x = ⎜ ⎟ = 8 ⎝2⎠
4. Monotonitás:
szigorúan monoton csökkenő
5. Szélsőérték:
nincs
6. nem páros, nem páratlan 7. invertálható Mintapélda10
Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a következő függvényeket! a) f (x) = log2 (x + 2), ha x > –2
b) g (x) = log 1 ( x − 3) , ha x > 3 2
Megoldás:
a) Transzformációs lépések: 1. a(x) = log2 x
az alapfüggvény ábrázolása
2. f (x) = log2 ( x + 2 )
a grafikonjának
eltolása v( –2; 0 ) vektorral
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
28
Jellemzés: 1. ÉT:
] –2; ∞ [
2. ÉK:
R
3. Zérushely:
log2 ( x + 2 ) = 0 A logaritmus definícióját alkalmazva x + 2 = 1,
4. Monotonitás:
szigorúan monoton növő
5. Szélsőérték:
nincs
x = –1
6. nem páros, nem páratlan 7. invertálható
b) Transzformációs lépések: 1. a ( x) = log 1 x
az alapfüggvény
2
ábrázolása 2. g ( x) = log 1 ( x − 3)
a grafikonjának
2
eltolása v( 3; 0) vektorral
Jellemzés: 1. ÉT:
] 3; ∞ [
2. ÉK:
R
3. Zérushely:
log 1 ( x − 3) = 0 2
A logaritmus definíciója alapján x − 3 = 1 , 4. Monotonitás:
szigorúan monoton csökkenő
5. Szélsőérték:
nincs
x=4
6. nem páros, nem páratlan 7. invertálható Mintapélda11
Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a következő függvényeket, ha x pozitív valós szám!
a) f (x) = –
1 log2 x 2
b) g (x) = 2 log 1 x 2
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
29
Megoldás: a)
Transzformációs lépések: 1. a(x) = log2 x
az alapfüggvény
ábrázolása 2. b(x) =
1 log2 x 2
a grafikonjának
1 -szeres 2
nyújtása / zsugorítása az y tengely mentén 3. f (x) = −
1 log2 x b grafikonjának tükrözése 2
az x tengelyre Jellemzés: 1. ÉT:
R+
2. ÉK:
R
3. Zérushely: –
1 log2 x = 0, 2
log2 x = 0
A logaritmus definícióját alkalmazva x = 1 4. Monotonitás:
szigorúan monoton csökkenő
5. Szélsőérték:
nincs
6. nem páros, nem páratlan 7. invertálható
b) Transzformációs lépések: 1. a (x) = log 1 x
az alapfüggvény
2
ábrázolása 2. g (x) = 2 log 1 x
a grafikonjának
2
kétszeres nyújtása az y tengely mentén Jellemzés: 1. ÉT:
R+
2. ÉK:
R
3. Zérushely:
2 log 1 x = 0, 2
log 1 x = 0 2
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
30
A logaritmus definíciója szerint x = 1 4. Monotonitás:
szigorúan monoton csökkenő
5. Szélsőérték:
nincs
6. nem páros, nem páratlan 7. invertálható Mintapélda12
Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a következő függvényeket a megfelelő ⎛ 1 ⎞ a) f (x) = log 2 ⎜ − x ⎟ ⎝ 2 ⎠
értelmezési tartományokon!
b) g (x) = log 1 (2 x ) 2
Megoldás: a)
Transzformációs lépések: 1. a (x) = log2 x
az alapfüggvény ábrázolása
⎛1 ⎞ 2. b (x) = log 2 ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠
a grafikonjának két-
szeres nyújtása az x tengely mentén ⎛ 1 ⎞ 3. f (x) = log 2 ⎜ − x ⎟ ⎝ 2 ⎠
b grafikonjának tükrözése az y tengelyre
Jellemzés: 1. ÉT:
R–
2. ÉK:
R
3. Zérushely:
⎛ 1 ⎞ log 2 ⎜ − x ⎟ = 0 ⎝ 2 ⎠ A logaritmus definíciója alapján −
4. Monotonitás:
szigorúan monoton csökkenő
5. Szélsőérték:
nincs
6. nem páros, nem páratlan 7. invertálható
1 x = 1, x = –2 2
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
b)
31
Transzformációs lépések: 1. a (x) = log 1 x az alapfüggvény ábrázolása 2
2. g (x) = log 1 (2 x )
a grafikonjának
2
1 -szeres zsugorítása az x tengely mentén 2
Jellemzés: 1. ÉT:
R+
2. ÉK:
R
3. Zérushely:
log 1 (2 x ) = 0 2
A logaritmus definícióját alkalmazva 2x = 1, x = 4. Monotonitás:
szigorúan monoton csökkenő
5. Szélsőérték:
nincs
1 2
6. nem páros, nem páratlan 7. invertálható
A mintapéldák feldolgozása után a tanulók két fős homogén csoportokban dolgozhatnak. Az alacsonyabb szintű feladatokból fejenként hármat, a magasabb szintű feladatokból fejenként kettőt oldjanak meg, majd beszéljék meg a megoldásokat. Ajánlás:
alacsonyabb szint
egyik tanuló: 22/a, c, e másik tanuló: 22/b, d, f
magasabb szint
egyik tanuló: 23/b, e másik tanuló: 23/c, d
Feladatok 22. Készítsd el a következő függvények grafikonját, majd jellemezd a függvényeket! Elő-
ször az értelmezési tartományukat határozd meg! a) e( x) = log 4 x − 2
b) f ( x) = 1 + log 1 x
c) g ( x) = log 3 (1 + x)
d) h( x) = log 1 ( x − 4)
e) i ( x) = 2 ⋅ log 5 x
1 f) j ( x) = − lg x 5
4
2
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
32
Megoldási útmutató: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
23. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! A c) feladatnál megadtuk az értel-
mezési tartományt, a többi függvény esetében először azt határozd meg! a) m( x) = 3 − log 1 x
b) n( x) = log 5 (5 − x )
c) p ( x) =| log 1 x | ; x ∈ ] 0; 5]
d) q ( x) = −2 lg x + 5
3
5
e) r ( x) =
1 log 1 ( x − 2) 5 4
Megoldási útmutató: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
4.4 kártyakészlet
A következő feladat kártyákkal is játszható (4.4 kártyakészlet): A tanulók 2 vagy 3 fős csoportokban játszanak. Összekeverik majd maradéktalanul szétosztják egymás között a kártyákat, amelyekben egymás inverzeként állnak az exponenciális, illetve logaritmusfüggvények. A feladat: összepárosítani a megfelelő függvényeket. Ha valakinek nem kell egy kártya, akkor azt odacsúsztatja a mellette ülőnek, és így tovább. Az győz, akinek legelőször összegyűlik 2 fő esetén 3 kártyapár, 3 fő esetén 2 kártyapár.
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
33
24. Az alábbi logaritmusfüggvényeknek melyik exponenciális függvény az inverze?
a( x) = log 2 x
⎛3⎞ g ( x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
b( x) = log 5 x
h( x ) = 5 x
c( x) = log 1 x
⎛1⎞ k ( x) = ⎜ ⎟ ⎝5⎠
d ( x) = log 3 x
⎛2⎞ l ( x) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠
e( x) = log 2 x
⎛1⎞ m( x ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
f ( x) = log 1 x
n( x ) = 2 x
3
2
2
x
x
x
x
5
Megoldás: a-l;
b-h;
c-m;
d-g;
e-n;
f-k.
A grafikon felhasználásával megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek Már találkoztunk olyan exponenciális egyenletekkel, egyenlőtlenségekkel, amelyek algebrai módszerekkel nem, csak az exponenciális függvény tulajdonságait felhasználva, a grafikonjának pontos ismeretével oldhatók meg. Most olyan egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk meg, amelyekben logaritmikus kifejezés is szerepel. Mintapélda13
Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log 2 x = x − 1
b) log 1 x = 9 x 2 3
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
34
Megoldás: a) Az egyenlet bal oldalából képezzük az a(x) = log 2 x , a jobb oldalából a b(x) = x – 1 függvényt. Készítsük el a függvények grafikonját közös koordináta-rendszerben!
Az ábráról leolvasható a megoldás: x1 = 1; x2 = 2, más megoldás nincs. b) Az a) részhez hasonlóan járunk el: a(x) = log 1 x , b(x) = 9x 2 3
Az ábráról leolvasható a megoldás: x =
1 , más megoldás nincs. 3
Mintapélda14
Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket a pozitív valós számok halmazán! a) log 4 x ≥ |x|
b) log 4 x < x 2
Megoldás: a)
Az egyenlőtlenség sehol sem teljesül.
b)
log 4 x < x 2 minden x-re teljesül.
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
35
Mintapélda15
A logaritmusfüggvény monotonitását felhasználva állapítsuk meg, melyik szám a nagyobb! a) log 7
1 8
1 log 7 ; 3
vagy
b) log 0,12 4
vagy
log 0,12
16 . 3
Megoldás: a) A logaritmus alapja nagyobb 1-nél, tehát a függvény szigorúan monoton növekvő. Ezért log 7
1 1 < log 7 . 8 3
b) A logaritmus alapja 0 és 1 között van, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ezért log 0,12 4 > log 0,12
16 . 3
Feladatok 25. A logaritmus függvény monotonitását felhasználva állapítsd meg, melyik szám a na-
gyobb! a) log 2 6
vagy
log 2 11 ;
log 21
7 ; 16
log 5
3 . 11
c) log 21
13 15
vagy
e) log 5
3 8
vagy
7
7
3 7
vagy
log 5
11 ; 5
d) log 2 5
vagy
log 2
13 ; 4
b) log 5
3
3
Megoldás: A megoldásokban hivatkozunk az adott alapú logaritmus függvény monotonitására. a) <;
b) <;
c) >;
d) <;
e) <
26. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket!
a) 0,2 ⋅ log 5 x = − x
b) log 2 x = − x 2 + 5
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
Megoldás: a)
b)
x = 0,2
x=2
27. Mely x értékekre teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek?
a) log 2 x < 1
⎛1⎞ b) log 1 ( x ) > ⎜ ⎟ 4 ⎝4⎠
x
c) 1 + log 1 x ≥ x 2
Megoldás: a)
b)
0,5 < x < 2
c)
0 < x < 0,5
0<x≤1
36
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
37
III. A logaritmus azonosságai 4.5 dominó
Módszertani megjegyzés: Dominó játék. (A logaritmus definíciójának felelevenítésére, elmélyítésére.) Minden csoportnak adjunk 16 darab kártyát. Feladatuk felfelé fordítva kirakni a dominókat úgy, hogy minden kifejezéshez megtalálják a hozzátartozó értéket.
log 2 32
−
2 5
−2
log 3 3
log 0, 2 5
3
log 8
1 32
−
1 2
log 9
1 27
−
5 3
−
3 2
log 3 81
5
log 4 3 64
1 2
log 0,5 16
−1
1 125
4
log 7 1
1
log 1
1 81
−4
1 64
−3
1 6
2
log 5
log 1 4
9
log
2
64
0
log 36
log 625 125
log 32
1 4
3 4
Ismerkedjünk meg azokkal az azonosságokkal, amelyek segítik a logaritmusos kifejezésekkel való számolást. Természetesen, ezek a hatványozás azonosságainak logaritmusos megfelelői. Szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével.
Képletben: log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y, a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 . A logaritmus definíciója alapján: x = a loga x ,
y = a loga y .
Azonos alapú hatványokat szorzására tanult összefüggés alapján: xy = a loga x ⋅ a loga y = a loga x+loga y . A logaritmus definíciójából következik: xy = a log a ( x⋅ y ) . A két egyenlőséget összevetve: a log a x +log a y = a log a ( x⋅ y ) . Azonos alapú hatványok akkor egyenlők egymással, ha a kitevő-
ik megegyeznek: log a x + log a y = log a xy . log a xy = log a x + log a y Hányados logaritmusa egyenlő a számláló logaritmusának és a nevező logaritmusának a különbségével.
Matematika „A” – 11. évfolyam
Képletben: log a
Tanári útmutató
38
x = log a x − log a y, a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 . y
A logaritmus definíciója alapján: x = a log a x ,
y = a log a y .
x a loga x Azonos alapú hatványok osztására tanult összefüggés alapján: = loga y = a loga x−loga y . y a ⎛x⎞
log a ⎜⎜ ⎟⎟ x A logaritmus definíciójából következik: = a ⎝ y ⎠ . A két egyenlőséget összevetve: y
a
log a x − log a y
=a
⎛x⎞ log ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠
. Azonos alapú hatványok akkor egyenlők egymással, ha a kitevőik
megegyeznek: log a x − log a y = log a
log a
x . y
x = log a x − log a y y
Hatvány logaritmusa egyenlő a kitevőnek és az alap logaritmusának a szorzatával.
Képletben: log a x k = k ⋅ log a x, a > 0, a ≠ 1, x > 0, k ∈ R. A logaritmus definíciója alapján: x = a log a x .
(
Hatvány hatványozására tanult azonosság alapján: x k = a log a x
)
k
= a k ⋅log a x
k
A logaritmus definíciójából következik: x k = a log a x . A két egyenlőséget összevetve: k
a k log a x = a log a x . Azonos alapú hatványok akkor egyenlők egymással, ha a kitevőik megegyeznek: k log a x = log a x k . log a x k = k log a x
Áttérés más alapú logaritmusra
A logaritmus definíciója alapján: x = a log a x , a > 0, a ≠ 1, x > 0 . Vegyük mindkét oldal y alapú logaritmusát: log y x = log y a
log y a
,
y > 0, y ≠ 1
A hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság alapján: log y x = log a x ⋅ log y a Ebből: log a x =
log y x log y a
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
log a x =
log y x log y a
Mintapélda16
Számítsuk ki a következő kifejezések pontos értékét! a) 3 2+ log 3 4
b) 9 log3 7
c) 2 log
2
2 + log
2
9 − log
2
18
d) lg sin 30° + lg cos 60° + lg 40 Megoldás: Alkalmazzuk a hatványozás és a logaritmus azonosságait! a) 3 2+ log 3 4 = 3 2 ⋅ 3 log 3 4 = 9 ⋅ 4 = 36 b) 9 log3 7 = (3 2 )
log 3 7
c) 2 log
2
2 + log
2
= 3 2 log3 7 = 3log3 7 = 3log3 49 = 49 9 − log 2
18 = log 2
2
22 ⋅ 9 = log 18
2
2=2
1 1 ⎛1 1 ⎞ d) lg sin 30° + lg cos 60° + lg 40 = lg + lg + lg 40 = lg⎜ ⋅ ⋅ 40 ⎟ = lg 10 = 1 2 2 ⎠ ⎝2 2
Feladatok 28. Keresd meg a párját!
a) log 6 2 + log 6 18
A)
log 2 96 − log 2 3 2
b)
1 log 5 125 3
B) lg 80 + lg 15 − lg 45 + 2 lg 3 − lg 12 + lg 50
c) log12 60 − log12 5
C) log 2 64 + log 4 16
d) 5 lg 10 + log 5 125
D)
1 log 2
e) 3 log 2 4
E)
log 4 8 log 32 8
f)
1 log 3 729 2
5
10 − log
5
2 − log
5
5
F) log 9 27 ⋅ log 3 81
g) 2 log 2 2
G) lg 15 + lg 12 − lg 75 + 2 lg 5 − lg 6
h) log 2 tg 30° + log 2 sin 60°
H) lg 2 + lg 50
Megoldás: a)
2
H)
39
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
b)
5 = 2,5 2
E)
c)
1
A) vagy G)
d)
8
C)
e)
6
F)
f)
3
B)
g)
1
G) vagy A)
h)
-1
D)
29. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!
a) 4 3+ log 4 2
b) 6 2+ 2 log 6 3
c) 2 4+3 log2 5
d) 4 log4 3+log4 2
e) 3 2 − log 3 6
f) 7 log 7 6−log 7 2
g) 8 log 2 5
h) 16 log 2 3
i) 4 2 log 2 3
Megoldás: a) 128
b) 324
c) 2000
d) 6
e) 1,5
f) 3
g) 125
h) 81
i) 81
30. Mennyivel egyenlő lg 200 , ha b = lg 2 ?
Megoldás:
lg 200 = lg(100 ⋅ 2) = lg100 + lg 2 = 2 + b
31. Mennyivel egyenlő log 3 108 , ha a = log 3 2 ?
Megoldás: log 3 108 = log 3 (27 ⋅ 4 ) = log 3 27 + log 3 4 = 3 + log 3 2 2 = 3 + 2 ⋅ log 3 2 = 3 + 2a
32. Mennyivel egyenlő log 2 12 , ha c = log 2 9 ?
Megoldás: 1 2
log 2 12 = log 2 (4 ⋅ 3) = log 2 4 + log 2 3 = 2 + log 2 9 = 2 +
c 1 ⋅ log 2 9 = 2 + 2 2
40
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
41
33. Az lg 2 ≈ 0,3010 és lg 7 ≈ 0,8451 felhasználásával határozd meg a következő kifeje-
zések értékét! a) lg 3,5
b) lg 14
c) lg 49
Megoldás: a) lg 3,5 = lg
7 = lg 7 − lg 2 ≈ 0,8451 − 0,3010 = 0,5441 2
b) lg 14 = lg(2 ⋅ 7 ) = lg 2 + lg 7 ≈ 0,3010 + 0,8451 = 1,1461 c) lg 49 = lg 7 2 = 2 ⋅ lg 7 ≈ 2 ⋅ 0,8451 = 1,6902 1
1 1 d) lg 2 = lg 2 2 = ⋅ lg 2 ≈ ⋅ 0,3010 = 0,1505 2 2
d) lg 2
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
42
IV. Logaritmikus egyenletek A logaritmusfüggvény ismeretében megoldható egyenletek A logaritmusos egyenleteknek nevezzük azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlent tartalmazó kifejezés logaritmusa szerepel. Az ilyen típusú egyenletek egy részénél mindössze a logaritmus definícióját kell alkalmazni. Logaritmusos egyenletek megoldását általában az értelmezési tartomány vizsgálatával kezdjük. A logaritmus argumentumában csak pozitív értékű kifejezés állhat, a logaritmus alapja is pozitív kifejezés kell, hogy legyen, ami nem lehet 1. Ha a vizsgálat túl bonyolult, hosszadalmas folyamat lenne, akkor kiválthatjuk a kapott gyök (gyökök) ellenőrzésével. Ha az egyenlet megoldásakor nem ekvivalens lépéseket alkalmazunk, akkor az ellenőrzés nem hagyható el. Mintapélda17
Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) log 3 ( x + 1) = log 3 81 2
b) log 8 log 5 log 2 x = 0
Megoldás: a) A logaritmus argumentumában csak pozitív értékű kifejezés állhat, ezért
(x + 1)2 > 0
⇒
x ≠ −1 . A kifejezés értelmezési tartományába x = −1 kivételével az
összes valós szám beletartozik. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( x + 1) = 81 . 2
Megoldjuk az egyenletet:
x + 1 = 9 ⇒ x1 = 8 ; x2 = −10 .
Mindkét gyök beletartozik az egyenlet értelmezési tartományába, így mindkettő megoldása az egyenletnek. b) Az értelmezési tartomány meghatározása hosszadalmas lenne, ezért majd a kapott gyököket ellenőrizzük. A logaritmus definíciója szerint log 5 log 2 x = 8 0 , azaz log 5 log 2 x = 1 . Ismét a logaritmus definícióját alkalmazva: log 2 x = 51 , vagyis log 2 x = 5 . Innen: x = 2 5 = 32 . Ellenőrzés: Az egyenlet bal oldala: log 8 log 5 log 2 32 = log 8 log 5 5 = log 8 1 = 0 ami valóban megegyezik az egyenlet jobb oldalával. Tehát az x = 32 valóban gyöke az
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
43
egyenletnek. Mivel a megoldás során csak ekvivalens lépéseket alkalmaztunk, az egyenletnek nincs más megoldása.
Feladatok 34. Határozd meg a kifejezésekben előforduló változók értékét!
a) log 2 a = 3
b) log 3 b = 2
c) log 3 81 = c
d) log 2 32 = d
e) log e 16 = 4
f) log f 27 = 3
Megoldás: a) a = 8
b) b = 9
c) c = 4
d) d = 5
e) e = 2
f) f = 3
35. Oldd meg a következő egyenleteket!
c) log 4 ( x + 3) = log 4 (3 x − 1)
b) log 4 x = log 4 3
a) lg x = lg 12
3
e) log 1 x 2 = log 1 (10 x − 24)
d) lg x 2 = lg16
3
3
f) log 5 ( x + 3) = log 5 ( x + 3) 2
3
Megoldás: A feladatok megoldása előtt a bennük szereplő kifejezések értelmezési tartományát meg kell határozni! a) 0 < x, x = 12 c)
b) 0 < x, x = 3
1 < x, x = 2 3
d) x ≠ 0, x1 = 4 x 2 = −4
e) x > 2,4, x1 = 4 ; x 2 = 6
f) x > −3; x = −2
36. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) log 9 log 2 log 3 x = 0 c) log 25 log 3 log 2 x =
b) log 3 log 4 log 2 x = 1
1 2
d) log16 [6 − 4 log 5 (x − 3)] =
Megoldás: a) x = 9
b) x = 2 64
c) x = 2 243
d) x = 8
1 4
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
44
37. Fejtsd meg a keresztrejtvényt! Vízszintes 1. A log 5 (x − 25) = 3 egyenlet megoldása.
( (x
)
4. A log x x 3 + x 2 − 11x + 30 = 3 egyenlet megoldásai növekvő sorrendben. 5. A log 5
2
− 3x − 3) = 2 egyenlet megoldásai csökkenő sorrendben.
Függőleges 1. A log
2
x = log
(
2
5 + log
2
3 egyenlet megoldása.
)
2. A log 2 − x 2 + 12 x − 32 kifejezés értelmezési
tartományában előforduló egészek növekvő sorrendben. 3. A log 3 17 1 = x egyenlet megoldása.
Megoldás:
A logaritmus azonosságaival megoldható egyenletek A logaritmusos egyenletek egy másik típusában a logaritmus azonosságait alkalmazzuk. Célunk ilyenkor az, hogy az egyenlet két oldalán azonos alapú logaritmus szerepeljen. Ekkor a logaritmusfüggvények kölcsönös egyértelműségére (vagy szigorú monotonitására) hivatkozva, az argumentumok egyenlőségére következtetünk.
Mintapélda18
Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) lg( x + 10) − lg( x − 5) = 2 − lg 25
b) lg( x − 4 ) −
lg(3 x − 20 ) = 2 − lg 50 2
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
45
Megoldás: a) Határozzuk meg az egyenlet értelmezési tartományát: x + 10 > 0, x − 5 > 0, azaz 5 < x . Az értelmezési tartomány: ] 5; + ∞ [ . I) Az egyenlet mindkét oldalán alkalmazzuk a logaritmus azonosságait, valamint írjuk (x + 10) = lg 100 . át a 2-t lg 100 alakba: lg ( x − 5) 25 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt:
x + 10 = 4. x−5
Ebből x + 10 = 4(x − 5) ⇒ x = 10 . Ez eleme az egyenlet értelmezési tartományának és visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldása az egyenletnek. lg( x + 10 ) − lg( x − 5) + lg 25 = 2
II) Az egyenletet átírva:
(x + 10) ⋅ 25 = 2
Az azonosságokat alkalmazva:
lg
A logaritmus definíciója alapján
(x + 10) ⋅ 25 = 10 2 = 100 , innen
x−5
x −5
25 x + 250 = 100 x − 500
750 = 75 x ⇒ x = 10 . Az ellenőrzést természetesen ennél a második megoldásnál is elvégezzük. b) Az egyenlet értelmezési tartománya: x − 4 > 0, 3 x − 20 > 0 , azaz
20 < x , vagyis 3
⎡ ⎤ 20 x∈⎥ ; + ∞ ⎢ . ⎦ 3 ⎣ Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait, valamint írjuk át a 2-t lg 100 alakba: lg( x − 4 ) − lg 3 x − 20 = lg 100 − lg 50
lg
(x − 4) 3x − 20
= lg
100 50
A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt:
x−4 3x − 20
=2
x − 4 = 2 3 x − 20
20 , akkor az egyenlet mindkét oldalán álló kifejezések pozitívak, ezért a 3 négyzetre emelés után az előzővel ekvivalens egyenletet kapunk:
Ha x >
( x − 4 )2
= 4(3 x − 20 )
x 2 − 20 x + 96 = 0 ⇒
x1 = 12 ; x 2 = 8
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
46
Mindkét megoldás hozzátartozik az egyenlet értelmezési tartományához, és mindkettő megoldás. Megjegyzés: Az ( x − 4 ) = 4(3 x − 20 ) egyenlethez másképp is eljuthatunk, ha az azonosságokon kívül csak a logaritmus definícióját alkalmazzuk: 2
2 ⋅ lg( x − 4 ) − lg(3 x − 20 ) = 4 − 2 ⋅ lg 50 A definíció szerint
(x − 4)2 ⋅ 50 2 3x − 20
⇒
lg
(x − 4)2 ⋅ 50 2 3 x − 20
=4
= 10 4 = 10000
(x − 4)2 = 4(3x − 20)
Így
Feladatok Módszertani megjegyzés: A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. Kiosztjuk a feladatokat, differenciálva a tanulók képességei szerint. A csoport mindegyik tagja más-más feladatot kap a 38. – 41. feladatok közül, melyet önállóan old meg. A csoportok munkáját kísérjük figyelemmel, nyújtsunk segítséget az elakadóknak. Az önálló feladatmegoldás után a csoport megismerkedik minden kitűzött feladattal. Minden tanuló ismerteti saját megoldását a csoporton belül, ezt közösen megvitatják. Húzzunk egy feladatszámot és egy csoportjelet. A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport jelét és feladatszámát kihúzza a tanár. A többi csoport véleményezi, hogy jó megoldást hallottak-e. Hozzáfűzhetik, ha ők esetleg másképpen gondolkodtak, megbeszélhetik, melyik megoldás az egyszerűbb. A végeredmény ellenőrzésére minden alkalommal hívjuk fel a figyelmet!
38. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) log 2 x = log 2 40 − log 2 5
b) log 6 3 x = log 6 12 + log 6 4
c) lg x = 2 − lg 5
d) log 2 (x + 2) = 4 + log 2 3
e)
lg( x − 1) =2 1 − lg 2
Megoldás: a) x = 8
b) x = 16
c) x = 20
d) x = 46
e) x = 26
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
47
39. Oldd meg a következő egyenleteket!
lg(4 x + 5) =2 lg( x − 4)
a) lg(2 x + 1) + lg(x + 3) = lg(2 x + 15)
b)
c) log 3 (x + 6) + log 3 x = 3
d) 2 log 2 ( x − 4) − log 2 2 = log 2 ( x − 4)
Megoldás: a) lg(2 x + 1)(x + 3) = lg(2 x + 15) ⇒ 2 x 2 + 5 x − 12 = 0 ⇒ x1 = 1,5 ; x 2 = −4 Mivel a feladat alapján − b) lg(4 x + 5) = lg( x − 4)
2
1 < x , ezért az egyenlet megoldása: x = 1,5 . 2
⇒ x 2 − 12 x + 11 = 0 ⇒ x1 = 1; x 2 = 11
Mivel a feladat alapján 4 < x, x ≠ 5 , ezért az egyenlet megoldása: x = 11 . c) log 3 ( x + 6)x = log 3 27 ⇒ x 2 + 6 x − 27 = 0 ⇒ x1 = 3 ; x 2 = −9 Mivel a feladat alapján 0 < x , ezért az egyenlet megoldása: x = 3 . d) log 2
( x − 4 )2 2
= log 2 ( x − 4) ⇒ x 2 − 10 x + 24 = 0 ⇒ x1 = 4 ; x2 = 6
Mivel a feladat alapján 4 < x , ezért az egyenlet megoldása: x = 6 .
40. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) log 2 x + log 8 x = 12
b) log 3 x + log 9 x = 6
Megoldás: a) x > 0 esetén log 2 x +
log 2 x = 12 ⇒ 3 log 2 x + log 2 x = 36 ⇒ 4 log 2 x = 36 log 2 8
log 2 x = 9 ⇒ x = 2 9 = 512 b) x > 0 esetén log 3 x +
log 3 x = 6 ⇒ 2 log 3 x + log 3 x = 12 ⇒ 3 log 3 x = 12 log 3 9
log 3 x = 4 ⇒ x = 3 4 = 81
41. Oldd meg a következő egyenleteket! 1 a) log 3 (2 x − 1) = log 3 ( x − 2 ) 2
c)
1 log 2 2 + log 2 2
x − 1 = log 2 ( x − 13)
log 1 (3 x + 1)
b)
2
2
= log 1 ( x − 3) 2
1 d) lg( x − 12 ) − lg( x − 9 ) = lg 100 − lg 50 2
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
48
Megoldás: 1
a) log 3 (2 x − 1) 2 = log 3 (x − 2 ) ⇒
2x −1 = x − 2 ⇒
x2 − 6x + 5 = 0
x1 = 5 megoldás, x 2 = 1 hamis gyök, mert x > 2 . 1
b) log 1 (3 x + 1) 2 = log 1 ( x − 3) ⇒ 2
3x + 1 = x − 3 ⇒
x 2 − 9x + 8 = 0
2
x1 = 8 megoldás, x 2 = 1 hamis gyök, mert x > 3 .
1
c) log 2 2 2 ⋅ x − 1 = log 2 ( x − 13) ⇒
2 ⋅ x − 1 = x − 13 ⇒
x 2 − 28 x + 171 = 0
x1 = 19 megoldás, x 2 = 9 hamis gyök, hiszen x > 13 .
d) lg
(x − 12) = lg 100 1 50 (x − 9)2
⇒
x − 12 =2 ⇒ x−9
x 2 − 28 x + 180 = 0
x1 = 18 megoldás, x 2 = 10 hamis gyök, hiszen x > 12 .
További logaritmikus és exponenciális egyenletek A logaritmikus egyenleteknek sok fajtáját ismerjük, megoldásukhoz általános útmutatást nem tudunk adni. A megoldás során igyekszünk az egyenleteket úgy átalakítani, hogy minél egyszerűbb, az eredetivel ekvivalens egyenleteket kapjunk. Mintapélda19
Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) (log 3 2 x ) − 10 log 3 2 x + 9 = 0 2
b) lg 2 x + 2 lg x = lg x 3 + 2
Megoldás: a) Határozzuk meg az egyenlet értelmezési tartományát: 2 x > 0, azaz 0 < x . Ez log 3 2 x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = log 3 2 x új ismeretlent, ekkor az egyenlet: y 2 − 10 y + 9 = 0 , megoldásai: y1 = 9 ; Ha y1 = 9 , akkor log 3 2 x = 9 , innen 2 x = 3
9
39 ⇒ x= . 2
Ha y 2 = 1 , akkor log 3 2 x = 1 , innen 2 x = 3 ⇒ Az egyenlet megoldásai: x1 =
39 3 ; x2 = . 2 2
y2 = 5 .
x=
3 . 2
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
49
b) Az egyenlet értelmezési tartománya: x > 0 . Alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot: lg 2 x + 2 lg x = 3 lg x + 2 Vezessük be az y = lg x új ismeretlent, ekkor egyenletünk: y 2 − y − 2 = 0 , megoldásai: y1 = 2 ;
y 2 = −1 .
Ha y1 = 2 , akkor lg x = 2 , innen x = 100 . Ha y 2 = −1 , akkor lg x = −1 , innen x =
1 . 10
Az egyenlet megoldásai: x1 = 100 ; x 2 =
1 . 10
Mintapélda20
Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) 3 2 x − 14 ⋅ 3 x + 45 = 0
b) 5 x
2
−9
⋅ 3 x −3 = 1
c) x log 3 x −1 = 729, x > 0
Megoldás: a) Ez 3 x -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = 3 x új ismeretlent, ekkor y 2 = 3 2 x , ezzel az egyenlet: y 2 − 14 ⋅ y + 45 = 0 , megoldásai: y1 = 9 ;
y2 = 5 .
Ha y1 = 9 , akkor 3 x = 9 , innen x = 2 . Ha y 2 = 5 , akkor 3 x = 5 , innen x = log 3 5 =
lg 5 ≈ 1,465 . lg 3
Az egyenlet megoldásai x1 = 2; x 2 = log 3 5 . b) Észrevehetjük a x 2 − 9 = (x + 3)( x − 3) nevezetes azonosságot, így a kitevőt szorzattá alakíthatjuk: 5 ( x + 3 )( x −3 ) ⋅ 3 x −3 = 1 , majd alkalmazzuk a hatványozás azonosságait:
(5(
x +3)
⋅ 3)
x −3
= 1.
Egy hatvány két esetben lehet 1: 1. eset: A kitevő nulla, és a hatványalap nem nulla: x − 3 = 0 ⇒ 2. eset: A hatványalap 1: 5 ( x +3 ) ⋅ 3 = 1 ⇒ 5 x +3 =
x=3
1 3
Mivel mindkét oldal pozitív, tehát vehetjük az oldalak 10-es alapú logaritmusát: lg 5 x +3 = lg
1 3
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
50
Alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot: 1 (x + 3) lg 5 = lg 1 ⇒ x = 3 − 3 ≈ −3,6826 3 lg 5 lg
1 Az egyenlet megoldásai x1 = 3 ; x 2 = 3 − 3 . lg 5 lg
c) Az egyenlet értelmezési tartománya: R+. Vegyük mindkét oldal 3-as alapú logaritmusát: log 3 x log3 x −1 = log 3 729 Alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot: (log 3 x − 1) log 3 x = 6 2
Rendezzük az egyenletet: log 3 x − log 3 x − 6 = 0 Vezessük be az y = log 3 x új ismeretlent, ekkor az egyenlet: y 2 − y − 6 = 0 , melynek megoldásai y1 = 3;
y 2 = −2 .
Innen log 3 x = 3 ⇒ x1 = 27, vagy log 3 x = −2 ⇒ x 2 = Az egyenlet megoldásai x1 = 27 ; x 2 =
1 . 9
1 . 9
Feladatok 42. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 7 x = 5
b) 3 x = 4
c) 4 x + 3 = 15
d) 2 ⋅ 3 2 x −3 = 7
e) 7 2 x + 5 ⋅ 7 x − 14 = 0
f) 2 2 x + 3 − 7 ⋅ 2 x + 2 + 24 = 0
Megoldás: a) x =
lg 5 ≈ 0,8271 lg 7
b) x = log 3 4 =
lg 4 ≈ 1,2619 lg 3
c) x = log 4 15 − 3 =
lg 15 − 3 ≈ −1,0466 lg 4
lg 3,5 +3 7 lg 3 d) 2 x − 3 = log 3 ⇒ x= ≈ 2,0702 2 2 e) y = 7 x
⇒
y 2 + 5 ⋅ y − 14 = 0
y1 = 2 ;
y 2 = −7
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
A 7 x = −7 egyenletnek nincs megoldása. 7 x = 2 f) y = 2 x
⇒ 8 y 2 − 28 ⋅ y + 24 = 0
y1 = 2;
⇒
x=
lg 2 ≈ 0,3562 . lg 7
y 2 = 1,5
Ha 2 x = 2 , akkor x = 1 , ha 2 x = 1,5, akkor x =
lg1,5 ≈ 0,5850 . lg 2
43. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) log 3 (2 2 x +3 + 3) = log 3 7 + log 3 (2 x + 2 − 3) b) lg 2 x + 2 + lg(2 x − 4) = 7 ⋅ lg 2 c) x lg x −9 = 1010 , x > 0 Megoldás: a) log 3 (2 2 x + 3 + 3) = log 3 7 ⋅ (2 x + 2 − 3) ⇒ 2 3 ⋅ 2 2 x + 3 = 7 ⋅ 2 2 ⋅ 2 x − 21 ⇒ 8 y 2 − 28 y + 24 = 0 ⇒
y1 = 2 ;
y 2 = 1,5
Ha 2 x = 2 , akkor x = 1 , ha 2 x = 1,5, akkor x = b) lg 2 x + 2 ⋅ (2 x − 4) = lg 2 7 y 2 − 4 y − 32 = 0 ⇒
lg1,5 ≈ 0,5850 . lg 2
⇒ 4 ⋅ 2 2 x − 16 ⋅ 2 x − 128 = 0 . Legyen 2 x = y y1 = 8 ;
y 2 = −4
Ha 2 x = 8 , akkor x = 3 , ha 2 x = −4 , akkor nincs megoldás. c) x lg x −9 = 1010
⇒ lg x lg x −9 = lg1010
⇒
(lg x − 9)lg x = 10 , így
lg 2 x − 9 lg x − 10 = 0 . Legyen lg x = y ⇒ y 2 − 9 y − 10 = 0 ⇒ Ha lg x = 10 ⇒
y1 = 10 ;
y 2 = −1
x = 1010 , ha lg x = −1 ⇒
x=
1 10
y = 2x
51
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
52
V. Exponenciális és logaritmikus folyamatok A hétköznapi életben számtalan folyamattal találkozhatunk, amelyek exponenciális vagy logaritmikus összefüggésekkel modellezhetők. Ilyen folyamatok például: •
tőke növekedése, termelés növekedése, piaci folyamatok, kamatos kamat;
•
élőlények szaporodása;
•
radioaktív anyag bomlatlan atomjainak száma az eltelt idő függvényében;
•
légnyomás csökkenése a magasság függvényében.
Az exponenciális és a logaritmus függvényekkel kapcsolatban már találkoztunk néhány konkrét modellel, most nézzük meg ezeket közelebbről!
4.6 kártyakészlet Módszertani megjegyzés: A tanulók alkossanak csoportokat a következő témák szerint: tőke-
növekedés (21. mintapélda), radioaktív anyagok bomlása (22. mintapélda), népességnövekedés (23. mintapélda), légnyomás változása (24. mintapélda). Ezek a témák megtalálhatók a 4. kártyakészletben. Minden tanuló húz egy kártyát. Az azonos témák szerint alkotnak csoportokat. A feldolgozást segítendő, minden témához tartozik egy kidolgozott mintapélda. A csoportoknak az a feladatuk, hogy további példákat keresnek képekkel, diagramokkal illusztrálva. Készítsenek egy rövid bemutatót – konkrét feladatmegoldással is – az adott témából, amit a csoport választott képviselője a következő órán ad elő az osztály előtt.
Mintapélda21
Zsuzsi le akarja cserélni tévéjét egy újra, ami 40 000 Ft-ba kerül. Már van 38 000 Ft-ja. Ha ezt az összeget befektetné évi 6%-os kamatra, akkor mennyi idő múlva vehetné meg a tévét, feltéve, hogy annak ára nem változik?
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
53
Megoldás: Zsuzsi pénze x év alatt éri el a 40 000 Ft-ot. 1 év alatt 1,06-szeresére nő. 2 év alatt: 1,06 ⋅ 1,06 –szeresére változik. x év alatt: 1,06x-szerese lesz. 40 000 = 38 000 ⋅ 1,06x 40000 = 1,12 x 38000 1,05 = 1,12x Mivel mindkét oldal pozitív, vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, és a jobb oldalra alkalmazzuk a logaritmus azonosságát: lg 1,05 = x lg 1,12. Ebből x = 0,43 . 0,43 év = 12 ⋅ 0,43 =5,16 hónap. Zsuzsi kb. fél év múlva megveheti a tévét. Mintapélda22
A következő témával már az exponenciális egyenleteknél is találkoztunk. Itt – a logaritmus ismeretében – további kérdésekre is választ tudunk adni. A 226-os tömegszámú rádium (Ra) eredetileg N0 számú, t év elteltével N számú bomlatlan t
⎛ 1 ⎞ 1600 radioktív rádiumatomot tartalmaz, ahol N = N 0 ⋅ ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ a) Mennyi idő alatt bomlik el a rádiumatomok fele? (Mennyi a rádiumatomok felezési ideje?) b) A rádiumatomok hány százaléka bomlik el évente? c) Hány év alatt bomlik el a radioaktív atomok 20%-a? Megoldás:
a) Ha t idő elteltével a radioaktív rádiumatomok fele elbomlik, akkor a fele marad bomlatlan, vagyis N =
N0 . Ezt visszahelyettesítve a fenti egyenletbe, N0-lal egysze2 t
1 ⎛ 1 ⎞ 1600 rűsíthetünk. Kapjuk: = ⎜ ⎟ . 2 ⎝2⎠ Mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért a hatványkitevők is megegyeznek, azaz 1 =
t , ebből t = 1600 év. 1600
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
54
b) A képletből közvetlenül az számítható ki, hogy a radioaktív rádiumatomok hány százaléka nem bomlik el egy év alatt! 1
N ⎛ 1 ⎞ 1600 N1 = N 0 ⋅ ⎜ ⎟ . Ebből az 1 hányados értéke adja meg a keresett arányt. N0 ⎝2⎠ 1
N1 ⎛ 1 ⎞ 1600 = 0,99957 ⇒ 99,957 % =⎜ ⎟ N0 ⎝ 2 ⎠
Tehát egy év alatt az atomok 0,043 %-a bomlik el. c) t év alatt bomlik el a radioaktív atomok 20%-a, azaz t év múlva az atomok 80 %-a mat
N ⎛ 1 ⎞ 1600 = 0,8 rad bomlatlan. Ez éppen azt jelenti, hogy t = 0,8 ⇒ ⎜ ⎟ N0 ⎝2⎠
Mivel a keresett érték a hatványkitevőben van, valamint mindkét oldal pozitív, vegyük mindkét oldalnak a 10-es alapú logaritmusát, és a bal oldalra alkalmazzuk a logaritmus azonosságát. Ekkor kapjuk: t 1 ⋅ lg = lg 0,8 . Ebből t ≈ 515 év. 1600 2 Mintapélda23
A 1850 -ben a Föld népessége kb. 675 millió fő volt. Megállapították, hogy évente átlagosan 0,3% a növekedés. Ennek alapján hány ember élt a Földön 100 évvel később, és mennyire becsülnéd változatlan növekedési ütem mellett a létszámot a 2100-ra? Megoldás:
Az első év végére az 675 000 000 fős népesség 675 000 000 ⋅ 1,003-szorosára nőtt. A második év végére a népesség 675 000 000 ⋅ 1,0032 fő lett. A 3. év végére 675 000 000 ⋅ 1,0033 , stb. 100 év múlva pedig: 675 000 000 ⋅ 1,003100 ≈ 910 000 000 fő lett. Ettől az időtől számítva 2100-ig 250 év telik el. Ekkorra a népesség száma az adott növekedési ütem mellett 675 000 000 ⋅ 1,003250 ≈ 1 430 000 000 főre becsülhető. Megjegyzés: Kiderült, hogy a statisztikusok igen rosszul állapították meg a növekedési ütemet, hiszen a világ népessége már 1980-ban kb. 4,4 milliárd fő volt!
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
55
Mintapélda24
A kilométerben megadott h magasságban uralkodó p nyomás a p = p0 ⋅ e −0,1275h képlettel számítható ki, ahol p0 a Földön lévő légnyomás, és e ≈ 2,718, ez a természetes alapú logaritmus alapszáma. a) Mekkora magasságba kell emelkedni a Földtől, hogy a légnyomás a tengerszinten mért légnyomás felére csökkenjen? b) Mekkora magasságba kell emelkedni a Földtől, hogy a légnyomás a tengerszinten mért légnyomáshoz képest 10%-kal csökkenjen? Megoldás:
a) Tudjuk, hogy a keresett magasságban a légnyomás a felére csökken, azaz p = Ezt behelyettesítve a megadott egyenletbe kapjuk: Egyszerűsítés után:
p0 . 2
p0 = p0 ⋅ 2,718−0,1275 h 2
1 = 2,718 − 0,1275h 2
Mivel mindkét oldal pozitív, vehetjük az egyenlet 10-es alapú logaritmusát és alkalmazzuk a logaritmus azonosságait: lg 0,5 = –0,1275 h ⋅ lg 2,718; ebből h = 5,4. A nyomás kb. 5,4 km magasságban fele a tengerszinten mért nyomásnak. b) Ha a keresett magasságban a p nyomás a tengerszinten mért nyomásnál 10%-kal kevesebb, akkor p = 0,9 p0 Behelyettesítve a megadott egyenletbe kapjuk: 0,9 p0 = p0 ⋅ e −0,1275h Egyszerűsítés és a logaritmus definíciójának alkalmazása után kapjuk: lg 0,9 = –0,1275h ⋅ lg 2,718; ebből h = 0,83 . A nyomás kb. 830 m magasságban 90%-a a tengerszinten mért nyomásnak.
Feladatok 44. Egy szakszervezet azt követeli, hogy a bérek évi 8% -kal növekedjenek.
a) Ha ezt elérik, akkor mennyire nő meg 3 év alatt a mai 74 000 Ft-os fizetés? b) Ilyen növekedés mellett mikorra lenne a dolgozók fizetése legalább másfélszerese a mainak?
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
56
Megoldás:
a) 3 év múlva a bér 74 000 ⋅ 1,083 ≈ 93 219 Ft. b) t idő elteltével a dolgozók fizetése 74 000 ⋅ 1,5 = 111 000 Ft lesz t
74 000 ⋅ 1,08 = 111 000 ⇒ t =
lg 111000 74000
lg 1,08
≈ 5,3
5 év múlva még nem, de 6 év múlva már meghaladja a dolgozók fizetése a mostani másfélszeresét.
45. A Föld népessége évente 0,75%-kal növekszik, 2006-ban 6,5 milliárd ember élt a
Földön. Változatlan szaporodási ütem mellett melyik évben érné el az össznépesség száma a 9 milliárdot? Megoldás:
A népesség t év múlva éri el a 9 milliárdot: 6,5 ⋅ 1,0075 t = 9 Ebből: t =
lg 69,5 lg 1,0075
≈ 43,55 . A népesség a 44. évben, 2050-ben éri el a 9 milliárd főt
ilyen szaporodási ütem mellett.
46. Mennyi a felezési ideje annak a radioaktív izotópnak, amelynek az aktivitása kezdet-
ben 6 ⋅10 −13 Bq, de 2 hét múlva már csak 4,78 ⋅10 −13 Bq? A radioaktív anyagok bomlását a C = C0 ⋅ 2
− Tt
egyenlet írja le, ahol C a pillanatnyi aktivitás, C0 a kezdeti aktivi-
tás, t az eltelt idő, T pedig az anyag felezési ideje; Bq, azaz becquerel, az aktivitás mértékegysége. Megoldás:
A feladat szövege szerint C = 4,78 ⋅ 10 −13 Bq; C0 = 6 ⋅ 10 −13 Bq; t = 2 hét és T = ? (hét). −2
Ezeket behelyettesítve a fenti képletbe 4,78 ⋅ 10 −13 = 6 ⋅10−13 ⋅ 2 T . Rendezzük át, és vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát ( a számológéppel történő számolás miatt): lg
−2 4,78 = lg 2 T 6
Alkalmazva a logaritmus azonosságát T-re rendezünk: T = A radioaktív anyag felezési ideje kb. 6 hét.
− 2 lg 2 = 6,1 . lg 4,678
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
57
p κ−1 47. A gázok adiabatikus (hőcsere nélküli) állapotváltozását a κ = állandó egyenlet írja T
le, ahol p a gáz nyomása, T a hőmérséklete, κ (kappa) pedig egy, a gáz fajtájára jellemző arányszám. Mekkora ez az arányszám az oxigén esetén, ha a nyomást 100szorosára, a hőmérsékletet 4-szeresére növeljük? Megoldás:
Bárhogy változtatjuk a nyomást és a hőmérsékletet, ugyanazt az állandót kapjuk, mint a kiindulási állapotban. Ezért
p κ−1 (100 p ) κ−1 = . Tκ (4T ) κ
A hatványozás azonosságának alkalmazás után egyszerűsíthetünk: 1=
100 κ−1 4κ
⇒ 4 κ = 100 κ−1
Vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, majd az egyenletet rendezzünk κ-ra:
κ lg 4 = ( κ − 1) ⋅ 2 κ=
−2 ≈ 1,43 . Ez a keresett arányszám. lg 4 − 2
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
58
Vegyes feladatok 48. Számold ki a következő logaritmus értékeket! 1 9
a) log 1 3
c) log 2 3 16
b) log 1 125 5
b) −
Megoldás: a) 2;
3 ; 2
c)
4 . 3
49. Határozd meg a betűkifejezések számértékét!
a) log 7 a = 1 Megoldás: a) a = 7;
b) log 1 b = 0
c) log 2 u = 2
2
3
b) b = 1;
c) u =
4 ; 9
d) log
−
2 5
z = −3
d) nincs értelmezve.
50. Határozd meg a következő logaritmusok alapjait!
a) log a 5 4 =
1 5
b) log b
Megoldás: a) a = 4;
b) b =
d) d −4 = 100
5 ; 7
7 = −1 5
d) log d 100 = −4
c) log c (−5) = 2
c) nincs értelmezve;
⇒
d = 100
−
1 4
=
1 10
.
51. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!
a) 3
log3 9
⎛ 1 ⎞ e) ⎜ ⎟ ⎝ 49 ⎠
c) (− 4 )log(− 4 )12
b) 7 log7 1
log7
1 3
1−log 1 3
f) 3
g) 2
9
log 2
2
d) 3log3 0 1+ log 1 27
⎛ 1 ⎞ h) ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠
3
Megoldás:
a) 9;
e) 7
b) 1;
− 2 log7
1 3
c) nincs értelmezve;
3 log 27 ⎛1⎞2 1
1 h) ⋅⎜ ⎟ 27 ⎝ 9 ⎠
⎞
⎛
= 9;
9
⎛1⎞ f) 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝9⎠
d) nincs értelmezve;
(−2 )⎜⎜ −log 1 3 ⎟⎟ ⎝
3
9
1 = ⋅ 27 2 = 3 3 . 27
⎠
2
( )3 log
= 3 ⋅ 9 = 27 g) 2 2
2 2
3
=39;
9
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
59
52. Mely x-ekre értelmezhetők az alábbi függvények?
a) a( x) = log
−x
2
d) d(x) = log1,7 x
Megoldás: a) x < 0;
b) x > −
3 ; 4
b) b ( x ) = log 0 ,1 (3 + 4 x )
c) c(x) = log 4 (2 − x)
e) e(x) = lg 4 − x
f) f (x) = lg 5 − x
d) x ≠ 0;
c) x < 2;
e) x ≠ 4;
f) x < 5.
53. Mely x-ekre értelmezhetők az alábbi függvények?
a) a ( x ) = log 0,3 (6 − x )
b) b( x ) = log1, 2 (x 2 − 9 )
c) c( x ) = log 3 (− x 2 + 8 x − 15)
d) d ( x ) = lg lg(5 − x )
e) e( x ) = log 1 8 − 2 x
f) f ( x ) = log12 ( x − 5)
5
3
Megoldás: a) –6 < x < 6;
b) x < –3 vagy x > 3;
d) x < 5, de 5 − x ≠ 1 miatt x ≠ 4 ;
c) 3 < x < 5;
e) x < 3;
f) x > 5 .
54. Készítsd el a következő függvények grafikonját, majd jellemezd a függvényeket!
a) a ( x) = log 3 x ; x ∈ ]0; 3]
b) b( x) = log 1 x ; x ∈ Z
c) c( x) = − lg x ; x ∈ [1; 10[
d) d ( x) = lg 1 (− x) ; x ∈ ] –1; 0 [
3
10
Megoldási útmutató: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
55. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! Az a) feladatnál megadtuk az ér-
telmezési tartományt, a többi függvény esetében először azt határozd meg! a) a( x) = lg | x | ; x ∈ [–10; 10] \ {0}
b) b( x) = lg | x + 1 |
c) c( x) = log 2 (2 x + 1)
Megoldási útmutató: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
56. Oldd meg a következő egyenleteket!
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
a) log 64 log 3 {27 ⋅ [log 5 (x + 3) + 1]} =
Megoldás: a) x = 22 ;
1 3
b) log 81 log 3 [3 + 3 log 4 x ] =
1 4
b) x = 216 .
57. Oldd meg a következő egyenleteket!
b) lg( x − 1) = 3 − lg 20
a) lg 2 x = 1 + lg 2
Megoldás: a) x = 10
b) x = 51 .
58. Oldd meg a következő egyenleteket!
a)
lg(2 x + 21) = lg( x + 3) 2
b) log 2 x + log 2 ( x + 3) = 2
c) 2 log 3 ( x − 2) − log 3 4 = log 3 (2 x − 7 )
Megoldás: a) lg(2 x + 21) = lg(x + 3)
2
⇒
x 2 + 4 x − 12 = 0 ⇒
x1 = 2;
x 2 = −6
Mivel a feladat alapján − 3 < x , ezért az egyenlet megoldása: x = 2 . b) log 2 x( x + 3) = log 2 4 ⇒
x 2 + 3x − 4 = 0 ⇒
x1 = 1; x2 = −4
Mivel a feladat alapján 0 < x , ezért az egyenlet megoldása: x = 1 . c) log 3
(x − 2)2 4
= log 3 (2 x − 7 ) ⇒
x 2 − 12 x + 32 = 0 ⇒
x1 = 4;
x2 = 8
Mivel a feladat alapján 3,5 < x , ezért az egyenlet megoldásai: x1 = 4;
x2 = 8 .
59. Oldd meg a következő egyenleteket!
a)
1 lg( x − 5) + lg 2 = lg( x − 9 ) 2
b)
1 log 5 (x + 8) + log 5 x − 8 = log 5 6 2
Megoldás: 1
a) lg( x − 5)2 ⋅ 2 = lg( x − 9 ) ⇒
x−5⋅ 2 = x−9 ⇒
x 2 − 20 x + 91 ⇒
x1 = 13 megoldás, x 2 = 7 hamis gyök 1
b) log 5 ( x + 8) 2 ⋅ x − 8 = log 5 6 ⇒
x +8 ⋅ x −8 = 6 ⇒
x1 = 10 megoldás, x 2 = −10 hamis gyök
60. Oldd meg a következő egyenleteket!
x 2 = 100
60
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
b) 5 ⋅ 2 3 x + 5 = 9
a) 5 x = 2
c) 3 x
2
−16
⋅ 4 x+4 = 1
Megoldás: a) x =
lg 2 ≈ 0,4307 lg 5
lg 1,8 −5 9 lg 2 ⇒ x= ≈ −1,3840 b) 3x + 5 = log 2 5 3
(3(
c) 3( x + 4 )( x − 4 ) ⋅ 4 x + 4 = 1 ⇒
x−4 )
⋅4
)
x+4
=1
Ha a kitevő nulla, és a hatvány alap nem nulla: x + 4 = 0 ⇒ Ha a hatványalap 1: 3( x − 4 ) ⋅ 4 = 1 ⇒ 3 x − 4 =
1 4
x1 = −4
⇒ lg 3 x − 4 = lg
1 4
1 lg 1 (x − 4) lg 3 = lg ⇒ x2 = 4 + 4 ≈ 2,7381 4 lg 3
61. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) log 3
3x + 3 = 2− x 2
c) x log 2 x
2
+7
b) log 3 (6 ⋅ 9 x + 5) = x + log 3 (3 x + 2 − 14 )
= 16, x > 0
Megoldás: a) log 3
3x + 3 = log 3 3 2− x 2
3x + 3 9 = x 2 3
⇒
y 2 + 3 y − 18 = 0 ⇒
y1 = 3;
⇒ 3 2 x + 3 ⋅ 3 x − 18 = 0 ⇒
y 2 = −6
Ha 3 x = 3 akkor, x = 1 , ha 3 x = −6 , akkor nincs megoldás. b) x = log 3 3 x
(
)
(
⇒ log 3 6 ⋅ 3 2 x + 5 = log 3 3 x 3 2 ⋅ 3 x − 14
)
6 ⋅ 3 2 x + 5 = 9 ⋅ 3 2 x − 14 ⋅ 3 x . Legyen y = 3 x
⇒ 3 y 2 − 14 y − 5 = 0 ⇒
Ha 3 x = 5 akkor, x =
c) x log2 x
2
+7
y1 = 5;
y2 = −
1 3
lg 5 1 ≈ 1,4650 , ha 3 x = − , akkor nincs megoldás. 3 lg 3
= 16 ⇒ log 2 x log2 x
2
+7
= log 2 16 ⇒
(2 log 2 x + 7) log 2 x = 4
y = 3x
61
Matematika „A” – 11. évfolyam
Tanári útmutató
2
2 log 2 x + 7 log 2 x − 4 = 0
Legyen log 2 x = y ⇒ Ha log 2 x =
2y2 + 7 y − 4 = 0 ⇒
1 y1 = ; 2
y 2 = −4
1 1 , akkor x = 2 , ha log 2 x = −4 , akkor x = . 16 2
62
4. modul: A logaritmus
Tanári útmutató
63
Kislexikon Logaritmus: A b pozitív szám a alapú (a > 0 és a ≠ 1) logaritmusának nevezzük azt a kite-
vőt, amelyre a – t emelve b – t kapunk. Jelölés: logab (kiolvasva: a alapú logaritmus b). Matematikai jelölésekkel a logaritmus definíciója: a loga b = b , ahol b > 0; a > 0 és a ≠ 1 Logaritmusfüggvénynek nevezzük az f ( x ) = log a x; a > 0; a ≠ 1; x > 0 hozzárendelési utasí-
tással megadott függvényt. A logaritmus azonosságai:
log a x + log a y = log a xy log a x − log a y = log a
Áttérés más alapú logaritmusra:
k log a x = log a x k log y x log a x = log y a
x y