EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
IDŐPONT: 2010. Június 4.
A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc)
ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK :
Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
MEGJEGYZÉSEK :
Válaszoljon mind a négy kötelező kérdésre. A kiadott formalap megfelelő mezőjébe írt kereszttel jelezze, hogy a három választható kérdés közül melyik kettőnek a megoldását dolgozza ki. Minden kérdés megoldását külön lapon dolgozza ki.
Lap 1/8
HU
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA 1. KÖTELEZŐ KÉRDÉS
ANALÍZIS Lap 1/1
Pontszám
Az f függvényt az alábbi módon értelmezzük: f ( x) a)
b)
x2 1 . x2
i. Határozza meg f értelmezési tartományát, azokat az intervallumokat, amelyekben az f növő illetve fogyó, továbbá írja fel f grafikonja aszimptotáinak valamilyen egyenletét.
5 pont
ii. Vázolja föl f grafikonját.
1 pont
i. Az f grafikonjához annak (1, 2) pontjában húzott érintő az x-tengelyt az A pontban, az y-tengelyt pedig a B pontban metszi.
3 pont
Számítsa ki az AB szakasz hosszát. ii. Számítsa ki annak a tartománynak a területét, amelyet f grafikonja, az x-tengely, valamint az x 1 és az x 2 egyenesek határolnak.
Lap 2/8
3 pont
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
2. KÖTELEZŐ KÉRDÉS
ANALÍZIS Lap 1/1
Pontszám
Egy kémiai reakció során új vegyület jön létre. Ennek a vegyületnek a tömege t másodperc leteltével m gramm. m(t ) kielégíti a következő differenciálegyenletet: dm (50 m) 2 . 500 dt a)
Oldja meg ezt a differenciálegyenletet, tudva, hogy a t = 0 időpontban m = 0.
6 pont
b)
i. Számítsa ki, hogy 100 másodperc leteltével mekkora tömegű vegyület keletkezik.
2 pont
ii. Számítsa ki, hogy mikor lesz a létrejövő vegyület tömege 40 gramm.
2 pont
iii. Igazolja, hogy a reakció során keletkező vegyület tömege soha nem haladhatja meg az 50 grammot.
2 pont
Lap 3/8
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
3. KÖTELEZŐ KÉRDÉS
GEOMETRIA Lap 1/1
Pontszám
Adottak a térbeli derékszögű koordinátarendszerben az
O(0, 0, 0) , P (1, 1, 3) , Q (1, 5, 2) , R (0, 3, 1) , S (1, 4, 1) pontok. a)
b)
i. Igazolja, hogy az OP egyenes merőleges mind az OQ , mind pedig az OR egyenesre.
3 pont
ii. A QOR sík egyenletét felírva mutassa meg, hogy S benne van ebben a síkban.
3 pont
i. Számítsa ki a P pont és a QOR sík távolságát.
3 pont
ii. Határozza meg az SPR háromszög területét.
4 pont
Lap 4/8
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
4. KÖTELEZŐ KÉRDÉS
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Lap 1/1
Pontszám
Tíz kártyát megszámozunk. Egyikükre az 1-es, a következőre a 2-es, s.í.t., végül a tizedikre a 10-es számot írjuk. Az így megszámozott kártyák közül egyesével, visszatevés nélkül véletlenszerűen kiválasztunk négy darabot. a)
b)
i. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a kihúzott számok mindegyike kisebb vagy egyenlő mint 6.
3 pont
ii. Számítsa ki annak a valószínűségét hogy a négy kihúzott szám szorzata páros.
3 pont
i. Számítsa ki annak a valószínűségét hogy a második, a harmadik és a negyedik kihúzott szám is 1-gyel nagyobb az előzőleg kihúzott számnál.
4 pont
ii. Tudjuk, hogy az első két kihúzott szám mindegyike páros. Számítsa ki annak a valószínűségét hogy mindegyik kihúzott szám páros.
Lap 5/8
3 pont
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
I. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS
ANALÍZIS Lap 1/1
Pontszám
Az f föggvényt az alábbi módon értelmezzük:
f ( x) (2 x 2 4 x)e x . a)
i. Határozza meg
7 pont
az f gyökeit; az intervallumokat, amelyekben f növő, illetve fogyó; azon pontok koordinátáit az f grafikonján, ahol a függvénynek szélsőértéke van. ii. Vizsgálja meg az f ( x) függvény viselkedését, ha x , illetve ha
3 pont
x .
Keressen aszimptotákat és írja föl ezek valamilyen egyenletét. b)
c)
i. Igazolja, hogy az f grafikonjához az x 1 helyen húzott t érintő 2 4 egyenlete felírható y x alakban. e e
3 pont
ii. Számítsa ki a t egyenes és az x-tengely által bezárt hegyeszöget.
2 pont
i. Vázolja fel közös koordinátarendszerben az f grafikonját és a t érintőt.
3 pont
ii. Határozza meg a b és a c értékét úgy, hogy F x 2 x 2 bx c e x az
3 pont
f (x) egy primitív függvénye legyen. iii. Számítsa ki annak a tartománynak a területét, amelyet f grafikonja és a t érintő határolnak.
Lap 6/8
4 pont
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
II. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Lap 1/1
Pontszám
Egy nagyváros tömegközlekedését igénybe vevő felnőttek T populációjának körében elvégzett statisztikai vizsgálat nyomán kiderült, hogy T 40%-a férfi és 60%-a nő. A T-beli férfiak 25%-a, illetve a T-beli nők 50%-a rendelkezik időszakos bérlettel. a)
b)
Véletlenszerűen kiválasztanak valakit a T populációból. i. Mutassa meg, hogy 0.4 annak a valószínűsége, hogy ennek a személynek van bérlete.
3 pont
ii. Ha ennek a személynek nincsen bérlete, akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy ez a személy férfi?
3 pont
Véletlenszerűen kiválasztják a T populáció tíz tagját. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy
c)
i. e tíz ember közül pontosan 6-nak van bérlete;
3 pont
ii. e tíz ember közül legalább 2-nek van bérlete.
3 pont
A T populációból kijelölnek egy 200 elemű véletlen mintát. Legyen az X valószínűségi változó azoknak az embereknek a száma ebben a mintában, akiknek van bérletük. i. Határozza meg X eloszlását és számítsa ki X átlagát és szórását.
3 pont
ii. Alkalmas közelítés segítségével számítsa ki a P (60 X 100) valószínűséget.
5 pont
Indokolja meg, miért jogos a választott közelítés használata. iii. Ugyanennek a közelítésnek a segítségével számítsa ki azt a legkisebb k egész számot amelyre teljesül, hogy P ( X k ) 0.90 .
Lap 7/8
5 pont
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA III. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS
GEOMETRIA Lap 1/1
Marks
a)
Határozza meg azon pontok koordinátáit, amelyekben a metszi az x-, az y-, illetve a z-tengelyt.
3 pont
b)
Az A, B, C pontok és az O origó egy háromszög alapú gúla csúcsai.
2 pont
A térbeli derékszögű koordináta-redszerben adott a sík
: x 2 y 3z 12 ,
a G gömb
G : x 2 y 2 z 2 12 x 6 y 4 z 0 és az A(12, 0, 0) , B(0, 6, 0) , C(0, 0, 4) és P(5, 1.5, 5)
pontok.
Számítsa ki ennek a gúlának a térfogatát. c)
i. Írja föl annak a gömbnek egy egyenletét, amelyik áthalad az OABC gúla csúcsain.
5 pont
Mutassa meg, hogy hogy ez a G gömb. ii. Mutassa meg, hogy G középpontja az OABC gúlán kívül helyezkedik el.
3 pont
iii. A sík egy körben metszi a G gömböt.
4 pont
Számítsa ki e kör középpontjának a koordinátáit és a kör sugarát. d)
i. Igazolja, hogy a P pont a G gömb belsejében helyezkedik el.
2 pont
ii. Legyen Q a G gömb felszínének a P ponthoz legközelebb eső pontja.
3 pont
Határozza meg a Q pont koordinátáit. iii. A síknak és a G gömbnek egyetlen közös pontja van: a Q pont. Írja fel egyenletét.
Lap 8/8
3 pont
