EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc)
ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK :
Európai képletgyűjtemény
Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
MEGJEGYZÉSEK :
Válaszoljon mind a négy kötelező kérdésre.
A kiadott formalap megfelelő mezőjébe írt kereszttel jelezze, hogy a három választható kérdés közül melyik kettőnek a megoldását dolgozza ki.
Minden kérdés megoldását külön lapon dolgozza ki.
1. lap/8
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA 1. KÖTELEZŐ KÉRDÉS
ANALÍZIS 1/1
Pontszám
Az f függvényt az alábbi módon értelmezzük:
f ( x) x e x
, x 0.
Az ábrán az f grafikonja, illetve az az egyenes látható, amelyik O–t a grafikonnak azzal az A pontjával köti össze, ahol a függvénynek maximuma van.
4 pont
a) i. Számítsa ki az A pont koordinátáit. ii. Igazolja, hogy az O és az A pontokon átmenő egyenes egy egyenlete y
b) Számítsa ki a satírozott tartomány területét.
2. lap/8
x . e
2 pont 6 pont
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
2. KÖTELEZŐ KÉRDÉS
ANALÍZIS
1/1
Pontszám
Egy diák egy baktériumtenyészet növekedését vizsgálja. Feltevése szerint ez a növekedés az alábbi differenciál-egyenlettel modellezhető: dN 0.25 N t , dt ahol t a kisérlet kezdete óta eltelt időt jelenti percekben mérve, N pedig a baktériumok számát a t időpontban. A kisérlet kezdetén éppen 5000 baktérium van a tenyészetben. a)
A differenciál-egyenletet megoldva adja meg az N értékét a t függvényeként.
6 pont
b)
i. Számítsa ki, hogy 4 perc elteltével hány baktérium van a tenyészetben.
3 pont
ii. Számítsa ki, mennyi idő alatt éri el a baktériumok száma az 50 000-et.
3 pont
3. lap/8
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
3. KÖTELEZŐ KÉRDÉS
GEOMETRIA
1/1
Pontszám
Tekintsük a térbeli derékszögű koordinátarendszerben az α : 4 x 3 y 12
síkot.
a)
b)
i. Határozza meg az α sík és a koordinátatengelyek metszéspontjait.
2 pont
ii. Adja meg az α sík és az xy-sík metszésvonalának paraméteres egyenletrendszerét.
4 pont
i. Legyen P az O origó tükörképe az α síkra. Határozza meg a P pont koordinátáit.
4 pont
ii. Írja föl azoknak a síkoknak az egyenletét, amelyek az α síkkal párhuzamosan, attól 4 egységnyi távolságra haladnak.
3 pont
4. lap/8
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
4. KÖTELEZŐ KÉRDÉS
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
1/1
Pontszám
Egy üzemben riasztót telepítettek, amely haladéktalanul működésbe lép, ha a gyártás során üzemzavar keletkezik. Ha a riasztó bekapcsol, akkor arra a napra leállítják a termelést. Sajnos a riasztó nem megbízható. Kiderült, hogy bármely kiszemelt napon 0.02 annak a valószínűsége, hogy a riasztó akkor is jelez, ha nincs üzemzavar 0.2 annak a valószínűsége, hogy a riasztó nem jelez üzemzavar esetén.
Azt is tudjuk, hogy 0.01 annak a valószínűsége, hogy bármely kiszemelt napon üzemzavar keletkezik. a) i. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy adott napon üzemzavar történik és ennek nyomán a riasztó bekapcsol.
3 pont
ii. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy adott napon bekapcsol a riasztó.
3 pont
b) i. A riasztó bekapcsolt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy valóban üzemzavar történt? ii. Mennyi annak a valószínűsége, hogy hét kiszemelt nap során a riasztó pontosan két napon jelez?
5. lap/8
3 pont 4 pont
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
I. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS
ANALÍZIS
1/1
Pontszám
Az f függvényt az alábbi módon értelmezzük: 3x ln x , ha 0 x 1 f (x) 1 3x ln x, ha x 1. Legyen F az f grafikonja a derékszögű koordinátarendszerben. a) Bizonyítsa be, hogy az x = 1 helyen az f folytonos és differenciálható.
4 pont
b) Végezzen függvényvizsgálatot, meghatározva a függvény zérushelyét, a szélsőértékek koordinátáit és jellegét, továbbá az f ( x) határértékét, amennyiben x , illetve ha x 0 .
6 pont
c) Vázolja föl az F görbét.
2 pont
d) Írja fel az F érintőjének egyenletét abban a pontban, ahol F metszi az xtengelyt.
3 pont
e) i. Határozza meg annak az A(k ) tartománynak a területét, amelyet az F, az x-tengely, továbbá az x k ( 0 k 1 ) és az x 1 egyenletű egyenesek határolnak.
3 pont
ii. Határozza meg az A lim A (k ) határértéket.
2 pont
k 0
f) i. Határozza meg annak a B ( p ) tartománynak a területét, amelyet az F, az xtengely, továbbá az x 1 és az x = p (p > 1) egyenletű egyenesek határolnak. ii. A p mely értékére teljesül a B(p) = A egyenlőség?
6. lap/8
3 pont
2 pont
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009: MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
II. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
1/1 Egy játékkészítő üzem termékei között egymástól függetlenül kétféle selejt fordul elő: hibás lehet a gyártott játék színe, illetve az alakja. Egy véletlenszerűen kiválasztott termékre nézve értelmezzük az alábbi eseményeket: A: a játék színhibás, B: a játék alakhibás, C: a játék a két hiba közül legalább az egyikkel rendelkezik. Ismeretes, hogy P ( A) 0.052 és P( B) 0.041. a) Számítsa ki a P(A B) valószínűséget. b)
Mennyi P(C)?
Pontszám
3 pont 3 pont
Az alábbi c) és d) feladatokban föltesszük, hogy 0.09 annak a valószínűsége hogy a gyártott játékok közül egyet véletlenszerűen kiválasztva az a két hiba közül legalább az egyikkel rendelkezik. A játékokat véletlenszerűen dobozokba csomagolják. c)
Egy bolt ilyen dobozokban szerzi be az árut, mindegyikükben 60 játék van. Legyen X az a valószínűségi változó, amelynek az értéke egy ilyen dobozban található olyan játékok száma, amelyek a kétféle hiba közül legalább az egyikkel rendelkeznek. i. Állapítsa meg az X változó eloszlását és határozza meg az eloszlás paramétereit.
1 pont
ii. Számítsa ki a P(X = 5) valószínűséget.
3 pont
iii. Az X változó eloszlását Poisson eloszlással közelítjük. Határozza meg ennek az eloszlásnak a paramétereit.
1 pont
iv. Számítsa ki ennek a közelítő Poisson eloszlásnak a felhasználásával annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott dobozban 3-nál kevesebb olyan játék van, amely a kétféle hiba közül legalább az egyikkel rendelkezik. d)
4 pont
Egy másik bolt 500 darabos dobozokban szerzi be ezt a játékot. Legyen Y az a valószínűségi változó, amelynek az értéke egy ilyen dobozban található olyan játékok száma, amelyek a kétféle hiba közül legalább az egyikkel rendelkeznek. i. Indokolja meg, miért használható ebben az esetben az Y változó eloszlásának közelítésére a normális eloszlás és adja meg ennek paramétereit.
2 pont
ii. Mennyi P(Y < 50)? iii. Mennyi P(20 < Y < 30)?
4 pont 4 pont
7. lap/8
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009: MAEMATIKA HETI 5 ÓRA III. VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS
GEOMETRIA
1/1
Pontszám
Tekintsük a térbeli derékszögű koordinátarendszerben a P (0, 1,1) és a Q (3,0, 3) pontokat,
a
az
x 2t d : y t , t R egyenest, z 2 2t S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 6 0 gömböt,
és a : 2 x y 4 0 síkot. a)
A sík tartalmazza a P pontot és a d egyenest. Igazolja, hogy x 2 y 2 z 4 0 a sík egy egyenlete.
3 pont
b)
Határozza meg az S gömb C középpontjának koordinátáit és a gömb R sugarát.
2 pont
c)
Írja föl annak a két, r 3 sugarú gömbnek az egyenletét, amelyek a síkot a P pontban érintik. Mutassa meg, hogy e gömbök egyike az S .
6 pont
d)
Mutassa meg, hogy a és a síkok merőlegesek egymásra.
3 pont
e)
A sík az S gömböt a K körben metszi. Határozza meg a K kör középpontját és a kör sugarát.
5 pont
f)
i. Igazolja, hogy a Q pont illeszkedik az S gömbre.
1 point
ii. Az m egyenes a Q pontban érinti az S gömböt és metszi a d egyenest. Írja fel az m egyenes paraméteres egyenletrendszerét.
5 pont
8. lap/8
