MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

MASARYKOVA UNIVERZITA

PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

PLOŠNÝ INTEGRÁL bakalářská práce

Brno, 11. dubna 2006

Adam Remo

Prohlášení: Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci Plošný integrál vypracoval samostatně pod vedením Prof. RNDr. Ondřeje Došlého, DrSc. a uvedl v seznamu literatury všechny použité zdroje. V Brně dne 11. dubna 2006

podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Děkuji Prof. RNDr. Ondřeji Došlému, DrSc. za jeho cenné rady a velkou trpělivost při korektuře.

Obsah Úvod

2

1 Plochy v R3 1.1 Plochy v R3 zadané explicitně . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Parametricky zadané plochy v R3 . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 7

2 Plošný integral v R3 10 2.1 Plošný integrál 1. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Plošný integrál 2. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Integrální věty 23 3.1 Gauss-Ostrogradského věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Stokesova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Seznam použité literatury

34

Seznam obrázků

35

Rejstřík

36

ÚVOD

2

Úvod V tomto textu je podán základní výklad teorie plošného integrálu. Pro dobré porozumění probíranému tématu jsou nutné patřičné znalosti integrálního počtu, obzvláště znalost dvojného a trojného integrálu a křivkového integrálu, jakož i jiné základní znalosti matematické analýzy a lineární algebry. Text je rozčleněn do tří kapitol. První kapitola se věnuje definici hladké plochy v R3 , a to zadané buď explicitně nebo parametricky, jakož i výpočtu míry takovéto plochy. V druhé kapitole jsou zavedeny pojmy plošného integrálu prvního a druhého druhu v R3 a věty, které umožňují jejich výpočet převedením plošného integrálu na dvojný integrál. Těžištěm třetí kapitoly jsou pak dvě integrální věty a to Gauss-Ostrogradského a Stokesova věta, které mají velký význam v aplikacích. Na konci každé podkapitoly jsou uvedeny vzorové příklady demonstrující teorii v této podkapitole probíranou. Dále jsou na konci každé podkapitoly kapitol dvě a tři i cvičení, jejichž řešení je ponecháno na čtenáři, přičemž výsledky příkladů jsou uvedeny v hranatých závorkách hned za zadáním příkladu. Cvičení nejsou na koncích podkapitol první kapitoly, neboť postup řešení takovýchto příkladů je totožný s postupem řešení příkladů v podkapitole pojednávající o plošném integrálu prvního druhu.

3

KAPITOLA 1. PLOCHY V R3

Kapitola 1 Plochy v R3 1.1

Plochy v R3 zadané explicitně

V této části textu bude uvedena definice explicitně zadané plochy v R3 a odvození výpočtu míry takovéto plochy. Definice 1.1. Nechť (x, y) ∈ A ⊆ R2 , přičemž A je neprázdná a otevřená, a nechť funkce f ∈ C 1 (A, R). Potom množina S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A, z = f (x, y)}, se nazývá explicitně zadaná hladká plocha v R3 . Při odvozování míry plochy S se postupuje většinou následovně. Protože plocha S je zadaná explicitně, existuje A ⊆ R2 a funkce f ∈ C 1 (A, R) tak, že k S Imf (A) = S. Uvažujme množiny Ai ⊆ A pro i = 1 . . . k takové, že Ai = A i=1

a

k T

i=1

Ai = ∅. Systém množin Ai tvoří dělení množiny A. Zvolme speciální

dělení množiny A a to dělení určené čtvercovou síťí řádu n1 . Systém množin Ai jednoznačně udává i systém množin Si pro i = 1 . . . k, který tvoří dělení množiny S, a to tak, že Si = Imf (Ai ). Zvolme body (ξi, τi ) ∈ Ai pro i = 1 . . . k libovolně. Body (ξi , τi ) a funkce f určují jednoznačně body (ξi , τi , f (ξi, τi )) ∈ Si pro i = 1 . . . k. Označme m(Ai ) míru množiny Ai a m(Si ) míru množiny Si 2 . Dále se budeme snažit vyjádřit m(Si ) pomocí m(Ai ). Uvažujme množiny Si∗ na tečné rovině sestrojené k ploše S v bodě (ξi , τi , f (ξi, τi ))3 (viz. obr. 1.1 Čtvercová síť řádu n je tvořena systémem přímek x = 2ln , y = 2mn , m, l ∈ Z, n ∈ N ∪ {0}. Dále si uvědomme, že k závisí na n, a k(n) → ∞ pro n → ∞ 2 míra m(Ai ) je jiná míra než m(Si ) 3 Tečná rovina v těchto bodech lze sestrojit, neboť f ∈ C 1 (A, R) 1

4


a obr. 1.2). Zřejmě platí Si∗ ≈ Si pro n → ∞. Tedy máme pro n → ∞. Dále se pokusíme vyjádřit sumu

k P

i=1

k(n) P i=1

m(Si∗ ) ≈ m(S)

m(Si∗ ) pomocí m(Ai ).

8 7 (ξ ,τ ,f(ξ ,τ ))

6

i i

i i

5

S

4 3 2 1

A

0 4

i

2

(ξ ,τ ) i i

4

A

3 2

0

1 0

−2

−1 −4

−2 −3

Obr. 1.1.

8

*

Si

7

↓

6

(ξ ,τ ,f(ξ ,τ ))

Si→

5

i i

i i

4 3 2 1 0 4

Ai (ξi,τi)

3

4

2

3 1

2 1

0

0

−1

−1 −2

−2

Obr. 1.2. Uvažujme případ pro konkrétní i, kdy Ai je jednotkový čtverec určený body [0, 0], [0, 1], [1, 1], [1, 0] a tečná rovina v bodě (ξi , τi , f (ξi, τi )) je dána rovnicí z = f (ξi, τi ) + fx(ξi , τi )(x − ξi ) + fy (ξi, τi )(y − τi ). Převeďme si rovnici tečné roviny do obecného tvaru z = ax + by + c. Dále si uvědomme, že

5


konstanta c nijak neovlivňuje míru m(Si∗ ) a proto ji můžeme v rovnici tečné roviny vynechat. Máme tady z = ax + by. Pro jednotkový čtverec Ai je Si∗ rovnoběžnostěn určený body [0, 0, 0], [0, 1, b], [1, 1, a + b], [1, 0, a]. Jak je vidět z obr.1.3 platí: p √ √ √ √ m(Si∗ ) = 1 + a2 1 + b2 sin γ = 1 + a2 1 + b2 1 − cos2 γ = s 2 √ √ h(1, 0, a), (0, 1, b)i = = 1 + a2 1 + b2 1 − (1 + a2 )(1 + b2 ) √ √ = 1 + a2 + b2 + a2 b2 − a2 b2 = 1 + a2 + b2 = k~uk, kde ~u = (a, b, −1) je normálový vektor tečné roviny z = ax + by + c. Tedy v našem konkrétním případě pro z = f (ξi, τi )+fx (ξi , τi )(x−ξi )+fy (ξi , τi )(y − τi ) máme ~u = (fx (ξi , τi ), fy (ξi , τi ), −1). Obecně tedy platí: q m(Si∗ ) = 1 + fx2 (ξi , τi ) + fy2 (ξi, τi ) m(Ai ).

[1,1]

(1+b 2 1/2 )

[0,1]

→ [0,0]

[1,0]

γ (1+a2)1/2 Obr. 1.3.

Odtud dostáváme m(S) = lim

n→∞

k(n) X

m(Si∗ ) =

i=1

k(n)

(1.1)

= lim

n→∞

Xq

1 + fx2 (ξi, τi ) + fy2 (ξi , τi ) m(Ai ) =

i=1 ZZ ZZ q 2 2 1 + fx (x, y) + fy (x, y) dx dy = k~uk dx dy, = A

pokud integrál existuje a nezávisí na volbě bodů (ξi, τi ).

A

6


Příklad 1.1. Vypočtěte plochu horní polosféry koule o poloměru R. p 2 Řešení. Rovnicep horní polosféry koule o poloměru R je z = R − x2 − y 2. Tedy f (x, y) = R2 − x2 − y 2, fx = √ 2−x 2 2 a fy = √ 2−y 2 2 . DosazeR −x −y

ním do (1.1) dostáváme: ZZ

m(S) =

A={(x,y)∈R2 :x2 +y 2 ≤R2 }

=R

ZZ A

s

1+

dx dy

p

R2 − x2 − y 2

R −x −y

y2 x2 + dx dy = R2 − x2 − y 2 R2 − x2 − y 2

.

Abychom spočítali tento integrál provedeme transformaci do polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, kde r ∈ [0, R], ϕ ∈ [0, 2π]. Jacobián transformace je cos ϕ −r sin ϕ 2 2 sin ϕ r cos ϕ = r cos ϕ + r sin ϕ = r. Po transformaci dostáváme: Z2π ZR

ZR |r| r √ m(S) = R dr dϕ = 2πR √ dr = R2 − r 2 R2 − r 2 0 0 0 R √ = 2πR − R2 − r 2 = 2πR2 . 0


1.2

7

Parametricky zadané plochy v R3

Definice 1.2. Nechť D ⊆ R2 je otevřená a neprázdná a F ∈ C 1 (D, R3 ). Potom množina S = ImF (D) se nazývá parametricky zadaná hladká plocha v R3 . Při odvozování míry parametricky zadané plochy se postupuje tak, že se tato plocha převede na plochu zadanou explicitně a pro explicitně zadanou plochu již vztah pro její míru známe. Nechť tedy S je parametricky zadaná plocha a D a F jsou jako z definice 1.2. Nechť F (u, v) = ϕ(u, v), ψ(u, v), ϑ(u, v) , kde ϕ, ψ, ϑ : D → R. Protože F ∈ C 1 (D, R3 ) mají ϕ, ψ, ϑ spojité parciální derivace ϕu ϕv prvního řádu. Označme J Jacobiho matici zobrazení F , tedy J = ψu ψv . V následuϑu ϑv jícím se ukáže zapotřebí předpokládat, že Jacobiho matice J má hodnost 2 pro všechna (u, v) ∈ D. Tedy následující odvození míry plochy S platí jen pro parametricky zadané plochy, u kterých Jacobiho matice J příslušného zobrazení F splňuje tuto podmínku, nebo pro plochy, které jsou sjed J je 2. Označme A(u, v) = nocením takovýchto ploch. Nechť tedy hodnost ϕψu ϕψv , B(u, v) = ψu ψv a C(u, v) = ϕϑu ϕϑv minory matice J. Protože u v u v ϑu ϑv hodnost J je 2, je pro každé (u, v) ∈ D aspoň jeden z minorů A(u, v), B(u, v), C(u, v) různý od nuly. Nechť tedy pro určitost je A(u, v) 6= 0. Definujme zobrazení G(u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)). Protože Jacobián zobrazení G(u, v) je A(u, v) 6= 0, existuje (lokálně, v okolí bodu (u, v)) inverzní zobrazení G−1 (x, y) = (f (x, y), g(x, y)). Jacobiho matice zobrazeni G−1 je ϕ ϕ −1 ψv −ϕv fx fy 1 = A(u,v) = ψuu ψvv gx gy −ψu ϕu . V nějakém okolí bodu (u, v) kde A(u, v) 6= 0 je paramatricky zadaná plocha S totožná s grafem funkce z = ϑ (f (x, y), g(x, y)). Normálový vektor k této ploše je ~n = (zx , zy , −1) = (ϑu fx + ϑv gx , ϑu fy + ϑv gy , −1). Dosazením za fx , gx , fy , gy získáme vyjádření normálového vektoru ~n v závislotsti na (u, v): −ψu −1 ψu ψv −B(u, v) ψv + ϑv = , = ϑu fx + ϑv gx = ϑu A(u, v) A(u, v) A(u, v) ϑu ϑv A(u, v) ϕu −1 ϑu ϑv −C(u, v) −ϕv = + ϑv = . ϑu fy + ϑv gy = ϑu A(u, v) A(u, v) A(u, v) ϕu ϕv A(u, v) −B(u,v) −C(u,v) Po dosazeni dostáváme ~n(u, v) = A(u,v) , A(u,v) , −1 . Tedy i (1.2)

~n(u, v) = (B(u, v), C(u, v), A(u, v))


8

je normálový vektor k ploše S v bodě (u, v) ∈ D. Poznamenejme, že pro B(u, v) 6= 0 resp. C(u, v) 6= 0 je postup totožný s tím rozdílem, že plochu S vyjádříme explicitně jako x = ϕ (f (y, z), g(y, z)) resp. y = ψ (f (z, x), g(z, x)). Ve všech případech ale dojdeme ke stejnému vyjadření ~n(u, v) = (B(u, v), C(u, v), A(u, v)). Z (1.1) a (1.2) dostáváme: ZZ m(S) = k~n(u, v)k du dv = (1.3)

=

ZDZ p

B 2 (u, v) + C 2 (u, v) + A2 (u, v) du dv.

D

Příklad 1.2. Vypočtěte plochu horní polosféry koule o poloměru R. Řešení.Horní polosféra koule o poloměru R muže být zadána parametricky takto x = R cos β cos α = ϕ(α, β), y = R cos β sin α = ψ(α, β), z = R sin β = ϑ(α, β), kde β ∈ [0, π2 ], α ∈ [0, 2π]. Jacobiho matice zobrazení F = (ϕ(α, β), ψ(α, β), ϑ(α, β)) je   −R cos β sin α −R sin β cos α J =  R cos β cos α −R sin β sin α  . 0 R cos β Příslušné minory jsou −R cos β sin α −R sin β cos α = A(α, β) = R cos β cos α −R sin β sin α

= R2 sin β cos β sin2 α + R2 sin β cos β cos2 α = R2 sin β cos β,

R cos β cos α −R sin β sin α = R2 cos2 β cos α, B(α, β) = 0 R cos β

0 R cos β = R2 cos2 β sin α. C(α, β) = −R cos β sin α −R sin β cos α

9

KAPITOLA 1. PLOCHY V R3 Dosazením do (1.3) dostáváme π

m(S) =

Z2π Z2 q 0

R4 cos4 β cos2 α + R4 cos4 β sin2 α + R4 sin2 β cos2 β dβ dα =

0

π

π

=

Z2π Z2 0

0

p

R4 cos2 β dβ dα = 2πR2

Z2 0

π cos β dβ = 2πR2 sin β 02 = 2πR2 .

10

KAPITOLA 2. PLOŠNÝ INTEGRAL V R3

Kapitola 2 Plošný integral v R3 V této kapitole jsou uvedeny definice dvou stěžejních pojmů. Konkrétně se jedná o definici plošného integrálu 1. druhu (také též plošný integral ze skalární funkce) a plošného integrálu 2. druhu. Oba tyto pojmy jsou analogií křivkového integrálu 1. a 2. druhu v případě, kdy množinou přes kterou se integruje není křivka ale plocha. Kromě uvedených dvou definic je v této kapitole uveden také způsob výpočtu těchto integrálů jejich převedením na dvojný integrál.

2.1

Plošný integrál 1. druhu

Definice 2.1 (Plošný integrál 1. druhu). Nechť S ⊂ R3 je hladká plocha a nechť funkce F : S → R je spojitá a ohraničená. Nechť S = {S1 , . . . , Sn } je dělení plochy S a σ1 , . . . σn míra (obsah) ploch S1 , . . . , Sn . Nechť M = {mi ∈ Si , i = 1, . . . , n} je výběr reprezentantů dělení S. Pak suma (2.1)

T (F, S, M) =

n X

F (mi )σi

i=1

se nazývá integrální suma funkce F přes plochu S příslušná dělení S a výběru reprezentantů M. Nechť Ki (ri ) ⊂ R3 , i = 1, . . . , n, je koule o poloměru ri a to nejmenší taková, že Si ⊆ Ki (ri ). Označme ∆n := max {ri } (tuto veličinu 1≤i≤n

nazveme norma dělení S). Jestliže existuje konečná limita

(2.2)

lim T (F, S, M) =: L1

∆n →0

Limita L je definivaná následujícím způsobem: ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé dělení S pro jehož normu ∆ platí ∆ < δ je |T (F, S, M) − L| < ε. 1


11

a tato limita nezávisí na výběru reprezentantů M, pak plošný integrál 1. druhu funkce F přes plochu S (jinak též plošný integrál ze skalární funkce) definujeme ZZ F (m) dσ := L. S

Věta 2.1. Nechť S ⊂ R3 je explicitně zadaná hladká plocha (tj. S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y), kde (x, y) ∈ D ⊆ R2 je neprázdná a otevřená a f ∈ C 1 (D, R)}). Nechť F : S → R je ohraničená a spojitá. Potom ZZ ZZ q (2.3) F (m) dσ = F (x, y, f (x, y)) 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) dx dy. S

D

Důkaz. Mějme S1 , . . . , Sn dělení plochy S. Dělení S1 , . . . , Sn udává dělení D1 , . . . , Dn množiny D. n P Uvažujme integrální sumu T = F (xi , yi, zi )σi příslušnou plošnému ini=1 RR tegrálu F (m) dσ. Z předešlé kapitoly víme, že S

σi = m(Si ) =

ZZ q

1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) dx dy.

Di

q Protože f ∈ C 1 (D, R) je funkce 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) spojita na D. Využitím věty o střední hodnotě dvojného integrálu ze spojité funkce dostáváme q xi , y¯i ) + fy2 (¯ xi , y¯i) ξi, σi = 1 + fx2 (¯

kde ξi je míra množiny Di a (¯ xi , y¯i ) ∈ Di . Odtud dostáváme, že T =

n X

F (xi , yi, f (xi , yi))

i=1

q

1 + fx2 (¯ xi , y¯i) + fy2 (¯ xi , y¯i) ξi .

Nyní uvažujme integrální sumu ∗

T =

n X i=1

F (xi , yi , f (xi , yi))

q

1 + fx2 (xi , yi ) + fy2 (xi , yi) ξi,

příslušnou dvojnému integralu na pravé straně rovnosti (2.3), kde dělení Di je dáno dělením Si plochy S stejně jako v připadě T .

12


Vidíme, že jediný rozdíl mezi T a T ∗ je ve výrazech pod odmocninou. V případě T se pod odmocninou vyskytují hodnoty fx2 a fy2 v bodech (¯ xi , y¯i) (tyto body jsou dány striktně užitím věty o střední hodnotě dvojného integrálu ze spojité funkce) a v případě T ∗ vqbodech (xi , yi), které mohou být obecně

různé od (¯ xi , y¯i ). Protože funkce 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) je spojitá na D platí, že pro každé ε > 0 existuje δ1 > 0 tak, že platí q q 2 2 2 2 < ε, 1 + f 1 + f (2.4) (x , y ) + f (x , y ) − (¯ x , y ¯ ) + f (¯ x , y ¯ ) i i i i i i i i x y x y jestliže maximální průměr množiny Di je menší než δi . Z (2.4) a ohraničenosti funkce F (tj. |F (m)| ≤ K pro každé m ∈ S, K ∈ R+ ) dostáváme n q X ∗ 1 + fx2 (¯ xi , y¯i) + fy2 (¯ xi , y¯i ) − F (xi , yi , f (xi , yi)) |T − T | = i=1

(2.5)

n q X 2 2 − 1 + fx (xi , yi) + fy (xi , yi) ξi < Kε ξi = Kεξ, i=1

kde ξ je míra množiny D. Jestliže existuje integrál na pravé straně rovnosti (2.3), pak pro každé ε > 0 existuje δ2 > 0 tak, že pro libovolnou sumu T ∗ příslušnou dělení Di množiny D takového, že maximální průměr Di je menší než δ2 dostáváme Z Z q ∗ 2 2 (2.6) F (x, y, f (x, y)) 1 + fx (x, y) + fy (x, y) dx dy − T < ε. D

Nechť δ = min{δ1 , δ2 }. Uvažujme koule Ki (ri ) ⊂ R3 o poloměru ri takové, že Si ⊂ Ki (ri ), přičemž Ki (ri ) je nejmenší koule s touto vlastností. Nechť {Si } je dělení plochy S takové, že průměr všech koulí Ki (ri ) je menší než δ. Potom i průměry množin {Di }, tvořících dělení množiny D určené dělením {Si }, jsou menší než δ a tedy z nerovností (2.5) a (2.6) plyne Z Z q 2 (x, y) + f 2 (x, y) dx dy − T < ε(1 + Kξ), 1 + f F (x, y, f (x, y)) x y D

pro libovolné dostatečně „drobnéÿ dělení množiny S. Z toho plyne, že ZZ ZZ q F (m) dσ = F (x, y, f (x, y)) 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) dx dy. S

D


13

Věta 2.2. Nechť S je parametricky zadaná hladká plocha (tj. S = Imf (D), kde f ∈ C 1 (D, R3 ), D ⊆ R2 ). Nechť A(u, v), B(u, v) a C(u, v) jsou minory Jacobiho matice J zobrazení f (viz. podkapitola 1.2). Nechť F (x, y, z) je ohraničená spojitá funkce na množině S. Potom (2.7) ZZ F (x, y, z) dσ =

=

ZZ D

S

p F (x(u, v), y(u, v),z(u, v)) A2 (u, v) + B 2 (u, v) + C 2 (u, v) du dv.

Důkaz. Obdobně jako dukaz věty 2.1

Příklad 2.1. Vypočtěte plošný integral 1. druhu z funkce F (x, y, z) = 2x + 43 y + z přes plochu S : x2 + y3 + z4 = 1 v prvním oktantu. Rešení. K výpočtu využijeme větu 2.1. Musíme tedy vyjádřit množinu D a funkci f tak, aby S = {(x, y, z) : z = f (x, y), ∀(x, y) ∈ D ⊆ R2 }. Protože plocha S je v prvním oktantu, je x, y, z ≥ 0 a tedy x y D = {(x, y) ∈ R2 : + ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}, 2 3 4 f (x, y) = 4 − 2x − y, 3 fx (x, y) = −2, 4 fy (x, y) = − . 3 Teď už mužeme převést plošný integrál na dvojný integrál a vypočítat jej. ZZ 4 (2x + y + z) dσ = 3 S s 2 ZZ 4 4 4 = (2x + y + 4 − 2x − y) 1 + (−2)2 + − dx dy = 3 3 3 D

3

3

Z2 −Z2 x+3 √ Z2 −Z2 x+3 r 4 16 4 1+4+ dy dx = 61 dy dx = = 9 3 0

0

0

0

2 2 2 2 Z2 √ √ Z √ Z √ 4 3 x = + 61(− x + 3) dx = −2 61 x dx + 4 61 dx = −2 61 3 2 2 0 0 0 0 2 √ √ √ 4 √ + 4 61 x = −2 61 + 8 61 = 4 61. 2 0

14


Příklad 2.2. Vypočtěte plochu paraboloidu z = 1 − x2 − y 2 pro z ≥ 0. Řešení. Situace je stejná jako v předchozím příkladu, takže už jen stručně. D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}, f (x, y) = 1 − x2 − y 2 , fx (x, y) = −2x, fy (x, y) = −2y.

ZZ S

√

Z1 Z1−x2p ZZ p dσ = 1 + 4x2 + 4y 2 dx dy = 4 1 + 4x2 + 4y 2 dx dy = 0

D

0

π 2

Z1 Z q x = r cos ϕ, ϕ ∈ (0, π ) 2 = 4 = r 1 + 4r 2 cos2 ϕ + 4r 2 sin2 ϕ dϕ dr = y = r sin ϕ, r ∈ (0, 1) 0

π 2

=4

Z1 Z 0

π =4 8

0 √

π r 1 + 4r 2 dϕ dr = 4 2

5

Z √ 1

√

π t2 t dt = 2

√ Z5 1

0

Z1 √ 1 + 4r 2 = t2 = r 1 + 4r 2 dr = dr = 4rt dt 0

3 √5 3 π 52 π π √ 3 t 1 2 = t dt = 5 −1 . = − 2 3 1 2 3 3 6

Příklad 2.3. Vypočtěte plošný integral 1. druhu z funkce F (x, y, z) = x přes plochu S : x2 + y 2 + z 2 = R2 v prvním oktantu. Řešení. 1. S využitím věty 2.1. Vzhledem k tomu, že S je povrch koule o poloměru R v prvním oktantu je √ D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ R2 − x2 , f (x, y) =

p

R2 − x2 − y 2, −x fx (x, y) = p , R2 − x2 − y 2 −y fy (x, y) = p . R2 − x2 − y 2

15

KAPITOLA 2. PLOŠNÝ INTEGRAL V R3 Teď už nic nebraní ve vypočtu plošného integrálu ZZ ZZ s x2 y2 + dx dy = x dσ = x 1+ 2 R − x2 − y 2 R2 − x2 − y 2 S

=

D

√

ZR

R Z2 −x2

s

x

0

0

R2 R2

−

x2

−

y2

dy dx = R

0

π 2

ZR Z

x = r cos ϕ, ϕ ∈ (0, π2 ) =R = y = r sin ϕ, r ∈ (0, R) π

=R

ZR Z2 0

r 2 cos ϕ √ dϕ dr = R R2 − r 2

0

= R sin ϕ π 2

=R

π 2

0

ZR 0

√

0

Z

0

x p

R2

− x2 − y 2

dy dx =

r cos ϕ p r dϕ dr = R2 − r 2 cos2 ϕ − r 2 sin2 ϕ

cos ϕ dϕ

0

ZR

√

0

r2 dr = R2 − r 2

r2 r = R sin t = dr = 2 2 dr = R cos t dt R −r

2

R sin t 2

0

p

R2 − R2 sin2 t

π 2

= R3

0

π 2

R Z2 −x2

π

Z

= R3

√

ZR

Z

0 (

R cos t dt = R2

0

sin2 t dt = R3

1 − cos 2t dt = R3 2

0

sin 2t π − 4 4

π2 ) 0

sin2 t √ R cos t dt = 2t 1 − sin | {z } cos t

π 2

Z

Z2

=

(

π ) π2 Z2 cos 2t 1 t − dt = 2 0 2

0

π 3 R. 4

2. S využitím věty 2.2. Protože S je část povrchu koule o poloměru R v prvním oktantu, mužeme zavést sférickou parametrizaci plochy S: x = R cos u cos v, y = R sin u cos v, z = R sin v,

16

KAPITOLA 2. PLOŠNÝ INTEGRAL V R3 kde u, v ∈ 0, π2 . Minory Jacobiho matice jsou −R sin u cos v −R cos u sin v = R2 sin2 u sin v cos v+ A(u, v) = R cos u cos v −R sin u sin v + R2 cos2 u sin v cos v = R2 sin v cos v, R cos u cos v −R sin u sin v = R2 cos u cos2 v, B(u, v) = 0 R cos v 0 R cos v = R2 sin u cos2 v. C(u, v) = −R sin u cos v −R cos u sin v

Teď už můžeme plošný integrál vypočíst dosazením do (2.7). ZZ ZZ p x dσ = R cos u cos v A2 (u, v) + B 2 (u, v) + C 2 (u, v) du dv = S

D

π

=

0

π

π

Z2 Z2 0

π

Z2 Z2 √ 3 4 2 R cos u cos v R cos v du dv = R cos u cos2 v du dv = 0

π 2

π2 Z 1 + cos 2v 3 = R sin u dv = R3 2 0 0 π π + 0 − 0 = R3 . = R3 4 4

(

1 v 2

π2 0

0

sin 2v + 4

π2 )

=

0

Cvičení 2.1. Vypočtěte integrály p RR 2 1. I = (x + y 2 ) dσ, kde S je plášť kužele z = x2 + y 2, 0 ≤ z ≤ 1. [

√

S

2π ] 2

2. I =

RR S

1 x2 +y 2 +z 2

dσ, kde S je plocha x2 + y 2 = 4 omezená rovinami

z = 0 a z = 3. [2π arctan 23 ] √ RR 3. I = xy dσ, kde S je část roviny x + y + z = 2 v 1. oktantu. [ 2 3 3 ] S


2.2

17

Plošný integrál 2. druhu

Dříve než bude uvedena definice plošného integrálu 2. druhu, je nutné zavést pojem orientovatelnosti plochy (resp. orientace plochy). Nechť je tedy S hladká plocha v R3 . Zvolme libovolný „vnitřníÿ bod plochy m0 ∈ S a libovolnou uzavřenou křivku l ležící ve „vnitřkuÿ S a procházející bodem m0 . V bodě m0 zvolme jeden ze dvou možných jednotkových normálových vektorů k tečné rovině k ploše S v bodě m0 a označme jej ~n. Dále „posunujmeÿ jednotkový normálový vektor ~n po křivce l tak, aby v každém bodě křivky l (tudíž „vnitřnímÿ bodě plochy S) tvořil jednotkový normálový vektor tečné roviny k ploše S v tomto bodě. Navíc chceme, aby tento „posunÿ vektoru ~n byl spojitý, což nám zaručuje hladkost plochy S. Pokud takto posunujeme normálový vektor ~n po celé křivce l, mohou nastat dva případy po návratu do bodu m0 : 1. vektor ~n bude po návratu souhlasně orientovaný s počátečním normálovým vektorem 2. vektor ~n bude po návratu opačně orientovaný s počátečním normálovým vektoru Pokud pro libovolný „vnitřníÿ bod plochy S a libovolnou uzavřenou křivku ležící ve „vnitřkuÿ plochy S nastane vždy případ 1, pak je plocha S orientovatelná (tzn. lze zvolit rub a líc plochy). Pokud pro nějaký „vnitřníÿ bod plochy S a nějakou uzavřenou křivku l ležící ve „vnitřkuÿ S nastane případ 2, pak je plocha S neorientovatelná (příkladem může být Möbiuv list viz. Obr. 2.1). K určení orientace orientovatelné plochy stačí určit je-

Obr. 2.1. Möbiuv list1 den ze dvou jednotkových normálových vektorů v nějakém libovolém bodě plochy. 1

zdroj: http://www.astronomy.swin.edu.au/ pbourke/surfaces/mobius


18

Nyní již můžeme odvodit definici plošného integrálu 2. druhu. Nejnázornější je si představit prostor naplněný tekutinou, jejíž pohyb je v každém bodě prostoru dán vektorovou funkcí U(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), kde P, Q, R : R3 → R. Zajímá nás, kolik tekutiny proteče orientovanou hladkou plochou S za jednotku času. Označme toto množství V . Zřejmě množství tekutiny, které proteče plochou S je rovno součtu množství tekutiny, které proteče plochou S ve směru osy x, y a z. Tedy V = Vx + Vy + Vz , kde Vx(y,z) je množství tekutiny, které proteče plochou S ve směru osy x (y, z). Dále se tedy budeme snažit vyjádřit Vx , Vy a Vz . Uvažujme S = {Si , i = 1, . . . , n} dělení orientované hladké plochy S. Nechť M = {(xi , yi, zi ) ∈ Si , i = . . . , n} je výběr reprezentantů dělení S. Uvažujme integrální sumu n X R(xi , yi , zi )ξi , T (R, S, M) = i=1

kde ξi je míra projekce Si na rovinu x, y a to se znaménkem „+ÿ pokud pro libovolný bod Si svírá jednotkový normálový vektor ~n s kladným směrem osy z ostrý úhel a se znaménkem „−ÿ v opačném případě. Uvažujme koule ˜ i (ri ) ⊂ R3 o poloměru ri takové, že Si ⊂ K ˜ i (ri ) pro i = 1, . . . , n. Nechť K ∆n := max {ri }. Pokud je funkce R(x, y, z) spojitá na S a S je hladká, potom 1≤i≤n

integrální suma T (R, S, M) pro ∆n → 0 konverguje, její limita nezávisí na výběru reprezentantů M a značí se ZZ R(x, y, z) dx dy := lim T (R, S, M). S

∆n →0

RR RR Tedy Vz = R(x, y, z) dx dy. Podobně se odvodí i Vx = P (x, y, z) dy dz S RR S a Vy = Q(x, y, z) dx dz.

Potom (2.8)

S

V =

ZZ

P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dx dz + R(x, y, z) dx dy.

S

Definice 2.2 (Plošný integrál 2. druhu). Nechť S, U(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) jsou jako v předcházejícím odstavci. Potom výraz na pravé straně rovnosti (2.8) se nazývá plošný integrál 2. druhu z funkce U(x, y, z) přes plochu S.


19

Poznámka 2.1. Uvědomíme-li si, že ξi ≈ σi cos(~n, z) pro dostatečně „drobnéÿ dělení {Si }, kde σi je míra Si a cos(~n, z) je kosinus úhlu, který svírá jednotkový normálový vektor ~n v nějakém bodě Si s osou z, pak lze psát ZZ P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dx dz + R(x, y, z) dx dy = S

= =

ZZ

ZSZ S

[P (x, y, z) cos(~n, x) + Q(x, y, z) cos(~n, y) + R(x, y, z) cos(~n, z)] dσ =

~ U(x, y, z), ~n dσ.

V poslední rovnosti bylo využito toho, že ~n = (n1 , n2 , n3 ) je jednotkový n,xi = n11 = n1 (kde x = (1, 0, 0)) a obdobně vektor, tudíž cos(~n, x) = k~h~ nkkxk

i cos(~n, y) = n2 a cos(~n, z) = n3 . Dále je hodno povšimnutí, že výraz ~ (x, y, z), ~n je velikost průmětu vektoru U ~ (x, y, z) do směru vektoru ~n. U

Věta 2.3. Nechť S je parametricky zadaná (pomocí funkce F = (ϕ(u, v), ψ(u, v), ϑ(u, v)) ∈ C 1 (D, R3 ), kde D ⊆ R2 ) orientovaná hladká plocha a U(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), kde P, Q, R : S → R jsou spojité. Potom ZZ P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dx dz + R(x, y, z) dx dy = S

(2.9)

=±

ZZ D

P (ϕ(u, v), ψ(u, v), ϑ(u, v))B(u, v) +

+ Q(ϕ(u, v), ψ(u, v), ϑ(u, v))C(u, v) + + R(ϕ(u, v), ψ(u, v), ϑ(u, v))A(u, v) du dv,

kde A(u, v), B(u, v), C(u, v) jsou příslušné minory Jacobiho matice zobrazení F (u, v) (viz. podkapitola 1.2). Dvojný integrál je se znaménkem „+ÿ, pokud je parametrizace plochy souhlasná s orientací plochy, a se znaménkem „−ÿ, pokud je nesouhlasná (bližší objasnění v důkazu věty). Důkaz. Nechť F = (ϕ(u, v), ψ(u, v), ϑ(u, v)) ∈ C 1 (D, R3 ). Potom ϕ ϕ A(u, v) = ψuu ψvv , B(u, v) = ψϑuu ψϑvv , C(u, v) = ϕϑuu ϕϑvv .


20

Dále budeme psát jen A, B, resp. C. Z podkapitoly 1.2 o parametricky za ∗ daných plochách víme, že vektor ~n (u, v) = B(u, v), C(u, v), A(u, v) je normálový vektor k ploše S v bodě F (u, v). Potom tedy C A B ∗ ,√ ,√ ~n (u, v) = √ A2 + B 2 + C 2 A2 + B 2 + C 2 A2 + B 2 + C 2 je jednotkový normálový vektor k ploše S v bodě F (u, v). Nechť ~n je jednotkový normálový vektor v bodě F (u, v) plochy S daný zvolenou orientací. Potom musí platit, že ~n(u, v) = ±~n∗ (u, v). A tedy ZZ P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dx dz + R(x, y, z) dx dy = S

=

ZZ

P (x, y, z) cos(~n, x) + Q(x, y, z) cos(~n, y) + R(x, y, z) cos(~n, z) dσ =

S ZZ " = P (ϕ(u, v), ψ(u, v), ϑ(u, v)) ± √

B + A2 + B 2 + C 2 D C + + Q(ϕ(u, v), ψ(u, v), ϑ(u, v)) ± √ A2 + B 2 + C 2 # √ A + R(ϕ(u, v), ψ(u, v), ϑ(u, v)) ± √ A2 + B 2 + C 2 du dv = A2 + B 2 + C 2 ZZ =± P B + QC + RA du dv. D

Poznámka 2.2. Pokud je plocha S zadána explicitně (např. pomocí funkce z = f (x, y) ∈ C 1 (D, R), kde D ⊆ R2 je neprázdná a otevřená), potom lze zavést parametrizaci x = u, y = v, z = f (u, v) = f (x, y). Jacobiho matice zobrazení F (u, v) = F (x, y) = (x, y, f (x, y)) je   1 0 J = 0 1, fx fy

21


a tedy A(x, y) = | 10 01 | = 1, B(x, y) = f0x f1y = −fx , C(x, y) = f1x f0y = −fy a ~n∗ = (−fx , −fy , 1). RR Příklad 2.4. Vypočtěte integrál I = z dx dy, kde S je horní polosféra S

jednotkové koule orientovaná ve směru vnější normály. Řešení. Nejprve zavedeme parametrizaci plochy S. Tedy S = ImF (D), kde F (u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v) a D = {(u, v) ∈ R2 : 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ π2 } (jedná se tedy o sférické souřadnice). Dále musíme spočíst A(u, v), B(u, v), C(u, v). − sin u cos v − cos u sin v = sin2 u sin v cos v+ A(u, v) = cos u cos v − sin u sin v + cos2 u sin v cos v = sin v cos v, cos u cos v − sin u sin v = cos u cos2 v, B(u, v) = 0 cos v 0 cos v = sin u cos2 v. C(u, v) = − sin u cos v − cos u sin v

Dále musíme zjistit, zda směr normálového vektoru ~n∗ určeného parametrizací je souhlasný s orientací plochy nebo ne, abychom mohli rozhodnout o znaménku dvojného integrálu z věty 2.3. Zvolme tedy libovolný bod (u, v) ∈ D, například ( π2 , π4 ), a porovnejme směr normálového vektoru ~n∗ v tomto bodě s orientací plochy S. Protože ~n∗ (u, v) = B(u, v), C(u, v), A(u, v) je tedy π π ∗ π π 2 π ~n = 0, cos , sin cos , . 2 4 | {z 4} | 4{z 4} >0

>0

Tudiž směr normálového vektoru parametrizace je souhlasný s orientací plochy a dvojný integrál z rovnosti (2.9) bude se znaménkem „+ÿ. Nyní už můžeme plošný integrál 2. druhu vypočíst s využitím věty 2.3: π

I=

ZZ

z dx dy =

S

sin v sin v cos v du dv =

Z 0

Z2π Z2 0

D

π 2

= 2π

ZZ

sin v = t sin v cos v dv = dv = dt 2

cos v

= 2π

Příklad 2.5. Vypočtěte integrál I =

RR S

Z1 0

sin2 v cos v du dv =

0

3 1 1 2 t = 2π = π. t dt = 2π 3 0 3 3 2

x dy dz + y dx dz + z dx dy, kde S je

graf funkce z = f (x, y) = x2 + y 2, x2 + y 2 ≤ 1 v prvním oktantu orientovaný

22


„dolůÿ ve směru osy z. Řešení. Při výpočtu integrálu využijeme opět věty 2.3 a poznámku 2.2. Z poznámky 2.2 plyne, že A(x, y) = 1, B(x, y) = −fx = −2x, C(x, y) = −fy = −2y. Tedy normálový vektor k ploše v bodě (x, y, f (x, y)) daný parametrizací je ~n∗ (x, y) = (−2x, −2y, 1). Protože normálový vektor ~n∗ míří „nahoruÿ ve směru osy z (toto plyne ze skutečnosti, že z-ová souřadnice vektoru ~n∗ je kladná), je parametrizace plochy S nesouhlasná s její orientací a proto bude dvojný integrál z rovnosti (2.9) se znaménkem „−ÿ. Nyní již můžeme přikročit k výpočtu integrálu. ZZ ZZ I= x dy dz + y dx dz + z dx dy = − x(−2x) + y(−2y)+ S

D

2

2

+ (x + y )1 dx dy = − π 2

=−

Z1 Z 0

ZZ D

2

−x − y

2

x = r cos α, α ∈ 0, π 2 = dx dy = y = r sin α, r ∈ (0, 1)

π −r (cos α + sin α) dα dr = − | {z } 2 2

0

2

2

=1

Z1 0

3 1 π π r = . −r dr = − − 2 3 0 6 2

Cvičení 2.2. Vypočtěte integrály RR 1. I = y dy dz−x dx dz+z 2 dx dy, kde S je kuželová plocha z 2 = x2 +y 2 S

o výšce 1 v 1. oktantu orientovaná v kladném směru osy z. [ π8 − 13 ] RR 2. I = x dy dz −x dx dz + y dx dy, kde plocha S = {(5u + v, 4v, u + v) ∈ S

R3 : (u, v) ∈ (0, 1) × (0, 1)} je orientovaná v kladném směru osy z. [40] RR 3. I = x dy dz + y dx dz + z dx dy, kde plocha S je povrch rotačního S

válce zadaného rovnicemi x2 +y 2 ≤ R2 , 0 ≤ z ≤ h orientovaný ve směru vnejší normály. Výpočet proveďte bez užití Gauss-Ostrogradského věty. [3πR2 h]

KAPITOLA 3. INTEGRÁLNÍ VĚTY

23

Kapitola 3 Integrální věty V této kapitole budou uvedeny dvě důležité věty o plošném integrálu 2. druhu, které mají velký význam při jeho výpočtu. První z nich je Gauss-Ostrogradského věta, která je analogií Greenovy věty o křivkovém integrálu, a to v následujícím smyslu. Greenova věta říka, za jakých podmínek se křivkový integrál 2. druhu rovná dvojnému integrálu. Gauss-Ostrogradského věta zase říka, za jakých podmínek se plošný integrál 2. druhu rovná trojnému integrálu. Druhou větou je Stokesova věta, která je rovněž zobecněním již zmíněné Greenovy věty, což bude vysvětleno později.

3.1

Gauss-Ostrogradského věta

Ještě než bude možné formulovat Gauss-Ostrogradského větu, je nutné zavést několik pojmů a uvést několik vět, které formulaci i důkaz Gauss-Ostrogradského věty usnadní. Definice 3.1. Nechť D ⊆ R2 je jednoduše souvislá množina a g, q ∈ C 1 (D, R). Pak množina M = {(x, y, z) ∈ R3 : g(x, y) ≤ z ≤ q(x, y), (x, y) ∈ D} se nazýva regularní obor ve směru z. Poznámka 3.1. Obdobně se definuje regulární obor ve směru x (resp. y). Definice 3.2. Nechť V ⊂ R3 lze vyjádřit jako konečné sjednocení regulárních oborů ve směru x a zaroveň také jako (obecně jiné) konečné sjednocení regulárních oborů ve směru y a konečné sjednocení regulárních oborů ve směru z. Pak se množina V nazývá jednoduchý (normální) obor.


24

Věta 3.1. Nechť M ⊂ R3 je regulární obor ve směru z a S je hranice množiny M orientovaná ve směru vnější normály. Dále nechť funkce R ∈ C(M, R) je taková, že ∂R(x,y,z) je spojitá funkce na M. Potom platí: ∂z ZZ ZZZ R(x, y, z) dx dy = Rz (x, y, z) dx dy dz. S

M

Důkaz. Z definice 3.1 víme, že M = {(x, y, z) ∈ R3 : g(x, y) ≤ z ≤ q(x, y), (x, y) ∈ D}, kde D je jednoduše souvislá a g, q ∈ C 1 (D, R). Nechť křivka L ⊂ R2 značí hranici množiny D. Označme S1 = {(x, y, g(x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ D}, S2 = {(x, y, q(x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ D} a S3 = {(x, y, z) ∈ R3 : g(x, y) ≤ z ≤ q(x, y), (x, y) ∈ L} plochy orientované souhlasně s plochou S. Potom   q(x,y) ZZZ ZZ Z   Rz (x, y, z) dx dy dz = 1 Rz (x, y, z) dz  dx dy =  M

=

D

ZZ

g(x,y)

[R(x, y, q(x, y)) − R(x, y, g(x, y))] dx dy =

− − +

ZZ

ZZ S1



R(x, y, z) dx dy  =

R(x, y, z) dx dy =

R(x, y, z) dx dy−

Rovnost

ZZ

ZZ

R(x, y, z) dx dy +

S2

ZZ

R(x, y, z) dx dy+

S1

R(x, y, z) dx dy.

S

S

|3

ZZ S2

D



2

{z

=0

RR

}

R(x, y, z) dx dy = 0 plyne z toho, že integrál na levé straně rov-

S3

~ = (0, 0, R(x, y, z)) plochou S3 , jejíž nosti představuje tok vektorového pole U průmět do roviny x, y má míru 0. Věta 3.2. Nechť množinu V ⊂ R3 lze vyjádřit jako sjednocení konečného počtu regulárních oborů ve směru z (označme je M1 , . . . , Mn ) a to takových, že Mi ∩ Mj ⊆ h(Mi ) pro i 6= j (h(Mi ) značí hranici množiny Mi ). Dále nechť je spojitá funkce. Označme S = h(V ) R ∈ C(V, R) je taková, že ∂R(x,y,z) ∂z 1 2

rovnost plyne z Fubiniovy věty rovnost plyne z věty 2.3 a poznámky 2.2


25

hranici množiny V orientovanou ve směru vnější normály. Potom ZZZ ZZ Rz (x, y, z) dx dy dz = R(x, y, z) dx dy. V

S

Důkaz. Tvrzení plyne okamžitě z věty 3.1 uvědomíme-li si, že ZZZ

Rz (x, y, z) dx dy dz =

n ZZZ X

Rz (x, y, z) dx dy dz =

i=1

V

=

Mi Z n X Z

R(x, y, z) dx dy,

i=1 S i

kde Si = h(Mi ). Přičemž pokud nějaká část plochy Sl = h(Ml ) označme ji třeba sl ⊆ Sl není podmnožinou S, pak určitě existují Mij 6= Ml , kde k S j = 1, . . . , k pro k < n takové, že existuje s˜l ⊆ h( Mij ) taková, že j=1

s˜l = sl . Přičemž s˜l má opačnou orientaci než sl a tudíž se plošné integrály 2. druhu přes takovouto část plochy navzájem vyruší. Proto ze sumy n RR P R(x, y, z) dx dy zůstanou jen integrály, které jsou přes části plochy S i=1 Si

a tudíž platí tvrzení věty.

Poznámka 3.2. Obdobné věty, jako jsou věta 3.1 a věta 3.2, lze zformulovat i pro regulární obory ve směru x (resp. y) a funkce P, Q ∈ C(M, R) v případě věty 3.1 a funkce P, Q ∈ C(V, R) v případě věty 3.2 takové, že ∂P (x,y,z) ∂Q(x,y,z) , jsou spojité funkce. Potom tedy dostaneme ∂x ∂y ZZZ

ZM ZZ

Px (x, y, z) dx dy dz =

ZZ

P (x, y, z) dy dz, P (x, y, z) dy dz,

V

ZSZ

ZZZ

ZZ

Q(x, y, z) dx dz,

Px (x, y, z) dx dy dz =

S

resp.

ZM ZZ V

Qx (x, y, z) dx dy dz = Qx (x, y, z) dx dy dz =

ZSZ S

Q(x, y, z) dx dz.


26

Věta 3.3 (Gauss-Ostrogradského). Nechť V ⊂ R3 je jednoduchý obor , ∂Q(x,y,z) a ∂R(x,y,z) jsou spoa P, Q, R ∈ C(V, R) jsou takové, že ∂P (x,y,z) ∂x ∂y ∂z jité funkce uvnitř a na hranici V . Označme S = h(V ) hranici množiny V orientovanou ve směru vnější normály. Pak platí ZZ P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dx dz + R(x, y, z) dx dy = S

(3.1)

=

ZZZ

(Px (x, y, z) + Qy (x, y, z) + Rz (x, y, z)) dx dy dz.

V

Důkaz. Důkaz plyne okamžitě z věty 3.2 a poznámky 3.2. Jejich užitím dostáváme ZZZ (Px (x, y, z) + Qy (x, y, z) + Rz (x, y, z)) dx dy dz = V

= +

ZZZ

Z ZV Z

Px (x, y, z) dx dy dz + Rz (x, y, z) dx dy dz =

V

ZZZ ZVZ

Qy (x, y, z) dx dy dz+ P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dx dz+

S

+ R(x, y, z) dx dy.

Důsledek 3.1. Z Gauss-Ostrogradského věty plyne vztah mezi objemem m(V ) množiny V a plošným integrálem 2. druhu přes hranici této množiny, neboť z rovnosti (3.1) plyne ZZ ZZZ x y z 1 1 1 dx dy dz = dy dz + dx dz + dx dy = + + 3 3 3 3 3 3 S V ZZZ = dx dy dz = m(V ). V

Poznámka 3.3. Ve fyzikální literatuře se často Gauss-Ostrogradského věta uvádí v souvislosti s pojmem divergence vektorového pole. Divergence vekto~ (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) v bodě (¯ rového pole U x, y¯, z¯) se definuje takto: E RR D ~ U(x, y, z), ~n dσ S ~ , div U (¯ x, y¯, z¯) = lim m(V )→0 m(V )


27

kde V ⊆ R3 je libovolná otevřená množina taková, že (¯ x, y¯, z¯) ∈ V , S = h(V ) je uzavřená plocha a m(V ) je míra množiny V . Lze ukázat (viz. [2, strana 405] nebo [4, strana 12]), že ~ (¯ div U x, y¯, z¯) = Px (¯ x, y¯, z¯) + Qy (¯ x, y¯, z¯) + Rz (¯ x, y¯, z¯). ~ (x, y, z) byla rychlost toku kapaliny v prostoru, lze divergenci Pokud by U tohoto vektorového pole interpretovat jako čisté množství kapaliny, které nateče do množiny v bodě (¯ x, y¯, z¯) vztažené na jednotku objemu. S využitím pojmu divergence vektorového pole lze rovnost (3.1) z věty 3.3 psát ekvivalentně ZZ D ZZZ E ~ (x, y, z), ~n dσ = ~ U div U(x, y, z) dx dy dz. S

V


RR

xz dy dz + yz dx dz + x2 dx dy, kde

S

S je plocha zadaná rovnicí x2 + y 2 + z 2 = R2 orientovaná ve směru vnější normály. Řešení. V průběhu výpočtu využijeme transformaci do sférických souřadnic, takže ji rovnou uvedeme: x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ, kde r ∈ (0, R), ϕ ∈ (0, 2π) a ψ ∈ (− π2 , π2 ). Ještě připomeňme, že jacobián transformace je r 2 cos ψ. Nyní už můžeme integrál snadno vypočítat užitím věty 3.3. π

I=

ZZZ

(z + z) dx dy dz = 2

Z2π Z2 ZR

r sin ψ r 2 cos ψ dr dψ dϕ =

0 − π2 0

V

π

= 4π

π

Rovnost

R2

− π2

4 R

r 4

0

Z2

−π 2

|

sin ψ cos ψ dψ = 0. {z

=0

}

sin ψ cos ψ dψ = 0 plyne z toho, že sin ψ cos ψ je lichá funkce a

integruje se přes interval symetrický podle nuly.

KAPITOLA 3. INTEGRÁLNÍ VĚTY Příklad 3.2. Vypočtěte integrál I =

28 RR

xz dy dz + x2 y dx dz + y 2z dx dy,

S

kde S je plocha v prvním oktantu omezená plochami x = 0, y = 0, z = 0, x2 + y 2 ≤ 1, z = x2 + y 2 a orientovaná ve směru vnější normály. Řešení. Jako v příkladě 3.1 uvedeme prvni transformaci, kterou využijeme v průběhu výpočtu integrálu. Tentokrát to bude transformace do válcových souřadnic: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, kde r ∈ (0, 1), ϕ ∈ (0, π2 ) a z ∈ (0, r 2 ). Jacobián této transformace je r. Nyní už můžeme integrál pohodlně vypočítat pomocí věty 3.3. π

I=

ZZZ V

Z2 Z1 Zr2 (z + r 2 )r dz dr dϕ = (z + x2 + y 2) dx dy dz = 0

0

0

r 2 Z1 2 Z1 Z1 π 3 5 z r4 π π 2 4 dr = r r( + r ) dr = = + zr r dr = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 6 1 3π r π = = . 4 6 0 8 Cvičení 3.1. Vypočtěte integrály RR 3 1. I = x dy dz + y 3 dx dz + z 3 dx dy, kde S je povrch koule o poloměru S

π] 1. [ 12 5 RR 3 2. I = x dy dz +x2 y dx dz +x2 z dx dy, kde S je povrch rotačního válce S

x2 + y 2 ≤ a2 , 0 ≤ z ≤ b. [ 45 πa4 b] RR 2 3. I = x dy dz + y 2 dx dz + z 2 dx dy, kde S je povrch krychle 0 ≤ x, y, S

z ≤ a. [3a4 ]

4. Pomocí Gauss-Ostrogradského věty vypočtěte integrál z příkladu 3 cvičení 2.2. [3πR2 h]


3.2

29

Stokesova věta

Při odvozování Stokesovy věty budeme postupovat podobně, jako při odvozování Gauss-Ostrogradského věty v podkapitole 3.1. To znamená, že nejdříve odvodíme Stokesovu větu ve speciálním tvaru a potom dokázané závěry zobecníme. Věta 3.4. Nechť D ⊂ R2 je souvislá množina a nechť její hranice C = h(D) je jednoduchá uzavřená křivka. Dále nechť f ∈ C 1 (D, R), S = {(x, y, f (x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ D} a L = {(x, y, f (x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ C}. Předpokládejme, že plocha S a křivka L jsou souhlasně orientované podle pravidla pravé ruky. a ∂P (x,y,z) jsou spojité funkce. Potom Nechť P ∈ C(S, R) je taková, že ∂P (x,y,z) ∂y ∂z Z

P (x, y, z) dx =

L

ZZ

Pz (x, y, z) dx dz − Py (x, y, z) dx dy.

S

Důkaz. Označme ~n = (n1 , n2 , n3 ) jednotkový normálovýpvektor plochy S orientovaný v kladném směru osy z (tj. ~n = (−fx , −fy , 1)·( 1 + fx2 + fy2 )−1 ). Důkaz provedeme postupem, který je popsán následujícím schématem: Z Z ZZ → parametrizace → → Greenova věta → → definice plošného L

ZZ C integrálu 2. druhu → .

D

S

Dostáváme tedy Z x=x = P (x, y, f (x, y)) dx = P (x, y, z) dx = y = y z = f (x, y), (x, y) ∈ C C L ZZ ZZ ∂ =1− P (x, y, f (x, y)) dx = − Py (x, y, f (x, y)) · 1+ ∂y D D ZZ " 1 + Pz (x, y, f (x, y))fy (x, y) dx dy = − Py (x, y, f (x, y)) p − 1 + fx2 + fy2 D # ZZ q −fy − Pz (x, y, f (x, y)) p 1 + fx2 + fy2 dx dy = Pz (x, y, z)n2 − 1 + fx2 + fy2 | {z } S dσ

Z

1

plyne z Greenovy věty


− Py (x, y, z)n3 dσ =

ZZ

30


S

Poslední rovnost plyne z poznámky 2.1. Věta 3.5. Nechť plochu S ⊂ R3 lze vyjádřit jako konečné sjednocení ploch z věty 3.4 (označme je Si , i = 1, . . . , n) s jim odpovídajícími prostorovými křivkami Li , i = 1, . . . , n, a to takových, že Si ∩Sj ⊂ Li pro i 6= j. Označme L prostorovou křivku omezující plochu S. Nechť plocha S je souhlasně orientovaná s L a plochy Si s Li pro i = 1, . . . , n podle pravidla pravé ruky, přičemž orientace ploch Si je dána orientací plochy S. Dále nechť P ∈ C(S, R) je taková, že ∂P (x,y,z) a ∂P (x,y,z) jsou spojité funkce. Potom ∂y ∂z Z

P (x, y, z) dx =

L

ZZ


S

Důkaz. Provede se podobně jako důkaz věty 3.2. Poznámka 3.4. Obdobně lze zformulovat věty 3.4 a 3.5 pokud je S grafem funkce proměnných (y, z) (resp. (x, z)), nebo pokud je konečným sjednocením takovýchto ploch, a funkce Q ∈ C(S, R) je taková, že ∂Q(x,y,z) a ∂Q(x,y,z) jsou ∂x ∂z ∂R(x,y,z) ∂R(x,y,z) spojité funkce (resp. R ∈ C(S, R) je taková, že ∂x a ∂y jsou spojité funkce). Pak platí Z ZZ Q(x, y, z) dy = Qx dx dy − Qz dy dz, L

S

Z

ZZ

resp.

L

R(x, y, z) dz =

Ry dy dz − Rx dx dz.

S

Věta 3.6 (Stokesova). Nechť S ⊂ R3 je po částech hladká plocha, která lze vyjádřit jako konečné sjednocení grafů funkcí proměnných (x, y) a zároveň jako (obecně jiné) konečné sjednocení grafů funkcí (y, z) a konečně jako konečné sjednocení grafů funkcí proměnných (x, y). Označme L prostorovou křivku omezující plochu S. Nechť S je souhlasně orientovaná s L podle , pravidla pravé ruky. Dále nechť P, Q, R ∈ C(S, R) jsou takové, že ∂P (x,y,z) ∂y

KAPITOLA 3. INTEGRÁLNÍ VĚTY ∂P (x,y,z) ∂Q(x,y,z) ∂Q(x,y,z) ∂R(x,y,z) , , , ∂z ∂x ∂z ∂x

Z L

(3.2)

=

a

∂R(x,y,z) ∂y

31 jsou spojité funkce. Pak platí

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = ZZ S

Ry (x, y, z) − Qz (x, y, z) dy dz + Pz (x, y, z)−

− Rx (x, y, z) dx dz + Qx (x, y, z) − Py (x, y, z) dx dy.

Důkaz. Důkaz plyne okamžitě z vět 3.4 a 3.5 a poznámky 3.4. Jejich užitím můžeme psát Z ZZ P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = (Pz (x, y, z)n2 − L

S

− Py (x, y, z)n3 ) + (Qx (x, y, z)n3 − Qz (x, y, z)n1 ) + (Ry (x, y, z)n1 − ZZ − Rx (x, y, z)n2 ) dσ = (Ry (x, y, z) − Qz (x, y, z))n1 + S

+ (Pz (x, y, z) − Rx (x, y, z))n2 + (Qx (x, y, z) − Py (x, y, z))n3 dσ = ZZ = (Ry (x, y, z) − Qz (x, y, z)) dy dz + (Pz (x, y, z) − Rx (x, y, z)) dx dz+ S

+ (Qx (x, y, z) − Py (x, y, z)) dx dy. Poznámka 3.5. Z důkazu věty 3.6 je vidět, že rovnost (3.2) může být ekvivalentně zapsána ve tvaru: Z P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = L

=

ZZ S

(Ry − Qz , Pz − Rx , Qx − Py ), ~n dσ,

kde jsme pro přehlednost vynechali ve výrazu na pravo (x, y, z). Poznámka 3.6. Ve fyzikální literatuře se Stokesova věta často uvádí s využitím pojmu rotace vektorového pole ~a(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)), který se značí rot~a a definuje rot ~a(x, y, z) = wy (x, y, z) − vz (x, y, z), uz (x, y, z) − wx (x, y, z), vx (x, y, z) − uy (x, y, z) .


32

Pro lepší zapamatování lze rotaci vektorového pole zapsat symbolicky pomocí determinantu takto: i j k ∂ ∂ ∂ rot ~a(x, y, z) = ∂x ∂y ∂z . u v w

Pokud by ~a(x, y, z) byla rychlost kapaliny, dala by se rotace vektorového pole ~a(x, y, z) interpretovat jako směr osy, kolem které se kapalina otáčí v okolí bodu (x, y, z). S využitím pojmu rotace vektorového pole lze rovnost (3.2) z věty 3.6 psát ve tvaru Z ZZ D E ~ P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = rotU(x, y, z), ~n dσ. L

S

Poznámka 3.7. V úvodu této kapitoly jsme uvedli, že Stokesova věta je zobecněním Greenovy věty, což je vidět hned, pokud plocha S bude ležet v rovině x, y. Pak totiž dostaneme Z Z P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy+ L

+ R(x, y, z) · 0 =

ZZ

L

Ry (x, y, z) − Qz (x, y, z) · 0 + Pz (x, y, z)−

S − Rx (x, y, z) · 0 + Qx (x, y, z) − Py (x, y, z) dx dy = ZZ = Qx (x, y, z) − Py (x, y, z) dx dy. S

Poznámka 3.8. Stokesova věta říká, za jakých podmínek závisí plošný integrál 2. druhu jen na tvaru ohraničující křivky. R Příklad 3.3. Vypočtěte integrál I = x2 y 2 dx + dy + z dz, kde L je obvod L

kružnice x2 + y 2 = R2 , z = 0 orientovaná kladně (tj. proti směru hodinových ručiček). Řešení. Užitím věty 3.6 převedeme křivkový intergál na plošný integrál přes plo-


33

chu S, kde S je zadána rovnicemi x2 + y 2 ≤ R2 , z = 0. ZZ x = r cos ϕ, ϕ ∈ (0, 2π) 2 −2x y dx dy = I= y = r sin ϕ, r ∈ (0, R) S

=

Z2π ZR 0

2R5 −2r cos ϕ sin ϕ r dr dϕ = − 5 3

2

0


R

Z2π

|0

=

cos2 ϕ sin ϕ dϕ = 0. {z

}

=0

y dx + z dy + x dz, kde L je průnik

L

koule x2 + y 2 + z 2 = R2 s rovinou x+ y + z = 0 orientovaná tak, že její průmět do roviny z = 0 je orientován v kladném smyslu (tj. proti směru hodinových ručiček). Řešení. Pomocí věty 3.6 převedeme křivkový integrál na plošný integrál přes plochu S, kde S je část roviny x+y+z = 0 uvnitř koule x2 +y 2 +z 2 = R2 . Ve výpočtu použijeme rovnost z poznámky 3.5. K tomu je potřeba si uvědomit, že jednotkový normálová vektor k ploše S je ~n = √13 , √13 , √13 . Nyní již můžeme přikročit k výpočtu integrálu. Z ZZ ZZ √

I = y dx + z dy + x dz = (−1, −1, −1), ~n dσ = − 3 dσ = L

S

S

√ ZZ √ =− 3 dσ = − 3 πR2 . S

Poslední rovnost plyne z toho, že kruh o poloměru R.

RR

dσ je obsah plochy S, která je ovšem

S

Cvičení 3.2. Vypočtěte integrály R 1. (3x2 yz +y 3z +xex ) dx+(3xy 2 z +x3 z +yex ) dy +(x3 y +y 3x+xy 2 z 2 ) dz, L

kde L je prostorová křivka spojující body (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0). [ 3e6−5 ] R xy y3 y xy xy 2 x+y xy z a2 +1) dx+k( a2 ) dy+k e a2 dz, kde L je prostorová 2. k( 3a + e 3 +ae 3 a a a L

křivka spojující body (0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 3, 0), (0, 3, 0) a k je libovolná konstanta. [ka(2e3 − 4)]

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY

34

Seznam použité literatury [1] Budak B.M., Fomin S.V.: Multiple Integrals, Field Theory and Series, Mir, Moskva 1973 [2] Riley K.F., Hobson M.P., Bence S.J.: Mathematical Methods For Physics And Engineering, second edition, Cambridge University Press 2002 [3] Zajíček L.: Plošný integrál; předběžný učební text, http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zajicek/plosint.ps [4] Kočandrlová M.: Plošný integrál, http://mat.fsv.cvut.cz/ma3g/soubory/PI.PDF

SEZNAM OBRÁZKŮ

35

Seznam obrázků 1.1 odvození míry plochy S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 odvozeni míry plochy S (detail) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 obraz jednotkového čtverce pro linearní zobrazení . . . . . . .

4 4 5

2.1 Möbiuv list . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

REJSTŘÍK

Rejstřík divergence vektorového pole, 26 Gauss-Ostrogradského věta, 23, 26 Greenova věta, 23, 32 hladká plocha v R3 zadaná explicitně, 3 zadaná parametricky, 7 integrální suma, 10 Jacobiho matice, 7 jednoduchý obor, 24 orientovatelnost plochy, 17 neorientovatelná plocha, 17 orientovatelná plocha, 17 plošný integrál v R3 1. druhu, 10 2. druhu, 18, 32 ze skalární funkce, 10 regulární obor, 23 rotace vektorového pole, 31 Stokesova věta, 23, 30–32

36

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

Recommend Documents