MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

BRNO 2006

BLANKA MORÁVKOVÁ

Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně pod vedením doc. RNDr. Josefa Janyšky, CSc., a uvedla jsem veškerou literaturu, kterou jsem použila. V Brně, 24. 5. 2006

.........................

Poděkování: Chtěla bych poděkovat doc. RNDr. Josefovi Janyškovi, CSc., za vedení mé diplomové práce a za užitečné rady a připomínky.

Obsah Úvod 1 Zobrazení těles 1.1 Hranol . . . . 1.2 Jehlan . . . . 1.3 Válec . . . . . 1.4 Kužel . . . . . 1.5 Kulová plocha

5

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

2 Rovinné řezy těles 2.1 Rovinný řez hranolu . . . 2.2 Rovinný řez jehlanu . . . . 2.3 Rovinný řez válce . . . . . 2.4 Rovinný řez kužele . . . . 2.5 Rovinný řez kulové plochy

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

6 6 25 41 52 64

. . . . .

77 77 83 90 97 110

3 Průnik přímky s tělesem

115

Závěr

126

Použitá literatura

127

Příloha – pracovní listy s vyrýsovaným zadáním

Úvod Cílem mé diplomové práce bylo vytvořit učební text použitelný pro výuku deskriptivní geometrie na středních školách, pojednávající o úlohách na prostorových tělesech v Mongeově zobrazovací metodě. V diplomové práci jsem navázala na svoji bakalářskou práci „Řezy těles v Mongeově zobrazovací metoděÿ. Diplomová práce obsahuje tři kapitoly. V první jsem se věnovala samotnému sestrojení průmětů prostorových těles. V druhé kapitole je obsažena problematika rovinných řezů těles a třetí kapitola pojednává o průniku přímky s tělesem. Věnovala jsem se základním tělesům – hranolu, jehlanu, válci a kuželi – a kulové ploše. Po vyložení teorie následují řešené příklady. U všech příkladů je uveden slovní postup konstrukce a vyrýsované řešení. Zadání příkladu je voleno tak, aby byl výsledek (těleso, řez, apod.) ve sdružených průmětech dobře viditelný a pomocné konstrukce nevycházely pokud možno mimo pracovní plochu. Jsou zde obsaženy příklady ukázkové i méně typické. V příloze jsou pracovní listy s vyrýsovaným zadáním ke každému příkladu. Žáci se tak mohou hned věnovat řešení příkladu. Příklady jsou zároveň zadány v konkrétních souřadnicích, aby si žáci mohli případně zadání sami narýsovat. Osový kříž je vždy volen doprostřed stránky formátu A4. Při řešení úloh je předpokládána znalost základních konstrukcí Mongeovy zobrazovací metody , konstrukcí kuželoseček z daných prvků, Rytzovy a proužkové konstrukce, osové afinity a středové kolineace. Postupy těchto konstrukcí nejsou ve slovním řešení popsány.

5

Kapitola 1 Zobrazení těles 1.1

Hranol

Je dána rovina α, v ní konvexní n-úhelník ABC . . . a přímka s různoběžná s rovinou α. Množina všech přímek rovnoběžných s přímkou s, která protínají n-úhelník ABC . . . , resp. jeho obvod, se nazývá n-boký hranolový prostor, resp. n-boká hranolová plocha. Těmto přímkám říkáme tvořící přímky. Daný n-úhelník nazýváme řídícím mnohoúhelníkem, přímky procházející vrcholy řídícího mnohoúhelníka hranami, přímky protínající obvod řídícího mnohoúhelníku povrchovými přímkami (površkami). Množina všech přímek protínajících stranu řídícího mnohoúhelníka tvoří stěnu. Rovina α0 rovnoběžná s rovinou α, α 6= α0 , protíná hranolový prostor v mnohoúhelníku A0 B 0 C 0 . . . , který je shodný s řídícím mnohoúhelníkem. Hranolový prostor mezi rovinami α a α0 je n-boký hranol.1 Roviny α a α0 nazýváme rovinami podstavy, n-úhelníky ABC . . . a A0 B 0 C 0 . . . podstavami, jejich strany podstavnými hranami a jejich vrcholy nazýváme vrcholy hranolu. Části hran hranolové plochy mezi rovinami α a α0 , kterými jsou shodné úsečky, nazýváme pobočnými hranami hranolu. Části stěn hranolové plochy mezi rovinami α a α0 , kterými jsou rovnoběžníky, nazýváme pobočnými stěnami hranolu. Pobočné stěny tvoří plášť hranolu, plášť a obě podstavy tvoří povrch hranolu. Výškou hranolu nazveme vzdálenost rovin podstav. Pojem povrchové přímky, který jsme zavedli pro hranolový prostor, přenášíme i na hranol. Povrchovou přímkou hranolu (površkou) rozumíme povrchovou přímku příslušného hranolového prostoru. 1

Omezujeme se pouze na konvexní hranol, tj. hranol vzniklý z hranolového prostoru, jehož řídící n-úhelník je konvexní. Existují i nekonvexní hranoly, která vznikají z hranolového prostoru s nekonvexním řídícím n-úhelníkem.

6

KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES

7

Jsou-li pobočné hrany kolmé na rovinu podstavy, nazýváme hranol kolmým. V opačném případě se hranol nazývá kosým. Kolmý hranol, jehož podstavy tvoří pravidelné n-úhelníky, se nazývá pravidelný n-boký hranol. Spojnici středů podstav pravidelného hranolu nazýváme osou. Zvláštním případem pravidelného n-bokého hranolu je krychle. Je to pravidelný čtyřboký hranol, jehož výška je rovna délce podstavné hrany. Je zřejmé, že všechny hrany krychle jsou stejně dlouhé a všechny její stěny jsou čtverce.2 Rovnoběžným průmětem konvexního hranolu je konvexní mnohoúhelník. Jeho obvod je zdánlivým obrysem průmětu hranolu (krátce obrysem). Povrch hranolu pokládáme za neprůhledný, musíme proto určit viditelnost vrcholů a hran. V prvním i druhém průmětu je obrys vždy viditelný. Stačí tedy určit viditelnost vrcholů a hran zobrazených uvnitř obrysu. Viditelnost v půdorysu určujeme z nárysu (při pohledu shora). Porovnáním z-ových souřadnic vrcholů obou podstav zjistíme, která podstava leží výš a která níž. Protože pobočné hrany jsou rovnoběžné, stačí porovnat zové souřadnice vrcholů na jedné pobočné hraně nebo středů podstav. Vrchol, který má větší z-ovou souřadnici než vrchol ležící na téže pobočné hraně, leží výš a s ním i celá podstava. Vyšší podstava je v půdorysu viditelná a nižší neviditelná. Viditelnost v nárysu určujeme z půdorysu (při pohledu zepředu). Porovnáním y-ových souřadnic vrcholů určíme podobně jako v předchozím případě, která podstava leží vředu a která vzadu. Podstava s většími y-ovými souřadnicemi leží vpředu a je v nárysu viditelná. Zadní podstava, s menšími y-novými souřadnicemi, je neviditelná. Vrcholy neviditelné postavy ležící uvnitř obrysu jsou neviditelné. Všechny hrany vedoucí z neviditelných vrcholů jsou neviditelné. I v případě, že všechny vrcholy leží na obrysu a jsou tedy viditelné, mohou existovat neviditelné hrany. Jsou to ty hrany, jejichž průměty leží uprostřed obrysu a mají nejmenší z-ové, resp. y-ové souřadnice. Viditelné hrany znázorňujeme plnou čarou, neviditelné čárkovanou.

2

Krychle patří mezi pravidelné mnohostěny, tzv. platónská tělesa. Všechny hrany těchto těles jsou stejně dlouhé, všechny jejich stěny jsou pravidelné n-úhelníky a u každého vrcholu se stýká stejný počet stěn. Platónských těles existuje pět: pravidelný čtyřstěn, krychle, pravidelný osmistěn, pravidelný dvanáctistěn, pravidelný dvacetistěn.


8

Příklad 1.1. Kosý hranol má čtvercovou podstavu ABCD v půdorysně. Zobrazte tento hranol, jsou-li dány vrcholy podstavy A[−6; 3; 0], C[−1; 4; 0] a vrchol druhé podstavy A0 [1; 7; 7]. Určete oba průměty bodů K[1; 6; ?] a L[−0, 5; ?; 4, 5] ležících na plášti tohoto hranolu.

Řešení. Průmět hranolu dostaneme tak, že sestrojíme průměty podstav a pobočných hran. Podstavy leží v půdorysně a v rovině s ní rovnoběžné, a proto jsou jejich půdorysy shodné čtverce a nárysy stejně dlouhé rovnoběžné úsečky. Oba průměty pobočných hran jsou rovnoběžné úsečky. V půdorysu je neviditelný bod C a všechny hrany z něho vedoucí. V nárysu je neviditelná pouze hrana DD0 . Bod K leží na površce k, sestrojíme ji pomocí jejího průsečíku s obvodem podstavy. Bod K1 je zřejmě půdorysem také bodu K 0 , který leží na površce k 0 . Rovněž bod L2 je nárysem dvou bodů L a L0 ležících na površkách l a l0 . Postup je zřejmý z obrázku.


9

Příklad 1.2. Zobrazte pravidelný šestiboký hranol, jehož podstava se středem S[1, 5; 4; 5] a vrcholem A[−0, 5; 5; 7] leží v rovině α kolmé k nárysně. Délka pobočných hran je 3, druhá podstava leží pod rovinou α.

Řešení. Protože je rovina podstavy α kolmá k nárysně, je jejím druhým průmětem přímka A2 S2 . Pro sestrojení podstavy sklopíme rovinu α do nárysny. Nárysem podstavy je úsečka A2 D2 , půdorysem šestiúhelník. Pobočné hrany jsou rovnoběžné s nárysnou, jsou tedy v druhém průmětu zobrazeny ve skutečné velikosti. Jejich půdorysy jsou rovnoběžné s osou x12 . Druhá podstava leží pod rovinou α, a proto zA > zA0 . V půdorysu je viditelná podstava ABCDEF . Vrcholy C 0 a D0 a všechny hrany z nich vedoucí jsou neviditelné. V nárysu jsou neviditelné hrany EE 0 a F F 0.


10

Příklad 1.3. Zobrazte kolmý čtyřboký hranol se čtvercovou postavou ABCD v rovině α(6; 6; 4, 5), jsou-li dány vrcholy podstavy A[−2, 5; ?; 4, 5], C[−1, 5; 6, 5; ?] a výška hranolu v = 7. Druhá podstava leží nad rovinou α.

Řešení. V rovině α sestrojíme čtverec ABCD s úhlopříčkou AC, který tvoří jednu podstavu hranolu. Půdorys čtverce ABCD podstavy sestrojíme např. v otočení roviny α kolem její půdorysné stopy do půdorysny. Využijeme přitom afinity mezi prvním a otočeným průmětem. Do nárysu přeneseme čtverec ABCD např. pomocí hlavních přímek roviny α. Ve vrcholech podstavy vztyčíme kolmice na rovinu α; na nich leží pobočné hrany. Na tyto kolmice naneseme od vrcholů podstavy délku v = 7 = |AA0 |, např. ve sklopení, a tím získáme vrcholy druhé podstavy. Druhá podstava (horní) leží nad rovinou α, proto yA < yA0 a zA < zA0 . (Výšku stačí nanést pouze na jednu hranu, protože všechny pobočné hrany jsou stejně dlouhé.) V obou průmětech je viditelná horní podstava. V půdorysu není vidět vrchol C a v nárysu vrchol A.


11

Příklad 1.4. Zobrazte pravidelný čtyřboký hranol, je-li dána jeho osa o = ([−7, 5; 12, 5; 0], [6; 0; 10, 5]), vrchol podstavy A[−4; 8; 7, 5] a výška v = 7. Zobrazte to řešení, které celé leží v prvním kvadrantu.

Řešení. Bodem A proložíme rovinu α kolmo k přímce o. Rovina α je rovinou podstavy. Určíme ji hlavními přímkami první a druhé osnovy I h a II h procházejícími bodem A a sestrojíme její stopy. (Stačí sestrojit pouze jednu ze stop. Na obrázku je sestrojena půdorysná stopa.) Pomocí krycí přímky, kterou je spádová přímka první osnovy I s, sestrojíme průsečík S přímky o s rovinou podstavy α. Bod S je středem podstavy. V rovině α sestrojíme podstavný čtverec ABCD, pro který je dán vrchol A a střed S; řešení provedeme otočením do první průmětny kolem půdorysné stopy. Pobočné hrany vedeme vrcholy podstavy kolmo na rovinu podstavy, tj. rovnoběžně s osou o, a určíme vrcholy druhé podstavy. Výšku hranolu v = |SS 0 | naneseme ve sklopení např. na osu hranolu o. Jsou dvě možnosti; protože hranol má celý ležet v prvním kvadrantu, musí platit yS > yS 0 a zS < zS 0 .


12

V půdorysu je viditelná podstava A0 B 0 C 0 D0 (leží výš), neviditelný je vrchol C (má menší z-ovou souřadnici než bod A). V nárysu je viditelná podstava ABCD (leží více vpředu), neviditelný je vrchol D (má menší y-ovou souřadnici než bod B).

Příklad 1.5. Zobrazte kolmý hranol, jehož podstavu tvoří čtverec ABCD v rovině α(−5; 5; 4), A[2; 1; ?]. Čtverec ABCD je souměrný podle osy menšího úhlu obou stop roviny α. Výška hranolu je 7. Druhá podstava leží nad rovinou α.

Řešení. Abychom mohli sestrojit podstavný čtverec ABCD, otočíme rovinu α kolem její půdorysné stopy do půdorysny. Musíme otočit bod A a nárysnou stopu nα . Půdorysná stopa zůstává při otočení na místě. Úhlopříčka BD podstavy leží na ose úhlu obou stop roviny α. Další postup je stejný jako v příkladě 1.3. V půdorysu je neviditelný vrchol C, v nárysu vrchol A.


13

Příklad 1.6. Zobrazte pravidelný šestiboký hranol, který má dolní podstavu v rovině α(5; 6; 5), je-li dán střed této podstavy S[−2; ?; 4] a vrchol A0 [1, 5; 5; 11] horní podstavy.

Řešení. Bodem A0 vedeme kolmici a na rovinu α. Sestrojíme průsečík A roviny α a přímky a pomocí krycí přímky. Za krycí přímku jsme zvolili spádovou přímku druhé osnovy II s. V rovině α sestrojíme šestiúhelník ABCDEF se středem S a jedním vrcholem A, který tvoří dolní podstavu. Jednu pobočnou hranu AA0 už máme sestrojenou (leží na přímce a); zbývá zobrazit ostatní vrcholy horní podstavy. Tyto vrcholy leží na kolmicích vedoucích z vrcholů dolní podstavy k rovině α. Délka úsečky AA0 je výškou hranolu. Horní podstava je v obou průmětech viditelná. V půdorysu jsou neviditelné vrcholy E a D, v nárysu vrcholy A a F .


14

Příklad 1.7. Je dána rovina α(5; 5, 5; −5, 5) a mimo ni bod O[0; 5, 5; 6]. Zobrazte pravidelný čtyřboký hranol, jehož středem je bod O, jedna jeho tělesová úhlopříčka u je rovnoběžná se základnicí a jedna podstava leží v rovině α.

Řešení. Úhlopříčka hranolu u prochází bodem O a v obou průmětech je rovnoběžná s osou x12 . Sestrojíme její průsečík s rovinou α a získáme tak vrchol podstavy A. (Jako krycí přímku pro sestrojení bodu A jsme použili hlavní přímku druhé osnovy II h roviny α.) Středem hranolu O prochází osa hranolu o, která je kolmá k rovině podstavy α. Průsečík osy o a roviny α je středem S podstavy. (Krycí přímkou je spádová přímka první osnovy I s.) V rovině α sestrojíme podstavný čtverec ABCD, pro který známe vrchol A a střed S. Výška hranolu je daná délkou úsečky SS 0 , kde S 0 leží na ose o hranolu tak, že bod O je středem úsečky SS 0 . Hranol můžeme sestrojit i jiným způsobem. Na úhlopříčce u leží vrchol C 0 druhé podstavy tak, že bod O je středem úsečky AC 0 . Bodem C 0


15

vedeme kolmici na rovinu α a určíme jejich průsečík C. Máme jednu pobočnou hranu CC 0 (délka úsečky CC 0 je výškou hranolu) a pro podstavný čtverec úhlopříčku AC. V půdorysu je viditelná podstava A0 B 0 C 0 D0 , vrchol C je neviditelný. V nárysu je viditelná podstava ABCD, neviditelný je vrchol D.

Příklad 1.8. Zobrazte pravidelný čtyřboký hranol, jehož osu tvoří přímka o = OS, O[−4; 8; 1], S[2; 3; 6]. Bod S je středem podstavy ABCD, A[?; ?; 6], která je vepsaná do kružnice o poloměru 3. Vzdálenost podstav je 6 a yA0 > yA .

Řešení. Jedna podstava hranolu leží v rovině α, která prochází bodem S a je kolmá k ose o. Určíme ji hlavními přímkami první a druhé osnovy I h, II h vedenými bodem S. Protože zA = zS , leží bod A na hlavní přímce první osnovy I h. V půdorysu ji vidíme ve skutečné velikosti, proto |AS| = |A1 S1 | = 3. Na přímce I h leží také vrchol C. Úhlopříčky čtverce jsou k sobě kolmé, musí tedy úhlopříčka podstavného čtverce BD ležet na spádové přímce první osnovy I s roviny α. Vrcholy B, D určíme otočením roviny α nebo sklopením


16

spádové přímky I s. Výšku hranolu naneseme na osu o; střed S 0 druhé podstavy leží mezi body S a O. V půdorysu není vidět vrchol B, v nárysu vrchol C. Příklad 1.9. Je dána rovina α(∞; 4; 6) a v ní body A[0, 5; 1; ?], B[2; 3, 5; ?]. Zobrazte kolmý hranol stojící na rovině α, jehož podstavy tvoří rovnostranné trojúhelníky a pobočné stěny čtverce. Pro dolní podstavu ABC platí xC < xA .

Řešení. Rovina α je rovnoběžná s osou x, nemůžeme proto druhé průměty bodů A a B určit pomocí hlavních přímek. Známe ale půdorys přímky AB, můžeme sestrojit její nárys a tím i nárysy bodů A, B. V rovině α sestrojíme nad úsečkou AB rovnostranný trojúhelník ABC (bod C leží nejvíce vlevo). Výška hranolu je rovna délce podstavných hran. Pobočné hrany ležící na kolmicích k rovině α jsou kolmé na základnici. Známe pro ně jenom jeden bod, a proto je nemůžeme sklopit. Protože jsou kolmé k rovině α, jsou kolmé i k jejím spádovým přímkám a navíc s nimi leží ve stejné promítací rovině, kterou můžeme sklopit. Výšku hranolu musíme nanést dvakrát, v půdorysu i v nárysu; konstrukce je zřejmá z obrázku. V půdorysu je jediným bodem uvnitř obrysu vrchol A0 , který leží ze všech vrcholů nejvýše a je tedy viditelný. Hrana BC leží nejníže a je jako jediná


17

neviditelná. Vrchol A je nejvýce vzadu, proto je v nárysu, stejně jako všechny hrany z něho vycházející, neviditelný.

Příklad 1.10. Je dán bod S[2; 7; 2, 5] a přímka a = ([3; 10; 3], [−3; 4; 9]). Zobrazte pravidelný pětiboký hranol, víme-li, že bod S je středem jedné podstavy, pobočná hrana AA0 leží na přímce a a výška hranolu je 6. Zobrazte ten hranol, který celý leží v prvním kvadrantu.

Řešení. Bodem S proložíme rovinu α = I h· II h kolmo k přímce a. Sestrojíme průsečík A roviny α a přímky a, (krycí přímkou je I s). V rovině α sestrojíme podstavu, kterou je pravidelný pětiúhelník se středem S a vrcholem A. Určíme zbývající pobočné hrany a naneseme výšku. V obrázku je nanesena na pobočnou hranu procházející bodem D. Podstava ležící v rovině α je v půdorysu neviditelná a v nárysu viditelná. V půdorysu je tedy neviditelný vrchol C a v nárysu vrchol D0 .


18

Příklad 1.11. Zobrazte plášť pravidelného šestibokého hranolu, který má podstavu se středem S[0; 3; ?] a vrcholem A[−0, 5; 0, 5; ?] v rovině α(∞; 6; 5). Druhá podstava leží nad rovinou α, výška hranolu je 6.

Řešení. Hranol sestrojíme obdobně jako v příkladu 1.9. V obou průmětech je viditelná horní podstava A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 . Kdybychom zobrazovali celý hranol, byly by v půdorysu neviditelné vrcholy D a E a v nárysu vrcholy A a B. Protože se jedná pouze o plášť, vidíme i „dovnitřÿ hranolu. Kromě viditelných hran celého hranolu vidíme navíc v půdorysu hranu DD0 a části hran CD, DE a EE 0 , v nárysu vidíme navíc části hran AA0 a BB 0 .


19

Příklad 1.12. Zobrazte krychli ABCDEF GH, leží-li její stěna ABCD, A[−3; ?; 6], se středem S[−1; 4; ?] v rovině α(8; 6; 8) a platí-li zA < zE .

Řešení. V rovině α sestrojíme čtverec ABCD, pro který známe střed S a vrchol A. V jeho vrcholech vztyčíme kolmice na rovinu α a naneseme na ně délku hrany čtverce ABCD. Protože zA < zE , leží stěna EF GH nad rovinou α a je v obou průmětech viditelná. V půdorysu je neviditelný vrchol C, v nárysu vrchol D.


20

Příklad 1.13. Zobrazte krychli, jsou-li dány její vrcholy A[3; 3; 4] a B[0; 1; 2] a víme-li, že bod C leží v půdorysně. Narýsujte to řešení, které leží celé v prvním kvadrantu.

Řešení. Velikost hrany krychle je dána délkou úsečky AB, tu zjistíme např. sklopením přímky AB do půdorysny. Bodem B proložíme rovinu β = I h · II h kolmo k přímce AB a určíme její půdorysnou stopu pβ . V rovině β leží stěna BCGF , sestrojíme ji otočením roviny β do půdorysny. Protože vrchol C má ležel v půdorysně a zároveň v rovině β, musí ležet na půdorysné stopě roviny β ve vzdálenosti |AB| od bodu B. Otočený bod C splývá se svým prvním průmětem. Pro bod C existují dvě řešení. Aby krychle ležela celá v prvním kvadrantu, musí platit yB > yC . Ve vrcholech čtverce BCGF vztyčíme kolmice k rovině β a určíme zbývající vrcholy. Vrchol C je nejnižším bodem krychle a je v půdorysu neviditelný. V nárysu je neviditelný vrchol B.


21

Příklad 1.14. Zobrazte krychli, známe-li její vrchol A[−0, 5; 2; 3] a víme-li, že hrana CG leží na přímce m = ([−5, 5; 0; 9], [0; 7; 6]), yG > yC .

Řešení. Bodem A proložíme rovinu α = I h · II h kolmo k přímce m. Sestrojíme vrchol C, kterým je průsečík přímky m a roviny α. V rovině α sestrojíme čtverec s úhlopříčkou AC. Jeho vrcholy vedeme kolmice k rovině α (rovnoběžky s přímkou m) a určíme na nich zbývající vrcholy. V půdorysu není vidět vrchol E, v nárysu vrchol A.


22

Příklad 1.15. Zobrazte krychli se středem S[0; 4; 5] a jednou hranou na přímce a = ([−4; 9; 9], [5; 5, 5; 5, 5]).

Řešení. Na přímku a umístíme hranu AE krychle ABCDEF GH. Rovina σ = I h · II h jdoucí středem S krychle protíná přímku a v bodě K, který je středem hrany AE. Čtverec KLM N , kde body L, M , N jsou po řadě středy hran BF , CG, DH, leží v rovině σ, je shodný se stěnami krychle a jeho střed je totožný se středem krychle. Setrojíme rovinu σ, v ní čtverec KLM N a v jeho vrcholech rovnoběžky s přímkou a (kolmice na rovinu σ). Na přímku a naneseme od bodu K na obě strany polovinu déky stany čtverce KLM N a dostaneme vrcholy A a E krychle. Podobně sestrojíme i ostatní vrcholy krychle. Existuje jediné řešení. V půdorysu není vidět vrchol D, v nárysu vrchol C.


23

Příklad 1.16. Zobrazte krychli, která má stěnu ABCD v rovině α(−8; 7; 4, 5), vrchol B v nárysně a stěnu EF GH nad rovinou α, víme-li, že: a) A[1; 3; ?], vrchol C leží nad nárysnou a délka hran krychle je 4, b) A[1, 5; ?; 3], vrchol C leží pod nárysnou a délka hran krychle je 5. Zobrazte všechna řešení.

Řešení. a) V rovině α sestrojíme stěnu ABCD. Protože bod B leží zároveň v nárysně i v rovině α, musí ležet na nárysné stopě nα roviny α ve vzdálenosti 5 od bodu A. Vrchol C leží nad nárysnou, a proto celý čtverec ABCD leží v jedné polorovině s hraniční přímkou nα . Konstrukci čtverce ABCD provedeme v otočení roviny α kolem její nárysné stopy do nárysny, přičemž otočený bod B splývá se svým druhým průmětem. Ve vrcholech stěny ABCD vztyčíme kolmice na rovinu α, naneseme na ně délku hran krychle tak, aby platilo zA < zE , a tím získáme zbývající vrcholy krychle. Pro bod B existují dvě řešení, proto i celá úloha bude mít dvě řešení – krychli ABCDEF GH a krychli AB 0 C 0 D0 EF 0 G0 H 0 , které mají společnou hranu AE. V nárysu jsou neviditelné vrcholy B a B 0 a všechny hrany z nich vedoucí. V půdorysu je neviditelný vrchol A krychle ABCDEF GH a vrchol D0 krychle AB 0 C 0 D0 EF 0 G0 H 0 a všechny hrany vedoucí z těchto vrcholů. Protože krychle ABCDEF GH leží výš než krychle AB 0 C 0 D0 EF 0 G0 H 0 , zakrývá krychle ABCDEF GH při pohlehu shora část krychle AB 0 C 0 D0 EF 0 G0 H 0 .


24

V půdorysu je tedy u krychle AB 0 C 0 D0 EF 0 G0 H 0 navíc neviditelná hrana AE a část hrany AB 0 . b) Krychli sestrojíme stejně jako v případě a) s tím rozdílem, že vrcholy C a A čtverce ABCD leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou nα . Existují dvě řešení – krychle ABCDEF GH a krychle AB 0 C 0 D0 EF 0 G0 H 0 se společnou hranou AE. Krychle mají neprázdný průnik, tzn. že část krychle ABCDEF GH leží uvnitř krychle AB 0 C 0 D0 EF 0 G0 H 0 a naopak. Povrchy obou krychlí se protínají v obdélníku AEY X, jehož nárysem je úsečka A2 Y2 .

Vrchol C krychle ABCDEF GH je nejvíce vzadu, proto je v nárysu neviditelný a s ním i hrany CB, CD a CG. Kromě toho jsou neviditelné hrany ležící uvnitř druhé krychle, tj. hrany AB a BF . Podobně je tomu i u krychle AB 0 C 0 D0 EF 0 G0 H 0 , neviditelné hrany jsou tedy C 0 B 0 , C 0 D0 , C 0 G0 , AB 0 a B 0 F 0 . V půdorysu je nejnižším vrcholem krychle ABCDEF GH vrchol D a nejnižším vrcholem krychle AB 0 C 0 D0 EF 0 G0 H 0 vrchol A. Tyto vrcholy jsou v půdorysu neviditelné a s nimi i hrany DA, DC, DH, AB 0 , AD0 , AE. Kromě toho jsou stejně jako v nárysu neviditelné hrany ležící uvnitř druhé krychle, tj. hrany AB, BF , AB 0 , B 0 F 0 a části hran BC, B 0 C 0 . V půdorysu je ještě neviditelná strana AX průniku AEY X.


1.2

25

Jehlan

Je dána rovina α, v ní konvexní n-úhelník ABC . . . a mimo ni bod V . Množina všech přímek, které procházejí bodem V a protínají n-úhelník ABC . . . , resp. jeho obvod, se nazývá n-boký jehlanový prostor, resp. n-boká jehlanová plocha. Těmto přímkám říkáme tvořící přímky. Bod V nazýváme vrcholem jehlanové plochy. Daný n-úhelník nazýváme řídícím mnohoúhelníkem, přímky procházející vrcholy řídícího mnohoúhelníka hranami, přímky protínající obvod řídícího mnohoúhelníka povrchovými přímkami (površkami). Množina všech přímek protínajících stranu řídícího mnohoúhelníku tvoří stěnu. Jehlanový prostor mezi rovinou α a bodem V je n-boký jehlan.3 Bod V nazýváme hlavním vrcholem jehlanu. Rovinu α naýváme rovinou podstavy, núhelník ABC . . . podstavou, jeho strany podstavnými hranami a jeho vrcholy spolu s hlavním vrcholem nazýváme vrcholy jehlanu. Části hran jehlanové plochy mezi rovinou α a hlavním vrcholem V nazýváme pobočnými hranami jehlanu. Části stěn jehlanové plochy mezi rovinou α a hlavním vrcholem V , kterými jsou trojúhelníky, nazýváme pobočnými stěnami jehlanu. Pobočné stěny tvoří plášť jehlanu, plášť a obě podstavy tvoří povrch jehlanu. Vzdálenost roviny podstavy a hlavního vrcholu nazýváme výškou jehlanu. Podobně jako u hranolu rozumíme povrchovou přímkou jehlanu (površkou) povrchovou přímku příslušného jehlanového prostoru. Je-li podstavou jehlanu pravidelný n-úhelník a pata kolmice vedené z hlavního vrcholu na rovinu podstavy je středem podstavy, nazýváme jehlan pravidelným n-bokým jehlanem. Má-li podstava jehlanu střed a pata kolmice vedené z hlavního vrcholu na rovinu podstavy je totožná s tímto středem, nazývá se jehlan kolmý. V opačném případě se jehlan nazývá kosý. Pravidelný jehlan je zřejmě jehlanem kolmým. Spojnici středu podstavy a hlavního vrcholu kolmého jehlanu nazýváme osou jehlanu. Trojbokému jehlanu říkáme čtyřstěn. Pokud jsou všechny strany čtyřstěnu tvořeny rovnostrannými trojúhelníky, jde o pravidelný čtyřstěn. Pravidelný čtyřstěn je tedy zvláštním případem pravidelného n-bokého jehlanu. Pata výšky pravidelného čtyřstěnu vedené z každého jeho vrcholu je totožná s těžištěm jeho protější stěny. Je-li bod T těžištěm trojúhelníka ABC, pak výšku v = |T D| pravidelného čtyřstěnu získáme např. z pravoúhlého trojúhelníka ADT s pravým úhlem při vrcholu T . V této části se zmíníme ještě o pravidelném osmistěnu. Lze si ho představit 3

Stejně jako u hranolu i zde se omezujeme se pouze na konvexní jehlan, tj. jehlan vzniklý z jehlanuvého prostoru, jehož řídící n-úhelník je konvexní. Existují i nekonvexní jehlany, která vznikají z jehlanového prostoru s nekonvexním řídícím n-úhelníkem.


26

jako dva shodné pravidelné čtyřboké jehlany „přilepenéÿ podstavani k sobě, jejichž pobočné strany jsou rovnostranné trojúhelníky. Pravidelný osmistěn má tedy osm stěn, dvanáct hran, šest vrcholů a tři stejně dlouhé a navzájem kolmé tělesové úhlopříčky protínající se ve středu osmistěnu. Z každého vrcholu vedou čtyři hrany. Všechny úhlopříčné řezy pravidelného osmistěnu jsou shodné čtverce s délkou strany rovnající se délce strany osmistěnu. Úhlopříčky těchto čverců jsou totožné s tělesovými úhlopříčkami.4 Rovnoběžným průmětem konvexního jehlanu je opět konvexní mnohoúhelník. Jeho obvod je zdánlivým obrysem průmětu jehlanu (krátce obrysem). Stejně jako u hranolu pokládáme povrch jehlanu za neprůhledný. Určování viditelnosti je u jehlanu obdodné jako u hranolu. Porovnáním z-ových, resp. y-ových, souřadnic vrcholů zjistíme, zda leží výše, resp. vpředu, podstava nebo hlavní vrchol jehlanu. U pravidelných jehlanů je vhodné porovnávat hlavní vrchol a střed podstavy. Leží-li hlavní vrchol výše než podstava, je podstava v půdorysu neviditelná, v opačném případě je viditelná. Je-li hlavní vrchol před podstavou, je podstava v nárysu neviditelná, v opačném případě je viditelná.

4

Pravidelný čtyřstěn a pravidelný osmistěn patří mezi pravidelná tělesa.


27

Příklad 1.17. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou v půdorysně, je-li dán její střed S[0; 4; 0] a vrchol A[−1; 7; 0] a výška jehlanu v = 7. Na povrchu tohoto jehlanu zobrazte body K[−1; 5; ?] a L[1, 5; ?; 2].

Řešení. Průmět jehlanu dostaneme tak, že sestrojíme průměty podstavy a pobočných hran. Podstava leží v půdorysně, proto je jejím půdorysem čtverec a nárysem úsečka D2 B2 ležící na základnici. Protože jde o kolmý jehlan, je jeho výška, tj. úsečka SV , kolmá k půdorysně. První průmět hlavního vrcholu splývá s prvním průmětem středu podstavy. V nárysu je úsečka SV kolmá na základnici a vidíme ji ve skutečné velikosti, tedy v = |SV | = |S2 V2 | = 7. V půdorysu jsou všechny vrcholy i hrany viditelné, v nárysu je neviditelná pouze hrana CV . Zbývající průměty bodů K a L odvodíme podobně jako u hranolu pomocí povrchových přímek. Nárys bodu K je odvozen pomocí povrchové přímky k. Bod L2 je nárysem dvou bodů L a L0 , které leží na površkách l a l0 . Postup je zřejmý z obrázku.


28

Příklad 1.18. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan výšky v = 6 s postavou v rovině α(−6; 6; 7), známe-li vrchol podstavy A[2, 5; ?; 7] a její střed S[1; 3; ?]. Hlavní vrchol jehlanu leží nad rovinou podstavy.

Řešení. Podstavou jehlanu je čtverec ABCD, pro který známe střed S a vrchol A. Sestrojíme ho např. v otočení roviny α kolem její půdorysné stopy pα do půdorysny. V bodě S sestrojíme osu o jehlanu, kterou je kolmice na rovinu podstavy α. Naneseme na ni délku v, např. ve sklopení přímky o do půdorysny, a dostaneme tak hlavní vrchol jehlanu V . Protože vrchol V má ležet nad rovinou podstavy, platí yV > yS , zV > zS a podstava jehlanu je v obou průmětech neviditelná. V půdorysu tedy není vidět vrchol C a v nárysu vrchol B.


29

Příklad 1.19. Jsou dány body A[−2; 2; 6], C[0; 6; 1] a P [4; 0; 0]. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s hlavním vrcholem V a podstavou ABCD v rovině ACP . Výška jehlanu je 6 a zV > zC .

Řešení. Sestrojíme stopy roviny α ≡ ACP . Jehlan sestrojíme podobně jako v příkladu 1.18. Podstava jehlanu je opět v obou průmětech neviditelná. V půdorysu je neviditelný vrchol C. V nárysu jsou všechny vrcholy na obvodu a neviditelná je pouze podstavná hrana AD.


30

Příklad 1.20. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan, je-li dána jeho osa o = ([−4; 0; 8], [6; 10; 0]), vrchol podstavy A[3; 6; 6, 5] a výška v = 7. Pro hlavní vrchol platí yV < yA .

Řešení. Bodem A proložíme kolmo k přímce o rovinu α = I h · II h, která je rovinou podstavy a sestrojíme její stopy. (Stačí sestrojit pouze jednu ze stop. Na obrázku je sestrojena půdorysná stopa.) Sestrojíme průsečík S přímky o s rovinou podstavy α. (Krycí přímkou je spádová přímka první osnovy I s.) V rovině α sestrojíme podstavu jehlanu, kterou je čtverec s vrcholem A a středem S. Na osu o naneseme od středu podstavy S délku v = 7 a dostaneme hlavní vrchol V . Hlavní vrchol jehlanu leží nad a za rovinou podstavy, proto je podstava v půdorysu neviditelná a v nárysu viditelná. V půdorysu tedy není vidět vrchol C a všechny hrany z něho vedoucí, v nárysu je neviditelná pouze hrana BV .


31

Příklad 1.21. Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan s podstavou v rovině α(8; 9; 8), je-li dán vrchol podstavy A[−1, 5; 7; ?] a hlavní vrchol V [−3; 1, 5; 1].

Řešení. Z vrcholu V spustíme kolmici o na rovinu podstavy α. Tato kolmice je osou jehlanu. Průsečík S roviny α a přímky o je středem podstavy. V rovině α sestrojíme pravidelný šestiúhelník se středem S a vrcholem A, který tvoří podstavu jehlanu. Protože platí yV < yS a zV < zS , je v obou průmětech podstava jehlanu viditelná. Největší z-ovou souřadnici má vrchol E, proto je v půdorysu pobočná hrana EV viditelná a pobočné hrany AV , BV , CV neviditelné. Největší y-ovou souřadnici má vrchol A, proto je v nárysu pobočná hrana AV viditelná a pobočné hrany CV , DV , EV neviditelné.


32

Příklad 1.22. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou v rovině α(6; 5; 7), je-li dán hlavní vrchol V [4; 9; 9] a bod M [0; 5; 8] ležící na pobočné hraně jehlanu.

Řešení. Osou o jehlanu je kolmice spuštěná z vrcholu V na rovinu podstavy α, jejich průsečík S je středem podstavy. Na přímce a = V M leží pobočná hrana AV , vrchol A dostaneme jako průsečík roviny podstavy α a přímky a. V rovině α sestrojíme čtverec se středem S a vrcholem A, který je podstavou jehlanu. Podstava je v obou průmětech neviditelná. V půdorysu není vidět vrchol C, v nárysu vrchol D.


33

Příklad 1.23. Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan s podstavou v rovině α(−7; 8; 9), středem podstavy S[0; ?; 3] a jednou pobočnou stěnou v půdorysně.

Řešení. Do půdorysny umístíme např. pobočnou stěnu ABV . Podstavná hrana AB pak musí ležet na půdorysné stopě pα roviny podstavy α a je v půdorysu zobrazena ve skutečné velikosti. Podstava je tvořena pravidelným šestiúhelníkem ABCDEF . Z vlastností pravidelného šestiúhelníku plyne, že hrana DE a uhlopříčka CF leží na hlavních přímkách první osnovy roviny α a jsou tedy v půdorysu také vidět ve skutečné velikosti. Šestiúhelník ABCDEF , pro který známe střed S a přímku pα na které leží jeho strana AB, sestrojíme v otočení roviny α do půdorysny kolem její půdorysné stopy pα . Otočené body A a B splývají se svými prvními průměty. V otočení stačí sestrojit pouze vrcholy A a B, ostatní vrcholy podstavy získáme z výše uvedených vlastností podstavy. Osou o jehlanu je kolmice ze středu podstavy na rovinu α. Stěna ABV má ležet v půdorysně, musí v ní tedy ležet i hlavní vrchol V jehlanu, který je půdorysným stopníkem přímky o. V obou průmětech je podstava viditelná. V půdorysu jsou neviditelné hrany AV a BV (leží v půdorysně, jsou tedy zřejmě nejníže). V nárysu jsou neviditelné hrany EV a F V .


34

Příklad 1.24. Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan, je-li dán hlavní vrchol V [−4; 8; 2], střed podstavy S[2; 4; 6], délka podstavné hrany a = 3 a jsou-ji dvě podstavné hrany rovnoběžné s nárysnou.

Řešení. Rovina podstavy α = I h · II h je rovina jdoucí bodem S kolmo k přímce o = SV – ose jehlanu. Podstavou je pravidelný šestiúhelník ABCDEF , jehož dvě strany, např. AB a DE, jsou rovnožné s nárysnou; leží tedy na hlavních přímkách druhé osnovy roviny α a jsou v nárysu vidět ve skutečné velikosti. Rovněž úhlopříčka CF leží na hlavní přímce druhé osnovy roviny α a je v nárysu vidět ve skutečné velikosti. Platí proto: |A2 B2 | = |D2 E2 | = a = 3, |C2 S2 | = |F2 S2 | = a = 3, |C2 F2 | = 2a. Vrcholy C a F umíme sestrojit a pro šestiúhelník ABCDEF známe jeho úhlopříčku CF a kružnici opsanou o poloměru 3. Ostatní vrcholy šestiúhelníku ABCDEF sestrojíme např. v otčení roviny α do nárysny kolem její nárysné stopy nα . Výhodné je otočit rovinu α do hlavní roviny kolem její hlavní přímky II h. Protože zV < zS a yV > yS , je v půdorysu podstava viditelná a v nárysu neviditelná a v půdorysu jsou tedy neviditelné pouze hrany BV , CV a v nárysu vrcholy A, B a všechny hrany z nich vedoucí.


35

Příklad 1.25. Zobrazte pravidelný čtyřstěn ABCD, jehož jedna stěna ABC leží v rovině α(6; 10; 4), A[−3, 5; 5; ?], B[0; 1, 5; ?], yC > yB >, zD > zA .

Řešení. V rovině α sestrojíme rovnostranný trojúhelník ABC a jeho těžiště T . Bodem T vedeme na rovinu podstavy α kolmici k, na které leží čtvrtý vrchol čtyřstěnu D. Na přímku k naneseme výšku v = |T D| čtyřstěnu. Výšku v získáme např. z pravoúhlého trojúhelníka AT D (v obrázku trojúhelník A0 T0 D). Protože zD > zA , leží vrchol D nad rovinou podstavy α. V půdorysu leží všechny vrcholy na obrysu, nejsou vidět stěny ABC a BCD, tedy hrana BC je neviditelná. V nárysu je vidět pouze stěna ACD, vrchol B a všechny hrany z něho vedoucí jsou proto neviditelné.


36

Příklad 1.26. Je dána přímka M N , M [−4; 2, 5; 2], N [6; 0; 6] a mimo ni bod A[0; 7; 6]. Zobrazte pravidelný čtyřstěn ABCD s hranou BC na přímce M N , zD > zA .

Řešení. Přímka M N a bod A určují rovinu α, v níž leží stěna ABC. Sestrojíme její stopy a čtyřstěn dokončíme stejně jako v příkladě 1.25. Ukážeme si ještě jiný postup, při kterém není třeba stopy sestrojovat. Tento způsob řešení je vyrýsován v obrázku. Protože platí zA = zN , leží body A, N na hlavní přímce první osnovy I h roviny α. Rovinu α otočíme kolem této hlavní přímky do hlavní roviny a v otočení sestrojíme rovnostranný trojúhelník ABC a jeho těžiště T . Známe první průmět těžiště T . Do nárysu ho můžeme přenést pomocí libovolné přímky ležící v rovině α, její nárys sestrojíme pomocí průsečíků s přímkami M N a I h. Protože potřebujeme znát směr hlavních přímek druhé osnovy, využijeme k přenesení bodu T do nárysu hlavní přímku druhé osnovy II h. V bodě T vztyčíme kolmici k na rovinu α a na ní sestrojíme vrchol D stejně jako v předchozím příkladě. V půdorysu je neviditelná hrana BC, v nárysu jsou všechny hrany viditelné.


37

Příklad 1.27. Zobrazte pravidelný osmistěn ABCDEF se středem v bodě S[0; ?; 4], jehož čtvercový řez ABCD leží v rovině ρ(8; 6; 9), A[−1, 5; ?; 7].

Řešení. Střed S pravidelného osmistěnu je zároveň středem čtvercového řezu ABCD tohoto osmistěnu. V rovině ρ sestrojíme čverec ABCD, pro nějž známe střed S a vrchol A. Bodem S vedeme osu o osmistěnu kolmo na rovinu ρ. Na osu o naneseme od bodu S na obě strany délku, která je rovna polovině délky úhlopříčky čtverce ABCD, a tím dostaneme zbývající vrcholy osmistěnu E a F . Nejnižším vrcholem osmistěnu je vrchol C, proto není v půdorysu tento bod a všechny hrany z něho vedoucí vidět. V nárysu leží všechny vrcholy na obrysu. Neviditelné hrany jsou na stěně ADF , která leží nejvíce vzadu. V nárysu jsou tedy neviditelné hrany AD, AF a DF .


38

Příklad 1.28. Zobrazte pravidelný osmistěn, je-li dána jeho osa o = ([−5; 0; 8], [5; 10; 0]) a vrchol A[−0, 5; 8; 7].

Řešení. Bodem A proložíme rovinu ρ = I h · II h kolmo na osu o. Sestrojíme průsečík S roviny ρ a osy o, který je středem osmistěnu. V rovině ρ sestrojíme čtverec ABCD se středem S. Zbývající vrcholy E a F leží na ose o ve vzdálenosti rovnající se polovině délky úhlopříčky čtverce ABCD. V půdorysu nejsou vidět hrany CD, CF a DF (stěna CDF je nejnišží stěnou osmistěnu). V nárysu jsou neviditelné hrany BC, BE a CE (stěna BCE je leží nejvíce vzadu).


39

Příklad 1.29. Zobrazte pravidelný osmistěn, jehož úhlopříčka leží na přímce o = M N , M [−4; 7; 7], N [5; 2; 0] a jedním vrcholem je bod A[0; 2; 7].

Řešení. Pro osmistěn známe osu o a vrchol A a můžeme ho sestrojit stejně jako v předchozím příkladě. Ukážeme si ještě jiný způsob řešení. Přímka M N a bod A určují rovinu σ, ve které leží čtvercový řez AECF . Body A, M určují hlavní přímku první osnovy I h roviny σ a body A, N hlavní přímku druhé osnovy II h roviny σ. V rovině σ sestrojíme čtverec AECF , pro který známe vrchol A a víme, že úhlopříčka EF leží na přímce M N . Střed S čtverce AECF je středem celého osmistěnu. Výhodnější je provést konstrukci v otočení do hlavní roviny kolem hlavní přímky, protože nemusíme sestrojovat stopy roviny σ. V obrázku je rovina σ otočena kolem hlavní přímky druhé osnovy II h. Středem osmistěnu S vedeme kolmici k na rovinu σ. Přímka k je další osou osmistěnu a leží na ní vrcholy B a D. Dostaneme je nanesením délky, která je rovna polovině délky úhlopříčky čtverce AECF , na přímku k od středu S. Nejnišží stěnou osmistěnu je stěna BCF , proto jsou hrany BC, BF a CF v půdorysu neviditelné. Stěna ABF je nejvíce vzadu, v nárysu jsou proto neviditelné hrany AB, AF a BF .


40

Příklad 1.30. Je dána přímka m = ([−6; 9; 7], [1; 0; 7]) a mimo ni bod S[0; 5; 5]. Zobrazte pravidelný osmistěn se středem v bodě S a jednou hranou na přímce m.

Řešení. Přímka m a bod S určují rovinu ρ. Přímka m je hlavní přímkou první osnovy této roviny. V rovině ρ leží čtvercový řez ABCD, jehož strana AB leží na přímce m. Čtverec ABCD sestrojíme v otočení roviny ρ do hlavní roviny kolem hlavní přímky m. V obrázku jsou sestrojeny v otočení pouze vrcholy A a B, vrcholy C a D jsou s nimi souměrné podle středu S. Vrcholy E a F sestrojíme podobně jako v předchozích příkladech. Abychom mohli v bodě S vztyčit kolmici o na rovinu ρ, musíme znát směr hlavních přímek druhé osnovy. Sestrojíme proto v rovině ρ libovolnou hlavní přímku druhé osnovy. V obrázku je sestrojena hlavní přímka druhé osnovy II h jdoucí středem S. Vrchol A je nejvíce vzadu, proto je vrchol A a všechny hrany z něho vedoucí v nárysu neviditelný. V půdorysu jsou neviditelné hrany CD, CF a DF , protože stěna CDF je nejnižší stěnou osmistěnu.


1.3

41

Válec

Pojmy válcová plocha, válcový prostor a válec jsou obdobné pojmům hranolová plocha, hranolový prostor a hranol. Dostaneme je tak, že nahradíme řídící n-úhelník řídící křivkou. Omezíme se na případ, kdy je řídící křivkou kružnice. Kruhová válcová plocha (stručně válcová plocha), resp. kruhový válcový prostor (stručně válcový prostor ), je množina všech přímek (tvořící přímky) rovnoběžných s danou přímkou s, které protínají danou kružnici k ležící v rovině α různoběžné s přímkou s, resp. kruh omezený touto kružnicí. Kružnici k nazýváme řídící kružnicí, tvořící přímky protínající kružnici k povrchovými přímkami (površkami). Každá rovina α0 rovnoběžná s rovinou α protíná válcovou plochu v kružnici k 0 , která je shodná s řídící kružnicí k. Všechny takové kružnice nazýváme povrchovými kružnicemi. Řídící kružnice je zřejmě také povrchovou kružnicí. Středy všech povrchových kružnic leží na přímce o, která je rovnoběžná s přímkou s a nazýváme ji osou. Je-li osa o kolmá na rovinu řídící kružnice, mluvíme o rotační válcové ploše, resp. rotačním válcovém prostoru. Rotační válcová plocha vzniká také rotací přímky kolem osy o, která je s ní rovnoběžná (a od ní různá). Všechny povrchové přímky rotační válcové plochy mají od osy o stejnou vzdálenost. Válcový prostor mezi rovnoběžnými rovinami α a α0 , α 6= α0 , je kuhový válec (stručně válec). Roviny α a α0 nazýváme rovinami podstavy, kruhy omezené kružnicemi k a k 0 podstavami, kružnice k a k 0 podstavnými hranami. Pojmy povrchové přímky, povrchové kružnice a osy přenášíme i na válec. Osou válce je zřejmě spojnice středů podstav. Část válcové plochy mezi rovinami α a α0 tvoří plášť válce, plášť a obě podstavy tvoří povrch válce. Výškou v válce rozumíme vzdálenost rovin podstav. Rotační válec neboli kolmý má osu kolmou na rovinu podstavy. Vzniká tedy z rotačního válcového prostoru. Rotační válec vzniká také rotací obdélníku kolem přímky procházející jeho stranou nebo sřední příčkou. Poloměr r rotačního válce je poloměr jeho podstavy. Rotační válec se nazývá rovnostranný, je-li jeho osovým řezem čtverec, tedy platí-li v = 2r. Válec, jehož osa není kolmá na rovinu podstavy je kosý. Při sestrojování kolméko průmětu válce sestrojíme průměty obou podstav a osu válce, tj. směr povrchových přímek. Potom sestrojíme společné tečny průmětů podstav, ktré jsou rovnoběžné s průmětem osy válce. Tyto tečny jsou zřejmě průměty dvou površek válce. Obrys válce tvoří části těchto tečen, které leží mezi dotykovými body s průměty podstav, a oblouky průmětů podstavných hran, jejichž krajními body jsou body dotyku těchto tečen


42

s průměty podstavných hran. Porovnáním z-ových, resp. y-ových souřadnic středů podstav určíme, která podstava válce leží výše, resp. vpředu. Podstava ležící výše, resp. vpředu, je v půdorysu, resp. v nárysu, viditelná, druhá podstava je neviditelná. Je-li podstava viditelná, je viditelná i celá podstavná hrana. Je-li podstava neviditelná, je neviditelná ta část podstavná hrany, krerá leží uvnitř obrysu válce. Podél každé povrchové přímky p válcové plochy se jí dotýká právě jedna rovina τ , která se nazývá tečná rovina. Kromě povrchové přímky válcové plochy, podél které se jí tečná rovina dotýká, nemá tečná rovina s válcovou plochou splolečný žádný jiný bod. Tečná rovina je rovnoběžná s povrchovými přímkami válcové plochy a je určena přímkou p a tečnou t libovolné povrchové kružnice k v bodě T = p ∩ k. Přímka t0 , která není rovnoběžná se směřem povrchových přímek a má s válcovou plochou společný právě jeden bod, se nazývá tečna. Společný bod T tečny t0 a válcové plochy se nazává bod botyku. Tečna válcové plochy leží v tečné rovině, která se dotýká válcové plochy podél povrchové přímky procházející bodem dotyku tečny. Tečnou rovinu a tečnu převádíme i na válec.


43

Příklad 1.31. Zobrazte šikmý kruhový válec poloměru r = 3, jehož jedna podstava se středem S[−4; 4; 0] leží v půdorysně, středem druhé podstavy je bod S 0 [4; 8; 7]. Dále zobrazte body A[−1; 8; ?], B[0; ?; 4] ležící na plášti tohoto válce.

Řešení. Podstavy válce leží v půdorysně a v rovině s ní rovnoběžné, proto jsou půdorysy podstav kruhy ohaničené kružnicemi k1 (S1 , r = 3), k10 (S10 , r = 3), nárysy jsou úsečky k2 , k20 velikosti 2r se středy S2 , S20 . Půdorysný obrys válce tvoří kromě polovin kružnic k1 , k10 ještě jejich společné tečny (rovnoběžné s prvním průmětem osy válce). Nárysným obrysem válce je rovnoběžník, jehož dvě protější strany jsou úsečky k2 , k20 (další dvě strany jsou rovnoběžné s druhým průmětem osy válce). Podstava se středem S leží výše než podstava se středem S 0 , a proto je v půdorysu neviditelná. Zbývající průměty bodů A, B odvodíme pomocí povrchových přímek. Bod A leží na površce a, sestrojíme ji pomocí jejího průsečíku s obvodem podstavy. Bod A1 je zřejmě půdorysem také bodu A0 , který leží na površce a0 . Rovněž bod B2 je nárysem dvou bodů B a B 0 ležících na površkách b a b0 .


44

Příklad 1.32. Zobrazte rotační válec, jehož jedna podstava se středem S[0; 4; 0] leží v půdorysně, poloměr válce je r = 3 a jeho výška je v = 7. Dále veďte bodem M [1; 9; 5] tečné roviny k tomuto válci.

Řešení. Podstavy válce leží v půdorysně a v rovině s ní rovnoběžné, osa o válce je kolmá k půdorysně. Osa válce se v půdorysu promítá do bodu, který je zároveň půdorysem středů S, S 0 podstav válce. Střed S 0 druhé podstavy leží na ose válce ve vzdálenosti v = 7 od bodu S a úsečku SS 0 vidíme v nárysu ve skuteční velikosti, tedy v = |SS 0 | = |S2 S20 | = 7. Prvním průmětem obvodu podstav je kruh o poloměru r a středu S1 = S10 . Kružnice k1 = k10 , která tento kruh omezuje, je půdorysem obou podstavných hran k, k 0 a je zárověň půdorysným obrysem válce. Nárysy podstavných hran k, k 0 jsou úsečky k2 , k20 velikosti 2r se středy S2 , S20 . Nárysem válce je obdélník, jehož dvě protější strany jsou úsečky k2 , k20 , zbývající dvě strany mají velikost v. Hledaná tečná τ rovina je rovnoběžná s osou válce. Přímka m, která prochází bodem M rovnoběžně s osou o, leží nutně v hledané tečné rovině τ . Proto v ní leží i průsečík P přímky m s rovinou libovolné povrchové kružnice válce. Průsečnice této roviny a roviny τ zřejmě prochází bodem P , je tečnou zvolené povrchové kružnice a spolu s přímkou m určuje tečnou rovinu τ .


45

Za povrchovou kružnici zvolíme podstavnou hranu k ležící v půdorysně. Bodem M vedeme přímku m rovnoběžně s osou válce a najdeme její půdorysný stopník P . Tečna kružnice k procházející bodem P je půdorysnou stopou pτ hledané tečné roviny τ , která je kolmá k půdorysně. Povrchová přímka t, ve které se tečná rovina τ dotýká válce, prochází bodem dotyku T tečny pτ a kružnice k. Protože bodem P procházejí dvě tečny kružnice k, existují dvě různé tečné roviny τ , τ 0 , které jsou řešením úlohy.

Příklad 1.33. Zobrazte rotační válec, který má výšku v = 8. Jedna jeho podstava leží v rovině α = (7; 6; 5), střed má v bodě S[−2; ?; 3] a jeden bod na jejím obvodu je bod M [−2; 6; ?]. Druhá podstava leží nad rovinou α.

Řešení. V rovině α sestrojíme podstavu válce, jehož obvod tvoří kružnice k se středem S a poloměrem rovným délce úsečky SM . Délku úsečky SM zjistíme např. sklopením do nárysny. Průměty podstavné hrany k jsou elipsy k1 , k2 . V bodě S vztyčíme kolmici o na rovinu podstavy α. Přímka o je osou


46

válce. Na osu o naneseme od bodu S délku v = 8 a dostaneme tak střed S 0 druhé podstavy válce, jejíž obvod tvoří kružnice k 0 shodná s kružnicí k. Abychom získali první a druhý obrys válce, sestrojíme společné tečny elips k1 , k10 a společné tečny elips k2 , k20 . Podstava se středem S 0 leží nad rovinou α, proto platí yS 0 > yS , zS 0 > zS a tato podstava je v obou průmětech viditelná.

Příklad 1.34. Zobrazte rotační válec, je-li dána jeho osa o = ([−1, 5; 3; 0], [−3; 0; −5]), bod M [1; 2, 5; 3, 5] ležící na dolní podstavné hraně a výška v = 6.

Řešení. Bodem M proložíme rovinu α = I h · II h kolmo k přímce o. Sestrojíme průsečík S roviny α a přímky o. Rovina α je rovinou jedné podstavy válce a bod S je středem této podstavy. Podstavnou hranou je kružnice k se středem S a poloměrem |SM |. Střed S 0 druhé podstavy leží na ose o ve vzdálenosti v = 6 od bodu S. Protože podstava se středem S má být dolní, musí pro bod S 0 platit yS 0 > yS , zS 0 > zS . Podstava se středem S 0 je pak v obou průmětech neviditelná.


47

Příklad 1.35. Zobrazte rotační válec, pro který jsou dány středy jeho podstav S[2; 4; 5], S 0 [−2; 7; 3] a bod M [0; 7; 6] ležící na plášti tohoto válce.

Řešení. Přímka o = SS 0 je osou hledaného válce. Sestrojíme rovinu α = I h · II h jedné podstavy válce, která prochází bodem S kolmo k přímce o. Protože bod M leží na plášti válce, prochází jím povrchová přímka m. (Přímka m je rovnoběžní s osou o a kolmá k rovině α.) Pomocí krycí přímky, za kterou jsou zvolili spádovou přímku první osnovy I s roviny α, sestrojíme průsečík A přímky m a roviny α. Bod A leží na podstavné hraně válce. V rovině α sestojíme kružnici k(S, |SA|), která tvoří podstavnou hranu válce. Výška válce je dána velikostí úsečky SS 0 . Protože platí yS < yS 0 , zS > zS 0 , je podstava se středem S v půdorysu viditelná a v nárysu neviditelná.


48

Příklad 1.36. Zobrazte rotační válec, je-li dána rovina α(6; 5; 6) jedné podstavy, střed S[−2; 3; ?] této podstavy a bod M 0 [2; 6; 10], který leží na obvodu druhé podstavy.

Řešení. Bodem M 0 vedeme přímku m kolmo k rovině podstavy α. Přímka m je povrchovou přímkou hledaného válce. Průsečík M přímky m a roviny α je bodem podstavné hrany ležící v rovině α. Bod M jsme sestrojili pomocí krycí přímky, kterou je spádová přímka první osnovy I s roviny α. V rovině α sestrojíme podstavnou hranu válce, kterou je kružnice k(S, |SM |). Výška válce je rovna velikosti úsečky M M 0 . Ve středu S vztyčíme kolmici o na rovinu podstavy α. Kolmice o je osou válce. Střed S 0 druhé podstavy leží na ose válce ve vzdálenosti |M M 0 | od bodu S. Protože platí yS < yS 0 , zS < zS 0 , je podstava se středem S v obou průmětech neviditelná.


49

Příklad 1.37. Jsou dány tři rovnoběžné přímky a, b, c. Přímka a je určena body A[1; 1; 6, 5] a A0 [−3; 5, 5; 10], přímka b bodem [3; 6; 7] a přímka c bodem [−1; 7, 5; 4, 5]. Zobrazte rotační válec takový, aby bod A ležel na hraně jedné podstavy, bod A0 na hraně druhé podstavy a přímky a, b, c tvořily povrchové přímky válce.

Řešení. Bodem A proložíme rovinu α = I h· II h, která je kolmá na přímky a, b, c. Rovina α je rovinou jedné podstavy. Sestrojíme průsečík B přímky b a roviny α (krycí přímka l) a průsečík C přímky c a roviny α (krycí přímka m). Body B, C leží na téže podstavné hraně jako bod A. Podstavnou hranou je kružnice k, která je kružnicí opsanou trojúhelníku ABC. Kružnici k a její střed S sestrojíme např. v otočení roviny podstavy α kolem její půdorysné stopy pα do půdorysny. Bod S je středem podstavy ležící v rovině α, její poloměr je r = |SA| = |SB| = |SC|. Bodem S vedeme na rovinu α kolmici o, která je osou válce. Střed S 0 druhé podstavy leží na ose o. Protože bod A0 leží na druhé podstavné hraně,


50

je délka úsečky AA0 rovna výšce válce. Střed S 0 druhé podstavy leží na ose o. Protože platí yS < yS 0 , zS < zS 0 , je podstava se středem S v obou průmětech neviditelná. Při řešení jsme mohli také začít sestrojením druhé podstavy, která leží v rovině α0 jdoucí bodem A0 kolmo k přímkám a, b, c.

Příklad 1.38. Jsou dány dvě mimoběžky a = ([−6; 9; 0], [1; 0; 4]), b = ([1; 5; 8], [3; 11; 0]). Zobrazte rovnostranný válec, pro který jsou přímky a, b průměry jeho podstav.

Řešení. Přímky a, b jsou průměry podstav válce, musí proto ležet ve dvou rovnoběžných rovinách, které jsou rovinami podstav válce. Zárověň osa válce je kolmá na tyto roviny a protíná přímky a, b ve středech podstav válce. Úloha tedy vede na sestrojení osy mimoběžek a, b. Osu mimoběžek sestrojíme následujícím způsobem. Libovolným bodem A přímky a vedeme přímku b0 k b. Přímky a, b0 určují rovinu α. Na přímce b zvolíme libovolný bod B a najdeme patu K kolmice k¯ spuštěné z bodu B na rovinu α. Bodem K vedeme přímku b00 k b a najdeme průsečík S přímek a,


51

b00 . Kolmice o k rovině α vedená bodem S protíná přímku b v bodě S 0 a je hledanou osou mimoběžek a, b. Rovina α je pak rovinou jedné podstavy válce, osa o je osou válce, body S, S 0 jsou středy podstav a délka úsečky SS 0 je výškou v válce. Protože válec je rovnostranný, platí v = 2r, kde r je poloměr podstavy válce. Délku r získáme např. sklopením úsečky SS 0 do nárysny. Sestrojíme podstavnou hranu válce, kterou je kružnice k(S, r) v rovině α, druhou podstavnou hranou je kružnice k 0 (S 0 , r). Protože platí yS < yS 0 , zS < zS 0 , je podstava se středem S v obou průmětech neviditelná.


1.4

52

Kužel

Pojmy kuželová plocha, kuželový prostor a kužel jsou obdobné pojmům jehlanová plocha, jehlanový prostor a jehlan. Dostaneme je tak, že nahradíme řídící n-úhelník řídící křivkou. Omezíme se na případ, kdy je řídící křivkou kružnice. Množina všech přímek procházejících daným bodem V a protínajících danou kružnici k, která leží v rovině α neprocházející bodem V , resp. kruh omezený touto kružnicí, se nazývá kruhová kuželová plocha (stručně kuželová plocha), resp. kruhový kuželový prostor (stručně kuželový prostor ). Kružnici k nazýváme řídící kružnicí, tvořící přímky protínající kružnici k povrchovými přímkami (površkami) a bod V vrcholem kuželové plochy, resp. kuželového prostoru. Rovina rovnoběžná s rovinou α a neprocházející vrcholem V protíná kuželovou plochu v kružnici, kterou nazýváme povrchovou kružnicí. Středy všech povrchových kružnic leží na přímce o, která prochází vrcholem V a nazýváme ji osou. Je-li osa o kolmá na rovinu řídící kružnice, mluvíme o rotační kuželové ploše, resp. rotačním kuželovém prostoru. Rotační kuželová plocha vzniká také rotací přímky kolem osy o, která je s ní různoběžná (a není k ní kolmá). Kuželový prostor mezi rovinou α a bodem V je kruhový kužel (stručně kužel ). Rovinu α nazýváme rovinou podstavy, kruh omezený kružnicí k podstavou, kružnici k podstavnou hranou a bod V vrcholem kužele. Pojmy povrchové přímky, povrchové kružnice a osy přenášíme i na kužel. Osou kužele je zřejmě spojnice středu podstavy a vrcholu kužele. Část kuželové plochy mezi rovinou α a vrcholem V tvoří plášť kužele, plášť a podstava tvoří povrch kužele. Vzdálenost vrcholu od roviny podstavy je výškou v kužele. Rotační kužel neboli kolmý má osu kolmou na rovinu podstavy. Vzniká tedy z rotačního kuželového prostoru. Rotační kužel vzniká také rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jeho odvěsny, nebo rotací rovnoramenného trojúhelníka kolem jeho výšky na základnu. Poloměrem r rotačního kužele je poloměr jeho podstavy. Kužel, jehož osa není kolmá na rovinu podstavy, je kosý. Rotační kužel se nazývá rovnostranný, je-li jeho každým osovým √ řezem rovnostranný trojúhelník s délkou strany 2r, tedy platí-li v = r 3. Jedním vrcholem tohoto trojúhelníka je vrchol kužele a jeho protější strana je průměrem podstavy, zbylé dvě strany trojúhelníka jsou tvořeny površkami kužele. Při zobrazování kužele sestrojíme průmět podstavy a vrcholu kužele. Ležíli průmět vrcholu uvnitř průmětu podstavné hrany nebo na ní, je obrysem kužele průmět podstavné hrany. Leží-li průmět vrcholu vně průmětu pod-


53

stavné hrany, vedeme z průmětu vrcholu tečny k průmětu podstavné hrany. Tyto tečny jsou zřejmě průměty dvou površek kužele. Obrys kužele tvoří části těchto tečen, které leží mezi průmětem vrcholu kužele a dotykovými body, a obloukem průmětu podstavné hrany, který leží dále od průmětu vrcholu a jehož krajními body jsou body dotyku těchto tečen. Porovnáním z-ových, resp. y-ových, souřadnic středu podstavy a vrcholu kužele zjistíme, zda leží výše, resp. vpředu, podstava nebo vrchol kužele. Ležíli vrchol výše než podstava, resp. před podstavou, je podstava v půdorysu, resp. v nárysu, neviditelná. V opačném případě je viditelná. Je-li podstava viditelná, je viditelná i celá podstavná hrana. Je-li podstava neviditelná, je neviditelná ta část podstavná hrany, která leží uvnitř obrysu kužele. Podél každé povrchové přímky p kuželové plochy se jí doptýká právě jedna tečná rovina τ . Tečná rovina má s kuželovou plochou společnou právě jen tu površku, podél které se jí dotýká a zřejmě prochází vrcholem kuželové plochy. Tečná rovina je určena površkou p a tečnou t libovolné povrchové kružnice k v bodě T = p ∩ k. Přímka t0 , která neprochází vrcholem kuželové plochy a má s kuželovou plochou společný právě jeden bod, se nazývá tečna. Společný bod T tečny t0 a válcové plochy se nazývá bod dotyku. Tečna kuželové plochy leží v tečné rovině, která se dotýká kuželové plochy podél povrchové přímky procházející jejím bodem dotyku. Tečnou rovinu a tečnu převádíme i na kužel.


54

Příklad 1.39. Rotační kužel má výšku v = 8 a jeho podstava se středem S[0; 5; 0] a poloměrem r = 4 leží v půdorysně. Vrchol kužele leží nad půdorysnou. Sestrojte jeho sdružené průměty a zobrazte oba průměty bodů A[−1; 6; ?] a B[1, 5; ?; 2], které leží na plášti tohoto kužele.

Řešení. Podstava kužele leží v půdorysně, proto je jejím půdorysem kruh ohraničený kružnicí k1 (S1 , r = 4), nárysem je úsečka k2 velikosti 2r se středem S2 . Protože jde o rotační kužel, je úsečka SV kolmá k půdorysně. První průmět hlavního vrcholu splývá s prvním průmětem středu podstavy. V nárysu je úsečka SV kolmá na základnici a vidíme ji ve skutečné velikosti, tedy v = |SV | = |S2 V2 | = 8. Půdorysem celého kužele je kruh ohraničený kružnicí k1 . Nárysem kužele je rovnoramenný trojúhelník, jehož základnu tvoří nárys podstavy a ramena nárysy površek t a s, které jsou rovnoběžné s nárysnou. Zbývající průměty bodů A, B odvodíme pomocí povrchových přímek. Nárys bodu A je odvozen pomocí povrchové přímky a. Bod B2 je nárysem dvou bodů B a B 0 , které leží na površkách b a b0 . Bod A leží na povrchové kružnici m. Jeho druhý průmět lze odvodit také pomocí této povrchové kružnice. Podobně lze odvodit první průměty bodů B, B 0 , které oba leží na povrchové kružnici n.


55

Příklad 1.40. Zobrazte rotační kužel s podstavou v půdorysně, středem podstavy S[0; 3; 0], poloměrem podstavy r = 2, 5, výškou v = 5 a vrcholem nad půdorysnou. K tomuto kuželi veďte tečné roviny bodem M [3; 8; 1].

Řešení. Kužel sestrojíme stejně jako v příkladě 1.39. Každá tečná rovina kužele prochází jejím vrcholem V . Protože v hledané tečné rovině τ leží body M a V , musí v ní nutně ležet i přímka m = M V a její průsečík P s rovinou libovolné povrchové kružnice kužele. Průsečnice této roviny a roviny τ zřejmě prochází bodem P , je tečnou zvolené povrchové kružnice a spolu s přímkou m určuje tečnou rovinu τ . Za povrchovou kružnici zvolíme podstavnou hranu k ležící v půdorysně. Sestrojíme přímku m = M V a najdeme její půdorysný stopník P . Tečna kružnice k procházející bodem P je půdorysnou stopou pτ hledané tečné roviny τ . Nárysná stopa nτ tečné roviny τ prochází nárysným stopníkem N přímky m. Tečná rovina τ se dotýká kužele v povrchové přímce t, která prochází bodem dotyku T tečny pτ a kružnice k. Ke kružnici k existují dvě tečny jdoucí bodem P , a proto existují i dvě různé tečné roviny τ , τ 0 , které jsou řešením úlohy.


56

Příklad 1.41. Zobrazte rotační kužel výšky v = 6, jehož podstava se středem S[0; ?; 3] leží v rovině α(6; 5; 6). Podstavná hrana prochází bodem M [0; 4; ?] a pro vrchol V kužele platí zV > zS .

Řešení. V rovině α sestrojíme podstavnou hranu, jíž je kružnice k(S, r = |SM |), jejími průměty jsou elipsy k1 a k2 . Velikost úsečky SM získáme např. sklopením. Osa o kužele prochází středem podstavy S a je kolmá na rovinu podstavy α. Na osu o naneseme od bodu S délku v = 6 a dostaneme tak vrchol V kužele. Abychom získali první a druhý obrys kužele, sestrojíme z bodu v1 tečny k elipse k1 a z bodu v2 tečny k elipse k2 . Vrchol kužele leží před a nad rovinou podstavy, proto je v obou průmětech podstava neviditelná.


57

Příklad 1.42. Zobrazte rotační kužel, s podstavou v rovině α(−7; 6; 5). Podstavná hrana se středem v bodě S[0; ?; 2] se dotýká půdorysny. Výška kužele je v = 6 a jeho vrchol V leží nad rovinou podstavy.

Řešení. Podstavná hrana, kterou je kružnice k se středem S, se má dotýkat půdorysny, má s ní tedy společný právě jeden bod T . Protože kružnice k leží zárověň v rovině α, leží bod dotyku T na půdorysné stopě pα roviny α. Přímka pα je tedy tečnou kružnice k a jejich bod dotyku T leží na kolmici z bodu S k přímce pα , tj. na spádové přímce první osnovy I s roviny α. První průmět bodu T1 je vedlejším vrcholem elipsy k1 , která je prvním průmětem kružnice k. Osa kužele prochází bodem S a je kolmá na rovinu α. Vrchol V kužele leží na ose o ve vzdálenosti v = 6 od středu podstavy S. Protože vrchol V má ležet nad rovinou podstavy, musí platit zV > zS , yV > yS a podstava je v obou průmětech nevitelná.


58

Příklad 1.43. Zobrazte rotační kužel, je-li dána jeho osa o = ([−3; 9; 7, 5], [4, 5; 1, 5; 0]), bod M [−1; 9, 5; 4] podstavné hrany a výška v = 8. Vrchol V kužele leží pod rovinou podstavy.

Řešení. Bodem M proložíme kolmo k přímce o rovinu α = I h · II h, která je rovinou podstavy, její stopy není třeba sestrojovat. Sestrojíme průsečík S přímky o s rovinou podstavy α. (Krycí přímkou je spádová přímka první osnovy I s.) V rovině α sestrojíme podstavu kužele, kterou je kruh se středem S a poloměrem |SM |. (Poloměr podstavy získáme např. sklopením úsečky SM do půdorysny.) Vrchol V jehlanu dostaneme nanesením délky v = 8 na osu o nanesema od středu podstavy S. Protože vrchol V kužele leží pod rovinou podstavy, platí yS > yV , zS > zV a podstava je v obou průmětech viditelná.


59

Příklad 1.44. Zobrazte rovnostranný kužel, je-li dán jeho vrchol V [−3; 6; 2] a střed S[1; 4; 5] podstavy.

Řešení. Známe osu o = SV kužele, jeho vrchol V a střed podstavy S. Podstava kužele leží v rovině α = I h · II h, která prochází bodem S kolmo k ose o. Pro sestrojení kužele potřebujeme znát ještě poloměr podstavy. Ten získáme, sestrojíme-li libovolný osový řez kužele, tj. rovnostranný trojúhelník s délkou strany 2r a jedním vrcholem V . Nejvýhodnější je sestrojit ten trojúhelník, který leží v jedné z promítacích rovin přímky o. Sestrojíme např. rovnostranný trojúhelník KLV ležící v první promítací rovině přímky o. Pro trojúhelník KLV známe jeho výšku, kterou je úsečka SV , umíme ho tedy sestrojit. Sestrojíme ho ve sklopení první promítací roviny přímky o do půdorysny. Vrcholy K, L leží na spádové přímce první osnovy I s roviny podstavy α a zároveň na podstavné hraně kužele. Bod K je nejnižším bodem kružnice k a bod L je jejím nejvyšším bodem vzhledem k půdorysně. Půdorysy K1 , L1 bodů K, L jsou vedlejšími vrcholy elipsy k1 , která je půdorysem podstavné hrany k. Nárysy K2 , L2 bodů K, L můžeme sestrojit jako body dotyku elipsy k2 a tečen, které jsou rovnoběžné s osou x12 . Protože platí yS < yV , zS > zV , je podstava v půdorysu viditelná a v nárysu neviditelná.


60

Příklad 1.45. Zobrazte rotační kužel, známe-li jeho vrchol V [−3; 1; 8, 5], střed podstavy S[1; 5; 2, 5] a bod M [−0, 5; 4, 5; 6] ležící na plášti tohoto kužele.

Řešení. Osou kužele je přímka o = SV a rovinou podstavy je rovina α = I h · II h, která prochází bodem S a je kolmá k ose o. Sestrojíme povrchovou přímku m kužele, tj. přímku m = M V . Její průsečík A s rovinou podstavy α, který sestrojíme např. pomocí krycí přímky l, leží na podstavné hraně kužele. V rovině α sestrojíme podstavnou hranu, tj. kružnici k, která má střed v bodě S a prochází bodem A a dokončíme obrys kužele. Protože platí yS > yV , zS < zV , je podstava v půdorysu neviditelná a v nárysu viditelná.


61

Příklad 1.46. Je dána rovina α(−8; 8; 7) a přímka a = U V , U [−1; 8; 2, 5], V [2, 5; 1, 5; 0, 5]. Zobrazte rotační kužel s vrcholem V , který má podstavu v rovině α a přímka a je jeho povrchovou přímkou.

Řešení. Sestrojíme osu o kužele, kterou je přímka procházející vrcholen V kolmo na rovinu α. Dále sestrojíme body A a S. Bod A je průsečíkem roviny podstavy α a povrchové přímky a, bod S je průsečíkem roviny podstavy α a osy o. V rovině α sestrojíme podstavu kužele, která je ohraničena kružnicí k se středem v bodě S a procházející bodem A. Protože yS > yV , zS > zV , je podstava v obou průmětech viditelná.


62

Příklad 1.47. Zobrazte těleso, které vznikne rotací trojúhelníka ABC kolem strany AB. a) A[−3; 1; 8] B[4; 8, 5; 2], C[1; 7; 6, 5], b) A[4; 1; 8], B[1; 4; 6], C[−2; 5; 2].

Řešení. a) Rotací trojúhelníka ABC vznikne rotační dvojkužel, tj. dva kužele se společnou podstavou. Jeden kužel má vrchol v bodě A, druhý kužel má vrchol v bodě B. Osou obou kuželů je zřejmě osa rotace o = AB. Společná podstavná hrana prochází bodem C. Bodem C proložíme rovinu α = I h · II h kolmo k přímce o. Sestrojíme průsečík S přímky o s rovinou α. Bod S je středem společné podstavy, která leží v rovině α a je ohraničena kružnicí k procházející bodem C. V půdorysu zakrývá část podstavné hrany k kužel s vrcholem A, v nárysu zakrývá část podstavné hrany k kužel s vrcholem B.


63

b) Rotací trojúhelníka ABC vzniknou opět dva rotační kužele se společnou podstavou, jeden s vrcholem v bodě A, druhý s vrcholem v bodě B. Kužel s vrcholem B leží uvnitř kužele s vrcholem A. Osou obou kuželů je opět osa rotace o = AB a společná podstavná hrana prochází bodem C. Společnou podstavu sestrojíme stejně jako v případě a). Protože kužel s vrcholem B leží uvnitř druhého kužele, jsou tečny tvořící jeho obrys v obou průmětech neviditelné. Viditelnost společné podstavy můžeme určit jako viditelnost podstavy kužele s vrcholem A, tedy v půdorysu je společná podstava neviditelná a v nárysu viditelná.


1.5

64

Kulová plocha

Kulová plocha je množina všech bodů prostoru, které mají od daného bodu S danou vzdálenost r > 0. Bod S je středem kulové plochy, r poloměrem kulové plochy. Úsečka spojující dva body na kulové ploše se nazývá tětiva. Tětiva procházející středem kulové plochy se nazývá průměr. Velikost průměru je d = 2r. Kulová plocha vzniká také rotací kružnice kolem jejího libovolného průměru. Kulová plocha je dána jejím středem S a poloměrem r. Na kulové ploše leží povrchové kružnice. Povrchová kružnice, která má střed ve středu S kulové plochy (a poloměr roven poloměru r kulové plochy), se nazývá hlavní kružnice. Povrchová kružnice, která není hlavní, má střed v průsečíku roviny této kružnice a kolmice vedené středem kulové plochy na tuto rovinu. V kolmém promítání je obrysem kulové plochy kružnice se středem v průmětu středu kulové plochy, její poloměr je roven poloměru r kulové plochy. Tato kružnice je zřejmě průmětem hlavní kružnice, která leží v rovině rovnoběžné s průmětnou. V půdorysu jsou viditelné všechny body kulové plochy, které leží nad hlavní kružnicí, jejíž první průmět tvoří půdorysný obrys kulové plochy. V nárysu jsou viditelné všechny body kulové plochy ležící před hlavní kružnicí, jejíž druhý průmět tvoří nárysný obrys kulové plochy. Rovina τ , která má s kulovou plochou splolečný právě jeden bod T , se nazývá tečná rovina, bod T se nazývá bod dotyku. Tečná rovina je kolmá na spojnici středu kulové plochy a bodu dotyku. Přímka t, která má s kulovou plochou splolečný právě jeden bod T , se nazývá tečna, bod T se nazývá bod dotyku. Rovina kolmá na tečnu a procházející bodem dotyku této tečny, prochází rovněž středem kulové plochy. Tečna kulové plochy leží v tečné rovině, která se dotýká kulové plochy v bodě dotyku této tečny. Vnějším bodem M kulové plochy prochází nekonečně mnoho tečen. Tyto tečny vytvářejí rotační kuželovou plochu, jejímž vrcholem je bod M , osou je spojnice bodu M se středem S kulové plochy a řídící kružnicí k je povrchová kružnice kulové plochy (která není hlavní kružnicí) ležící v rovině kolmé k přímce M S. Každý bod řídící kružnice k je bodem dotyku tečny vedené z bodu M ke kulové ploše. Říkáme, že kulová a kuželová plocha se podél kružnice k dotýkají. Všechny úsečky M T na tečnách kulové plochy vedených z bodu M , kde T je bodem dotyku, jsou stejně dlouhé. Tečny kulové plochy rovnoběžné s danou přímkou s vytvářejí rotační válcovou plochu. Osa o této válcové plochy prochází středem S kulové plochy a její řídící kružnicí k je hlavní kružnice kulové plochy, která leží v rovině kolmé k přímce s. Každý bod řídící kružnice k je bodem dotyku tečny ke ku-


65

lové ploše rovnoběžné s přímkou s. Kulová a válcové plocha se dotýkají podél kružnice k. Musíme si uvědomit, že kulová plocha není těleso, ale pouze plocha, narozdíl od koule, která je množinou všech bodů prostoru, jež mají od středu S vzdálenost 0 ≤ v ≤ r. Příslušná kulová plocha se středem S a poloměrem r tvoří povrch koule. Protože všechny pojmy, které jsme definovali pro kulovou plochu, i všechny konstrukce, které budeme provádět, jsou stejné pro kulovou plochu i pro kouli, budeme se v dalším textu zabývat pouze kulovou plochou.


66

Příklad 1.48. Zobrazte kulovou plochu se středem v bodě S[0; 5; 5] a poloměrem r = 4. Dále sestrojte body A[−2; 3; ?] a B[1, 5; ?; 7] ležící na této kulové ploše. V obou průmětech určete viditelnost bodů A, B.

Řešení. Prvním průmětem kulové plochy je kruh omezený kružnicí k1 se středem S1 a poloměrem r = 4 . Kružnice k1 je zřejmě půdorysem hlavní kružnice k, která je rovnoběžná s půdorysnou. Nárysem kružnice k je úsečka k2 k x12 délky 2r. Podobně druhým průmětem kulové plochy je kruh omezený kružnicí l2 o poloměru r = 4 se středem S2 , kde kružnice l2 je nárysem hlavní kružnice l, která je rovnoběžná s nárysnou. Půdorysem kružnice l je úsečka l1 k x12 délky 2r. Zbývající průměty bodů A, B odvodíme pomocí povrchových kružnic. Bod A leží na povrchové kružnici a rovnoběžné s nárysnou. Délka úsečky a1 , která je prvním průmětem kružnice a, je rovna dvojnásobku poloměru kružnice a. Nárysem kružnice a je kružnice a2 soustředná s kružnicí l2 . Nárys bodu A odvodíme pomocí příslušné ordinály. Bod A1 je zřejmě půdorysem dvou bodů A a A0 . Nárysy bodů A, A0 lze rovněž odvodit pomocí povrchových kružnic c, c0 , které jsou rovnoběžné s půdorysnou. Podobně bod B2 je nárysem dvou bodů B, B 0 . Jejich půdorysy odvodíme pomocí povrchové kružnice b, která je rovnoběžná s půdorysnou, nebo pomocí povrchových kružnic d, d0 , které jsou rovnoběžné s nárysnou.


67

Body A1 , A01 leží za úsečkou l1 , tzn. že oba body A, A0 jsou v nárysu neviditelné. Bod A2 leží nad úsečkou k2 a bod A02 leží pod úsečkou k2 , proto je bod A v půdorysu viditelný a bod A0 je v půdorysu neviditelný. Body B1 , B10 leží nad úsečkou k2 , tzn. že oba body B, B 0 jsou v půdorysu viditelné. Bod B1 leží za úsečkou l1 a bod B20 leží před úsečkou l1 , proto je bod B v nárysu neviditelný a bod B 0 je v nárysu viditelný.

Příklad 1.49. Zobrazte kulovou plochu, která má střed S[0; 4, 5; 2] a prochází bodem M [−2; 6; 3, 5]. V bodě M sestrojte tečnou rovinu této kulové plochy.

Řešení. Protože kulová plocha prochází bodem M , je jejím poloměrem délka úsečky SM . Půdorysným i nárysným průmětem kulové plochy je kruh ohraničený kružnicí, která má střed v průmětu středu S kulové plochy a její poloměr je roven délce úsečky SM . Velikost úsečky SM získáme např. sklopením do půdorysny. V obrázku je sklopený rozdílový trojúhelník úsečky SM . Tečnou rovinu τ kulové plochy v bodě M sestrojíme jako rovinu kolmou k přímce SM . Rovinu τ určíme hlavními přímkami první a druhé osnovy I h a II h, které procházejí bodem dotyku M .


68

Příklad 1.50. Kulová plocha se středem S[1; 4; 3] se dotýká půdorysny. Zobrazte tuto kulovou plochu a oba průměty bodu M [0; 2; ?], který leží na této kulové ploše. V bodě M potom sestrojte tečnou rovinu.

Řešení. Protože se kulová plocha dotýká půdorysny, dotýká se její nárysný obrys osy x12 . Poloměr r kulové plochy je roven vzdálenosti středu S kulové plochy od půdorysny. Skutečnou velikost poloměru r vidíme v nárysu jako vzdálenost druhého průmětu S2 středu S kulové plochy a osy x12 . Pro bod M existují dvě řešení, body M , M 0 . Sestrojíme je pomocí povrchové kružnice, která je rovnoběžná s nárysnou. Tečnou rovinu τ = I h · II h v bodě M a tečnou rovinu τ 0 = I h0 · II h0 v bodě M 0 sestrojíme stejně jako v předchozím příkladě.


69

Příklad 1.51. Zobrazte kulovou plochu, která má střed v bodě S[0; 5; 4] a dotýká se roviny τ (3; 3, 5; 3).

Řešení. Známe střed S kulové plochy, k sestrojení kulové plochy potřebujeme ještě znát její poloměr. Bodem S vedeme kolmici k k rovině τ . Sestrojíme průsečík T přímky k a roviny τ (pomocí krycí přímky, za kterou jsme zvolili spádovou prřímku druhé osnovy II s roviny τ ). Velikost úsečky ST je hledaným poloměrem kulové plochy.


70

Příklad 1.52. Zobrazte kulovou plochu, která má střed v bodě S[0; 4; 4] a dotýká se přímky t = ([−3; 3; 8], [3; 9; 4]).

Řešení. Abychom mohli sestrojit kulovou plochu se středem S potřebujeme znát její poloměr. Ve středu S kulové plochy sestrojíme rovinu σ = I h · II h, která je kolmá k tečně t. Průsečík T přímky t a roviny σ je bodem dotyku přímky t s kulovou plochou. Poloměrem kulové plochy je velikost úsečky ST .


71

Příklad 1.53. Zobrazte kulovou plochu, která má střed na přímce o = ([−5; 1; 0], [3; 6; 7]) a dotýká se přímky t = ([−4; 5; 8], [1; 0; 5]) v bodě T [−1; ?; ?].

Řešení. Sestrojíme rovinu σ = I h· II h, které je kolmá na přímku t a prochází bodem dotyku T a ve které leží hledaný střed S kulové plochy. Střed S kulové plochy leží v průsečíku přímky o a roviny σ; sestrojíme ho pomocí krycí přímky k. Poloměrem kulové plochy je velikost úsečky ST .


72

Příklad 1.54. Zobrazte kulovou plochu, která má střed v rovině σ = (−3; 10; 5) a dotýká se roviny τ (−6; 4; 2) v bodě T [1; 2; ?]. Dále sestrojte tečné roviny této kulové plochy rovnoběžné s rovinou σ.

Řešení. V bodě T sestrojíme kolmici k na rovinu τ . V průsečíku roviny σ a přímky k leží střed S kulové plochy. Bod S jsme sestrojili pomocí krycí přímky k. Poloměr r kulové plochy je roven velikosti úsečky ST . Tečné roviny kulové plochy rovnoběžné s rovinou σ sestrojíme pomocí třetí průmětny, která prochází bodem S kolmo k půdorysně i k rovině σ. Osa x13 prochází prvním průmětem středu S a je totožná s půdorysem spádové přímky první osnovy I s roviny σ, která prochází středem S. V třetím průmětu se kulová plocha zobrazí do kruhu se středem S3 a poloměrem r. Rovina σ se zobrazí do přímky σ3 procházející bodem S3 . Třetí průměty tečných rovin α a β kulové plochy, které jsou rovnoběžné s rovinou σ, jsou tečny α3 a β3 třetího obrysu kulové plochy rovnoběžné s přímkou σ3 .


73

Příklad 1.55. Zobrazte kulovou plochu, která se dotýká roviny τ (2; 3; 2) v bodě T [−2; ?; 2] a prochází bodem A[0; 6; 6].

Řešení. V bodě T sestrojíme kolmici k na rovinu τ a rovinu symetrie σ = I h· II h úsečky AT . (Rovina σ prochází středem O úsečky AT a je k ní kolmá.) Pomocí krycí přímky l sestrojíme průsečík S přímky k a roviny σ. Bod S je středem kulové plochy a jejím poloměrem je délka r = |T S| = |AS|.


74

Příklad 1.56. Jsou dány dvě mimoběžky p = ([−1; 0; 4], [5; 9, 5; 1]), q = ([−3; 11; 0], [−1; 5, 5; 8]). Zobrazte nejmenší kulovou plochu, která se dotýká přímek p, q.

Řešení. Kulová plocha, která se dotýká přímek p, q je nejmenší právě tehdy, když body dotyku přímek p, q tvoří průměr kulové plochy. Příklad tedy vede na sestrojení osy mimoběžek. Konstrukce osy mimoběžek je popsána v příkladě 1.39. Sestrojíme osu o mimoběžek p, q a body P = p ∩ o, Q = q ∩ o. Bod P je dotykovým bodem přímky p a kulové plochy, bod Q je dotykovým bodem přímky q a kulové plochy. Úsečka P Q je průměrem kulové plochy, její střed S je tedy středem hledané kulové plochy a její délka je 2r, kde r je poloměr hledané kulové plochy.


75

Příklad 1.57. K dané kulové ploše se středem S[−2; 3; 3] a poloměrem r = 2, 5 sestrojte kužel tečen vedených z bodu M [4; 8; 7].

Řešení. Pro hledaný kužel známe vrchol M a osu o = M S. Kužel tečen je rotační a jeho podstava leží v rovině α, která je kolmá k přímce o. Podstavná hrana k kužele je zárověň povrchovou kružnicí kulové plochy, obě plochy se tedy podél této kružnice dotýkají. Kružnici k, její střed O a poloměr r0 určíme pomocí třetí průmětny, za kterou zvolíme první promítací rovinu přímky o. Třetí průmětna je kolmá na rovinu podstavy α, která se v třetím průmětu zobrazí do přímky. Třetím průmětem roviny podstavy α je spojnice dotykových bodů tečen vedených z bodu M3 ke třetímu obrazu kulové plochy. Úsečka k3 mezi těmito dotykovými body je třetím průmětem podstavné kružnice k, její délka je 2r0 a její střed O3 = α3 ∩ o3 je třetím průmětem středu O podstavy. V rovině α určené bodem O a podmínkou α ⊥ o sestrojíme kružnici k(O, r0 ). Kružnice k se v obou průmětech zobrazí do elipsy. Elipsa k1 se dotýká prvního obrysu kulové plochy, tj. kružnice l1 , ve dvou bodech, které jsou zárověň body dotyku tečen vedených z bodu M1 ke kružnici l1 . Třetí průměty těchto bodů splývají a leží v průsečíku úseček k3 a l3 ,


76

kde l3 je třetím průmětem obrysové kružnice l. Body dotyku kružnice l1 a elipsy k1 jsou v půdorysu body přechodu viditelnosti kružnice k. Můžeme je sestrojit také jako průsečíky kružnice l a hlavní přímky první osnovy I h roviny α, jejíž druhý průmět I h2 prochází bodem S2 . Podobně se elipsa k2 a druhý obrys kulové plochy, tj. kružnice m2 , dotýkají ve dvou bodech, které jsou zárověň body dotyku tečen vedených z bodu M2 ke kružnici m2 a v nárysu body přechodu viditelnosti kružnice k. Tyto body sestrojíme jako průsečíky kružnice m a hlavní přímky druhé osnovy II h roviny α, jejíž první průmět II h1 prochází bodem S1 .

Kapitola 2 Rovinné řezy těles 2.1

Rovinný řez hranolu

Rovinný řez hranolu je průnik roviny s hranolem. Daná rovina a hranol buď nemají žádný společný bod, nebo mohou mít společný právě jeden vrchol, hranu nebo stěnu hranolu. V ostatních případech je řezem mnohoúhelník, jehož vrcholy leží na hranách a strany ve stěnách hranolu. Strany řezu ležící v neviditelných pobočných stěnách hranolu jsou neviditelné, strany řezu ležící ve viditelných pobočných stěnách hranolu jsou viditelné. Při sestrojování řezu můžeme postupovat dvěma způsoby. V prvním případě určíme průsečíky roviny řezu a přímek, na nichž leží hrany daného hranolu; tyto průsečíky jsou vrcholy řezu. Ve druhém případě najdeme průsečnice roviny řezu a rovin stěn daného hranolu, které jsou s rovinou řezu různoběžné; řez je pak omezen úsečkami, které na těcho průsečnicích vytínají hrany daného hranolu. Obě tyto základní metody vhodně kombinujeme a využíváme také následujících vět. Věta 2.1. Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina, která s nimi není rovnoběžná, ve dvou rovnoběžných přímkách. Věta 2.2. Tři roviny, z nichž žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádná není rovnoběžná s průsečnicí zbývajících dvou, mají společný právě jeden bod. Věta 2.3. Mezi dvěma řezy hranolové plochy rovinami ρ a σ, ρ 6= σ, různoběžnými s hranami plochy je vztah osové afinity, přičemž osou afinity je průsečnice obou rovin řezu a směr je určen hranami plochy. Jsou-li roviny ρ a σ různoběžné se směrem promítání, zachovává se uvedený vztah i při rovnoběžném promítání. 77

KAPITOLA 2. ROVINNÉ ŘEZY TĚLES

78

Při řezu hranolu rovinou používáme osovou afinitu mezi řezem a podstavou hranolu (podstava hranolu je zřejmě také řezem hranolové plochy). Musíme dát ale pozor na to, že řez může být ukončený podstavami hranolu. Rovina, která je rovnoběžná s povrchovými přímkami hranolu, se nazývá směrová rovina. Směrová rovina může mít s hranolem společnou jednu pobočnou hranu, jednu pobočnou stěnu, rovnoběžník (neležící v žádné pobočné stěně hranolu), nebo s ním nemá žádný společný bod. Při hledání řezu hranolu směrovou rovinou ρ nejprve sestrojíme průsečnici r roviny ρ a roviny jedné podstavy α a určíme společné body průsečnice r a podstavy hranolu. Jestliže má přímka r s podstavou společný právě jeden její vrchol, pak je řezem pobočná hrana hranolu. Jestliže má přímka r s podstavou společnou jednu její stranu, pak je řezem pobočná stěna hranolu. Jestliže má přímka r s obvodem podstavy společné právě dva body K, L, pak je řezem rovnoběžník KLL0 K 0 , jehož strany KK 0 a LL0 leží na povrchových přímkách a body K 0 , L0 leží na obvodu druhé podstavy.


79

Příklad 2.1. Je dán kosý hranol s podstavou v půdorysně. Podstavu hranolu tvoří pravidelný pětiúhelník ABCDE se středem S, A[−5; 1; 0], S[−5; 4; 0]. Jedna pobočná hrana hranolu je AA0 , A0 [5; 4; 8]. Zobrazte řez tohoto hranolu rovinou ρ(5; 9; 6).

Řešení. Jeden vrchol řezu E¯ sestrojíme jako průsečík hrany EE 0 a roviny ρ pomocí krycí přímky k. Stejným způsobem můžeme sestrojit i ostatní vrcholy řezu. Výhodnější je využít k sestrojení řezu větu 2.3, tj. osovou afinitu mezi půdorysem řezu a půdorysem podstavy. Osou afinity je první průmět pρ1 půdorysné stopy pρ roviny ρ. Směr afinity je dán půdorysy pobočných hran. Dvojicí odpovídajících si bodů je E1 , E¯1 . Zbývající první průměty vrcholů řezu sestrojíme pomocí výše popsané osové afinity. Nárysy vrcholů řezu leží na průsečících příslušných ordinál a druhých průmětů pobočných hran. K jejich sestrojení můžeme také využít hlavních pří¯ kde je použito hlavní přímky mek roviny ρ. Takto je sestrojen nárys bodu A, II druhé osnovy h roviny ρ. Pro ověření správnosti a přesnosti konstrukce je vhodné oba tyto způsoby kombinovat. ¯ C¯ D ¯ E. ¯ Řezem hranolu rovinou ρ je pětiúhelník A¯B


80

Příklad 2.2. Je dán kosý hranol se čtvercovou podstavou v půdorysně. Bod S[−5; 4; 0] je středem dolní podstavy, bod A[−6; 7; 0] je jejím vrcholem, středem horní podstavy je bod S 0 [5; 5; 8]. Zobrazte řez tohoto hranolu rovinou ρ(∞; 10; 7).

Řešení. Pomocí krycí přímky k sestrojíme průsečík C¯ hrany CC 0 a roviny ρ. Stejným způsobem můžeme sestrojit i ostatní vrcholy řezu. Ke konstrukci řezu můžeme také využít větu 2.1; protější stěny hranolu jsou rovnoběžné, a proto i jejich průsečnice s rovinou ρ, tedy protější strany řezu, jsou rovnoběžné. Vhodné je také použít osovou afinitu mezi půdorysem řezu a půdorysem podstavy. Osou afinity je první průmět pρ1 půdorysné stopy pρ roviny ρ a jedna dvojice odpovídajících si bodů je C1 , C¯1 . Protože osová afinita zachovává rovnoběžnost, můžeme při konstrukci půdorysu řezu využít toho, že protější strany řezu jsou rovnoběžné. Nárysy vrcholů řezu sestrojíme pomocí ordinál. V případě, že nárysy pobočných hran svírají s ordinálami malý úhel, je toto odvození nepřesné. V takovém případě můžeme k sestrojení nárysu řezu využít přímek ležících v rovině řezu ρ. ¯ C¯ D. ¯ Řezem hranolu rovinou ρ je rovnoběžník A¯B


81

Příklad 2.3. Je dán kosý hranol, jehož podstavou je pravidelný šestiúhelník ležící v nárysně. Bod S[−1; 0; 4] je středem této podstavy, jedna pobočná hrana je AA0 , A[−4; 0; 3, 5], A0 [2; 7; 6, 5]. Zobrazte řez tohoto hranolu rovinou ρ(−8; 5, 5; 8, 5).

¯N ¯ Řešení. Rovina řezu ρ protíná podstavu ABCDEF hranolu v úsečce M ¯ a podstavnou hranu EF (podstavnou hranu AF protíná rovina ρ v bodě N ¯ ). Další bod řezu B ¯ sestrojíme jako průsečík pobočné hrany BB 0 v bodě M s rovinou ρ. K tomu využijeme krycí přímky k. K určení vrcholu řezu A¯ využijeme osové afinity mezi nárysem řezu a nárysem podstavy. Osou afinity je druhý průmět nρ2 nárysné stopy nρ roviny ρ, směr je dán nárysy pobočných hran a párem odpovídajících si bodů je B2 , ¯2 . B Vrchol řezu E¯ sestrojíme podle věty 2.2. Rovina řezu ρ protíná rovinu po¯ . Protože hrana F F 0 není rovnoběžná s přímbočné stěny AF A0 v přímce A¯N 0 ¯ a leží v rovině AF A , protíná přímka A¯N ¯ přímku F F 0 v bodě F¯ . kou A¯N ¯ leží také v rovině řezu ρ, z toho plyne, že i bod F¯ leží v rovině ρ. Přímka A¯N ¯ leží zároveň v rovině řezu ρ a v rovině EF E 0 , proto přímka F¯ M ¯ Body F¯ a M 0 ¯ protíná pobočnou hranu EE , se kterou je různoběžná, ve vrcholu řezu E. Bod E¯ je tedy společným bodem rovin AF A0 , EF E 0 a ρ.


82

K sestrojení zbývajících bodů řezu využijeme věty 2.1. Protože protější stěny hranolu jsou rovnoběžné, jsou rovnoběžné i jejich průsečnice s rovinou řezu ρ, která je s nimi různoběžná. Z toho je zřejmé, že protější strany řezu, ¯K ¯L ¯D ¯ E¯ M ¯N ¯ , jsou rovnoběžné. Tuto konstrukci lze jímž je osmiúhelník A¯B použít v nárysu i v půdorysu, a tak kontrolovat přesnost sestrojených vrcholů řezu. Řez lze konstruovat i jinými způsoby, např. můžeme celý řez sestrojit pomocí již zmíněné osové afinity.

Poznámka. V případě, že bychom chtěli sestrojit síť kosého hranolu, sestrojíme normálový řez tohoto hranolu, tj. řez rovinou kolmou k pobočným hranám hranolu. Tento řez je vhodné sestrojit užitím třetí průmětny, která je kolmá k jedné z průměten a rovnoběžná s pobočnými hranami hranolu. V třetím průmětu se pobočné hrany zobrazí ve skutečné velikosti, rovina řezu se zobrazí do přímky a třetí obrazy podstav jsou rovnoběžné úsečky. Normálovým řezem je v třetím průmětu úsečka, v půdorysu n-úhelník. Otočením roviny řezu do půdorysny nebo do nárysny získáme skutečnou velikost řezu. Po rozvinutí pláště hranolu do roviny přejde obvod normálového řezu do úsečky. Pobočné hrany jsou kolmice ve vrcholech řezu. Délky úseků na pobočných hranách mezi vrcholy podstav a vrcholy řezu jsou ve skutečné velikosti ve třetím průmětu. K plášti hranolu připojíme podstavy a tím získáme celou síť hranolu.


2.2

83

Rovinný řez jehlanu

Rovinný řez jehlanu je průnik roviny s jehlanem. Stejně jako u hranolu nemá daná rovina s jehlanem buď žádný společný bod, nebo mohou mít společný právě jeden vrchol, hranu nebo stěnu jehlanu. V ostatních případech je řezem mnohoúhelník s vrcholy ležícími na hranách a stranami ve stěnách jehlanu. Stejně jako u hranolu jsou strany řezu ležící v neviditelných pobočných stěnách jehlanu neviditelné a strany řezu ležící ve viditelných pobočných stěnách jehlanu viditelné. Při sestrojování řezu jehlanu rovinou můžeme postupovat dvěma základními způsoby uvedenými v části o roviném řezu hranolu. Využíváme také větu: Věta 2.4. Mezi dvěma řezy jehlanové plochy rovinami ρ a σ, ρ 6= σ, které neprocházejí vrcholem jehlanové plochy, je vztah středové kolineace, přičemž osou středové kolineace je průsečnice obou rovin řezu a jejím středem je vrchol jehlanové plochy. Jsou-li roviny ρ a σ různoběžné se směrem promítání, zachovává se uvedený vztah i při rovnoběžném promítání. Při řezu jehlanu rovinou používáme středovou kolineaci mezi řezem a podstavou jehlanu. I zde ale musíme dát pozor, není-li řez ukončený podstavou jehlanu. Rovina, která prochází hlavním vrcholem jehlanu, se nazývá vrcholová rovina. Vrcholová rovina může mít s jehlanem společný buď jen hlavní vrchol, jednu pobočnou hranu, jednu pobočnou stěnu, nebo trojúhelník (neležící v žádné pobočné stěně jehlanu). Při vyšetřování řezu jehlanu vrcholovou rovinou ρ nejprve sestrojíme průsečnici r roviny řezu ρ a roviny podstavy α a určíme společné body průsečnice r a podstavy jehlanu. Jestliže má přímka r s podstavou společný právě jeden její vrchol, pak je řezem pobočná hrana jehlanu. Jestliže má přímka r s podstavou společnou jednu její stranu, pak je řezem pobočná stěna jehlanu. Jestliže má přímka r s obvodem podstavy společné právě dva body K, L, pak je řezem trojúhelník KLV , kde V je hlavní vrchol jehlanu. Následující větu využijeme při řešení příkladu 2.5 a). Věta 2.5. Dvě různoběžné roviny jsou proťaty rovinou třetí, která není rovnoběžná se žádnou z nich, ale je rovnoběžná s jejich průsečnicí, v rovnoběžných přímkách, jež jsou rovnoběžné s průsečnicí prvních dvou rovin.


84

Příklad 2.4. Je dán pravidelný šestiboký jehlan s podstavou ABCDEF , A[−2; 6; 0], v půdorysně a s hlavním vrcholem V [0; 4; 5]. Zobrazte řez tohoto jehlanu rovinou ρ(8; 10; 3).

Řešení. Jeden vrchol řezu E¯ sestrojíme jako průsečík pobočné hrany EV s rovinou ρ pomocí krycí přímky k. Protože pobočné hrany EV a BV mají v prvním průmětu stejnou promítací rovinu, je výhodnější použít krycí ¯ přímky první osnovy. Získáme tak kromě bodu E¯ ještě další vrchol řezu B. Půdorysy pobočných hran EV a BV svírají s ordinálami malý úhel, proto je ¯1 použít místo orlepší k přesnějšímu odvození půdorysů vrcholů řezu E¯1 a B dinál hlavních přímek roviny řezu ρ. Pomocí hlavní přímky druhé osnovy II h ¯ je odvozen půdorys bodu B. ¯ Podobně jako body B a E¯ můžeme sestrojit i další vrcholy řezu, nebo k jejich konstrukci využít větu 2.4. Půdorysy zbývajících vrcholů řezu tedy sestrojíme pomocí středové kolineace mezi půdorysem podstavy a půdorysem řezu. Osou středové kolineace je první průmět pρ1 půdorysné stopy pρ roviny ρ, středem je půdorys V1 hlavního vrcholu V a dvojicí kolineárně sdružených bodů je E1 , E¯1 . Druhé průměty vrcholů řezu získáme jako průsečíky příslušných ordinál a nárysů pobočných hran nebo je odvodíme užitím hlavních přímek roviny ρ. Pro kontrolu správnosti konstrukce je vhodné oba způsoby kombinovat. ¯ C¯ D ¯ E¯ F¯ . Řezem jehlanu rovinou ρ je šestiúhelník A¯B


85

Příklad 2.5. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou ABCD, A[−1; 0; 1], v nárysně a hlavním vrcholem V [0; 6; 4]. Protněte tento jehlan a) rovinou ρ(6; 4; 12), b) rovinou σ(−5; 4; 7).

Řešení. a) Protože hrany AV a CV mají v druhém průmětu stejnou promítací rovinu, sestrojíme pomocí krycí přímky k druhé osnovy průsečík A¯ pobočné hrany AV s rovinou ρ a zároveň průsečík C¯ pobočné hrany CV s rovinou ρ. Nárysná stopa roviny ρ je rovnoběžná s podstavnou hranou BC a je tedy rovnoběžná s nárysnou stopou roviny BCV . Proto i průsečnice roviny BCV a ¯ C, ¯ je rovnoběžná s nárysnou stopou roviny ρ (věta 2.5). roviny ρ, tj. přímka B ¯ C¯ leží na hlavní přímce druhé osnovy roviny ρ. Odtud plyne, že strana řezu B ¯ Totéž platí i pro průsečnici roviny ADV a roviny řezu ρ, tedy strana řezu A¯D leží rovněž na hlavní přímce druhé osnovy roviny ρ. ¯ C¯ D. ¯ Řezem jehlanu rovinou ρ je rovnoramenný lichoběžník A¯B Příklad lze řešit taká pomocí středové kolineace (podobně jako příklad 2.4) nebo užitím třetí průmětny, jak je ukázáno v případě b). b) Nárysná stopa nσ roviny řezu σ protíná postavu jehlanu v úsečce E¯ F¯ (podstavnou hranu CD v bodě E¯ a podstavnou hranu AD v bodě F¯ ). Další vrcholy řezu můžeme sestrojit podobně jako v příkladě 2.4 nebo je určit užitím třetí průmětny.


86

Pomocnou třetí průmětnu µ proložíme hlavním vrcholem V kolmo na nárysnu, tj. µ ≡ BDV , a sklopíme ji do nárysny. Nová osa x23 je totožná s druhým průmětem roviny µ. Jehlan ABCDV se v třetím průmětu zobrazí do trojúhelníku B3 D3 V3 , kde B2 ≡ B3 , D2 ≡ D3 , |V2 V3 | = yV . Rovina řezu σ protíná třetí průmětnu µ v přímce mσ a osu jehlanu o v bodě O. Přímka mσ je třetí stopou roviny řezu σ. Osa jehlanu o je kolmá k nárysně, proto se v náryse zobrazí do bodu, který je totožný s nárysem V2 hlavního vrcholu V . Bod O získáme jako průsečík osy o a spádové přímky druhé osnovy II s roviny řezu σ, jejíž druhý průmět prochází bodem V2 . Přímky o a mσ leží v rovině µ, proto bod O je jejich průsečíkem. Roviny σ, µ a nárysna jsou navzájem různoběžné, tzn. že se protínají v jednom bodě N (věta 2.2), který je zároveň nárysným stopníkem přímky mσ . Třetí průmět stopy mσ prochází třetím průmětem svého nárysného stopníku N a třetím průmětem bodu O, N2 = N3 , |O2 O3 | = yO . Protože přímky BV , DV a mσ leží v rovině µ, protíná přímka mσ po¯ a přímku DV v bodě D. ¯ Třetí průměty B3 , bočnou hranu BV v bodě B D3 těchto bodů snadno odvodíme (jsou to průsečíky přímek B3 V3 a D3 V3 s přímkou mσ3 ) a přeneseme do nárysu i půdorysu. ¯ F¯ a AV nejsou rovnoběžné a leží ve stejné rovině ADV , proto Přímky D ¯ F¯ protíná hranu AV v bodě A. ¯ Přímka DF leží i v rovině řezu σ, přímka D


87

¯ a tedy bod A¯ je dalším vrcholem řezu. Stejným způsobem získáme vrchol C, ¯ ¯ který je průsečíkem přímky DE a pobočné hrany CV . ¯ C¯ D ¯ E. ¯ Řezem jehlanu rovinou σ je pětiúhelník A¯B Příklad 2.6. Zobrazte pravidelný pětiboký jehlan s hlavním vrcholem V v půdorysně, středem podstavy S[0; 4; 5, 5] a vrcholem podstavy A[0; 1; ?], osa jehlanu je kolmá k půdorysně. Zobrazte řez tohoto jehlanu a) rovinou ρ(7; 10; 4, 5), b) rovinou σ(−7; 11; 5, 5).

Řešení. Osa jehlanu je kolmá k půdorysně, proto podstava leží v rovině α, která prochází bodem S a je rovnoběžná s půdorysnou. V půdorysu se podstava zobrazí ve skutečné velikosti, nárysem podstavy je úsečka B2 E2 . Hlavní vrchol V jehlanu leží v půdorysně, je tedy půdorysným stopníkem kolmice vedené středem S podstavy k půdorysně. V půdorysu je viditelná pouze podstava, všechny pobočné stěny jsou neviditelné. V nárysu je neviditelné hrana AV . ¯ sestrojíme jako průsečík hrany DV s rovinou ρ užia) Vrchol řezu D tím krycí přímky k. Další vrcholy řezu sestrojíme podle věty 2.4. Nejprve najdeme průsečnici r roviny podstavy α a rovinu řezu ρ; průsečnice r je hlavní přímkou první osnovy roviny ρ. Nyní můžeme použít středovou kolineaci mezi půdorysem podstavy a půdorysem řezu. Osou středové kolineace


88

je půdorys r1 průsečnice r, jejím středem je půdorys V1 hlavního vrcholu V ¯ 1. a dvojicí kolineárně sdružených bodů je D1 , D Druhé průměty vrcholů řezu získáme jako průsečíky příslušných ordinál a nárysů pobočných hran. Protože pobočná hrana AV je kolmá k základnici, musíme nárys bodu A¯ odvodit pomocí některé přímky ležící v rovině řezu ρ. Nejvýhodnější je použít hlavní přímku roviny ρ, v obrázku je použita hlavní přímka druhé osnovy II h. ¯ C¯ D ¯ E. ¯ Řezem jehlanu rovinou ρ je pětiúhelník A¯B Příklad jsme také mohli vyřešit užitím třetí průmětny. Tento způsob řešení si ukážeme v části b). b) Nejprve sestrojíme průsečnici r roviny podstavy α a rovinu řezu σ, která je hlavní přímkou první osnovy roviny σ. Přímka r protíná podstavu ¯N ¯ (podstavnou hranu DE v bodě M ¯ a podstavnou jehlanu v úsečce M ¯ ). Další vrcholy řezu můžeme sestrojit obdobně jako hranu AE v bodě N v případě a) nebo je určit užitím třetí průmětny.

Pomocnou třetí průmětnu proložíme hlavním vrcholem V kolmo k půdorysně a kolmo k rovině řezu σ a sklopíme ji do půdorysny. Určíme třetí ¯, N ¯ . Třetí průmět hlavního průměty hran jehlanu, roviny σ a bodů řezu M ¯N ¯ se v třetím průvrcholu V je totožný s jeho prvním průmětem. Úsečka M ¯ ¯ mětu zobrazí do bodu M3 = N3 . Třetím průmětem roviny σ je přímka σ3 , ¯3 = N ¯3 . která prochází bodem M


89

Přímka σ3 protíná úsečky A3 V3 , B3 V3 , C3 V3 , D3 V3 po řadě v bodech A¯3 , ¯ ¯ 3 , které jsou třetími průměty zbývajících vrcholů řezu. Přeneseme B3 , C¯3 , D je do půdorysu a do nárysu; k určení nárysu vrcholu A¯ jsme použili hlavní přímku druhé osnovy roviny řezu σ. ¯ C¯ D ¯M ¯N ¯. Řezem jehlanu rovinou ρ je šestiúhelník A¯B


2.3

90

Rovinný řez válce

Rovinným řezem válce nazveme průnik roviny s válcem. Podobně jako u hranolu nazveme směrovou rovinou válce rovinu rovnoběžnou s povrchovými přímkami válce. Je-li rovina řezu směrová, pak buď nemá s válcem žádný společný bod, nebo s ním má společnou jednu površku (jde o tečnou rovinu), nebo je řezem rovnoběžník. Při rovinném řezu válce směrovou rovinou postupujeme podobně jako u hranolu. Nejprve sestrojíme průsečnici r roviny řezu ρ a roviny jedné podstavy α a určíme společné body průsečnice r a podstavné hrany válce. Jestliže je přímka r tečnou podstavné hrany, pak je rovina ρ tečnou rovinou válce. Jestliže má přímka r s podstavnou hranou společné právě dva body K, L, pak je řezem rovnoběžník KLL0 K 0 , jehož strany KK 0 a LL0 leží na povrchových přímkách a body K 0 , L0 leží na podstavné hraně druhé podstavy. Pro řezy válcové plochy nesměrovou rovinou platí věta obdobná větě 2.3 pro řezy na hranolové ploše. Věta 2.6. Mezi dvěma řezy válcové plochy rovinami ρ a σ, ρ 6= σ, které nejsou směrové, je vztah osové afinity, přičemž osou afinity je průsečnice obou rovin řezu a směr je rovnoběžný s přímkami plochy. Jsou-li roviny ρ a σ různoběžné se směrem promítání, zachovává se uvedený vztah i při rovnoběžném promítání. Z předchozí věty plyne, že rovina, která není směrová, protíná plášť válce v elipse nebo v její části, nebo má s válcem společný právě jeden bod podstavné hrany, nebo s ním nemá společný žádný bod. Při řezu válce nesměrovou rovinou využíváme stejně jako u hranolu osovou afinitu mezi řezem a podstavou válce. Střed elipsy řezu leží v průsečíku osy válce a roviny řezu. Střed elipsy a střed podstavy je párem odpovídajích si bodů ve zmíněné osové afinitě. Pro eliptický řez rotační válcové plochy platí následující věta. Věta 2.7 (Quételetova-Dandelinova). Rotační válcová plocha je proťata rovinou, která je kosá k její ose, v elipse. Střed elipsy je na na ose válcové plochy; její ohniska jsou dotykovými body kulových ploch, které jsou vepsány válcové ploše a dotýkají se roviny řezu. Délka její vedlejší poloosy se rovná poloměru válcové plochy.


91

Příklad 2.7. Zobrazte řez rovinou ρ(9; 13; 6) rotačního válce, který má podstavu v půdorysně, střed této podstavy v bodě S[0; 5; 0], poloměr podstavy r = 4 a výšku v = 10.

Řešení. Rovina řezu ρ není směrová, a proto protíná válec v odlasti ohraničené elipsou e nebo její části. Nejprve nalezneme osy této elipsy. Osou válce o proložíme rovinu σ kolmo k rovině ρ. (V půdorysu se rovina σ zobrazí do přímky σ1 .) Rovina σ je rovinou symetrie řezu. Rovina σ protíná rovinu řezu ρ v přímce I s. Protože přímka I s je kolmá k půdorysné stopě pρ roviny ρ, je přímka I s spádovou přímkou první osnovy roviny ρ. Válcovou plochu, jejíž částí je plášť daného válce, protíná rovina ρ v povrchových přímkách a, b. Přímku a protíná spádová přímka I s v bodě A, přímku b protíná v bodě B. Body A, B jsou hlavními vrcholy elipsy řezu e a zároveň bod A je nejvyšším bodem a bod B je nejnižším bodem elipsy e vzhledem k půdorysně. Středem O elipsy e je průsečík spádové přímky I s a osy válce o. Protože hlavní osa elipsy e leží na spádové přímce první osnovy roviny ρ a osy elipsy jsou k sobě kolmé, leží vedlejší osa elipsy e na hlavní přímce první osnovy I h roviny ρ, přímka I h prochází bodem O. Vedlejší vrcholy C, D elipsy e leží


92

v průniku hlavní přímky I h roviny ρ a válcové plochy. Půdorysy C1 , D1 vedlejších vrcholů C, D jsou společnými body půdorysu podstavné kružnice válce a přímky I h1 . Půdorys e1 elipsy řezu e se zobrazí do půdorysu podstavné kružnice válce. V nárysu tvoří úsečky A2 B2 a C2 D2 sdružené průměry elipsy e2 , která je nárysem elipsy řezu e. Osy a hlavní a vedlejší vrcholy elipsy e2 sestrojíme Rytzovou konstrukcí. Osou válce o proložíme rovinu τ rovnoběžně s nárysnou. Rovina τ protíná rovinu řezu ρ v hlavní přímce druhé osnovy II h roviny ρ. Průsečíky T , T 0 hlavní přímky II h a válcové plochy jsou body elipsy e. Jejich druhé průměty T2 , T20 jsou body dotyku nárysu řezu e2 a nárysného obrysu válce. Protože rovina τ rozděluje vzhledem k nárysu válec na viditelnou a neviditelnou část, jsou body T , T 0 vzhledem k nárysu zároveň body přechodu viditelnosti řezu e.

Poznámka. Mezi půdorysem a nárysem řezu existuje vztah osové afinity. Směr této afinity je kolmý k ose x12 . Osa afinity prochází body, v nichž se protínají půdorysy přímek roviny řezu se svými nárysy a zřejmě prochází také bodem na základnici, ve kterém se protínají půdorysná a nárysná stopa roviny řezu. Osovou afinitu mezi půdorysem a nárysem řezu lze stejným způsobem najít i u ostatních příkladů této kapitoly. Lze ji využít k samotné konstrukci řezu i ke kontrole přesnosti rýsování. V příkladě 2.7 je kružnice e1 afinní s elipsou e2 . Najdeme-li osu této afinity, můžeme sestrojit přímo osy a vrcholy elipsy e2 . Jak tyto osy a vrcholy sestrojit ukážeme v příkladě 2.8.


93

Příklad 2.8. Je dán šikmý kruhový válec, jehož jedna podstava se středem S[3; 4; 0] leží v půdorysně, druhá podstava má střed v bodě S 0 [−3; 8; 9] a poloměr podstav je r = 3. Zobrazte řez tohoto válce rovinou ρ(−4; ∞; 4, 5).

Řešení. Rovina řezu ρ není směrová; řezem válce rovinou ρ je oblast ohraničena elipsou nebo její částí. Protože rovina řezu ρ je kolmá k druhé průmětně, je nárysem elipsy řezu e úsečka e2 , kterou vytíná nárysný obrys válce na přímce ρ2 . V půdoryse se elipsa e zobrazí do elipsy e1 . Středem elipsy e je průsečík osy válce o = SS 0 a roviny ρ. Elipsu e1 sestrojíme podle věty 2.6, tj. užitím osové afinity mezi půdorysem řezu a půdorysem podstavy ležící v půdorysně. Osou afinity je první průmět pρ1 půdorysné stopy roviny řezu ρ, směr afinity je dán směrem půdorysů površek válce a párem odpovídajících si bodů je S1 , O1 . V této afinitě zobrazíme libovolné dva na sebe kolmé průměry kružnice k1 , která je půdorysem podstavné hrany dolní podstavy válce. Tím dostaneme


94

sdružené průměry elipsy e1 . Osy a hlavní a vedlejší vrcholy elipsy e1 sestrojíme Rytzovou konstrukcí. Druhým způsobem konstrukce elipsy e1 je sestrojení přímo jejích os a vrcholů. V osové afinitě existuje právě jedna dvojice na sebe kolmých směrů, která se zobrazí na dvojici kolmých směrů. Tyto směry umístíme do bodu S1 . Se svými obrazy, které procházejí bodem O1 , se protnou na ose afinity v bodech I a II. Protože u bodů S1 a O1 jsou pravé úhly, leží body S1 a O1 na Thaletově kružnici nad úsečkou s krajními body I a II. Tuto kružnici dovedeme sestrojit. (Planimetrická úloha: Sestrojte kružnici, která prochází body S1 a O1 a její střed leží na přímce pρ1 .) V bodě, kde osa úsečky S1 O1 protne osu afinity pρ1 , leží střed hledané Thaletovy kružnice, která protíná osu afinity v bodech I, II. Přímky IO1 a IIO1 jsou hledanými osami elipsy e1 a přímky IS1 a IIS1 jsou jim odpovídající průměry. Hlavní a vedlejší vrcholy elipsy e1 jsou afinními obrazy bodů, v nichž přímky IS1 a IIS1 protínají kružnici k1 . Elipsa e1 je afinní také s kružnicí k10 , která je půdorysem horní podstavné hrany válce. V tomto případě je osou afinity průsečnice roviny horní podstavy a roviny řezu ρ. Površky t, t0 , jejichž první průměty leží na půdorysném obrysu válce, protínají rovinu ρ po řadě v bodech T , T 0 . Jejich druhé průměty T2 , T20 jsou body, v nichž se přímky t2 a t02 protínají s úsečkou e2 . Jejich první průměty T1 , T10 jsou body dotyku elipsy e1 a půdorysného obrysu válce. Body T , T 0 jsou v půdorysu body přechodu viditelnosti elipsy řezu e.


95

Příklad 2.9. Je dán šikmý kruhový válec, jehož jedna podstava se středem S[4; 4; 0] leží v půdorysně, druhá podstava má střed v bodě S 0 [−4; 5; 8] a poloměr podstav je r = 3. Zobrazte řez tohoto válce rovinou ρ(−8; 8; 8).

Řešení. Rovina řezu ρ není směrová, rovina ρ tedy protíná válec v oblasti ohraničené elipsou e nebo její částí. Střed elipsy e leží v průsečíku osy o = SS 0 válce a roviny řezu ρ; sestrojíme ho pomocí krycí přímky l. První průmět e1 elipsy e sestrojíme užitím věty 2.6, tj. pomocí osové afinity mezi půdorysem řezu a půdorysem dolní podstavy. Osou afinity je první průmět pρ1 půdorysné stopy roviny řezu ρ, směr afinity je dán směrem půdorysů površek válce a párem odpovídajících si bodů jsou první průměty S1 , O1 středů S, O podstavy a řezu. ¯1 , C¯1 D ¯ 1 prvního průmětu e1 řezu sestrojíme konstrukcí popsaOsy A¯1 B ¯2 , C¯2 D ¯ 2 jsou dvojicí sdružených nou v příkladě 2.8. Jejich druhé obrazy A¯2 B průměrů druhého průmětu e2 řezu. Osy a hlavní a vedlejší vrcholy elipsy e2 sestrojíme Rytzovou konstrukcí.


96

Na površkách t, u, jejichž první průměty tvoří půdorysný obrys válce, leží body T¯, U¯ elipsy řezu e. Jejich první průměty T¯1 , U¯1 jsou body dotyku elipsy e1 a prvního obrysu válce. Body T¯, U¯ jsou v půdorysu body přechodu viditelnosti elipsy řezu e. Stanovíme je jako afinně odpovídající body k dotykovým bodům T1 , U1 podstavné kružnice k1 a přímek t1 , u1 tvořících půdorysný obrys válce. Na površkách v, w, jejichž druhé průměty tvoří nárysný obrys válce, ¯ elipsy řezu e. V druhých průmětech V¯2 , W ¯ 2 těchto bodů leží body V¯ , W ¯ ¯ se elipsa e2 dotýká druhého obrysu válce. Body V , W jsou v nárysu body ¯ 1 odpovídají přechodu viditelnosti elipsy řezu e. Jejich první průměty V¯1 , W v afinitě bodům V1 , W1 , které jsou prvními průměty průsečíků V , W površek v, w a podstavné hrany k.


2.4

97

Rovinný řez kužele

Rovinným řezem kužele nazveme průnik roviny s kuželem. Podobně jako u jehlanu nazveme vrcholovou rovinou kužele rovinu procházející vrcholem kužele. Je-li rovina řezu vrcholová, pak má s kuželem společný právě jen jeho vrchol, jednu jeho površku (jde o tečnou rovinu), nebo je řezem trojúhelník. Při rovinném řezu kužele vrcholovou rovinou nejprve sestrojíme průsečnici r roviny řezu ρ a roviny podstavy α a určíme společné body průsečnice r a podstavné hrany kužele. Jestliže je přímka r tečnou podstavné hrany, pak je rovina ρ tečnou rovinou kužele. Jestliže má přímka r s podstavnou hranou společné právě dva body K, L, pak je řezem trojúhelník KLV , kde V je vrchol kužele. Pro řezy kuželové plochy nevrcholovou rovinou platí obdobná věta, jako věta 2.4 pro řezy na jehlanové ploše. Věta 2.8. Mezi dvěma řezy kuželové plochy rovinami ρ a σ, ρ 6= σ, které neprocházejí vrcholem kuželové plochy, je vztah středové kolineace, přičemž osou středové kolineace je průsečnice obou rovin řezu a jejím středem je vrchol kuželové plochy. Jsou-li roviny ρ a σ různoběžné se směrem promítání, zachovává se uvedený vztah i při rovnoběžném promítání. Z věty 2.8 plyne, že rovina, která není vrcholová, protíná plášť kužele v kuželosečce nebo v její části ukončené tětivou, kterou vytíná rovina řezu na podstavě kužele, nebo má s kuželem společný právě jeden bod podstavné hrany, nebo s ním nemá žádný společný bod. O tom, která kuželosečka je řezem, rozhodneme podle polohy vrcholové roviny ρ0 , která je rovnoběžná s rovinou řezu ρ, vzhledem ke kuželové ploše. Jestliže vrcholová rovina ρ0 má s kuželovou plochou společný právě jen vrchol V , protíná rovina řezu ρ všechny povrchové přímky kuželové plochy a řezem je elipsa. Má-li vrcholová rovina ρ0 s kuželovou plochou společnou přávě jednu povrchovou přímku, tj. rovina ρ0 je tečnou rovinou kuželové plochy, rovina řezu ρ protíná všechny povrchové přímky kuželové plochy s výjimkou dotykové přímky vrcholové roviny ρ0 . V tomto případě je řezem parabola. Jestliže vrcholová rovina ρ0 protíná kuželovou plochu ve dvou různých povrchových přímkách, protíná rovina řezu ρ všechny povrchové přímky kuželové plochy s výjimkou právě těch dvou přímek, v nichž vrcholová rovina ρ0 protíná kuželovou plochu. Pak je řezem hyperbola.


98

Je-li kuželová plocha rotační můžeme k určení druhu kuželosečky použít místo vrcholové roviny ρ0 úhel ϕ, který svírají povrchové přímky kuželové plochy s rovinou α libovolné povrchové kružnice kuželové plochy, tj. s rovinou kolmou k její ose, a úhel ω, který svírá rovina řezu ρ s rovinou α. Eliptický řez vznikne právě tehdy, když 0◦ ≤ ω < ϕ. Ve zvláštním případě, kdy 0◦ = ω, tj. ω k α, je řezem kružnice. Je-li ω = ϕ, pak je řez parabolický. Hyperbolický řez dostaneme pro ϕ < ω ≤ 90◦ . Pro rovinné řezy rotační kuželové plochy platí podobně jako pro rotační válcovou plochu Quételetova-Dandelinova věta: Věta 2.9 (Quételetova-Dandelinova). Rotační kuželová plocha je proťata rovinou, která není vrcholová a není kolmá k ose kuželové plochy, v kuželosečce. Její ohniska jsou dotykovými body kulových ploch, které jsou vepsány kuželové ploše a dotýkají se roviny řezu. Ke konstrukci rovinného řezu rotační kuželové plohy je důležitá následující věta: Věta 2.10. Pravoúhlým průmětem eliptického řezu rotační kuželové plochy do roviny kolmé k ose kuželové plochy je elipsa, které má jedno ohnisko v pravoúhlém průmětu vrcholu kuželové plochy. Pravoúhlým průmětem parabolického řezu rotační kuželové plochy do roviny kolmé k ose kuželové plochy je parabola, které má ohnisko v pravoúhlém průmětu vrcholu kuželové plochy. Pravoúhlým průmětem hyperbolického řezu rotační kuželové plochy rovinou, která není rovnoběžná s osou kuželové plochy, do roviny kolmé k ose kuželové plochy, je hyperbola, které má jedno ohnisko v pravoúhlém průmětu vrcholu kuželové plochy.


99

Příklad 2.10. Je dán rotační kužel s podstavou v půdorysně, který má střed podstavy S[0; 5; 0], poloměr podstavy r = 4 a výšku v = 8. Zobrazte řez tohoto kužele rovinou ρ(5; ∞; 4).

Řešení. V nárysu vidíme, že rovina řezu ρ není vrcholová, neprotíná rovinu podstavy a svírá s půdorysnou, která je kolmá k ose kužele, menší úhel než površky kužele. Řezem je tedy část roviny ohraničana elipsa e. Rovina σ, která prochází osou o kužele kolmo k rovině řezu ρ, protíná kuželovou plochu, jejíž částí je plášť daného kužele, v povrchových přímkách a, b a rovinu ρ v přímce I s, která je spádovou přímkou první osnovy roviny ρ. Průsečíky A, B površek a, b s přímkou I s jsou hlavními vrcholy elipsy e. V našem případě leží nárysy přímek a, b na nárysném obrysu kužele. Rovina σ je rovinou symetrie řezu. Bod A je nejvyšším bodem a bod B je nejnižším bodem elipsy e vzhledem k půdorysně. Protože osy elipsy jsou k sobě kolmé, leží vedlejší osa elipsy e na hlavní přímce první osnovy I h roviny ρ, která prochází středem O úsečky AB. Vedlejší vrcholy C, D elipsy e leží v průniku přímky I h a kuželové plochy. Sestrojíme je tak, že bodem O proložíme pomocnou rovinu kolmo na osu kužele. Tato rovina protne plášť kužele v kružnici m a rovinu řezu ρ v přímce I h. Průsečíky C, D této kružnice a přímky jsou vedlejšími vrcholy elipsy řezu e. Rovina řezu ρ je kolmá k nárysně, proto je druhým průmětem elipsy e úsečka e2 = A2 B2 , kterou vytíná nárysný obrys kužele na přímce ρ2 . Body


100

A2 , B2 jsou nárysy hlavních vrcholů A, B elipsy e. Střed O úsečky AB je středem elipsy e. Nárysy vedlejších vrcholů C, D splývají s nárysem středu O elipsy e. V půdoryse se elipsa e zobrazí do elipsy e1 . Ke konstrukci vedlejších vrcholů C1 , D1 elipsy e1 využijeme větu 2.10, tedy jedním ohniskem elipsy e1 je půdorys V1 vrcholu V kužele.


101

Příklad 2.11. Je dán rotační kužel s podstavou v půdorysně, který má střed podstavy S[0; 4; 0], poloměr podstavy r = 3 a výšku v = 6. Zobrazte řez tohoto kužele rovinou ρ(2; ∞; 4).

Řešení. Rovina řezu ρ je kolmá k nárysně. Ze souřadnic snadno zjistíme, že je rovnoběžná s jednou povrchovou přímkou daného kužele a řez je tedy parabolický. Půdorysná stopa pρ roviny řezu ρ vytíná na podstavě kužele tětivu KL. Řezem je oblouk paraboly r ohraničený úsečkou KL. Osa paraboly r je průsečnicí roviny ρ a roviny symetrie řezu σ, která prochází osou kužele kolmo k rovině řezu ρ. Touto průsečnicí je zřejmě spádová přímka první osnovy I s. Rovina σ protíná kuželovou plochu, jejíž částí je plášť daného kužele, v povrchové přímce a (a v povrchové přímce b). V našem případě leží nárysy těchto přímek na nárysném obrysu daného kužele. Průsečík A přímek a, I s je vrcholem paraboly r. Nárysem řezu je úsečka r2 = A2 K2 , kterou vytíná nárysný obrys kužele na přímce ρ2 . Bod A2 je nárysem hlavního vrcholu A paraboly r. V půdorysu se parabola r zobrazí do paraboly r1 , pro kterou známe osu I s1 a vrchol A1 a podle věty 2.10 je jejím ohniskem první průmět V1 vrcholu V daného kužele.


102

Příklad 2.12. Zobrazte řez rotační kuželové plochy rovinou ρ(−3; ∞; 8). Kuželová plocha je ohraničena půdorysnou a rovinou β, zβ = 10. Je dána vrcholem V [0; 5; 5] a řídící kružnicí, která leží v půdorysně, má střed S[0; 5; 0] a poloměr r = 4.

Řešení. Rovina β protíná kuželovou plochu v povrchové kružnici, která je zřejmě shodná s řídící kružnicí kuželové plochy. V nárysu vidíme, že rovina řezu ρ není vrcholová a svírá s půdorysnou, která je kolmá k ose kužele, větší úhel než površky kužele. Kuželová plocha je omezena dvěma rovinami, řezem jsou tedy oblouky větví hyperboly h. Rovina řezu protíná řídící kružnici v bodech L, L0 a povrchovou kružnici ležící v rovině β v bodech K, K 0 . Tyto body jsou zřejmě krajními body oblouků hyperboly h, které jsou řezem kuželové plochy omezené rovinami π a β. Rovina symetrie řezu σ, která prochází osou kuželové plochy kolmo k rovině řezu ρ, protíná rovinu ρ v její spádové přímce první osnovy I s a kuželovou plochu v přímkách a, b. V našem případě tvoří nárysy přímek a, b druhý obrys kuželové plochy. Průsečíky A, B přímek a, b s přímkou I s jsou hlavními


103

vrcholy hyperboly h. Střed O úsečky AB je středem hyperboly h. Vedlejší osa hyperboly je hlavní přímkou první I h roviny ρ. Vrcholová rovina ρ0 rovnoběžná s rovinou řezu ρ protíná kuželovou plochu v přímkách r, r0 . Přímky q, q 0 , které procházejí středem O hyperboly h a q k r, q 0 k r0 , jsou asymptotami hyperboly h. Asymptoty q, q 0 lze také sestrojit jako průsečnice roviny řezu ρ s tečnými rovinami τ , τ 0 , které se dotýkají kuželové plochy podél přímek r, r0 . Nárys řezu h2 tvoří úsečky A2 K2 , B2 L2 společné přímce ρ2 a nárysu ohraničené kuželové plochy. V půdorysu se hyperbola h zobrazí do hyperboly h1 . Známe pro ni hlavní vrcholy A1 , B1 , asymptoty q1 , q10 a podle věty 2.10 i jedno ohnisko V1 , které je půdorysem vrcholu V kuželové plochy, a můžeme tedy hyperbolu h1 sestrojit. Oblouk hyperboly h s vrcholem A je v půdorysu viditelný. Oblouk hypervoly h s vrcholem B je zakrytý horní částí kuželové plochy a je proto v půdorysu neviditelný.


104

Příklad 2.13. Zobrazte řez rotačního kužele s podstavou v půdorysně, vrcholem V [0; 4, 5; 8] a poloměrem r = 3, 5 rovinou ρ(−8, 12, 4).

Řešení. Z obrázku je vidět, že rovina ρ svírá s rovinou podstavy, tj. s půdorysnou, úhel menší, než s ní svírají površky daného kužele, a řez je tedy eliptický. Protože rovina řezu není vrcholová a neprotíná podstavu kužele, je řezem část roviny, která je ohraničena elipsou e. Najdeme osy elipsy e. Osou kužele o proložíme rovinu σ kolmo k rovině ρ. Rovina σ je rovinou symetrie řezu e. Rovinu řezu ρ protíná v přímce I s a kuželovou plochu, jejíž částí je plášť danéhu kužele, v povrchových přímkách a, b. Přímka I s je spádovou přímkou první osnovy roviny ρ. Průsečíky A, B přímky I s s přímkami a, b jsou hlavními vrcholy elipsy řezu e a její hlavní osa leží na spádové přímce první osnovy I s. Bod A je zároveň nejvyšším bodem a bod B je nejnižším bodem elipsy e vzhledem k půdorysně. Středem O elipsy e je střed úsečky AB. Vedlejší osa elipsy e leží na hlavní přímce první osnovy I h roviny ρ, která prochází středem O elipsy e. Vedlejší vrcholy C, D elipsy e sestrojíme užitím věty 2.10. Jedním ohniskem půdorysu e1 elipsy e je půdorys V1 vrcholu V kužele. Známe-li hlavní vrcholy A1 ,


105

B1 , vedlejší osu I h1 a jedno ohnisko V1 elipsy e1 , můžeme sestrojit její vedlejší vrcholy C1 a D1 , které jsou půdorysy vedlejších vrcholů C, D elipsy e. V nárysu tvoří úsečky A2 B2 a C2 D2 sdružené průměry nárysu e2 elipsy řezu e. Osy a hlavní a vedlejší vrcholy nárysu elipsy řezu e2 sestrojíme Rytzovou konstrukcí. Sestrojíme také body, v nichž se druhý průmět e2 dotýká nárysného obrysu kužele. Osou kužele o proložíme rovinu τ rovnoběžnou s nárysnou. Rovina τ rozděluje vzhledem k nárysu kužel na viditelnou a neviditelnou část. Rovinu řezu ρ protíná v hlavní přímce druhé osnovy II h roviny ρ a kuželovou plochu v povrchových přímkách t, t0 . Nárysy t2 , t02 těchto přímek leží na nárysném obrysu kužele. Společné body T , T 0 hlavní přímky II h a povrchových přímek t, t0 jsou zřejmě body elipsy e. Jejich druhé průměty T2 , T20 jsou body dotyku elipsy e2 a nárysného obrysu kužele. Body T , T 0 jsou v nárysu body přechodu viditelnosti řezu e. Řez e lze také zkonstruovat užitím třetí průmětny. Za pomocnou třetí průmětnu zvolíme rovinu σ a sklopíme ji do půdorysny. Určíme třetí průmět vrcholu V a površek a, b, t, t0 . Třetí průmět roviny řezu ρ je přímka ρ3 a je totožný s třetím průmětem přímky I s. K sestrojení třetího průmětu přímky ρ3 využijeme průsečík R osy o kužele a roviny řezu ρ, který zřejmě leží i na přímce I s. V třetím průmětu vidíme, že řezem kužele rovinou ρ je elipsa. Přímka ρ3 protíná přímky a3 , b3 , t3 , t03 po řadě v bodech A3 , B3 , T3 , T30 . Tyto body přeneseme do půdorysu a do nárysu a dále postupujeme podle výše popsaného algoritmu.


106

Příklad 2.14. Je dán rotační kužel s podstavou v půdorysně, středem podstavy S[0; 5; 0], poloměrem r = 4 a výškou v = 9. Zobrazte parabolický řez tohoto kužele rovinou ρ(6; 4, 5; ?).

Řešení. Aby řez byl ohraničený parabolou, musí rovina ρ být rovnoběžná s jednou povrchovou přímkou kužele. K určení roviny ρ využijeme vrcholovou rovinu ω, jejíž půdorysná stopa pω je rovnoběžná s půdorysnou stopou pρ roviny ρ. Rovina ω má s kuželem společnou právě jednu površku, a tedy její půdorysná stopa pω je tečnou podstavné kružnice kužele. Nárysnou stopu nω roviny ω sestrojíme pomocí nárysného stopníku hlavní přímky roviny ω, která prochází vrcholem kužele V . Protože tečny podstavné kružnice kužele rovnoběžné s přímkou pρ existují dvě, máme dvě řešení ω, ω 0 pro vrcholovou rovinu, a tedy dvě roviny řezu ρ, ρ0 rovnoběžné po řadě s rovinami ω, ω 0 . Řešení popíšeme pouze pro řez rovinou ρ; řez rovinou ρ0 se sestrojí analogicky. Vrcholem kužele V proložíme rovinu σ kolmo k půdorysně i k rovině ρ. Rovina σ je rovinou souměrnosti řezu a protíná kuželovou plochu, jejíž částí


107

je plášť daného kužele, v povrchových přímkách a, a0 a s rovinou řezu ρ má společnou spádovou přímku první osnovy I sρ . Přímka I sρ je s přímkou a rovnoběžná a přímku a protíná v bodě A. Bod A je vrcholem paraboly řezu r, její osou je spádová přímka první osnovy I sρ . Bod A je zároveň nejvyšším bodem paraboly r vzhledem k půdorysně. Vrcholovou tečnou paraboly r je hlavní přímka první osnovy roviny ρ. Protože rovina řezu ρ protíná podstavu kužele v úsečce KL, je řezem kužele rovinou ρ oblast ohraničena obloukem paraboly r a její tětivou KL. Pro sestrojení půdorysu řezu využijeme větu 2.10. Pro půdorys paraboly r1 známe vrchol A1 , ohnisko V1 a osu I sρ1 a můžeme ji sestrojit. Vrcholem kužele V proložíme rovnoběžně s nárysnou rovinu τ . Rovina τ rozděluje vzhledem k nárysu kužel na viditelnou a neviditelnou část. Rovinu řezu ρ protíná v hlavní přímce druhé osnovy II hρ roviny ρ a kuželovou plochu v povrchových přímkách t, t0 . Nárysy t2 , t02 těchto přímek leží na nárysném obrysu kužele. Hlavní přímka II hρ protíná površku t v bodě T , přímku t0 protíná mimo kužel a jejich průsečík není potřeba sestrojovat. Bod T je bodem paraboly r, jeho druhý průmět T2 je bodem dotyku nárysu r2 paraboly r a nárysného obrysu kužele. Bod T je v nárysu zároveň bodem přechodu viditelnosti paraboly r. Nárys I sρ2 spádové přímky I sρ je směrem osy paraboly r2 , která je nárysem paraboly řezu r. Dále máme pro parabolu r2 tečnu t2 s bodem dotyku T2 . Druhou tečnou s bodem dotyku A2 paraboly r2 je nárys vrcholové tečny paraboly r. Máme-li dvě tečny s body dotyku a směr osy, můžeme sestrojit ohnisko F a poté celou parabolu r2 . K přesnějšímu vyrýsování paraboly r2 je vhodné do nárysu přenést několik bodů paraboly r1 . Příklad můžeme vyřešit také užitím třetí průmětny. Třetí průmětnu vedeme vrcholem kužele V kolmo k půdorysně tak, aby byla kolmá i k rovině řezu ρ. Třetí průmětnou je zřejmě rovina symetrie řezu σ. Rovinu σ sklopíme do půdorysny a určíme třetí průmět vrcholu V a površek a, a0 , t, t0 . Rovina řezu ρ se v třetím průmětu zobrazí do přímky ρ3 . Protože řezem má být parabola, musí rovina ρ svírat s půdorysnou stejný úhel, jaký s ní svírají površky kužele. Přímku ρ3 sestrojíme jako rovnoběžku s površkou tvořící v třetím průmětu obrys kužele. (Přímka ρ3 prochází průsečíkem půdorysných stop rovin ρ a σ.) Máme tedy dvě řešení ρ, ρ0 . Řešíme-li příklad užitím třetí průmětny, není ke konstrukci parabol r1 a r2 nutno sestrojovat nárysné stopy rovin ρ, ρ0 . Přímka ρ3 protíná přímky a3 , t3 po řadě v bodech A3 , T3 a přímka ρ03 protíná přímky a03 , t03 po řadě v bodech A03 , T30 . Přeneseme tyto body do půdorysu a do nárysu. První a druhý průmět obou řezů sestrojíme podle výše uvedeného algoritmu. Pro procvičení je vhodné sestrojit každou parabolu jiným způsobem, případně užít obou způsobů zároveň a tím i kontrolovat přesnost konstrukce.


108

Příklad 2.15. Je dán rotační kužel s podstavou v nárysně, středem podstavy S[0; 0; 5], poloměrem r = 4 a výškou v = 9. Zobrazte řez tohoto kužele rovinou ρ(−6; ∞; 7).

Řešení. Rovina řezu ρ je kolmá k nárysně, je tedy zřejmé, že s nárysnou svírá úhel větší než površky kužele a řez je hyperbolický. Protože rovina ρ není vrcholová a protíná podstavu kužele v úsečce KL, je řezem kužele rovinou ρ oblast ohraničena obloukem jedné větve hyperboly h a její tětivou KL. K určení hlavních vrcholů hyperboly h využijeme rovinu souměrnosti řezu σ (prochází vrcholem kužele V kolmo k nárysně i k rovině řezu ρ). Rovina σ protíná rovinu řezu ρ zřejmě ve spádové přímce druhé osnovy II s roviny ρ (která je i spádovou přímkou druhé osnovy roviny σ). Kuželovou plochu, jejíž částí je daný kužel, protíná rovina σ v povrchových přímkách a, b. Průsečík A přímek II s, a je hlavním vrcholem hyperboly h. (Druhým hlavním vrcholem hyperboly h je průsečík B přímek II s a b. Bod B leží mimo zadaný kužel, proto jej nebudeme sestrojovat.) Rovina řezu ρ je kolmá k nárysně, a tedy hyperbolu h můžeme jednoduše sestrojit i bez použití roviny symetrie σ a nebudeme ji proto sestrojovat. Středem O hyperboly h je střed úsečky AB. Protože hyperbola h leží v rovině kolmé k rovině podstavy, tj. k nárysně, leží bod O v průsečíku roviny ρ


109

a kolmice vedené vrcholem kužele V na rovinu ρ. Asymptoty q, q 0 hyperboly h procházejí bodem O a jsou rovnoběžné s povrchovými přímkami r, r0 , v nichž vrcholová rovina ω rovnoběžná s rovinou řezu ρ protíná kuželovou plochu. Lze je také sestrojit jako průsečnice roviny ρ s tečnými rovinami ϑ, ϑ0 kuželové plochy vedených površkami r, r0 . Nárysem řezu h2 je úsečka K2 L2 , kterou vytíná nárys podstavné kružnice kužele na přímce ρ2 . Nárys A2 vrcholu hyperboly h je středem úsečky K2 L2 a je totožný s nárysem O2 středu hyperboly h. V půdoryse tvoří bod A1 vrchol půdorysu řezu h1 . Můžeme ho sestrojit pomocí povrchové přímky a nebo povrchové kružnice l kuželové plochy, která se dotýká roviny řezu ρ. Střed hyperboly h1 je půdorysem středu O hyperboly h a asymptoty hyperboly h1 jsou půdorysy asymptot q, q 0 hyperboly h. Rovina τ jdoucí vrcholem V kužele rovnoběžně s půdorysnou, rozdělí kužel na viditelnou a neviditelnou část vzhledem k půdorysu. Kuželovou plochu protne v povrchových přímkách t, t0 , jejichž první průměty t1 , t01 leží na půdorysném obrysu kužele, a rovinu řezu ρ v hlavní přímce první osnovy I h. Společný bod T přímek I h a t je bodem hyperboly h. Jeho první průmět T1 je bodem dotyku půdorysného obrysu kužele a hyperboly h1 . Bod T je v půdorysu bodem přechodu viditelnosti půdorysu hyperboly h. Řez h lze zkonstruovat i užitím třetí průmětny obdobně jako příklad 2.13 a příklad 2.14.


2.5

110

Rovinný řez kulové plochy

Rovinný řez kulové plochy je průnikem kulové plochy s rovinou. Rovina buď protíná kulovou plochu v povrchové kružnici, nebo se jí dotýká v jediném bodě (tečná rovina), nebo s ní nemá žádný společný bod. Příklad 2.16. Zobrazte řez rovinou ρ(5; 6; ∞) kulové plochy se středem S[0; 5; 4] a poloměrem r = 3.

Řešení. Rovina řezu ρ protíná kulovou plochu v kružnici k, která má střed v bodě O a poloměr r0 . Protože rovina ρ je kolmá k půdorysně, je prvním průmětem kružnice k úsečka k1 = C1 D1 s krajními body na prvním obrysu kulové plochy. Střed O1 úsečky C1 D1 je půdorysem středu O kružnice k a délka úsečky C1 D1 je 2r0 . Kružnice k je povrchovou kružnicí kulové plochy, proto můžeme její střed O sestrojit také jako průsečík roviny ρ a přímky o, která prochází středem S kulové plochy a je kolmá k rovině ρ. V nárysu se kružnice k promítá do elipsy k2 s vedlejšími vrcholy C2 , D2 a hlavními vrcholy A2 , B2 , přičemž A1 = B1 = O1 . Kružnice k protíná kružnici l, jejíž nárys tvoří druhý obrys kulové plochy, v bodech T , T 0 . Body T , T 0 jsou v nárysu body přechodu viditelnosti kružnice k. Půdorysy T1 , T10 těchto bodů splývají a leží v průsečíku úseček k1 a l1 . Jejich druhé průměty T2 , T20 jsou body dotyku elipsy k2 a kružnice l2 .


111

Příklad 2.17. Kulovou plochu o středu S[0; 4, 5; 5] a poloměru r = 3, 5 protněte rovinou ρ(−7, 5; 7; 6, 5).

Řešení. Řezem kulové plochy rovinou ρ je povrchová kružnice k kulové plochy. Její střed O je průsečíkem roviny řezu ρ a přímky o, která prochází středem S kulové plochy a je kolmá na rovinu ρ. Bod O sestrojíme např. pomocí krycí přímky I s, která je spádovou přímkou první osnovy roviny ρ. Protože rovina řezu ρ je v obecné poloze, zobrazí se kružnice k v prvním i druhém průmětu jako elipsa. Poloměr r0 kružnice k určíme z pravoúhlého trojúhelníka s přeponou o velikosti r a jednou odvěsnou velikosti |OS|, druhá přepona má velikost r0 . O kružnici k víme, že leží v rovině ρ, známe její střed O i poloměr r0 a můžeme ji tedy sestrojit. Rovina řezu ρ protíná kružnici l, jejíž půdorys l1 tvoří první obrys kulové plochy, v bodech T , T 0 . Protože body T , T 0 leží na kulové ploše, a zároveň v rovině ρ, jsou to body kružnice k. Odvodíme je pomocí hlavní přímky první


112

osnovy I h roviny ρ, jejíž nárys splývá s nárysem kružnice l. Body T , T 0 jsou průsečíky přímky I h a kružnice l. První průměty T1 , T10 těchto bodů jsou body, ve kterých se elipsa k1 dotýká obrysové kružnice l1 . Body T , T 0 jsou v půdorysu body přechodu viditelnosti kružnice řezu k. Podobně protíná rovina řezu ρ kružnici m, jejíž druhý průmět m2 tvoří nárysný obrys kulové plochy, v bodech řezu U , U 0 , které jsou v nárysu body přechodu viditelnosti kružnice k. Body U , U 0 sestrojíme jako průsečíky kružnice m s hlavní přímkou druhé osnovy II h roviny řezu ρ, jejíž půdorys splývá s půdorysem kružnice m. Nárysy U2 , U20 těchto bodů jsou body dotyku nárysu k2 kružnice řezu k a nárysného obrysu kulové plochy, tj. kružnice m2 . Sdružené obrazy kružnice k můžeme také určit užitím třetí průmětny. Pomocnou třetí průmětnu proložíme bodem S kolmo k půdorysně a zároveň kolmo k rovině řezu ρ; třetí průmětnou je tedy první promítací rovina přímky o. Rovina ρ se v třetím průmětu zobrazí do přímky, kulová plocha do kružnice a kružnice k do úsečky. Pomocnou třetí průmětnu sklopíme do půdorysny. Potom třetím průmětem kulové plochy je kružnice se středem S3 a poloměrem r. Třetí průmět roviny ρ, tj. přímky ρ3 , prochází třetím průmětem O3 středu O a vytíná na kružnici, která tvoří třetí obrys kulové plochy úsečku C3 D3 . Úsečka C3 D3 je třetím průmětem kružnice řezu k. Velikost úsečky O3 C3 je její poloměr r0 ; |O3C3| = |O3D3| = r0 . Body C, D leží na přímce I s a jejich půdorysy jsou vedlejšími vrcholy elipsy k1 . První průměty A1 , B1 bodů A, B, jejichž třetí průměty splývají s třetím průmětem středu O, jsou hlavními vrcholy elipsy k1 . Třetí průměty T3 = T30 bodů T , T 0 ležící v průsečíku úseček l3 , k3 . Třetí průmětnu můžeme rovněž sklopit do roviny procházející středem kulové plochy rovnoběžně s půdorysnou. Potom třetí obraz kulové plochy je totožný s kružnicí l1 . Nárys řezu, tj. elipsu k2 , můžeme obdobně sestrojit užitím třetí průmětny, kterou tentokrát proložíme bodem S kolmo k nárysně a zároveň kolmo k rovině řezu ρ, nebo ho sestrojíme proužkovou konstrukcí.


113

Příklad 2.18. Je dána rovina α(−5; 5; 6) a kulová plocha se středem S[0; 4; 4] a poloměrem r = 3, 5. Zobrazte řez této kulové plochy rovinou ρ rovnoběžnou s rovinou α tak, aby se v prvním průmětu dotýkal obrysu kulové plochy.

Řešení. Řezem kulové plochy rovinou ρ je kružnice k. Půdorysný obrys kulové plochy tvoří první průmět l1 hlavní kružnice l. Aby se první průměty k1 , l1 dotýkaly v jednom bodě, musí mít kružnice l s rovinou ρ společný právě jeden bod. Ten sestrojíme pomocí hlavní přímky první osnovy I hρ roviny ρ, která v druhém průmětu splývá s nárysem kružnice l a je její tečnou. Rovinu ρ sice nemáme, ale protože je rovnoběžná s rovinou α, známe směry jejích hlavních přímek. V půdorysu tedy vedeme tečny ke kružnici l1 rovnoběžně s přímkou pα1 . 0 Tyto tečny existují dvě, máme dvě řešení pro hlavní přímku I hρ , I hρ a tím i dvě roviny řezu ρ a ρ0 . Rovina ρ pak prochází bodem dotyku T přímky I hρ a kružnice l rovnoběžně s rovinou α a rovina ρ0 prochází průsečíkem T 0 0 přímky I hρ a kružnice l rovnoběžně s rovinou α. Konstrukci řezu popíšeme pouze pro rovinu ρ, řez rovinou ρ0 se provede analogicky.


114

Středem O kružnice k je průsečík roviny ρ a přímky o vedené středem S kulové plochy kolmo k rovině ρ. Kolmice o splývá v prvním průmětu se spádovou přímkou první osnovy I sρ roviny ρ, která prochází bodem O. Přímka I sρ zřejmě prochází i bodem T . Bod O sestrojíme jako průsečík přímek o, I sρ . Poloměr r0 kružnice k získáme sklopením úsečky OT . Protože rovina řezu ρ je v obecné poloze, zobrazí se kružnice k v prvním i druhém průmětu jako elipsa. Bod T je bodem spádové přímky první osnovy I sρ , proto délka vedlejší poloosy elipsy k1 je velikost úsečky O1 T1 . Vedlejší vrcholy elipsy k2 sestrojíme proužkovou konstrukcí. K určení bodů dotyku elipsy k2 a nárysného obrysu kulové plochy, který tvoří druhý průmět m2 kružnice m, využijeme hlavní přímky druhé osnovy II hρ , jejíž první průmět splývá s půdorysem kružnice m. V půdorysu vidíme, že kružnice k a přímka II hρ nemají žádný společný bod, a proto ani kružnice k a m nemají žádné společné body. Kružnice řezu k je v obou průmětech celá viditelná. Kružnice k 0 , která je řezem kulové plochy rovinou ρ0 , je v obou průmětech celá neviditelná. Poté, co jsme získali bod T a stopy roviny ρ, můžeme řez sestrojit užitím třetí průmětny, kterou proložíme středem S kulové plochy kolmo k půdorysně a zároveň kolmo k rovině ρ. Třetí průmětna je zřejmě první promítací rovinou přímky o. Konstrukce je zřejmá z obrázku a je obdobná jako v příkladu 2.17. Třetím průmětem kulové plochy je kružnice se středem S3 a poloměrem r. Určíme ještě třetí obraz kružnice l, kterým je úsečka l3 procházející bodem S3 . Aby se rovina řezu ρ kružnice l dotýkala, musí její třetí obraz, tj. přímka ρ3 , procházet třetím obrazem T3 bodu T . Přímka ρ3 pak na třetím obrysu kulové plochy vytíná úsečku k3 , jejíž délka je 2r a její střed je třetím obrazem středu O kružnice k. Další postup je analogický příkladu 2.17.

Kapitola 3 Průnik přímky s tělesem Průnikem přímky p s tělesem rozumíme body, které má přímka spoječné s tělesem. Při konstrukci postupujeme takto: 1. Přímkou p proložíme libovolnou pomocnou rovinu. 2. Sestrojíme řez tělesa touto rovinou. 3. Body, které má přímka společné s řezem, jsou hledaným průnikem přímky s tělesem. V praxi volíme nejčastěji za pomocnou rovinu jednu z promítacích rovin přímky p, nebo směrovou, resp. vrcholovou rovinu. U hranolu, resp. jehlanu, volíme za pomocnou rovinu jednu z promítacích rovin přímky p. Leží-li podstava hranolu, resp. jehlanu, v jedné z průměten, je rovněž výhodné zvolit za pomocnou rovinu směrovou rovinu hranolu, resp. vrcholovou rovinu jehlanu. U válce, resp. kužele, volíme za pomocnou rovinu směrovou rovinu válce, resp. vrcholovou rovinu kužele. U kulové plochy volíme za pomocnou rovinu jednu z promítacích rovin přímky p. Přímka buď nemá s tělesem žádný společný bod, nebo může mít s tělesem společný právě jeden bod, nebo celou úsečku. Protože kulová plocha není těleso, nemůže mít s přímkou společnou úsečku, ale pouze dva body.

115

KAPITOLA 3. PRŮNIK PŘÍMKY S TĚLESEM

116

Příklad 3.1. Zobrazte průnik přímky a = ([−1, 5; 0; 1], [2; 10; 5]) s kosým hranolem se čtvercovou podstavou, který má jednu podstavu ABCD v půdorysně, A[4; 6; 0], C[3; 1; 0], jedním vrcholem druhé podstavy je bod A0 [−3; 9; 7].

Řešení. Příklad vyřešíme užitím pomocné směrové roviny ρ daného hranolu. Libovolným bodem přímky a vedeme přímku b rovnoběžnou s hranami daného hranolu. Protože přímky a, b jsou různoběžné, tvoří rovinu, která je hledanou směrovou rovinou ρ. Sestrojíme její půdorysnou stopu pρ = P a P b , kde P a je půdorysným stopníkem přímky a a P b je půdorysným stopníkem přímky b. Nárysnou stopu roviny ρ není třeba sestrojovat. Sestrojíme řez hranolu rovinou ρ. Přímka pρ i podstava ABCD daného hranolu leží v jedné rovině (v půdorysně), proto protíná přímka pρ obvod čtverce ABCD v bodech K, L. Rovnoběžník KLL0 K 0 , jehož strany KK 0 , LL0 leží na povrchových přímkách a body K 0 , L0 na obvodu podstavy A0 B 0 C 0 D0 , je řezem daného hranolu rovinou ρ. Přímka a i rovnoběžník KLL0 K 0 leží v rovině ρ, mají proto společnou úsečku XY , kde bod X leží na straně KK 0 a bod Y na straně LL0 . Úsečka XY je hledaným průnikem přímky a s daným hranolem. Bod X je v obou průmětech viditelný, protože leží ve viditelné stěně ABB 0 A0 . Bod Y je v obou průmětech neviditelný, protože leží v neviditelné stěně CDD0 C 0 .


117

Příklad 3.2. Zobrazte pravidelný šestiboký hranol, jehož dolní podstava má střed S[−4; 8; 2] a jedna její hrana leží půdorysně, středem horní podstavy je bod S 0 [4; 4; 7]. Dále zobrazte průnik tohoto hranolu s přímkou m = ([−4; 0; 7, 5], [4; 11; 2]).

Řešení. Pro hranol známe jeho osu o = SS 0 . Sestrojíme rovinu dolní podstavy α, která prochází bodem S a je kolmá k přímce o. Rovinu α určíme hlavní přímkou první osnovy I h a hlavní přímkou druhé osnovy II h, které procházejí bodem S a sestrojíme její půdorysnou stopu pα . Výhodnější je sestrojit podstavu v otočení roviny α kolem její půdorysné stopy do půdorysny, proto není třeba nárysnou stopu roviny α sestrojovat. Protože jedna podstavná hrana, např. hrana AB, má ležet v půdorysně a současně leží v rovině α, musí ležet na jejich průsečnici, což je půdorysná stopa pα roviny α. Z vlastností pravidelného šestiúhelníku plyne, že úhlopříčka podstavy CF a podstavná hrana DE leží na hlavních přímkách první osnovy roviny α. V otočení stačí sestrojit jen rovnostranný trojúhelník A0 B0 S0 , kde A0 B0 ⊂ pα a platí A0 = A1 , B0 = B1 . Výškou hranolu je velikost úsečky SS 0 . Protože platí yS > yS 0 , zS < zS 0


118

je v půdorysu neviditelná podstava se středem S a v nárysu je neviditelná podstava se středem S 0 . Průnik přímky m s hranolem sestrojíme užitím druhé promítací roviny ¯ C¯ D ¯ E¯ F¯ . Protože pomocná ropřímky m. Ta protne hranol v šestiúhelníku A¯B ¯ C¯ D ¯ E¯ F¯ se v nárysu zobrazí do úsečky vina je kolmá k nárysně, šestiúhelník A¯B ¯ 2 . Přímka m protne obvod řezu v bodech X, Y , úsečka XY je hledaným A¯2 D průnikem přímky m s hranolem. Bod X je v půdorysu viditelný a v nárysu neviditelný. Bod Y je v půdorysu neviditelný a v nárysu viditelný.

Příklad 3.3. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan s hlavním vrcholem V [0; 4; 5] a podstavou ABCD v půdorysně, A[−3; 5; 0]. Zobrazte průnik tohoto jehlanu s přímkou a = ([−4; 2; 5], [4; 5; 0]).

Řešení. K řešení využijeme druhou promítací rovinu přímky a, která protíná ¯ C¯ D. ¯ Protože pomocná rovina je kolmá k nárysně, jehlan v čtyřúhelníku A¯B ¯ C¯ D ¯ do úsečky A¯2 C¯2 . Přímka a má s řezem zobrazí se v nárysu čtyřúhelník A¯B ¯ C¯ D ¯ společnou úsečku XY , která je hledaným průnikem. V půdorysu jsou A¯B oba body X, Y viditelné. V nárysu je viditelný bod X, bod Y je v nárysu neviditelný.


119

Příklad 3.4. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan s hlavním vrcholem V [0; 4; 7] a podstavou ABCD v půdorysně, A[−3; 3; 0]. Zobrazte průnik tohoto jehlanu s přímkou a = ([−3; 5; 4], [4; 1; 0]).

Řešení. Řešení provedeme užitím vrcholové roviny ρ daného jehlanu, tj. přímkou a proložíme vrcholovou rovinu a sestrojíme její řez s jehlanem. Společné body přímky a a řezu jsou hledaným průnikem. Na přímce a zvolíme libovolný bod a vedeme jím přímku b, která prochází hlavním vrcholem V jehlanu. Přímky a, b určují hledanou vrcholovou rovinu ρ. Půdorysná stopa pρ = P aP b, kde P a je půdorysným stopníkem přímky a a P b je půdorysným stopníkem přímky b, protíná obvod podstavy v bodech K, L. Řezem jehlanu vrcholovou rovinou ρ je trojúhelník KLV . Přímka a i trojúhelník KLV leží v rovině ρ, mají proto společnou úsečku XY , kde bod X leží na straně KV a bod Y na straně LV . Úsečka XY je hledaným průnikem přímky a s daným jehlanem. V půdorysu jsou oba body X, Y viditelné. V nárysu je viditelný pouze bod X, bod Y je v nárysu neviditelný.


120

Příklad 3.5. Vyšetřete vzájemnou polohu přímky a = ([−1; 0; 7], [1; 10; 0]) a šikmého kruhového válce, jehož jedna podstava leží v půdorysně, má střed S[−4; 4; 0] a poloměr r = 2, 5, druhá podstava válce má střed v bodě S 0 [4; 7; 7].

Řešení. Úloha vede na sestrojení průniku přímky a a daného válce. Přímkou a proložíme směrovou rovinu ρ = a · b válce a sestrojíme řez válce rovinou ρ. Přímku b sestrojíme tak, že na přímce a zvolíme libovolný bod a vedeme jím přímku b rovnoběžně s površkami válce. Protože jedna podstava válce leží v půdorysně, protíná půdorysná stopa pρ = P a P b roviny ρ obvod této podstavy v bodech K, L. Řezem válce směrovou rovinou ρ je rovnoběžník KLL0 K 0 , jehož strany KK 0 , LL0 leží na povrchových přímkách a body K 0 , L0 na obvodu druhé podstavy válce. Přímka a protíná obvod rovnoběžníku KLL0 K 0 v bodech X, Y , tzn. že přímka a má s daným válcem společnou úsečku XY . Bod X je v obou průmětech viditelný, bod Y je v obou průmětech neviditelný.


121

Příklad 3.6. Zobrazte rotační válec o poloměru r = 2, 5, znáte-li středy S[−3; 4; 3], S 0 [3; 10; 8] jeho podstav. Dále zobrazte průnik přímky a = ([−5; 0; 1, 5], [3; 12; 5]) s tímto válcem.

Řešení. Pro válec známe osu o = SS 0 . Sestrojíme rovinu jedné podstavy α = I h · II h, která prochází bodem S a je kolmá k přímce o. V rovině α sestrojíme podstavu válce, jejíž obvod tvoří kružnice k(S, r). Výška válce je rovna délce úsečky SS 0 . Protože platí yS < yS 0 , zS < zS 0 , je v obou průmětech podstava se středem S neviditelná. Přímkou a proložíme směrovou rovinu ρ = a · b válce, kde přímka b je rovnoběžná s osou válce a různoběžná s přímkou a, a rovinou ρ válec protneme. Sestrojíme průsečnici r roviny podstavy α a roviny řezu ρ. Přímka r protíná kružnici k v bodech K, L. Řezem válce směrovou rovinou ρ je rovnoběžník KLL0 K 0 , jehož strany KK 0 , LL0 leží na povrchových přímkách a body K 0 , L0 na kružnici k 0 , která tvoří obvod druhé podstavy válce. Přímka a má s rovnoběžníkem KLL0 K 0 společnou úsečku XY , přitom bod X leží na staně KK 0 a Y leží na staně KL. Průnikem přímky a s válcem


122

je úsečka XY . Bod X je v půdorysu neviditelný a v nárysu viditelný. Bod Y je v obou průmětech neviditelný.

Příklad 3.7. Zobrazte průnik přímky a = ([−1; 0; 7], [1; 9; 0]) s kosým kruhovým kuželem, jehož podstava leží v půdorysně, má střed S[−3; 4; 0] a poloměr r = 2, 5, vrcholem kužele je bod V [5; 7; 8].

Řešení. Přímkou a proložíme vrcholovou rovinu ρ = a · b daného kužele a sestrojíme řez kužele rovinou ρ. Přímka b prochází vrcholem V kužele a bodem přímky a, který zvolíme libovolně. Podstava kužele leží v půdorysně, proto protíná půdorysná stopa pρ = P a P b roviny ρ podstavnou hranu k v bodech K, L. Řezem kužele vrcholovou rovinou ρ je trojúhelník KLV . Přímka a protíná obvod trojúhelníku KLV v bodech X, Y , tedy průnikem přímky a a daného válce je úsečka XY . Bod X je v půdorysu viditelný a v nárysu neviditelný. Bod Y je v půdorysu neviditelný a v nárysu viditelný.


123

Příklad 3.8. Zobrazte všechny přímky, které procházejí bodem M [0; 5; 7], mají od půdorysny odchylku ω = 60◦ a protínají přímku a = ([−5; 1; 0], [3; 10; 5]).

Řešení. Všechny přímky, které procházejí daným bodem M a mají od půdorysny odchylku ω = 60◦ tvoří rotační kuželovou plochu s vrcholem M , jejíž osa je kolmá k půdorysně. Površky, které tvoří nárysný obrys kuželové plochy, jsou rovnoběžné s nárysnou a jejich nárysy svírají s osou x12 úhel ω = 60◦ . V půdorysu pokrývá kuželová plocha celou průmětnu. Za řídící kružnici kuželové plochy zvolíme kružnici k ležící v půdorysně. Na přímce a zvolíme libovolný bod a vedeme jím přímku b, která prochází bodem M . Přímky a, b určují vrcholovou rovinu ρ kuželové plochy. Její půdorysná stopa pρ = P a P b protíná řídící kružnici k v bodech Q, R. Bodem Q prochází povrchová přímka q a bodem R prochází povrchová přímka r. Protože přímky q, r leží s přímkou a v jedné rovině a nejsou s ní rovnoběžné, protíná přímka a přímku q v bodě X a přímku r v bodě Y . Přímky q, r jsou tedy řešením této úlohy. Viditelnost přímek q, r, a je určena vzhledem k celé kuželové ploše.


124

Příklad 3.9. Zobrazte průnik přímky a = ([−2; 0; 9], [4; 8; 0]) s kulovou plochou, která má střed v bodě S[0; 4; 5] a poloměr r = 3.

Řešení. Příklad vyřešíme pomocí druhé promítací roviny přímky a. Tato rovina protíná kulovou plochu v povrchové kružnici k. Protože je druhá promítací rovina přímky a kolmá k nárysně, sestrojíme kružnici řezu k obdobně jako v příkladě 2.16. V půdorysu se kružnice k průmítá do elipsy, v nárysu do úsečky. Přímka a i kružnice k leží v jedné rovině, proto protíná přímka a kružnici k v bodech X, Y , které leží na kulové ploše a jsou tedy hledaným průnikem přímky a a kulové plochy. Bod X je v půdorysu viditelný a v nárysu neviditelný. Bod Y je v půdorysu neviditelný a v nárysu viditelný.

Poznámka. V příkladě 3.9 jsme sestrojovali průsečíky přímky s elipsou. Toto řešení je ale nepřesné. V příkladě 3.10 si ukážeme přesné řešení.


125

Příklad 3.10. Na přímce a = ([−5; 1; 0], [2; 9; 8]) zobrazte všechny body, jejichž vzdálenost od bodu S[0; 5; 4] je d = 3.

Řešení. Všechny body, které mají od daného bodu S vzdálenost d, tvoří kulovou plochu se středem v bodě S a poloměrem d. Úloha tedy vede na průnik přímky s kulovou plochou. Řešení můžeme provést podoně, jako v příkladě 3.9 nebo následujícím způsobem. První promítací rovina ρ přímky a protíná kulovou plochu v kružnici k. V půdorysu se kružnice k zobrazí do úsečky k1 , jejíž délka je rovna dvojnásobku poloměru kružnice k a její střed O1 je půdorysem středu O kružnice k. Kružnice k je povrchovou kružnicí kulové plochy, proto její střed O je průsečíkem roviny ρ a přímky jdoucí středem S kulové plochy kolmo k rovině ρ. Protože rovina ρ je kolmá k půdorysně, leží nárys O2 bodu O na rovnoběžce s osou x12 jdoucí bodem S1 . Rovinu ρ sklopíme do půdorysny a určíme (O), (k) a (a). Potom v průsečících (X), (Y ) sklopených obrazů přímky (a) a kružnice (k) dostáváme sklopené obrazy průsečíků X, Y přímky a a kulové plochy. Bod X je v obou průmětech viditelný, bod Y je v obou průmětech neviditelný.

Závěr Problematika prostorových tělesech je, alespoň podle mého názoru, jedna z nejzajímavějších kapitol deskriptivní geometrie. Bohužel se jí často nevěnuje dostatek času, zejména teorii rovinných řezů oblých těles, na to, aby si žáci tuto látku dostatečně procvičili. Vyřešením uvedených příkladů by si žáci měli upevnit znalosti o základních vlastnostech těles a jejich rovinných řezů. Úlohy o tělesech jsou také vhodné pro procvičování prostorové představivosti. Příklady na rovinné řezy těles lze ještě doplnit sestrojením skutečné velikosti řezu nebo sítě seříznuté části tělesa (kromě úloh na kulové ploše), případně vyznačením viditelnosti seříznuté části tělesa. Pro přesnější představu, jak je řez na tělese umístěn, je dobré vytvoření modelu seříznuté části tělesa.

126

Použitá literatura [1] Urban A.: Deskriptivní geometrie I, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1965 [2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie I, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1972 [3] Kadeřávek F., Klíma J., Kounovský J.: Deskriptivní geometrie I, Nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1954 [4] Harant M., Lanta O., Menšík M., Urban A.: Deskriptivní geometrie pro II. a III. ročník SVVŠ, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1966 [5] Plocková E., Řehák M.: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní a konstruktivní geometrie. Díl 3. Základy Mongeova promítání, VŠB – Technická univerzita Ostrava, Ostrava 1998 [6] Holáň Š., Holáňová L.: Cvičení z deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT v Brně, CERM Brno, 1994 [7] Maňásková E.: Sbírka úloh z deskriptivní geometrie, Prometheus, Praha 2001 [8] Puchýřová J.: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část A, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o. Brno, 2005 [9] Plocková E., Řehák M.: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní a konstruktivní geometrie. Díl 3. Základy Mongeova promítání — pro FS, Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava – Ostrava, 1994 [10] Filip J.: Zbierka maturitných úloh z deskriptívnej geometrie, ALFA, Bratislava 1972 [11] Horák S.: Sbírka řešených úloh z deskriptivní geometrie, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1970 127

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

Recommend Documents