Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Bakalářská práce Rovnice ve středoškolské matematice - učební materiál pro neslyšící studenty
Brno 2009
Jitka Tarabová
Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně, pouze za odborného vedení Mgr. Jaroslava Hrdiny, Ph.D. Dále prohlašuji, že veškeré podklady, ze kterých jsem čerpala, jsou uvedeny v seznamu literatury. V Brně dne ??.?? 2009 ........................
Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala Mgr. Jaroslavu Hrdinovi, Ph.D. za cenné rady a odborné připomínky, které mi během vypracovávání bakalářské práce poskytl, za čas, který mi věnoval při konzultačních hodinách a v neposlední řadě za možnost navštěvovat kurzy SignWritingu a znakového jazyka. Také bych chtěla poděkovat panu Mgr. Janu Fikejsovi a Bc. Tomáši Sklenákovi za rady a čas, který mi dali k dispozici při zápisu znakového jazyka pomocí SignWritingu.
Obsah 1
Úvod
2
3 3.1 3.2 3.3 3.4
1
SignWriting
3
Lineární rovnice Základní pojmy týkající se rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Možné výsledky řešení lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . Vzorové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 6 6
Příklady
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.1 4.2 4.3
Lineární funkce 8 Základní pojmy týkající se funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Vliv koeficientů na graf funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Vzorové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 4.5
Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Grafické řešení lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.6
Příklady
4
5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6 6.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Kvadratické rovnice Typy kvadratických rovnic Vzorové příklady . . . . . Vietovy vzorce . . . . . . Vzorový příklad . . . . . . Příklady
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
14 14 15 17 17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Kvadratická funkce 19 Vliv koeficientů na graf funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I
6.2 6.3 6.4 6.5
Vrchol kvadratické funkce Vrcholový zápis funkce . . Zadání kvadratické funkce Vzorové příklady . . . . .
6.6 6.7
Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Grafické řešení kvadratických rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.8
Příklady
7.1 7.2
Rovnice v součinovém a podílovém tvaru 25 Rovnice v součinovém tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Vzorové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.3 7.4 7.5
Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Rovnice v podílovém tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Vzorové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.6
Příklady
8.1 8.2 8.3
Rovnice s neznámou ve Postup řešení . . . . . . . Vzorový příklad . . . . . . Příklady . . . . . . . . . .
9.1 9.2
Iracionální rovnice 31 Postup řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Vzorový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7
8
9
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
21 21 21 21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
jmenovateli 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II
9.3 10
Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Výsledky
34
III
Kapitola 1 Úvod Moje bakalářská práce má sloužit jako studijní materiál pro studenty se sluchovým postižením. Jazykem komunity neslyšících je znakový jazyk. Český znakový jazyk je přirozený, plnohodnotný komunikační systém tvořený vizuálně-pohybovými prostředky (tvary rukou, jejich postavením, mimikou, pozicemi hlavy a pohybem horní části trupu). Není nijak odvozený z mluveného jazyka, ale stejně jako jazyk mluvený se samostatně vyvíjel na různých místech naší planety, tudíž není mezinárodní, stejně tak, jako mluvený jazyk není mezinárodní. Dokonce existují odchylky ve znakování v jednotlivých oblastech České republiky, muži a ženy mohou znakovat odlišně, stejně tak znakování mladých a starších lidí se může lišit. Český znakový jazyk má základní atributy jazyka, tj. znakovost, systémovost, dvojí členění, produktivnost, svébytnost a historický rozměr. Je nositelem lexikálního i gramatického významu, přičemž nositelem lexikálního významu jsou jednotlivé znaky a nositelem gramatického významu je mimika. Každý jazykový projev, ať už mluvený nebo znakovaný, je doprovázen nějakým výrazem obličeje. V jazyce mluveném se můžeme opřít o intonaci či melodii hlasu, avšak v jazyce znakovém, v němž tyto zvukové charakteristiky nejsou, jsme při chápání smyslu sdělení na mimice závislí. Právě mimika nám umožní rozpoznat, zda se nás osoba na něco ptá nebo nám něco sděluje. Slovosledem rozumíme pořadí slov ve větě podle určitých pravidel. Pořadí znaků v českém znakovém jazyce nazýváme znakosled. Pořadí znaků v českém znakovém jazyce je oproti pořadí větných členů mluveného jazyka odlišné. Je to proto, že ve znakových jazycích je k vyjádření gramatických významů a vztahů mezi jednotlivými elementy využíván prostor a nemanuální nosiče významu - již zmíněná mimika, pohyby hlavy a horní části těla. Rozdíly, které jsou ve znakosledu a slovosledu, působí sluchově postiženým velké problémy. Mnoho z nich nedokáže plně porozumět psanému textu. O to těžší je porozumění odbornému textu. S některými odbornými výrazy se sluchově postižený člověk nemusel nikdy setkat. I když jej zná ve znakové formě, neví jakou podobu má v psané formě, neboť ve znakovém jazyce může být popsán dle vzhledu a není doprovázen ”slovním vyjádřením”. Sluchově postižení tedy čtou v cizím jazyce, což vždy vyžaduje daleko větší námahu, než čtení v mateřském jazyce. 1
Při tlumočení výuky matematiky sluchově postižených tlumočníkem neznalého matematiky se může stát, že se některé matematické informace ztrácejí, neboť tlumočník nemusí tématu plně rozumět a některé znaky, jak jsem již zmínila, nejsou doprovázeny přesným názvem. Jako příklad bych uvedla pojem diskriminant. V českém znakovém jazyce je pořadí znaků následovné: polynom, typ, D. Nikde se při znakování ”nevyslovuje” slovo diskriminant. Myslím si, že v řešení těchto problémů má svůj nezanedbatelný přínos SignWriting. SignWriting neboli ”znakopis”, je vizuální zápisový systém, který umožňuje psát a číst jakýkoliv znakový jazyk na světě. Využívá vizuálních symbolů k reprezentaci tvarů ruky, pohybů a mimiky jakéhokoliv znakového jazyka [10]. Nyní je používán ve 40ti zemích k zápisu čtyřiceti různých znakových jazyků. Jednotlivé znaky se zapisují z pohledu tlumočníka, tak jak vidí on jednotlivé znaky. Pomocí SignWritingu lze zachytit nejen jednotlivé tvary rukou, ale i mimiku, pohyb. Symboly SignWritingu jsou nejčastěji černobílé. Bílá barva značí dlaň ruky, černá barva hřbet ruky. Pomocí šipek je zachycen pohyb. Pohyb v horizontální rovině se zapisuje pomocí jednoduché šipky, pohyb ve vertikální rovině pomocí šipky dvojité, pohyb v zápěstí má také svoji speciální šipku. Pohyb pravé a levé ruky je přitom odlišen vyplněním či nevyplněním konce šipky. Pomocí speciálních znaků, jako je např. hvězdička, lze zachycovat důraz, třený, rychlý, pomalý pohyb. Každý tvar ruky je reprezentován určitým symbolem, např. pěst je znázorněna jako čtverec. Jednotlivé znaky pak zapisujeme od shora dolů a také je tak čteme. SignWriting otevírá nové hranice v komunikaci neslyšících a znakujících po celém světě, neboť právě díky němu mohou číst a psát sluchově postižení ve svém mateřském jazyce (znakovém jazyce). Připadá mi, že je obtížnější naučit se znakový jazyk zapisovat, nežli samotná četba SignWritingu. Znakové písmo teprve nachází větší množství stoupenců na celém světě, ale už teď je možné předpovídat, že bude mít nezanedbatelný význam i pro organizace neslyšících. Na straně jedné se zesílí u neslyšících lidí vnímání vlastní kultury a jejich hodnot a zároveň umožní toto kulturní bohatství zvětšovat. Na straně druhé pomůže SignWriting zcela jistě přejít na vyšší úroveň vzdělávání neslyšících ve světě, kde už nyní probíhá snaha o rozšíření vzdělávání ve znakovém jazyce [11]. SignWriting mě natolik zaujal, že jsem se ho rozhodla použít v této práci. Považuji ho za velmi přínosný nejen při výuce matematiky. V dnešní době nejsou všechna slova zapsána ve znakovém jazyce, proto jsem řadu slov zapisovala pomocí SignWritingu sama. Při promýšlení didaktické stránky jsem se převážně opírala o článek Developing Thinking Skills in Deaf Learners: Strategies and Priorities for the Science and Mathematics Teacher [12, 13], zaměřený na vzdělávání studentů se speciálními vzdělávacími potřebami. Snažím se proto v celém textu dávat do souvislosti geometrický a algebraický pohled na probíranou látku spolu s testováním míry pochopení na příkladech obsahujících obvyklé chyby výpočtu. Ve druhé kapitole je uvedena tabulka zápisu znakového jazyka pomocí SignWritingu spolu s jeho významem v českém jazyce, a to proto, aby si student mohl spojit čtený pojem s jeho znakovou podobou či naopak.
2
Kapitola 2 SignWriting proměnná:
kořen:
rovnice:
řešení:
zkouška:
lineární rovnice:
ekvivalence:
příklad:
bod:
definice:
obor:
hodnota:
kartézská soustava:
graf:
lineární funkce:
různoběžný:
rovnoběžný:
přímka:
3
růst:
klesat:
osová souměrnost:
kvadratická rovnice:
koeficient:
člen:
diskriminant:
součin:
průsečík:
kvadratická funkce:
parabola:
vrchol:
osa paraboly:
omezení:
operace:
iracionální rovnice:
výsledek:
implikace:
rovnice v součinovém tvaru:
rovnice v podílovém tvaru:
rovnice s neznámou ve jmenovateli:
4
Kapitola 3 Lineární rovnice 3.1
Základní pojmy týkající se rovnic
Hodnota proměnné (číslo), pro které se výrazy rovnají, se nazývá kořen rovnice. Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, v němž je třeba určit hodnotu proměnné tak, abychom po dosazení vypočítané hodnoty za proměnnou dostali pravdivý výrok. Každá rovnice má svoji levou a pravou stranu, přičemž jejich rozdělení udává rovnítko. Množinu všech kořenů rovnice nazýváme řešením rovnice. Také postup, kterým kořeny rovnice hledáme, nazýváme řešením rovnice. Řešit rovnici tedy znamená určit množinu všech reálných čísel, která jsou kořeny dané rovnice. Zkouškou nazýváme kontrolu správnosti řešení, kterou provedeme dosazením kořenů do původní rovnice.
Lineární rovnice s neznámou x je každá rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar ax + b = 0, kde a, b patří do množiny reálných čísel a zároveň a je různé od nuly (značíme a, b ∈ R, a 6= 0). Ekvivalentní úpravy jsou takové, které převádějí každou rovnici na rovnici s ní ekvivalentní, tj. zachovávají množiny všech řešení: 1. výměna levé a pravé strany rovnice 2. přičtení téhož čísla k oběma stranám rovnice 3. přičtení téhož násobku neznámé k oběma stranám rovnice 4. odečtení téhož čísla od obou stran rovnice 5. odečtení téhož násobku neznámé od obou stran rovnice 5
6. vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem 7. vydělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem 8. úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice Výraz ax + b = 0, kde a, b ∈ R, a 6= 0 se nazývá lineární dvojčlen. Základem řešení tohoto typu rovnic je, že členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice a členy bez neznámé na druhou stranu rovnice.
3.2
Možné výsledky řešení lineárních rovnic
Je-li a 6= 0, má rovnice právě jeden kořen x =
−b a
Je-li a = 0 a b = 0, má rovnice nekonečně mnoho řešení Je-li a = 0 a b 6= 0 nemá rovnice řešení
3.3
Vzorové příklady
1. Vyřešte následující lineární rovnici v oboru reálných čísel 7x − 4 · (x − 6) = 3 · (x + 8) Abychom osamostatnili členy s neznámou, roznásobíme závorky na obou stranách rovnice, a tím členy s neznámou kvantifikujeme (určíme jejich počet) 7x − 4x + 24 = 3x + 24 3x + 24 = 3x + 24 Výrazy s x převedeme na jednu stranu rovnice a číselné výrazy na druhou stranu rovnice 3x − 3x = 24 − 24 0x = 0
Výsledkem jsou všechna reálná čísla Zk.: ověření pro zvolené x=1: L=7 − 4 · (1 − 6) = 7 − 4 · (−5) = 7 + 20 = 27 P=3 · (1 + 9) = 3 · 9 = 27 L=P ověření pro zvolené x=0: L=7 · 0 − 4 · (0 − 6) = 0 + 24 = 24 P=3 · (0 + 8) = 24 L=P 6
2. Vyřešte následující rovnici v oboru reálných čísel (x − 2) · (x + 1) = (x + 1)2
Roznásobíme závorky na pravé straně rovnice a levou stranu rovnice upravíme pomocí vzorce: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 x2 + x − 2x − 2 = x2 + 2x + 1
Na první pohled by nás mohlo zmást x2 , neboť rovnice, kde se vyskytuje x s druhou mocninou neumíme řešit. V tomto případě se nám po převedení výrazů s x a x2 na jednu stranu rovnice výrazy s x2 odečtou. A tedy se jedná o lineární rovnici. Na stranu druhou převedeme číselné výrazy. x2 − x2 + x − 2x − 2x = 2 + 1 −3x = 3 3 =⇒ x = −1 x= −3
Zk.: L=(−1 − 2) · (−1 + 1) = −3 · 0 = 0 P=(−1 + 1)2 = 02 = 0 L=P
3.4
Příklady
1. Nejděte všechny chyby v následujících výpočtech (a) 3x − 2 = 1 (b) 4x + 1 = 2x + 3 (c) 9x − 3 · (5 − 2x) = 5 · (3x − 7) 3x = 1 − 2 4x + 2x = 3 − 1 9x − 15 − 6x = 15x − 35 3x = −1 6x = 2 3x − 15 = 15x − 35 3 6 x = −1 x=2 3x + 15x = (−35) + 15 x = −3 x=3 18x = 20 x = 20 18 x = 10 9 2. Řešte následující lineární rovnice v oboru reálných čísel (a) 2x + 2 = 3 (b) −2x + 1 = x − 2 (c) 2x − 5 = 0 (d) x2 + 2 = − 34 (e) (x + 3) · (x − 5) = (x − 3)2 (f) x + 3 · (x − 1) + 2 = 4x − 1 (g) 0.5 · (−2x − 5) + 2 = 4 − x
(h) (x − 5) · (x − 2) = x2 − 7x + 10 (i) 3 − 2 · [11 − (6 − 5x)] = −4 · (2x + 1) (j) 2 · (x2 + 2x) · x = 2 · (x − 1) · (x + 3) · x (k) 9x − (2x)2 = 5 − (2x + 1) · (2x − 1) (l) 6+25x − (x − 1) = 2x + 75 15 3 (m) 3x−1 − (x − 1) = 3x−2 − x2 3 6 (n)
x 2
−
x− x 2 2
−
x− x − 12 · 2 2
2+ x 2 2
=
(o) 3 · [2 · (3x − 6) − 2 · (4x − 5) + 1] − 3 = 6 · [3 − 8 · (x − 3)] 7
1 2
·
x− x 2 2
Kapitola 4 Lineární funkce 4.1
Základní pojmy týkající se funkcí
Funkce je pravidlo, které každému reálnému číslu z určité podmnožiny množiny R přiřazuje právě jediné reálné číslo. Definiční obor funkce f je množina všech hodnot, pro které je funkce f definována (všechna x, která tomuto matematickému záznamu vyhovují, tedy ho činí pravdivým). Obor hodnot funkce f je množina všech hodnot, kterých funkce f na svém definičním oboru nabývá. Kartézská soustava je soustava souřadnic v rovině, jejíž osy x, y jsou navzájem kolmé a jednotky délky jsou stejné na každé z obou os. Graf funkce f ve zvolené kartézské soustavě souřadnic je množina všech bodů X[x, f (x)], kde x patří do definičního oboru funkce f .
Lineární funkce je každá funkce, která je dána předpisem f : y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Grafem lineární funkce je přímka.
4.2
Vliv koeficientů na graf funkce
Je-li dána lineární funkce tvaru f : y = ax + b, pak platí: Pokud se b = 0, přímka vždy prochází počátkem [0, 0]. Tato funkce bývá také označována jako přímá úměrnost.
8
Pokud je a > 0, jedná se o graf rostoucí funkce
Graf funkce f : y = ax bude osově souměrný podle osy y s funkcí g : y = −ax.
Je-li a < 0, jedná se o klesající funkci.
Shrnutí (a) Pro a > 0 je graf funkce rostoucí. (b) Pro a < 0 je graf funkce klesající. (c) Pro b = 0 graf funkce prochází počátkem. (d) Pro b 6= 0 graf funkce prochází bodem na ose y, rovnající se hodnotě b.
9
4.3
Vzorové příklady
1. Nakreslete graf funkce f : y = −3x + 1 Graf této funkce nakreslíme snadno. Víme, že grafem každé lineární funkce je přímka (teoreticky může být i úsečka, pokud máme vykreslit graf lineární funkce pouze na určitém intervalu). Koeficient u x nám říká, že se bude jednat o klesající funkci. K tomu, abychom narýsovali přímku nám stačí znát souřadnice dvou bodů. Spočítejme si je. Dosadíme nejprve za x číslo nula, dostaneme tak průsečík s osou y. Vyjde nám y = 1. Prvním bodem, kterým bude přímka procházet bude [0, 1]. Jako druhý bod si můžeme vypočítat průsečík s osou x a to tak, že si za y dosadíme nulu. Vyjde nám x = 31 . Bod [ 13 , 0] je naším druhým hledaným bodem. Nyní už máme potřebné dva body k tomu, abychom narýsovali graf této funkce:
Druhou možností pro výpočet bodů grafu funkce je vytvoření tabulky, ve které za x dosazujeme libovolné hodnoty a y vypočteme ze zadané funkce. V našem případě by tabulka bodů grafu mohla vypadat následovně: x y
0 1
1 2 -2 5
2. Funkční předpis lineární funkce f zapište rovnicí
Známe-li grafické znázornění lineární funkce tvaru f : y = ax + b (přímka), získáme rovnici přímky následovně: Z grafu zvolíme dva body, jimiž přímka prochází. V našem případě například body A[1, 2], B[3, −4].
10
Do rovnice obecného tvaru dosadíme za x a y hodnoty bodu A a hodnoty bodu B.
y = ax + b pro bod A platí: 2=a+b pro bod B platí: −4 = 3a + b Z jedné z rovnic vyjádříme konstantu a nebo b a dosadíme do druhé rovnice. Z první rovnice dostáváme:
a=2−b Po dosazení do druhé rovnice za a vypočteme b. −4 = 3 · (2 − b) + b ⇒ −4 = 6 − 3b + b ⇒ −10 = −2b ⇒ b = 5 Následovně dopočteme a dosazením za b = 5. a = 2 − 5 ⇒ a = −3 Hledaná rovnice známé přímky je tvaru y = −3x + 5
4.4
Příklady
1. Funkční předpis lineární funkce f zapište rovnicí, víte-li, že graf funkce f prochází body A[2, 3], B[1, 0] 2. Funkční předpisy lineárních funkcí f1 až f6 zapište rovnicemi
(a)
(d)
(b)
(e) 11
(c)
(f)
3. Načrtněte grafy následujících funkcí (a) f1 : y = −2x + 1 (b) f2 : y = −2x − 2
(c) f3 : y = −x + 4 (e) f5 : y = −2 (d) f4 : y = 2x − 2 (f) f6 : y = 21 x +
1 2
Přímka v rovině může mít vůči ose x obecně tři polohy: Přímka je totožná s osou x. Její rovnice je tudíž y = 0, koeficienty příslušné lineární rovnice jsou a = 0, b = 0. Řešením rovnice jsou všechna reálná čísla. Přímka je rovnoběžná s osou x, ale je od ní různá. Její rovnice je y = k, přičemž k je nenulové. Koeficienty příslušné lineární rovnice jsou a = 0, b = k 6= 0. Jelikož různé rovnoběžné přímky nemají průsečík, rovnice nemá řešení. Přímka je s osou x různoběžná. To nastane v případě, že rovnice přímky jde vyjádřit ve tvaru y = ax + b, pro a nenulové. Tehdy má přímka s osou x jeden průsečík a rovnice má jedno řešení.
4.5
Grafické řešení lineárních rovnic
Z grafického znázornění lineárních funkcí je zřejmé, že řešit rovnici tvaru ax + b = 0 lze i graficky tak, že sestrojíme graf lineární funkce f : y = ax + b. Pak řešením této rovnice je průsečík grafu (přímky) s osou x, na níž y-ová hodnota průsečíku je rovna 0. Řešíme-li graficky lineární rovnici p(x) = q(x), kde p(x) a q(x) jsou lineární dvojčleny, lze použít dvě následující řešení: 1. Převedeme p(x) = q(x) na tvar ax + b = 0 (např. 2x + 1 = x + 3 převedeme na tvar x − 2 = 0) a výsledkem grafického znázornění rovnice je opět průsečík s osou x, tedy pro hodnotu y = 0. 2. Oba dvojčleny znázorníme graficky (dvě přímky): Pokud jsou přímky různoběžné, existuje jediné řešení, pro které odečteme hodnotu x z grafu (průsečík přímek). Pouze hodnota x průsečíku přímek vyhovuje podmínce, že p(x) = q(x), a je tedy řešením zadání lineární rovnice.
12
1.
x=1
2.
x=
1 2
Jsou-li přímky rovnoběžné různé, nemá rovnice žádné řešení.
Splývají-li obě přímky, je každé reálné číslo řešením rovnice.
y=p(x)=q(x)
4.6
Příklady
Řešte graficky následující příklady 1. x − 1 = 0 2. −x = 1 3. x + 1 = −2
4. −2x + 2 = −3 7. 2x + 3 = x + 3 10. 4x + 0.5 = 2.5x − 1 5. −x + 2 = x + 1 8. x + 1 = x − 2.5 6. 4x = 0.5x 9. −x + 2 = 3x + 2
13
Kapitola 5 Kvadratické rovnice Kvadratickou rovnicí nazýváme rovnici, ve které je nejvyšší stupeň (mocnina neznámé) roven dvěma. Každá rovnice může mít nejvýše tolik řešení, jaký je její stupeň. Tudíž kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení, nebo nemá žádné řešení v oboru reálných čísel. Každou kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty lze upravit do následujícího tvaru: ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c jsou nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty. a se nazývá kvadratický koeficient, b lineární koeficient, c absolutní člen. Podobně ax2 se nazývá kvadratický člen, bx lineární člen a c absolutní člen.
5.1
Typy kvadratických rovnic
1. Pokud se b = 0 jedná se o ryze kvadratickou rovnici (ax2 + c = 0), která se řeší obdobně, jako rovnice lineární. Absolutní člen převedeme na druhou stranu rovnice, podělíme koeficientem a. Dostáváme výraz x2 = −c . Poté celou a rovnici odmocníme a dostáváme výsledek. Zároveň musí platit podmínka, že > 0. Nesmíme zapomenout na to, že nelze odmocňovat záporné číslo výraz −c a v oboru reálných čísel. Výsledek po odmocňování může být jak kladný, tak záporný. 2. Další specifický případ kvadratické rovnice nastává, když se absolutní člen rovná nule (ax2 + bx = 0). Dostáváme tak kvadratickou rovnici bez absolutního členu. Tento typ rovnice se řeší vytýkáním neznámé x: x(ax + b) = 0. Vyjdou dva kořeny rovnice, jeden z nich bude vždy roven nule, protože pokud vynásobíme výsledek v závorce nulou, vyjde nám zase nula. Druhý výsledek dostáváme, když vypočteme, kdy se hodnota v závorce rovná nule ( −b ). a
14
3. Úplná kvadratická rovnice (ax2 + bx + c = 0) se nejčastěji řeší pomocí diskriminantu, který se vypočítá následovně: D = b2 − 4ac. Je-li D > 0, má kvadratická √ rovnice 2 různé, reálné kořeny, které určíme −b± D pomocí vzorce: x1,2 = 2a Je-li D = 0, má kvadratická rovnice jeden (dvojnásobný) reálný kořen, který je určen z předchozího vzorce následovně: x1,2 = −b 2a Je-li D < 0, nemá kvadratická rovnice žádné reálné kořeny
Bezpodmínečným předpokladem pro správné řešení√kvadratické rovnice je mecha−b± b2 −4ac nické zapamatování tvaru diskriminantu x1,2 = . 2a
5.2
Vzorové příklady
Řešte následující kvadratické rovnice v oboru reálných čísel 1. 2x2 − 2 = 0 Převedeme číslo -2 na pravou stranu rovnice 2x2 = 2 Rovnici podělíme číslem 2 a dostáváme: x2 = 1 Celou rovnici odmocníme p
x2 =
Dostáváme výsledek x = ±1 Zk.: pro x= 1: L=2 · (1)2 − 2 = 0 P=0 L=P pro x= -1: L=2 · (−1)2 − 2 = 0 P=0 L=P 15
p
1
2. 6x2 − 4x = 0 Vytkneme z rovnice číslo 2 a neznámou x 2x · (3x − 2) = 0 Dostáváme první výsledek x1 = 0, druhý výsledek získáme výpočtem rovnice (3x − 2) = 0 Převedeme číslo -2 na pravou stranu rovnice 3x = 2 Rovnici podělíme číslem 3 3x 2 = 3 3 Dostáváme výsledek x2 =
2 3
Zk.: pro x1 = 0: L=6 · (0)2 − 4 · 0 = 0 P=0 L=P pro x2 = 32 : L=6 · ( 23 )2 − 4 · ( 23 ) = 6 · 49 − P=0
8 3
=
24 9
−
8 3
=
24−8·3 9
=
24−24 9
=
0 9
=0
L=P 3. 2x2 + 3x + 1 = 0 Dosadíme do vzorce pro výpočet diskriminantu D = b2 − 4ac = 32 − 4 · 2 · 1 = 9 − 8 = 1 Výsledkem je D > 0, tudíž má kvadratická rovnice 2 různé, reálné kořeny, které určíme pomocí vzorce p p −3 ± 1 −b ± D −3 ± 1 = = x1,2 = 2a 2·2 2·2 16
x1 =
−3 + 1 2 1 =− =− 2·2 4 2
x2 =
4 −3 − 1 = − = −1 2·2 4
Dostáváme výsledky x1 = − 21 , x2 = −1 Zk.: pro x1 = − 21 : L=2 · (− 12 )2 + 3 · (− 21 ) + 1 = 2 · 41 − 32 + 1 = P=0 L=P pro x2 = −1: L=2(−1)2 + 3 · (−1) + 1 = 2 − 3 + 1 = 0 P=0 L=P
5.3
1 2
−
1 2
=0
Vietovy vzorce
Vypočítat kořeny můžeme také podle tzv. Vietových vzorců . Tato metoda ovšem není tak univerzální jako metoda výpočtu pomocí diskriminantu. Nejprve je potřeba upravit rovnici na normovaný tvar : x2 + px + q = 0 Dále hledáme takové kořeny, které by vyhovovaly rovnicím: x1 + x2 = −p x1 · x2 = q Z praktického hlediska je nejvhodnější najít si několik dvojic x1 a x2 pro součinový vzorec a potom jen zjistit, která z těch dvojic odpovídá i součtovému vzorci.
5.4
Vzorový příklad
Určete kořeny následující kvadratické rovnice pomocí Vietových vzorců 3x2 − 3x − 6 = 0 Rovnici podělíme číslem 3, abychom dostali její normovaný tvar x2 − x − 2 = 0 17
Dále budeme hledat kořeny, které by vyhovovaly rovnicím : x1 + x2 = 1 x1 · x2 = −2 Nyní je jasné, že naší dvojicí řešení jsou čísla x1 = 2, x2 = −1
5.5
Příklady
1. Nejděte všechny chyby v následujících výpočtech (a) Vypočtěte pomocí Vietových vzorců: 2x2 − 2x − 12 = 0 Hledáme kořeny, které by vyhovovaly rovnicím: x1 + x2 = 2 x1 · x2 = 12 Naší dvojicí řešení jsou čísla x1 = 3, x2 = 4 (b) Vyřešte následující kvadratickou rovnici v oboru reálných čísel: 2x2 − 4x + 2 = 2
2x2 − 4x + 2 + 2 = 0 2x2 − 4x + 4 = 0
D = (4)2 − 4 · 2 · (4) = 16 − 32 = −16
D < 0, tudíž nemá kvadratická rovnice žádné reálné kořeny (c) Vyřešte následující kvadratickou rovnici v oboru reálných čísel: 2x2 − 3x − 15 = x2 − x
2x2 − 3x − 15 + x + x2 = 0 3x2 − 2x − 15 = 0
D = 22 − 4 · 3 · 15 = 4 − 180 = −176
D < 0, tudíž nemá kvadratická rovnice žádné reálné kořeny 2. Řešte následující kvadratické rovnice v oboru reálných čísel (a) x2 − 2x = 0 (b) 5x2 − 4x = 0 (c) x2 = 5x (d) 2x2 + 2x + 1 = 0 (e) 8x2 + 2x − 3 = 0
(f) 5x2 − 27x + 10 = 0 (g) 25x2 − 17x + 3 = 3x − 1 = 32 + x (h) x·(3x−1) 2 2 (i) (x + 4) + (x − 10)2 = (x + 8)2 2 − 23 x · (x − 1) (j) x 6+1 = 5x−1 30 18
Kapitola 6 Kvadratická funkce Kvadratická funkce je taková funkce, kterou lze vyjádřit předpisem f : y = ax2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a zároveň musí platit a 6= 0. V případě, že by koeficient a byl nulový, pak by se nejednalo o kvadratickou, ale o lineární funkci. Grafem kvadratické funkce je parabola. Osa paraboly je přímka rozdělující parabolu na dvojici útvarů, které jsou souměrné podle této přímky (útvary jsou tzv. zrcadlově převrácené). Graf kvadratické funkce je symetrický podle osy paraboly, která je vždy rovnoběžná s y-ovou osou. Průsečík osy paraboly s grafem funkce se nazývá vrchol (místo, kde má graf minimum či maximum). Definiční obor funkce je R, obor hodnot závisí na konkrétní funkci, ale vždy jde do nekonečna. Kvadratická funkce je vždy v jedné polovině intervalu rostoucí a v druhé polovině klesající. Stejně jako u lineární funkce, je pro nás výhodné určit si průsečíky grafu funkce s jednotlivými osami.
6.1
Vliv koeficientů na graf funkce
Je-li a > 0, je funkce omezená zdola (graf kvadratické funkce ”otevřen” nahoru).
19
Je-li a < 0, jedná se o funkci omezenou shora (graf kvadratické funkce ”otevřen” dolů).
Čím je absolutní hodnota parametru a větší, tím je výsledná parabola užší.
Čím je absolutní hodnota parametru a menší, tím je výsledná parabola širší.
Na parametru a také závisí, zda má funkce minimum či maximum. Nabývá ho vždy ve svém vrcholu. Graf funkce protíná osu y v bodě o y-ové souřadnici rovné konstantě c .
20
6.2
Vrchol kvadratické funkce
Souřadnice jsou dány vzorcem: V =[
6.3
−b b2 ;c − ] 2a 4a
Vrcholový zápis funkce
Často bývá nutné vyjádřit zápis kvadratické funkce do tvaru: y − y0 = k · (x − x0 )2 , kde k je nenulová konstanta a x0 ; y0 jsou souřadnice vrcholu paraboly V = [x0 ; y0 ].
6.4
Zadání kvadratické funkce
Kvadratická funkce může být zadána: 1. Funkčním předpisem 2. Třemi různými body, které neleží na přímce : Řešíme pomocí soustavy lineárních rovnic. Souřadnice [x; y] všech tří bodů musí vyhovovat rovnici y = ax2 + bx + c, za x a y dosadíme souřadnice bodů. Získáme soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé a, b, c. Po vyřešení dosadíme a, b, c do předpisu kvadratické funkce.
6.5
Vzorové příklady
1. Nakreslete graf kvadratické funkce zadané přepisem f : y = 3x2 − 6x + 5 Koeficient a má kladné znaménko, tudíž parabola bude omezená zdola (graf kvadratické funkce ”otevřen” nahoru). Koeficient c má číselnou hodnotu rovnu 5, proto parabola protne osu v bodě o y-ové souřadnici 5 (pro x=0). Souřadnice b2 vrcholu V vypočteme dle vzorce: V = [ −b ; c − 4a ] 2a V =[
(−6)2 6 36 −(−6) ;5− ] =⇒ V = [ ; 5 − ] =⇒ V = [1; 5 − 3] =⇒ V = [1; 2] 2·3 4·3 6 12
Souřadnice vrcholu jsou x0 = 1, y0 = 2 Je jasné, že průsečíky paraboly s osou x neexistují, což ověříme, když se pokusíme vyřešit kvadratickou rovnici 3x2 − 6x + 5 = 0. D = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 · 3 · 5 = 36 − 60 = −24 D < 0, diskriminant této kvadratické rovnice je záporný, proto rovnice nemá žádné reálné řešení. Průsečíky s osou x nám tedy nepomohou sestrojit graf 21
funkce. Víme, že dalším bodem paraboly je bod [0;5], protože graf kvadratické funkce je symetrický podle osy paraboly. Snadno určíme souřadnice dalšího bodu ležícího na grafu této funkce: [2;5]. Nýní již můžeme nakreslt graf funkce zadané přepisem f : y = 3x2 − 6x + 5.
2. Funkční předpis kvadratické funkce f zapište rovnicí
Známe-li grafické znázornění kvadratické funkce tvaru f : y = ax2 + bx + c (parabola), získáme rovnici grafu funkce f následovně: Z grafu zvolíme tři body, jimiž parabola prochází. V našem případě například body A[1, 4], B[−1, 0], C[3, 0]. Do rovnice obecného tvaru dosadíme za x a y hodnoty bodů A, B a C .
y = ax2 + bx + c pro bod A platí: 4 = a · 12 + b · 1 + c ⇒ 4 = a + b + c pro bod B platí: 0 = a · (−1)2 + b · (−1) + c ⇒ 0 = a − b + c pro bod C platí: 0 = a · 32 + b · 3 + c ⇒ 0 = 9a + 3b + c Z jedné z rovnic vyjádříme konstantu a nebo b nebo c a dosadíme do další rovnice, následně vyjádříme další neznámou a dosadíme do poslední nevyužité rovnice.
Z první rovnice vyjádříme a: a=4−b−c 22
Po dosazení do druhé rovnice za a vypočteme b 0 = 4 − b − c − b + c ⇒ 2b = 4 ⇒ b = 2 Po té dosadíme do třetí rovnice vyjádřené konstanty 0 = 9(4 − 2 − c) + 3 · 2 + c ⇒ 0 = 36 − 18 − 9c + 6 + c ⇒ 8c = 24 ⇒ c = 3 Dopočteme zbylou konstantu a a = 4 − 2 − 3 ⇒ a = −1 Hledaná rovnice kvadratické funkce je tvaru y = −x2 + 2x + 3
6.6
Příklady
1. U kvadratické funkce dané předpisem f : y = x2 + 2x − 3 vypočtěte průsečíky grafu s osou x a osou y, určete souřadnice vrcholu paraboly a následně nakreslete graf funkce 2. Funkční předpisy kvadratických funkcí f1 až f6 zapište rovnicemi
(a)
(d)
(b)
(e)
(c)
(f)
3. Načrtněte grafy následujících funkcí (a) f1 : y = 21 x2 (c) f3 : y = − 23 x2 + x (e) f5 : y = −2x2 + 3x + 1 (b) f2 : y = 3x2 − 2x (d) f4 : y = x2 + x − 2 (f) f6 : y = (2x − 1)2 23
6.7
Grafické řešení kvadratických rovnic
Při grafickém řešení kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 sestrojíme graf kvadratické funkce f : y = ax2 + bx + c a určíme x-ovou souřadnici průsečíků grafu s osou x. Tyto souřadnice jsou řešením dané rovnice. Řešíme-li graficky kvadratickou rovnici p(x) = q(x), kde p(x) a q(x) jsou kvadratické trojčleny (např.: x2 + x + 1 = −x2 − x + 2) , můžeme ji nejprve převést na ekvivalentní rovnici (ax2 +bx+c = 0) a tu graficky vyřešit nebo také můžeme sestrojit paraboly o rovnicích y = p(x) a y = q(x). Po té najít jejich případné průsečíky a odečíst jejich x-ové souřadnice.
6.8
Příklady
Řešte graficky následující příklady 1. 2. 3. 4.
x2 − 4 = 0 4x2 = −2x2 −x2 + 2 = x2 x2 − 2x + 1 = −x2
5. 6. 7. 8.
x = − 21 x2 9. −x2 + 3x + 1 = −2x2 + 1 2 −x − x = −2x + 2x 10. x2 − 2x − 2 = −0.5x2 − 3x − 3 3x2 − 3x − 1 = x2 − x + 1 x2 − 2x − 2 = −x2 − x + 1.5 1 2 x + 2 2
24
Kapitola 7
Rovnice v součinovém a podílovém tvaru 7.1
Rovnice v součinovém tvaru
Rovnice v součinovém tvaru jsou rovnice, které mají tvar součinu dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovnajících se nule. Existují i rovnice, které lze ekvivalentními úpravami na tento tvar rovnice převést. Při hledání kořenů využíváme faktu, že součin několika činitelů se rovná nule právě tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule.
7.2
Vzorové příklady
1. (x − 3)x = 0
Rovnice bude splněna, když x − 3 = 0 ∨ x = 0 Z první rovnosti dostáváme x = 3 výsledek: x = 3 ∨ x = 0 Zk.: pro x = 3: 25
L=3 · (3 − 3) = 0 · 3 = 0 P=0 L=P pro x = 0: L=3 · (3 − 3) = 0 · 3 = 0 P=0 L=P 2. (x − 2) · (2 · x + 3) = 0
Rovnice bude splněna, když x − 2 = 0 ∨ 2 · x + 3 = 0 Z první rovnosti dostáváme x = 2 Z druhé rovnosti dostáváme 2x = −3 x = −3 2 výsledek: x = 2 ∨ x = −3 2 Zk.: pro x = 2: L=(2 − 2) · (2 · 2 + 3) = 0 · 7 = 0 P=0 L=P pro x = −3 : 2 L=( −3 − 2) · (2 · ( −3 ) + 3) = −7 · (−3 + 3) = 2 2 2 P=0 L=P
7.3
−7 2
·0=0
Příklad
Najděte chybu v následujícím výpočtu 6x · (x + 1) · (2x − 1) = 0 Rovnice bude splněna, když 6x = 0 ∨ x + 1 = 0 ∨ 2x − 1 = 0 Z rovností dostáváme: x = 0 ∨ x = −1 ∨ x = 2 výsledek: x = 0 ∨ x = −1 ∨ x = 2
7.4
Rovnice v podílovém tvaru
Rovnice v podílovém tvaru jsou rovnice, které mají tvar zlomku, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů rovnající se nule. Jedná se také o rovnice, které lze na takovéto rovnice ekvivalentními úpravami převést.
26
Při řešení takovéto rovnice vynásobíme obě strany rovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je definován a různý od nuly pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž rovnici řešíme. Musíme si být vědomi, že nulou nelze dělit, proto vždy stanovíme omezení.
7.5
Vzorové příklady
1.
−x =0 x−3
Omezení: x − 3 6= 0 =⇒ x 6= 3 Podíl je nulový, jestliže čitatel se rovná nule: −x = 0 =⇒ x = 0 Zk.: −0 L= 0−3 = P=0 L=P
0 −3
=0
2.
x+3 =0 x+3 Omezení: x + 3 6= 0 =⇒ x 6= −3 Podíl je nulový, jestliže čitatel se rovná nule: x + 3 = 0 =⇒ x = −3 Výsledek je v rozporu s omezením, proto tato rovnice nemá řešení.
7.6
Příklady
1. Nejděte chybu v následujícím výpočtu (x + 21 ) · (−1 + x) =0 x+5 Omezení: x + 5 6= 0 =⇒ x 6= −5 Podíl je nulový, jestliže čitatel se rovná nule: x + Z rovností dostáváme: x = − 21 ∨ x = −1 výsledek: x = − 21 ∨ x = −1
1 2
= 0 ∨ −1 + x = 0
2. Řešte následující rovnice v součinovém a podílovém tvaru x+5 =0 (f) x−1 2x−4 (g) x+6 = 0 =0 (h) (3−x)·(x+6)·(x+1)·(x−8) x·(x−2)·(x+3) x2 +2x+1 (i) (x−1)·(x−2) = 0
(a) x · (x − 3) = 0 (b) (x − 12 ) · (x + 3 21 ) = 0 (c) (x + 3) · (x − 3) = 0 (d) (x − 1) · (x + 4) · (5 − x) = 0
(e) 2x · 3 · (x + 4) · (x − 2) · (7 + x) = 0 27
(j)
(x2 −6x+9)·(x2 −25) (x2 +1)·(x2 +4+4x)
=0
Kapitola 8
Rovnice s neznámou ve jmenovateli Jak říká sám název, rovnice s neznámou ve jmenovateli jsou rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje ve jmenovateli.
8.1
Postup řešení
V rovnicích, ve kterých vystupuje neznámá ve jmenovateli, musíme stanovit podmínky řešitelnosti. Po té nejčastěji vynásobíme celou rovnici všemi různými jmenovateli. Dostáváme tak lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou již umíme řešit. Na závěr je důležité porovnat, zda-li nám nevyšel kořen stejný jako v podmínce řešitelnosti, to by pak tento kořen nebyl řešením dané rovnice .
8.2
Vzorový příklad
4 2 − =1 x−1 x+2 Stanovíme podmínky řešitelnosti: x − 1 6= 0 ∧ x + 2 6= 0 =⇒ x 6= 1 ∧ x 6= −2 Celou rovnici vynásobíme výrazem (x − 1) · (x + 2) 2 4 · (x − 1) · (x + 2) − · (x − 1) · (x + 2) = 1 · (x − 1) · (x + 2) x−1 x+2 2 · (x + 2) − 4 · (x − 1) = (x − 1) · (x + 2) 2x + 4 − 4x + 4 = x2 + 2x − x − 2 28
−2x + 8 = x2 + x − 2
Převedeme výrazy na jednu stranu rovnice
x2 + x − 2 + 2x − 8 = 0 x2 + 3x − 10 = 0
Dostáváme kvadratickou rovnici, kterou již řešit umíme. Dle Vietových vztahů dostáváme výsledek: x1 = −5, x2 = 2. Nesmíme zapomenout porovnat výsledek s podmínkami řešitelnosti. Výsledek x1 = −5, x2 = 2 vyhovuje podmínkám. Zk.: pro x1 = −5: 2 4 2 4 L= −5−1 − −5+2 = −6 − ( −3 ) = − 13 + P=1 L=P pro x2 = 2: 4 2 − 2+2 = 12 − ( 44 ) = 2 − 1 = 1 L= 2−1 P=1 L=P
8.3
2 3
=1
Příklady
1. Najděte všechny chyby v následujícím výpočtu 1+ 1+
3 5−x = x−4 12 − 3x
5−x 3 = x−4 −3 · (4 − x)
Celou rovnici vynásobíme výrazem (x − 4) · (4 − x) 1+
5−x 3 · (x − 4) · (4 − x) = · (x − 4) · (4 − x) x−4 3 · (4 − x) 3 · (x − 4) 3 1 + 20 − 5x − 4x − x2 = x − 4
1 + (5 − x) · (4 − x) =
−x2 − 9x + 21 = x − 4
0 = x2 − 9x + x + 21 − 4
0 = x2 − 9x + x + 21 − 4 0 = x2 − 8x + 17 29
Dostáváme kvadratickou rovnici, kterou vyřešíme pomocí námi známého vzorce: p −b ± D x1,2 = 2a D = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 17 = 64 − 68 = −2 Vyšlo D < 0, tudíž kvadratická rovnice némá řešení v oboru reálných čísel. 2. Řešte následující rovnice s neznámou ve jmenovateli =4 (a) 3x−2 x x−1 (b) 3x+2 + 25 = 2 (c) 38 · 2x−3.8 =1 x−0.6 1 2+x (d) 2+x − 3 = 3−2x 6 5 1 (e) 1 + (x−2)·(x+3) − x−2 =0 3x+7 9 2 (f) 6x2 −6 − x2 −1 = 1−x 5−4x (g) 2x−5 = − 6x−1 3x−4
1 1 (h) x22x−9 = x+3 − 3−x 2 3 (i) x−1 + x+1 = 5x+4 x2 −1 2−x 1−x x (j) (x+4)2 − x+4 = x+4 3 5x 3 x (k) 2+x + 4−x 2 = x−2 + x2 −4 2 +x−11.2 (l) 3x x+3.8 = x + 2 · (x + 1) 1 x−3 2 15 (m) 1 + 3 · ( 2 · x−2 − x−2 ) = 2x−x 2 2 1 1 x −2 (n) x2 +x + x2 −x + (x−1)·(x+1) = 1
(o)
x − x+1 x−1 x x − x−1 x+1 x
30
=
x+1 x−1
Kapitola 9 Iracionální rovnice Iracionální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje pod odmocninou.
9.1
Postup řešení
Nejdříve musíme stanovit podmínky řešitelnosti : výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Vhodným umocňováním odstraníme všechny odmocniny, v nichž se vyskytuje neznámá. Protože umocňování není ekvivalentní úprava, je nutné ověřit, zda řešení rovnice získané umocněním je rovněž řešením dané rovnice (provedeme zkoušku řešení). Umocnění součtu resp. rozdílu dvou členů probíhá podle vzorečku (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 . Umocněním druhé odmocniny na druhou dostáváme jako výsledek samotný výraz pod odmocninou. Také si musíme uvědomit, že odmocnina ze součinu je rovna součinu odmocnin činitelů, avšak √ √odmocnina ze součtu není rovna součtu odmocnin činitelů: √ x · y = √x · y √ √ x + y 6= x + y
9.2
Vzorový příklad p
x+
p
x+9 =9
Stanovíme podmínky řešitelnosti: x ≥ 0 ∧ x + 9 ≥ 0 =⇒ x ≥ 0 ∧ x ≥ −9 =⇒ x ≥ 0 Provedeme umocnění rovnice na druhou, abychom částečně odstranili odmocniny.
31
Levou stranu rovnice musíme umocnit pomocí vzorce: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . p p x + x + 9 = 9 |2 p p x + 2 · x · x + 9 + x + 9 = 81 p p Výraz 2 · x · x + 9 převedeme na jednu stranu rovnice a zbylé výrazy na stranu druhou, neboť je to pro nás výhodnější vzhledem k dalšímu umocňování rovnice na druhou (odstranění odmocniny) . p p 2x + 9 − 81 = −2 · x · x + 9 p p 2x − 72 = −2 · x · x + 9 Rovnici podělíme 2
Umocníme rovnici na druhou
p p x − 36 = − x · x + 9
p p x − 36 = − x · x + 9 |2 Roznásobíme závorku
x2 − 72x + 1296 = x · (x + 9) x2 − 72x + 1296 = x2 + 9x
Všechny výrazy převedeme na jednu stranu rovnice
0 = x2 − x2 − 72x − 9x + 1296 0 = −81x + 1296 81x = 1296 1296 x= 81 x = 16 Náš výsledek není v rozporu s podmínkami řešitelnosti. Musíme však provést ještě zkoušku řešení, neboť umocnění není ekvivalentní úprava. Zk.: p p p L= 16 + 16 + 9 = 4 + 25 = 4 + 5 = 9 P=9 L=P
32
9.3
Příklady
1. Najděte všechny chyby v následujícím výpočtu p p x−2− −x+4 =0 Podmínky řešitelnosti: x − 2 ≥ 0 ∧ −x + 4 ≥ 0 =⇒ x ≥ 2 ∧ 4 ≥ x =⇒ x ≥ 2 ∧ x ≤ 4 =⇒ x ∈ h2, 4i p p x − 2 − − x + 4 = 0 |2 x − 2 − (−x + 4) = 0 x−2−x+4= 0 2=0 2 6= 0 =⇒ rovnice nemá řešení 2. Řešte následující iracionální rovnice p p (a) px + x = 2 (h) xp −2 =x−4 (b) p 12 − x = x (i) x − p x + 1 = 5 +1=2 (j) 1p − 1 + 5xp= x (c) xp (k) p 10 − x + p x − 10 = 2 (d) p 3· x+5−5=x (l) p 2x − 5 = p 1 − x (e) p 7 − x = x − 1 (f) p2 · (x − 3) =p3 − x (m) p x+4− 3−x= 0 − x = 2 − 2 − x (n) 2 · x2 − 4x + 4 = 4 − 2x (g) (o) √4 2 − √1 2 = x3 x+
x +x
33
x−
x +x
Kapitola 10 Výsledky Příklady 3.4 1. (a) 3x − 2 = 1 (b) 4x + 1 = 2x + 3 3x = 1 + 2 4x − 2x = 3 − 1 3x = 3 2x = 2 x=1 x=1
(c) 9x − 3 · (5 − 2x) = 5 · (3x − 7) 9x − 15 + 6x = 15x − 35 15x − 15 = 15x − 35 15x − 15x = −35 + 15 0x = −20 0x 6= −20 =⇒ Rovnice nemá řešení
2. (a) x = 12 ; (b) x = 1; (c) x = 25 ; (d) x = − 11 ; (e) x = 6; (f) nekonečně mnoho řešení; 2 (g) nemá řešení; (h) nekonečně mnoho řešení; (i) x = − 32 ; (j) x = 0; (k) x = 32 ; (l) nekonečně mnoho řešení; (m) nemá řešení; (n) x = 4; (o) x = 4
Příklady 4.4 1. f : y = 3x − 3 2. (a) f1 : y = 4x (c) f3 : y = 2x + 4 (e) f5 : y = 4 (b) f2 : y = −3x (d) f4 : y = 2x − 2 (f) f6 : y = −x + 3
34
3.
(a)
(d)
(b)
(e)
(c)
(f)
Příklady 4.6
1.
6.
2.
7.
3.
8.
35
4.
9.
5.
10.
Příklady 5.5 1. (a) Vypočtěte pomocí Vietových vzorců: 2x2 − 2x − 12 = 0 2 · (x2 − x − 6) = 0 x2 − x − 6 = 0
Hledáme kořeny, které by vyhovovaly rovnicím : x1 + x2 = 1 x1 · x2 = −6 Naší dvojicí řešení jsou čísla x1 = 3, x2 = −2
(b) Vyřešte následující kvadratickou rovnici v oboru reálných čísel: 2x2 − 4x + 2 = 2 2x2 − 4x + 2 − 2 = 0 2x2 − 4x = 0
2x · (x − 2) = 0
Dostáváme první výsledek x1 = 0, druhý výsledek získáme výpočtem rovnice (x − 2) = 0 =⇒ x2 = 2 Hned v prvním kroku jsme mohli rovnici pokrátit dvěma. (c) Vyřešte následující kvadratickou rovnici v oboru reálných čísel: 2x2 − 3x − 15 = x2 − x 2x2 − 3x − 15 + x − x2 = 0 x2 − 2x − 15 = 0 36
D = (−2)2 − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64 p 2 ± 64 x1,2 = 2·1 2±8 x1,2 = 2 2+8 x1 = 2 10 x1 = 2 x1 = 5 2−8 x2 = 2 x2 = −3
Výsledek kvadratické rovnice jsme mohli určit zpaměti pomocí Vietových vzorců. 2. (a) x1 = 0, x2 = 2; (b) x1 = 0, x2 = 45 ; (c) x1 = 0, x2 = 5; (d) nemá řešení v oboru reálných čísel; (e) x1 = 12 , x2 = −3 ; (f).x1 = 5, x2 = 52 ; (g) x1 = 25 , 4 2 4 −1 x2 = 5 ; (h) x1 = 3 , x2 = 3 ; (i).x1 = 26, x2 = 2; (j).x1 = 53 , x2 = 25 ;
Příklady 6.6 1. průsečíky s osou x: A[-3;0],B[1;0]; průsečík s osou y: C[0;-3]; souřadnice vrcholu V=[-1;-4]
2. (a) f1 : y = −x2 ; (b) f2 : y = x2 + 1; (c) f3 : y = −2x2 − 1; (d) f4 : y = x2 − 2x; (e) f5 : y = x2 + x − 2; (f) f6 : y = 2x2 − 2x + 1
37
3.
(a)
(d)
(b)
(e)
(c)
(f)
Příklady 6.8
1.
6.
2.
7.
3.
8.
38
4.
9.
5.
10.
Příklad 7.3 6x · (x + 1) · (2x − 1) = 0
Rovnice bude splněna, když 6x = 0 ∨ x + 1 = 0 ∨ 2x − 1 = 0 Z rovností dostáváme: x = 0 ∨ x = −1 ∨ x = 21 výsledek: x = 0 ∨ x = −1 ∨ x =
1 2
Příklady 7.6 1.
(x + 21 ) · (−1 + x) =0 x+5 Omezení: x + 5 6= 0 =⇒ x 6= −5 Podíl je nulový, jestliže čitatel se rovná nule: x + Z rovností dostáváme: x = − 21 ∨ x = 1 výsledek: x = − 21 ∨ x = 1
1 2
= 0 ∨ −1 + x = 0
∨ x = 12 ; (c) x = −3 ∨ x = 3; (d) x = 1 ∨ x = 2. (a) x = 0 ∨ x = 3; (b) x = −7 2 −4 ∨ x = 5; (e) x = 0 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = −7; (f) x = −5, x 6= 1; (g) x = 2, x 6= −6; (h) x = 3 ∨ x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 8, x 6= 0, 2, −3; (i) x = −1, x 6= 1, 2; (j) x = 3 ∨ x = 5 ∨ x = −5
Příklady 8.3 1.
5−x 3 = x−4 12 − 3x 5−x 3 1+ = x−4 −3 · (−4 + x) 1+
39
Celou rovnici vynásobíme výrazem (x − 4) 1 · (x − 4) +
5−x 3 · (x − 4) = · (x − 4) x−4 −3 · (x − 4) x−4+5−x=
1 6= −1 =⇒ rovnice nemá řešení
−3 3
1 = −1
2. (a) x = −2, x 6= 0; (b) x = 0, x 6= − 23 ; (c) x = −3.3, x 6= 0.6; (d) x = − 78 , x 6= −2; (e) x = −2, x 6= 2, −3; (f) x = 37 , x 6= 1, −1; (g) x = −15, x 6= 43 , 61 ; (h) řešením jsou všechna reálná čísla kromě čísel −3 a 3; (i) nemá řešení; (j) x = −1, x 6= −4; (k) nemá řešení, neboť musí platit: x 6= −2; (l) x = −1.516, x 6= −3.8; (m) x = 3, x 6= 2; (n) nemá řešení neboť musí platit: x 6= 0; (o) řešením jsou všechna reálná čísla kromě čísel 1, −1, 0
Příklady 9.3 1. Podmínky řešitelnosti: x − 2 ≥ 0 ∧ −x + 4 ≥ 0 =⇒ x ≥ 2 ∧ 4 ≥ x =⇒ x ≥ 2 ∧ x ≤ 4 =⇒ x ∈ h2, 4i p p x − 2 − − x + 4 = 0 |2 p p x−2− −x+4 =0 p p x−2−2· x−2 −x+4−x+4= 0 p p 2 =2· x−2 −x+4 p p 1 = x − 2 − x + 4 |2 1 = (x − 2) · (−x + 4)
1 = −x2 + 4x + 2x − 8 x2 − 6x + 8 + 1 = 0 x2 − 6x + 9 = 0
Dostáváme kvadratickou rovnici, kterou již řešit umíme. Dle Vietových vztahů dostáváme výsledek: x1,2 = 3. Jednodušší způsob řešení: p x−2− −x+4 =0 p p x − 2 = − x + 4 |2
p
x − 2 = −x + 4 40
x+x= 4+2 2x = 6 6 x= 2 x=3 2. (a) x = 1, x ≥ 0; (b) x = 3, x ≤ 12; (c) x = 3, x ≥ −1; (d) x1 = −5, x2 = 4, x ≥ −5; (e) x = 3, x ≤ 7; (f) x = 3, x ≥ 3; (g) x = − 41 , x ≤ 0; (h) x = 6, x ≥ 2; (i) x = 8, x ≥ −1; (j) x = 0, x ≥ − 15 ; (k) nemá řešení neboť má platit: x ≥ 10 ∧ x ≤ 10 =⇒ x = 10; (l) nemá řešení neboť má platit: x ≤ 1 ∧ x ≥ 25 =⇒ ∅; (m) x = − 12 , x ≥ −4 ∧ x ≤ 3; (n) nekonečně mnoho 9 řešení (o) x1 = −1, x2 = 16 , x 6= 0
41
Seznam použité literatury a internetových odkazů (1) Hans-Jochen Bartsch: Matematické vzorce, ISBN: 04-010-63, 1963 Praha, 577 str. (2) Josef Polák: Přehled středoškolské matemtiky, ISBN: 80-7196-267-8, 2005 Praha, 608 str. (3) Oldřich Odvárko: Matematika pro gymnázia Funkce, ISBN: 80- 7196-164-7, 2002 Praha, 168 str. (4) Oldřich Odvárko: Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia Funkce, ISBN: 807196-305-4, 2006 Praha, 112 str. (5) Jozef Smida, Júlia Lukátšová, Jaroslav Šedivý, Jindřich Vocelka: MATEMATIKA pro I. ročník gymnázií, ISBN: 80-04-24433-5, 1984 Praha, 287 str. (6) Pavel Čermák, Petra Červinková: Odmaturuj z matematiky 1, ISBN: 80-7358014-4, 2004 Brno, 208 str. (7) Jindra Petáková: MATEMATIKA - příprava k maturitě a k příjmacím zkouškám na vysoké školy, ISBN: 80-7196-099-3, 2005 Praha, 287 str. (8) Jura Charvát, Jaroslav Zhouf, Leo Boček: Matematika pro gymnázia - Rovnice a nerovnice, ISBN: 80-7196-154-X, 1999 Praha, 221 str. (9) Jarmila Pipeková: Kapitoly ze speciální pedagogiky, ISBN: 80-7315-120-0, 2006 Brno, 404 str. (10) Jan Fikejs, Co je SignWriting [online]. Dostupné na World Wide Web:
[cit. dne 28. 11. 2006 ] (11) Jan Fikejs, SignWriting - Číst a psát znakový jazyk [online]. Info-Zpravodaj 4/2005. Dostupné na World Wide Web: [cit. dne 05. 08. 2006 ] (12) Harry G. Lang, Rachel C. Lewis, Developing Thinking Skills in Deaf Learners: Strategies and Priorities for the Science and Mathematics Teacher [online]. Dostupné na World Wide Web: 42
(13) Harry G. Lang, Rachel C. Lewis, Problem-Solving for Deaf Students: Developing Skills in the Mathematics and Science Classroom[online]. Dostupné na World Wide Web:
43
Rejstřík rovnice v podílovém tvaru, 26 rovnice v součinovém tvaru, 25 ryze kvadratická rovnice, 14
absolutní člen, 14 definiční obor, 8 diskriminant, 15
řešení rovnice, 5
ekvivalentní úpravy, 5
úplná kvadratická rovnice, 15
funkce, 8 funkce omezená shora, 20 funkce omezená zdola, 19 graf, 8
Vietovy vzorce, 17 vrchol, 19 vrchol kvadratické funkce, 21 vrcholový zápis funkce, 21
iracionální rovnice, 31
zkouška, 5
kartézská soustava, 8 kořen rovnice, 5 kvadratická funkce, 19 kvadratická rovnice, 14 kvadratická rovnice bez absolutního členu, 14 kvadratický člen, 14 kvadratický koeficient, 14 lineární lineární lineární lineární lineární
člen, 14 dvojčlen, 6 funkce, 8 koeficient, 14 rovnice, 5
normovaný tvar, 17 obor hodnot, 8 osa paraboly, 19 přímá úměrnost, 8 přímka, 12 parabola, 19 rovnice, 5 rovnice s neznámou ve jmenovateli, 28 44
