MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta
Martingaly Bakalářská práce
Vedoucí bakalářské práce RNDr. Martin Kolář, Ph. D.
Brno 2008
Alena Robotková
Jméno a příjmení autora:
Alena Robotková
Název bakalářské práce:
Martingaly
Název v angličtině:
Martingales
Studijní program:
Aplikovaná matematika
Studijní obor:
Finanční a pojistná matematika
Vedoucí bakalářské práce:
RNDr. Martin Kolář, Ph.D.
Rok obhajoby:
2008 Anotace v češtině
Tématem této bakalářské práce jsou martingaly. Práce je rozdělena do dvou kapitol. V první kapitole je uvedena teorie martingalů a s ní související koncepty, které jsou posléze upotřebeny při výpočtech příkladů v kapitole následující. Anotace v angličtině The theme of this bachelor’s Major Thesis are martingales. Thesis is divided into two chapters. In the first chapter is presented basic theory of martingales, which is needed while calculations in the next chapter.
Klíčová slova v češtině: martingal, pravděpodobnost, stochastický proces, náhodný proces, stopping time
Klíčová slova v angličtině: martingale, probability, stochastic process, random process, stopping time
Poděkování
Chtěla bych tímto poděkovat RNDr. Martinu Kolářovi, Ph.D. za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky při zpracování daného tématu.
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala sama, pouze za pomoci RNDr. Martina Koláře, Ph.D. a uvedené literatury.
V Brně dne 4. června 2008 Alena Robotková
Obsah Úvod
5
1 Teorie martingalů
6
1.1 Historická východiska teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2 Stochastické procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3 Podmíněná očekávání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4 Definice martingalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5 Klasické příklady martingalů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Martingalová transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8 Další vlastnosti martingalů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Příklady řešené s využitím teorie martingalů
17
2.1 Martingalová vlastnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Aplikace martingalů ve financích . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Seznam použité literatury
26
ÚVOD
Úvod Tato bakalářská práce je zaměřena na teorii, koncepty a příklady týkající se problematiky martingalů. Teorie martingalů se začala rozvíjet v souvislosti se snahou porozumět problému týkajícímu se sázení, konkrétně nemožnosti vydělat peníze sázením na férové hry. Úspěch teorie mnohonásobně předčil původní záměry a teorie martingalů je v současné době jedním z hlavních nástrojů užívaných při studiu náhodných procesů. Současnou teorii martingalů vytvořil (s využitím předchozích prací Paula Lévyho) Josef Doob. Bakalářská práce je členěna do dvou kapitol. První kapitola se věnuje teorii martingalů a s ní souvisejícím konceptům, což je doplněno o klasické příklady martingalů. Tento teoretický základ je posléze aplikován při řešení úloh v kapitole druhé. Nejprve jsou uvedeny úlohy jednodušší, spíše teoretické, posléze úlohy praktičtějšího rázu a v závěru i ukázka aplikace teorie martingalů do oblasti financí. Zdrojem pro teoretickou i praktickou část práce mi byly především knihy [2], [1] a [6]. V celém textu se předpokládá znalost základů teorie pravděpodobnosti.
5
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ
Kapitola 1 Teorie martingalů V úvodní kapitole rozebereme základy teorie martingalů, které budou prakticky upotřebeny v kapitole následující.
1.1
Historická východiska teorie
Jako motivaci si uveďme zmínku o strategii sázení, která byla východiskem teorie martingalů. Představme si, že hráč disponuje neomezenými zdroji. Vsadí 1Kč na určitý výsledek. Když sázku prohraje, vsadí v další hře 2Kč. Pokud prohraje v n-té hře, vsadí v další hře 2n Kč. Vsazená suma je v každé hře stanovena tak, aby případná výhra pokryla veškeré předchozí prohry a navíc vydělala 1Kč. Tuto strategii nazýváme ”martingal”. V současnosti je tato strategie v casinech zakázaná, krupieři mají instrukce odmítnout sázky, pokud zjistí, že tuto strategii někdo praktikuje. To souvisí s následujícím výpočtem. Uvažujme férovou hru (tedy pravděpodobnost výhry i prohry je stejná a rovna 1/2). Předpokládejme, že hráč vyhraje poprve v N -té hře. N je náhodná proměnná s pravděpodobnostním 6
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ rozdělením
µ ¶n 1 , P(N = n) = 2
a tedy P(N < ∞) = 1. Hráči je téměř jistě zaručena výhra v dlouhém časovém období. Nicméně je také pravděpodobné, že za tento čas prohraje velkou sumu L, která má střední hodnotu ∞ µ ¶n X 1 (1 + 2 + . . . + 2n−2 ) = ∞ E(L) = 2 n=1 Hráč se tedy musí připravit na výdej velmi velké sumy peněz.
1.2
Stochastické procesy
Mějme měřitelný prostor (Ω, A), množinu reálných čísel R a indexovou množinu T 6= ∅ (která má význam času). Mějme zobrazení X : Ω × T → R, které má tyto vlastnosti: a) pro ∀t ∈ T : X(·, t) je náhodná veličina vzhledem k A (značíme Xt ), b) pro ∀ω ∈ Ω : X(ω, ·) je prvkem množiny reálných funkcí definovaných na T . Takové zobrazení X pak nazýváme stochastickým procesem definovaným na množině T . Značíme {Xt ; t ∈ T }. Stochastické procesy můžeme dělit z hlediska času či z hlediska jejich stavů. Stochastický proces může být z hlediska času diskrétní (množina T je nejvýše spočetná a lineárně uspořádaná) či spojitý (množina T je intervalem). Stejně tak i z hlediska stavů můžeme mít stochastický proces diskrétní (pro ∀t ∈ T je Xt diskrétní veličina) nebo spojitý (pro ∀t ∈ T je Xt spojitá veličina). V dalších kapitolách se budeme věnovat stochastickým procesům s diskrétním časem a diskrétními stavy. 7
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ
1.3
Podmíněná očekávání
Vzhledem k tomu, že jsou martingaly definovány pomocí podmíněných očekávání, považuji za vhodné zde uvést definici a dále také několik vlastností podmíněných očekávání, které budou v následujících kapitolách využity jak při důkazech, tak při výpočtech příkladů. Definice. Mějme náhodnou veličinu X, její očekávání podmíněné náhodnou veličinou Y je opět náhodná veličina definovaná takto: E(X|Y ) = ψ(Y ), kde ψ(y) = E(X|Y = y) je střední hodnotou podmíněného rozdělení X daného podmínkou Y=y. V této práci budeme zpravidla uvažovat podmíněná očekávání ve tvaru E(X|Y), kde Y je vektor náhodných veličin Y = (Y1 , Y2 , . . . , Yn ). Z klíčových vlastností uveďme následující: a) E(X1 + X2 |Y) = E(X1 |Y) + E(X2 |Y). b) E(Xg(Y)|Y) = g(Y)E(X|Y ) pro (měřitelnou) funkci g: Rn → R. c) E(X|h(Y)) = E(X|Y) pokud h : Rn → Rn je prostá. d) E[E(X|Y)] = E(X). e) E[E(X|Y1 , Y2 )|Y1 ] = E(X|Y1 ) (Tato vlastnost se nazývá Tower property.) Důkaz. První čtyři vlastnosti i jejich důkazy považujme za elementární (viz. literatura), důkaz provedeme pouze pro vlastnost poslední. Pro zjednodušení 8
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ jej uvedeme pro skalární případ, analogicky jej pak lze dokázat i pro vektory náhodných veličin. Mějme X, Y, Z diskrétně rozdělené náhodné veličiny. Potom E{E(X|Y, Z)|Y = y} =
XX z
xP (X = x|Y = y, Z = z)P (Y = y, Z = z|Y = y)
x
X X P (X = x, Y = y, Z = z) P (Y = y, Z = z) = x P (Y = y, Z = z) P (Y = y) z x X = xP (X = x|Y = y) = E(X|Y = y). x
1.4
Definice martingalu
Definice. Posloupnost náhodných proměnných Sn : 0 ≤ n < ∞, která pro ∀n ≥ 0 splňuje následující dvě podmínky: a) E|Sn | < ∞ b) E(Sn+1 | X0 , X1 , . . . , Xn ) = Sn (tzv. základní martingalová identita) nazýváme martingalem vzhledem k posloupnosti náhodných proměnných Xn : 0 ≤ n < ∞. Definice. Říkáme, že {Sn } tvoří supermartingal, respektive submartingal pro ∀n ≥ 0, jestliže platí: a) E(Sn− ) < ∞ resp. E(Sn+ ) < ∞ b) E(Sn | X0 , X1 , . . . , Xn ) ≤ Sn−1 resp. E(Sn | X0 , X1 , . . . , Xn ) ≥ Sn−1 , kde X + = max{0, X} a X − = −min{0, X}. Poznámka. S je martingalem právě tehdy když je zároveň supermartingalem i submartingalem.
9
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ
1.5
Klasické příklady martingalů
Pro ilustraci se hned podívejme na některé klasické příklady martingalů. Příklad 1. Náhodná procházka Jedním z klasických příkladů z oblasti martingalů, je známá náhodná procházka. Náhodná procházka modeluje pohyb částice, a to vždy o jeden krok vlevo či vpravo s pravděpodobnostmi l a p(= 1 − l). Potom pro pozici částice po n krocích (Sn = X1 + X2 + · · · + Xn ) platí, že E|Sn | ≤ n a E(Sn+1 | X1 , X2 , . . . , Xn ) = Sn + (l − p). Přitom je patrné, že náhodný proces {Yn }, kde Yn = Sn − n(l − p) je martingalem vzhledem k X. Příklad 2. Martingal jakožto sázková strategie Nyní se vraťme k úvodu a k martingalu, jakožto sázkové strategii. Ukážeme si, že tato strategie opravdu tvoří martingal. Již jsem uvedla způsob sázení, tedy hráč sází 1Kč a pokud prohraje, sází v další hře 2Kč. (Pokud vyhrál, sází opět 1Kč). Pokud hráč prohraje n her, vsadí v té následující 2n Kč. Řekněme, že hráč dříve či později vyhraje (pořadí této výherní hry si označíme V). Jeho výdělek v tu chvíli činí 2V − (1 + 2 + 4 + · · · + 2V −1 )Kč. Označíme si hráčův zisk po n hrách jako Yn (prohry přitom započítáváme jako záporné hodnoty). Potom zřejmě Y0 = 0 a |Yn | ≤ 1 + 2 + · · · + 2n−1 = 2n −1. Navíc ukončí-li hráč hru dříve než v čase n+1, potom Yn+1 = Yn . Jinak platí Yn+1 = Yn −2n nebo Yn+1 = Yn +2n , přičemž obě tyto varianty nastanou s pravděpodobností 1/2. Odtud již jasně plyne, že E(Yn+1 | Y1 , Y2 , . . . , Yn ) = Yn a tedy Y je martingalem (vzhledem k Y). Příklad 3. De Moivrův martingal Zhruba před sto lety byly martingaly velmi populární sázkovou strategií, 10
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ především mezi pařížskými gamblery. Abraham de Moivre využil martingalu, jakožto matematického modelu, k popisu problému ”ruinování hráče”. Tento příklad i důkaz toho, že se opravdu jedná o martingal, budou uvedeny v druhé kapitole této práce. Příklad 4. Markovské řetězce Dalším příkladem martingalů, který považuji za vhodné zde zmínit, jsou Markovské řetězce. Mějme diskrétní Markovský řetězec nabývající hodnot ze spočetné množiny S, s maticí přechodu P. Předpokládejme, že ψ : S → S je omezená a harmonická, což znamená, že
X
pij ψ(j) = ψ(i) pro ∀i ∈ S.
j∈S
Není obtížné ukázat, že Y = {ψ(Xn ) : n ≥ 0} je martingalem vzhledem k X. Využijeme Markovské vlastnosti, abychom ukázali, že E(ψ(Xn+1 ) | X1 , X2 , . . . , Xn ) = E(ψ(Xn+1 ) | Xn ) =
X
pXn ,j ψ(j) = ψ(Xn ).
j∈S
Obecněji, předpokládejme, že ψ je vlastním vektorem matice přechodu P, což znamená, že existuje takové λ, pro něž platí X
pij ψ(j) = λψ(i), i ∈ S.
j∈S
Pak E(ψ(Xn+1 | X1 , X2 , . . . , Xn ) = λψ(Xn ), a odsud plyne, že λ−n ψ(Xn ) tvoří martingal, pokud E|ψ(Xn )| < ∞ pro všechna n.
11
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ
1.6
Martingalová transformace
Nyní se posuňme od příkladů k další teoretické oblasti týkající se martingalů. Budeme se zabývat otázkou, jak ze stávajících martingalů vytvořit martingaly další. K tomuto se využívá tzv. martingalové transformace. Nejprve si však musíme zavést některé nezbytné předpoklady. Definice. Posloupnost náhodných proměnných {Yn : 1 ≤ n < ∞} nazýváme neanticipující vzhledem k posloupnosti {Xn } pokud pro ∀n (1 ≤ n < ∞) existuje funkce f taková, že platí Yn = f (X1 , X2 , . . . , Xn−1 ), tedy hodnota Yn je jednoznačně určena hodnotami X1 , X2 , . . . , Xn−1 . Definice. Nechť {Mn } je martingal a An neanticipující posloupnost vzhlefn : 0 ≤ n < ∞} zadaný podmínkami M f0 = M0 dem k {Xn }. Proces {M a fn = M0 + A1 (M1 − M0 ) + A2 (M2 − M1 ) + · · · + An (Mn − Mn−1 ) M pro n ≥ 1 nazýváme martingalovou transformací martingalu {Mn }. Jak již bylo uvedeno, martingalová transformace nám dává možnost vytvářet další martingaly z martingalů, které známe. Následující věta nám ukazuje, že uvedeným způsobem transformovaný martingal, je skutečně martingalem. Věta 1.1. Je-li {Mn } martingal vzhledem k posloupnosti {Xn }, a je-li {An : 1 ≤ n < ∞} posloupnost omezených náhodných veličin které jsou neanticipující vzhledem k {Xn }, potom je posloupnost martingalových transformací fn } také martingalem vzhledem k {Xn }. {M 12
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ Důkaz. Martingalová vlastnost plyne z jednoduchého výpočtu. Zřejmě je vidět, že fn − M fn−1 | X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = E(An (Mn − Mn−1 ) | X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) E(M = An E(Mn − Mn−1 | X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = 0, což je ekvilalentní k martingalové identitě fn | X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = M fn−1 . E(M
1.7
Stopping times
Jednou z významných pasáží teorie martingalů jsou tzv. stopping times. Stopping time je náhodnou proměnnou popisující pravidlo, kterého můžeme využít při rozhodování zda pokračovat v sázení, či hru ukončit. Takové pravidlo zřejmě nemůže záviset na příjmu ze hry, která dosud neproběhla. Tato intuitivní vlastnost je zachycena v následující definici. Definice. Náhodnou proměnnou τ nabývající proměnných z množiny {0, 1, 2, . . . } ∪ {∞} nazýváme stopping time posloupnosti {Xn } pokud 1{τ ≤n} = f (X1 , X2 , . . . , Xn ) pro ∀n taková, že 0 ≤ n < ∞, kde 1{τ ≤n} nazýváme indikátorem. Je to funkce nabývající hodnoty 1, je-li splněna podmínka {τ ≤ n}, 0 jinak. V mnoha ohledech nás zajímá chování náhodného procesu {Yn } právě v čase ”stopping time” τ . Pokud je τ < ∞ s pravděpodobností 1, potom můžeme definovat tzv. zastavený proces (stopped process) Yτ položením Yτ =
n−1 X
1{τ =k} Yk + 1{τ ≥n} Yn .
k=0
13
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ Zaveďme si nyní označení: x ∧ y = min{x, y}. Věta 1.2. Je-li {Mn } martingal vzhledem k posloupnosti {X1 , X2 , . . . , Xn , . . . }, potom zastavený proces {Mn∧τ } je také martingalem vzhledem k posloupnosti {X1 , X2 , . . . , Xn }. n ∧ τ = min{x, y}. Důkaz. Nejprve si uvědomme, že neztratíme na obecnosti, omezíme-li se na případ, kdy M0 = 0, neboť můžeme uvažovat martingal Mn0 = Mn − M0 . Dále poznamenejme, že omezené náhodné proměnné Ak definované jako Ak = 1{τ ≥k} = 1 − 1{τ ≤k−1} jsou neanticipující pokud τ je stopping time. Tedy n X
Ak {Mk − Mk−1 } = Mτ 1{τ ≤n−1} + Mn 1{τ ≥n} = Mn∧τ ,
k=1
takže {Mn∧τ } je martingalová transformace martingalu Mn procesem {An }, který je omezený a neanticipující. Podle věty 1.1 je {Mn∧τ } martingal. Věta 1.3. (Optional sampling theorem.) Je-li T stopping time a existuje-li pevné N (< ∞) takové, že P (T ≤ N ) = 1, potom E|YT | < ∞ a E(YT ) = E(Y0 ) (tedy pro T < n je E(YT ∧n ) = E(YT ) = E(Y0 )). Důkaz. Viz. literatura [2]. Věta 1.4. (Optional stopping theorem.) Mějme martingal Y a stopping time T. Potom E(YT ) = E(Y0 ) pokud platí: a) P (T < ∞) = 1, b) E | YT |< ∞, 14
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ c) E(Yn 1{T >n} ) → 0 pro n → ∞
Důkaz. Nejprve si uvědomme, že YT = YT ∧n + (YT − Yn )1{T >n} . S využitím rovnosti E(YT ∧n ) = E(Y0 ) (viz. Věta 1.3.) tedy dostaneme E(YT ) = E(Y0 ) + E(YT 1{T >n} ) − E(Yn 1{T >n} ). Předpoklad c) nám přitom říká, že poslední člen E(Yn 1{T >n} ) → 0 pro n → ∞. Dále využijeme faktu, že ∞ X
E(YT 1{T >n} ) =
E(YT 1{T =k} )
k=n+1
je (z předpokladu b)) chvostem konvergující posloupnosti E(YT ) =
X
E(YT 1{T =k} ),
k
a tedy E(YT 1{T >n} ) → 0 pro n → ∞. Nyní už tedy dostáváme, že E(YT ) = E(Y0 ) pro n → ∞. Analogicky lze dokázat, že pro submartingal resp. supermartingal platí E(YT ) ≥ E(Y0 ) resp. E(YT ) ≤ E(Y0 ). Poznamenejme, že předchozí 2 věty se v literatuře někdy uvádějí souhrnně pod názvem Optional stopping theorem.
1.8
Další vlastnosti martingalů
V této kapitole zmíním další vlastnosti a věty týkající se martingalů, které budou však spíše jen informačního charakteru, a proto budou uvedeny bez důkazů (ty jsou uvedeny v literatuře, ze které čerpám - viz. [2] a [6]). 15
KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ Věta 1.5. Věta o konvergenci martingalu. Mějme martingal {Yn }, pro nějž platí, že E(Yn2 ) < M < ∞ pro nějaké M a pro ∀n. Potom existuje náhodná proměnná Y taková, že Yn −→ Y∞ s.j. pro ∀n → ∞. Věta 1.6. Doobův rozklad. Submartingal {Yn } s konečnou střední hodnotou můžeme vyjádřit jako Yn = Mn + Sn , kde {Mn } je martingal a {Sn } je rostoucí neanticipující proces. Tento rozklad je určen jednoznačně. Proces {Sn } nazýváme kompenzátorem submartingalu {Yn }. Poznamenejme ještě, že kompenzátor má konečnou střední hodnotu. 0 ≤ Sn ≤ Yn+ − Mn , z čehož plyne, že E|Sn | ≤ E(Yn+ ) + E|Mn |. Věta 1.7. Maximální nerovnost (The maximal inequality). Označme Yn∗ = max{Yi : 0 < i ≤ n}. a) Je-li Y submartingal, potom P (Yn∗ ≥ x) ≤
E(Yn+ ) pro ∀x > 0. x
b) Je-li Y supermartingal, potom P (Yn∗ ≥ x) ≤
E(Y0 ) + E(Yn− ) pro ∀x > 0. x
16
KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ
Kapitola 2 Příklady řešené s využitím teorie martingalů V této sekci se budu věnovat řešení příkladů z oblasti martingalů, budu postupovat od jednodušších (vycházejících přímo z definice martingalu), ke složitějším, řešeným s využitím vlastností a pravidel, která byla v teoretické části představena.
2.1
Martingalová vlastnost
Příklad 1. Mějme Xn nezávislé náhodné proměnné s E(Xn ) = 0 pro všechna n ≥ 1. Ukažte, že posloupnost částečných součtů: S0 = 0 a Sn = X1 + X2 + · · · + Xn pro n ≥ 1, je martingalem vzhledem k Xn : 1 ≤ n < ∞. Řešení. Ověříme martingalovou identitu: E(Sn |X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = E(Sn−1 + Xn |X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = E(Sn−1 |X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) + E(Xn |X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = Sn−1 + 0 = Sn−1 . 17
KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ Příklad 2. Mějme Xn nezávislé náhodné proměnné s E(Xn ) = 0 a V ar(Xn ) = σ 2 pro všechna n ≥ 1 a posloupnost částečných součtů {Sn } z předchozího příkladu. Ukažme, že vztahy M0 = 0 a Mn = Sn2 − nσ 2 pro n ≥ 1 definují martingal vzhledem k posloupnosti Xn : 1 ≤ n < ∞. Řešení. Toto tvrzení ověříme následovně: 2 E(Mn | X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = E(Sn−1 +2Sn−1 Xn +Xn2 −nσ 2 | X1 , X2 , . . . Xn−1 ). 2 Víme, že Sn−1 je funkcí posloupnosti {X1 , X2 . . . , Xn−1 } a její podmíněná 2 pravděpodobnost je právě Sn−1 . Přejdeme-li k druhému sčítanci, ihned vi-
díme, že E(Sn−1 Xn | X1 , X2 . . . , Xn−1 ) = Sn−1 E(Xn | X1 , X2 . . . , Xn−1 ). Dále platí, že E(Xn | X1 , X2 . . . , Xn−1 ) = E(Xn ) = 0, protože Xn je nezávislé na posloupnosti X1 , X2 . . . , Xn−1 . Analogicky ověříme, že E(Xn2 |X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = σ 2 . Po shrnutí všech dílčích výsledků dostáváme: 2 2 E(Mn | X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = Sn−1 + 0 + σ 2 − nσ 2 = Sn−1 − (n − 1)σ 2
a ověření martingalové vlastnosti pro Mn = Sn2 − nσ 2 je tímto úplné.
Příklad 3. Dokažte, že je-li Y martingalem, pak E(Yn ) = E(Y0 ) pro ∀n. Řešení. Vyjdeme z definice a využijeme martingalové identity E(Yn |X1 , X2 , . . . , Xn−1 ) = Yn−1 . 18
KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ Potom vidíme, že pro obecné m platí: E(Ym ) = E[E(Ym+1 |X1 , X2 , . . . , Xm )], což se (dle vlastnosti d) z kapitoly 1.3) rovná E(Ym+1 ). Požadovaná rovnost odtud plyne matematickou indukcí.
Příklad 4. Dokažte, že je-li Y martingalem, pak E(Yn+m |X1 , X2 , . . . , Xn ) = E(Yn ) pro ∀m, n ≥ 0. Řešení. Vyjdeme z vlastnosti podmíněných očekávání - Tower property: E(Yn+m |X1 , X2 , . . . , Xn ) = E[E(Yn+m |X1 , X2 , . . . , Xn+m−1 )|X1 , X2 , . . . , Xn ] a odsud z martingalové identity dostáváme E(Yn+m |X1 , X2 , . . . , Xn ) = E(Yn+m−1 |X1 , X2 , . . . , Xn ). Pro m ≥ 1 se postupným snižováním indexu o 1 dostaneme až na E(Yn+m |X1 , X2 , . . . , Xn ) = E(Yn+1 |X1 , X2 , . . . , Xn ) = Yn .
2.2
Stopping times
Příklad 5. Mějme stopping times T1 a T2 vzhledem k {X1 , X2 , . . . , Xn }. Ukažme, že také T1 + T2 , min{T1 , T2 } a max{T1 , T2 } jsou stopping times. Řešení. Dokážeme přímo pomocí definice stopping times. a) {T1 + T2 = n} =
Sn
k=0 ({T1
= k} ∩ {T2 = n − k})
b) {min{T1 , T2 } ≤ n} = {T1 ≤ n} ∪ {T2 ≤ n} c) {max{T1 , T2 } ≤ n} = {T1 ≤ n} ∩ {T2 ≤ n} a odtud je vidět, že 19
KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ a) 1{T1 +T2 =n} = f (X1 , X2 , . . . , Xn }, b) 1{min{T1 ,T2 }≤n} = f (X1 , X2 , . . . , Xn }, c) 1{max{T1 ,T2 }≤n} = f (X1 , X2 , . . . , Xn }.
Příklad 6. Problém ruinování hráče. Dva hráči, pojmenujme je Adam a Bedřich, hrají následující hru: Adam opakovaně hází mincí. Po každém hodu, kdy padne hlava (líc mince), zaplatí Bedřich Adamovi jeden dolar. Pokud padne orel (rub mince), zaplatí jeden dolar Adam Bedřichovi. Hra pokračuje dokud jeden či druhý z hráčů nepřijde o peníze, přičemž Adam začíná s A a Bedřich s B korunami. A) jaká je pravděpodobnost, že na konci hry bude mít celou sumu peněz Adam? B) jak dlouhou hru můžeme očekávat? Řešení. Tento problém můžeme považovat za ”optional stopping problem” (problém týjakící se optional stopping). Nechť X1 , X2 , . . . je posloupnost Adamových přírůstků v každé hře: potom Xi = ±1 podle toho, zda v itém tahu padla hlava či orel. Výsledná suma, kterou získá Adam po n hrách, je tedy rovna Sn =
n X
Xi .
i=1
Hra pokračuje do okamžiku τ , kde τ = min{n : Sn = +A nebo − B}. Není nijak těžké si uvědomit, že τ je stopping time vzhledem k {X1 , X2 , . . . , Xn }. Navíc posloupnost Sn je martingalem vzhledem k {X1 , X2 , . . . , Xn }. Tudíž,
20
KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ z Věty 1.3., pro všechna n < ∞, 0 = ES0 = ESτ ∧n = AP (τ ≤ n a Sτ = A) − BP (τ ≤ n a Sτ = −B) + ESn 1{τ >n} . Pro n → ∞, pravděpodobnost jevu τ > n konverguje k nule. (Pokud totiž v jakémkoliv čase jsou A+B hodů za sebou nepřetržitě ruby či líce, potom musí hra skončit, protože jeden z hráčů bude zruinován. Pro extrémně velká n je šance, že nedojde k sekvenci A + B rubů či líců během n hodů, velmi malá.) Protože Sn musí ležet mezi A a −B za podmínky τ > n, z toho vyplývá, že poslední člen přechozí rovnosti konverguje k nule pro n → ∞. Tedy pro n → ∞ výnosy splňují následující rovnost: 0 = AP (Sτ = A) − BP (Sτ = −B). Protože Sτ se musí rovnat buď A nebo −B, obě pravděpodobnosti musí dát dohromady součet 1. Odsud získáme dvě rovnice pro dvě neznámé, které můžeme řešit a tak získat odpověď na otázku (A): P (Sτ = A) =
B . A+B
Abychom mohli odpovědět na otázku (B), musíme se vrátit k Větě 1.4., tentokrát s využitím martingalu Sn2 − n (že je to skutečně martingal jsme ukázali v příkladu 2). Podle Věty 1.4., pro každé n = 1, 2, . . . , E(Sτ2∧n − τ ∧ n) = 0 =⇒ E(τ ∧ n) = ESτ2∧n = ESτ2 1{τ ≤n} + ESn2 1{τ >n} .
21
KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ Nyní τ ∧ n → τ a Sτ2 1{τ ∧n} → Sτ2 při n → ∞, přičemž v obou případech se jedná o konvergenci monotónní. Tedy lim E(τ ∧ n) = Eτ a
n→∞
lim ESτ2 1{τ ≤n} = ESτ2 µ 2 =A
n→∞
B A+B
¶
µ +B
2
A A+B
¶
= AB, kde předposlední rovnost vyplývá z výše uvedeného řešení otázky (A). Jelikož je Sn2 vázáno na podmínku τ > n, a jelikož pravděpodobnost tohoto jevu konverguje k nule při n → ∞, konverguje i ESn2 1{τ >n} k nule při n → ∞. Proto, při n → ∞ dostáváme rovnost Eτ = AB, což je očekávaná délka hry. O problému ruinování hráče jsem se zmínila již v teoretické části, zabýval se jím Abraham de Moivre, proto hovoříme o De Moivrovu martingalu. Nutno však podotknout, že v tomto konkrétním příkladu jsme se oproti De Moivrovu martingalu dopustili zjednodušení a to v tom, že jsme operovali s ”férovou” mincí (tedy pravděpodobnost výhry i prohry byla shodná a rovna 1/2). De Moivre uvažoval obecněji, tedy uvažoval minci ”neférovou” (pravděpodobnost výhry by pak byla p pravděpodobnost prohry q). Řešení této varianty příkladu je uvedeno v literatuře [2].
22
KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ
2.3
Aplikace martingalů ve financích
Jednou z oblastí, kde se jich dá také využít, je oblast financí, například při modelování pohybu cen akcií. Při rozhodování o tom, kam investovat, se v podstatě nabízejí dvě možnosti - vydat se cestou technické nebo fundamentální analýzy. Technická analýza spočívá v dlouhodobém sledování pohybu cen akcií a na základě výsledných pozorování pak dojde k rozhodnutí o nákupu či prodeji. Druhou oblíbenou metodou je fundamentální analýza. Zjišťovaná vnitřní hodnota akcie v tomto případě nezávisí na historických datech, jen na aktuálním rozdílu mezi vnitřní hodnotou a tržní cenou akcie. Fundamentální analytici věří, že cena akcie nepodléhá trendu a nelze ji tedy do budoucna určit pomocí zkoumání minulých pohybů cen akcií. Lze jen s určitou pravděpodobností odhadnout její budoucí cenu, která závisí na současné hodnotě. Fundamentální analytici tedy mohou teorii martingalů využít při modelování cen akcií. Příklad 7. Sledujeme-li vývoj určité ceny akcie, vidíme, že může mít tendenci klesat či stoupat. Tento popis může připomínat náhodnou procházku. Chceme-li srovnat dvě hodnoty akcie Sn v čase tn a Sm v čase tm , potřebujeme se podívat na jejich diskontované hodnoty. Tedy Yn =
1 Sn pro ∀n = 0, 1, 2, . . . , N, (1 + r)n
kde r je pevně daná úroková míra. Stejně tak se na bázi diskontovaných hodnot {Yn } často zakládají i očekávání ohledně prosperity akcií. Podmíněné očekávání hodnoty Yn je dáno vývojem do doby n − 1, přitom při modelování cen akcií většinou uvažujeme, že se v současné ceně odráží
23
KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ veškeré (do té doby) dostupné informace, tedy můžeme psát E[Yn |Y0 , Y1 , . . . , Yn−1 ] = E[Yn |Yn−1 ] ¸ · 1 =E Sn |Sn−1 (1 + r)n 1 = E[Sn |Sn−1 ] (1 + r)n 1 = E[(1 + rn )Sn−1 |Sn−1 ] (1 + r)n 1 = [1 + E(rn )]Sn−1 (1 + r)n 1 + E(rn ) Sn−1 , = 1 + r (1 + r)n−1 kde {rn }, n = 1, 2, . . . , N jsou jednotlivé (shodně a nezávisle rozdělené) výnosy. Odtud tedy ze vzorce pro diskontovanou hodnotu: E[Yn |Y0 , Y1 , . . . , Yn−1 ] =
1 + E(rn ) Yn−1 , 1+r
což nám ukazuje, že {Yn } je martingálem, submartingálem či supermartingálem právě tehdy když E(rn ) = r, E(rn ) ≥ r či E(rn ) ≤ r.
Příklad 8. Uvažujme dva investory, přičemž každý z nich disponuje stejným bohatstvím X0 . První z nich je ”skromnější” a rozhodl se ukončit investování ve chvíli, kdy poprvé vydělá. Postup druhého z investorů je agresivnější, rozhodl se ukončit investování ve chvíli kdy získá desetinásobek současného bohatství. Pro prvního investora definujme okamžik ukončení investic T = min{n : Xn > X0 + 1}, kde Xn je hodnota investice v čase n. Pro druhého investora si T definujeme jako min{n : Xn > 10X0 }. T přitom není nikterak omezené. Ve skutečnosti však musíme počítat s tím, že čas T je omezen délkou života 24
KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ každého z investorů, tedy si stanovme jakousi očekávanou délku života t¯. Nyní definujme T¯ = T ∧ t¯, takže T¯ je omezené. Nyní, je-li proces investování (vydělávání investicemi) supermartingálem, víme, že E(XT¯ ) ≤ E(X0 ). V každém případě tedy investor musí počítat se ztrátou. Nyní se počítejme šanci investorů na úspěch. Pro nějaké b kladné, s využitím Maximální nerovnosti (maximal inequality) dostáváme P (XT¯ > b) ≤
E(XT¯ ) . b
Z uvedené vlastnosti supermartingálu (E(XT¯ ) ≤ E(X0 )) dostáváme P {XT¯ > b} ≤ E(X0 )/b. Položíme-li X0 rovno konstantě C a b = a ∗ C pro nějaké a > 0, vidíme, že P {XT¯ > aC} ≤ 1/a, a tedy je-li v případě agresivnějšího investora a = 10, má méně než 10 % šanci na úspěch.
25
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY
Seznam použité literatury [1] Chung, K. L., AitSahlia, F.: Elementarz Probability Theory, SpringerVerlag, New York 2003 [2] Grimmett, G., Stirzaker, D.: Probability and Random Processes, Oxford University Press, New York 2001 [3] Lalley, S.: Lectures of Mathematical Finance, dostupné online z http://www.stat.uchicago.edu/ lalley/Courses/index.html, University of Chicago 2007 [4] Plch, R., Lomtatidze, L.: Sázíme v LATEXu diplomovou práci z matematiky, Masarykova univerzita, Brno 2003 [5] Rybička, J.: LATEX pro začátečníky, Konvoj, Brno 2003 [6] Steele, J. M.: Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, New York 2001 [7] Štěpán, J.: Teorie pravděpodobnosti, Academia, Praha 1987
26
