MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

Pengantar Bentuk Tak Tentu Integral Tak Wajar

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Do maths and you see the world”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d


Bentuk Tak Tentu?

Bentuk tak tentu? Bentuk apa?




Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai “seolah-olah”: 0 ∞ ; ; 0 · ∞; ∞ − ∞; 00 ; ∞0 ; 1∞ 0 ∞




Contoh: lim

x→0

sin x x

dan

√ x − x −2 , x→4 x −4 yang apabila kita substitusikan titik limitnya, kita peroleh nilai lim

0 . 0




Pertanyaan: Berapakah nilai limit diatas?




Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Bentuk tak Latihan

tentu tentu tentu tentu

0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Bentuk tak tentu 0/0

Kita akan menghitung lim

x→c

f (x) , g (x)

dengan lim f (x) = 0 = lim g (x).

x→c

x→c

Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x)/g (x) (menguraikan pembilang dan penyebut; merasional bentuk pecahan; menggunakan rumus trigonometri dll) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat dipakai.






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Contoh 1: hitunglah lim

x→0


sin x x





0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Solusi: sin x x→0 x = ··· lim

(gunakan Matlab untuk ilustrasi)




Contoh 2: hitunglah lim

x→4



0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

√ x − x −2 x −4






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Solusi: √ x − x −2 x→4 x −4 √ √ ( x − 2)( x + 1) √ √ = lim x→4 ( x − 2)( x + 2) √ x +1 = lim √ x→4 x +2 = 3/4 lim






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Bentuk tak tentu ∞/∞ Misalkan kita akan menghitung lim

x→∞

f (x) , g (x)

dengan lim |f (x)| = ∞ = lim |g (x)|.

x→∞

x→∞

Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x)/g (x) (merasional bentuk pecahan; memunculkan bentuk 1/x n dengan n bilangan asli dll) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat dipakai.




Contoh: hitunglah



0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

√ x − x −2 lim x→∞ x −4

(Perhatikan bahwa jika kita substikan titik limitnya, kita dapatkan nilai limit berbentuk tak hingga per tak hingga)






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Solusi: √ x − x −2 lim x→∞ x −4 √ √ ( x − 2)( x + 1) √ = lim √ x→∞ ( x − 2)( x + 2) √ x +1 = lim √ x→∞ x +2 √ x(1 + √1x ) = lim √ x→∞ x(1 + √2x ) q 1 + limx→∞ x1 q = 1 + 2 limx→∞ x1 =1 Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.





0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Bentuk tak tentu 0 · ∞ Sekarang, pandang lim f (x)g (x),

x→c

dengan lim f (x) = 0; lim |g (x)| = ∞.

x→c

x→c

Kita dapat menghitung limit diatas dengan cara mengubah bentuk f (x)g (x) menjadi bentuk f (x) 1/g (x) sehingga diperoleh bentuk 0/0, atau menjadi bentuk g (x) 1/f (x) dengan bentuk ∞/∞. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.





0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Contoh 1: hitunglah limπ

x−

x→ 4


π sec 2x 4





0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Solusi: π sec 2x 4 x→ 4 x − π4 = limπ x→ 4 cos 2x limπ

x−

= ··· = ··· = −1/2






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Contoh 2: hitunglah 1 lim sin x x→∞ x






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Bentuk tak tentu ∞ − ∞

Unutk menyelesaikan limit berbentuk ∞ − ∞, lim (f (x) − g (x)),

x→∞

dengan lim f (x) = ∞; lim g (x) = ∞,

x→∞

x→∞

caranya penyelesaiannya dengan mengubah menjadi bentuk ∞/∞.






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Contoh: hitunglah lim

x→∞

p x 2 + 2x − x






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Solusi: tuliskan √ p p x 2 + 2x + x 2 2 x + 2x − x = x + 2x − x · √ x 2 + 2x + x 2 2 x + 2x − x =√ x 2 + 2x + x 2x =q x 2 1 + x2 + x =

2x q 2 x 1+ x +1






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Jadi, lim

x→∞

p x 2 + 2x − x = 1






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Dapatkah anda menghitung p x 2 − 3x + x ? lim x→−∞






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Solusi: 3/2






0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Latihan

Hitung

√ lim

x→∞

dan

x2 + x 2x − 1

√ lim

x→−∞


x2 + x . 2x − 1




Limit diatas berbentuk



0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

∞ ∞





0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan q √ x 2 1 + x1 2 x +x = 2x − 1 x 2 − x1 dan • untuk x → ∞ berlaku · · · sehingga · · · • untuk x → −∞ berlaku · · · sehingga · · ·




Jadi, lim

x→∞

dan lim

x→−∞



0/0 ∞/∞ 0·∞ ∞−∞

x2 + x = 1/2 2x − 1 x2 + x = −1/2. 2x − 1




Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga

Integral Pada Selang Hingga Misalkan kita ingin menghitung Z 1 √ dx. x −1 Kita dapat (dengan mudah) menyelesaikannya dengan memisalkan y = x − 1 sehingga Z 1 √ dx x −1 Z = y −1/2 dy = 2y 1/2 + C √ =2 x −1+C Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.




Namun, bagaimana jika kita ingin menghitung integral tentu Z 5 1 √ dx ? x −1 1




√1 x−1

Kita tahu bahwa fungsi f (x) = dengan lim+ √

x→1


kontinu pada selang (1, 5]

1 = ∞. x −1

Apabila kita menghitung integral pada selang [1, 5], maka tindakan yang dilakukan dikatakan sebagai perhitungan integral tak wajar.





Jadi, Z

5

1 dx x −1 1 Z 5 1 √ = lim+ c→1 x −1 1 √ = lim+ 2 x − 1 √

c→1

=4





Integral Pada Selang Tak Hingga

Pada bagian sebelumnya, kita melihat salah satu bentuk integral tak wajar dimana integran bernilai tak hingga. Sekarang kita lihat bentuk lain dimana integran kontinu dan terdefinisi di domainnya, namun integral yang kita hitung memiliki (salah satu) batas tak hingga.





Contoh 1: hitunglah Z

0

−∞

1 dx 1 + x2

yang mana kita tahu fungsi f (x) = selang (−∞, ∞).


1 1+x 2

kontinu dan terdefinisi di




Solusi: Z

0

1 dx 2 −∞ 1 + x Z 0 1 = lim dx a→−∞ a 1 + x 2 0 = lim tan−1 x a→−∞ a −1 − tan a = lim a→−∞

= −(−π/2)





Contoh 2: hitunglah Z 0

∞

√

1 dx x(x + 1)





Solusi: 1 Perhatikan bahwa fungsi f (x) = √x(x+1) kontinu pada selang (0, ∞) dengan lim+ f (x) = ∞. x→0

Selain itu, integral tak tentunya Z √ 1 √ dx = 2 tan−1 x + C x(x + 1)




Jadi, Z 0

∞

√


1 dx = · · · = π. x(x + 1)




Bagaimana dengan Z


∞

sin x dx, ? 0



MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

Recommend Documents