MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

Pengantar Menentukan anti-turunan Integral fungsi rasional Integral fungsi trigonometri

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Do maths and you see the world”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral


Integral atau Anti-turunan?

Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping derivatif atau turunan.




Perhatikan: y = f (x) = x 2 , yang memiliki turunan y 0 = f 0 (x) =


d f (x) = 2 x. dx



Sekarang, jika diketahui f 0 (x) = 2 x, maka f (x) = x 2 adalah “salah satu” anti-turunan yang sesuai. Secara umum, sering kita tuliskan f (x) = x 2 + C , dimana C konstanta.




Contoh diatas memberikan informasi bagi kita bahwa anti-turunan bersifat “tidak tunggal” dan karenanya “lebih sulit” daripada turunan.




Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan df (x) = f 0 (x) dx. Atau,

Z

Z df (x) = f (x) + C =


f 0 (x) dx.



Metode substitusi Metode anti-turunan parsial Metode substitusi yang merasionalkan

Menentukan anti-turunan

Bagaimana kita dapat menyelesaikan atau menentukan suatu anti-turunan? Gunakan “keterampilan teknis” Manfaatkan “aturan dasar”





(Beberapa) aturan dasar anti-turunan: 1

Z k dx = k x + C 2

Z

x r dx =

1 x r +1 , r 6= −1 r +1

3

Z

e x dx = e x + C

4

Z

ax dx =

1 x a +C ln a

dst... Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.




Metode substitusi

Metode substitusi merupakan salah satu metode/teknik/cara menyelesaikan integral atau mencari anti turunan. Kuncinya adalah menentukan pemisalan/substitusi untuk suatu fungsi tertentu dengan tepat.




Contoh: Z


x2 + 1 dx x −2

mungkinkah kita memisalkan y = x 2 − 1? atau y = x 2 dan mencari anti-turunan ? atau memisalkan y = x − 2 ?




Contoh lain,

Z


ex dx. 4 + 9 e 2x

Selesaikan dengan memisalkan y = e x ; y = e 2x ; y = 9 e x ; y = 9 e 2x ; y = 4 + 9 e x ; y = 4 + 9 e 2x ; ?





Metode anti-turunan parsial

Teknik lain mencari anti-turunan adalah dengan metode anti-turunan parsial atau integral parsial, dimana kita memanfaatkan konsep turunan dua fungsi. Contoh, selesaikan Z x cos x dx





Misalkan u = f (x), v = g (x), d (u v ) = u 0 v + u v 0 dx d(u v ) = · · · uv = ··· Jadi,

Z

Z u dv = u v −


v du



Untuk contoh


Z x cos x dx,

misalkan u = x, atau u = cos x, ?





Nampak bahwa metode integral parsial mendorong kita untuk mencari substitusi yang tepat.





Bagaimana dengan Z ln x dx, yang terlihat seperti hanya melibatkan satu fungsi?





Metode substitusi yang merasionalkan

Metode ini dilakukan pada permasalahan mencari anti-turunan suatu fungsi yang memuat akar, seperti Z p n (ax + b)m dx atau

Z p a2 − x 2 dx,

dimana kita ingin menghilangkan tanda akar tersebut.





Merujuk namanya, metode/teknik ini mengharuskan kita melakukan pemisalan atau substitusi, seperti (ax + b) = u n , untuk mencari anti-turunan Z p n (ax + b)m dx.




Contoh,

Z x

√ 3


x − 4 dx,

yang dapat diselesaikan dengan memisalkan (x − 4) = u 3 atau x = u 3 + 4, sehingga anti-turunan diatas dapat diselesaikan sebagai Z 3u 6 + 12 u 3 du





Untuk kasus mencari anti-turunan Z p a2 − x 2 dx, dapat digunakan substitusi x = a sin t, −π/2 ≤ t ≤ π/2, sehingga diperoleh p a2 − x 2 = a cos t





Perhatikan bahwa substitusi lain adalah x = a tan t, −π/2 < t < π/2, atau x = a sec t, 0 ≤ t ≤ π, t 6= π/2




Integral fungsi rasional Mencari anti-turunan berbentuk seperti Z 14x + 1 dx, x 3 + 5x adalah salah satu kajian penting karena melibatkan polinom P(x) = 14x + 1 dan Q(x) = x 3 + 5x yang perlu diperhatikan “derajat”-nya.




Perhatikan bahwa pada kasus diatas, derajat pembilang (satu) lebih kecil daripada derajat penyebut (tiga). Dengan demikian, dapat dituliskan 14x + 1 A Bx + C = + 2 3 x + 5x x x +5 dimana derajat pembilang satu tingkat lebih rendah daripada derajat penyebut. Dengan manipulasi aljabar, diperoleh A = 1/5; B = −1/5; C = 14.




Pada prinsipnya, kita ingin menguraikan fungsi rasional P(x)/Q(x) menjadi jumlahan beberapa fungsi rasional dengan derajat pembilang satu tingkat lebih rendah dari derajat penyebut baik secara “langsung”, seperti Bx + C , x2 + 5 ataupun “tidak langsung”, seperti C , (2x + 5)2 dimana kata “tidak langsung” merujuk pada pemisalan y = 2x + 5 dengan turunan konstan. (untuk pandangan lain, lihat catatan kuliah W Djohan, 2012) Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.



Diskusi: Bagaimana kita mencari anti-turunan Z x 2 − 11x + 15 dx ? (x − 2)2 (x + 1)




Apakah dengan menguraikan x 2 − 11x + 15 A B C = + + ? 2 2 (x − 2) (x + 1) x − 2 (x − 2) x +1 (dengan A = −2; B = −1; C = 3)




Atau,

x 2 − 11x + 15 B C = ? + 2 2 (x − 2) (x + 1) (x − 2) x +1




Kuis

Selesaikan anti-turunan berikut: Z 2 1

2x 3


5x dx + 6x 2



Kuis

Selesaikan anti-turunan berikut: Z 3x + 2 dx x(x + 2)2 + 16x




Integral fungsi trigonometri Kita ingin menyelesaikan anti-turunan fungsi trigonometri, Z sinn x dx, atau

Z

cosn x dx,

untuk n genap atau ganjil. Atau, Z sinm x cosn x dx, pada beberapa kemungkinan nilai m dan n. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.



Tentunya tidak dapat kita lupakan aturan dasar anti-turunan seperti berikut 1

Z sin x dx = − cos x + C 2

Z cos x dx = sin x + C 3

Z

sec2 x dx = tan x + C

4

Z sec x tan x dx = sec x + C dst... Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.



Contoh: Selesaikan

Z

sinm x dx,

untuk m = 2, 3, 4.




Z

sin2 x dx = · · · = ···




Kuis

Selesaikan anti-turunan berikut: Z e2 sin(ln(4x 2 )) dx x e




Kuis

Gunakan “metode anti-turunan parsial” untuk menyelesaikan integral berikut: Z 1 p x 5 x 3 + 4 dx 0



MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

Recommend Documents