Laborjegyzıkönyv javítási tájékoztató Kiegészítések a leggyakoribb hibák értelmezéséhez
Miért készült ez a tájékoztató? • Azért, mert néhányan szórást és átlagot számítottak a sóoldatok összetétel– sőrőség mérési gyakorlatán, holott
• Lineáris regressziós számítást kértünk
A sóoldatok összetételérıl • A sóoldatok összetétele és sőrősége közt közel lineáris a kapcsolat • A só és víz eltérı ionos szerkezető anyagok, eltérı térfogatot foglalnak el • A disszociáció fok kis mértékben, de változik • Hallgatóink gyakorlatával és egyszerő eszközeinkkel a linearitástól való eltérés nem mutatható ki
A sóoldatok összetételérıl • az ionos oldat szerkezete
Sodium-chloride solution at 20 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 mass density, kg/m3
1300 1250 1200 1150 1100 1050 1000 950 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
A sóoldatok összetételérıl • • • • •
A személy három oldatot készít: 0,10 0,15 0,20 az átlag persze 0,15 lesz
A sóoldatok összetételérıl • • • • • •
B személy három oldatot készít: 0,15 0,20 0,25 az átlag persze 0,20 lesz a szórás ugyanakkora, mint az A esetben
A sóoldatok összetételérıl • • • • • •
C személy három oldatot készít: 0,05 0,15 0,25 az átlag ismét 0,15 lesz a szórás jóval nagyobb, mint az A és B esetben
A sóoldatok összetételérıl oldat
A személy
B személy
C személy
x1
0,10
0,15
0,05
x2
0,15
0,20
0,15
x3
0,20
0,25
0,25
átlag
0,15
0,20
0,15
szórás
0,05
0,05
0,10
A sóoldatok összetételérıl • Mi történt? • A kísérletet végzı személy saját döntésének eredménye az átlag és a szórás • Ez az átlag és szórás semmiféle információt nem nyújt a mérés hibáiról és a mérési bizonytalanságról
A sóoldatok összetételérıl • Mi a teendı? • A mérési eredményeknek nem az átlagtól való eltérését számítjuk ki, hanem a lineáris regressziós egyenestıl való eltérését (hasonlóképpen, de nem ugyanúgy: az eltérések négyzetes összegébıl képezünk statisztikai jellemzıt)
Sodium-chloride solution at 20 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 mass density, kg/m3
1300 1250
eltérés az eloszlás súlypontjától
1200 1150 1100 1050 1000 950 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
Sodium-chloride solution at 20 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 mass density, kg/m3
1300 eltérés a regressziós egyenestıl
1250 1200 1150 1100 1050 1000 950 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
Sodium-chloride solution at 20 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 mass density, kg/m3
1300 eltérés az eloszlás súlypontjától
1250 1200 1150 1100 1050 1000 950 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
Sodium-chloride solution at 20 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 mass density, kg/m3
1300 eltérés a regressziós egyenestıl
1250 1200 1150 1100 1050 1000 950 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
A lineáris regressziótól való eltérés nagysága • Képezzük a regressziós egyenestıl való eltérések szórását. • Választhatunk akkora szélességő sávot, amelybe 95% valószínőséggel valamennyi mérési eredmény belefér • (ez a szórás háromszorosa, szakszerően: a kiterjesztési tényezı értéke 3)
Sodium-chloride solution at 20 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 mass density, kg/m3
1300 1250 1200 1150 1100 1050 1000 950 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
A számítás menete • Számítjuk a lineáris regressziót • A független változó valamennyi xi értékéhez kiszámítjuk a lineáris regresszióból kapott yRi érték és a valóságosan mért yi függı változó különbségének négyzetét • Itt az átlag helyére mindig más és más számérték kerül
n
sy =
∑ (y i =1
− yi )
2
Ri
n −1
A lineáris regressziótól való eltérés nagysága • Ezt a számítást az elsı félévben nem kérjük. De a hibák elkerülése érdekében tudnunk kell róla • Hasonló kiértékelési mőveletet végzünk: a Bernoulli-kísérletnél a refraktométeres kísérletnél
Miért készült ez a tájékoztató? Mert néhány hallgató többször is alkalmazta a hibaterjedés képletét pedig a burgonya sőrőségére egyetlen becslést kerestünk, és ennek mérési bizonytalanságára egyetlen becslést
A burgonya sőrősége • A burgonya természetesen rendelkezik inhomogenitással. De mérésünknek nem ez volt a célja. • Célul tőztük ki, hogy megtanuljuk, hogyan lehet megmérni a sőrőségét bármely szilárd halmazállapotú testnek > többször megismételt méréssel > hogy ezáltal megbízhatóbb becslést kapjunk
Hogyan mutattuk be a hibaterjedés számítását? • Hallgatóink nem ismerik a parciális deriváltat, • nem ismerik a szorzat és hányados deriválási szabályait, • ezért grafikus módszerrel vezettük be a számítást • a levezetésnek meg kellett mutatnia, hogy a számítás a változók értékkészletében mindenhol igaz
Hogyan mutattuk be a hibaterjedés számítását? • A következı ábrán bemutatjuk, hogy egy sőrőség-értéket egy térfogat-értékbıl számítunk ki • Ezt az összefüggést úgy jelöltük, hogy színes vonallal egészítettük ki az eredeti ábrát
A sőrőség a térfogat függvényében 6 sőrőség hibája
Sőrőség, g/cm3
5
4
3
2
1 a térfogat és hibája 0 0
1
V-σ V V+σ
2
3
4 térfogat, cm3
V-σ V V+σ 5
6
7
A kiértékelés módja • A grafikus módszer azt is megmutatta, hogy az a V=0 helyen nem érvényes, de mindenhol máshol igen • Nekünk a V=átlag helyen volt szükségünk a számítás eredményére 2
2
1 1 2 2 ∆ρ = ∆m + − m 2 ∆V V V
A kiértékelés módja 2
2
1 1 ∆ρ = ∆m 2 + − m 2 ∆V 2 V V
kiemeljük a gyökjel alól a térfogatot:
2
1 ∆ρ = V
1 ∆m + − m ∆V 2 V
m ∆ρ = V
∆m 2 1 + ∆V 2 2 m V
2
kiemeljük a gyökjel alól a tömeget:
2
2
m ∆m ∆V ∆ρ = + V m V 2
összevonjuk a törteket:
2
∆m ∆V ∆ρ = ρ + m V
beírjuk a sőrőség értékét: 2
íme, a két képlet azonos N.B. a térfogat és a tömeg konstansa az egyenletnek, hiszen az átlagot tartalmazza
A kiértékelés módja 2
2
1 1 ∆ρ = ∆m 2 + − m 2 ∆V 2 képlet a parciális deriváltakból V V
2
∆m ∆V ∆ρ = ρ + m V
2
2
∆ρ ∆m ∆V = + ρ m V
az egyszerősített képlet
2
a relatív szórások négyzete van a gyökjel alatt. Ezek egymáshoz viszonyított aránya megmondja, melyikük növeli jobban az eredmény mérési bizonytalanságát
A kiértékelés módja • V és m az átlagot jelentik • ∆V és ∆m a szórást jelentik • A képlet ezért más formában is írható:
2
2
1 2 1 2 σ ρ = σ m + − m 2 σV V V
A kiértékelés módja
A kiértékelés módja • A térfogat és a tömeg adatokból a sőrőség átlagát bármilyen módon számíthatjuk, mert ezek a mőveletek lineárisak • A hibaterjedési számításban a Pithagorasz tételhez hasonló számítást végzünk, tetszılegesen sok dimenziós értelmezésben: minden szórás négyzetgyökösen befolyásolja az eredmény szórását (esetünkben kettı)
Még egy megjegyzés n
∑ (x − x ) i =1
2
i
≠ x − ∑ xi i =1 n
2
2
mert sajnos néhányan az xi értékek összegét írták oda, és azt négyzetre emelték
