Komposisi Transformasi

Komposisi Transformasi

1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan peta atau bayangan suatu kurva hasil dari suatu komposisi transformasi 2

Transformasi Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang dapat dikerjakan dengan transformasi. Transformasi T pada suatu bidang ‘memetakan’ tiap titik P pada Bidang menjadi P’ pada bidang itu pula. Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P 3

Transformasi Invers Untuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi yang ditulis dalam bentuk matriks, digunakan

transformasi invers

4

soal Peta dari garis x – 2y + 5 = 0 oleh transformasi yang dinyatakan dengan matriks  1 1  adalah….    2 3  

5

Pembahasan A(x,y)

 1 1    2 3

A’(x’ y’)

 x'   1 1   x          y'   2 3  y 

Ingat: A = BX maka X = B-1.A  x 1  3  1  x'          y  3  2   2 1   y' 6

 x 1  3  1  x'          y  3  2   2 1   y'  x   3  1  x'          y    2 1   y'  x   3x'  y'        y    2x'  y'

Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan y = -2x’ + y’ 7

x = 3x’ – y’ dan y = -2x’ + y’ disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0

3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0 3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0 7x’ – 3y’ + 5 = 0 Jadi bayangannya: 7x – 3y + 5 = 0 8

Komposisi Transformasi Bila T1 adalah suatu transformasi dari titik A(x,y) ke titik A’(x’,y’) dilanjutkan dengan transformasi T2 adalah transformasi dari titik A’(x’,y’) ke titik A”(x”,y”) maka dua transformasi berturut-turut tsb disebut Komposisi Transformasi dan ditulis T2 o T1 9

Komposisi Transformasi Dengan matriks Bila dan

a b   T1 dinyatakan dengan matriks  c d   p q  T2 dengan matriks   r s

maka dua Transformasi berturut-turut mula-mula T1 dilanjutkan dengan T2 ditulis T2 o T1 =  p r

q  s

a b    c d  10

Soal 1 Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah…

11

Pembahasan M1= Matrik dilatasi skala 3 adalah 3 0   0 3  

M2 = Matrik refleksi terhadap y = x adalah 0 1    1 0

12

Matriks yang bersesuaian dengan M1 dilanjutkan M2 ditulis M2 o M1 =

 0 1  3 0      1 0  0 3

 0  0 0  3  0 3     =  3  0 0  0  3 0

Jadi matriknya adalah

 0 3    3 0 13

Soal 2 Bayangan segitiga ABC, dengan A (2,1), B (6,1), C (5,3) karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0,π) adalah…

14

Pembahasan Refleksi sb Y: (x,y)

Rotasi π: (x,y) A(2,1)

sb Y

sb Y

[O, π]

A’(-2,1)

(-x, y)

(-x,-y)

(O, π)

A”(2,-1)

B(6,1) sb Y B’(-6,1) (O, π) B”(6,-1) C(5,3) sb Y C’(-5,3) (O, π) Q”(5,-3)

15

Soal 3 Luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(-1,2), Q(3,2), R(3,-1), S(-1,-1) karena dilatasi [O,3] dilanjutkan rotasi pusat 0 bersudut ½π adalah… 16

Pembahasan Dilatasi: (x,y)

[O,k]

Rotasi ½π: (x,y) P(-1,2)

[O,3]

P’(-3,6)

(kx, ky)

[O,½π] (O,½π)

(-y,x) P”(-6,-3)

Q(3,2) [O,3] Q’(9,6) (O,½π) Q”(-6,9) R(3,-1) [O,3] Q’(9,-3) (O,½π) Q”(3,9) S(-1,-1)

[0,3]

S’(-3,-3)

(O,½π)

S”(3,-3) 17

P”(-6,-3), Q”(-6,9), R”(3,9), dan S”(3,-3) membentuk persegi panjang P”Q”R”S” Q”(-6,9) Y

R”(3,9)

X O P”(-6,-3)

S”(3,-3)

Q”P” = 9 – (-3) = 12 Q”R” = 3 – (-6) =9 Luas = 12.9 = 108 18

Soal 4 T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matrik

 1  1   1 2 

dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan

matrik

 3 2   2 1 19

Bayangan titik A(m,n) oleh transformasi T1 dilanjutkan T2 adalah A’(-9,7). Nilai m - 2n sama dengan….

20

Pembahasan  1   1 2   

T1 =  1 T2 o

dan T2 = 3

2  2 1   

 3 2   1  1 T1 =      2 1 1 2   3  2  3  4  1 1  =      2  1  2  2  1 0 

21

A(m,n)

1 1   T2 o T1 =  1 0 

A’(-9,7)

 x '  1 1   x          y '  1 0   y    9  1 1   m          7  1 0   n    9     7 

 m  n    m  22

  9     7 

 m  n    m 

diperoleh: -9 = m + n dan 7 = m Nilai m = 7 disubstitusi ke m + n = -9  7 + n = -9 n = -16 Jadi nilai m – 2n = 7 + 32 = 39 23

Soal 5 Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap sumbu Y, dilanjutkan dengan transformasi sesuai matriks

 2 1    1 2

menghasilkan

titik (1,-8) maka nilai a + b =…. 24

Pembahasan Matriks pencerminan terhadap  1 0  sumby Y: T1 =  0

1

 2 1 T2 =  1 2   

T2 o T1 =

  2 1  -1 0  2 1         1 2  0 1  1 2

25

  2 1  -1 0  2 1         1 2  0 1  1 2  2 1 a   1           1 2  b    8 a   2  1 1  1        b  4  (1)  1 2   8  a  1  2  8  a  2              b  5 1  16   b    3

Jadi : a + b = 2 + (-3) = -1 26

Soal 6 Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat (0,0) sejauh +900, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = -x adalah…. 27

Pembahasan Rotasi +90o: (x,y)

[O,+90o]

(-y, x)

Refleksi y = -x: (-y,x) y = -x (-x,y) Sehingga x” = -x → x = -x” dan y” = y → y = y” disubstitusi ke x – 2y + 4 = 0

diperoleh (-x”) – 2y” + 4 = 0 Jadi petanya: x + 2y – 4 = 0 28

Soal 7 Persamaan peta kurva y = x2 - 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat 0 dan faktor skala ⅓ adalah… 29

• Pembahasan Refleksi terhadap sumbu x x’ = x y’ = -y Dilanjutkan dengan dilatasi: [O,⅓]

x” = ⅓x’ = ⅓x y” = ⅓y’ = -⅓y 30

dari x” = ⅓x dan y” = -⅓y diperoleh x = 3x” dan y = -3y” kemudian disubstitusi ke y = x2 – 3x + 2 -3y” = (3x”)2 – 3(3x”) + 2 -3y” = 9(x”)2 – 9x” + 2 Jadi petanya: y = -3x2 + 3x - ⅔ 31

Soal 8 Persamaan peta suatu kurva oleh refleksi terhadap sumbu X,  2    3

dilanjutkan translasi adalah y = x2 – 2. Persamaan kurva semula adalah…. 32

Pembahasan Refleksi terhadap sumbu x x’ = x y’ = -y  2 Dilanjutkan dengan translasi:   3 x” = x’ + 2 = x + 2 y” = y’ + 3 = -y + 3

33

x” = x + 2 dan y” = -y + 3 disubtitusikan ke: y” = (x”)2 – 2 -y + 3 = (x + 2)2 – 2 -y = x2 + 4x + 4 – 2 – 3 -y = x2 + 4x – 1 Jadi persamaan kurva semula: y = -x2 – 4x +1

34

Soal 9 Persamaan peta garis 3x – 4y = 12 karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks

  3 5     1 1

adalah…. 35

Pembahasan 3x – 4y = 12 y = x 3y – 4x = 12 Dilanjutkan transformasi:   3 5    1 1

 x'    3 5  x         y'   1 1  y 

→

x’ = -3x + 5y y’ = -x + y

x1 x3

 x'    3x  5 y        y'   x  y 

x’ = -3x + 5y 3y’ =-3x + 3y 36

x’ = -3x + 5y 3y’ = -3x + 3y

x’ -3y’ = 2y

diperoleh:

x'3 y' x'5 y y dan x  2 2 Disubstitusi ke 3y – 4x = 12

37

Disubstitusi ke: 3y – 4x = 12 diperoleh:  x'3 y '   x'5 y '  3   4   12  2   2  ruas kiri dan kanan dikali 2

3x’ – 9y’ – 4x’ + 20y’ = 24

-x’ + 11y = 24 Jadi petanya adalah 11y – x = 24 38

Soal 10 Parabola dengan titik puncak (1,2)

dan fokus (1,4) dicerminkan terhadap garis x = 5, kemudian dilanjutkan dengan transformasi putaran dengan pusat O(0,0) sejauh 90o berlawanan arah jarum jam. Persamaan peta kurva tersebut adalah…. 39

Pembahasan o

(x,y) (2m – x,y) Pusat (1,2) M x=5 R +90o (1,2) P’(9 ,2) Fokus (1,4) o M R x=5 +90 (1,4) F’(9,4) M

x=m

R

+90

(-y, 2m –x) P”(-2,9) F”(-4,9)

Kurva tersebut puncaknya di P”(-2,9) dan fokusnya di F”(-4,9) 40

Kurva yang puncaknya di P”(-2,9) dan fokusnya di F”(-4,9) adalah parabola yang terbuka ke kiri dan p = jarak puncak ke fokus = 2, sehingga persamaanya (y – b)2 = -4p(x – a) (y – 9)2 = -4.2(x – (-2)) (y – 9)2 = -8(x + 2) Jadi persamaanya: y2 – 18y + 8x + 97 = 041

42