Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona
Ítéletalkotás, döntés képességének fejlesztése
Rezner-Szabó Zsuzsanna Matematikatanár, MA Eszterházy Károly Főiskola
1. feladat Építs piramist! Az alábbi téglák közül akkor tehetsz egy téglát a másik kettő tetejére, ha a fenti tégla részhalmaza az alsóknak. Vágd ki a téglákat, és egy ilyen piramist építs fel:
{A 2310 prím osztói}
{1-nél nagyobb, 9-nél kisebb páratlan számok}
{egyjegyű prímek}
{A tízes számrendszer számjegyei}
{Egyjegyű, páratlan számok}
{9 osztói}
{Egyjegyű számok}
{páratlan számok}
A 1262:1111 tizedes tört alakjában szereplő páratlan számok
{2<x<4 egész számok}
Ezt látják a tanulók. És így kell kinéznie a „jó” piramisnak:
{2<x<4 egész számok} {3}
{1-nél nagyobb, 9-nél kisebb páratlan számok}
{9 osztói} {1;3;9} A 1262:1111 tizedes tört alakjában szereplő páratlan számok{1;3;5;9} {Egyjegyű számok} {1;2;3;4;5;6;7;8;9}
{3;5;7}
{Egyjegyű, páratlan számok} {1;3;5;7;9}
{páratlan számok} {1;3;5;7;9;11;…}
{egyjegyű prímek} {2;3;5;7}
{A tízes számrendszer számjegyei} {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
{A 2310 prím osztói} {2;3;5;7;11}
2. feladat Nyolc család igen jó barátságban van. Azért, hogy egymást bármikor el tudják érni, elkészítették a következő táblázatot: vezetékes telefonszám
mobil telefon
internet
Kovács
111-1111
(30)111-1111
[email protected] (30)111-1112
Kiss
222-2222
(20)222-2222 (20)222-2223
[email protected] (20)222-2224
Molnár
(70)333-3333 (70)333-3334 (70)333-3335 (70)333-3336
Nagy
(20)313-1313 (20)313-1314
[email protected] (70)414-4141 (70)414-4142
Fekete
333-3333 333-3334
Fehér Szabó
444-4444 555-5555
Balog
666-6666
(30)212-1212
[email protected] (30)212-1213 (30)444-4444 (20)555-5555
[email protected] (20)555-5556
Legyen V azon családok halmaza, melyeknek van vezetékes telefonja, M azon családok halmaza, melyeknek van mobil telefonja, I azon családok halmaza, akik elérhetők e-mail-ben. a) Töltsd ki a következő Venn-diagramot! (Írd be a neveket!) b) Írd le a keresett halmazok számosságát!
V =
V ∩I =
M =
V ∪M =
I =
M ∪I =
c) Fejezd be a mondatot: Az adatok alapján nincs olyan család, … d) Módosítsd ügyesen a Venn-diagramot!
V
M
I
Megoldás: V
M Fehér
Szabó
Molnár
Kiss Kovács Fekete,Balog
Nagy
I
Az adatok alapján nincs olyan család, aki elérhető e-mail-ben, de nincs mobilja. Mivel I-nek nincs olyan eleme, amely nem eleme M-nek, ⇒ I⊆M. Tehát a célszerű halmazábra:
V =6
V ∩I =4
M =7
V ∪M =8
I =5
M ∪I =7
V
M
I
3. feladat Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott az AB szakasz, és tudod, hogy AC = 3cm, valamint BC = 2 cm.
Megoldásvázlat: A és B pontok ismertek, keressük a C pontot. Tudjuk, hogy a C pont A-tól 3 cm-re van, vagyis eleme annak az X halmaznak, amely ezeket adja meg, tehát az A középpontú, 3 cm sugarú körnek. Tudjuk, hogy C pont B-tól 2 cm-re van, vagyis eleme annak az Y halmaznak, amely ezeket adja meg, tehát a B középpontú, 2 cm sugarú körnek. Mivel a C pont mindkét tulajdonsággal rendelkezik, ezért C ∈ X ∩ Y .
C 3 cm
A
2 cm
B
Szerkesztés: Ha az AB szakasz hossza változik, a megoldások száma, X ∩ Y is változhat. Ha AB > 5 cm, vagy AB < 1 cm, X ∩ Y = { }, nincs megoldás. Ha 1cm < AB < 5 cm , akkor két egybevágó háromszöget kapunk. Ha AB = 5 cm, vagy AB = 1 cm, akkor X ∩ Y ≠ { } , van egy-egy közös pont, de a geometria feladatnak nincs megoldása, mert az A, B és C pontok egy egyenesbe esnek, így nem keletkezik háromszög.
C2
4. feladat Helyes-e a következő ítéletekben az ekvivalencia használata? Fogalmazd át úgy a mondatokat, hogy tartalmazzák a szükséges, illetve az elégséges kifejezéseket! a) 15 osztója a-nak akkor és csak akkor, ha 5 osztója a-nak. b) Egy négyszög átlói merőlegesek egymásra akkor és csak akkor, ha a négyszög rombusz. c) A háromszög köré írt körének középpontja akkor és csak akkor esik a leghosszabb oldal felezőpontjába, ha a háromszög derékszögű.
Megoldás: a) Nem helyes, mert visszafelé nem teljesül; A 15-tel való oszthatóság szükséges feltétele az 5-tel való oszthatóság. Az 5-tel való oszthatóságnak elegendő feltétele a 15-tel való oszthatóság. A 15-tel való oszthatóságnak nem elégséges feltétele az 5tel való oszthatóság (például 10 nem osztható 15-tel). b) Odafelé nem teljesül (például deltoid); Az átlók merőlegességének elégséges feltétele, hogy a négyszög rombusz legyen. Hogy a négyszög rombusz legyen, annak nem elégséges feltétele, hogy az átlók merőlegesek legyenek egymásra. c) Hogy háromszög köré írt körének középpontja a leghosszabb oldal felezőpontja legyen, annak szükséges és elégséges feltétele, hogy a háromszög derékszögű legyen.
5. feladat Egy 10 cm oldalú, négyzet alakú céltáblára véletlenszerűen lövünk 26 lövedéket. Igaz-e, hogy van közöttük legalább 2, amelyek távolsága legfeljebb 3 cm?
Megoldás: A 10x10-es tábla felbontható 25 darab, 2x2 cm-es kis négyzetre. A 26 lövedék között biztosan van 2 olyan, amelyik azonos négyzetbe csapódik be, és ezek maximális távolsága a négyzet átlója: 2 2 ≈ 2,83 . Ennél a 3 nagyobb, ezért van két
olyan lövedék, amelynek a távolsága legfeljebb 3.
6. feladat Megmutatjuk, hogy egy társaságban mindig akad legalább két olyan ember, akinek azonos számú ismerőse van a társaságban, ha az ismeretség kölcsönös. Megoldás: – Vizsgáljuk meg 2 fős társaságban: vagy nem ismerik egymást, és ekkor mindkettőjüknek 0 ismerőse van, vagy ismerik egymást, és ekkor mindkettőjüknek 1 ismerőse van a társaságban. – 3 fős társaságban az ismeretségeket gráfokkal is szemléltethetjük, azaz az embereket pontokkal jelöljük, és két pontot akkor kötünk össze egy szakasszal, ha az emberek ismerik egymást.
– Általánosítsunk: tegyük fel, hogy n fős társaságban mindenkinek különböző számú ismerőse van: 0, 1, 2, …, n – 1. Az n – 1 ismerőssel rendelkező ember mindenkit ismer, tehát nem lehet olyan, aki senkit nem ismer. Ha viszont van olyan a társaságban, aki senkit sem ismer, akkor egyiküknek sem lehet n – 1 ismerőse. Ez azt jelenti, hogy a 0 és az n – 1 ismeretség közül legfeljebb csak az egyik teljesülhet. Ez ellentmondás, vagyis nem lehet mindenkinek különböző számú ismerőse. Beláttuk, hogy van legalább két olyan ember, akinek azonos számú ismerőse van a társaságban.
Ítéletalkotás, döntés képességének fejlesztése témaköréhez választottam a példákat. A feladatok általában ugyanazokat a kompetenciákat fejlesztik. A feladatokat a Sulinova oldaláról, a Kompetencia programcsomagok moduljaiból válogattam. Úgy érzem, ezek a feladatok igazán fejlesztik a különböző, lejjebb megnevezett kompetencia területeket. A feladatokat és megoldásokat mellékeltem.
A feladatok az alábbi kompetenciákat fejlesztik:
1. feladat a. b. c. d. e. f.
szövegértés modellalkotás különböző korábbi fogalmak elmélyítése (osztó, prímszám, részhalmaz…) rendszerezés kombinatív gondolkozás következtetési képesség
2. feladat a. b. c. d. e. f.
elemző képesség, értelmező képesség információgyűjtés modellalkotás kombinatív gondolkodás rendszerszemlélet fejlesztése következtetési képesség
3. feladat a. b. c. d. e. f. g.
adott tulajdonságú pontok szerkesztése alapszerkesztés gyakorlása kombinatív gondolkozás korábbi ismeretek összekapcsolása matematika különböző területeinek összekapcsolása megoldások számának megtalálása modellalkotás
4. feladat a. b. c. d. e. f. g.
kombinatív gondolkodás deduktív gondolkozás induktív gondolkozás elvonatkoztatás szövegértelmezés következtetési képesség logikai elemek használata
5. feladat a. b. c. d. e. f. g.
kombinatív gondolkozás modellalkotás skatulyaelv szövegértelmezés következtetési képesség elvonatkoztatás ítéletalkotás
6. feladat a. b. c. d. e. f.
metakognitív gondolkodás kombinatív gondolkodás bizonyítási módszeralkotás szövegértelmezés következtetési képesség elvonatkoztatás
