Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010 ISSN

Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010

ISSN 2085-7829

SIMULASI NUMERIK PENGARUH VAKSINASI DAN PEMBATASAN KONTAK DALAM MODEL PENYEBARAN VIRUS FLU BURUNG H5N1 PADA POPULASI BURUNG DAN MANUSIA (NUMERICAL SIMULATION OF THE EFFECT OF VACCINATION AND LIMITATION OF CONTACT IN THE MODEL OF THE SPREAD OF H5N1 AVIAN INFLUENZA VIRUS ON HUMAN AND POULTRY POPULATION) Kasbawati Staf Pengajar Jurusan Matematika Universitas Hasanuddin Makassar E-mail: [email protected] ABSTRACT Avian Influenza is an infectious disease caused by influenza virus type A which have the nature to change the shape and can cause epidemics and pandemics. Avian Influenza viruses spread from bird to bird and bird to human. The disease can be transmitted through direct contact with infected poultry or contaminated airborne H5N1 virus from bird droppings or secretary bird flu. In this paper, we carried out numerical simulation of the mathematical models which have formed to show how the shape of the spread of the virus in bird and human populations. Simulation results show that the effect of vaccination which is carried out on healthy bird populations is not sufficient to control the spread of the virus. It is necessary to have a restriction of the contact between healthy birds and infective birds. It means that it takes a considerable effort from the community especially in the breeder community to always control the situation especially when infection happened. Key words:Avian Influenza, SIR Model, Basic Reproductive Number, Rkf-45 Method.

1. Pendahuluan Penyakit flu burung (bird flu/avian influenza) ialah penyakit yang disebabkan oleh virus influenza tipe A yang ditularkan antar unggas dan dapat juga menular ke manusia. Penyakit AI (H5N1) terjadi di beberapa tempat secara luas. Sumber virus diduga berasal dari migrasi burung dan transportasi unggas yang terinfeksi. Virus AI yang ganas jarang ditemukan pada reservoir unggas liar, tetapi sumber infeksi virus tersebut dapat ditemukan pada unggas peliharaan, [7]. Penularan AI (H5N1) terjadi karena droplet infection (infeksi akibat percikan cairan hidung/mulut) baik akibat kontak langsung maupun tidak langsung. Transmisi langsung dapat melalui sentuhan unggas/manusia yang terinfeksi, melalui udara jarak pendek seperti bersin, melalui kontak sosial yang intensif (ciuman). Transmisi tidak langsung dapat melalui perantaraan benda lain yang telah tercemar, melalui serangga (lalat Musca domestica) tetapi masih dugaan, dan melalui udara jarak jauh. Tempat masuk virus (port de entry) ialah mulut, hidung, dan selaput lendir mata, [11]. Masalah penting yang dikhawatirkan oleh para ahli di dunia pada saat ini adalah kemungkinan munculnya subtipe baru virus influenza yang mampu untuk menular dari manusia ke manusia oleh karena saat ini virus H5N1 diduga telah mampu untuk menular dari unggas ke manusia, [11]. Menurut data WHO, infeksi AI (H5N1) lebih mudah menular dari unggas ke manusia dibandingkan dengan dari manusia ke manusia dan sampai saat ini belum terbukti penularan dari manusia ke manusia. Satu-satunya cara virus influenza A (H5N1) dapat menyebar dengan mudah dari manusia ke manusia ialah jika virus influenza A (H5N1) tersebut bermutasi dan bercampur dengan virus influenza manusia, [3]. Dalam penelitian ini, akan dilakukan simulasi numerik terhadap model deterministik yang mewakili bentuk penyebaran virus tersebut secara matematis. Pada dasarnya penelitian ini merupakan lanjutan dari penelitian yang telah dilakukan sebelumnya oleh [8], yang hanya meninjau hasil analitik dari model yang terbentuk. Penelitian ini akan difokuskan pada hasil numerik model yang akan memperlihatkan secara nyata bentuk geometris dari solusi model yang terbentuk dan melihat pengaruh kontrol yang dilakukan untuk menekan tingkat keendemikan yang ditimbulkan penyakit tersebut. Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman

56


ISSN 2085-7829

2. Model Deterministik Kasus Penyakit Flu Burung Tinjau model matematika dari penyebaran virus flu burung H5N1 pada populasi burung dan manusia yang telah dimodelkan dalam [8], yaitu dB S (t ) B (t )  AB   B B S (t ) I (1  v )   B B S (t ), dt NB dB I (t ) B (t )   B B S (t ) I (1  v )   B B I (t ), dt NB

(1)

dM S (t ) M (t ) B (t )  AM   M M S ( t ) I   V M S (t ) V   M M S (t ), dt NB NM dM I (t ) B (t )   M M S (t ) I  ( 1   2 ) M I (t )   M M I (t ), dt NB dM V (t ) M (t )   V M S (t ) V   2 M I (t )   M V (t )   V M V (t ), dt NM dM R (t )   1 M I (t )   M V (t )   M M R (t ). dt

Model tersebut diturunkan berdasarkan diagram skematik yang dibentuk dalam populasi burung dan manusia yang dapat dilihat dalam Gambar 1. Jadi diperoleh model matematika dari kasus penyebaran virus AI pada populasi burung dan manusia dalam bentuk sistem persamaan differensial tak linier enam dimensi yang mana semua parameter dalam persamaan (1) diasumsikan positif dan 0  v  1 . Keterangan dan penjelasan satuan dari semua variabel dan parameter model diberikan secara ringkas dalam Tabel 1. Dalam bentuk yang tak berdimensi diperoleh

dengan

dX 1 (t ) ~  AB   B X 1 (t ) X 2 (t )(1  v)   B X 1 (t ), dt dX 2 (t )   B X 1 (t ) X 2 (t )(1  v)   B X 2 (t ), dt dY1 (t ) ~  AM   M Y1 (t ) X 2 (t )   V Y1 (t )Y3 (t )   M Y1 (t ), dt dY2 (t )   M Y1 (t ) X 2 (t )  ( 1   2 )Y2 (t )   M Y2 (t ), dt dY3 (t )   V Y1 (t )Y3 (t )   2Y2 (t )   Y3 (t )   V Y3 (t ), dt dY4 (t )   1Y2 (t )   Y3 (t )   M Y4 (t ). dt B M M B M M X1  S , X 2  I Y1  S , Y2  I , Y3  V , Y4  R NB NB NM NM NM NM

(2)

.

Reduksi

model

tersebut

menghasilkan model dalam bentuk tiga dimensi, yaitu dY1 (t ) ~  AM   M Y1 (t ) X 2 (t )   V Y1 (t )Y3 (t )   M Y1 (t ), dt dY3 (t )   Y (t ) X 2 (t )   V Y1 (t )Y3 (t )  2 M 1  (   V )Y3 (t ), dt  ~ dX 2 (t ) A  q X 2 (t )  B B   B X 2 (t ). dt  B qX 2 (t )   B

(3)

dengan jumlah populasi setimbang dari X 1 , Y2 dan Y4 adalah X 1* 

~ AB , Y2 *   M Y1 X 2 , dan Y4 *   1Y2   Y3 .  B qX 2   B  M

Sistem tereduksi (3) yang dianalisis dalam beberapa teorema berikut, yang diambil dalam [8], yang mewakili analisis dari sistem keseluruhan dalam persamaan (1).

Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman

57


ISSN 2085-7829

~

~

  Nilai R0 model yang telah diperoleh sebelumnya adalah R0  maks  V AM , AB  B q  . Berikut teorema  B  B    M  kestabilan yang telah dibuktikan dalam [8].

Gambar 1. Diagram skematik model penyebaran virus AI, [8].

Teorema 1.Misalkan E1  (Y1* , Y3 * , X 2 * ) 



~ AM M



, 0, 0 adalah solusi kesetimbangan sistem (3) yang

terdefinisi dalam domain yang positif. Jika R0  1 maka titik tak endemik tersebut stabil asimtotik ~

~

secara lokal, dengan R  maks   V AM , AB  B q  . 0  M

 B B 

~

  Teorema 2. Misalkan E 2  (Y1** , Y3 ** , X 2 ** )    ,  V AM   M  , 0  adalah solusi kesetimbangan    V  V 

sistem (3) yang terdefinisi dalam domain yang positif. Jika R01  1 dan R02  1 maka titik endemik E2 ~

~

stabil asimtotik secara lokal, dengan R01  V AM dan R02  AB  B q . M 

Teorema 3. Misalkan

 B B

E3  (Y1*** , Y3*** , X 2 *** )  (Y1e , Y3e , X 2e )

merupakan solusi kesetimbangan sistem

(3) yang terdefinisi dalam daerah yang positif. Jika R0  1 maka titik endemik E3stabil asimtotik secara ~

~

lokal, dengan R  maks V AM , AB  B q  .   0  M 

 B B 

Pembuktian tiga teorema tersebut dapat dilihat di [8]. Tabel 1. Keterangan variabel dan parameter model dalam persamaan (1). Variabel/ Parameter

Interpretasi

Satuan

NB BS

Total populasiburung

Ekor

Jumlah burung sehat pada saat t

Ekor

BI

Jumlah burung yang terinfeksi virus AI pada saat t

Ekor

NM

Total populasimanusia

Orang


58


ISSN 2085-7829

MS

Jumlah manusia sehat pada saat t

Orang

MI

Jumlah manusia yang terjangkit penyakit flu burung pada saat t

Orang

MV

Jumlahmanusia yang terjangkitpenyakitakibatmutasi virus AI padasaat t

Orang

MR

Jumlah manusia yang sembuh pada saat t

Orang

AM

Banyaknyamanusiasehat yang lahirsecaraalamipersatuanwaktu

Orang/waktu

AB B

Banyaknya burung sehat yang lahir secara alami

Ekor/waktu

Rata-rata kontak yang terjadi antara burung sehat dengan burung sakit Proporsi burung sehat yang tidak terinfeksi virus AI akibat efektifitas dari vaksinasi yang diberikan pada semua burung sehat Rata-rata kematian alami burung sehat

1/waktu Tak berdimensi 1/waktu

V

B M B M

Rata-rata kematian alami manusia sehat

1/waktu

Rata-rata kematian burung akibat infeksi virus AI

1/waktu

Rata-rata kontak yang terjadi antara manusia sehat dengan burung sakit

1/waktu

Rata-rata banyaknya manusia yang sembuh dari penyakit

1/waktu 1/waktu



Rata-rata banyaknya manusia yang mati akibat penyakit flu burung Rata-rata banyaknya manusia yang terinfeksi virus AI yang tidak sembuh tetapi bertambah parah dan dapat menularkan penyakit ke manusia sehat lain Rata-rata kontak yang terjadi antara manusia sehat dengan manusia yang terjangkit virus baru AI yang bersifat infektif Rata-rata banyaknya manusia yang sembuh dari penyakit

V

Rata-rata banyaknya manusia yang meninggal akibat terinfeksi virus muta AI

1/waktu

1

M

2 V

1/waktu 1/waktu 1/waktu

3. Simulasi Numerik Model Matematika Penyebaran Virus H5N1 Pada bagian ini, akan dilakukan simulasi secara numerik untuk memperlihatkan bentuk geometris solusi model. Solusi numerik diperoleh dengan menggunakan pendekatan metode Runge Kutta orde 45 (Rkf-45) pada model kontinu dalam persamaan (2), dan disimulasikan menggunakan software Matlab 7. Sebelumnya akan dilakukan estimasi terhadap nilai-nilai semua parameter model dalam persamaan (2). Misalkan diasumsikan total populasi burung dalam sistem adalah 200 ekor dan total manusia adalah 50 orang. Banyaknya manusia yang masuk ke dalam sistem secara alami pertahun sebanyak 5 orang yang ekuivalen dengan 5/365 orang perhari, dan banyaknya burung yang terlahir secara alami perbulan adalah sebanyak 10 ekor yang ekuivalen dengan 10/30 ekor perhari. Misalkan rata-rata kontak antara burung sehat dengan burung yang terinfeksi cukup besar yaitu sebesar 0.7 perhari dan rata-rata kontak antara manusia sehat dengan burung yang terinfeksi adalah sebesar 0.5 perhari. Kemudian rata-rata kematian alami manusia sehat sebesar 1/23400  0.00004 perhari (peluang mati seseorang secara alami perhari), rata-rata kematian akibat penyakit flu burung sebesar 0.001 dan kematian akibat mutan flu burung sebesar 0.002 (  M   M <  V ). Rata-rata kesembuhan seseorang dari penyakit adalah sebesar 0.05 dan rata-rata banyaknya manusia yang penyakitnya bertambah parah yang dapat menginfeksi orang sehat sebesar 0.00001, dan rata-rata kontak yang terjadi antara manusia sehat dan manusia yang infektif sebesar 0.001. Pada populasi burung, diasumsikan rata-rata kematian alaminya sebesar 1/1440 (dengan asumsi lama hidup seekor burung adalah 4 tahun), dan rata-rata kematian akibat penyakit flu burung cukup besar yaitu 0.9. Misalkan proporsi dari jumlah burung sehat yang divaksin pada saat awal sebesar 40%, dengan tingkat efektifitas vaksin sebesar 50%, maka diperoleh proporsi banyaknya burung sehat yang bebas infeksi akibat vaksin sebesar 20% yaitu v  0.2 . Keseluruhanestimasinilai parameter tersebutdiberikandalamTabel 2.


59


ISSN 2085-7829

Tabel 2.Nilaiestimasi parameter model. Parameter

Interpretasi

NilaiEstimasi

NB NM

Total populasiburung

200 ekor

Total populasimanusia Banyaknyamanusiasehat yang lahirsecaraalamipersatuanwaktu

50 orang 5/365 orang/hari

AM AB

Banyaknya burung sehat yang lahir secara alami

10/30 ekor/hari

Rata-rata kontak yang terjadi antara burung sehat dengan burung sakit Proporsi burung sehat yang tidak terinfeksi virus AI akibat efektifitas dari vaksinasi yang diberikan pada semua burung sehat Rata-rata kematian alami burung sehat

0.7/hari

0.0006/hari

Rata-rata kematian alami manusia sehat

0.00004/hari

B

Rata-rata kematian burung akibat infeksi virus AI

0.9/hari

M

Rata-rata kontak yang terjadi antara manusia sehat dengan burung sakit Rata-rata banyaknya manusia yang sembuh dari penyakit

0.5/hari 0.05/hari

M

Rata-rata banyaknya manusia yang mati akibat penyakit flu burung

0.001/hari 0.00001/hari

V



Rata-rata banyaknya manusia yang terinfeksi virus AI yang tidak sembuh tetapi bertambah parah dan dapat menularkan penyakit ke manusia sehat lain Rata-rata kontak yang terjadi antara manusia sehat dengan manusia yang terjangkit virus baru AI yang bersifat infektif Rata-rata banyaknya manusia yang sembuh dari penyakit

V

Rata-rata banyaknya manusia yang meninggal akibat terinfeksi virus mutan AI

0.002/hari

B V

B

M

1

2

20% (0.2)

0.001/hari 0.05/hari

Nilai parameter yang telahdiestimasimenghasilkannilaibasic reproduction number, ~ ~  A A  q R0  maks  V M , B B   480 ,10370  10370 .  B B   M

Berdasarkanhasilanalisis yang dilakukansebelumnya, nilai R0  10370  1 menunjukkanbahwaendemikpenyakit flu burungakanterjadi di dalamsistemuntukwaktu yang akandatang (syaratteorema 3 terpenuhi). Solusikesetimbanganstabil yang diperolehdanmemenuhidaerah domain yang positif ** ** ** ** ** ** dengannilaieigen E 3 B S , B I , M S , M I , M V , M R  1.6, 11, 17 , 20, 0.005 , 24492 





 1   0 .051;  2   0 .00004 ;  34   0 .01  0 .15 I ;  5   0 .05;  6   0 .02 .

Karenahanyasolusikesetimbangan yang ketiga yang semuanilaieigennyamempunyaibagian real yang negatifmakauntuk t   , solusi model akanmenujukesolusikesetimbangan yang ketigatersebut. Misalkan diberikan nilai awal atau jumlah awal populasi, yaitu BS(0)=100, BI(0)=50, MS(0)=5, MI(0)=2, MV(0)=2, dan MR(0)=10. Dalam bentuk tak berdimensi nilai awal tersebut menjadi X1(0)=0.5, X2(0)=0.25, Y1(0)=0.1, Y2(0)=0.04, Y3(0)=0.04, dan Y4(0)=0.2. Dengan menggunakan nilai awal tersebut diperoleh bentuk geometris dari solusi model yang dapat dilihat dalam gambar berikut.

X 1 (t ), X 2 (t )

Gambar 2. Grafik solusi model pertumbuhan populasi burung sehat dan burung terinfeksi, terhadap waktu.


60


ISSN 2085-7829

Gambar 2 menunjukkan bentuk solusi model pertumbuhan populasi burung. Dari gambar tersebut terlihat bahwa kedua subpopulasi mengalami peningkatan secara drastis dari jumlah awal yang diberikan. Keduanya mencapai jumlah maksimum masing-masing masing masing di X1=9 dan X2=11,7, dan kemudian menurun ke jumlah setimbangnya yaitu 1.6 dan 11. Walaupun jumlah burung yang terinfeksi terlihat menurun dari jumlah awal, akan tetapi jumlahnya tidak menuju ke nol. Ini berarti bahwa peluang untuk terjadinya endemik di dalam sistem masih ada untuk u ntuk waktu yang akan datang. Hal lain yang menarik dari kurva solusi tersebut adalah pada saat t=1,5, jumlah burung sehat sama dengan jumlah burung yang terinfeksi. Jika pada kenyataannya hal tersebut dapat diketahui, maka sebelum jumlah burung terinfeksi bertambah melebihi jumlah burung sehat, kontrol terhadap kedua populasi dapat dilakukan agar jumlah X2 dapat berkurang menuju ke nol. Dalam simulasi awal ini, terlihat bahwa jumlah burung sehat jauh lebih kecil dari jumlah burung yang terinfeksi. Ini berar berarti bahwa untuk waktu yang tak hingga, dalam populasi burung akan terjadi endemik akibat infeksi virus AI. Dalam model epidemiologi, jumlah populasi yang infektif sangat diharapkan menuju ke nol sehingga peluang terjadinya endemik akibat infeksi virus H5N1 dapat dicegah.

(a)

Y3 (t )

(b)

Y4 (t )

(c)

(d)

Gambar 3. Grafik solusi model pertumbuhan populasi: (a) manusiasehat; (b) manusiaterinfeksi virus AI; (c) manusiaterinfeksi virus mutan AI; (d) manusia yang sembuh, terhadapwaktu.

PadaGambar 3 dapatdilihatbahwahal yang samaterjadidalampopulasimanusiadimanajumlahmaksimummanusia yang menderita flu burunglebihbesardarijumlahmanusia yang sehat. Jumlahmaksimumdarikeduanyasekaligusmenjadijumlahseti mbangnya yang stabilyaitu Y1=17 dan Jumlahmaksimumdarikeduanyasekaligusmenjadijumlahsetimbangnya Y2=19. Ini berarti untuk waktu yang akan datang, manusia yang terinfeksi flu burung akan selalu ada dan berpeluang menularkan penyakitnya pada manusia lain. Hal yang berbeda terjadi pada solusi Y3 yang jumlahnya menurun dari jumlah awal dan kemudian menuju ke jumlah setimbangnya yang stabil yaitu Y3=0.005. Sedangkan jumlah Y4 bertambah secara drastis dengan jumlah setimbang yang sangat besar. Jumlah setimbang dari Y3 sangat kecil karena dalam simulasi asi ini diasumsikan bahwa peluang bertambah parahnya infeksi atau penyakit yang dialami seseorang sangat kecil, yaitu

 2  0.00001/hari. Hal ini dilakukan karena dari data yang diperoleh memberikan informasi bahwa kemungkinan mutasi virus AI dengan virus virus influenza manusia memang ada akan tetapi belum ada penelitian yang membuktikan hal tersebut atau belum ada kasus yang terjadi, khususnya di Indonesia.


61


ISSN 2085-7829

Y1 (t ), Y 2 (t )

Gambar 4. Grafik perbandingan jumlah manusia sehat dan manusia yang terinfeksi virus AI.

Jika dilakukan perbandingan antara jumlah manusia sehat dengan jumlah penderita flu burung maka dalam gambar 8 terlihat bahwa pada simulasi ini jumlah penderita jauh lebih banyak dari jumlah orang yang sehat. Sama seperti populasi burung, dalam populasi manusia juga ada saat dimana jumlah penderita dan manusia yang sehat sama yaitu pada saat t=76 hari. Untuk mencegah bertambahnya jumlah penderita, beberapa upaya pencegahan yang telah diperoleh dari analisis sebelumnya, akan diterapkan dalam simulasi berikutnya untuk melihat seberapa besar pengaruh upaya tersebut untuk mencegah bertambahnya jumlah populasi yang terinfeksi virus AI. Simulasi tersebut diberikan dalam beberapa kasus berikut. Pengaruh Vaksinasi Burung Sehat Tinjau kembali nilai R0 model yang telah diperoleh. Dari hasil analisis yang telah dilakukan sebelumnya, terdapat beberapa upaya yang dapat dilakukan untuk mencegah terjadinya endemik, yang mana kontrol tersebut sangat bergantung pada nilai R0.Beberapa kontrol yang telah diperoleh, pada kenyataannya hanya beberapa yang dapat dilakukan agar burung yang terinfeksi virus AI dapat hilang dari sistem. Dalam pemodelan ini, diasumsikan terdapat vaksinasi yang diberikan kepada burung sehat secara intensif, dengan tingkat efektifitas tertentu sebagai upaya pencegahan infeksi pada burung sehat. Misalkan proporsi dari jumlah burung sehat yang divaksin ditambah sebesar 80%, dengan tingkat efektifitas vaksin yang cukup tinggi yaitu sebesar 75%, maka diperoleh nilai v  0.6 . Dengan menganggap parameter lain tetap, diperoleh nilai dari R0 yang lebih kecil dari R0 sebelumnya yaitu R0  5185. Penambahan jumlah burung sehat yang divaksin ternyata dapat menurunkan nilai R0 sebesar 50% yaitu dari 10370 menjadi 5185. Walaupun nilai R0 berkurang namun pengurangan jumlah tersebut tidak berpengaruh besar karena kemungkinan endemik di dalam sistem tetap dapat terjadi. Ini disebabkan karena nilai yang diperoleh masih jauh lebih besar dari satu yang berarti bahwa infeksi virus AI di dalam sistem masih sangat besar(syarat dari teorema 5 masih terpenuhi). Akibatnya untuk t   , solusi model masih akan menuju ke solusi kesetimbangan endemik, yaitu ** ** ** ** ** ** E B S , B I , M S , M I , M V , M R  3 .2; 11; 17 ; 19; 0 .5; 24492  . Bentuk geometris dari solusi model untuk simulasi yang kedua ini dapat dilihat dalam Gambar 5.





Gambar 5. Grafik solusi model pertumbuhan Populasi burung sehat dan burung terinfeksi setelah dilakukan vaksinasi. Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman

62


ISSN 2085-7829

Gambar 5 menunjukkan bentuk pergerakan solusi dari model pertumbuhan populasi burung terhadap perubahan waktu setelah dilakukan penambahan jumlah burung yang divaksin. Pengaruh vaksinasi yang diberikan mengakibatkan jumlah burung sehat sedikit bertambah dibandingk dibandingkan sebelum diberikan vaksinasi. Jumlah maksimum burung sehat pada kasus ini lebih besar dari jumah sebelumnya yaitu X1=14. Berbeda dengan jumlah burung yang terinfeksi, jumlah maksimumnya mencapai X2=15 dalam waktu t=4, dan kemudian menurun menuju ke jumla jumlah setimbang yang sama dengan simulasi sebelumnya yaitu X2=11. Ini berarti vaksinasi yang diberikan pada burung sehat tidak memberikan pengaruh yang signifikan terhadap penurunan jumlah setimbang X 2. Vaksinasi hanya berpengaruh pada penambahan jumlah setimbang setimb dari X1. Hal yang sama juga terjadi pada populasi manusia dimana pencegahan endemik dalam populasi burung tidak memberikan pengaruh pada penurunan jumlah manusia yang terinfeksi virus AI. Jumlah setimbang dari Y1 dan Y2 tetap sama dengan simulasi sebelumnya, sebelumnya, yaitu Y1=17 dan Y2=19. Sedangkan jumlah manusia yang terinfeksi oleh virus hasil mutannya, bertambah dari 0.005 menjadi 0.5. Ini tentu disebabkan karena upaya pencegahan yang dilakukan hanya sebatas pencegahan infeksi pada burung sehat melalui vaksinasi vaksinasi tanpa ada perlakuan khusus pada burung yang telah terinfeksi virus dan perlakuan dalam lingkungan sekitar yang dijadikan tempat tinggal oleh kedua populasi tersebut.

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar 6. Grafik solusi model pertumbuhan populasi: (a) manusiasehat; (b) manusiaterinfeksi virus AI; (c) manusiaterinfeksi virus mutan AI; (d) manusia yang sembuh, terhadap waktu, setelah dilakukan vaksinasi pada burung sehat.

Selanjutnya akan diberikan simulasi yang lain dengan mengikutsertakan upaya pencega pencegahan lain yang telah diperoleh dalam analisis sebelumnya dan pada kenyataan dapat dilakukan. Pengaruh Pembatasan Kontak dengan Populasi yang Infektif Dalam pemodelan ini, diasumsikan terdapat kontak antara burung sehat dan burung yang terinfeksi  B  dan kontak antara manusia sehat dengan manusia yang terinfeksi virus yang virulen

(  V ). Dari hasil analisis kualitatif model yang telah dilakukan sebelumnya, salah satu upaya pencegahan yang dapat dilakukan agar infeksi infeksi virus AI dapat berkurang adalah dengan membatasi kontak antara burung sehat dan burung yang terinfeksi  B  dan mencegah sedapat mungkin kontak

antara manusia sehat dengan manusia yang terinfeksi virus yang virulen (  V ). Misalkan upaya pencegahan tersebut dilakukan dengan menerapkan suatu policy atau aturan tertentu yang dapat membatasi kontak antar keduanya, sehingga nilai dari  B dapat diturunkan dari 0.7 menjadi 0.00007 Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman

63


ISSN 2085-7829

dan nilai  V diturunkan dari 0.001 menjadi 0.000001. Dengan menganggap parameter lain tetap, diperoleh nilai dari R0 yang besarnya turun secara drastis dibanding nilai R0 sebelumnya, yaitu R0  0.51 .Secara Secara matematis, hasil ini menunjukkan bahwa pembatasan kontak yang dilakukan memberikan pengaruh yang sangat signifikan terhadap penurunan nilai R0 sehingga syarat kestabilan dari titik tak endemik model terpenuhi (teorema 1). Ini berarti untuk t   , solusi model akan menuju ke solusi kesetimbangan tak endemik, * * * * * * E BS , BI , M S , M I , M V , M R  16666, 0, 25000, 0, 0, 0 ,baik dalam populasi burung maupun dalam populasi manusia. Bentuk geometris dari solusi model untuk simulasi yang ketiga ini dapat dilihat dalam gambar berikut. Hasil simulasi ketiga ini menunjukkan bahwa upaya pembatasan kontak yang dilakukan berhasil menurunkan jumlah burung yang terinfeksi dan jumlah manusia yang terinfeksi virus AI. Ini dapat dilihat dalam Gambar 3 dan 8 dimana solusi X2, Y2 dan Y3, ketiganya konvergen menuju ke nol yang menjadi nilai setimbangnya. Ini berarti bahwa untuk waktu yang akan datang, infeksi virus AI dapat hilang dari dalam sistem. Antisipasi yang dilakukan pada kedua populasi memberikan manfaat yang sangat signifikan karena rena mampu menurunkan jumlah infektif dari dalam sistem, Gambar 9. Hasil ini memberikan konfirmasi bahwa pencegahan tidak boleh hanya dilakukan dalam populasi burung atau dalam populasi manusia saja, tetapi keduanya harus saling menunjang sehingga upaya pe pencegahan yang dilakukan dapat maksimal.





(a)

(b)

Gambar 7. Grafik solusi model pertumbuhan populasi: (a) burung sehat; (b) burung terinfeksi setelah adanya pembatasan kontak dalam populasi burung.

(a)

(b)

(c)

(d)


64


ISSN 2085-7829

Gambar 8. Grafik solusi model pertumbuhan populasi: (a) manusia sehat; (b) manusia terinfeksi virus AI; (c) manusia terinfeksi virus mutan AI; (d) manusia yang sembuh, setelah adanya pembatasan kontak dengan penderita.

(b)

(a)

Gambar 9. Grafik perbandingan solusi model pertumbuhan populasi: (a) burung terinfeksi; (b) manusia terinfeksi sebelum dan setelah adanya pembatasan kontak.

Berikut diberikan beberapa hasil simulasi untuk berbagai jenis pencegahan yang dilakukan beserta pengaruh dan tantangan yang dihadapi. Tabel 3. Hasil simulasi awal untuk menentukan upaya pencegahan penyebaran penyakit flu burung.

Tabel 4. Evaluasi hasil simulasi numerik pada beberapa upaya pencegahan penyebaran penyakit flu burung.


65


ISSN 2085-7829

4. Kesimpulan Dalam penelitian ini telah dilakukan simulasi numerik pada modelamtematika dari masalah penyebaran virus H5N1 pada populasi burung dan manusia, serta model penularannya dalam kedua populasi maupun antar populasi. Beberapa kesimpulan yang dapat diberikan dari kegiatan penelitian ini adalah 1. Beberapa bentuk antisipasi yang diperoleh sebelumnya, antara lain dengan menekan jumlah kelahiran burung; melakukan pemusnahan burung, baik yang sehat maupun yang terinfeksi; membatasi kontak antara burung sehat dan burung yang terinfeksi  B  ; dan melakukan vaksinasi

pada burung sehat q  (1  v )  mampu untuk menekan laju penyebaran virus AI. 2. Peluang terjadinya endemik flu burung pada kedua populasi sangat dipengaruhi oleh besarnya kontak yang terjadi antara burung sehat dan burung yang terinfeksi flu burung. Ini dapat tergambar dari besaran R0 yang diperoleh dari hasil simulasi, dimana R0 untuk populasi burung yang paling menentukan terjadi atau tidaknya endemik flu burung pada kedua populasi. 3. Pembatasan kontak tidak boleh dilakukan hanya pada populasi burung saja atau pada populasi manusia saja. Pembatasan kontak dengan burung dan manusia yang infektif harus dilakukan secara bersama disertai dengan pemberian vaksinasi pada populasi burung yang sehat, sehingga peluang penjangkitan dan penyebaran virus AI dapat diperkecil, terutama jika vaksin yang diberikan berhasil meningkatkan kekebalan burung sehat tersebut. Program StudiStatistika FMIPA UniversitasMulawarman

66


ISSN 2085-7829

4. Hasil lain yang menarik dalam penelitian ini adalah selain burung yang infektif, endemik juga dapat disebabkan oleh infeksi virus yang ditularkan oleh manusia yang terinfeksi virus baru, virus hasil mutasi antara virus influenza A (H5N1) dengan virus influenza manusia. Walaupun belum ada penelitian medis yang membuktikan hal ini, akan tetapi menurut WHO, mutasi tersebut ada kemungkinan dapat terjadi, dan secara matematika dapat dibuktikan bahwa manusia yang terinfeksi virus baru dari H5N1 dapat menjangkiti manusia lain dan mengakibatkan endemik dalam populasi manusia. Hal ini tentunya dapat menjadi masukan bagi pihak yang terkait untuk menetapkan suatu policy, khususnya dalam hal penanganan medis bagi para penderita penyakit flu burung. 5. Daftar Pustaka [1]

Brauer, Fred and Castillo, Carlos-Chavez. 2001. Mathematical Models in Population Biology and Epidemologi. Springer-Verlag, Inc, New York. [2] Castillo-Chaves, C., Z. Feng, dan W. Huang. 2002. On the Computation of R0 and Its Role on Global Stability. IMA Volume 125, 229 - 250. Springer-Verlag, New York. [3] Centers for Disease Control and Prevention, 2006. Key facts about avian influenza (bird flu) and avian influenza A (H5N1) virus.Sumber: http://www.cdc.gov/flu/avian/geninfo/pdf/avianfacts.pdf. [30 Juni 2008]. [4] Diekmann, O. Heesterbeek, J.A.P.. 2000. Mathematical Epidemiology of Infectious Disease. John Wiley & Sons, Ltd, Chicester. [5] Iwami, S., Takeuchi, Y., Liu, X., 2007. Avian–human influenza epidemic model.Math.Biosci. 207, 1–25. [6] Iwami, S., Takeuchi, Y., Korobeinikov, A., Liu, X., 2008. Prevention of avian influenza epidemic: What policy should we choose?,Journal of Theoretical Biology 252, 732–741. [7] Kandun I Nyoman, 2006. Pencegahan dan Pemberantasan Penyakit Avian Influenza. Artikel Direktur Jenderal Pengendalian Penyakit dan Penyehatan Lingkungan Departemen Kesehatan, Jakarta. [8] Menno D. J., Hien Tran T., 2006, Avian influenza A (H5N1), Journal of Clinical Virology 35: 2–13. [9] Mulyadi, B., Prihatini, 2005, Diagnosis Laboratorik Flu Burung (H5N1) (Laboratoric Diagnosis of Avian Influenzae (H5N1)), Indonesian Journal of Clinical Pathology and Medical Laboratory, Vol. 12, No. 2, Mar 2005, pp 71- 81. [10] Rencana Strategi Nasional Pengendalian Flu Burung 2006-2008, Sumber: http://www.komnasfbpi.go.id/files/Renstra_AI_dan_PI_13_Jan_2006.pdf. [20 Januari 2008]. [11] Upadhyay, R.K., Kumari, N., Raob, V.S.H., 2008, Modeling the spread of bird flu and predicting outbreak diversity, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 9, 1638 – 1648. [12] Verhulst, F., 1996, Nonlinear Differential Equation and Dynamical System, Springer-Verlg., Jerman


67

Jurnal EKSPONENSIALVolume 1, Nomor 2, September 2010 ISSN

Recommend Documents