Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty U jednokriteriálních úloh je vždy pouze jedno kritérium optimality, a to buď maximalizační nebo minimalizační. Varianty rozhodování jsou zadány 1) implicitně - podmínkami, které musí být splněny (viz úlohy lineárního programování s jednou účelovou funkcí) 2) explicitně – je dán seznam variant, mezi kterými se má řešitel rozhodnout Cílem je vybrat ze všech variant variantu nejvýhodnější. Musíme znát následující údaje: a) kritérium rozhodování b) seznam m variant V1, V2,…, Vm c) seznam n situací S1, S2,…, Sn d) m x n důsledků dij (důsledek výběru varianty Vi pro situaci Sj) Statický (jednoetapový) rozhodovací problém se zobrazuje pomocí rozhodovací matice. Řádky v rozhodovací matici se vztahují k variantám, sloupce se vztahují k situacím a prvky matice dij představují důsledky výběru varianty Vi při situaci Sj. Rozhodovací matice: V1 V2 ... Vm
S1 ⎡ d 11 ⎢ ⎢ d 21 ⎢ ... ⎢ ⎣ d m1
S2 d 12 d 22 ... d m2
... ... ... ... ...
Sn d 1n ⎤ ⎥ d 2n ⎥ ... ⎥ ⎥ d mn ⎦
Příklad 1: Majitel cestovní kanceláře se rozhoduje, kolik má objednat míst v hotelu (25, 30, 35, 40), když přesně neví, kolik zájemců o zájezd se přihlásí (25, 30, 35, 40). Od jedné přihlášené osoby bude vybírat 10000 Kč. Skutečné náklady na jednu osobu jsou 6000 Kč. V případě přebytečně objednaných míst musí počítat se ztrátou 1000 Kč na jedno místo. Důsledky výběru jednotlivých variant v jednotlivých situacích (realizovaný zisk v tis.Kč) jsou v následující matici. 25 ⎡100 ⎢ 95 ⎢ ⎢ 90 ⎢ 40 ⎣ 85
25 30 35
30 100 120 115
35 100 120 140
40 100⎤ 120⎥⎥ 140⎥ ⎥ 110 135 160⎦
Prvky matice se vypočítají následujícím způsobem. Pokud poptávka převyšuje nabídku nebo je rovna nabídce ( P ≥ N), zisk neboli důsledek rozhodnutí dij = 4000N. Pokud je poptávka menší než nabídka ( P < N), zisk - důsledek rozhodnutí dij = 4000P – 1000(N - P). Vyhodnocením prvků rozhodovací matice lze uspořádat varianty podle jejich výhodnosti. Preferenci varianty Vk před variantou Vl značíme Vk f Vl. Rozhodování za jistoty Mezi situacemi je taková, která určitě nastane. Rozhodovací matici zredukujeme na jeden sloupec a největší (nejmenší číslo) určí nejvýhodnější variantu rozhodování vzhledem k příslušnému kritériu optimálnosti. Například pokud byste věděli, že se na zájezd přihlásí 30 lidí, potom byste objednali 30 míst v hotelu a dosáhli byste maximálního možného zisku 120 tis.Kč. © Jana Friebelová
Rozhodování za rizika Známe pravděpodobnosti, s jakými jednotlivé situace nastanou. Rozhodování za nejistoty Neznáme pravděpodobnosti, se kterými jednotlivé situace nastanou.
Pravidla pro rozhodování za rizika 1) Pravidlo očekávané střední hodnoty n
E ( X i ) = ∑ p j d ij , i = 1,2,..., m j =1
X i je náhodná veličina, která představuje hodnoty důsledků varianty Vi při situacích S1 , S 2 ,..., S n , tedy nabývá hodnot d i1 , d i 2 ,..., d in s pravděpodobnostmi p1 , p 2 ,..., p n . E ( X i ) je střední hodnota náhodné veličiny. Příklad 2: Jednotlivé situace z příkladu 1 nastanou s pravděpodobnostmi 0,2; 0,3; 0,3; 0,2. Vyberte nejlepší variantu, která přinese majiteli cestovní kanceláře maximální zisk podle pravidla očekávané střední hodnoty. E ( X 1 ) = 100 E ( X 2 ) = 95 * 0,2 + 120 * 0,3 + 120 * 0,3 + 120 * 0,2 = 115 E ( X 3 ) = 90 * 0,2 + 115 * 0,3 + 140 * 0,3 + 140 * 0,2 = 122,5 E ( X 4 ) = 85 * 0,2 + 110 * 0,3 + 135 * 0,3 + 160 * 0,2 = 122,5 Nejvýhodnější je varianta s nejvyšší střední hodnotou (zde jsou dvě, a to varianta 3 a 4). Varianty jsou uspořádány V3 = V4 f V2 f V1 . Protože jsou zde dvě nejvyšší střední hodnoty, podle tohoto pravidla se nelze jednoznačně rozhodnout, přihlédneme k dalšímu pravidlu. 2) Pravidlo očekávané hodnoty a rozptylu Rozptyl důsledků jednotlivých variant při všech uvažovaných situacích počítáme ze vztahu n
[
]
D( X i ) = ∑ p j d ij − E ( X i ) , i = 1,2,..., m . 2
j =1
Méně rizikovější varianta má menší rozptyl. Příklad 3: Spočítejte rozptyl pro varianty, které mají stejnou (nejvyšší) střední hodnotu. D( X 3 ) = 0,2(90 − 122,5) + 0,3(115 − 122,5) + 0,3(140 − 122,5) + 0,2(140 − 122,5) = 381,25 2
2
2
2
D( X 4 ) = 0,2(85 − 122,5) 2 + 0,3(110 − 122,5) + 0,3(135 − 122,5) + 0,3(160 − 122,5) = 656,25 Nižší rozptyl má varianta 3. 2
2
2
Podle pravidla očekávané hodnoty a rozptylu rozhodovatel preferuje variantu, která je z hlediska očekávané hodnoty i rozptylu lepší, nebo která je lepší jen z jednoho hlediska a z druhého je stejná. V případě maximalizačního kritéria, když preferujeme variantu i před variantou h, můžeme předchozí větu zapsat pomocí následujících výroků:
© Jana Friebelová
Vi f Vh ⇔ E ( X i ) ≥ E ( X h ) ∧ D( X i ) < D( X h ) Vi f Vh ⇔ E ( X i ) > E ( X h ) ∧ D( X i ) ≤ D( X h ) V našem příkladu platí : E ( X 3 ) = E ( X 4 ) ∧ D( X 3 ) < D( X 4 ) , varianty jsou uspořádány v pořadí V3 f V4 f V2 f V1 . 3) Pravidlo očekávaného užitku Pro toto pravidlo musíme znát funkci užitku. Funkce užitku vyjadřuje, jaký přínos pro rozhodovatele znamenají změny tohoto kritéria a jaký postoj má rozhodovatel k riziku. Užitek nejhorší hodnoty kritéria je 0 a užitek nejlepší hodnoty kritéria je 1. Užitková funkce u kritérií výnosového typu podle vztahu rozhodovatele k riziku:
Pro očekávaný užitek varianty Vi platí: n
E [u (Vi )] = ∑ p j u (d ij ), i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n ; j =1
u (Vi ) je užitek varianty Vi,, p j je pravděpodobnost, se kterou nastane situace Sj; musí platit
n
∑p
j
=1,
j =1
u ( d ij ) je užitek varianty Vi při situaci Sj.
Platí Vi f Vh ⇔ E [u (Vi )] > E [u (Vh )]. .
Příklad 4: V rozhodovací úloze 1 kromě pravděpodobností, se kterými nastanou jednotlivé situace, známe ještě ohodnocení (užitky) částek. Užitky byly odvozeny z užitkové funkce zisku v intervalu od 85 do 160 tis.Kč. Zisk 85 90 95 100 110 115 120 135 140 160 Užitek 0 0,2 0,3 0,4 0,55 0,65 0,7 0,85 0,9 1
© Jana Friebelová
E [u (V1 )] = 0,4
E [u (V2 )] = 0,2 * 0,3 + 0,3 * 0,7 + 0,3 * 0,7 + 0,2 * 0,7 = 0,62
E [u (V3 )] = 0,2 * 0,2 + 0,3 * 0,65 + 0,3 * 0,9 + 0,2 * 0,9 = 0,685
E [u (V4 )] = 0,2 * 0 + 0,3 * 0,55 + 0,3 * 0,85 + 0,2 *1 = 0,62 Nejlepší z variant je podle pravidla očekávaného užitku varianta 3, V3 f V2 = V4 f V1 . Cena dokonalé informace Největší (nejmenší) čísla ve sloupcích rozhodovací matice odpovídají fiktivní variantě, kterou můžeme vyhodnotit např. pomocí pravidla očekávané střední hodnoty rozhodovacího kritéria. Rozdíl mezi touto hodnotou a střední hodnotou kritéria pro nejvýhodnější reálnou variantu představuje cenu dokonalé informace. Je to částka, kterou je rozhodovatel ochoten zaplatit za informaci o výskytu jednotlivých situací. Příklad 5: Pro rozhodovací úlohu 1 spočítáme cenu dokonalé informace. Nejprve si v každém sloupci najdeme největší číslo a čísla zapíšeme jako důsledky (zisky) pro fiktivní variantu ve všech situacích. F = [100,120,140,160] Nyní tuto variantu vyhodnotíme podle pravidla očekávané střední hodnoty. E (X f ) = 100 * 0,2 + 120 * 0,3 + 140 * 0,3 + 160 * 0,2 = 130 Cena dokonalé informace se pak spočítá jako rozdíl mezi touto střední hodnotou a střední hodnotou pro nejvýhodnější reálnou variantu. E (X f ) − E (X 3 ) = 130 − 122,5 = 7,5 Rozhodování za nejistoty Při rozhodování za nejistoty rozhodovatel ví, jaké situace mohou nastat, ale neví s jakými pravděpodobnostmi. K rozhodnutí o výběru nejlepší varianty lze použít různá pravidla, která mohou vést k různým výsledkům. U všech následujících pravidel předpokládejme, že rozhodovací kritérium je maximalizační (výnosového typu). Ilustrovat budeme na příkladu 1 ze 7. přednášky. 25 ⎡100 ⎢ 95 ⎢ ⎢ 90 ⎢ 40 ⎣ 85
25 30 35
30 100 120 115
35 100 120 140
40 100⎤ 120⎥⎥ 140⎥ ⎥ 110 135 160⎦
1) Optimistický přístup (pravidlo maximaxu) Rozhodovatel vybere variantu, která mu přinese nejlepší výsledek. Nalezne se největší číslo v celé rozhodovací matici, tedy max max d ij . Vybere se v řádku největší prvek a z těchto i
j
největších prvků zase ten největší. Největší hodnota zisku 160 tis.Kč odpovídá volbě varianty 4 (objednání 40-ti míst). 2) Pesimistický přístup (Waldův princip maximinu) Rozhodovatel očekává nejhorší výsledek a vybere z nejhorších výsledků ten nejlepší, tedy v rozhodovací matici vybere v každém řádku nejmenší číslo a z nejmenších čísel pak to největší, neboli max min d ij . i
j
© Jana Friebelová
Pokud rozhodovatel pro rozhodování použijeme pesimistický přístup, vybere variantu 1 a objedná pouze 25 míst. 3) Hurwiczovo (realistické) pravidlo Nejprve je nutné stanovit index optimismu α , (α ∈ 0,1 ) . Pro α = 1 je realistické pravidlo shodné s optimistickým přístupem a naopak při α = 0 je toto pravidlo shodné s pesimistickým přístupem. Index optimismu oslabuje extrémní postoje rozhodovatele. Nejlepší varianta rozhodnutí je ta, pro kterou výraz α max d ij + (1 − α ) min d ij je maximální. j j
Pokud zvolíme α = 0,7 , V1...0,7 * 100 + 0,3 * 100 = 100 V2 ...0,7 * 120 + 0,3 * 95 = 112,5 V3 ...0,7 *140 + 0,3 * 90 = 125 V4 ...0,7 * 160 + 0,3 * 85 = 137,5 Podle realistického přístupu by rozhodovatel volil 4. variantu. 4) Laplaceovo pravidlo (princip stejné věrohodnosti) U tohoto pravidla se předpokládá, že všechny situace mohou nastat se stejnou 1 pravděpodobností, tedy pokud počet situací je n, P(S j ) = , j = 1,2,..., n . Pro nejvýhodnější n n 1 variantu podle principu stejné věrohodnosti platí, že ∑ d ij je maximální. n j =1
V1 = 100 V2 = 0,25 * 95 + 0,25 * 120 + 0,25 * 120 + 0,25 * 120 = 113,75 V3 = 0,25 * 90 + 0,25 * 115 + 0,25 * 140 + 0,25 * 140 = 121,25 V4 = 0,25 * 85 + 0,25 * 110 + 0,25 * 135 + 0,25 * 160 = 122,5 Nejvýhodnější je objednat 40 míst (varianta 4). 5) Savageovo pravidlo (princip minimaximální ztráty) Waldův princip je aplikovaný na matici ztrát. Matici ztrát značíme rij a její prvky určíme tak, že pro každou situaci určíme ztrátu, která by vznikla při volbě jednotlivých variant oproti nejvýhodnější varčiantě v dané situaci. Platí rij = max d ij − d ij . V každém sloupci najdeme i
nejvyšší číslo a od něj odečtu všechny prvky v daném sloupci. ⎡ 0 20 40 60⎤ ⎢ 5 0 20 40⎥ ⎥ r =⎢ ⎢10 5 0 20⎥ ⎢ ⎥ ⎣15 10 5 0 ⎦ V matici ztrát vybereme v řádcích maxima a z nich potom minimum. Maxima v jednotlivých řádcích jsou 60, 40, 20, 15, nejmenší je 15 a z toho vyplývá, že nejvýhodnější je objednat 40 míst (varianta 4).
© Jana Friebelová
