Nejistoty v mìøení III: nejistoty nepøímých mìøení

A

MÌØICÍ TECHNIKA

Nejistoty v mìøení III: nejistoty nepøímých mìøení V èláncích [1] a [2] byl podán pøehled souèasných názorù na problematiku nejistot v mìøení obecnì a pøedstaven zpùsob výpoètu nejistot pøi ménì nároèných pøímých mìøeních. Tento tøetí pøíspìvek z volného cyklu èlánkù je vìnován nepøímým mìøením a naznaèuje principy øešení složitìjších pøípadù mìøení, ve kterých se vyskytují korelaèní vlivy mezi jednotlivými mìøeními, popø. mìøenými velièinami. Je ukázáno, jak vzájemné korelaèní vazby vstupních velièin postup vyhodnocování nejistot podstatnì komplikují. Jako dodatek jsou uvedeny ètyøi pøíklady modelových situací – tìch, které obsahují korelaèní vlivy, i tìch, kde lze tyto vlivy zanedbat.

1. Úvod V pøedchozích èláncích [1] a [2] bylo uvedeno, co to jsou nejistoty mìøení a jak se urèují pøi pøímých mìøeních. Souèasnì bylo naznaèeno, jak se nejistoty pøenášejí na velièiny, které nejsou mìøeny pøímo, ale jsou v jednoduchém funkèním vztahu s pøímo mìøenými velièinami, mezi nimiž však neexistují vzájemné korelace. Následující text je vìnován složitìjším pøípadùm charakteristickým pøenosem nejen nejistot, ale i kovariancí, do výsledku mìøení nepøímo mìøené velièiny. Jako vstupní velièiny jsou dále v textu oznaèovány pøímo mìøené velièiny i velièiny, jejichž nìjaké hodnoty (odhady), stejnì jako jejich nejistoty a kovariance, jsou známé (mùže pøitom jít nejen o mìøené velièiny, ale také o velièiny ovlivòující výsledek, tj. korekce, fyzikální konstanty atd.). Velièiny, jejichž hodnotu chceme mìøením zjistit, jsou analogicky oznaèovány jako velièiny výstupní.

2. Postupy urèování standardních nejistot pøi nepøímých mìøeních Stejnì jako ve [2] je velièina Y, která je pøedmìtem zájmu (výstupní velièina), známou funkcí f velièin X1, X2, ..., Xm. Velièiny X1, X2, ..., Xm (vstupní velièiny) jsou takové, které lze pøímo zmìøit nebo jejichž odhady, nejistoty a kovariance známe z jiných zdrojù. Tedy

Y = f ( X1 , X 2 , ... , X m )

(1)

Odhad y výstupní velièiny Y se urèí ze vztahu

y = f ( x1 , x 2 , ... , x m )

(2)

kde x1, x2, ..., xm jsou odhady vstupních velièin X1, X2, ... , Xm.

&

Nejistota odhadu y velièiny Y pro pøípad, že odhady x1, x2, ..., xm jsou nekorelované (viz dále), se urèí, zcela shodnì jako v pøípadech uvedených v [1] a [2], podle vztahu u 2 (y ) =

m

∑ A u (x ) 2 i

2

(3)

i

i =1

pøièemž pro koeficienty citlivosti (pøevodové koeficienty) Ai platí

Ai =

∂f (X1 ,X2 ,..., Xm ) ∂Xi

(4)

X1 = x1 ,...,Xm = xm

V pøípadì, že odhady x1, x2, ..., xm jsou korelované (viz dále v kap. 3), je tøeba uvažovat také kovariance mezi jednotlivými odhady, které tvoøí další složky výsledné nejistoty. Pro korelované vstupní velièiny se potom nejistota výstupní velièiny urèí ze vztahu u 2 (y ) =

m

∑ A u (x ) + 2 2 i

i

i =1

+2

m

m −1

i=2

j
(5)

∑∑ A A u(x , x ) i

j

i

j

kde u(xi, xj) je kovariance mezi navzájem korelovanými odhady xi a xj, což mohou být jak dvì vzájemnì závislé rùzné velièiny, tak i dvì hodnoty téže velièiny, mezi nimiž existuje jistá korelaèní vazba, jak bude struènì pøiblíženo v kap. 3. Nìkdy je výhodné urèit nejistoty odhadu y výstupní velièiny Y zvl᚝ metodou A a zvl᚝ metodou B. Potom se celková (kombinovaná) standardní nejistota urèí podle vztahu

uC (y ) = uA2 (y ) + uB2 (y )

(6)

Øešení jednodušší situace nepøímého mìøení bez kovariancí ukazuje pøíklad 1 v dodatku na konci tohoto èlánku.

3. Kovariance pøi urèování výsledných nejistot 3.1 Kovariance a nejistoty Ve [2] byly uvedeny možné nejistoty zpùsobené vlivem rùzných zdrojù. Zde nyní budou podle slibu ozøejmeny vzájemné vazby mezi jednotlivými zdroji, které mají za následek existenci kovariancí pøi pùsobení jednotlivých zdrojù nejistot.

(2001) èíslo 12

Kovariance mezi odhady vlivù jednotlivých zdrojù urèují, jak jsou tyto odhady vzájemnì ovlivnìny spoleènými zdroji nejistot. Navzájem závislé zdroje nejistot pøispívají k výsledné nejistotì více nebo ménì podle toho, jak se pøíslušné nejistoty sluèují. V úvahu se tyto spoleèné zdroje berou proto, aby bylo možné jejich vliv zohlednit ve výsledné nejistotì. Kovariance mohou výslednou nejistotu zvìtšit i zmenšit. Závisí to pøedevším na jejich charakteru (zda zdroje pùsobí souhlasnì èi protichùdnì na dva uvažované odhady) a také na tvaru funkce, kterou jsou vázány na výstupní velièinu. Kovariance mezi jednotlivými vstupními velièinami Xi a Xj se urèí podobnì jako nejistoty buï metodou typu A, založenou na statistickém zpracování namìøených údajù, nebo od ní odlišnou metodou typu B (viz [1], [2]).

3.2 Stanovení kovariance mezi odhady xi a xj : metoda typu A Metoda typu A se ke stanovení kovariancí mezi dvìma odhady xi a xj dvou vstupních velièin (zdrojù nejistot) Xi a Xj používá tehdy, je-li k dispozici n namìøených hodnot obou velièin xi1, xi2, …, xin a xj1, xj2, …, xjn . Jsou-li odhady xi a xj pøedstavovány aritmetickými prùmìry xi =

1 n

n

∑x k =1

ik

, xj =

1 n

n

∑x k =1

jk

(7)

vypoèítá se kovariance urèená metodou typu A podle vztahu

(

)

uA x i , x j =

1 n(n − 1)

n

∑ (x k =1

ik

− x i )( x jk − x j ) (8)

3.3 Stanovení kovariance mezi odhady xi a xj : metoda typu B Kovariance uB(xi, xj) je kovariance vyhodnocená metodou B, odlišnou od metod vycházejících ze statistické analýzy namìøených údajù. Kovarianci lze urèit: n ètením z certifikátù pøístrojù, literatury atd., n výpoètem. Výpoèet se skládá z tìchto pìti rámcových krokù: 1. Vytipují se zdroje závislosti (zdroje korelací).

AUTOMA

A

MÌØICÍ TECHNIKA

2. Pro každý zdroj každé dvojice odhadù se na základì zkušeností odhadne korelaèní koeficient r(xi, xj), vyjadøující míru závislosti mezi odhady. Ten mùže obecnì nabývat hodnoty od –1 do +1. Hodnoty blízké nule odpovídají slabé závislosti, hodnoty blízké ±1 odpovídají závislosti silné. Pøíslušná hodnota kovariance se urèí ze vztahu (viz napø. (1), [11])

(

) (

)

( )

u B x i , x j = r x i , x j u B (x i ) u B x j

uB2 (y) ≤ [ A1uB(x1) + A2uB(x2 )

+ 2 A1 A2 uB (x1 ) uB (x2 ) + =

urèí se kovariance mezi odhady x1, x2 ze vztahu

∑A

2 1i A2 i u B

(z i )

(11)

i =1

kde A1i, A2i jsou koeficienty citlivosti pro funkce g1, g2 podle vztahu (4). Vztah (11) umožòuje urèit kovarianci mezi odhady na základì znalosti funkèních závislostí vstupních velièin X1 a X2 na nezávislých velièinách Z1, Z2, …, Zm. To znamená, že vhodným sestavením modelu mìøení je nìkdy možné obejít jinak nevyhnutelné odhadování hodnoty korelaèního koeficientu. Jestliže se velièiny X1 a X2, které vystupují v modelu (1), nahradí vztahy (10), vzájemnì závislé velièiny X1 a X2 už dále nebudou v modelu (1) vystupovat. 4. V pøípadì, že dvì vstupní velièiny X1, X2 s odhady x1, x2 jsou funkcemi závislých velièin Z1, Z2, … Zm, což lze vyjádøit vztahy (10), urèí se kovariance mezi odhady x1, x2 ze vztahu u B (x 1 , x 2 ) =

=

m

∑

m

m

i =1

j =1

∑∑ A

1i A 2 j u B

A1i A2i u B2 (z i ) +

i =1

m

i

i =3

∑ A u (x ) + 2 A A 2 2 i B

i

1 2

uB (x1 ) uB (x2 ) (13)

To znamená, že není-li k dispozici dostatek informací pro pøesné ohodnocení kovariancí, a tím i výsledné nejistoty, je možné uvádìt horní hranici nejistoty.

m

∑ ∑ A A u (z , z ) 1i

4. Pøíklady zdrojù korelací v návaznosti na zdroje nejistot 4.1 Nebezpeèí povrchního úsudku Problematika urèování kovariancí mezi korelovanými zdroji nejistot je ve své úplnosti velmi složitá a není v možnostech tohoto struèného èlánku ji ucelenì a detailnì probrat. Èasto se pøi podrobné analýze lze s korelacemi a kovariancemi setkat i tam, kde bychom to pøi bìžném pohledu vùbec neèekali. Zájemcùm o bližší seznámení se s problematikou lze opìtovnì doporuèit literaturu uvedenou u první èásti cyklu [1] v èasopise Automa è. 7-8/2001 (zejména tam uvedené zdroje [1], [2], [11], popø. další). V dalším textu je poukázáno na nìkolik typických pøípadù zdrojù korelací v návaznosti na uvedené zdroje nejistot. Vždy se pøitom a priori pøedpokládá mìøení za shodných a stálých podmínek.

4.2 Opakované mìøení jedním mìøidlem Pøi opakovaném pøímém mìøení tím samým mìøidlem za stejných podmínek bude odhadem hodnoty mìøené velièiny aritmetický prùmìr namìøených hodnot a nejistotou stanovenou metodou typu A bude výbìrová smìrodatná odchylka aritmetického prùmìru. Vlivy chyby použitého mìøidla a podmínek mìøení se zahrnou do nejistoty urèené metodou typu B. Kovariance mezi mìøeními je tvoøena spoleènou chybou použitého mìøidla pøi jednotlivých mìøeních a rovná se ètverci nejistoty mìøidla (korelaèní koeficient je roven 1). Kovarianci urèenou metodou typu A lze v tomto pøípadì zpravidla zanedbat.

(z i , z j ) = ∑

2j B

i

j

i =1 j =1, j ≠ i

(12) kde uB(zi, zj) je známá kovariance mezi odhady zi a zj. 5. Jestliže nelze urèit korelaèní koeficient ani se vyhnout korelacím sestavením vhodného modelu, doporuèuje se urèit maximální vliv korelace na výslednou nejistotu prostøednictvím horní hranice odhadu standardní nejistoty mìøené velièiny. Pøedpokládejme, že v modelu (1) jsou velièiny X 1 a X 2 korelované a že stupeò korelace neznáme. Ostatní velièiny v modelu nejsou korelované, takže potom platí

AUTOMA

2 2 i B

(10)

X 2 = g2 ( Z1 , Z 2 , ... , Z m )

m

m

m

∑ A u (x ) =

i =1

3. V pøípadì, že dvì vstupní velièiny X1, X2 s odhady x1, x2 jsou funkcemi nezávislých velièin Z1, Z2, … Zm, které lze vyjádøit vztahy

u B (x1 , x 2 ) =

i =3

= A12 uB2 (x1 ) + A22 uB2 (x2 ) +

(9)

X1 = g1 ( Z 1 , Z 2 , ... , Z m )

m

] 2 +∑Ai2uB2 (xi ) =

4.3 Opakované mìøení rùznými mìøidly V pøípadì, že je pro každé mìøení použito jiné mìøidlo, napø. pocházející od jiného výrobce, vyrobené jinou technologií apod., lze oprávnìnì pøedpokládat, že mezi chybami mìøidel nejsou žádné souvislosti. Kovarian-

(2001) èíslo 12

ce mezi mìøeními zapøíèinìné chybou použitých mìøidel se nebudou vyskytovat. Kovariance mohou být zpùsobeny jen (shodnými) podmínkami mìøení, pokud tyto výsledky mìøení výraznìji ovlivòují. Není-li zaruèena nezávislost mezi chybami použitých mìøidel, napø. použitá mìøidla jsou od jednoho výrobce a uživatel není pøesvìdèen o tom, že jsou vyrobena tak, aby jejich chyby byly nezávislé, je nutné tuto závislost uvažovat pøi dalším výpoètu nejistot právì prostøednictvím kovariancí. Nelze-li urèit, jaká èást chyby použitých mìøidel je závislá, uvažuje se korelaèní koeficient mezi nimi rovný jedné. Pocházejí-li použitá mìøidla od téhož výrobce a mají i stejnou tøídu pøesnosti, postupuje se tak, jako by bylo mìøeno jediným mìøidlem.

4.4 Mìøení kalibrovanou sadou mìøidel Pøi mìøení pomocí sady mìøidel (sada mìrek, závaží apod.), z nichž každé je schopno reprodukovat jednu hodnotu mìøené velièiny, jsou známy odhady jejich hodnot xi (i = 1, 2, …, p) i nejistoty u(xi). Jednotlivé odhady mohou být mezi sebou nezávislé nebo také navzájem závislé podle použitého zpùsobu kalibrace mìøidel. Je tedy (z kalibrace) tøeba znát nejistoty u(x1) = c1, u(x2) = c2, …, u(xp) = cp (c1, c2, …, cp jsou známá èísla) a kovariance u(xi, xj) = ci,j (ci,j jsou rovnìž známá èísla pro i =1, 2, …, p –1, j > i), kdy ale èasto ci,j = 0. Uvažujme napø. vážení tìlesa o hmotnosti 900 g pomocí sady kalibrovaných závaží. Hmotnost tìlesa se porovnává s celkovou hmotností sady závaží ve složení napø. m500 + + m200 + m200*. Toto porovnání se opakuje nkrát. Potom lze psát model mìøení ve tvaru

m = m500 + m200 + m200* + x + K

(14)

Zde x je odhad rozdílu mezi hmotností tìlesa a hmotností souètu použitých závaží a K je korekce vlivù podmínek mìøení. Jestliže se nepøedpokládá závislost mezi odhady hmotnosti závaží a korekcí K, mezi odhady hmotnosti závaží a odhadem x a mezi odhadem x a korekcí K, urèí se nejistota odhadu hmotnosti tìlesa podle vztahu (5) takto: u 2 (m ) = u 2 (m500 ) + u 2 (m200 ) + u 2 (m200* ) + + u 2 (x ) + u2 ( K ) + 2 u (m500 , m200 ) + + 2 u (m 500 , m 200 * ) + 2 u (m 200 , m 200 * )

(15)

Hodnoty odhadù m500, m200, m200* jsou známy z kalibraèního certifikátu a odhad x se urèí jako aritmetický prùmìr namìøených rozdílù. Nejistoty u(m500), u(m200) a u(m200*) jsou také známy z kalibraèního certifikátu, ve kterém by mìly být uvedeny i kovariance u(m500, m200), u(m500, m200*), u(m200, m200*), což ale v souèasnosti zpravidla není splnìno. Nejistota u(x) se urèí z namìøených hodnot jako

'

A

MÌØICÍ TECHNIKA

výbìrová smìrodatná odchylka aritmetického prùmìru. Nejistota u(K) se urèí metodou typu B na základì rozboru podmínek mìøení.

4.5 Mìøení pomocí mìøicího pøístroje s konstantní nejistotou

Pøi mìøení mìøicím pøístrojem s nejistotou konstantní v celém mìøicím rozsahu pøístroje platí, že jsou-li známy namìøené hodnoty (odhady hodnot mìøených velièin) x a nejistoty u(x) = c pro všechny hodnoty x z mìøicího rozsahu pøístroje (kdy c je známé èíslo), musí být známy také kovariance u(x i, x j) ∈ [0, c2] pro všechny dvojice xi, xj z mìøicího rozsahu pøístroje. V praxi se však zpravidla použijí pouze krajní hodnoty intervalu kovariancí, tj. 0 a c2, kde c2 se získá napø. aplikací vztahu (9) nebo (10). Pøitom se uvažuje nulová kovariance mezi dvìma hodnotami xi a xj, když se tato odeèítá od výsledné nejistoty, a kovariance rovná c2, když je tato pøipoèítávána k výsledné nejistotì. Èímž se vlastnì postihnou nejménì pøíznivé pøípady. Napøíklad ovìøený deformaèní tlakomìr tøídy pøesnosti 1 s mìøicím rozsahem 0,1 MPa a standardní nejistotou u(P) = 0,58 kPa má kovarianci mezi dvìma namìøenými hodnotami zpùsobenou mìøicím pøístrojem. Hodnota této kovariance se mùže pohybovat od 0 kPa2 do 0,34 kPa2. Když se pomocí tohoto pøístroje nepøímo urèuje napø. rozdíl tlakù, bude model mìøení ∆p = p1 − p2

(16)

a pro nejistotu u(∆p) odhadu rozdílu tlakù ∆p platí u 2 ( ∆p) = u 2 ( p1 ) + u 2 ( p2 ) − 2 u ( p1 , p2 )

(17)

Protože se kovariance vlivem chyby mìøicího pøístroje (stanovené metodou typu B) mohou pohybovat od 0 kPa2 do 0,34 kPa2, je tøeba v daném pøípadì zvolit nulovou hodnotu, aby nejistota nebyla v žádném pøípadì neoprávnìnì zmenšena. Ve všech vztazích uvedených v této podkapitole (4.5) se pøitom pøedpokládá, že výslednou nejistotu ovlivní pouze kovariance vyhodnocované metodou B, protože mìøení není opakováno tolikrát, aby bylo možné uvažovat i kovariance urèené metodou A, tj. statistickým vyhodnocením. Pokud by byl výsledek stanoven na základì opakovaných mìøení a bylo by zøejmé, že do výsledné nejistoty se promítnou i kovariance uA(p), pak by se tyto do výsledku zahrnuly obvyklým zpùsobem jako další èlen „souètu“. Stejný postup je možné uplatnit také pøi vyhodnocení pomìru dvou tlakù mìøených uvažovaným tlakomìrem. Model mìøení v tomto pøípadì je p k= 1 (18) p2

!

6. Dodatek – pøíklady urèení nejistoty nepøímých mìøení

a nejistota podílu k u 2 (k ) =

1 2 u ( p1 ) + p22

p 21 p24

u 2 (p 2 ) −

1 p1 −2 u (p1 , p2 ) p2 p22

(19)

Kovariance zpùsobená chybou mìøicího pøístroje (stanovovaná metodou typu B) je opìt pokládána za nulovou. Naproti tomu pøi vyhodnocení souètu anebo souèinu dvou tlakù namìøených uvažovaným tlakomìrem je tøeba použít maximální možnou hodnotu kovariance. Pro model mìøení

p = p1 + p2

(20)

bude nejistota výsledku u 2 (p ) = u 2 (p1 ) + u 2 ( p2 ) + 2 u (p1 , p2 )

(21)

tj. bere se v úvahu nejvìtší možná hodnota, abychom opìt v žádném pøípadì nedošlo k neoprávnìnému zmenšení nejistoty. Obdobnì se postupuje pøi souèinu dvou tlakù. Pro model

p = p1 ⋅ p2

(22)

bude nejistota výsledku u 2 ( p ) = p22 u 2 (p1 ) + p12 u 2 (p 2 ) + + 2 p1 p2 u (p1 , p 2 )

(23)

Jiná situace by nastala, kdyby jednotlivé tlaky byly mìøeny rùznými tlakomìry, u nichž je jisté, že jsou navzájem nezávislými mìøidly (napø. využívají jiné principy, jsou od jiných výrobcù atd.). Potom chyby mìøicích pøístrojù jsou navzájem nezávislé a jimi zpùsobená kovariance vyhodnocovaná metodou typu B je nulová. Jestliže není jisté, že oba použité tlakomìry a jejich chyby jsou nezávislé, je nutné i zde uvažovat s možnou kovariancí (napø. oba využívají stejný princip a jsou od téhož výrobce, takže lze pøedpokládat, že chyby všech tlakomìrù dané tøídy jsou závislé v dùsledku totožné technologie výroby, stejných výrobních strojù apod.)

5. Závìr Výpoèet nejistot u úloh nepøímých mìøení je relativnì složitou záležitostí, která je velmi citlivá zejména na správné ocenìní vzájemných korelací mezi vstupními velièinami. V analýze nejistot se toto projeví v podobì èlenù vyjadøujících kovariance mezi jednotlivými složkami nejistot. Správné posouzení situace a zahrnutí èi zanedbání kovariancí vyžadují již jistou mìøièskou zkušenost. Tøetí èást cyklu o nejistotách naznaèila, na vcelku jednoduchých pøíkladech, principy a složitost této analýzy.

(2001) èíslo 12

Pøíklad 1. Nepøímé mìøení proudu pomocí mìøení úbytku napìtí (bez kovariancí) Úkolem je urèit proud protékající obvodem mìøením úbytku napìtí na rezistoru s nominálním odporem 1 Ω digitálním voltmetrem. Dále je známo: – teplota okolí pøi mìøení je v rozmezí (22 ± 2) °C, – obvodem protéká proud asi 50 mA, – mìøicí rezistor má pøi teplotì 22 °C a proudu 50 mA odpor 0,999 8 Ω a pøíslušná rozšíøená nejistota pro koeficient rozšíøení kr = 2 je 0,000 2 Ω (údaje z certifikátu rezistoru), – voltmetr s vnitøním odporem 109 Ω má pøi mìøicím rozsahu 100 mV a v rozpìtí teplot 15 až 35 °C maximální dovolenou chybu 0,01 % namìøené hodnoty plus 0,005 % mìøicího rozsahu (údaje výrobce potvrzené v certifikátu voltmetru). Pro urèení proudu se jako matematický model úlohy použije známý vztah Ohmova zákona I =

U R

kde I (mA) je nepøímo mìøený (hledaný)proud, U (mV) pøímo mìøený úbytek napìtí, R (Ω) odpor mìøicího rezistoru. Za stejných podmínek bylo namìøeno deset hodnot úbytku napìtí Ui (tab. 1). Odhad hodnoty mìøené velièiny – úbytku napìtí – je reprezentován aritmetickým prùmìrem z deseti provedených mìøení U=

1 10

10

∑U = 50,44 mV i

E =1

Odhad hodnoty nepøímo mìøeného proudu je (podle modelu) U 50 ,44 = = 50 ,45 mA R 0 ,999 8 Hlavním cílem je ale urèit standardní nejistotu, jejímiž složkami jsou: 1. Standardní nejistota mìøení úbytku napìtí stanovená metodou A, tj. I =

( )

uA (U ) = s U =

1 10 (10 − 1)

2

10

∑(U − U ) i

=

i =1

= 1,011 ⋅ 10 − 2 mV 2. Standardní nejistota mìøení úbytku napìtí stanovená metodou B se stanoví z maximální dovolené chyby použitého voltmetru, která je pøibližnì 0,01 mV (pøi mìøeném napìtí 50,45 mV je chyba mìøidla 0,01 % z 50,45 mV plus 0,005 % z rozsahu 100 mV). Za pøedpokladu rovnomìr-

AUTOMA

A

MÌØICÍ TECHNIKA

Tab. 1. Namìøené hodnoty úbytku napìtí (k pøíkladu 1) È. mìøení i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 U i (mV) 50,46 50,44 50,45 50,48 50,41 50,49 50,40 50,40 50,45

u(l ) =

10 50,42

= uA2 (l1) +uA2 (l2) + 2uA(l1,l2) +uB2 (l1) +uB2 (l2) +2uB(l1,l2)

Tab. 2. Bilanèní tabulka nejistot pøi nepøímém mìøení proudu (k pøíkladu 1)

Velièina Xi

Odhad xi

Standardní nejistota u(xi)

Koeficient citlivosti Ai

Napìtí U Chyba voltmetru ∆U

50,44 mV 0,00 mV

1,011·10–2 mV 0,58·10–2 mV

1 mA/mV 1 mA/mV

Odpor rezistoru R Proud I

0,999 8 Ω 50,45 mA

0,000 1 Ω

50,46 mA/Ω

ného rozdìlení je standardní nejistota typu B (viz [2])

uB (U ) = 0 ,01 / 3 = 0 ,005 8 mV Proud procházející voltmetrem je zanedbán. Vliv kolísání teploty je zahrnut v základní dovolené chybì voltmetru. 3. Standardní nejistota mìøicího rezistoru odpovídající jeho zadané rozšíøené nejistotì a zadanému kr je u(R) = 0,000 2/2 = = 0,000 1 Ω. Vliv teploty na zmìnu elektrického odporu je vzhledem k vlivu ostatních uvažovaných zdrojù nejistot zanedbatelný. Standardní nejistota mìøení proudu se urèí slouèením shora stanovených složek uplatnìním zákona šíøení nejistot na použitý model mìøení. V tomto pøípadì se neuvažují žádné kovariance, protože je pøímo mìøena jen jediná velièinu (úbytek napìtí) a odhady dovolené chyby voltmetru a hodnoty odporu mìøicího rezistoru nejsou korelované. Výsledná standardní nejistota proudu protékajícího mìøicím rezistorem je tudíž uI = AU2 uA2 (U ) + AU2 uB2 (U ) + AR2 u 2 (R ) = = 12 ⋅ (1,011 ⋅ 10 −2 ) 2 + 12 ⋅ ( 0 ,58 ⋅ 10 −2 ) 2 +

Pøíspìvek ke standardní nejistotì uiI; nejistota uI (mA) 1,011·10 –2 mA 0,58·10 –2 mA 0,55·10 –2 mA 1,27·10 –2 mA

uc (l ) = u 2 (l1 ) + u2 (l2 ) + 2u(l1 , l2 ) kde pro jednotlivé namìøené hodnoty jsou l11, l12, ..., l1n a l21, l22, ..., l2n platí

uA (l1 ) =

1 n(n − 1)

u(l2 ) = uA2 (l2 ) + uB2 (l2 )

n

∑(l

1i − l1

)

2

, l1 =

i =1

1 n

n

∑l

+ + 50 ,46 2 ⋅ ( 0 ,01 ⋅ 10 −2 ) 2 = 1,27 ⋅ 10 −2 mA

δ1dov

3

1i

, δ1dov = δ1+ δ 2 l1

δ 2 dov , δ 2 dov = δ 1+ δ2 l2 3 Protože obì mìøení se vykonávají stejným mìøidlem, je mezi nimi kovariance uB(l1, l2), která se stanoví metodou B podle vztahu (11) v základním textu pro A1 = A2 = 1, tedy

uB (l2 ) =

pøièemž AU =

∂I 1 = = 1 mA/mV ∂U R

AR =

∂I 50,44 U = = = 50,46 mA/Ω ∂R R2 0 ,999 82

Použitý postup stanovení nejistoty pøehlednì ukazuje tab. 2. Pøíklad 2a. Nepøímé mìøení délky tyèe (obecné øešení) Úkolem je zmìøit délku tyèe delší než 1 m èárkovým mìøidlem nominální délky 1 m. Dále je známo: – mìøidlo má podle certifikátu dovolenou chybu δdov = δ1 + δ2l pøi teplotì 20 °C,

AUTOMA

uB (l1 , l2 ) = uB2 (l )

Kovariance uA(l1, l2) vyhodnocovaná metodou A se urèí ze vztahu (8). Celková kovariance je u(l1 , l2 ) = uA (l1 , l2 ) + uB (l1 ,l2 )

a standardní nejistota výsledku mìøení se urèí ze vztahu

(2001) èíslo 12

1 n(n − 1)

n

∑ (l − l )

2

i

i =1

,

l=

1 n

n

∑l

i

i =1

uB (l ) =

δ dov (l ) 3

kde δdov(l) = δ1dov + δ2dov = 2δ1 + δ2(l1 + l2). Jiná situace nastane, použijí-li se k mìøení dvì rùzná mìøidla od dvou výrobcù, o kterých lze spolehlivì pøedpokládat, že mezi nimi není žádná závislost, a když se jeden úsek tyèe zmìøí prvním a druhý druhým mìøidlem, pøièemž každé mìøení se opakuje n-krát za podmínek uvedených v zadaní této úlohy.Výsledek se potom urèí ze vztahù uvedených pro pøípad závislých pøímých mìøení s tím rozdílem, že kovariance vyhodnocované metodou B budou nulové (chyby mìøení obou porovnání jsou ve všeobecnosti zcela jiné a nezávislé, protože byla použita nezávislá mìøidla). Kovariance vyhodnocované metodou A (jestliže by mìly opodstatnìní) se urèí z namìøených hodnot, stejnì jako v pøípadì závislých mìøení. Není-li pøi použití dvou mìøidel zaruèeno, že jejich chyby jsou opravdu nezávislé, je lépe postupovat tak, jako by se mìøilo mìøidlem jediným.

i =1

a obdobnì pro uA(l2), když se l1, l1i a l1 nahradí l2, l2i a l2 , a dále

uB (l1 ) =

uA (l ) =

a standardní nejistota stanovená metodou B je

– materiál mìøidla a materiál mìøené tyèe mají stejný teplotní souèinitel délkové roztažnosti, – mìøidlo i tyèe mají pøi mìøení stejnou teplotu, – metoda mìøení spoèívá ve dvou pøímých porovnáních èastí mìøené tyèe a mìøidla, – mìøení lze opakovat n-krát za stejných podmínek. Matematický model mìøení je l = l1 + l2, kde l1 a l2 jsou pøímým mìøením stanovené délky èástí tyèe a l je výsledek mìøení (nepøímo stanovená délka celé tyèe). Pro obì pøímá mìøení se používá stejné mìøidlo, a jsou proto korelovaná. Standardní nejistota výsledku uc(l) se urèí ze vztahu

u(l1 ) = uA2 (l1 ) + uB2 (l1 ) ,

Stejný výsledek lze v daném pøípadì získat, když se vypoèítá celková délka pro každé opakované mìøení jako li = l1i + l2i, pøièemž standardní nejistota stanovená metodou A je

Pøíklad 2b. Nepøímé mìøení délky tyèe (èíselné øešení) Úloha zní zmìøit skuteènou délku l tyèe o jmenovité délce 1 400 mm pomocí pøesného èárkového mìøítka délky 1 m s dìlením po 1 mm, které je tedy tøeba pøikládat k souèásti nadvakrát. Dále je známo: – dovolená chyba mìøidla je δdov = δ1 + δ2l (podle certifikátu), – základní chyba mìøidla, pøedstavovaná nejmenším dílkem stupnice, je δ1 = 1 mm (rozlišovací schopnost), – výrobce definuje pro výpoèet složky chyby závislé na mìøené délce koeficient δ2 = = 2 mm/m, – jiné vlivy, jako je pùsobení teploty apod., se zanedbávají, – z dùvodù existence urèité tvarové znaèky je výhodné rozdìlit celou délku tyèe na dva úseky o jmenovitých hodnotách 900 mm a 500 mm. Matematickým modelem mìøení je souèet dílèích délek l = l1 + l2. Namìøené hodnoty jsou spolu s aritmetickým prùmìrem a jeho smìro-

!

A

MÌØICÍ TECHNIKA

datnou odchylkou uvedeny v tab. 3. Výsledku se lze pøitom dopracovat dvìma zpùsoby. Tab. 3. Namìøené a vypoètené hodnoty pøi nepøímém mìøení délky tyèe (k pøíkladu 2b)

Èíslo mìøení 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

l1 (mm) 902 904 903 902 901 902 900 899 902 901

l u A (li ) = sl u A (l1 , l2 )

901,60 0,452

l2 (mm) 501 500 499 501 501 501 502 498 499 502

l = l1 + l2 (mm) 1 403 1 404 1 402 1 403 1 402 1 403 1 402 1 397 1 401 1 403

500,40 1 402,00 0,427 0,615 – 0 ,004 4 mm2

Jeden spoèívá v tom, že se nejprve samostatnì spoèítají nejistoty každé z mìøených délek. Po dosazení známých hodnot do pøíslušných vztahù uvedených v obecném øešení úlohy (pøíklad 2a) dostaneme uB(l1) = sl 1 = 0,452 mm, uA(l1) = sl 1 = 0,427 mm uA(l1) =

2,8 3

= 1,618 mm, uA(l1) =

2 3

= 1,156 mm

kde uC (l1 ) = 1,680 mm, uC (l2 ) = 1,232 mm a výsledná nejistota vèetnì zapoètení kovariance bude uC2 (l) = uC2 (l1) + uC2 (l2 ) + 2uA(l1,l2 ) + 2uB(l1)uB(l2 ) = = 2,822 4 +1,517 8 − 2 ⋅ 0,004 4 + + 2 ⋅1,618⋅1,156= 8,072 mm2 uC(l) = uC2 (l) = 2,84 mm kde pro kovarianci urèenou metodou A, protože existují reálné dvojice mìøení, se použije vztah (8), tj. po dosazení 1 (0,24 − 0,96 − 1,96 + 0,24 − 0,36 + uA l1,l2 = 10 ⋅ 9

( )

+0,24 − 2,56 + 6,24 − 0,56 − 0,96) = −0,004 4 mm2 a pro kovarianci urèenou metodou B se použije korelaèní èinitel rovný 1, protože mìøení obou èástí délky tyèe jediným mìøítkem je velmi silnou korelací. Druhý postup spoèívá v tom, že se nejprve stanoví standardní nejistoty urèené metodou A i B vèetnì kovariancí samostatnì a poté se slouèí, tj.

uA (l) = uA2 (l1 ) + uA2 (l2 ) + 2 uA (l1 ,l2 ) = 0,615 mm uB(l) = uB2 (l1) + uB2 (l2 ) + 2uB(l1)uB(l2 ) = 2,774 mm uC(l) = uA2 (l) + uB2 (l) = 2,84 mm

!

Podobnì jako v tomto pøíkladu je kovariance stanovená metodou A v praxi èasto natolik malá, že je možné ji zanedbat a nepoèítat s ní. Kromì toho ne vždy vznikají pøi mìøení dvojice potøebné k jejímu urèení. Jiné je to s kovariancí stanovenou metodou B, která pøedstavuje velmi významný pøíspìvek celkové nejistotì. Uvedeným pøíkladem je možné demonstrovat také skuteènost, že není rozhodující, který postup se k urèení nejistoty použije. Není-li k opomenut nìkterý z podstatných vlivù, musí se všemi postupy dojít k témuž výsledku. Ètenáø sám si nyní mùže porovnat nárùst složitosti nalezení výsledku nepøímého mìøení s kovariancemi oproti pøímému mìøení délky tyèe dlouhé 1 400 mm mìøítkem délky 2 000 mm, uvedenému ve [2] jako pøíklad 2. Pøíklad 3. Objem váleèku (èíselné øešení) Úkolem je urèit objem V kovového váleèku z deseti opakovaných mìøení jeho prùmìru d a výšky h tímtéž posuvným mìøítkem. Dále je dáno: – jmenovité rozmìry váleèku dn = 80 mm, hn = 50 mm, – základní chyba rozlišení použitého mìøidla je 0,05 mm a pøedpokládaná integrovaná osobní chyba 0,1 mm, – pøímé mìøení prùmìru téhož váleèku je popsáno ve [2] jako pøíklad 1.

S ohledem na návaznost na pøíklad 1 ze [2] je použito vyhodnocování každé z pøímo mìøených velièin samostatnì, pøièemž u prùmìru váleèku se použijí výsledky již získané ve [2], jak je rekapitulují tab. 4 a tab. 5. Zcela analogicky se pokraèuje opakovaným mìøením výšky váleèku (tab. 6). Dále se vypoète aritmetický prùmìr z namìøených hodnot výšky váleèku a jeho standardní nejistota pomocí metody A h=

1 n

10

∑ h = 50,07 mm i

í =1

uA (h ) = sh = 0 ,037 mm

Nejistota stanovená pomocí metody B je stejná jako u mìøení prùmìru, tzn. uB(h) = = 0,065 mm. Výsledná kombinovaná standardní nejistota výšky váleèku je tudíž

uC ( h) = uA2 (h) + uB2 (h) = 0 ,075 mm a vše opìt shrnuje tab. 7. Pøi známých výchozích parametrech lze snadno vypoèítat hledaný objem váleèku V podle vztahu pro objem válce, kam se dosadí

d = 80,060 mm, h = 50,070 mm V=

πd 2 h = 252 056 ,93 mm 3 4

Tab. 4. Namìøené hodnoty prùmìru váleèku (podle [2] k pøíkladu 3) È. mìøení i 1 di (mm) 80,1

2 80,2

3 80,1

4 79,9

5 80,0

6 80,2

7 80,1

8 79,9

9 80,0

10 80,1

Tab. 5. Bilanèní tabulka nejistot pøi mìøení prùmìru váleèku pomocí posuvného mìøítka (podle [2] k pøíkladu 3) Velièina Odhad xi ; d Standardní Typ Koeficient Pøíspìvek Xi ; d (mm) nejistota rozdìlení citlivosti Ai ke standardní u(xi) (mm) nejistotì ui (d); nejistota u (d) (mm)

80,060 0,000 0,000 80,060

d Mìøidlo δ1(d) Obsluha δ2(d) d

0,034 0,029 0,058

normální rovnomìrné rovnomìrné

1 1 1

0,034 0,029 0,058 0,073

Tab. 6. Namìøené hodnoty výšky váleèku (k pøíkladu 3) È. mìøení i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

hi (mm)

50,2

49,9

50,1

50,2

50,0

49,9

50,1

50,2

50,0

50,1

Tab. 7. Bilanèní tabulka nejistot pøi mìøení výšky váleèku pomocí posuvného mìøítka (k pøíkladu 3) Velièina Xi ; h Odhad xi ; h Standardní Typ rozdìlení Koeficient Pøíspìvek (mm) nejistota u(xi) citlivosti Ai ke standardní (mm) nejistotì ui (h); nejistota u (h) (mm) 50,070 0,037 normální 1 0,037 h Mìøidlo δ1(h) 0,000 0,029 rovnomìrné 1 0,029 Obsluha δ2(h) 0,000 0,058 rovnomìrné 1 0,058

h

50,070

(2001) èíslo 12

0,075

AUTOMA

A

Protože prùmìr i výška váleèku byly mìøeny jediným posuvným mìøítkem, je nutné uvážit nejen projev jejich kombinovaných standardních nejistot do výsledku prostøednictvím koeficientù citlivosti, vypoèítaných jako parciální derivace podle vztahu (4), ale také projev silnì korelovaných vlivù s koeficientem korelace rovným 1. Výslednou standardní nejistotu lze pak urèit s ohledem na nulovou kovarianci stanovenou metodou A ze vztahu u2 (V ) = Ad2uC2 (d ) + Ah2uC2 (h) + 2 Ad AhuB (d ) uB (h)

Po dosazení hodnot souèinitelù citlivosti

πd πd 2 = 5 034 ,1 h = 6 296 ,7; Ah = 2 4 a nejistot uC(d) = 0,073 mm, uC(h) = 0,075 mm a uB(d) = uB(h) = 0,065 mm vyjde výAd =

AUTOMA

MÌØICÍ TECHNIKA sledná standardní kombinovaná nejistota objemu váleèku u2(V) = 621 658,31 mm6, tj. u(V) = 788,47 mm3 Výsledek mìøení objemu lze v souladu s tradièními zvyklostmi zapsat také ve tvaru V = (252,1 ± 1,6) cm3, kde 1,6 cm3 je rozšíøená nejistota, vypoèítaná jako dvojnásobek standardní nejistoty a zaokrouhlená nahoru. Poznámka autorù: Témìø shodných výsledkù se dosáhne napø. i druhým z postupù použitých v pøíkladu 2b: z namìøených hodnot se vypoèítá deset objemù a tyto hodnoty se statisticky zpracují vèetnì analýzy nejistot, pøièemž se opìt nesmìjí opomenout pøíslušné korelaèní vlivy. Literatura:

[1] PALENÈÁR, R. – VDOLEÈEK, F. – HALAJ, M.: Nejistoty v mìøení I: vyjad-

(2001) èíslo 12

øování nejistot. Automa, 7, 2001, è. 7-8, s. 50-54 (a literatura tam uvedená). [2] PALENÈÁR, R. – VDOLEÈEK, F. – HALAJ, M.: Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení. Automa, 7, 2001, è. 10, s. 52-56.

Ing. František Vdoleèek, CSc., FSI VUT, Brno [email protected] doc. Ing. Rudolf Palenèár, CSc., SjF STU, Bratislava [email protected] Ing. Martin Halaj, PhD., SjF STU, Bratislava [email protected]

!!