DODATEK. D0. Nejistoty měření

D4. Příklad výpočtu nejistoty přímého měření

DODATEK D0. Nejistoty měření Výklad základů charakterizování přesnosti měření podaný v kap. 1.3 je založen na pojmech chyba měření a správná hodnota měřené veličiny a zachycuje základy klasického hodnocení měření, využívaného v měřicí technice déle než jedno století. Jeho základním nedostatkem je skutečnost, že „skutečnou“, „správnou“ nebo „pravou“ hodnotu měřené veličiny v praxi nikdy neznáme. Proto se při určování chyby měření nahrazovala „konvenčně pravou“ hodnotou, určenou měřením pomocí metody nebo přístroje podstatně přesnějšího, než je měření, jehož chybu chceme určit. Od osmdesátých let minulého století se ale v měřicí technice postupně zavádí hodnocení přesnosti měření novým způsobem, ve kterém je klíčovým pojmem tzv. nejistota měření. Nejrůznější vlivy, které se v reálném měřicím procesu vyskytují spolu s měřenou veličinou, se projeví odchylkou mezi naměřenou a skutečnou hodnotou měřené veličiny. Výsledek měření se tak (po aplikování případných korekcí systematických chyb) pohybuje v určitém „tolerančním pásmu“ kolem skutečné hodnoty. Rozsah hodnot, které je možno racionálně přiřadit k měřené veličině, charakterizuje právě nejistota měření. Pojem nejistota měření byl zaveden na základě doporučení 70. a 75. zasedání Mezinárodního výboru pro míry a váhy (CIPM – Comité International des Poids et Mesures), která se konala v létech 1981 a 1985. V r. 1993 vydala Mezinárodní organizace pro normalizaci (ISO) první vydání praktické příručky pro určování nejistot měření (Guide to the Expression of Uncertainty of Measurements, [D1]). Tam jsou definovány základní pojmy teorie nejistot měření, uvedeny základní vztahy a na vybraných příkladech ukázána aplikace těchto vztahů. Zároveň je tam doporučeno z výše uvedeného důvodu nepoužívat pojmy „chyba měření” a “pravá (správná) hodnota měřené veličiny”. Pojem nejistota měření dnes již zdomácněl v oblasti metrologie a kalibrace, ale do praxe průmyslových a běžných laboratorních měření se začíná teprve zavádět. D1. Definice základních pojmů Od minulého roku platí evropská norma „Electrical and electronic measurement equipment – Expression of performance“ [D2] a v tomto roce by měla vstoupit v platnost její česká verze „Elektrická a elektronická měřicí zařízení – vyjadřování vlastností“ [D3]. Tato norma definuje měřenou hodnotu jako střední prvek souboru, který reprezentuje měřenou veličinu a nejistotu měření jako parametr přiřazený k výsledku měření charakterizující 323

rozptýlení hodnot, které lze odůvodněně pokládat za hodnotu veličiny, která je objektem měření. Tímto parametrem může být standardní (směrodatná) odchylka nebo její daný násobek. Nejistota měření obecně obsahuje řadu složek. Některé z těchto složek mohou být vyhodnoceny ze statistického rozložení výsledků měření a mohou být charakterizovány experimentální standardní odchylkou (čili experimentálně určeným odhadem této standardní odchylky). Jiné složky (které mohou být ale také charakterizovány standardní odchylkou) se vyhodnocují z jejich předpokládaného pravděpodobnostního rozložení. Typ toho rozložení se určuje na základě zkušeností nebo jiných informací. Analogické definice mají nejistoty údajů měřicích přístrojů, nejistoty hodnot pasivních prvků (etalonů, dekád, děličů apod.) měřicích obvodů, nejistoty konstant a nejistoty korekcí. Základní kvantitativní charakteristikou nejistoty měření je standardní nejistota. Je to standardní (směrodatná) odchylka veličiny, pro níž je nejistota udávána. Označuje se symbolem u (z angl. uncertainty, česky nejistota). Standardní nejistoty se podle způsobu svého vyhodnocení dělí na: ƒ standardní nejistoty typu (kategorie) A (označení uA ), které jsou stanoveny z výsledků opakovaných měření statistickou analýzou série naměřených hodnot, obdobně jako v případě náhodných chyb měření. Jejich příčiny se považují za neznámé a jejich hodnota klesá s počtem měření; ƒ standardní nejistoty typu (kategorie) B (označení uB ), které jsou získané jinak než statistickým zpracováním výsledků opakovaných měření. Jsou vyhodnoceny pro jednotlivé zdroje nejistoty identifikované pro konkrétní měření a jejich hodnoty nezávisí na počtu opakování měření (obdobně jako systematické chyby měření). Pocházejí od různých zdrojů a jejich společné působení vyjadřuje výsledná standardní nejistota typu B. V praxi se jen zřídka vystačí s jedním nebo druhým typem nejistoty samostatně. Pak je třeba stanovit výsledný efekt kombinace nejistot měření obou typů, A i B. Kombinovaná standardní nejistota uC se získá sloučením standardní nejistoty typu A rovné uA s výslednou standardní nejistotou typu B rovnou uB. dle vztahu:

uC ( x) = u A2 ( x) + u B2 ( x)

(D1)

Směrodatná odchylka (a tedy i standardní nejistota) veličiny x představuje u veličiny rozdělené podle normálního rozdělení pravděpodobnosti polovinu šířky intervalu, v jehož středu leží střední hodnota veličiny x, a ve kterém s pravděpodobností přibližně 68 % leží každá hodnota veličiny x. Pokud je veličina x rozložena podle rovnoměrného rozdělení pravděpodobnosti a víme, že tato veličina nepřekročí interval o šířce 2∆x,

D4. Příklad výpočtu nejistoty přímého měření

budou všechny hodnoty této veličiny ležet v intervalu ± ∆x okolo střední hodnoty. V takovém případě je standardní odchylka této veličiny (čili příslušná složka standardní nejistoty typu B) rovna ∆x 3 , jak plyne z vlastností rovnoměrného rozdělení pravděpodobnosti. Vztah mezi maximální odchylkou od střední hodnoty (polovinou šířky intervalu, ve kterém mohou ležet hodnoty veličiny) a standardní odchylkou lze určit i pro jiné než rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti. Abychom zajistili, že v pásmu, jehož šířka je určená nejistotou, leží větší procento hodnot než např. 68%, použijeme interval o šířce větší než 2u. Standardní nejistotu vynásobíme koeficientem rozšíření kr. Pro normální rozdělení odpovídá koeficient rozšíření kr = 2 úrovni spolehlivosti 95 % a kr = 3 odpovídá úrovni spolehlivosti 99,7 %. Rozšířená nejistota označená U(x) je definována jako součin kombinované standardní nejistoty uC a koeficientu rozšíření kr, tedy vztahem: U(x) = kr uC(x)

(D2)

kde U je rozšířená nejistota, kr koeficient rozšíření, uC kombinovaná standardní nejistota a x měřená veličina. S rozšířenou nejistotou je nutno vždy uvést číselnou hodnotu použitého koeficientu rozšíření kr. Jeho hodnota bývá nejčastěji 2, popř. leží v intervalu <2, 3>. D2. Vyhodnocení standardních nejistot přímých měření D2.1 Vyhodnocení standardních nejistot metodou A Metoda vyhodnocení tohoto typu nejistot (nejistot typu A) vychází ze statistické analýzy série opakovaných měření. Je-li n nezávislých stejně přesných pozorování (n > 1), bude odhad výsledné hodnoty x měřené veličiny X reprezentován hodnotou výběrového průměru (aritmetického průměru). Nejistota příslušná k odhadu x se určí jako směrodatná odchylka této výsledné hodnoty, tedy výběrového průměru. Je tedy možné psát:

u A ( x) = σˆ ( X ) =

1 22

 1 σˆ = ∑ (xi − x )  n  n(n − 1) i =1  n

(D3)

kde

1 x= n

n

∑ xi i =1

(D4)

a kde σˆ ( X ) je odhad směrodatné odchylky aritmetického průměru X , σˆ je směrodatná odchylka libovolného odměru z výběrového souboru a n počet prvků výběrového souboru. Tato nejistota je způsobena kolísáním naměřených údajů. V případě malého počtu měření (n < 10) je hodnota určená dle uvedeného vztahu málo spolehlivá. Pokud tedy chceme vyhodnocovat nejistotu měření metodou A, opakujeme měření pokud možno vícekrát. D2.2 Vyhodnocení standardních nejistot metodou B Standardní nejistota typu B se odhaduje pomocí úsudku na základě dostupných informací a zkušenosti. Nejčastěji se použijí: ƒ údaje výrobce měřicí techniky (technické parametry použitého zařízení, např. třída přesnosti elektromechanického měřicího přístroje nebo dvojice parametrů charakterizujích chybu číslicového přístroje), ƒ zkušenosti z předchozích měření, ƒ zkušenosti s vlastnostmi chování materiálů a techniky a poznatky o nich, ƒ údaje získané při kalibraci a z certifikátů, ƒ nejistoty referenčních údajů v příručkách. Je-li výsledek měření získán z hodnot několika veličin, je výsledná standardní nejistota typu B rovna odmocnině součtu variancí (čili disperzí) a kovariancí těchto veličin. Tyto variance a kovariance jsou násobeny váhovými koeficienty, jejichž hodnoty vyjadřují, jak se výsledek měření mění se změnami těchto jednotlivých veličin. Toto se uplatní zejména tehdy, když se s přístrojem pracuje mimo daný rozsah ovlivňujících veličin a je znám jejich vliv na údaj přístroje. V případě, že ovlivňující veličiny nabývají hodnot v rozsahu definovaném výrobcem, tj. používáme-li přístroj za stanovených pracovních podmínek, určí se provozní nejistota (údaje) přístroje z parametrů udaných výrobcem. Jediným zdrojem nejistoty typu B je v tomto případě vlastní nepřesnost přístroje, tedy třída přesnosti přístroje TP u ručkových přístrojůD1, popř. dvojice parametrů charakterizujích chybu u číslicového přístroje. Z těchto parametrů určíme interval <– ∆zmax, + ∆zmax>, ve kterém hodnota měřené veličiny s velkou pravděpodobností leží, přičemž předpokládáme, že pravděpodobnost výskytu jakékoliv hodnoty z tohoto intervalu je stejná, tj. že se jedná o rovnoměrné rozložení. Nejistotu údaje přístroje pak vypočteme ze vztahu D1

Přístroj může být zařazen pro různé stanovené pracovní podmínky do různých tříd přesnosti

D4. Příklad výpočtu nejistoty přímého měření

σ=

∆z max 3

(D5)

V podstatě totéž platí i pro nejistoty hodnot pasivních prvků (etalonů, dekád, děličů apod.) měřicích obvodů, u nichž je uvedena třída přesnosti či toleranční pásmo. V případě, že nepoužíváme přístroj za stanovených pracovních podmínek, tj. ovlivňující veličiny nabývají hodnot mimo rozsah definovaný výrobcem a je znám jejich vliv na údaj přístroje, skládá se postup vyhodnocení nejistoty údaje přístroje metodou B (neboli určení nejistoty typu B) z následujících kroků: ƒ Vybereme možné zdroje dílčích nejistot tohoto typu Z1, Z2 , … Zm. (Tyto zdroje v praxi odpovídají nezanedbatelným ovlivňujícím veličinám při daném měření.) ƒ Pro každou z těchto ovlivňujících veličin Zj určíme interval <– ∆zj,max, + ∆zj,max>, jehož meze velmi pravděpodobně nebudou překročeny odchylkou ∆zj veličiny Zj od jmenovité hodnoty této veličiny. ƒ Určíme standardní (směrodatnou) odchylku σj pro každé ∆zj , a to na základě předpokládaného rozložení pravděpodobnosti veličiny Zj v intervalu <– ∆zj,max, + ∆zj,max>. Pokud o této veličině nemáme žádné doplňující informace, předpokládáme, že je rozdělena na intervalu <– ∆zj,max, + ∆zj,max> rovnoměrně. Pro veličinu rozloženou rovnoměrně v intervalu šířky 2∆zj,max (a tedy nulovou vně tohoto intervalu) je

σj =

∆z j , max 3

(D6)

Tato standardní odchylka je složkou standardní nejistoty typu B způsobenou zdrojem Zj, tedy uzj = σj. (V některých případech však může být známa již přímo hodnota standardní nejistoty uzj – například z kalibračního certifikátu měřidla. Tu pak použijeme jako další složku pro určení standardní nejistoty typu B). ƒ Odhadnuté nejistoty uzj se přenášejí do nejistoty výsledku měření veličiny X a tvoří její složky ux,zj = Ax,zj uzj (D7) kde Ax,zj jsou tzv. citlivostní koeficienty. ƒ V případě, že je známa závislost x = f(z1, ..., zm), jsou jednotlivé citlivostní koeficienty definovány vztahem

Ax,zj = ∂f ( z1 , ..., z m ) / ∂ z j ,

(D8) Pro výslednou standardní nejistotu typu B (za předpokladu nekorelovanosti jednotlivých zdrojů nejistoty typu B, kterou v praxi nejčastěji předpokládáme) platí

u Bx

 =  

m

∑

Ax,2 zj

j =1

j = 1, ..., m

1 2

 =    

u z2j 

m

∑u

1 2

2  x,zj

j =1

 

(D9)

D3. Princip vyhodnocení nejistoty nepřímých měření Nepřímá měření jsou měření, u kterých se měřená veličina Y vypočítá pomocí známé funkční závislosti z n veličin Xi, určených přímým měřením, jejichž odhady a nejistoty (případně i vzájemné kovariance) jsou známy. Platí tedy Y = f ( X 1 , X 2 ,..., X N ) (D10) kde f je známá funkce. Odhad y hodnoty výstupní veličiny Y lze stanovit ze vztahu: y = f ( x1 , x 2 ,..., x N )

(D11)

kde x1, x2,…, xN jsou odhady vstupních veličin X1, X2, …, XN . Zákon šíření nejistot pro vztah (D11) je v případě, že vstupní veličiny nejsou mezi sebou korelovány, dán vztahem

u y2 =

m

 ∂f   u xi  ∂xi  i =1 

∑

2

(D12)

kde uy je kombinovaná standardní nejistota veličiny y a uxi standardní kombinované nejistoty měřených veličin xi. Při slučování nejistot se ani při jejich malém počtu neuvažuje jejich aritmetický součet jako ve vztahu (1.18), ale vždy se používá součet geometrický (obdobně jako ve vztahu (1.23)). Zákon šíření nejistot vychází z aproximace funkce f(x1, x2, …, xN) Taylorovým polynomem prvního řádu.

D4. Příklad výpočtu nejistoty přímého měření

D4.

Příklad výpočtu nejistoty přímého měření

D4.1 Měření napětí elektromechanickým voltmetrem dané třídy přesnosti Magnetoelektrickým voltmetrem třídy přesnosti TP = 0,5 měříme napětí, rozsah přístroje je 10 V. Přístroj používáme za stanovených pracovních podmínek, tj. ovlivňující veličiny (např. teplota a vnější magnetické pole) jsou v rozsahu hodnot definovaných výrobcem, takže jejich vliv nebudeme uvažovat. Při opakovaných měřeních byly údaje přístroje stále stejné a rovné 5,05 V. Odhad měřené veličiny je tedy 5,05 V a nejistoty typu A v tomto případě nemusíme uvažovat. Jediným zdrojem nejistoty typu B je v tomto případě třída přesnosti přístroje TP. Z ní určíme interval <– ∆zmax, +∆zmax>, v daném případě <- ∆Ux,max, + ∆Ux,max>. Podle vztahu (1.13) z kap.1 platí

∆U x, max =

TP . Rozsah 0,5 .10 = = 0,05 (V) 100 100

Protože údaje přístroje jsou v pásmu určeném třídou přesnosti rozloženy rovnoměrně, je standardní nejistota měřeného napětí dána vztahem

u B (U x ) =

TP . rozsah 0,5 .10 = = 0,029 (V ), 100 3 100 3

Vyjádříme-li výsledek pomocí rozšířené nejistoty s koeficientem rozšíření kr = 2, bude Ux = 5,05 V s rozšířenou nejistotou 58 mV pro koeficient rozšíření 2. D4.1 Měření napětí číslicovým voltmetrem Jak bylo uvedeno v kap. 1.4.1.2, vyjadřuje se přesnost číslicových voltmetrů v podstatě dvěma způsoby: a) chybou v procentech údaje a chybou v procentech rozsahu, b) chybou v procentech údaje a chybou v kvantovacích krocích zvoleného rozsahu (označované výrobci často ale nepřesně „chybou v digitech“). Pokud měříme při jmenovité teplotě, stačí pro určení nejistoty v obou případech určit interval ve kterém se může pohybovat údaj voltmetru pomocí vztahů (1.15) pro případ 1 a způsobem uvedeným v příkladu na str. 20 pro

případ 2. Standardní nejistotu typu B vypočteme jako šířku tohoto intervalu vyděleného 3 . Při opakovaných měřeních napětí číslicovým voltmetrem ale v důsledku vysoké rozlišovací schopnosti laboratorních číslicových voltmetrů dostaneme odlišné hodnoty, a proto musíme určit také standardní nejistotu typu A. Předpokládejme, že stejně jako v příkladě na str. 20 dva číslicové voltmetry s maximálním údajem 99999 jsou použity na rozsahu 10 V. Chyba prvního voltmetru je dána jako ± 0,01 % údaje ± 0,01 % rozsahu, chyba druhého voltmetru je dána jako ± 0,01 % údaje ± 7 kvantovacích kroků. Na použitém rozsahu 10 V je přitom kvantovací krok (váha posledního místa číslicového zobrazovače) roven 0,1 mV. Údaje voltmetrů jsou při deseti opakovaných měřeních následující (zde bohužel dochází ke kolizi v odznačení rozšířené nejistoty měření (U) a měřeného napětí (Ux); malý počet odměrů je zvolen z důvodu snadného opakování výpočtu čtenářem): Voltmetr 1: Ux1,i: {5,0009; 5,0005; 4,9992; 4,9998; 5,0011; 4,9992; 5,0007; 5,0003; 4,9995; 5,0004} (V). Voltmetr 2: Ux2,i: {5,0009; 5,0019; 4,9992; 4,9998; 5,0011; 4,9989; 5,0007; 5,0003; 4,9995; 5,0014} (V) Voltmetr 1: Odhad měřené veličiny je aritmetický průměr těchto hodnot, tedy Ux1 = 5,00016 V. Standardní nejistota typu A tohoto odhadu měřené veličiny se vypočte podle (D3) a je rovna uUx1,A = 0,00022 V. Standardní nejistota typu B se vypočte dle (D5). Pro ∆Ux,max zde platí ∆Ux,max = 5 . 0,01 . 10-2 + 10 . 0,01 . 10-2 = 0,0015 V. Protože předpokládáme rovnoměrné rozdělení hodnot v tomto pásmu, je standardní nejistota typu B prvního voltmetru uUx1,B = 0,00087 V. Kombinovaná standardní nejistota vypočtená dle (D1) uUx1,C = 0,00090 V, protože příspěvek nejistoty typu A je podstatně menší než příspěvek nejistoty typu B. Rozšířená nejistota s koeficientem rozšíření 2 je tedy UUx1 = 2 uUx1,C = 0,0018 V. Voltmetr 2: Odhad měřené veličiny je aritmetický průměr těchto hodnot, tedy Ux2 = 5,00037 V. Standardní nejistota typu A tohoto odhadu měřené veličiny se vypočte podle (D3) a je rovna uUx2,A = 0,00032 V.

D4. Příklad výpočtu nejistoty přímého měření

Standardní nejistota typu B se vypočte dle (D5). Pro ∆Ux,max zde platí ∆Ux,max = 5 . 0,01 . 10-2 + 0,1 .7 . 10-3 = 0,0012 V. Protože předpokládáme rovnoměrné rozdělení hodnot v tomto pásmu, je standardní nejistota typu B prvního voltmetru uUx1,B = 0,00069 V. Kombinovaná standardní nejistota vypočtená dle (D1) uUx1,C = 0,00076 V, protože příspěvek nejistoty typu A je menší než příspěvek nejistoty typu B. Rozšířená nejistota s koeficientem rozšíření 2 je tedy UUx1 = 2 uUx1,C = 0,0015 V. Z výše uvedeného vyhodnocení nejistot je zřejmé, že menší nejistotou je zatížen údaj voltmetru č. 2. Protože voltmetry měřily stejné napětí za stejných podmínek, je měření druhým voltmetrem v tomto případě přesnější než měření provedené voltmetrem prvním. Číselný příklad výpočtu nejistoty při nepřímém měření je uveden v Dodatku 2 v [D4], podrobnější výklad a několik příkladů orientovaných většinou na neelektrická měření lze nalézt v [D5]. Literatura [D1] Guide to the Expression of Uncertainty of Measurements, ISO, Ženeva, 1993 [D2] IEC 60359:2001; „Electrical and electronic measurement equipment – Expression of performance“; [D3] ČSN EN 60359 „Elektrická a elektronická měřicí zařízení – vyjadřování vlastností“; ČSNI 2003 [D4] HEJTMANOVÁ, D. - DRAXLER, K. - KAŠPAR, P. - ŠIMŮNEK, M.: Elektrická měření. Laboratorní cvičení. VČVUT, Praha 2001 (vydání 2., přepracované) [D5] PALENČÁR, R. - VDOLEČEK, F. - HALAJ, M.: Nejistoty v měření I až V, soubor článků v časopise AUTOMA, č. 7-8/2001, č. 10/2001, č. 12/2001, č. 4/2002 a č. 5/2002