Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení

A

MÌØICÍ TECHNIKA

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení V úvodní èásti [1] volného cyklu èlánkù byl uveden struèný pøehled problematiky nejistot v mìøení, pøiblížen historický vývoj v této oblasti a naznaèeny dùvody a výhody používání souèasné kodifikace v širších souvislostech mezinárodní metrologie. Tento èlánek se zamìøuje na základní problémy ménì nároèných pøípadù, za které lze považovat pøedevším jednodušší pøímá mìøení, u nichž není tøeba uvažovat další kovarianèní vlivy.

Úvod Nejistota mìøení (dále vìtšinou jen nejistota) je parametrem, který bezprostøednì souvisí s výsledkem mìøení, nebo vymezuje interval, v nìmž lze s urèitou pravdìpodobností pøedpokládat výskyt skuteèné hodnoty mìøené velièiny. Nejistota odráží veškeré nedokonalosti stanovení výsledku mìøení, jak je pøiblížil pøehled zdrojù nejistot v [1].

Následující text bude vìnován základnímu modelu stanovení výsledku, tj. odhadu hodnoty mìøené velièiny a jeho nejistoty, z jednoduchých opakovaných pøímých mìøení.

2. Stanovení standardních nejistot pøi pøímém mìøení 2.1 Výpoèet standardní nejistoty typu A Jak již bylo uvedeno v [1], je výpoèet standardní nejistoty typu A založen na statistické analýze namìøených údajù. U opakovaných pøímých mìøení jde o bìžné statistické zpracování hodnot mìøené velièiny získaných opakovanými pøímými mìøeními, jichž by mìlo být alespoò deset. Pøedpokládá se pøitom, že mìøení jsou navzájem nezávislá a uskuteènìná za stejných podmínek. Je tedy k dispozici n namìøených údajù x1, x 2, ... xi, … xn, které jsou výsledkem realikorigovaný aritmetický průměr opakovaných měření (výsledek měření)

relativní četnost

nekorigovaný aritmetický průměr opakovaných měření

korekce na všechny známé systematické vlivy

naměřené hodnoty

standardní nejistota typu B od známých zdrojů kombinovaná standardní nejistota výsledku měření

skutečná (neznámá, hledaná) hodnota měřené veličiny

Obr. 1. Grafické znázornìní vztahu mezi výsledky opakovaných mìøení a nejistotou mìøení

52

zace n nezávislých a stejnì pøesných mìøení jedné velièiny. Pøíkladem mùže být opakované mìøení prùmìru váleèku, høídele apod. ve stejném místì (prùøezu), stejným mìøidlem a toutéž osobou za nezmìnìných okolních podmínek. Potom je základní výsledek mìøení (odhad hodnoty mìøené velièiny) pøedstavován aritmetickým prùmìrem

x=

sx n

=

1 n( n − 1)

n

∑ (x − x ) i

2

i =1

(2) Vztah (2) lze k výpoètu nejistoty použít jen tehdy, byl-li vykonán dostateèný poèet mìøení (n≥10). Pøi malém poètu mìøení (n < 10), je-li mìøicí proces statisticky øízen (viz napø. v [1] uvedená literatura [9], [10], [11]) a je-li k dispozici tzv. prùøezový rozptyl, který charakterizuje rozptýlení øízeného mìøicího procesu, se standardní nejistota typu A urèí podle vztahu spr uA ( x ) = (3) n kde spr2 je známý prùøezový rozptyl, n poèet mìøení. Pro sérii opakovaných mìøení s jinými než uvedenými vlastnostmi se výsledek poèítá podle jiného vztahu než (1) – napø. pro nestejnì pøesná opakovaná mìøení jím bude vážený aritmetický prùmìr – a také pro standardní nejistotu bude platit jiný vztah než (2). V takových pøípadech je vhodné konzultovat celou situaci se statistikem.

2.2 Výpoèet standardní nejistoty typu B

standardní nejistota typu A

V praxi se lze asi velmi zøídka setkat s tou kterou skupinou nejistot samostatnì. Za typický pøíklad je možné považovat zpùsob urèování hodnoty mìøené velièiny pomocí opakovaného mìøení. Tomuto modelu odpovídá situace, kdy podstatnou èást celkové nejistoty tvoøí nejistota vyhodnocovaná metodou A, tj. statisticky (nejistota typu A). Nepominutelný je pøitom ovšem podíl nejistot zjišovaných metodami B (nejistota typu B), tj. takových, které jsou do procesu mìøení vnášeny jinými cestami, napø. systematickými vlivy apod. Situaci typického rozložení namìøených hodnot mìøené velièiny, která pøipomíná analogii s tradièními pøístupy k vyhodnocování chyb mìøení, pøibližuje obr. 1.

uA ( x ) = sx =

1 n

n

∑x

i

i =1

(1)

Standardní nejistota typu A tohoto výsledku, která se znaèí uA(x), se rovná smìrodatné odchylce aritmetického prùmìru sx tedy

(2001) èíslo10

2.2.1 Rámcový postup Nejistoty zjišované metodou B jsou vázány na známé, identifikovatelné a kvantifikovatelné zdroje. Výpoèet nejistot typu B vychází z kvalifikovaného úsudku založeného na všech dostupných informacích o mìøené velièinì X a jejích možných zmìnách. Jako zdroje informací k urèení nejistoty typu B mohou posloužit: n pøedcházející mìøení a jejich výsledky; n zkušenosti a všeobecné znalosti o chování mìøeného objektu, mìøicích metodách, mìøicích prostøedcích a podmínkách mìøení; n informace o mìøicích prostøedcích a podmínkách jejich použití získané od výrobcù; n údaje z certifikátù, kalibraèních listù, ovìøovacích listù apod.; n nejistoty referenèních údajù pøevzatých z rùzných pramenù. Do jaké míry budou tyto informace ocenìny a využity, závisí zvláštì na zkušenosti obsluhy, na hloubce všeobecných znalostí i rutinì a praxi experimentátora, protože charakter problému neumožòuje detailnì specifikovat jednotný postup. Rámcový postup pøi urèování nejistot typu B je takovýto: 1. Vytipují se možné zdroje Z1, Z2, ... Zj, … Zp nejistot, jak bylo uvedeno v pøedcházejícím textu.

AUTOMA

A

MÌØICÍ TECHNIKA

kde kp je koeficient rozšíøení rovný kvantilu normovaného normálního rozdìlení pro pravdìpodobnost P (kp = 1,96 pro P = 95 %, kp = 2,58 pro P = 99 %, kp = 3 pro P = 99,73 % atd.). 2.2.4 Známé hranice vlivu zdroje Není-li možné odhadnout jen hranice, ve kterých se hodnoty mìøené velièiny nacházejí vlivem pùsobení daného zdroje, a to témìø s jistotou („témìø na 100 %“), postupuje se takto: n odhadnou se hodnoty zmìn (odchylek) ±zjmax od jmenovité (nominální) hodnoty mìøené velièiny pøíslušející zdroji Zj, jejichž pøekroèení je málo pravdìpodobné (témìø nemožné);

AUTOMA

3

1 2a

a

f(∆z )

rovnoměrné - pravoúhlé

-s

- s +s - ∆z

-b

+∆z

+b

-a

b

2

- ∆z

-s -a

-a

+a

2 1,41

a

1

+∆z

f(∆ z) -s +a

- ∆z

+∆z

a 2,32

-b

+s

-a

b =a 3

2,19 při

b=a 2

+s +∆z

+b +a

a

2,04 při b =2a 3

+a

+∆z

bimodální (Diracovo)

při

a

-s

1 a

6 2,45

+s

lichoběžníkové

-a

a

+s

bimodální (trojúhelníkové)

a

- ∆z

3 1,73

+a

trojuhelníkové (Simpsonovo)

- ∆z

a

f(∆ z)

2.2.3 Známé rozpìtí normálního rozdìlení Je-li známo rozpìtí (délka intervalu 2U), v nìmž se mùže nacházet vìtšina namìøených hodnot (napø. 95 %, 99 % nebo 99,73 %), a je oprávnìný pøedpoklad, že pøi urèování tohoto intervalu bylo uvažováno normované normální rozdìlení, lze standardní nejistotu uB(zj) vlivem daného zdroje Zj urèit ze vztahu U uB ( z j ) = (6) kp

normální (Gaussovo)

zmax k

Rozdělení

lim 21e

2.2.2 Známé U a kr Uvádìjí-li certifikáty, dokumentace výrobcù nebo jiné prameny rozšíøenou nejistotu U a koeficient rozšíøení kr, stanoví se standardní nejistota uB(zj) vlivem daného zdroje Zj podle vztahu U uB ( z j ) = (5) kr

2.2.5 Použití èíslicového mìøicího pøístroje Pøi použití èíslicového mìøicího pøístroje je jedním ze zdrojù nejistoty rozlišitelnost po-

zmax k

Rozdělení

f(∆z )

5. S použitím zákona šíøení nejistot podle vztahu (12) se pro funkci (4) vypoèítá nejistota uB(x). Není-li známa pøímo standardní nejistota vlivem pøíslušného zdroje, mohou nastat rùzné situace, z nichž nìkteré jsou uvedeny v následujících odstavcích. Je tøeba upozornit, že dále zmínìné metody k vyhodnocení standardní nejistoty typu B neobsáhnou veškeré možné pøípady praxe. Ta bývá podstatnì rùznorodìjší, a proto je velmi dùležité v každém jednotlivém pøípadì dùslednì zvážit veškeré okolnosti, které se mohou projevit jako zdroj nejistot, i charakter jejich pùsobení na výsledek mìøení.

f(∆ z)

(4)

kde k je hodnota pøíslušná ke zvolené aproximaci rozdìlení pravdìpodobnosti podle obr. 2, který také celou situaci použití pravdìpodobnostních modelù používaných pro stanovení nejistot podle pøíslušného zákona rozdìlení pøehlednì pøibližuje.

f(∆ z)

)

n

Trojúhelníkové rozdìlení se používá k modelování situace v pøípadech velmi podobných normálnímu rozdìlení. Bimodálním rozdìlením se aproximuje prùbìh nejistot napø. u tìch mìøicích pøístrojù, které výrobce rozdìluje do jistých tøíd pøesnosti, a tedy u nìkteré støední tøídy se nemohou vyskytovat pøístroje ani s malými chybami (ty budou zaøazeny do pøedcházející – pøesnìjší tøídy), ani s velkými chybami (ty budou naopak v následující – ménì pøesné tøídì).

posoudí se rozdìlení pravdìpodobnosti odchylek v tomto intervalu a urèí se jeho aproximace; standardní nejistota uB(zi) se vypoèítá ze vztahu z jmax uB ( z j ) = (7) k

1 a+ b

(

X = f Z1 , Z2 , ... Z j , ... Z p

n

1 a

2. Urèí se standardní nejistota vlivem každého zdroje buï pøevzetím z certifikátù, technické dokumentace, tabulek, technických norem, kalibraèních listù apod., nebo odhady pomocí metod uvedených dále v této kapitole. 3. Posoudí se korelace mezi jednotlivými zdroji. 4. Urèí se vztah mezi velièinou X a jednotlivými zdroji Z1, Z2, ... Zj, … Zp (charakterizovanými velièinami Zj)

-s - ∆z

+s

-a

+a

+∆z

e

Obr. 2. Rozdìlení pravdìpodobnosti a koeficienty k Aproximace normálním rozdìlením se použije tehdy, mohou-li se èastìji vyskytovat malé odchylky od jmenovité hodnoty, zatímco s rostoucí velikostí odchylek pravdìpodobnost jejich výskytu klesá (napø. je-li zdrojem nejistoty mìøicí pøístroj od spolehlivého výrobce, u nìhož lze pøedpokládat, že vìtšina pøístrojù bude zdrojem pouze malých chyb). Rovnomìrné rozdìlení se použije v pøípadech, kdy je stejná pravdìpodobnost výskytu kterékoliv odchylky v celém daném intervalu ±zjmax. Tato aproximace se v bìžné praxi využívá nejèastìji. Pøedevším proto, že vìtšinou nejsou k dispozici dostateèné poznatky o rozdìlení pravdìpodobnosti výskytu odchylek, a tudíž není dùvod dávat nìkterým odchylkám pøednost tím, že se použije jiný typ rozdìlení.

(2001) èíslo 10

slední platné èíslice. Pøes nemìnnost údaje pøi opakovaném mìøení není v tomto pøípadì nikdy nejistota nulová. Pøi jejím odhadu se použije model rovnomìrného rozdìlení pravdìpodobnosti v intervalu, který je vymezen rozlišovací schopností δ (zj) daného pøístroje, a platí uB (z j ) =

δ (z j ) 2 3

= 0 ,29δ (z j )

(8)

Ukazuje-li napø. èíslicový voltmetr opakovanì 12,14 V a pøitom je definováno rozlišení 10 mV i pøesnost 10 mV, lze pøedpokládat, že δ (zj) = = 0,01 V a nejistota uB(zj) = 0,003 V. Doète-li se ale uživatel v technických podmínkách podobného voltmetru, že pro použitý mìøicí rozsah 20 V platí pøi rozlišení 10 mV (hodnota jednoho digitu) pøesnost 0,3 % namìøené hodnoty + 1 digit, pak δ€ (z j) = (0,036 + 0,01) V = 0,046 V

53

A

MÌØICÍ TECHNIKA

a pøíslušná složka nejistoty typu B bude uB(zj) = 0,013 V, což je asi 4,5 krát vìtší nejistota než v pøedchozím pøípadì.

2.2.6 Použití analogového pøístroje se stupnicí Pøi použití analogového mìøicího pøístroje je schopnost odeèítání èasto dána hodnotou dílku stupnice δ (z). Potom se standardní nejistota zpùsobená ètením namìøené hodnoty urèí podle vztahu (8). U nìkterých analogových mìøicích pøístrojù jsou velikosti intervalu sloužícího jako pøedpokládaný zdroj nejistoty urèeny ve vztahu k dílku stupnice normou nebo jiným doporuèujícím pøedpisem. Obecnì se pøi návrhu analogové stupnice pøedpokládá, ve vztahu k rozlišovací schopnosti lidského oka, že tzv. støední stupnice má dílek dlouhý asi 1 mm a pøesnost ètení pouhým okem (bez lupy nebo jiných pomùcek) je ±0,5 dílku u laikù a ±0,3 až ±0,25 dílku u zruèné zaškolené obsluhy. Tak zvané jemné stupnice, které se pro ètení „pouhým okem“ používají ménì èasto, mívají dílek dlouhý asi 0,5 mm a odhad poloviny dílku je zpravidla vázán na patøiènou zruènost a trénovanost obsluhy. 2.2.7 Pøítomnost hystereze Èasto je charakteristika pøístroje zatížena nezanedbatelnou hysterezí. Pøi výpoètu nejistoty zpùsobené tímto zdrojem se postupuje podobnì jako v pøípadì popsaném v odst. 2.2.6 s použitím vztahu (8).

2.3 Standardní kombinovaná nejistota V praxi je obvykle tøeba spoleènì jediným èíslem vyjádøit nejistoty typu A (oznaèované uA) a nejistoty typu B (uB). K tomu se používá celková nejistota, obvykle nazývaná kombinovaná nejistota a oznaèovaná uC, která se urèuje podle vztahu uC ( x ) =

uA2 ( x )

+

uB2 ( x )

hodnota se nachází v intervalu y ± U. V pøípadì normálního rozdìlení výsledkù mìøení odpovídá pravdìpodobnosti 95 % hodnota kr = = 2. Vychází-li se z teorie matematické statistiky, je možné pøedpokládat normální rozdìlení velmi èasto. Proto se v praxi také nejèastìji pracuje s kr = 2.

3. Zákon šíøení nejistot aplikovaný na jednodušší pøípady mìøení Pøipomeòme si zde znovu a ponìkud podrobnìji problematiku šíøení nejistot, pro potøeby dalších úvah kombinovanou s náznakem složitìjší teorie matematických modelù mìøení. Základní otázkou pøi urèování postupu výpoètu nejistot mìøení je, jak stanovit nejistotu odhadu hledané velièiny, která je funkcí jiných velièin, jejichž odhady i nejistoty jsou známy. V pøípadì, že je zájem upøen na jednu velièinu Y (výstupní velièina), která je funkcí m velièin X1, X2, … Xq, … Xm (vstupní velièiny), jejichž odhady, nejistoty a popø. i vzájemné kovariance jsou známy, je možné zapsat vztah Y = f ( X1 , X2 , ... X q , ... Xm )

(10)

kde f je známá funkce. Odhad y hodnoty výstupní velièiny Y lze stanovit ze vztahu y = f ( x1 , x 2 , ... x q , ... x m )

(11)

kde x1, x2, ... xq, … xm jsou odhady vstupních velièin X1, X2, ... Xq, … Xm. Nejistota odhadu y velièiny Y v pøípadì, že odhady x1, x2, ... xq, … xm jsou nekorelované (což zatím není pøedpokládáno), se urèí ze vztahu u2 (y) =

m

∑ A u (x) 2 2 q q

(12)

q =1

(9)

kde Aq jsou koeficienty citlivosti, pro nìž platí

jak ostatnì naznaèila již minulá èást tohoto cyklu [1] s odvoláním na prameny [1], [2], [9], [10], [11], jež jsou v ní uvedeny.

(13)

2.4 Rozšíøená nejistota Výsledek mìøení ve tvaru y ± uC definuje skuteènou hodnotu mìøené velièiny s pomìrnì malou pravdìpodobností, pøibližnì 60%. Tato pravdìpodobnost je vìtšinou nedostateèná. Proto je snaha stanovit interval, ve kterém se hodnota nachází s pravdìpodobností blížící se 100 %. Do praxe se tudíž zavádí tzv. rozšíøená nejistota U, definovaná jako U = = kruC, kde kr je koeficient rozšíøení. Hodnota kr závisí na typu rozdìlení pravdìpodobnosti výsledku mìøení. V praxi se používají rùzné hodnoty koeficientù rozšíøení podle typu rozdìlení a požadované hodnoty pravdìpodobnosti. Velmi èastým pøípadem je 95% pravdìpodobnost (tzv. konfidenèní), že skuteèná

54

Aq =

∂f (X1 , ... X m ) ∂X q X1 = x1 ,... Xm = xm

Protože pro souèasné úvahy o pøímých mìøeních se vystaèí právì s tìmito ètyømi vztahy (10) až (13), lze ponecht složitìjší teorie nepøímých mìøení vèetnì vzájemných korelací a kovariancí na pozdìji.

4. Zaokrouhlování výsledkù mìøení Zejména pøi práci s chybami a nejistotami mìøení se lze velmi èasto setkat také s úkolem správnì zaokrouhlit získané výsledky. Aplikací rùzných matematických vztahù, zejména pøi statistickém vyhodnocování, se pomocí výpoèetní techniky získají výsledky pøedstavované dlouhými øetìzci èíslic. Takový výsledek je však z technického hlediska nesmyslem a pro praxi nemá význam. Mno-

(2001) èíslo10

honásobným opakováním mìøení lze reálnì zpøesnit získaný odhad mìøené velièiny celkem bìžnì o jeden, maximálnì o dva øády oproti úrovni zobrazovací jednotky, nikoli však v rozsahu všech desetinných míst, která nabídne kalkulaèka nebo poèítaèový program. Zaokrouhlení tak pøedstavuje zámìnu daného èísla jiným, které se nazve èíslem zaokrouhleným. Zaokrouhlené èíslo se vybírá z øady celistvých násobkù zvoleného zaokrouhlovacího intervalu. Tøeba pro interval zaokrouhlení 0,1 jsou celistvými násobky napø. 33,1; 33,2; 33,3; 33,4; 33,5; 33,6; 33,7; 33,8; 33,9. Pro interval zaokrouhlení 10 lze napø. uvést èíselnou øadu 1 510; 1 520; 1 530; 1 540; 1 550; 1 560; 1 570; 1 580; 1 590; 1 600 atd. Pøi zaokrouhlování se pro prezentaci výsledku vybere ten celistvý násobek, který je k danému èíslu nejblíže. Jestliže ale dojde k tomu, že oba celistvé násobky jsou od zaokrouhlovaného èísla stejnì vzdáleny, jsou možné dvì varianty øešení: 1. Za zaokrouhlené èíslo se zvolí sudý celistvý násobek. Této variantì se pøi vyhodnocování mìøení dává pøednost, takže napø. pro interval zaokrouhlení 1 se èísla 13,5 i 14,5 zaokrouhlí na 14. 2. Za zaokrouhlené èíslo se zvolí vìtší celistvý násobek, což je varianta rozšíøenìjší pøi použití výpoèetní techniky. Pro pøedcházející pøípad se tak zaokrouhlením 13,5 dostane èíslo 14, zatímco zaokrouhlením 14,5 již èíslo 15. V praxi je tøeba vìnovat velkou pozornost zejména pøípadùm, kdy se zaokrouhluje opakovanì, protože nìkolikerým zaokrouhlením je možné dojít ke znaènému zkreslení výsledku a podstatnému nárùstu chyby.

5. Jak uvádìt výsledky mìøení 5.1. Pravidla Pravidla uvádìní výsledku mìøení upravuje napø. v [1] uvedená literatura [2], kde se doporuèují dva zpùsoby, buï s použitím standardní kombinované nejistoty, nebo pomocí rozšíøené nejistoty. Souèasnì lze použít také tzv. bilanèní tabulku.

5.2 Standardní nejistota kombinovaná K C V pøípadì, že se zvolí prezentaci výsledku se standardní nejistotou kombinovanou uC, je tøeba dodržet tato pravidla: n uvést podrobnou definici mìøené velièiny Y; n uvést odhad y mìøené velièiny Y spolu s kombinovanou standardní nejistotou u C(y) a jednotku, ve které jsou odhad i nejistota uvedeny; n je-li to vhodné, uvést relativní standardní kombinovanou nejistotu uC(y)/|y|, |y| ≠ 0; n v pøípadì potøeby uvést bilanèní tabulku (kap. 5.4). Jako pøíklad mùže posloužit zápis výsledku urèování hmotnosti závaží s nominální hodnotou m = 100 g. Pøi kombinované nejistotì

AUTOMA

A

MÌØICÍ TECHNIKA

uC = 0,35 mg lze výsledek zapsat nìkterým z tìchto zpùsobù: n m = 100,021 47 g s uC = 0,35 mg; n m = 100,021 47 (35) g, kde èíslo v závorce pøedstavuje èíselnou hodnotu kombinované standardní nejistoty uC s dekadickým øádem shodným s øádem posledních dvou èíslic zapsaného výsledku; n m = 100,021 47 (0,000 35) g, kde èíslo v závorce pøedstavuje èíselnou hodnotu kombinované standardní nejistoty vyjádøenou v jednotce, ve které je zapsán výsledek; n m = (100,021 47 ± 0,000 35) g, kde èíslo následující po znaèce ± pøedstavuje èíselnou hodnotu kombinované standardní nejistoty uC, a nikoliv konfidenèní interval (tento zápis se nedoporuèuje používat pøi zápisu výsledku mìøení s kombinovanou standardní nejistotou, protože se používá pøednostnì pøi zápisu výsledku mìøení s rozšíøenou nejistotou).

5.3 Rozšíøená nejistota 7 Pøi uvádìní výsledku mìøení s použitím rozšíøené nejistoty U = kruC je tøeba: n uvést podrobnou definici mìøené velièiny Y; n uvést výsledek mìøení v podobì Y = y ± U, pøièemž je tøeba uvést jednotky, v nichž jsou vyjádøeny odhad y i nejistota U; n pokud je to vhodné, uvést relativní rozšíøenou nejistotu U/|y|, |y| ≠ 0; n uvést hodnotu koeficientu rozšíøení kr použitou pøi výpoètu U; n uvést konfidenèní hladinu spjatou s intervalem y ± U a uvést, jak byla urèena; n v pøípadì potøeby uvést bilanèní tabulku (kap. 5.4). Použijí-li se údaje z pøedchozího pøíkladu (kap. 5.2), je možné psát m = (100,021 47 ± ±0,000 70) g, kde èíslo následující po znaèce ± pøedstavuje èíselnou hodnotu kombinované standardní nejistoty U, pøièemž nejistota U byla urèena z kombinované standardní nejistoty u C a koeficientu rozšíøení k r = 2 (podle vysvìtlení v kap. 2.4). Podrobnìji se k situaci vrátíme v dalších èástech cyklu, popø. lze použít literaturu citovanou v [1] jako položka [2].

5.4 Bilanèní tabulka Kromì bìžného zápisu výsledku mìøení v podobì aritmetického prùmìru s nejistotou jako toleranèním pásmem je v mnoha pøedpisech ([1], literatura citovaná ad [3], [4]) doporuèován zápis postupu urèení výsledné nejistoty mìøení do tzv. bilanèní tabulky (tab. 1), pøièemž platí m

∑u

uq(y) = Aq uq(x); u (y ) =

2 q

(y )

(14)

q =1

Podle slibu v [1] bude v dalším textu ukázán postup urèení nejistoty na dvou jednoduchých typických pøíkladech pøímého mìøení délky. Pøíklad 1 Úkolem je zmìøit prùmìr d váleèku, jehož jmenovitá hodnota je 80 mm, pomocí bìžného posuvného mìøítka. Mìøení se opakuje desetkrát za stejných podmínek. Z certifikátu a dalších dostupných materiálù vyplývá, že posuvné mìøítko má v intervalu mìøených délek 0 až 150 mm základní chybu rozlišení 0,05 mm. Souèasnì se uplatní integrovaná osobní chyba obsluhy pøi ètení ze stupnice mìøítka (paralaxa), nedokonalosti osvìtlení, zpùsobující nedokonalou koincidenci rysek, nedokonalost kolmého ustavení mìøidla vùèi ose válce, kolísání síly stisku atd., což se vše dohromady zahrne do celkové osobní chyby s velikostí 0,1 mm. Opakovanými mìøeními prùmìru váleèku byly získány hodnoty di uvedené v tab. 2. Odhadem hodnoty mìøené velièiny (prùmìru váleèku d) je aritmetický prùmìr. Podle (1) se dostane

1 10

10

∑d = 80,06 mm i

i =1

Standardní nejistota typu A je výsledkem statistické analýzy podle (2), takže platí

Typ rozdìlení

Koeficient citlivosti Aq

Pøíspìvek ke standardní nejistotì uq(y); nejistota u(y)

podle situace

A1 A. 2

u1(y) u2(y)

X1 X. 2

x1 x2

u1(x) u2(x)

X. q

xq

uq(x)

Aq

uq(y)

Xm

xm

um(x)

Am

um(y)

Y

y

-

-

u(y)

..

..

.. . .. .

.. .

.. .

.. .

-

Tab. 2. Namìøené hodnoty prùmìru váleèku Èíslo mìøení 1 2 3 4 5 di (mm) 80,1 80,2 80,1 79,9 80,0

AUTOMA

.. .

..

.. .

6 80,2

7 80,1

uB2 (d ) =

0 ,05 3 0 ,1 3

= 0 ,029 mm = 0 ,058 mm

uB (d ) = uB2 1 (d ) + uB2 2 (d ) = 0 ,065 mm a standardní nejistota kombinovaná podle vztahu (9) vychází

uC (d ) = uA2 (d ) + uB2 (d ) = 0 ,073 1 mm Výslednou nejistotu je pøed prezentací výsledku vhodné zaokrouhlit na uC(d) = 0,07 mm, takže výsledek bude uC ( d ) ≅ 0 ,07 mm; d = (80 ,06 ± 0 ,07) mm

Uvedeným zpùsobem, tj. s ohledem na použitý typ rozdìlení, stanovená standardní kombinovaná nejistota definuje zpravidla interval, v nìmž se nachází pouze necelých 70 % (66 až 68 % podle použitého zákona rozdìlení) všech namìøených hodnot sledované velièiny. Není-li takováto spolehlivost urèení nejistoty postaèující, je možné standardní nejistotu nahradit nejistotou rozšíøenou. V praxi se velmi èasto volí spolehlivost výsledku 95 %, což pøedstavuje rozšíøení výsledné nejistoty koeficientem kr = 2. V tomto pøípadì bude rozšíøená nejistota U(d) = uC(d)kr = 0,073 · 2 = = 0,146; tj. po zaokrouhlení 0,15 mm. Po této úpravì je výsledek získaný opakovaným mìøením prùmìru váleèku d´ = (80,06 ± 0,15) mm Popøípadì je možné použít zápis do pøehledné bilanèní tabulky (tab. 3).

uA ( d ) = sd = 0 ,034 mm

Tab. 1. Obecná podoba bilanèní tabulky

Velièina Odhad Standardní Xq ; Y xq ; y nejistota uq(x)

uB1 (d ) =

Výsledná standardní nejistota typu B se vypoèítá analogicky k (9)

6. Pøíklady stanovení nejistoty

d=

Na standardní nejistotì typu B se podílejí dvì složky: chyba mìøidla a osobní chyba, pøièemž u obou se pøedpokládá rovnomìrné pravoúhlé rozdìlení (výskyt kterékoliv hodnoty z intervalu omezeného chybou je stejnì pravdìpodobný). Podle (7) se dostane

8 79,9

9 80,0

(2001) èíslo 10

10 80,1

Pøíklad 2 Nyní je úkolem zmìøit délku l tyèe o jmenovité hodnotì 1 400 mm pomocí pøesného èárkového mìøítka délky 2 m s dìlením po 1 mm (pøesný svinovací dvoumetr). Mìøení se opakuje desetkrát za stejných podmínek. Z certifikátu mìøítka vyplývá, že pro jeho tzv. dovolenou chybu δdov platí vztah δdov = δ1 + δ2l, kde δ1 je základní chyba, pøedstavovaná nejmenším dílkem δ1 = 1 mm (rozlišovací schopnost). Dále je výrobcem definována další složka chyby, závislá na velikosti mìøené délky: δ2 = f(l) = 2 mm/m. Jiné vlivy, jako je pùsobení teploty apod., se zanedbají. Opakovaným mìøením byly získány hodnoty délky uvedené v tab. 4 a dále se

55

A

MÌØICÍ TECHNIKA

Tab. 3. Bilanèní tabulka nejistot pøi mìøení prùmìru váleèku pomocí posuvného mìøítka (k pøíkladu 1)

Velièina Xq; d

d mìøidlo δ1(d) obsluha δ2(d) d

Odhad xq; d (mm)

80,060 0,000 0,000 80,060

Standardní Typ rozdìlení nejistota uq(x) (mm)

0,034 0,029 0,058 -

postupuje zcela analogicky jako u pøíkladu 1. Odhadem hodnoty mìøené velièiny je aritmetický prùmìr podle vztahu (1)

l=

1 10

10

∑l = 1 403,5 mm i

normální rovnomìrné rovnomìrné -

Standardní nejistota typu A je podle (2) uA (l ) = sl = 0 ,563 mm

Standardní nejistota typu B má tentokrát jediný zdroj – chybu mìøidla δdov =δ1 + δ2l, což v tomto pøípadì znamená konkrétnì δdov= =1 + 2 · 1,4 = 3,8 mm. U chyby δdov, resp.

1 1 1 -

Pøíspìvek ke standardní nejistotì uq(d); nejistota u(d) (mm) 0,034 0,029 0,058 0,073

intervalu, který se rozprostøe kolem odhadu hodnoty mìøené velièiny, se pøedpokládá opìt rovnomìrné pravoúhlé rozdìlení. Podle vztahu (7) pak platí uB (l ) =

i =1

Koeficient citlivosti Aq

3,8

= 2 ,197 mm 3 Standardní nejistota kombinovaná vychází podle (9)

uC (l ) = uA2 (l ) + uB2 (l) = 2 ,268 mm a po zaokrouhlení uC(l) ≅ 2,3 mm

Tab. 4. Namìøené hodnoty délky tyèe Èíslo mìøení 1 2 3 4 5 6 7 8 9 li (mm) 1 405 1 403 1 402 1 400 1 404 1 406 1 405 1 404 1 402

10 1 404

Tab. 5. Bilanèní tabulka nejistot pøi mìøení délky tyèe svinovacím dvoumetrem (k pøíkladu 2)

Velièina Xq; l

Odhad xq; l (mm)

Standardní nejistota uq(x) (mm)

Typ rozdìlení

l

1 403,5

0,6

normální

mìøidlo δ1(l) l

1 403,5

2,2 -

rovnomìrné -

56

Koeficient Pøíspìvek ke citlivosti Aq standardní nejistotì uq(l); nejistota u(l) (mm) 1 0,6 1 -

(2001) èíslo10

2,2 2,3

Také v tomto pøípadì bude velmi vhodné nahradit nejistotu standardní nejistotou rozšíøenou, což ostatnì odpovídá bìžným zvyklostem oboru mìøení délek. Pøi použití obvyklé hodnoty koeficientu rozšíøení kr = 2 U(l) = kr uC (l) ≅ 4,6 mm Koneèný výsledek opakovaného mìøení délky tyèe je l = (1 403,5 ± 4,6) mm. Opìt lze celý postup shrnout také do bilanèní tabulky (tab. 5).

7. Závìr Druhá èást cyklu èlánkù vìnovaných nejistotám v mìøení pojednává o urèování výsledku jednoduchých pøímých mìøení. Dùraz je kladen na urèování jejich nejistot. Použití popsaných metod je ilustrováno na pøíkladu jednoduchých pøímých mìøení délky posuvným mìøidlem a pøesným èárkovým mìøítkem (svinovacím dvoumetrem). Složitìjší pøípady, se kterými se lze v praxi vesmìs setkat, je vhodné konzultovat s odborníky na statistickou analýzu. Literatura: [1] PALENÈÁR, R. – VDOLEÈEK, F. – HALAJ, M.: Nejistoty v mìøení I: vyjadøování nejistot. Automa, 7, 2001, è. 7-8, s. 50-54 (a literatura tam uvedená).doc. Ing. Rudolf Palenèár, CSc.,

SjF STU, Bratislava [email protected] Ing. František Vdoleèek, CSc., FSI VUT, Brno [email protected] Ing. Martin Halaj, SjF STU, Bratislava [email protected]

AUTOMA