STANDARDNÍ NEJISTOTY MĚŘENÍ

ÊÇÍÑÕW ËXÛÒS ÌÛÝØÒ×ÝÕW Ê ÞÎÒT ÞÎÒÑ ËÒ×ÊÛÎÍ×ÌÇ ÑÚ ÌÛÝØÒÑÔÑÙÇ

ÚßÕËÔÌß ÛÔÛÕÌÎÑÌÛÝØÒ×ÕÇ ß ÕÑÓËÒ×ÕßXÒSÝØ ÌÛÝØÒÑÔÑÙ×S FÍÌßÊ ßËÌÑÓßÌ×ÆßÝÛ ß ÓTH×ÝS ÌÛÝØÒ×ÕÇ ÚßÝËÔÌÇ ÑÚ ÛÔÛÝÌÎ×ÝßÔ ÛÒÙ×ÒÛÛÎ×ÒÙ ßÒÜ ÝÑÓÓËÒ×ÝßÌ×ÑÒ ÜÛÐßÎÌÓÛÒÌ ÑÚ ÝÑÒÌÎÑÔ ßÒÜ ×ÒÍÌÎËÓÛÒÌßÌ×ÑÒ

ÍÌßÒÜßÎÜÒS ÒÛÖ×ÍÌÑÌÇ ÓTHÛÒS ÍÌßÒÜßÎÜ ËÒÝÛÎÌß×ÒÌÇ ×Ò ÓÛßÍËÎÛÓÛÒÌ

ÞßÕßÔ_HÍÕ_ ÐÎ_ÝÛ ÞßÝØÛÔÑÎùÍ ÌØÛÍ×Í

ßËÌÑÎ ÐÎ_ÝÛ

ÓßÎÌ×Ò ÌÎÑÖßÒ

ßËÌØÑÎ

ÊÛÜÑËÝS ÐÎ_ÝÛ ÍËÐÛÎÊ×ÍÑÎ

ÞÎÒÑ îððè

×²¹ò ÓßÎ×Û ØßÊÔSÕÑÊ_ô

Ô×ÝÛÒXÒS ÍÓÔÑËÊß ÐÑÍÕÇÌÑÊßÒ_ Õ ÊCÕÑÒË ÐÎ_Êß Ë’SÌ –ÕÑÔÒS ÜSÔÑ «¦¿ª(»²? ³»¦· -³´«ª²3³· -¬®¿²¿³·æ ïò Ð¿²ñ°¿²3 Ö³7²± ¿ °(3¶³»²3æ

Ó¿®¬·² Ì®±¶¿²

Þ§¬»³æ

Ê4¬®²? ïðééô êéëíïô Ö»³²·½»

Ò¿®±¦»²ñ¿ ø¼¿¬«³ ¿ ³3-¬±÷æ

ïìòíòïçèêô Ü¿8·½»

ø¼?´» ¶»² þ¿«¬±®þ÷ ¿ îò Ê§-±µ7 «8»²3 ¬»½¸²·½µ7 ª Þ®²4 Ú¿µ«´¬¿ »´»µ¬®±¬»½¸²·µ§ ¿ µ±³«²·µ¿8²3½¸ ¬»½¸²±´±¹·3 -» -3¼´»³ F¼±´²3 îììñëíô êðîðð Þ®²± î ¶»¶3³‚ ¶³7²»³ ¶»¼²? ²¿ ¦?µ´¿¼4 °3-»³²7¸± °±ª4(»²3 ¼4µ¿²»³ º¿µ«´¬§æ ¼±½ò ×²¹ò Ê?½´¿ª Ö·®-3µô ÝÍ½ò ø¼?´» ¶»² þ²¿¾§ª¿¬»´þ÷

X´?²»µ ï Í°»½·º·µ¿½» †µ±´²3¸± ¼3´¿ ïò Ð(»¼³4¬»³ ¬7¬± -³´±«ª§ ¶» ª§-±µ±†µ±´-µ? µª¿´·º·µ¿8²3 °®?½» øÊ–ÕÐ÷æ ¼·-»®¬¿8²3 °®?½» ¼·°´±³±ª? °®?½» ¾¿µ¿´?(-µ? °®?½» ¶·²? °®?½»ô ¶»¶3‚ ¼®«¸ ¶» -°»½·º·µ±ª?² ¶¿µ± òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò ø¼?´» ¶»² Ê–ÕÐ ²»¾± ¼3´±÷ Ò?¦»ª Ê–ÕÐæ

Í¬¿²¼¿®¼²3 ²»¶·-¬±¬§ ³4(»²3

Ê»¼±«½3ñ†µ±´·¬»´ Ê–ÕÐæ

×²¹ò Ó¿®·» Ø¿ª´3µ±ª?ô

F-¬¿ªæ

F-¬¿ª ¿«¬±³¿¬·¦¿½» ¿ ³4(·½3 ¬»½¸²·µ§

Ü¿¬«³ ±¾¸¿¶±¾§ Ê–ÕÐæ òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò Ê–ÕÐ ±¼»ª¦¼¿´ ¿«¬±® ²¿¾§ª¿¬»´· ªæ ¬·†¬4²7 º±®³4

ó °±8»¬ »¨»³°´?(' ï

»´»µ¬®±²·½µ7 º±®³4

ó °±8»¬ »¨»³°´?(' ï

îò ß«¬±® °®±¸´¿†«¶»ô ‚» ª§¬ª±(·´ -¿³±-¬¿¬²±« ª´¿-¬²3 ¬ª'®83 8·²²±-¬3 ¼3´± -¸±®¿ °±°-¿²7 ¿ -°»½·º·µ±ª¿²7ò ß«¬±® ¼?´» °®±¸´¿†«¶»ô ‚» °(· ¦°®¿½±ª?ª?²3 ¼3´¿ -» -?³ ²»¼±-¬¿´ ¼± ®±¦°±®« - ¿«¬±®-µ#³ ¦?µ±²»³ ¿ °(»¼°·-§ -±«ª·-»¶3½3³· ¿ ‚» ¶» ¼3´± ¼3´»³ °'ª±¼²3³ò íò Ü3´± ¶» ½¸®?²4²± ¶¿µ± ¼3´± ¼´» ¿«¬±®-µ7¸± ¦?µ±²¿ ª °´¿¬²7³ ¦²4²3ò ìò ß«¬±® °±¬ª®¦«¶»ô ‚» ´·-¬·²²? ¿ »´»µ¬®±²·½µ? ª»®¦» ¼3´¿ ¶» ·¼»²¬·½µ?ò

X´?²»µ î Ë¼4´»²3 ´·½»²8²3¸± ±°®?ª²4²3 ïò ß«¬±® ¬±«¬± -³´±«ª±« °±-µ§¬«¶» ²¿¾§ª¿¬»´· ±°®?ª²4²3 ø´·½»²½·÷ µ ª#µ±²« °®?ª¿ «ª»¼»²7 ¼3´± ²»ª#¼4´»8²4 «‚3¬ô ¿®½¸·ª±ª¿¬ ¿ ¦°(3-¬«°²·¬ µ» -¬«¼·¶²3³ô ª#«µ±ª#³ ¿ ª#¦µ«³²#³ &8»´'³ ª8»¬²4 °±(·¦±ª¿²3 ª#°·-'ô ±°·-' ¿ ®±¦³²±‚»²·²ò îò Ô·½»²½» ¶» °±-µ§¬±ª?²¿ ½»´±-ª4¬±ª4ô °®± ½»´±« ¼±¾« ¬®ª?²3 ¿«¬±®-µ#½¸ ¿ ³¿¶»¬µ±ª#½¸ °®?ª µ ¼3´«ò íò ß«¬±® -±«¸´¿-3 -» ¦ª»(»¶²4²3³ ¼3´¿ ª ¼¿¬¿¾?¦· °(3-¬«°²7 ª ³»¦·²?®±¼²3 -3¬· ·¸²»¼ °± «¦¿ª(»²3 ¬7¬± -³´±«ª§ ï ®±µ °± «¦¿ª(»²3 ¬7¬± -³´±«ª§ í ®±µ§ °± «¦¿ª(»²3 ¬7¬± -³´±«ª§ ë ´»¬ °± «¦¿ª(»²3 ¬7¬± -³´±«ª§ ïð ´»¬ °± «¦¿ª(»²3 ¬7¬± -³´±«ª§ ø¦ ¼'ª±¼« «¬¿¶»²3 ª ²4³ ±¾-¿‚»²#½¸ ·²º±®³¿½3÷ ìò Ò»ª#¼4´»8²7 ¦ª»(»¶.±ª?²3 ¼3´¿ ²¿¾§ª¿¬»´»³ ª -±«´¿¼« - «-¬¿²±ª»²3³ y ìé¾ ¦?µ±²¿ 8ò ïïïñïççè Í¾òô ª °´¿¬²7³ ¦²4²3ô ²»ª§‚¿¼«¶» ´·½»²½· ¿ ²¿¾§ª¿¬»´ ¶» µ ²4³« °±ª·²»² ¿ ±°®?ª²4² ¦» ¦?µ±²¿ò

X´?²»µ í Æ?ª4®»8²? «-¬¿²±ª»²3 ïò Í³´±«ª¿ ¶» -»°-?²¿ ª» ¬(»½¸ ª§¸±¬±ª»²3½¸ - °´¿¬²±-¬3 ±®·¹·²?´«ô °(·8»³‚ °± ¶»¼²±³ ª§¸±¬±ª»²3 ±¾¼®‚3 ¿«¬±® ¿ ²¿¾§ª¿¬»´ô ¼¿´†3 ª§¸±¬±ª»²3 ¶» ª´±‚»²± ¼± Ê–ÕÐò îò Ê¦¬¿¸§ ³»¦· -³´«ª²3³· -¬®¿²¿³· ª¦²·µ´7 ¿ ²»«°®¿ª»²7 ¬±«¬± -³´±«ª±« -» (3¼3 ¿«¬±®-µ#³ ¦?µ±²»³ô ±¾8¿²-µ#³ ¦?µ±²3µ»³ô ª§-±µ±†µ±´-µ#³ ¦?µ±²»³ô ¦?µ±²»³ ± ¿®½¸·ª²·½¬ª3ô ª °´¿¬²7³ ¦²4²3 ¿ °±°(ò ¼¿´†3³· °®?ª²3³· °(»¼°·-§ò íò Ô·½»²8²3 -³´±«ª¿ ¾§´¿ «¦¿ª(»²¿ ²¿ ¦?µ´¿¼4 -ª±¾±¼²7 ¿ °®¿ª7 ª'´» -³´«ª²3½¸ -¬®¿²ô - °´²#³ °±®±¦«³4²3³ ¶»¶3³« ¬»¨¬« · ¼'-´»¼µ'³ô ²·µ±´·ª ª ¬3-²· ¿ ¦¿ ²?°¿¼²4 ²»ª#¸±¼²#½¸ °±¼³3²»µò ìò Ô·½»²8²3 -³´±«ª¿ ²¿¾#ª? °´¿¬²±-¬· ¿ &8·²²±-¬· ¼²»³ ¶»¶3¸± °±¼°·-« ±¾4³¿ -³´«ª²3³· -¬®¿²¿³·ò

Ê Þ®²4 ¼²»æ òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò

òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò

òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò

Ò¿¾§ª¿¬»´

ß«¬±®

ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Vysoké učení technické v Brně

Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Ústav automatizace a měřicí techniky

STANDARDNÍ NEJISTOTY MĚŘENÍ Bakalářská práce

Studijní zaměření:

Automatizační a měřící technika

Student:

Martin Trojan

Vedoucí práce:

Ing. Marie Havlíková

ABSTRAKT Tato bakalářská práce pojednává o nejistotách měření. Stanovuje postupy pro vyhodnocování standardních nejistot typu A i B. Také stanovuje postupy pro vyjádření kombinované a rozšířené nejistoty, postupy pro vyjádření a vyhodnocení vlivu zdrojů nejistot. V závěru práce jsou měření zhodnocena a porovnána jejich kompatibilita vzhledem k referenčnímu měřidlu a sestaveny jejich kalibrační diagramy. Práce je dále zaměřena na praktické měření. Zabývá se měřením kapacity a odporu, stanovuje postupy pro tato měření. Všechny výpočty byly prováděny se skutečnými hodnotami, získanými skutečnými měřeními v laboratoři E607 UAMT FEKT VUT Brno.

4


Brno University of Technology Faculty of Electrical Engineering and Communication Department of Control, Measurement and Instrumentation

STANDARD UNCERTAINTY IN MEASUREMENT Bachelor´s thesis

Specialisation of study:

Automatizační a měřící technika

Student:

Martin Trojan

Supervisor:

Ing. Marie Havlíková

ABSTRACT This bacelor´s thesis is about uncertainty of measurement. Methods for evalution of standard uncernatainty types A and B are determined. Also methods for evalution of expression of combined and expanded uncertainty are determined. Next methods for expresion and influence of source of these uncertainties. In the end are all the mesurements reviewed and its kompatibility is compared with referential measure. Also all calibration diagram are compiled. This thesis is based on practical measurement. I tis about measurement of capacitance and resistance, methods for evalution of these measurement are determined. All calculation were provided with real values. All values originate from real measurement in school´s lab E607 DCI FEEC BUT.. All results were compared in the end.

5


BIBLIOGRAFICKÁ CITACE TROJAN, M. Standardní nejistoty měření. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, 2008. 85 s. Vedoucí bakalářské práce Ing. Marie Havlíková. KLÍČOVÁ SLOVA Nejistota Měření Odpor Kapacita Kompatibilita Kalibrační graf KEYWORDS Uncertainty Measurement Resistence Capacitance Kompatibility Calibration diagram

6


Prohlášení „Prohlašuji, že svou diplomovou práci na téma " STANDARDNÍ NEJISTOTY MĚŘENÍ" jsem vypracoval samostatně pod vedením vedoucího bakalářské práce a s použitím odborné literatury a dalších informačních zdrojů, které jsou všechny citovány v práci a uvedeny v seznamu literatury na konci práce. Jako autor uvedené bakalářské práce dále prohlašuji, že v souvislosti s vytvořením této bakalářské práce jsem neporušil autorská práva třetích osob, zejména jsem nezasáhl nedovoleným způsobem do cizích autorských práv osobnostních a jsem si plně vědom následků porušení ustanovení § 11 a následujících autorského zákona č. 121/2000 Sb., včetně možných trestněprávních důsledků vyplývajících z ustanovení § 152 trestního zákona č. 140/1961 Sb.“

V Brně dne :

Podpis:

Poděkování

Děkuji tímto Ing. Marii Havlíkové za odborné vedení, cenné připomínky a rady při vypracování bakalářské práce.

V Brně dne :

Podpis:

7


OBSAH 1. ÚVOD .......................................................................................................... 12 2. CHYBY MĚŘENÍ....................................................................................... 13 3. NEJISTOTY MĚŘENÍ A LEGISLATIVA ............................................... 15 4. ZÁKLADNÍ POJMY A DEFINICE........................................................... 17 5. NEJISTOTY................................................................................................ 19 5.1 Legislativa .................................................................................................. 19 5.2 Rozdělení nejistot ....................................................................................... 19 5.3 Vyhodnocení nejistot metodou typu A ........................................................ 20 5.4 Vyhodnocení nejistot metodou typu B ........................................................ 21 5.5 Kombinované a rozšířené nejistoty ............................................................. 26 5.6 Zdroje nejistot............................................................................................. 28 5.6.1 Teplota ..................................................................................................... 28 5.6.2 Mechanické vlivy ..................................................................................... 28 5.6.3 Frekvenční závislost ................................................................................. 29 5.7 Zaokrouhlování výsledků měření ................................................................ 30 5.8 Uvádění výsledků měření............................................................................ 30 5.9 Zákon šíření nejistot.................................................................................... 33 5.9.1 Kovariance při určování výsledných nejistot............................................. 34 5.9.2 Příklady zdrojů korelací v návaznosti na zdroje nejistot ............................ 35 Kalibrace a ověřování ........................................................................................ 37 6. REALIZACE ZKUŠEBNÍCH MĚŘENÍ ................................................... 39 6.1 Měření kapacit ............................................................................................ 40 6.1.1 Postup při vyhodnocení standardních nejistot ........................................... 40 6.1.2 Zpracování naměřených hodnot ................................................................ 45 6.1.3 Vyhodnocení kompatibility měření........................................................... 61 6.1.4 Sestavení kalibračních diagramů............................................................... 63 6.2 Měření odporů ............................................................................................ 65 6.2.1 LCR měřičem Agilent 4263B ................................................................... 65 6.2.2 Multimetr Agilent 34410A ....................................................................... 65

8


6.2.3 Multimetr METEX M3890D + LCR měřič MIC 4070D ........................... 65 6.2.4 Měřič impedance Tesla BM507 ................................................................ 66 6.2.5 Zpracování naměřených hodnot ................................................................ 66 6.2.6 Vyhodnocení kompatibility měření odporu............................................... 78 6.2.7 Sestavení kalibračních diagramů............................................................... 79 7. ZÁVĚR ........................................................................................................ 84 8. SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY ........................................................ 85

9


SEZNAM OBRÁZKŮ: Obrázek 1: LCR měřič Agilent 4263B ....................................................................39 Obrázek 2: Vyhodnocení kompatibility měření kapacitoru C1. ................................62 Obrázek 3: Vyhodnocení kompatibility měření kapacitoru C2. ................................62 Obrázek 4: Vyhodnocení kompatibility měření kapacitoru C3. ................................62 Obrázek 5: Kalibrační diagram multimetru Agilent 34410A pro měření kapacit......63 Obrázek 6: Kalibrační diagram LCR měřiče MIC 4070D pro měření kapacit. .........64 Obrázek 7: Kalibrační diagram měřiče impedance Tesla BM507 pro měření kapacit ...............................................................................................................................64 Obrázek 8: Vyhodnocení kompatibility měření na odporu R1 ..................................78 Obrázek 9: Vyhodnocení kompatibility měření na odporu R2 ..................................78 Obrázek 10: Vyhodnocení kompatibility měření na odporu R3 ................................79 Obrázek 11: Kalibrační diagram multimetru Agilent 34410A pro měření odporu....80 Obrázek 12: Kalibrační diagram multimetru METEX M3890D pro měření odporu81 Obrázek 13: Kalibrační diagram LCR měřiče MIC 4070D pro měření odporu ........82 Obrázek 14: Kalibrační diagram Měřiče impedance TESLA BM507 pro měření odporu. ...................................................................................................................83

10


SEZNAM TABULEK: Tabulka 1:Možný příklad použití bilanční tabulky nejistot.......................................32 Tabulka 2: Další příklad použití bilanční tabulky nejistot........................................32 Tabulka 3: Převodní tabulka LCR měřiče Agilent 4263B........................................41 Tabulka 4: Stanovení velikosti koeficientů A a B, RLC metru Agilent 4263B.........42 Tabulka 5: Tabulka pro stanovení velikosti koeficientu D RLC metru Agilent 4263B ...............................................................................................................................42 Tabulka 6: Tabulka pro stanovení velikosti koeficientu E RLC metru Agilent 4263B ...............................................................................................................................43 Tabulka 7: Měření kapacity C1 LCR měřičem Agilent 4263B .................................45 Tabulka 8: Měření kapacity C2 LCR měřičem Agilent 4263B .................................47 Tabulka 9: Měření kapacity C3 LCR měřičem Agilent 4263B .................................49 Tabulka 10: Měření kapacity C1 Multimetrem Agilent 34410A...............................50 Tabulka 11: Měření kapacity C2 Multimetrem Agilent 34410A...............................51 Tabulka 12: Měření kapacity C3 Multimetrem Agilent 34410A...............................53 Tabulka 13: Tabulka pro stanovení chyby z rozsahu a ze čtené hodnoty multimetrem Agilent 34410A ......................................................................................................65

11


1.

ÚVOD

Pojem nejistoty měření je v současné době sice nejvíce používán v oblasti kalibrace a metrologie, ale začíná se prosazovat i do každodenní praxe v průmyslových měřeních. Metodika zpracování výsledků měření v dnešní podobě se začala prosazovat přibližně od 90. let minulého století. 16.listopadu 1990 byl přijat zákon O metrologii č.505/1990. Tento zákon vznikl za účelem zajištění jednotnosti a správnosti měřidel i měření. Stanovuje například měřící jednotky, měřidla, jejich návaznost a kalibraci. Tento zákon vznikl jako reakce na dokument Západoevropského kalibračního sdružení WECC č.19. Tomuto dokumentu předcházelo doporučení Mezinárodního výboru pro váhy a míry (Comité International des Poinds et Mesures – CIPM) k náhradě koncepce chyb novou koncepcí nejistot měření, vydané v 80. letech. Nejvýznamnějším dokumentem v této oblasti je ale směrnice vydaná metrologickými orgány v roce 1993. U nás se touto problematikou nadále zabývají především předpisy TPM řady 005x, tyto předpisy nadále pronikají do dalších norem, které jsou přijímány v rámci harmonizace s normami ISO (Mezinárodní Organizace pro Normalizaci) a EN. V EU se metrologie dělí na 3 kategorie s různým stupněm složitosti: 1. vědecká metrologie 2. průmyslová metrologie 3. legální metrologie Na nejvyšší úrovni je metrologie vědecká, která se zabývá organizací a vývojem etalonů a zároveň jejich uchováním. Průmyslová metrologie zajišťuje fungování měřidel užívaných v průmyslu nebo výrobních popř. zkušebních procesech. Legální metrologie slouží ke stanovení přesnosti v oblasti ekonomiky, zdraví a bezpečnosti. Další kategorií by mohla být fundamentální metrologie, tato ale není v mezinárodním měřítku definována. Je ji možné popsat jako vědeckou metrologii doplněnou o zbylé části, které vyžadují vědeckou kompetenci.

12


2.

CHYBY MĚŘENÍ

Mnoho let, přibližně celé jedno století, bylo zvykem vyhodnocovat naměřené hodnoty pomocí chyb měření. Chyby měření se dělí do 3 základních skupin: 1. soustavné chyby (systematické), 2. nahodilé chyby (náhodné), 3. omyly. Soustavné chyby při opakovaném měření mají stále stejnou polaritu i velikost. Protože jsou známy příčiny jejich vzniku, můžeme většinu těchto chyb alespoň zmenšit opravou. Soustavné chyby jsou způsobeny například vlivem teploty, kmitočtu, spotřebou přístrojů anebo nepřesností pozorování. Příčina vzniku nahodilých chyb není známá, proto můžeme jejich vznik pouze zmenšit vícenásobným měřením nebo třeba lepším uspořádáním měření. Nahodilé chyby zapříčiňují při stejných podmínkách měření různé výsledky. Dále je chyby možné dělit podle matematického vyjádření: •

absolutní chyba měření,

•

relativní chyba měření.

Absolutní chyba měření je rozdíl mezi hodnotou naměřenou a hodnotou správnější. Uvádí v jednotkách měřené veličiny. Záporně vzatá absolutní chyba měření se nazývá korekce., která slouží k vyhodnocení přesnosti měřícího přístroje. Pokud je korekce přičtena k naměřené hodnotě, je získána konvenčně pravá hodnota. Relativní chyba měření se uvádí v procentech a vypočítá se jako poměr absolutní chyby a naměřené hodnoty. Slouží k vyhodnocení přesnosti měřící metody. Podle zdrojů chyb je možné chyby dělit na: •

chyby subjektivní,

•

chyby objektivní.

Chyby subjektivní jsou způsobeny především chybou obsluhy, například špatným odečtením naměřené hodnoty z analogového přístroje.

13


Objektivní chyby zaviňují objektivní příčiny, jako jsou například chyby použité metody, chyby měřících přístrojů, chyby způsobené použitými součástkami (přechodový odpor, odpor přívodů) nebo chyby způsobené rušivými vlivy (cizí magnetické pole, teplota).

14


3.

NEJISTOTY MĚŘENÍ A LEGISLATIVA

Povinnost vyjadřování nejistot měření vyžaduje mnoho evropských zákonů a norem. Organizace ISO v normě ISO 9000, článku 4.11 vyžaduje pro kontrolní, měřící a zkušební zařízení povinnost používat zařízení způsobem, který zabezpečuje, že nejistota měření je známá a je ve shodě s požadovanou měřící schopností. Dále normy ISO stanoví vztahy mezi dodavateli a odběrateli. Doporučují několik postupů pro přejímku výrobků, zde ovšem nastává problém, který ze všech postupů zvolit. Norma ISO 10012-1 v článku 4.6 stanoví, že při vykonávání měření, uvádění výsledků a jejich využívání musí vzít dodavatel do úvahy všechny závažné nejistoty v procesu měření, včetně těch, které jsou znakem měřícího zařízení a těch, ke kterým přispívají individuální postupy pracovníků a okolního prostředí. Tatáž norma v článku 4.3 doporučuje specifikovat charakteristiky měřícího procesu, které odpovídají jeho plánovanému použití. Tímto je myšleno například nejistoty při používání, stabilita nebo rozsah. Mezinárodní elektrotechnická komise ve směrnici 25, článku 13.2 vyžaduje vydání prohlášení o odhadnuté nejistotě kalibrace anebo výsledku zkoušky. Dále v článku 13.2 uvádí, že laboratoř musí při všech kalibracích a zkouškách používat vhodných metod a postupů. Evropská norma EN 45 001 v článku 5.4.3 stanoví, že zprávy o zkouškách musí obsahovat prohlášení o nejistotě měření a současně vyžaduje, aby byly výsledky kvantitativních zkoušek uvedeny společně s vypočtenou nebo odhadnutou nejistotou. V České republice definuje požadavky na vyjadřování vlastností elektrických a elektronických měřicích zařízení a dále uvádí přechod od vyjadřování pomocí chyb na vyjadřování pomocí nejistot měření norma ČSN EN 60359 „Elektrická a elektronická měřicí zařízení – Vyjadřování vlastností“. Tato norma nahrazuje předchozí normu ČSN IEC 359 (35 6564) „Vyjadřování vlastností elektrického a elektronického měřicího zařízení“. Nahrazením této normy je nutné uvádět přesnost pomocí nejistot. Dále tato norma uvádí princip vyjadřování přesností pomocí nejistot měření, pravidla pro tvorbu kalibračních diagramů, uvádí používané definice a předvádí způsob vyjadřování nejistot na praktických příkladech.

15


16

Související normy: • IEC 60050 (300):2001 „Mezinárodní elektrotechnický slovník – Elektrická a elektronická měření a měřicí přístroje“ • ČSN ISO 31 (01 1300) „Veličiny a jednotky“ • ČSN 01 0115

„Mezinárodní

slovník

základních

a

všeobecných

termínů

v metrologii“ • ČSN EN 61187 (35 6506) „Elektrická a elektronická měřicí zařízení – Průvodní dokumentace“ • ČSN IEC 51 (35 6203) „Elektrické měřicí přístroje přímo působící ukazovací analogové a jejich příslušenství“ Toto je není samozřejmě úplný výčet všech norem vyžadujících vyjadřování přesnosti pomocí nejistot měření, těchto je mnohem víc. Zde jsou pouze uvedeny některé z nich. Cílem této kapitoly bylo naznačit, že v dnešní době je již vyjadřování nejistot pevně zakotveno v mnoha normách.


4.

ZÁKLADNÍ POJMY A DEFINICE

Aritmetický průměr – součet hodnot vydělený jejich počtem Koeficient citlivosti související se vstupním odhadem – změna hodnot výstupního odhadu jako důsledek změny hodnot vstupního odhadu podělená změnou hodnot tohoto vstupního odhadu Koeficient pokrytí – číselný faktor, jímž se násobí standardní nejistota měření s cílem zjistit rozšířenou nejistotu měření Konfidenční pravděpodobnost – Obvykle velký podíl hodnot z rozdělení, které je možné přiřadit veličině jako výsledek měření Korelace – vztah mezi dvěma nebo více náhodnými veličinami v rámci rozdělení dvou nebo více náhodných veličin Koeficient korelace – Míra relativní vzájemné závislosti dvou náhodných veličin rovnající se podílu jejich kovariance a kladné odmocniny součinu jejich rozptylů Kovariance – míra vzájemné závislosti dvou náhodných proměnných, která se rovná očekávané hodnotě součinu odchylek dvou náhodných veličin od jejich očekávaných hodnot Metoda vyhodnocení typu A – metoda vyhodnocení nejistoty měření pomocí statické analýzy série měření Metoda vyhodnocení typu B – stanovení nejistoty metodou založené na jiném principu, než je statické vyhodnocení série pozorování Měřená veličina – konkrétní veličina, která je předmětem měření Náhodná veličina – veličina, která může nabývat jakékoliv hodnoty ze specifikované množiny hodnot a které je přiřazena hustota pravděpodobnosti Nejistota měření – parametr související s výsledkem měření, který charakterizuje rozsah hodnot, které je možné racionálně přiřadit k měřené veličině. Často je používán pouze zkrácený název nejistota. Nejlepší měřící schopnost – nejmenší nejistota měření, které může laboratoř v rámci své akreditace dosáhnout při provádění více či méně rutinních kalibrací téměř ideálních měřících etalonů s cílem definovat, realizovat, uchovat či reprodukovat jednu či více jednotek dané veličiny, nebo které může dosahovat při

17


více či méně rutinně prováděných kalibracích téměř ideálních měřících zařízení určených pro měření dané veličiny Pravá hodnota veličiny – hodnota, která je ve shodě s definicí dané blíže určené veličiny Průřezový odhad rozptylu – odhad výběrového rozptylu z dlouhé série měření té stejné měřené veličiny za nezměněných podmínek Vstupní odhad – hodnota odhadu vstupní veličiny používaná při vyhodnocení výsledku měření Vstupní veličiny – veličiny, na kterých vzhledem ke způsobu stanovení výsledku měření závisí měřená veličina Výstupní odhad – hodnota odhadu vstupní veličiny používaná při vyhodnocení výsledku měření Výstupní veličina – veličina, jenž při vyhodnocování měření reprezentuje měřenou veličinu Relativní standardní nejistota měření – standardní nejistota veličiny vydělená odhadem této veličiny Rozdělení pravděpodobnosti – funkce vyjadřující pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude určité hodnoty nebo hodnoty z určitého intervalu Rozptyl – očekávaná hodnota druhých mocnin odchylek náhodné veličiny od její očekávané hodnoty Rozšířená nejistota – veličina definující interval okolo výsledku měření, který může zahrnout velkou část rozdělení, které je možné přiřadit k měřené veličině Směrodatná odchylka – druhá odmocnina rozptylu náhodné veličiny Standardní nejistota měření – nejistota měření vyjádřená jako směrodatná odchylka Výběrová směrodatná odchylka – druhá odmocnina výběrového rozptylu Výběrový rozptyl – Veličina charakterizující rozptýlení výsledků série n pozorování stejné měřené veličiny získaná jako druhá odmocnina výběrové odchylky

18


5.

NEJISTOTY

Jako nejistota měření je obvykle definován určitý parametr, který bezprostředně souvisí s výsledkem a charakterizuje rozpětí hodnot, v nichž se nachází výsledná naměřená hodnota vůči hodnotě pravé. Skutečný výsledek se tedy pohybuje v určitém intervalu okolo naměřené hodnoty. Snahou při měření je tedy „toleranční pole“ výsledku co nejvíce zmenšit. Je ovšem nemožné zajistit nulovou odchylku. Samotná nejistota se skládá z několika složek a uvádí všechny nedokonalosti výsledku měření. 5.1

LEGISLATIVA

Koncept nejistot souvisí mimo jiné s normami ISO i ostatními mezinárodními normami. Tyto předpisy většinou definují pojem nejistoty měření, uvádějí ho do širších souvislostí a vysvětlují i důvody použití koncepce nejistot v praxi. Normy EN i ISO vyžadují uvádění nejistoty měření v kalibračních certifikátech. Nejistoty uvedené u výsledku slouží zároveň jako ukazatel kvality měření a je nadále uvedenou hodnotu možné porovnávat s výsledky jiných laboratoří nebo s hodnotami uvedenými ve specifikacích. Pokud laboratoř žádá o akreditaci, musí se při vypracování zpráv řídit normami EAL. Laboratoře musí řádně zdokumentovat metodiku v oblasti hodnocení nejistoty při akreditovaných činnostech. Musí být schopny doložit kontrolnímu orgánu správnost vyhodnocení nejistoty, proto musí vést záznamy o hodnocení složek nejistot, dokumentací jednotlivých výpočtů, přijatých předpokladů a je-li to možné doplnit materiály o výsledky mezilaboratorních porovnání. 5.2

ROZDĚLENÍ NEJISTOT

Nejistoty se skládají z několika jednotlivých nejistot, nebo-li složek nejistot. K nalezení velikosti složek nejistot jsou používány dvě metody: • statické zpracování naměřených údajů (nejistota typu A uA), • jiné než statické zpracování naměřených údajů (nejistota typu B uB). Nejistoty, které byly získány metodou typu A jsou někdy také nazývány nejistoty typu A a nejistoty získané metodou typu B bývají označovány jako nejistoty typu B. Kombinovaná nejistota uC se určí jako součet čtverců nejistot typu A i B.

19


5.3

20

VYHODNOCENÍ NEJISTOT METODOU TYPU A

Metoda je založena na statické analýze opakované série měření, čímž se podobá náhodným chybám. Měření je opakováno více než jedenkrát, odhad výsledné hodnoty je reprezentován hodnotou výběrového aritmetického průměru x (5.2). Příslušná nejistota k odhadu se určí jako směrodatná odchylka σ výběrového průměru. Nejistoty typu A se značí uA, její hodnota klesá s počtem měření 5.1. uA = σ x =

σx n

=

n 1 ∑ ( xi − x) 2 , kde n(n − 1) i =1

5.1

uA

je standardní nejistota typu A,

σx

je směrodatná odchylka,

n

je počet naměřených hodnot,

x

jsou naměřené hodnoty,

x

je aritmetický průměr naměřených hodnot.

Při použití tohoto vztahu je vhodné provést více měření za stejných podmínek (více než 10), pro menší počet měření je tato metoda méně spolehlivá, odhad výsledné hodnoty se určí podle vztahu 5.2. x=

1 n ∑ X i , kde n i =1

5.2

x

je aritmetický průměr naměřených hodnot,

n

je počet naměřených hodnot,

xi

jsou jednotlivé naměřené hodnoty.

Standardní

nejistota

tohoto

výsledku

odpovídá

směrodatné

odchylce

aritmetického průměru σx, značí se jako uA(x) a vypočítá se podle vztahu 5.1. Tento vztah je použitelný pouze pro dostatečný počet měření n, předpokladem je, že n>10. Pokud je měřící proces statisticky řízen a je-li znám tzv. průřezový rozptyl σpr charakterizující rozptýlení řízeného měřícího procesu, je možné určit standardní nejistotu typu A podle vztahu 5.3.


uA =

σ pr n

, kde

21

5.3

uA je standardní nejistota typu A, σpr průřezový rozptyl, n

je počet opakování měření.

Pokud měla série měření jiné vlastnosti, než je výše uvedeno je nutné použít jiných vzorců, než jsou zde uvedeny. Vzniklou situaci je poté vhodné řešit za pomoci statistika. 5.4

VYHODNOCENÍ NEJISTOT METODOU TYPU B

Metoda vyhodnocování nejistot typu B uB je založena, jak již bylo uvedeno, na jiných než statistických metodách analýzy série pozorování. Tato metoda je podobná systematickým chybám, ale lze ji použít i pro odhad vlivu náhodných chyb. Standardní nejistota typu B se určuje pomocí racionálního úsudku na základě všech dostupných informací, například pomocí údajů výrobce měřící techniky, zkušeností z předchozích sérií měření, údajů získané kalibrací a z certifikátů nebo nejistot referenčních údajů převzatých z příruček. Stanovení nejistot typu B je obtížnější než stanovení nejistot typu A a vychází hlavně ze zkušeností a praxe. Správným postupem je možné dojít ke stejně spolehlivé hodnotě nejistoty jako při použití nejistot typu A, zejména pokud bylo pro stanovení nejistot typu A použito relativně malého počtu statisticky nezávislých pozorování. Pokud je známá pouze jedna naměřená hodnota, použije se tato hodnota k odhadu a standardní nejistota musí být převzata ze stejného zdroje. Pokud toto není možné, musí být hodnota převzata z důvěryhodných údajů nebo odhadnuta na základě zkušeností. Je-li možné na základě teorie předpokládat pro naměřenou veličinu určité pravděpodobnostní rozdělení, je třeba použít jako odhad příslušnou očekávanou hodnotu a za příslušnou standardní nejistotu odmocninu rozptylu tohoto rozdělení. V případech kdy je možné odhadnout pouze horní a dolní limit je třeba použít pro popis variability veličiny X rovnoměrného rozdělení. Za nejčastější zdroje nejistot jsou označovány nedokonalosti:


• použitých měřících přístrojů a systémů, • použitých metod měření, • použitých přepočtových konstant při nepřímém měření, • použitých výpočtových vztahů (např. linearizace), • podmínek měření. Nejistoty typu B vyjadřují známé, identifikovatelné a kvantifikovatelné zdroje, nezávisí na počtu měření. Samotný výpočet nejistot typu B se liší při různých měřeních, vychází z kvalifikovaného úsudku založeného na všech dostupných informacích o měřené veličině i o všech jejích případných možných změnách. Pro určení nejistot typu B mohou posloužit jako zdroje informací například: • předcházející měření včetně jejich výsledků, • zkušenosti a všeobecné znalosti o chování měřeného objektu, měřících prostředcích, měřících metodách a podmínkách měření, • údaje z dostupné dokumentace (například kalibrační listy nebo certifikáty), • údaje o měřících prostředcích a jejich podmínkách použití získané od výrobců, • nejistoty referenčních údajů z různých pramenů. Vyjádření nejistot typu B neumožňuje vyjádřit jednotný všeobecný postup, zužitkování veškerých získaných informací závisí především na zkušenosti a znalostech experimentátora. Je možné pouze definovat rámcový postup určování nejistot typu B a to takto: 1. Vytipování možných zdrojů Z1, Z2, Z3,… ZP nejistot. 2. Určení standardní nejistoty vlivem každého zdroje (převzetím z certifikátů, technické dokumentace, kalibračních listů technických norem nebo odhady pomocí příslušných metod). 3. Posouzení korelace mezi jednotlivými zdroji. 4. Určení vztahu mezi naměřenou veličinou X a jednotlivými zdroji nejistot (Z1 .. ZP) 5. Výpočet nejistoty typu B pomocí zákona šíření nejistot. V některých případech není přímo známá standardní nejistota způsobená vlivem určitého zdroje, poté může nastat některá ze situací, které jsou popsány na další stránce.

22


23

Známé U a kr Rozšířená nejistota U a koeficient rozšíření kR může být uveden v certifikátech, dokumentaci výrobců nebo i jiných pramenech. Pokud jsou obě hodnoty známé, určí se standardní nejistota typu B daná zdrojem nejistot Zj podle vztahu 5.4. u B (Z j ) =

U , kde kR

5.4

uB(zj) je standardní nejistota B vlivem zdroje Zj, U

je rozšířená nejistota,

kR

je koeficient rozšíření.

Známé rozpětí normálního rozdělení Pokud známe délku intervalu 2U v němž se zřejmě nachází většina naměřených hodnot a předpokládáme-li, že k určení tohoto intervalu bylo použito normované normální rozdělení můžeme standardní nejistotu způsobenou vlivem daného zdroje určit ze vztahu 5.5. uB (z j ) =

U , kde kp

5.5

uB(zj) je standardní nejistota B vlivem zdroje zj, U

je rozšířená nejistota,

kp je koeficient rozšíření rovný kvantilu normovaného normálního rozdělení pro pravděpodobnost P: kp=1,96 pro P=95% kp=2,58 pro P=99% kp=3 atd.

pro P=99,73%


Známé hranice vlivu zdroje Pokud není možné odhadnout hranice intervalu, ve kterém se s téměř 100% jistotou nachází naměřená hodnota, je možné použít následující postup: • odhadnou se hodnoty odchylek ± Z j max od nominální hodnoty měřené veličiny, příslušného zdroje Zj, jejichž překročení je velice nepravděpodobné až nemožné, • posoudí se pravděpodobnostní rozdělení v daném intervalu a určí se vhodná aproximace, • vypočítá se standardní nejistota podle vztahu: u B ( Z j ) =

U , kde k je hodnota k

příslušná ke zvolené aproximaci pravděpodobnostního rozdělení: (k={2,3} pro normální rozdělení, rozdělení,

6 pro trojúhelníkové rozdělení,

3 pro rovnoměrné

2 pro trojúhelníkové a 1 pro Diracovo).

Použití možných rozdělení při aproximaci: Normální rozdělení Aproximace pomocí tohoto rozdělení se používá tehdy, mohou-li se vyskytovat malé odchylky od jmenovité hodnoty a s rostoucí velikostí odchylky pravděpodobnost jejich výskytu klesá. Prakticky tomuto rozdělení může odpovídat použití měřícího přístroje od renomovaného výrobce a je velice pravděpodobné, že přístroj bude zdrojem pouze malých chyb. Rovnoměrné rozdělení V běžné praxi je tato aproximace používána nejčastěji. Používá se v případech kdy je stejná pravděpodobnost výskytu kterékoliv odchylky v daném intervalu anebo nemáme dostatečné poznatky o rozdělení výskytu odchylek. Trojúhelníkové rozdělení Používá se pro modelování případů podobných normálnímu rozdělení. Bimodální rozdělení Používá se při měření pomocí měřícího přístroje, pro který výrobce udává třídu přesnosti. Přístroj nemá menší chybu než je uvedeno, protože by byl zařazen do přesnější třídy a ani nemůže mít větší chybu.

24


25

Použití číslicového měřícího přístroje Specifickou nejistotou při použití číslicového měřícího je rozlišitelnost poslední platné číslice. Měření číslicových přístrojů v kvantech způsobí „zaokrouhlení“ výsledku. I při nezměněném zobrazování není nikdy nejistota nulová. Pro odhad nejistoty se používá model rovnoměrného rozdělení pravděpodobnosti v intervalu vymezeném rozlišovací schopností měřícího přístroje δ(Zj). Tímto se ovšem předpokládá, že je přístroj jinak absolutně přesný. Reálné přístroje ale takto absolutně přesné nejsou. U většiny z nich se uvádí relativní chyba z měřené veličiny δC a chyba z rozsahu δR. Relativní chyba z měřené veličiny se zpravidla uvádí v procentech a chyba z rozsahu v „digitech“ nebo také v procentech. Chyba rozsahu zahrnuje také chybu rozlišení. Jeden digit odpovídá rozlišovací schopnosti přístroje. Pomocí těchto hodnot je možné stanovit absolutní chybu údaje |∆P| a z ní posléze určit standardní nejistotu typu B uB. Potom se nejistota typu B určí podle vztahu 5.6. u B (Z j ) =

∆P 3

= 0, 29∆( Z j ) , kde

5.6

uB(zj) je standardní nejistota B vlivem zdroje zj, |∆P|

je maximální odchylka přístroje, složená z chyby rozsahu a měřené

hodnoty. Použití analogového přístroje se stupnicí Při použití analogového měřícího přístroje se stupnicí závisí schopnost odečítání na hodnotě dílku stupnice δ(z). Standardní nejistota způsobená čtením se následně určí ze vztahu 5.6. U některých analogových měřících přístrojů je velikost intervalu, který slouží jako předpokládaný zdroj nejistot, určený ve vztahu k dílku stupnice normou nebo jiným doporučujícím předpisem. Při návrhu analogové stupnice se předpokládá, že střední dílek stupnice má délku asi 1 mm a při čtení pouhým okem se předpokládá přesnost u laiků ±0,5dílku a u zaškolené obsluhy ±0,3 až 0,25 dílku. Některé stupnice mohou mít jeden dílek dlouhý asi 0,5mm, tyto stupnice se označují jako jemné, zde je odhad ±0,5 dílku vázán na patřičnou trénovanost obsluhy.


5.5

26

KOMBINOVANÉ A ROZŠÍŘENÉ NEJISTOTY

V praxi není většinou dostačující použít pouze nejistoty typu A uA nebo B uB samostatně. Proto se využívá kombinovaných nejistot typu A i B. Výsledná kombinovaná nejistota se značí uC, spočítá se jako odmocnina součtu čtverců nejistot typu A a B. Tímto je získána hodnota obsahující oba typy nejistot. Výpočet se provede podle vztahu 5.7. u C = u 2A + u B2 , kde

5.7

uC je kombinovaná nejistota, uA je nejistota typu A, uB je nejistota typu B. Z výše uvedeného vzorce je patrné, že ne vždy je nutné sledovat oba typy nejistot. Je-li možné prokázat, že podíl některé složky je vůči druhé výrazně menší, je možné předpokládat, že se tato díky součtovému vztahu výrazně neprojeví. Tohoto lze například využít liší-li se obě složky o řád. Některé národní předpisy Evropských států dokonce připouští vyloučení některé ze složek již při čtyřnásobném rozdílu. Rozšířená nejistota U se používá tam, kde nestačí standardní kombinované nejistoty uC, které udávají skutečnou hodnotu naměřené veličiny s pravděpodobností cca 60%. Stanovuje interval okolo naměřeného výsledku měření, v němž se s určitou pravděpodobností nalézá skutečný výsledek. Rozšířená nejistota měření U je kombinovaná nejistota uc rozšířená koeficientem rozšíření kR, který závisí na požadované úrovni konfidence a na efektivním počtu stupňů volnosti výstupní měřené veličiny. Rozšíření se určí podle vztahu 5.8. U = k R ⋅ u C , kde

5.8

U je rozšířená nejistota, kR je koeficient rozšíření, uC je kombinovaná nejistota. Velikost kR se určí podle pravděpodobnostního rozdělení výsledku. Ve většině případů, kdy je možné usuzovat na Gausovo (normální) rozdělení měřené veličiny a standardní nejistota odhadu x je stanovena s dostatečnou spolehlivostí je třeba použít


standardní koeficient rozšíření kR=2. Potom stanovená rozšířená nejistota U odpovídá pravděpodobnosti pokrytí asi 95%. V některých případech nelze experimentálně potvrdit předpoklad normálního rozdělení. Ovšem pokud je několik (N≥3) složek nejistoty odvozených z nezávislých veličin, která mají normální nebo rovnoměrné rozdělení srovnatelně přispívají ke standardní nejistotě odhadu x výstupní veličiny, jsou splněny podmínky Centrální limitní věty. Potom je možné předpokládat, že rozdělení hodnot x je normální. Spolehlivost standardní nejistoty měření, která je přiřazena k odhadu hodnoty výstupní veličiny, je určena jejími efektivními stupni volnosti. Kritérium spolehlivosti ovšem platí pouze, pokud žádný z příspěvků nejistoty nebyl stanoven z méně než deseti opakovaných pozorování. Pokud nejsou splněny podmínky normality rozdělení nebo dostatečné spolehlivosti, může se stát, že při použití koeficientu rozšíření kR=2 bude odpovídající pokrytí pravděpodobnosti menší než 95%. Potom je nutné použít jiné postupy a zajistit aby rozšířená nejistota U odpovídala stejné pravděpodobnosti pokrytí jako ve standardním případě. Použití přibližně stejné pravděpodobnosti je nezbytně nutné zejména v těch případech, kdy je zapotřebí porovnat mezilaboratorní výsledky, rozhodnout o shodě se zadanou hodnotou nebo zjištění zda je naměřená hodnota v souladu s určitými specifiky. V případech kdy není možné předpokládat normální rozdělení je nutné stanovit velikost koeficientu kR tak, aby jeho hodnota odpovídala pravděpodobnosti pokrytí asi 95%. V případě normálního rozdělení je pro směrodatnou odchylku σ mírou spolehlivosti počet stupňů volnosti závisejícího na počtu pozorování, ze kterého je stanovena velikost směrodatné odchylky σ.

27


5.6

28

ZDROJE NEJISTOT

Zdroji nejistot jsou veškeré jevy, které mohou nějakým způsobem ovlivnit neurčitost jednoznačného stanovení výsledku měření a tím zvětšují rozdíl mezi naměřenou a skutečnou hodnotou. Velmi také záleží na tom, zda jde o měřící metody přímé nebo nepřímé. Dále nejistoty měření ovlivňuje výběr měřících přístrojů analogových nebo číslicových, použití různých filtrů nebo vzorkovačů. Na měření působí mnoho rušivých vlivů, níže jsou uvedeny některé z nich: 5.6.1 Teplota Mezi veličiny ovlivňující naměřenou hodnotu patří teplota a její kolísaní. Veškerá měření provedená v rámci této bakalářské práce probíhaly ve školní laboratoři za konstantní teploty 23oC. Tato teplota splňuje požadavky na prostředí uváděných všemi výrobci použitých měřících přístrojů. Změnou teploty dochází ke změnám odporu cívek, předřadníků, bočníků a dalších použitých součástek, včetně měřeného prvku. Závislost odporu R rezistoru na teplotě T je možné popsat pomocí následujícího vzorce 5.9. R = R0 [1 + α (T − TO )] , kde

5.9

R0 je odpor při teplotě T0 [Ω],[K], R je opor při teplotě T [Ω],[K], α je teplotní součinitel odporu [K-1]. Dále je do této kategorie možné zařadit působení termoelektrického napětí na spojích různých vodičů o různé teplotě. Tento jev ovšem není nutné uvažovat vzhledem k použití měřícího napětí o střídavém průběhu. 5.6.2 Mechanické vlivy Nejkritičtějším vlivem bývá tření otočného ústrojí. Vzhledem k použitým přístrojům, které jsou kromě přístroje od firmy TESLA digitální, není vůbec nutné tření uvažovat. I u přístroje TESLA je toto již zahrnuto v chybě měření uváděné výrobcem. Dalším možným mechanickým vlivem jsou otřesy. Tyto také není nutné uvažovat, protože veškerá měření probíhala v klidném prostředí ve školní laboratoři, kde otřesy na přístroje působily minimálně.


5.6.3 Frekvenční závislost I při použití rezistoru tento obsahuje také parazitní kapacitu a indukci, jejichž velikost je závislá na frekvenci. Při měření kapacit se při změně frekvence změní i velikost naměřené impedance. Při měření kapacity pomocí měřícího přístroje TESLA BM507 je tedy nutné uvažovat možnou odchylku od požadované frekvence jako další složku nejistoty. U ostatních měření je tato uvažována již v chybě udávané výrobcem měřícího přístroje. Některé z výše uvedených zdrojů se projevují zejména u nejistot typu B, některé u nejistot typu A. Mnohé z nich ovšem mohou být příčinou obou typů nejistot. Je důležité neopomenout žádnou ze složek, opomenutí by mohlo mít výrazný zkreslující účinek. Vliv na nejistoty má výběr měřících přístrojů analogových nebo číslicových, použití různých filtrů, vzorkovačů a dalších prostředků v celé trase přenosu a úpravy měřícího signálu. Nezanedbatelné jsou také zdroje spojené s obsluhou a vyhodnocením. Tyto zdroje jsou celkem snadno ovlivnitelné především soustředěním a pozorností při měření. Také je důležité správné a důsledné dodržení správných algoritmů zpracování naměřených hodnot. Vliv osobních chyb a zjednodušení se může velmi výrazně projevit také ve skupině zdrojů souvisejících s nesprávnou volbou metody anebo jejím zjednodušením. Totéž platí i o modelu měřící úlohy. Zde všude je možné předpokládat, že zdroje nejistot ve značné míře souvisí s osobními chybami. Při využití moderních metod využívajících současné elektronické a počítačové systémy, vzroste velmi výrazně podíl negativních vlivů nejrůznějších elektrických napětí v obvodech a vlivů nejrůznějších polí, v nichž se nacházejí měřící zařízení nebo skrze která je transportován měřící signál.

29


5.7

ZAOKROUHLOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

V mnoha případech je nutné správně zaokrouhlit výsledek. Výpočet pomocí kalkulačky nebo PC dodává výsledek s mnoha desetinnými místy, které jsou ovšem nepoužitelné. Reálně je možné výsledek měření zpřesnit o jeden až dva řády opakovaným měřením. Při zaokrouhlování se vybírá nejbližší celistvý násobek danému číslu. Celistvý násobek se volí podle přesnosti zaokrouhlování. Pro případ kdy při zaokrouhlování čísla jsou oba celistvé násobky stejně vzdáleny připadají v úvahu 2 možné varianty. Zvolí se buď sudý celistvý násobek, nebo větší celistvý násobek. Druhá varianta je rozšířenější při použití výpočetní techniky. Je nutné zejména při opakovaném zaokrouhlování věnovat pozornost výsledku, který může být značně zkreslen. Výše uvedené poznatky platí pro zaokrouhlování samotného výsledku. Nejistoty měření je vždy nutné zaokrouhlit na nejbližší větší celistvý násobek. Není možné tímto způsobem zkracovat interval hodnot uváděný nejistotou měření. 5.8

UVÁDĚNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

Doporučuje se použít uvádění výsledků s použitím kombinované nejistoty uC nebo rozšířené nejistoty U. Lze také použít tzv. bilanční tabulku. Standardní nejistota kombinovaná uC Při prezentaci výsledku se standardní nejistotou kombinovanou uC je třeba řídit se těmito pravidly: • uvést podrobnou definici měřené veličiny X, • uvést odhad x měřené veličiny X spolu s kombinovanou standardní nejistotou uc(x) a jejich jednotku, • je-li to vhodné uvést relativní standardní kombinovanou nejistotu uc(x)/x, |x|≠0, • v případě potřeby uvést bilanční tabulku.

30


Příklad zápisu pro napětí o velikosti U=24,005V a kombinované nejistotě uc=85 mV: • U=24,005 V s uc=85 V, • U=24,005 (85) V, • U=24,005 (0,085) V, • U=(24,005 ± 0,085) V – tento zápis se používá především pro rozšířenou nejistotu. Ve všech výše uvedených zápisech znamená symbol U napětí, nikoliv rozšířenou nejistotu. Rozšířená nejistota U Při zápisu výsledku s rozšířenou nejistotou U je třeba dodržet tyto zásady: • uvést podrobnou definici měřené veličiny X, • uvést výsledek měření v podobě X=x±U včetně jejich jednotek, • pokud je to vhodné uvést relativní rozšířenou nejistotu U|x|, |x|≠0, • uvést hodnotu koeficientu rozšíření kR použitého k výpočtu U, • uvést konfidenční hladinu spjatou s intervalem x ± U a uvést, jak byla určena, • v případě potřeby uvést bilanční tabulku. Schéma požadovaného uspořádání veličin, odhadů, standardních nejistot, koeficientů citlivosti a příspěvků k nejistotě v rámci analýzy nejistot měření

31


Veličina

Odhad

32

Standardní

Citlivostní

Příspěvek k

nejistota

koeficient

standardní nejistotě

Xi

xi

u(xi)

ci

ui(y)

X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Xa

xa

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u(y)

Tabulka 1:Možný příklad použití bilanční tabulky nejistot Veličina

Odhad

Standardní nejistota

Rozdělení

Citlivostní

pravděpodob- koeficient nosti

Příspěvek k standardní nejistotě

Xi

xi

u(xi)

ci

ui(y)

X1

x1

u(x1)

normální

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

rovnoměrné

c2

u2(y)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Xa

xa

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

rovnoměrné

Tabulka 2: Další příklad použití bilanční tabulky nejistot

u(y)


33

Tyto tabulky (Tabulka 1 a Tabulka 2) je možné použít pro nekorelované vstupní veličiny. Standardní nejistota výsledku měření u(y) uvedená v pravém dolním rohu tabulky, představuje odmocninu sumy čtverců všech složek nejistot uvedených v pravém krajním sloupci. 5.9

ZÁKON ŠÍŘENÍ NEJISTOT

Při určování postupu výpočtu nejistot měření je nutné stanovit nejistotu odhadu hledané veličiny, která je funkcí jiných veličin, jejichž odhady i nejistoty jsou známy. V případě zájmu upřeném na jednu výstupní veličinu Y, která je funkcí m vstupních veličin X (X1 až Xm), jejichž odhady a nejistoty jsou známy, lze zapsat vztah 5.10. y = f ( x1 , x 2 , x3 ...x m ) , kde

5.10

x1,x2,.........xm jsou odhady vstupních veličin X1, X2, ........ Xm. Nejistota odhadu y veličiny Y pro nekorelované x1,x2,.........xm se určí podle vztahu 5.11: m

u 2C ( y ) = ∑ Ai2 u i2 ( x i ) , přičemž

5.11

i =1

pro koeficienty citlivosti Ai platí vztah 5.12. Ai =

∂f ( X 1 ,...X m ) ∂X i

.

5.12

X 1 = x1 ,.... X m = x m

Jsou-li odhady x1,x2,...xm korelované je nutné uvažovat také kovariance mezi jednotlivými odhady tvořících další složky výsledné nejistoty. Potom se pro korelované vstupní veličiny určí výstupní veličina ze vztahu 5.13. m

m m −1

u C ( y ) = ∑ Ai2 u 2 ( xi ) + 2∑∑ Ai A j u ( xi , x j ) 2

i =1

5.13

i =2 j
přičemž u(xi, xj) je kovariance mezi korelovanými odhady xi a xj Někdy se musí určit nejistoty odhadu y určit zvlášť metodou A a zvlášť metodou B. Celková standardní nejistota měření se poté určí ze vztahu 5.7


34

5.9.1 Kovariance při určování výsledných nejistot Kovariance mezi jednotlivými odhady vlivů zdrojů nejistot určují, jak jsou tyto zdroje vzájemně ovlivněny společnými zdroji nejistot. Navzájem závislé zdroje přispívají k výsledné nejistotě podle toho, jak se příslušné nejistoty slučují. Společné zdroje se berou v úvahu proto, aby bylo možné zohlednit jejich vliv ve výsledné nejistotě. Kovariance mohou výslednou nejistotu zvětšit, ale i zmenšit. Závisí to především na jejich charakteru (zda-li zdroje působí souhlasně nebo protichůdně) a také na tvaru funkce, kterou jsou vázány na výstupní veličinu. Kovariance mezi jednotlivými vstupními veličinami se určí podobně jako nejistoty metodou typu A nebo B. Stanovení kovariance mezi odhady xi a xj metodou typu A Tato metoda se pro stanovení kovariancí mezi dvěma odhady používá v těch případech, kdy je k dispozici n naměřených hodnot obou veličin. Kovariance určená metodou typu A, pro případ kdy xi a xj byly vypočteny aritmetickými průměry, se vypočítá podle vzorce 5.14 u A ( xi , x j ) =

n 1 ( xik − x i ) ⋅ ( x jk − x j ) , kde ∑ n ⋅ (n − 1) k =1

5.14

xi a xj jsou odhady dvou zdrojů nejistot určené pomocí aritmetického průměru Stanovení kovariance mezi odhady xi a xj metodou typu B Jedná se o kovarianci, která byla určena jiným způsobem než statickou analýzou. Může být určena například čtením z certifikátů přístrojů, literatury anebo výpočtem podle dále uvedeného postupu. Postup výpočtu kovariance metodou typu B: 1. Vytipování zdrojů závislosti (zdroje korelací). 2. Odhadnutí korelačních koeficientů r, tyto vyjadřují míru závislosti mezi odhady. Mohou nabývat hodnot od-1 do 1. Hodnoty blízké nule odpovídají slabým závislostem, zatímco hodnoty ±1 odpovídají silnějším závislostem. Příslušná hodnota kovariance se určí ze vztahu 5.15. u B ( x i , x j ) = r ( x i , x j )u B ( x i )u B ( x j )

5.15

3. Jsou-li dvě vstupní veličiny X1 a X2 funkcemi nezávislých veličiny Z1, Z2,… Zm, které lze vyjádřit pomocí vztahu 5.16 a 5.17.


35

X 1 = g1 ( Z 1 , Z 2 ,...Z m ) ,

5.16

X 2 = g 2 ( Z1 , Z 2 ,...Z m ) .

5.17

Určí se kovariance mezi odhady x1, x2 ze vztahu 5.18. m

u B ( x1 , x 2 ) = ∑ A1i A2i u B2 ( z i )

5.18

i =1

koeficienty jsou koeficienty citlivosti pro funkce g1 a g2 určené podle vztahu 5.12 Výpočtem pomocí této metody je možné obejít vhodným sestavením modelu měření odhadování hodnoty korelačního koeficientu. 4. Pokud jsou dvě vstupní veličiny X1 a X2 a jejich odhady x1 a x2 funkcemi závislých veličin Z1, Z2,… Zm, které lze vyjádřit pomocí vztahů 5.16 a 5.17 určí se kovariance mezi odhady x1 a x2 ze vztahu 5.19. m

m

m

m

u B ( x1 , x 2 ) = ∑∑ A1i A2 j u B ( z i , z j ) = ∑ A1i A2i u B2 ( z i ) + ∑ i =1 j =1

i =1

m

∑A

i =1 j =1, j ≠ i

1i

A2 j u B ( z i , z j ) 5.19

přičemž uB(zi,zj) je známá kovariance mezi závislými veličinami zi a zj 5. Není-li možné určit korelační koeficient ani se vyhnout korelacím sestavením modelu, je vhodné určit maximální vliv korelace na výslednou nejistotu prostřednictvím horní hranice odhadu standardní nejistoty. Není-li tedy možné přesně ohodnotit kovarianci a tím výsledné nejistoty, lze uvést horní hranici nejistoty. 5.9.2 Příklady zdrojů korelací v návaznosti na zdroje nejistot Opakované měření jedním měřidlem Při opakovaném přímém měření za stejných podmínek stejným měřidlem se provede odhad měřené hodnoty y jako aritmetický průměr naměřených hodnot X, potom nejistota měření stanovená metodou typu A bude směrodatná odchylka aritmetického průměru σ. Chyby způsobené vlivem měřidla se zahrnou do nejistoty určené metodou typu B. Kovariance mezi jednotlivými měřeními je tvořena společnou chybou užitého měřidla při jednotlivých měřeních a má velikost čtverce


nejistoty měřidla. V těchto případech je většinou možné kovarianci určenou metodou typu A zanedbat. Opakované měření různými měřidly Pokud probíhalo měření pomocí dvou různých měřidel jako například od různých výrobců nebo vyráběných jinou technologií je jasné, že mezi chybami měřidel nejsou žádné souvislosti, potom se kovariance mezi měřeními zapříčiněné chybou použitých měřidel nebudou vyskytovat. Není-li jisté, že chyby mezi použitými měřidly jsou nezávislé, je nutné tuto závislost při dalších výpočtech uvažovat pomocí kovariancí. Pokud nelze určit závislost chyb použitých měřidel uvažuje se kovarianční koeficient roven 1. Při použití měřidel od jednoho výrobce se stejnou třídou přesnosti, se postupuje stejně jako při měření jedním měřidlem. Měření kalibrovanou sadou měřidel tato metoda je použitelná například při měření pomocí sady měřidel, jako je například sada závaží pro laboratorní váhy. Každé z nich je schopné reprodukovat jednu hodnotu měřené veličiny, přičemž známe všechny odhady hodnot xi. Podle způsobu kalibrace měřidel mohou být jednotlivé odhady mezi sebou nezávislé ale i závislé. Z kalibrace jsou známy hodnoty nejistot u(x1)=c1, u(x2)=c2, ... u(xp)=cp, c1, c2, ... cp. Rovněž jsou známy kovariance u(xi, xj)=cij. Měření pomocí měřícího přístroje s konstantní nejistotou Pokud jsou známé naměřené hodnoty x a jejich nejistoty u(x)=c pro všechny hodnoty x z celého rozsahu měřícího přístroje s konstantní nejistotou v celém měřícím rozsahu, musí být známy zároveň kovariance u(xi, xj) pro všechny dvojice xi, xj z měřícího rozsahu přístroje. V praxi se ovšem nejčastěji používají krajní hodnoty intervalu kovariancí, kovariance mezi dvěma hodnotami xi a xj se uvažuje nulová pokud se odečítá od výsledné nejistoty a kovariance c2 pokud se přičítá. Tímto jsou vystiženy nejméně příznivé případy.

36


37

KALIBRACE A OVĚŘOVÁNÍ Jedná se o jednu z nejdůležitějších úloh metrologie, která zajišťuje jednotnost měření (fungování návaznosti měřidel). Většina měřidel používaných ve výrobě musí mít ověřené metrologické charakteristiky. Kalibrace se provádí metodou přímého nebo nepřímého porovnání. Jedná se o soubor úkonů, jejichž výsledkem je známá závislost mezi hodnotou indikovanou kalibrovaným měřícím přístrojem a hodnotou indikovanou referenčním měřidlem nebo hodnotou pracovního etalonu. Na základě úřední zkoušky, která bývá označována jako ověřování, je vydán patřičný certifikát nebo je měřící přístroj označen značkou dokládající, že splňuje příslušné požadavky. Z pohledu nejistot jde při kalibraci o zcela specifické úlohy. Navazování měřidla na etalon obnáší určité typické kombinace zdrojů nejistot a jejich vzájemné korelace, které se následně objevují v kovariancích. Stanovení nejistot při kalibracích je proto složitější než v běžných případech. Při kalibracích je možné se nejčastěji setkat s těmito typy úloh: • kalibrace měřidla s jednou nominální hodnotou, • kalibrace několika měřidel se stejnou nominální hodnotou, • kalibrace sady zhmotnělých měr, • kalibrace měřidla se spojitou stupnicí. Při posuzování nejistot u kalibrace je nutné uvažovat především složky, které mají rozhodující vliv na výslednou nejistotu. Mezi ně patří: • nejistoty hodnoty poskytnuté etalonem, • nejistota způsobená nedostatky při přenosu z etalonu na měřidlo, • nejistota

kalibrovaného

reprodukovatelností měření .

měřidla

způsobující

problémy

se

stálostí

a


Během kalibrace je nutné neopomenout žádné korelace, které by mohly ovlivnit výsledek. Při kalibraci se projevují tyto dominantní projevy kovariancí: • kovariance mezi hodnotami poskytovanými etalonem, • kovariance způsobené přenosem hodnot z etalonu na kalibrované měřidlo, • kovariance mezi hodnotami kalibrovaného měřidla, • kovariance mezi hodnotami etalonu a kalibrovaného měřidla. Nejistota a kovariance samotného etalonu se skládá ze dvou složek: • složek uvedených v kalibračním listu a udávajících hodnoty nejistot a kovariancí veličiny měřené nebo reprodukované etalonem v podmínkách jeho kalibrace, • složek představujících vliv odchylky od podmínek při kalibraci oproti podmínkám referenčním. Ačkoliv by měly být v kalibračních listech uvedeny nejistoty i údaje o kovariancích, přesto mnohdy tyto údaje chybí i když tvoří také významnou složku celkové nejistoty. V kalibračních listech je nutné celkový výsledek měření uvádět ve tvaru x±U, kde x je odhad měřené veličiny a U je jemu náležící rozšířená nejistota.

38


6.

REALIZACE ZKUŠEBNÍCH MĚŘENÍ

Při všech měřeních v rámci této bakalářské práce byl použit jako referenční přístroj Agilent Technologies 4263B s výrobním číslem MY 40104930. Přístroj byl kalibrován 6.3.2007, kalibrace je vedena pod číslem 4-04263-99001-3. Tento stolní digitální LCR měřič měří většinu hodnot připojených pasivních součástek při 5 testovacích kmitočtech a proměnném testovacím napětí. Základní udávaná přesnost přístroje je 0,1%, jedná se tedy o poměrně přesný měřící přístroj. Přístroj je vybaven mnoha speciálními funkcemi, vnitřní pamětí nebo korekčními funkcemi. Naměřené hodnoty jsou zobrazeny na alfanumerickém displeji. Pro testovací napětí lze nastavit měřící amplitudu od 20mV až do 1V, nastavitelné po kroku 5 mV. Frekvenci testovacího napětí lze nastavit od 100 Hz do 100 kHz. Měřící rozsah je možné nastavit manuálně nebo automaticky. Měřeny byly kapacity a odpory. Kapacity lze měřit od v rozsahu 1 pF až 1F, lze zvolit mezi sériovým nebo paralelním schématem. Odpory lze měřit v rozsahu 1 mΩ až 100 MΩ. Rychlost měření lze nastavit manuálně a to 25 ms, 65 ms nebo 500 ms. Přístroj je vybaven rozhraním GPIB. Připojování testovacích vzorků se provádí Jelcinova připojení se dvěma nebo čtyřmi krokosvorkami.

Obrázek 1: LCR měřič Agilent 4263B

39


6.1

40

MĚŘENÍ KAPACIT

6.1.1 Postup při vyhodnocení standardních nejistot LCR měřič Agilent 4263B Nejistota typu A se vypočte klasickým způsobem z 10 naměřených hodnot X pomocí odhadu směrodatné odchylky σ výběrového průměru x . Nejistota typu B se vyjádří ze vzorce pro relativní chybu údaje δP RCL metru Agilent 4263B [7]. Pro naměřenou impedanci Zx větší než 100Ω platí vztah 7.1. δ P = A + B ⋅C ⋅

Zx D [%] + E Zx

7.1

Zx Zs D [%], kde + + Zx Zx E

7.2

Zx Zs

+

Pro ostatní platí: δ P = A + B ⋅C ⋅ Zx

je velikost naměřené impedance,

Zs

je spodní hranice naměřeného rozsahu impedancí,

A,B,C,D,E

jsou koeficienty určené z návodu k měřícímu přístroji.

Jelikož je pomocí přístroje naměřena přímo hodnotu udávané kapacity, je nutné tuto hodnotu následně převést na impedanci. K tomuto účelu slouží následující převodní tabulka viz.Tabulka 3:


Tabulka 3: Převodní tabulka LCR měřiče Agilent 4263B Z tohoto diagramu je odečtena přímo příslušná hodnota impedance Zx. Z tabulky (viz. Tabulka 4) se odečtou velikosti parametru ZS (spodní hranice použitého rozsahu) a koeficientů A a B. S koeficientem C se nepočítá, protože v měření se nepracuje se stejnosměrnou složkou měřícího signálu.

41


Tabulka 4: Stanovení velikosti koeficientů A a B, RLC metru Agilent 4263B Koeficient D se určí z následující tabulky (viz. Tabulka 5) pro použitou délku přípojného kabelu a měřící frekvenci:

Tabulka 5: Tabulka pro stanovení velikosti koeficientu D RLC metru Agilent 4263B Poslední koeficient E se určí z poslední tabulky (viz. Tabulka 6) na základě použité frekvence měřícího signálu:

42


Tabulka 6: Tabulka pro stanovení velikosti koeficientu E RLC metru Agilent 4263B Tímto jsou zjištěny všechny potřebné koeficienty a je možné dosadit do příslušného vzorce pro výpočet relativní chyby údaje δP RCL metru Agilent 4263B, v těchto případech, kdy je naměřená impedance větší než 100Ω do vzorce 7.1 pro naměřené impedance větší než 100Ω. Vypočtená hodnota relativní chyby údaje RCL metru Agilent 4263B je procentní chyba naměřené veličiny, v tomto případě přímo kapacity. Z této hodnoty se tedy vyjádří absolutní chyba údaje |∆P|, z této hodnoty se určí velikost intervalu ±CN ve kterém se skutečná hodnota kapacity pohybuje. Z této hodnoty už lze jednoduše vyjádřit nejistotu typu B uB podělením podle vzorce 5.5 absolutní chyby údaje |∆P| přístroje koeficientem rozšíření k. Zde se jedná o rovnoměrné rozdělení, koeficient rozšíření k je tedy

3.

Dále už lze postupovat standardním způsobem. Je-li zapotřebí započítat nejistotu typu A uA, započte se tato do kombinované nejistoty uC podle vzorce 5.7. Následně se z kombinované nejistoty určí rozšířená nejistota U podle 5.8, a to rozšířením kombinované nejistoty koeficientem rozšíření kR. Multimetr Agilent 34410A Nejprve je potřeba nastudovat z dokumentace k přístroji [8] velikost absolutní chyby údaje |∆P| tohoto měřícího přístroje. Výrobce udává ± 0,4% čtené hodnoty, ± 0,1% z rozsahu. Pouze při rozsahu 1nF je udáváno ± 0,5% čtené hodnoty, ± 0,5% z rozsahu. Dále nezbývá, než zjistit při jakém rozsahu měření probíhalo, eventuelně před měřením nastavit rozsah manuálně.

43


44

Pro vyčíslení absolutní chyby údaje, se sečtou chyby z měřené veličiny a rozsahu. Po vydělení této hodnoty koeficientem k platným pro pravoúhlé rovnoměrné rozdělení, tedy

3 , je získána podle vzorce 5.5 nejistota typu B uB.

Dále je možné standardním způsobem podle vzorce 5.7 vyjádřit kombinovanou nejistotu uC a následně podle 5.8 rozšířenou nejistotu U. LCR měřič MIC 4070D Nejprve je třeba vyčíst z dokumentace k přístroji [9] jeho absolutní chybu údaje |∆P|. Výrobce ji udává chybu z měřené hodnoty procentuálně a chybu z rozsahu počtem posledních číslic. Je tedy třeba vyjádřit chybu ze čtené hodnoty δC. Dále se vypočte, jak velkému intervalu odpovídá změna poslední číslice. Tímto je zahrnuta chyba z rozsahu δR. Obě hodnoty je opět nutné vyjádřit a sečíst, tím je vyjádřena maximální dovolená chyba přístroje |∆P|. Úpravu lze vyjádřit dle vztahu 7.3. ∆P = ∆R + ∆C =

δR ⋅ X R + δC ⋅ XC 100

.

7.3

Z hodnoty |∆P| je dále možné vyjádřit nejistotu typu B, podělením této hodnoty daným koeficientem k odpovídajícímu pravoúhlému rovnoměrnému rozložení, tedy

3 (viz. vztah 5.5). Dále je možné vyjádřit podle vztahu 5.7

kombinovanou nejistotu uC a z ní následně rozšířenou nejistotu U, podle vztahu 5.8. Měřič impedance Tesla BM507 Pro určení nejistoty typu B je nutné použít zákona šíření nejistot, vzhledem k tomu, že se jedná o nepřímé měření kapacity C jako hlavního parametru. Výrobce tohoto měřícího přístroje udává v dokumentaci [11] absolutní chybu údaje samostatně pro naměřený modul impedance Z, fázi φ měřené impedance a pro frekvenci f měřícího signálu. Pro naměřený modul impedance Z platí maximální dovolená chyba ± 5% z odečtené hodnoty ±0,3Ω. U fáze φ je maximální dovolená chyba ±6o. Pro frekvenci v rozsahu 50Hz až 500 kHz platí maximální dovolená chyba ±3%.


45

Nejprve je nutné určit matematický model úlohy měření kapacit. Lze ho vyjádřit pomocí vzorce 7.4. C=

1 1 = ϖX C 2πf Z sin ϕ

7.4

Aplikací parciálních derivací podle jednotlivých složek na matematický model jsou získány koeficienty citlivosti Ai. Pro koeficient citlivosti modulu impedance AZ platí vzorec 7.5, pro fázi φ vzorec 7.6 a pro frekvenci měřícího signálu vzorec 7.7. AZ =

−1

7.5

ϖ ⋅ Z ⋅ sin ϕ 2

Aϕ =

− cos ϕ ϖ ⋅ Z ⋅ sin 2 ϕ

7.6

Af =

−1 2π ⋅ f ⋅ Z ⋅ sin ϕ

7.7

2

Absolutní chyba údaje |∆P| přístroje Tesla BM507 pro výpočet kapacity C se vypočte podle vzorce 7.8. ( ∆ P ) 2 = A 2Z ⋅ U 2Z + Aϕ2 ⋅ U ϕ2 + A 2f ⋅ U 2f

7.8

6.1.2 Zpracování naměřených hodnot LCR měřič Agilent 4263B Při měření kapacity C1 byl použit paralelní model měření kapacit CP, RP . Bylo použito měřícího signálu o frekvenci 1kHz a napětí o velikosti 0,5V. Pro kapacitor s uváděnou kapacitou C1=100nF byly naměřeny následující hodnoty, viz Tabulka 7. Číslo měření

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

C [nF] 84,571 84,572 84,573 84,572 84,569 84,567 84,563 84,559 84,555 84,546 Tabulka 7: Měření kapacity C1 LCR měřičem Agilent 4263B


46

Odhad kapacity C1 je výběrový průměr všech deseti naměřených hodnot: 10

C1 ==

∑C i =1

i

10

=

845,65 = 84,565nF 10

Standardní nejistota typu A se určí jako odhad směrodatné odchylky σ výběrového průměru podle vzorce 5.1. 10 1 1 (C i − C1 ) = ⋅ 0,000718 = 0,003nF ∑ n(n − 1) i =1 10 ⋅ 9

uA =

Pro stanovení nejistoty typu B je nejprve třeba vypočítat absolutní chybu údaje měřícího přístroje Agilent 4263B: Naměřená hodnota tedy činí 84,565nF. Z této hodnoty je třeba odečíst podle tabulky odpovídající impedanci ZX. Hodnotě 84,565nF odpovídá impedance ZX 2,5kΩ. Nyní je třeba zjistit hodnoty dalších koeficientů ZS, A, B, D a E. Z příslušných tabulek (Tabulka 3, Tabulka 5 a Tabulka 6) byly odečteny tyto velikosti použitých koeficientů: ZS=1kΩ, A=0,09 B=0,01 D=0,0165Ω E=2,8·107Ω Dosazením do vzorce pro výpočet relativní chyby údaje δP u impedancí Z větších než 100Ω vyjde podle vzorce 7.1: δP = A + B ⋅C ⋅

Zx Zs

+

Zx D 2500 0,0165 2500 + = 0,09 + 0,01 ⋅ + + = 0,115% Zx E 1000 2500 2,8 ⋅ 10 7

Dále se vyjádří absolutní chyba údaje |∆P| tohoto přístroje: ∆P =

0,115 ⋅ 84,565 = 0,097 nF 100


47

Z této hodnoty je již možné vyjádřit nejistotu typu B, lze předpokládat rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti: uB =

∆P k

0,097

=

3

= 0,056nF

Sloučením obou složek je získána kombinovaná nejistota uC přístroje Agilent 4263B: u C = u A2 + u B2 = 0,003 2 + 0,056 2 = 0,056nF , Tento výpočet byl samozřejmě zbytečný, při pohledu na hodnoty obou složek nejistot je patrné, že se složka nejistoty typu A v tomto součtovém vztahu neprojeví. Je tedy ověřeno, že je-li jedna ze složek alespoň o řád menší než druhá, je tuto možné zanedbat. Z kombinované nejistoty uC je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,056 = 0,112nF Je tedy možné uvést výsledek měření kapacity C1 přístrojem Agilent 4263B: C1 = ( 84,565 ± 0,112) nF Skutečná hodnota kapacity C1 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (84,453 ; 84,677) nF. Obdobně lze postupovat i pro kapacitor C2=8,9nF. Bylo naměřeno těchto 10 hodnot přístrojem Agilent 4263B. Viz. Tabulka 8 Číslo měření

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

C [nF] 7,7276 7,7279 7,7280 7,7282 7,7279 7,7279 7,7277 7,7274 7,7273 7,7268 Tabulka 8: Měření kapacity C2 LCR měřičem Agilent 4263B Odhad kapacity je výběrový průměr všech deseti naměřených hodnot: 10

C 2 ==

∑C i =1

10

i

=

77,2767 = 7,7277 nF 10


48

Standardní nejistota typu A se určí jako odhad směrodatné odchylky výběrového průměru: 10 1 1 (C i − C ) = ⋅1,52 ⋅ 10 −6 = 0,00013nF ∑ n(n − 1) i =1 10 ⋅ 9

uA =

Pro stanovení nejistoty typu B je nejprve třeba vypočítat absolutní chybu údaje měřícího přístroje Agilent 4263B: Naměřená hodnota tedy činí 7,7277nF. Z příslušných tabulek byly odečteny tyto velikosti použitých koeficientů: ZX=12 kΩ, ZS=10kΩ, A=0,09 B=0,01 D=0,0165Ω E=2,8·107Ω Dosazením do vzorce pro výpočet relativní chyby údaje δP u impedancí Z větších než 100Ω vyjde podle vzorce 7.1: Zx D 12000 0,0165 12000 + = 0,09 + 0,01 ⋅ + + = 0,10243% Zs Zx E 10000 12000 2,8 ⋅ 10 7 Dále se vyjádří absolutní chyba údaje přístroje Agilent 4263B: Ae = A + B ⋅ C ⋅

∆P =

Zx

+

0,10243 ⋅ 7,7277 = 0,0079nF 100

Z této hodnoty je již možné vyjádřit nejistotu typu B, lze předpokládat rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti: u B = uC =

∆P k

=

0,0079 3

= 0,0046nF ,

Což vzhledem k velikosti uA, která je o řád menší, odpovídá přímo kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,0046 = 0,0092nF


49

Je tedy možné uvést výsledek měření kapacity přístrojem Agilent 4263B: C2 = ( 7,7277 ± 0,0092) nF Skutečná hodnota kapacity C2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (7,7185 ; 7,7369) nF. Dále bylo naměřeno 10 hodnot kapacitoru C3=2,2nF přístrojem Agilent 4263B. Viz Tabulka 9. Číslo měření

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

C [nF] 2,4397 2,4396 2,4396 2,4395 2,4393 2,4392 2,4393 2,4390 2,4391 2,4404 Tabulka 9: Měření kapacity C3 LCR měřičem Agilent 4263B Odhad kapacity C3 je výběrový průměr všech deseti naměřených hodnot: 10

C 3 ==

∑C i =1

10

i

=

24,395 = 2,4395nF 10

Standardní nejistota typu A se určí jako odhad směrodatné odchylky výběrového průměru: uA =

10 1 1 ⋅ 1,44 ⋅ 10 −6 = 0,000127nF (C i − C 3 ) = ∑ n(n − 1) i =1 10 ⋅ 9

Stanovení nejistoty typu B: Pro stanovení nejistoty typu B je nejprve třeba vypočítat absolutní chybu údaje měřícího přístroje Agilent 4263B: Naměřená hodnota tedy činí 2,4395nF. Z příslušných tabulek byly odečteny tyto velikosti použitých koeficientů: ZX=80kΩ, ZS=10kΩ, A=0,09 B=0,01 D=0,0165Ω E=2,8·107Ω


50

Dosazením do vzorce pro výpočet maximální odchylky u impedancí větších než 100Ω podle vzorce 7.1 vyjde: Ae = A + B ⋅ C ⋅

Zx Zs

+

Zx D 80000 0,0165 80000 + = 0,09 + 0,01 ⋅ + + = 0,172857% Zx E 10000 80000 2,8 ⋅ 10 7

Dále se vyjádří absolutní chyba údaje |∆P| přístroje Agilent 4263B : ∆P =

0,172857 ⋅ 2,4395 = 0,0042nF 100


∆P k

=

0,0042 3

= 0,0023nF ,

Což vzhledem k velikosti uA, která je o řád menší, odpovídá přímo kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty uC je dále možné určit rozšířenou nejistotu, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,0023 = 0,0046nF Je tedy možné uvést výsledek měření kapacity přístrojem Agilent 4263B: C3 = ( 2,4395 ± 0,0046) nF Skutečná hodnota kapacity C3 naměřené přístrojem Agilent 4263B se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (2,4349 ; 2,4441) nF. Multimetr Agilent 34410A Pro kapacitor C1=100nF bylo naměřeno 10 hodnot. Viz. Tabulka 10 Číslo měření C [nF]

1.

2.

3.

4.

5.

6.

89,42 89,29 89,43 89,51 89,3

89,5

7.

8.

9.

89,24 89,38 89,23 89,45

Tabulka 10: Měření kapacity C1 Multimetrem Agilent 34410A Odhad kapacity je výběrový průměr všech deseti naměřených hodnot: 10

C1 ==

∑C i =1

10

i

=

893,75 = 89,38nF 10

10.


51


10 1 1 (C i − C1 ) = ⋅ 0,09665 = 0,04nF ∑ n(n − 1) i =1 10 ⋅ 9

Stanovení nejistoty typu B: Nejprve je nutné určit absolutní chybu údaje |∆P| přístroje Agilent 34410: δC = 0,4% čtené hodnoty

0,36nF

δR = 0,1% z rozsahu

0,10 nF

|∆P|

0,46 nF Z absolutní chyby údaje |∆P| pro měření kapacit pro použitý rozsah 100nF

měřícího přístroje Agilent 34410A lze vyjádřit nejistotu typu B: u B = uC =

∆P k

=

0,46 3

= 0,27 nF

Nejistota typu B odpovídá přímo nejistotě kombinované uC, protože je možné nejistotu typu A zanedbat. Z kombinované nejistoty uC je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,27 = 0,54nF Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Agilent 34410A: C1 = ( 89,38 ± 0,54) nF Skutečná hodnota kapacity C1 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (88,84 ; 89,92) nF. Dále byla přístrojem Agilent 34410A měřena kapacita C2=8,9nF. Naměřené hodnoty viz. Tabulka 11. Číslo měření C [nF]

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

8,638 8,619 8,632 8,678 8,704 8,696 8,649 8,707 8,687 8,681 Tabulka 11: Měření kapacity C2 Multimetrem Agilent 34410A


Odhad kapacity je výběrový průměr všech deseti naměřených hodnot: 10

C 2 ==

∑C i =1

i

10

=

86,691 = 8,669nF 10


10 1 1 (C i − C 2 ) = ⋅ 0,009177 = 0,01nF ∑ n(n − 1) i =1 10 ⋅ 9

Stanovení nejistoty typu B: Nejprve je nutné určit absolutní chybu údaje |∆P| přístroje Agilent 34410A: δC = 0,4% čtené hodnoty

0,0347nF

δR = 0,1% z rozsahu

0,01 nF

|∆P|

0,0447 nF Z absolutní chyby údaje |∆P| pro měření kapacit pro použitý rozsah 10nF

přístroje Agilent 34410A lze vyjádřit nejistotu typu B: u B = uC =

∆P k

=

0,0447 3

= 0,028nF ,

jelikož je nejistota typu A o řád menší, lze nejistotu typu B považovat rovnou i za kombinovanou nejistotu uC. Z kombinované nejistoty uC je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,028 = 0,056nF Je tedy možné uvést výsledek měření: C2 = ( 8,669 ± 0,056) nF Skutečná hodnota kapacity C2, naměřená přístrojem Agilent 34410A, se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (8,613 ; 8,725) nF. Pro kapacitu C3= 2,2nF bylo naměřeno 10 hodnot přístrojem Agilent 34410A. Viz.Tabulka 12

52


Číslo měření C [nF]

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

53

9.

10.

2,513 2,578 2,610 2,551 2,460 2,581 2,607 2,485 2,533 2,612 Tabulka 12: Měření kapacity C3 Multimetrem Agilent 34410A Odhad kapacity je výběrový průměr všech deseti naměřených hodnot: 10

C 3 ==

∑C

i

i =1

=

10

25,53 = 2,553nF 10


10 1 1 ⋅ 0,026332 = 0,018nF (C i − C 3 ) = ∑ n(n − 1) i =1 10 ⋅ 9

Stanovení nejistoty typu B: Nejprve je nutné určit maximální dovolenou chybu údaje |∆P| přístroje Agilent 34410A: δC =0,4% čtené hodnoty

0,010nF

δR =0,1% z rozsahu

0,01 nF

|∆P|

0,020 nF Z absolutní chyby údaje měřícího přístroje lze vyjádřit nejistotu typu B: u B = uC =

∆P k

=

0,020 3

= 0,011nF ,

jelikož je nejistota typu A o řád menší, lze nejistotu typu považovat rovnou i za kombinovanou nejistotu uC. Z kombinované nejistoty uC je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,011 = 0,022nF Je tedy možné uvést výsledek měření: C3 = ( 2,553 ± 0,022) nF Skutečná hodnota kapacity C3 naměřené přístrojem Agilent 34410A se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (2,531 ; 2,575) nF.


LCR měřič MIC 4070D Měření tímto přístrojem probíhalo na rozsahu 200nF. Výrobce udává v dokumentaci k přístroji [9] absolutní chybu údaje měřícího přístroje |∆P| pro měření kapacit na daném rozsahu jako chybu ze čtené hodnoty δC= 1% a chybu z rozsahu δR= 2 digity. Kapacita C1=100nF:

Naměřené hodnota: 85,5nF Naměřením jediné hodnoty měřené veličiny odpadá nutnost vyčíslovat nejistotu typu A. Absolutní chyba údaje |∆P| použitého přístroje MIC 4070D se určí ze dvou složek, 1% čtené hodnoty a dvou posledních číslic: δC =1% čtené hodnoty

0,855nF

δR =2 poslední číslice

0,2 nF

|∆P|

1,055 nF Z absolutní chyby údaje |∆P| měřícího přístroje lze vyjádřit nejistotu typu B: u B = uC =

∆P k

=

1,055 3

= 0,6nF ,

protože je složka nejistoty typu A nulová, opět odpovídá nejistota typu B přímo kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty uC je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,6 = 1,2nF Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem MIC 4070D: C1 = ( 85,5 ± 1,2) nF Skutečná hodnota kapacity C1 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (84,3 ; 86,7) nF.

54


Kapacita C2=8,9nF:

Naměřené hodnota: 7,6nF Naměřením jediné hodnoty měřené veličiny odpadá nutnost vyčíslovat nejistotu typu A. Absolutní chyba údaje |∆P| přístroje MIC 4070D se určí ze dvou složek, 1% čtené hodnoty a dvou posledních číslic: δC =1% čtené hodnoty

0,076nF


0,2 nF

|∆P|

0,276 nF Z absolutní chyby údaje |∆P| měřícího přístroje lze vyjádřit nejistotu typu B: u B = uC =

∆P k

=

0,276 3

= 0,2nF ,

protože je složka nejistoty typu A nulová, opět odpovídá nejistota typu B přímo kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,2 = 0,4nF Je tedy možné uvést výsledek měření: C2 = ( 7,6 ± 0,4) nF Skutečná hodnota kapacity C2 naměřené přístrojem MIC 4070D se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (7,2 ; 8,0) nF. Kapacita C3=2,2nF:

Naměřené hodnota: 2,3nF Naměřením jediné hodnoty měřené veličiny opět odpadá nutnost vyčíslovat nejistotu typu A.

55


Absolutní chyba údaje |∆P| přístroje MIC 4070D se určí ze dvou složek, 1% čtené hodnoty a dvou posledních číslic: δC =1% čtené hodnoty

0,023nF


0,2 nF

|∆P|

0,223 nF Z maximální dovolené chyby měřícího přístroje lze vyjádřit nejistotu typu B: u B = uC =

∆P k

=

0,223 3

= 0,2nF ,

protože je složka nejistoty typu A nulová, opět odpovídá nejistota typu B přímo kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,2 = 0,4nF Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem MIC 4070D: C3 = ( 2,3 ± 0,4) nF Skutečná hodnota kapacity C3 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (1,9 ; 2,7) nF. Měřič impedance Tesla BM507 Výrobce tohoto měřícího přístroje udává absolutní chybu údaje |∆P| samostatně pro naměřenou impedanci Z, odečtený úhel φ a frekvenci měřícího signálu. Pro naměřenou impedanci Z platí absolutní chyba údaje ± 5% z odečtené hodnoty ±0,3Ω. U fázového posunu φ je absolutní chyba údaje ±6o. Pro frekvenci v rozsahu 50Hz až 500 KHz platí maximální dovolená chyba ±3%. Z odečtených údajů se kapacita vypočítá podle vzorce 7.4. C=

1 1 = ϖX C 2πf Z sin ϕ

56


Pro zahrnutí všech výše uvedených nejistot je nutné použít zákon šíření nejistot na vzorec pro výpočet kapacity: AZ =

−1 ϖ ⋅ Z ⋅ sin ϕ 2

Aϕ =

− cos ϕ ϖ ⋅ Z ⋅ sin 2 ϕ

Af =

−1 2π ⋅ f ⋅ Z ⋅ sin ϕ 2

Absolutní chyba |∆P| pro výpočet kapacity: ∆P

2

= A2Z ⋅ U 2Z + Aϕ2 ⋅ U ϕ2 + A 2f ⋅ U 2f Kapacita C1=100nF:

Byly naměřeny tyto hodnoty: |Z|=2kΩ φ = -88o Frekvence měřícího signálu byla nastavena na: f=1kHz Výsledná kapacita tedy je: C1 =

1 1 = = 79,67nF 2πf Z sin ϕ 6,28 ⋅ 1000 ⋅ 2000 ⋅ sin( −88 0 )

Pro výpočet absolutní chyby se použije zákona šíření nejistot: AZ =

−1 ϖ ⋅ Z ⋅ sin ϕ 2

=

−1 = 3,983 ⋅ 10 −11 o 2 6280 ⋅ 2000 ⋅ sin( −88 )

Aϕ =

− cos ϕ − cos(−88 o ) = = −2,782 ⋅ 10 −9 ϖ ⋅ Z ⋅ sin 2 ϕ 6280 ⋅ 2000 ⋅ sin 2 (−88 o )

Af =

−1 −1 = = 7,963 ⋅ 10 −11 2 o 2π ⋅ f ⋅ Z ⋅ sin ϕ 6,28 ⋅ 1000 ⋅ 2000 ⋅ sin( −88 ) 2

Nejistota naměřené impedance UZ: UZ = ±(5% ze 2kΩ) ± 0,3 Ω = ± 100,3Ω Nejistota naměřeného fázového posuvu impedance Uφ:

57


Uφ= ± 6o Nejistota frekvence měřícího signálu Uf: Uf= ± (3% z 1kHz)= ± 30 Hz Nyní je tedy možné vypočítat absolutní chybu údaje |∆P| přístroje TESLA BM507: ∆P

2

= A 2Z ⋅ U 2Z + Aϕ2 ⋅ U ϕ2 + A 2f ⋅ U 2f =

= (3,983 ⋅ 10 −11 ⋅ 100,3) 2 + (−2,782 ⋅ 10 −9 ⋅ 6) 2 + (7,963 ⋅ 10 −11 ⋅ 30) 2 ∆ P = 3,00293 ⋅ 10 −16 = 1,733 ⋅ 10 −8 = 17,33nF Nyní je možné určit nejistotu typu B, která je zároveň kombinovanou nejistotou uC: u B = uC =

17,33nF 3

= 10,01nF

Dále se vypočte rozšířená nejistota U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 10,01 = 20,02 nF Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Tesla BM507: C1 = ( 79,67 ± 20,02) nF Skutečná hodnota kapacity C1 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (59,65 ; 99,69) nF. Kapacita C2=8,9nF:

Byly naměřeny tyto hodnoty: |Z|=22kΩ φ = -88o Frekvence měřícího signálu byla nastavena na: f=1kHz Výsledná kapacita C2 tedy je: C2 =

1 1 = = 7, 24nF 2πf Z sin ϕ 6, 28 ⋅ 1000 ⋅ 22000 ⋅ sin( −88 0 )

58



−1 ϖ ⋅ Z ⋅ sin ϕ 2

=

−1 = 3,292 ⋅ 10 −11 6280 ⋅ 22000 2 ⋅ sin( −88 o )

Aϕ =

− cos(−88 o ) − cos ϕ = −2,529 ⋅ 10 −9 = 2 2 o ϖ ⋅ Z ⋅ sin ϕ 6280 ⋅ 22000 ⋅ sin (−88 )

Af =

−1 −1 = = 7,328 ⋅ 10 −11 2 2π ⋅ f ⋅ Z ⋅ sin ϕ 6,28 ⋅ 1000 ⋅ 22000 ⋅ sin( −88 o ) 2

Nejistota naměřené impedance UZ: UZ = ±(5% ze 22kΩ) ± 0,3 Ω = ± 1100,3Ω Nejistota naměřeného fázového posuvu impedance Z Uφ: Uφ= ± 6o Nejistota frekvence měřícího signálu Uf: Uf= ± (3% z 1kHz)= ± 30 Hz Nyní je tedy možné vypočítat absolutní chybu údaje přístroje Tesla BM507: ∆P

2

= A 2Z ⋅ U 2Z + Aϕ2 ⋅ U ϕ2 + A 2f ⋅ U 2f =

= (3, 292 ⋅ 10 −11 ⋅ 1100,3) 2 + (−2,529 ⋅ 10 −9 ⋅ 6) 2 + (7,328 ⋅ 10 −11 ⋅ 30) 2 ∆ P = 2,48105 ⋅10 −18 = 1,58 ⋅ 10 −9 = 1,58nF Nyní je možné určit nejistotu typu B uB, která je zároveň kombinovanou nejistotou uC: u B = uC =

1,58nF 3

= 0,92nF

Dále se vypočte rozšířená nejistota U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,92 = 1,84 nF Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Tesla BM507: C2 = ( 7,24 ± 1,84) nF Skutečná hodnota kapacity C2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (5,40 ; 9,08) nF.

59


Kapacita C3=2,2nF:

Byly naměřeny tyto hodnoty: |Z|=68kΩ φ = -88o Frekvence měřícího signálu byla nastavena na: f=1kHz Výsledná kapacita tedy je: C3 =

1 1 = = 2,34nF 2πf Z sin ϕ 6,28 ⋅ 1000 ⋅ 68000 ⋅ sin( −88 0 )


−1 ϖ ⋅ Z ⋅ sin ϕ 2

=

−1 = 3,446 ⋅ 10 −14 2 o 6280 ⋅ 68000 ⋅ sin( −88 )

Aϕ =

− cos ϕ − cos(−88 o ) = = −8,182 ⋅ 10 −11 ϖ ⋅ Z ⋅ sin 2 ϕ 6280 ⋅ 68000 ⋅ sin 2 (−88 o )

Af =

−1 −1 = = 2,342 ⋅ 10 −12 o 2 2π ⋅ f ⋅ Z ⋅ sin ϕ 6,28 ⋅ 1000 ⋅ 68000 ⋅ sin( −88 ) 2

Nejistota naměřené impedance UZ: UZ = ±(5% ze 68kΩ) ± 0,3 Ω = ± 3400,3Ω Nejistota naměřeného fázového posuvu impedance Z Uφ: Uφ= ± 6o Nejistota frekvence měřícího signálu Uf: Uf= ± (3% z 1kHz)= ± 30 Hz Nyní je tedy možné vypočítat absolutní chybu údaje |∆P| přístroje Tesla BM507: ∆P

2

= A 2Z ⋅ U 2Z + Aϕ2 ⋅ U ϕ2 + A 2f ⋅ U 2f =

= (3, 446 ⋅ 10 −14 ⋅ 3400,3) 2 + (−8,182 ⋅ 10 −9 ⋅ 6) 2 + (2,342 ⋅ 10 −11 ⋅ 30) 2 ∆ P = 2,59689 ⋅ 10 −19 = 5,096 ⋅ 10 −10 = 0,51nF

60


Nyní je možné určit nejistotu typu B uB, která je zároveň kombinovanou nejistotou uC: u B = uC =

0,51nF 3

= 0,30nF

Dále se vypočte rozšířená nejistota U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,30 = 0,60 nF Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Tesla BM507: C3 = ( 2,34 ± 0,60) nF Skutečná hodnota kapacity C2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (1,74 ; 2,94) nF. 6.1.3 Vyhodnocení kompatibility měření Kompatibilita měření je vlastnost měření umožňující porovnání měření stejné veličiny různými metodami na různých pracovištích. Je posuzována pouze na určité úrovni věrohodnosti, zpravidla 95% konfidenční interval, což odpovídá rozšířené nejistotě s koeficientem rozšíření kR=2. Kompatibilita výsledků získaných pomocí různých přístrojů a metod je zajištěna návazností na společný etalon. Měření lze považovat za kompatibilní, pokud existuje alespoň jeden společný bod výsledku měření. Kapacita C1=100nF Z grafu je patrné, že vzájemně kompatibilní jsou měření přístroji 1, 3 a 4, tedy všechny kromě měření přístrojem Agilent 34410A. Toto měření je kompatibilní pouze s měřením přístrojem Tesla BM507. Pohledem na graf je zřejmé, že tato kompatibilita je způsobena především velikostí intervalu, do které může spadat správná hodnota u přístroje Tesla BM507. Grafické znázornění viz. Obrázek 2.

61


Obrázek 2: Vyhodnocení kompatibility měření kapacitoru C1. Kapacita C2= 8,9nF Při použití kapacity C2 vychází kompatibilita stejně jako v předchozím případě. Grafické znázornění viz. Obrázek 3.

Obrázek 3: Vyhodnocení kompatibility měření kapacitoru C2. Kapacita C3=2,2nF I při použití poslední kapacity C3 se situace opakovala, ale navíc jsou kompatibilní měření přístroji Agilent 34410 s MIC 4070D. Grafické znázornění viz. Obrázek 4.

Obrázek 4: Vyhodnocení kompatibility měření kapacitoru C3.

62


63

Shrnutí Při použití všech tří kapacit vyšel stejný závěr. Kromě měření přístroji Agilent 34410A jsou všechny vzájemně kompatibilní. Měření přístrojem Agilent 34410 je kompatibilní pouze s měřením pomocí přístroje TESLA BM507, zejména díky velikosti nejistoty tohoto přístroje. Při měření na kapacitě 2,2nF vyšlo toto měření kompatibilní ještě navíc s měřením přístrojem MIC 4070D. 6.1.4 Sestavení kalibračních diagramů Nejprve je nutné započítat nejistotu etalonu Agilent 4263B do kombinované nejistoty uc přístroje: u C = u 2A + u B2 + u E2 Je tedy zřejmé, že vzhledem k součtovému tvaru vzorce je možné nejistoty etalonu zanedbat, tyto se ve výsledku projeví pouze minimálně. Kombinovaná nejistota uC tedy zůstává nezměněna. U dalších hodnot i u dalších přístrojů tyto výpočty nebudou prováděny, nejistoty etalonu je možné zanedbat.

Kalibrační diagram multimetru Agilent 34410A 90 80 70 Cv [nF]

60 50 40 30 20 10 0 0

20

40

60

80

100

Cr [nF]

Obrázek 5: Kalibrační diagram multimetru Agilent 34410A pro měření kapacit


64

Kalibrační diagram multimetru MIC 4070D 90 80 70 Cv [nF]

60 50 40 30 20 10 0 0

20

40

60

80

100

Cr [nF]

Obrázek 6: Kalibrační diagram LCR měřiče MIC 4070D pro měření kapacit.

Cv [nF]

Kalibrační diagram měřícího přístroje Tesla BM507 pro měření kapacit 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

20

40

60

80

100

120

Cr [nF]

Obrázek 7: Kalibrační diagram měřiče impedance Tesla BM507 pro měření kapacit


6.2

MĚŘENÍ ODPORŮ

6.2.1 LCR měřičem Agilent 4263B Při výpočtu odporu naměřeném tímto přístrojem se postupuje stejně jako u předchozího měření kapacit. Odpadá pouze nutnost převádění naměřené kapacity na impedanci. Naměří se přímo hodnota ZX. Dále lze postupovat podle postupu popsaném pro měření kapacit. 6.2.2 Multimetr Agilent 34410A Nejprve je třeba určit absolutní chybu |∆P| přístroje při měření odporu. K tomu je zapotřebí odečíst z tabulky v dokumentaci přístroje [8] chybu z rozsahu δR a ze čtené hodnoty δC k odečtení těchto hodnot se použijí patřičné tabulky viz. Tabulka

13.

Následně

tuto

vyčíslit,

jejím

podělením

koeficientem

pravděpodobnostního rozložení k podle vztahu 5.5, pro tento přístroj k= 3 , je získána nejistota typu B uB.

Tabulka 13: Tabulka pro stanovení chyby z rozsahu a ze čtené hodnoty multimetrem Agilent 34410A 6.2.3 Multimetr METEX M3890D + LCR měřič MIC 4070D U těchto ručních měřících přístrojů udává výrobce v dokumentaci [10] [9] absolutní chybu údaje |∆P| pomocí procentuální chyby naměřené hodnoty pro δC a počtu posledních „digitů“, neboli posledních zobrazených číslic pro δR. Zde je tedy nutné vyčíslit, jaké hodnotě odpovídá poslední číslice. Například pokud udává 1 číslici a tato odpovídá změně 1Ω, je tato chyba 1Ω. Sečtením obou složek vznikne

65


celkové přípustná chyba přístroje a z této je možné podělením koeficientem k= 3 získat podle vztahu 5.5 nejistotu typu B uB. 6.2.4 Měřič impedance Tesla BM507 Pro výpočet nejistoty odporu se vychází z naměřené impedance Z. Výrobce v dokumentaci [11] uvádí maximální dovolenou chybu pro impedanci jako ± 5% z naměřené hodnoty ± 0,3Ω. Vyčíslením této hodnoty vyjde absolutní chyba údaje přístroje, z této hodnoty lze vypočítat nejistotu typu B podle vztahu 5.5. Koeficient rozdělení pravděpodobnosti k lze použít opět

3 , jedná se o pravoúhlé rovnoměrné

rozdělení pravděpodobnosti. 6.2.5 Zpracování naměřených hodnot LCR měřič Agilent 4263B Odpor R1=100Ω:

Měřením na výše uvedeném přístroji byla naměřena hodnota R1=98,60Ω, což odpovídá impedanci ZX=98,60Ω. Nyní je třeba zjistit hodnoty dalších koeficientů ZS, A, B, D a E. Z příslušných tabulek byly odečteny tyto velikosti použitých koeficientů: ZS=100Ω, A=0,09 B=0,01 D=0,0165Ω E=2,8·107Ω Dosazením do vzorce pro výpočet relativní chyby u impedancí menších než 100Ω do vzorce 7.2 vyjde: Zx Zs D 100 0,0165 98,6 + + = 0,09 + 0,01 ⋅ + + = 0,1% Zx Zx E 98,6 98,6 2,8 ⋅ 10 7 Dále se vyjádří odpor odpovídající hodnotě δP: δP = A+ B⋅C ⋅

∆P =

0,1 ⋅ 98,6 = 0,0986Ω 100

66


67


∆P k

=

0,0986 3

= 0,057Ω

Vzhledem k nepřítomnosti nejistoty typu A lze tuto hodnotu považovat zároveň za kombinovanou nejistotu uC. Z kombinované nejistoty uC je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,057 = 0,12Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Agilent 4263B: R1 = ( 98,6 ± 0,12) Ω Skutečná hodnota odporu R1 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (98,48 ; 98,72) Ω. Odpor R2=120Ω:

Měřením odporu R2 na přístroji Agilent 4263B byla naměřena hodnota R2=120,65Ω, což odpovídá impedanci ZX=120,65Ω. Nyní je třeba zjistit hodnoty dalších koeficientů ZS, A, B, D a E. Z příslušných tabulek byly odečteny tyto velikosti použitých koeficientů: ZS=100Ω, A=0,09 B=0,01 D=0,0165Ω E=2,8·107Ω Dosazením do vzorce pro výpočet relativní chyby údaje přístroje Agilent 4263B u impedancí větších než 100Ω podle vzorce 7.1 vyjde: δR = A+ B⋅C ⋅

Zx Zs

+

Zx D 120,65 0,0165 120,65 + = 0,09 + 0,01 ⋅ + + = 0,106% Zx E 100 120,65 2,8 ⋅ 10 7

Dále se vyjádří absolutní chyba údaje |∆P|: ∆P =

0,106 ⋅ 120,65 = 0,13Ω 100


68


∆P k

=

0,13 3

= 0,08Ω

Vzhledem k nepřítomnosti nejistoty typu A lze tuto hodnotu považovat zároveň za kombinovanou nejistotu uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,08 = 0,16Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Agilent 4263B: R2 = ( 120,65 ± 0,16) Ω Skutečná hodnota odporu R2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (120,49 ; 120,62) Ω. Odpor R3=12kΩ:

Měřením na přístroji Agilent 4263B byla naměřena hodnota R3=11963Ω, což odpovídá impedanci ZX=11963Ω. Nyní je třeba zjistit hodnoty dalších koeficientů ZS, A, B, D a E. Z příslušných tabulek byly odečteny tyto velikosti použitých koeficientů: ZS=10 000Ω, A=0,09 B=0,01 D=0,0165Ω E=2,8·107Ω Dosazením do vzorce pro výpočet relativní chyby údaje u impedancí větších než 100Ω vyjde: δP = A + B ⋅C ⋅

Zx Zs

+

Zx D 11963 0,0165 11963 + = 0,09 + 0,01 ⋅ + + = 0,529% Zx E 10000 11963 2,8 ⋅ 10 7

Dále se vyjádří odpor odpovídající hodnotě δP, nebo-li absolutní chyba údaje |∆P|: ∆P =

0,529 ⋅11963 = 64Ω 100



∆P k

=

64

= 37Ω

3

Vzhledem k nepřítomnosti nejistoty typu A lze tuto hodnotu považovat zároveň za kombinovanou nejistotu uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 37 = 74Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Agilent 4263B: R3 = ( 11963 ± 74) Ω Skutečná hodnota odporu R3 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (11 889 ; 12 037) Ω. Multimetr Agilent 34410A Odpor R1=100Ω

Při použitém rozsahu 1kΩ, byla naměřena hodnota R1=98,67Ω. Tomuto rozsahu odpovídá maximální dovolená chyba ze čtené hodnoty δC=±0.0020% chyba z rozsahu δR=±0.0005%. Absolutní chyba údaje |∆P| přístroje Agilent 34410A je tedy: δC=0.0020% čtené hodnoty

0,002Ω

δR=0.0005% z rozsahu

0,005 Ω

|∆P|

0,007 Ω Z této hodnoty lze snadno určit nejistotu typu B: u B = uC =

∆P k

=

0,007 3

= 0,004Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uc. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,004 = 0,008Ω

69


Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Agilent 34410A: R1 = (98,67 ± 0,01) Ω Skutečná hodnota odporu R1 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (98,66 ; 98,68) Ω. Odpor R2=120Ω

Při použitém rozsahu 1kΩ, byla naměřena přístrojem Agilent 34410A hodnota R2=120,70Ω. Tomuto rozsahu odpovídá relativní dovolená chyba údaje ±0.0020% čtené hodnoty ±0.0005% z rozsahu. Absolutní chyba údaje přístroje Agilent 34410A je tedy: δC=0.0020% čtené hodnoty

0,003Ω


0,005 Ω

|∆P|


∆P k

=

0,008 3

= 0,005Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,005 = 0,01Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Agilent 34410A: R2 = (120,70 ± 0,01) Ω Skutečná hodnota odporu R2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (120,69 ; 120,71) Ω. Odpor R3=12kΩ

Při použitém rozsahu 10kΩ, byla naměřena hodnota R3=11 961,6Ω. Tomuto rozsahu odpovídá relativní chyba údaje ±0.0020% čtené hodnoty ±0.0005% z rozsahu.

70


Absolutní chyba údaje přístroje Agilent 34410A tedy je: δC=0.0020% čtené hodnoty

0,24Ω


0,05 Ω

|∆P|


∆P k

=

0,29 3

= 0,2Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,2 = 0,4Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Agilent 34410A: R3 = (11961,6 ± 0,4) Ω Skutečná hodnota odporu R3 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (11 961,2 ; 11 962,0) Ω. Multimetr METEX M3890D Odpor R1=100Ω

Při použitém rozsahu 400Ω, byla naměřena hodnota R1=98,9Ω. Tomuto rozsahu odpovídá absolutní chyba údaje ±0,8Ω ±4 poslední číslice. Absolutní chyba údaje |∆P| přístroje METEX M3890D tedy je: 0,8Ω 4 digit

0,4 Ω

|∆P|


∆P k

=

1,2 3

= 0,7Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC.

71


Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,7 = 1,4Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem METEX M3890D: R1 = (98,9 ± 1,4) Ω Skutečná hodnota odporu R1 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (97,5 ; 100,3) Ω. Odpor R2=120Ω

Při použitém rozsahu 400Ω, byla naměřena přístrojem METEX M3890D hodnota R2=121,0Ω. Tomuto rozsahu odpovídá absolutní chyba údaje ±0,8Ω ±4 poslední číslice. Absolutní chyba údaje |∆P| je tedy: 0,8Ω 4 digit

0,4 Ω

|∆P|


∆P k

=

1,2 3

= 0,7Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,7 = 1,4Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem METEX M3890D: R2 = (121,0 ± 1,4) Ω Skutečná hodnota odporu R2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (119,6 ; 122,4) Ω.

72


Odpor R3=12kΩ

Při použitém rozsahu 40kΩ, byla naměřena hodnota R3=11 920Ω. Tomuto rozsahu odpovídá absolutní chyba údaje ±0,8Ω ±4 poslední číslice. Absolutní chyba údaje |∆P| je tedy: 0,8Ω 4 digit

20 Ω

|∆P|


∆P k

=

20,8 3

= 12Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 12 = 24Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem METEX M3890D: R3 = (11 920 ± 24) Ω Skutečná hodnota odporu R3 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (11 896 ; 11 944) Ω. LCR měřič MIC 4070D Odpor R1=100Ω

Při použitém rozsahu 200Ω, byla naměřena přístrojem MIC 4070D hodnota R1=98,6Ω. Tomuto rozsahu odpovídá chyba údaje přístroje ±1% čtené hodnoty ±2 poslední číslice.

73


Absolutní chyba údaje |∆P| tedy je: δC=1% čtené hodnoty

0,97Ω

ΔR=2 digit

0,2 Ω

|∆P|


∆P k

=

1,17 3

= 0,7Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,7 = 1,4Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem MIC 4070D: R1 = (98,6 ± 1,4) Ω Skutečná hodnota odporu R1 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (97,2 ; 100,0) Ω. Odpor R2=120Ω

Při použitém rozsahu 200Ω, byla naměřena přístrojem MIC 4070D hodnota R2=120,7Ω. Tomuto rozsahu odpovídá chyba údaje přístroje ±1% čtené hodnoty ±2 poslední číslice. Absolutní chyba údaje |∆P| tedy je: δC=1% čtené hodnoty

1,2Ω

ΔR=2 digit

0,2 Ω

|∆P|


∆P k

=

1,4 3

= 0,8Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC.

74


Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 0,8 = 1,6Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem MIC 4070D: R2 = (120,7 ± 1,6) Ω Skutečná hodnota odporu R2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (119,1 ; 122,3) Ω. Odpor R3=12kΩ

Při použitém rozsahu 20kΩ, byla naměřena přístrojem MIC 4070D hodnota R3=11 940Ω. Tomuto rozsahu odpovídá chyba údaje přístroje ±1% čtené hodnoty ±2 poslední číslice. Absolutní chyba údaje |∆P| tedy je: δC=1% čtené hodnoty

119,4Ω

ΔR=2 digit

20 Ω

|∆P|

140 Ω Z této hodnoty lze snadno určit nejistotu typu B: u B = uC =

∆P k

=

140 3

= 80Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 80 = 160Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem MIC 4070D: R3 = (11 940 ± 160) Ω Skutečná hodnota odporu R2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (11 780 ; 12 100) Ω.

75


Měřič impedance Tesla BM507 Odpor R1=100Ω

Byla naměřena hodnota R1=99,5Ω. Chyba údaje tohoto přístroje se vypočte jako ±5% čtené hodnoty ±0,3Ω. Absolutní chyba údaje |∆P| tedy je: δC=5% čtené hodnoty

5Ω

δR

0,3 Ω

|∆P|


∆P k

=

5,3 3

= 3,1Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 3,1 = 6,2Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Tesla BM507: R1 = (99,5 ± 6,2) Ω Skutečná hodnota odporu R2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (93,3 ; 105,7) Ω. Odpor R2=120Ω

Byla naměřena hodnota R2=119Ω přístrojem Tesla BM507. Chyba údaje tohoto přístroje se vypočte jako ±5% čtené hodnoty ±0,3Ω. Absolutní chyba údaje |∆P| tedy je: δC=5% čtené hodnoty

6Ω

δR

0,3 Ω

|∆P|

6,3 Ω

76


Z této hodnoty lze snadno určit nejistotu typu B: u B = uC =

∆P k

=

6,3 3

= 3,7Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 3,7 = 7,4Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Tesla BM507: R2 = (119 ± 7,4) Ω Skutečná hodnota odporu R2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (111,6 ; 126,4) Ω. Odpor R3=12kΩ

Byla naměřena hodnota R3=12kΩ přístrojem Tesla BM507. Chyba údaje tohoto přístroje se vypočte jako ±5% čtené hodnoty ±0,3Ω. Absolutní chyba údaje |∆P| tedy je: δC=5% čtené hodnoty

600 Ω

δR

0,3 Ω

|∆P|


∆P k

=

600,3 3

= 347Ω

Tato hodnota odpovídá kombinované nejistotě uC. Z kombinované nejistoty je dále možné určit rozšířenou nejistotu U, při použití koeficientu rozšíření kR=2 vychází: U = kR · uC = 2 · 347 = 694Ω Je tedy možné uvést výsledek měření přístrojem Tesla BM507: R3 = (12 000 ± 694) Ω Skutečná hodnota odporu R2 se tedy s pravděpodobností 95% (4σ) nachází v intervalu (11 306 ; 12 694) Ω.

77


6.2.6 Vyhodnocení kompatibility měření odporu Odpor R1=100Ω Měření odporu R1 se všemi přístroji vyšla vzájemně kompatibilní, i kompatibilní s měřením referenčním měřidlem. Grafické znázornění viz. Obrázek 8.

Obrázek 8: Vyhodnocení kompatibility měření na odporu R1 Odpor R2=120Ω Kromě měření oběma přístroji Agilent, které jsou vzájemně nekompatibilní, vycházejí měření všemi ostatními přístroji vzájemně kompatibilní. I měření oběma přístroji Agilent jsou kompatibilní s měřeními všemi ostatními přístroji. Grafické znázornění viz. Obrázek 9.

Obrázek 9: Vyhodnocení kompatibility měření na odporu R2 Odpor R3=12kΩ Kromě měření přístroji 2 a 4, tedy přístroji METEX a Agilent 34410A, jsou všechny ostatní měření vzájemně kompatibilní. Obě tyto měřemí jsou kompatibilní s měřením referenčním měřidlem. Grafické znázornění viz. Obrázek 10.

78


Obrázek 10: Vyhodnocení kompatibility měření na odporu R3 Shrnutí Měření se všemi přístroji vyšla kromě měření Agilentem 34410A kompatibilní. Měření Agilentem 34410 vyšlo nekompatibilní s měřením přístrojem METEX při měření R3=12kΩ rezistoru, dále vyšlo nekompatibilní s měřením referenčním měřidlem, přístrojem Agilent 4263B při měření R2=120Ω rezistoru. Toto je zřejmě zapříčiněno malou nejistotou tohoto přístroje. 6.2.7 Sestavení kalibračních diagramů LCR měřič Agilent 34410A Zde dochází k situaci, kdy ověřovaný přístroj má o řád menší nejistotu než přístroj referenční, tedy přístroj Agilent 4263B. Je tedy nutné zanést nejistotu etalonu do kombinované nejistoty . u C100 Ω = u A2 + u B2 + u E2 = 0,004 2 + 0,057 2 = 0,057Ω u C120Ω = u A2 + u B2 + u E2 = 0,005 2 + 0,057 2 = 0,08Ω u C12 kΩ = u A2 + u B2 + u E2 = 37 2 + 0,2 2 = 37Ω Jak je vidět, došlo k celkem zvláštní situaci, kdy se počítá pouze s nejistotami etalonu, nejistoty kontrolovaného měřidla bylo možné zanedbat.

79


80

Kalibrační diagram multimetru Agilent 34410A pro měření odporů 14000

Rv [ohm]

12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Rr [ohm]

Obrázek 11: Kalibrační diagram multimetru Agilent 34410A pro měření odporu Multimetr METEX M3890D Opět bylo nutné započítat nejistotu etalonu, přístroje Agilent 4263B u rezistoru R3=12kΩ: u C12 kΩ = u A2 + u B2 + u E2 = 37 2 + 12 2 = 39Ω


81

Kalibrační diagram multimetru METEX M3890D pro měření odporů 14000

Rv [ohm]

12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Rr [ohm]

Obrázek 12: Kalibrační diagram multimetru METEX M3890D pro měření odporu LCR Měřič MIC 4070D Opět bylo nutné započítat nejistotu etalonu, přístroje Agilent 4263B u rezistoru R3=12kΩ: u C12 kΩ = u A2 + u B2 + u E2 = 37 2 + 140 2 = 145Ω


82

Kalibrační diagram multimetru MIC 4070D pro měření odporů 14000

Rv [ohm]

12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Rr [ohm]

Obrázek 13: Kalibrační diagram LCR měřiče MIC 4070D pro měření odporu Měřič impedance Tesla BM507 I u tohoto přístroje se nejistota Agilentu 4263B u rezistoru R3=12kΩ projeví: u C12 kΩ = u A2 + u B2 + u E2 = 37 2 + 347 2 = 349Ω


83

Kalibrační diagram měřícího přístroje Tesla BM507 pro měření odporů 14000

Rv [ohm]

12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Rr [ohm]

Obrázek 14: Kalibrační diagram Měřiče impedance TESLA BM507 pro měření odporu.


7.

ZÁVĚR

Cílem této bakalářské práce bylo vysvětlit problematiku vyjadřování nejistot a naznačit, proč k vyjadřování dochází a kdy je jejich vyjádření dokonce vyžadováno. Zároveň jsem se snažil čtenáře seznámit se základem vyjadřování chyb měření, které považuji za předchůdce nejistot. Dále jsem uvedl základní rozdělení nejistot. Také jsem nastínil problematiku kalibrace a ověřování, která velmi úzce souvisí s vyjadřováním nejistot. Nakonec je v bakalářské práci vyhodnocení a zpracování skutečných naměřených hodnot. Tyto hodnoty byly naměřeny zadanými měřícími přístroji. Pro všechny přístroje jsou sestaveny kalibrační diagramy, které byly vztaženy vzhledem k referenčnímu měřidlu, kterým byl LCR metr Agilent 4263B. Pro všechny přístroje byla také vyhodnocena kompatibilita měření.

84


8.

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY

[1]

Dokumenty EAL

[2]

HRUŠKA, K. – Bradík, J.:Stanovení nejistot parametrů při měření parametrů jakosti. Brno 2001. Vysoké učení technické v Brně

[3]

ČEJKA, M.: Stručný úvod do problematiky nejistot

[4]

PALENČÁR, R. – VDOLEČEK, F. – HALAJ, M.: Nejistoty v měření I až V, soubor článků v časopise AUTOMA, č. 7-8/2001, č. 10/2001, č. 12/2001, č. 4/2002 a č. 5/2002

[5]

BEJČEK, L. – ČEJKA, M. – REZ, J. – GESCHEIDTOVÁ, E. – STEIBAUER, M.: Měření v elektrotechnice. Skripta VUT Brno

[6]

ČMI: Metrologie v kostce. 1. vydání. 2002. ISBN 80-86645-01-0

[7]

Uživatelský manuál LCR metr Agilent 4263B

[8]

Uživatelský manuál multimetr Agilent 34401A

[9]

Uživatelský manuál LCR metr MIC-4070D

[10] Návod k obsluze multimetr METEX M3890D [11] Návod k obsluze měřiče impedance TESLA BM 507

85

STANDARDNÍ NEJISTOTY MĚŘENÍ

Recommend Documents