P2 Chyby a nejistoty měření

Elektrická měření – cvičení

Chyby a nejistoty měření

P2 Chyby a nejistoty měření P2.1 Chyby měření Žádným měření nezískáme správnou hodnotu měřené veličiny, protože každé měření je zatíženo chybou. Chyba charakterizuje přesnost měření. Analýza chyb je základní podmínkou zvyšování přesnosti měření. Výsledek měření je neúplný, pokud neobsahuje možný rozsah chyb, tzv. neurčitost měření. Chyba měření (error of measurement) je odchylka měřené hodnoty měřené veličiny od správné hodnoty měřené veličiny. Jejími součástmi jsou velikost a znaménko.

P2.1.1 Rozdělení chyb podle matematického vyjádření Absolutní chyba ∆ měřené veličiny X je [P2.1]

∆(X ) = X M − X S Kde XM je naměřená hodnota a XS je správná (konvenčně správná) hodnota měřené veličiny. Absolutní chyba se vyjadřuje v jednotkách měřené veličiny.

Relativní chyba δ je bezrozměrné číslo nebo je vyjadřována v procentech nebo v p.p.m. (parts per million).

δ(X ) = δ(X ) = δ(X ) =

∆( X ) XS ∆( X ) XS ∆( X ) XS

[P2.2a]

[−] *100 [%]

[P2.2b]

*10 6 [ ppm ]

[P2.2c]

P2.1.2 Rozdělení chyb podle výskytu Systematická chyba – při opakovaných měřeních téže veličiny zůstává stálá, nebo se předvídatelným způsobem mění. V případě, že lze tuto chybu zjistit pomocí přesnějšího měření, nebo je-li příčina jejího vzniku známá, lze tuto složku chyby odstranit korekcí. [P2.3]

∆ syst ( X ) = X − X S

δ syst ( X ) =

∆ syst ( X ) XS

X =

1 N

*100

[P2.4]

X je tzv. výběrový průměr z N opakovaných měření Xi:

N

∑X

[%]

i

[P2.5] Příklady systematických chyb: - chyby metody – způsobené záměrným zjednodušením vztahu pro výpočet měřené veličiny (např. zanedbání vlivu vnitřního odporu na měřené napětí zdroje s nenulovým vnitřním odporem) - chyba nuly (offset) - chyba zesílení i =1

Náhodná chyba – při opakovaných měřeních se nepředvídatelně mění. Není možno ji odstranit korekcí. Jediný způsob zpracování těchto chyb je zvýšit počet měření (min. 20) a výsledky zpracovat statistickými metodami. Získáme tak střední hodnotu opakovaných měření a jejich rozptyl. Rozptyl se většinou charakterizuje tzv. směrodatnou odchylkou __________________________________________________________________________________________ VOŠ a SPŠ Varnsdorf Vypracoval: Bc. David Furka -1-



Příklady náhodných chyb: - šumy - neznámé změny podmínek měření (teplota, vlhkost, tlak, elmag.pole…) - zaokrouhlování výsledku měření

P2.1.2 Chyba (neurčitost) výsledku přímého měření U přímých měření se výsledek získá z údaje jediného přístroje, neurčitost tohoto měření je tedy dána chybou tohoto přístroje. Chyba analogového měřicího přístroje Přesnost analogového měřicího přístroje charakterizuje třída přesnosti, což je procentuelní chyba na konci stupnice přístroje. Je to číslo z řady 0,05 - 0,1 - 0,5 - 1 - 1,5 - 2,5 - 5. Absolutní chyba se vypočte: [P2.6] TP

| ∆X | ≤

100

MR

Procentní chyba:

|δX | ≤

∆X * 100 Xm

[P2.7]

kde MR je měřicí rozsah, Xm je naměřená hodnota měřené veličiny a TP je třída přesnosti. Procentní chybu lze také spočítat přímo z TP:

δ X = TP *

[P2.8]

MR MH

Chyby číslicového měřicího přístroje Je zde možnost dvojího vyjádření chyby přístroje: a) chybou v procentech z MH ±δ1 a chybou v procentech rozsahu ±δ2. celková absolutní chyba je pak dána vztahem

∆V ≤

δ1 100

MH +

δ2 100

[P2.9]

MR

kde MH je naměřená hodnota a MR je měřicí rozsah. Relativní (procentní)

δX

MR ≤ δ1 + δ 2 MH

chyba pak [P2.10]

b) chybou v procentech z MH ±δ1 a počtem kvantizačních kroků ±N při výpočtu chyby je nutno zjistit hodnotu jednoho kvantizačního kroku (tzv. digitu – poslední místo na displayi) v jednotkách měřené veličiny (rozlišení přístroje). [P2.11]

∆V ≤

δ1 100

MH + N * hodnota kvant.kroku

P2.1.3 Neurčitost výsledku nepřímých měření Abychom se vyhnuli složitějšímu vyjadřování výsledné neurčitosti pomocí parciálních derivací, lze pro určení výsledných neurčitostí použít několik jednoduchých pravidel. Je-li měřená veličina Y dána funkcí [P2.12]

Y = f ( X 1 , X 2 , ..., X n )

__________________________________________________________________________________________ VOŠ a SPŠ Varnsdorf Vypracoval: Bc. David Furka -2-



Výsledná neurčitost jednodušších výrazů může být nalezena bez diferenciálního počtu aplikací těchto pravidel. Je přitom nutno podle potřeby přecházet od relativních chyb k absolutním a naopak. Jde o tyto pravidla:

Operace Y=X1+X2 Y=X1-X2 Y=X1*X2 Y=X1/X2

Odpovídající neurčitost |∆(Y)|= |∆(X1)|+ |∆(X2)| |∆(Y)|= |∆(X1)|+ |∆(X2)| |δ(Y)|= |δ (X1)|+ |δ (X2)| |∆(Y)|= |δ (X1)|+ |δ (X2)|

Tabulka P2.1: Početní vztahy pro neurčitost nepřímých měření Tyto vztahy lze matematickou indukcí rozšířit na větší počet operandů. Příklad: Měřený výkon rezistoru je určen z efektivní hodnoty napětí na tomto rezistoru změřené střídavým analogovým voltmetrem s TP=1 a MR=24 V. Naměřená hodnota je 18 V. Jmenovitá hodnota odporu rezistoru je 10 kΩ a jeho tolerance je 5 %. Spočítejte neurčitost měření výkonu. Pomocí tabulky P2.1 určíme vztah pro relativní neurčitost měření výkonu. Výkon je dán vztahem

P = U 2R Neurčitost je pak na základě tabulky P2.1:

δ P = 2 δU + δ R Pomocí [P2.8] lze zjistit

δU = 1*

24 = 1,33 % 18

Chyba výkonu je pak

δ P ≤ 2,66 % + 5 % = 7,66 %

P2.2 Nejistoty měření P2.2.1 Obecná část Podle doporučení zasedání CIPM v letech 1981 a 1986 se jako kvantitativní ukazatel přesnosti měření začínají vedle užívaných chyb používat též tzv. nejistoty. U některých měření se dnes používají výhradně údaje o nejistotách, je tedy třeba porozumět pojmu nejistota měření, dále jejímu výpočtu a příbuznostem s údaji o chybách měření. Nejistotou měření se rozumí přidružený parametr charakterizující rozptýlení hodnot, které lze pokládat za hodnotu veličiny, která je objektem měření. Základní charakteristikou nejistoty je standardní nejistota (označení u – uncertainty). Je to směrodatná odchylka veličiny, pro niž je nejistota udávána. Standardní nejistota se podle způsobu svého vyhodnocování dělí na: • standardní nejistoty typu A (uA) - stanovené z výsledků opakovaných měření (statistická analýza), • standardní nejistoty typu B (uB) – získané jinými způsoby. Nejistoty typu A: - příčiny se považují za neznámé; - hodnoty s rostoucím počtem pozorování klesají. Nejistoty typu B: - vyhodnocují se pro příčiny, které se podařilo identifikovat; - hodnoty na počtu pozorování nezávisí. Standardní nejistoty typu B pocházející z různých zdrojů se slučují do výsledné standardní nejistoty typu B. Sloučením standardní nejistoty typu A s výslednou standardní nejistotou typu B se získá tzv. kombinovaná standardní nejistota. Rozšířená nejistota je k-násobek kombinované standardní nejistoty (k je koeficient rozšíření <2,3> – musí se uvádět spolu s údajem o rozšířené nejistotě).

P2.2.2 Určování standardních nejistot u přímých měření




Standardní nejistota typu A: 1

u Ax

n ⎡ 1 ⎤2 ( xi − x ) 2 ⎥ = σ~ ( X ) = ⎢ ∑ ⎣ n(n − 1) i =1 ⎦ 1 n x = ∑ xi n i =1

[P2.13] [P2.14]

N je počet měření (standardní nejistotu typu A určujeme pro n alespoň 20. Standardní nejistota typu B: -

vytipují se možné zdroje těchto nejistot, kterými jsou např. všechny ovlivňující veličiny, pro každý z těchto zdrojů se odhadne interval <-∆X; ∆X >, což je interval absolutních odchylek (odpovídá absolutní chybě ∆X) nebo relativní chyba δX spočítá se geometrický součet dílčích relativních chyb

-

geometrický součet se vydělí číslem

3.

Kombinovaná standardní nejistota: - spočítá se geometrickým součtem standardních nejistot typu A a B

u C ( X ) = u A2 ( X ) + u B2 ( X )

[P2.15]

Kombinovaná rozšířená nejistota uCR: - pro zvýšení pravděpodobnosti výskytu skutečné hodnoty v intervalu tolerance se standardní nejistota rozšiřuje tzv. koeficientem rozšíření k. Pokud má k hodnotu 2 (nejčastěji), můžeme zpravidla (při rovnoměrném rozložení) očekávat, že interval , kde N je naměřená hodnota, pokrývá skutečnou hodnotu měřené veličiny s pravděpodobností 95 %. Pro k=3 je pravděpodobnost již 99,8 %. - Je-li výsledek vybaven informací o rozšířené nejistotě, musí být uvedena hodnota koeficientu rozšíření.

P2.2.3 Příklad na počítání nejistot – analogový měřicí přístroj Analogový voltmetr s třídou přesnosti (TP) 1,5 naměřil na rozsahu 30 V napětí 18,2 V. Při opakovaných měřeních se naměřená hodnota pohybovala vždy okolo 18,2 V. Nejistota typu A se tedy nemusí zjišťovat. Jediným zdrojem nejistoty typu B je zde TP. Z ní určíme interval <-∆Ux, +∆Ux >.

∆U x =

TP * Rozsah 1,5 * 30 = = 0,45 V 100 100

Údaje přístroje jsou v pásmu určeném TP rozloženy rovnoměrně. Standardní nejistota měřeného napětí je dána vztahem

u B (U x ) =

TP * Rozsah 100 * 3

=

1,5 * 30 100 * 3

= 0,26 V

Vyjádříme-li výsledek pomocí rozšířené nejistoty s koeficientem rozšíření kr=2, bude výsledek vypadat takto: Ux=18,2 V ± 0,52 V pro kr=2 (výsledek bychom také mohli vyjádřit s nejistotou s procentním tvaru)

P2.2.4 Příklad na počítání nejistot – digitální měřicí přístroj Digitální voltmetr naměřil na rozsahu 200 V a 3 a ½ místném display hodnotu napětí 137,2 V. Při opakovaných měřeních jsme dospěli ke stejné hodnotě. Z manuálu k voltmetru jsme vyčetli, že chyba voltmetru je 2%rdg + 3dgt. Nejistota typu A se zde nemusí počítat. Nejistota typu B je dána chybou voltmetru.



∆U x =


2 * Naměřená hodnota 2 *137,2 + 3 * rozlišení přístroje = + 3 * 0,1 = 2,744 + 0,3 = 3,044 V 100 100

Standardní nejistota typu B pak bude:

u B (U x ) =

∆U x 3

=

3,044 3

= 1,757 V

Výsledek vybavený informací o nejistotě (s kr=2) pak bude vypadat takto: Ux=137,2 V ± 3,5 V pro kr=2

P2.2.5 Vyjadřování nejistot u nepřímých měření Zjišťujeme nejprve dílčí nejistoty podílející se na celkové nejistotě typu B měření. Tyto dílčí nejistoty v procentuálním vyjádření sčítáme geometricky. Měříme-li stejnosměrný výkon nepřímou metodou ampérmetrem a voltmetrem, nejistotu měření proudu a napětí v proc.tvaru sečteme geometricky:

u B ( Px ) = u B (U x ) 2 + u B ( I x ) 2


P2 Chyby a nejistoty měření

Recommend Documents